Lista03 -

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Verifique se são lineares as funções definidas nos exercícios 
01
 
→
 
18
. 
 
01. 
:
T
R
2
→
 R
2
, 
)
0
,
2
(
)
,
(
y
x
y
x
T
−
=
. 
02. 
:
T
R
3
→
 R
2
, 
)
,
1
(
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
T
+
−
=
. 
03. 
:
T
R
→
 R
3
, 
)
,
2
,
(
)
(
x
x
x
x
T
−
=
. 
04. 
:
T
R
→
 R
, 
x
x
T
−
=
)
(
. 
05. 
:
T
R
2
→
 R
2
, 
)
,
(
)
,
(
3
x
y
y
x
T
=
. 
06. 
:
T
R
→
 R
, 
x
sen
x
T
=
)
(
. 
07. 
:
T
R
2
→
 R
2
, 
)
3
,
(
)
,
(
y
x
y
x
T
=
. 
08. 
:
T
2
2
×
M
→
 
2
2
×
M
, 
A
X
A
T
=
)
(
, 
 sendo 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
2
1
0
1
X
. 
09. 
:
T
2
2
×
M
→
 
2
2
×
M
, 
A
X
A
T
+
=
)
(
, 
X
 a matriz do exercício anterior.
 
10. 
:
T
2
2
×
M
→
 
2
2
×
M
, 
t
A
A
T
=
)
(
, onde
t
A
representa a transposta da matriz 
A
.
 
11. 
:
T
2
2
×
M
→
 
2
2
×
M
, 
=
)
(
A
T
 
d e t
)
(
A
, onde 
d e t
 significa 
d e t e r m i n a n t e
. 
12. 
:
T
R
→
 
2
1
×
M
, 
[
]
ax
x
x
T
=
)
(
, 
a
 um número real qualquer. 
13. 
:
T
1
3
×
M
→
 
R
2
, 
)
,
2
(
)
(
c
a
b
a
c
b
a
T
−
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
.
 
14. 
:
T
2
2
×
M
→
 
P
2
)
(
x
, 
d
cx
x
b
a
d
c
b
a
T
+
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
)
(
)
(
.
 
15. 
:
T
2
2
×
M
→
 
R
, 
)
(
)
(
A
tr
A
T
=
, onde 
tr
 denota 
t r a ç o
 ou 
soma dos elementos diagonais
. 
16. 
:
T
P
1
)
(
x
→
 
P
2
)
(
x
, 
x
x
p
x
x
p
T
+
=
)
(
)
)
(
(
. 
17. 
:
T
P
2
)
(
x
→
 
R
, 
∫
=
1
0
)
(
)
)
(
(
dx
x
p
x
p
T
.
 
18. 
:
T
P
2
)
(
x
→
 
P
3
)
(
x
, 
)
(
)
(
)
)
(
(
2
x
p
x
x
p
x
p
T
′
+
=
.
 
19. 
Se 
V
 é um espaço vetorial qualquer, verifique que a função 
V
V
I
→
:
 dada por 
v
v
I
=
)
(
 
é linear (
A função 
I
 é chamada de Operador Identidade
). 
20. 
Sejam 
V
U
,
 e 
W
 espaços vetoriais e 
V
U
f
→
:
 e 
W
V
g
→
:
 transformações lineares. Se 
W
U
f
g
→
:
o
 é a função definida por 
U
u
u
f
g
u
f
g
∈
∀
=
,
)
)
(
(
)
(
)
(
o
, mostre que 
f
g o
 
também é uma transformação linear. 
21. 
Sejam 
U
 
e 
V
 
espaços 
vetoriais 
e 
V
U
f
→
:
,
V
U
g
→
:
 
funções 
lineares. 
Se 
}
,
,
,
{
2
1
n
u
u
u
K
=
α
 
é 
uma 
base 
do 
espaço 
U
 
e 
n
i
u
g
u
f
i
i
,
,
2
,
1
,
)
(
)
(
K
=
∀
=
, 
conclua que 
U
v
v
g
v
f
∈
∀
=
,
)
(
)
(
. 
22. 
Existe uma transformação linear 
:
T
P
1
)
(
x
→
 
P
2
)
(
x
 que satisfaça 
1
)
1
(
2
−
=
+
x
x
T
 e 
x
x
x
T
+
=
−
2
)
1
(
? 
23. 
Defina a função linear 
:
f
 R
2
→
 R
3
 
que possui o vetor 
)
0
,
1
(
 em seu núcleo e satisfaz 
)
0
,
2
,
1
(
)
1
,
1
(
=
−
f
. 
24. 
Encontre uma transformação linear 
:
T
R
2
→
 R
3
 cujo núcleo seja a reta 
x
y
2
=
. 
25. 
Determine uma 
transformação 
linear 
:
T
P
2
)
(
x
→
 
P
2
)
(
x
, tal que 
=
=
)
(
,
)
1
(
x
T
x
T
 
2
1
x
−
 e 
2
2
2
)
(
x
x
x
T
+
=
. 
26. 
Encontre uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelo vetor 
)
2
,
1
(
−
. 
27. 
Seja 
:
T
R
2
→
R
2
 
a 
transformação 
linear 
definida 
por 
)
2
4
,
2
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
T
+
+
=
. 
Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de 
T
? 
a) (1, 2) 
b) (-2, 4) 
c) (100, -200) 
 d) (0, 0) e) (1, 5)
28. 
Para cada transformação identificada como linear dentre as que constam dos exercícios 
01
 
→
 
18
, determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem. 
29. 
Determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem da função 
2
2
2
2
:
×
×
→
M
M
h
, definida por 
A
M
A
h
=
)
(
, sendo 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
2
2
1
1
M
. 
30. 
C o n s i d e r e
 
:
T
R
2
→
 R
2
 
definida por 
)
cos
,
cos
(
)
,
(
θ
θ
θ
θ
sen
x
y
sen
y
x
y
x
T
−
+
=
. 
a) 
 Verifique que 
T
 é linear. 
b) 
 Encontre uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de 
T
. 
31. 
Determine 
o 
núcleo 
e 
a 
imagem 
do 
operador 
linear 
derivada 
:
D
P
n
)
(
x
→
 
P
n
)
(
x
,
 
definido por 
)
(
)
(
x
f
f
D
′
=
. 
32. 
Sejam 
V
V
g
f
→
:
,
 operadores lineares, tais que 
d im
)
(
f
N
 = 
d im
)
(
g
N
 = 0. Mostre 