Tema 05 - Coordenadas Homogêneas - Outras Transformações 3D

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA COMPUTAÇÃO GRÁFICA – INF A08 
 
Catiúscia A. B. Borges 1 
COMPUTAÇÃO GRÁFICA 
TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS 3D 
 
As transformações em 3D não são muito diferentes das transformações em 
2D. Todo o contexto que configura as transformações 3D pode ser adaptado para as 
transformações em 3D. As similaridades ocorrem principalmente na configuração do 
objeto, nas operações de translado, escala, reflexão e cisalhamento. A operação de 
rotação que está condicionada a um eixo, logo, possui mais de uma configuração que 
está associada ao sentido (horário e anti-horário) e ao eixo. A ideia de pivô e de 
associação de matrizes são mantidas em sua essencialidade. 
 
ESPAÇO 3D 
O espaço 3D pode ser configurado de maneiras diferentes, como as figuras 
abaixo, por exemplo. Note que a posição relativa dos eixos é distinta nas figuras 
abaixo. 
 
 
 
Adotaremos como referência a segunda figura, onde os sentidos esquerdo e 
direito são descritos pelo eixo x, superior e inferior (“para cima” e “para baixo”) são 
descritos pelo eixo y, e adicionaremos agora, o “para frente” e “para traz” descritos no 
eixo z. 
 
 
 
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DESCRIÇÃO DE UM OBJETO EM 3D. 
De modo análogo, ao que estudamos em 2D, acrescentaremos uma coluna 
com a coordenada igual à 1, de modo que todo o objeto será definido por uma matriz 
n x 4, onde n corresponde ao número de pontos do objeto. 
𝑀𝑂𝑏 = [
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑧1 1
𝑧2 1
⋮ ⋮
𝑥𝑛 𝑦𝑛
⋮ ⋮
𝑧𝑛 1
] 
Exemplo 1: 
 
O triângulo no espaço R³ nas figuras acima pode ser representado em 
coordenadas homogêneas por: 
𝑀𝑂𝑏 = [
1 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
] 
Exemplo 2: 
 
 
𝑀𝑂𝑏 = 
[
 
 
 
 
0 3 0 1
−2 0 0 1
0 0 −2 1
2 0 0 1
0 0 2 1]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS 
TRANSLAÇÃO 
Para que o objeto seja deslocado para a sua nova posição basta que se realize 
a translação dos seus vértices, desta forma, basta só redesenhar os lados a partir dos 
novos vértices. Se o deslocamento dx for negativo, o objeto move-se para a esquerda, 
enquanto, que se o deslocamento dy for negativo, o objeto move-se para baixo, ainda 
se dz for negativo, o objeto dz move-se para traz. 
Em coordenadas homogêneas, usaremos, a seguinte configuração de matriz 
de translação. 
𝑇(𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) = [
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
𝑑𝑥 𝑑𝑦
1 0
𝑑𝑧 1
] 
Exemplo: 
Dado o objeto: 
𝑀𝑂𝑏 = 
[
 
 
 
 
−2 0
0 0
0 1
2 1
2 0
0 0
0 1
−2 1
0 4 0 1 ]
 
 
 
 
 
 
Deslocar uma unidade para direita, uma unidade para cima e uma unidade para frente. 
𝑀𝑂𝑏 . T(1,1,1) = 𝑀𝑜𝑏𝑗
′ 
 
[
 
 
 
 
−2 0
0 0
0 1
2 1
2 0
0 0
0 1
−2 1
0 4 0 1 ]
 
 
 
 
*[
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 1
1 0
1 1
]=
[
 
 
 
 
−1 1
1 1
1 1
3 1
3 1
1 1
1 1
−1 1
1 5 1 1 ]
 
 
 
 
 
 
 
Objeto orginal e Objeto Transladado 
 
 
 
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ESCALA 
Podemos alterar as proporções de um objeto multiplicando as coordenadas 
dos seus vértices por fatores de escala apropriados, redesenhando de seguida esse 
mesmo objeto. Para efetuar tal transformação, basta multiplicar cada coordenada de x 
por um valor real deferente de zero (𝑠𝑥), multiplicar cada coordenada de y por um 
valor real deferente de zero (𝑠𝑦) e multiplicar cada coordenada de z por um valor real 
deferente de zero (𝑠𝑧): 
Usando notação matricial, podemos representar a transformação geométrica 
de escala pela matriz abaixo: 
𝐸(𝑠𝑥 , 𝑠𝑦 , 𝑠𝑧) = [
𝑒𝑥 0
0 𝑒𝑦
0 0
0 0
0 0
 0 0
𝑒𝑧 0
0 1
] 
De acordo com os valores atribuídos a sx e sy podem ocorrer as seguintes 
situações: 
• Se sx, sy, sz > 1, o objeto é ampliado; 
• Se sx, sy, sz < 1, o objeto é reduzido; 
• Se sx = sy= sz, o objeto mantém as proporções relativas em X, Y e Z; 
• Se sx ≠ sy ou sx ≠ sz ou sz ≠ sy, o objeto é deformado; 
• Se sx, sy , sz = -1 ocorrem reflexões em torno dos eixos X, Y, Z. 
 
Exemplo: Diminuir a metade as proporções do objeto (original) definido no 
exemplo anterior. 
𝑀𝑂𝑏 . 𝑆 (
1
2
,
1
2
,
1
2
) = 𝑀𝑜𝑏𝑗
′ 
[
 
 
 
 
−2 0
0 0
0 1
2 1
2 0
0 0
0 1
−2 1
0 4 0 1 ]
 
 
 
 
*[
1/2 0
0 1/2
0 0 
0 0 
0 0 
0 0 
1/2 0
0 1
]=
[
 
 
 
 
−1 0
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
0 1
−1 1
0 2 0 1 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ROTAÇÃO 
Dentre todas as transformações, a rotação é que mais de difere, uma vez que, 
agora, além dos sentidos horários e anti-horários, temos também os eixos, já que a 
rotação também terá como referência o eixo. 
Sentido Horário 
No eixo x → 𝑅𝑥(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑦𝑧(𝜑) 
𝑅𝑥(𝜑) = 𝑅𝑦𝑧(𝜑) = [
1 0
0 cos𝜑
0 0
−sen𝜑 0
0 sen𝜑
 0 0
 cos𝜑 0
 0 1
] 
No eixo y → 𝑅𝑦(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑧(𝜑) 
𝑅𝑦(𝜑)𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑧(𝜑) = [
 cos 𝜑 0
0 1
sen𝜑 0
0 0
−sen𝜑 0
 0 0
 cos𝜑 0
 0 1
] 
No eixo z → 𝑅𝑧(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑦(𝜑) 
𝑅𝑧(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑦(𝜑) = [
cos 𝜑 −sen𝜑
sen𝜑 cos𝜑
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
 0 1
] 
Sentido Anti-horário 
No eixo x → 𝑅𝑥(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑦𝑧(𝜑) 
𝑅𝑥(𝜑) = 𝑅𝑦𝑧(𝜑) = [
1 0
0 cos𝜑
0 0
sen𝜑 0
0 −sen𝜑
 0 0
 cos𝜑 0
 0 1
] 
No eixo y → 𝑅𝑦(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑧(𝜑) 
𝑅𝑦(𝜑)𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑧(𝜑) = [
 cos 𝜑 0
0 1
−sen𝜑 0
0 0
sen𝜑 0
 0 0
 cos𝜑 0
 0 1
] 
No eixo z → 𝑅𝑧(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑦(𝜑) 
𝑅𝑧(𝜑) 𝑜𝑢 𝑅𝑥𝑦(𝜑) = [
cos 𝜑 sen𝜑
−sen𝜑 cos𝜑
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
 0 1
] 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Rotacionar o objeto (original) em 180° em torno do eixo z no sentido 
horário. 
𝑅𝑧(180°) = [
cos 180° −sen 180°
sen 180° cos 180°
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
 0 1
] = [
−1 0
 0 − 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
 0 1
] 
𝑀𝑂𝑏 . 𝑅180° = 𝑀𝑜𝑏
′ 
[
 
 
 
 
−2 0
0 0
0 1
2 1
2 0
0 0
0 1
−2 1
0 4 0 1 ]
 
 
 
 
*[
−1 0
 0 − 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
 0 1
]=
[
 
 
 
 
2 0
0 0
0 1
2 1
−2 0
0 0
0 1
−2 1
0 −4 0 1 ]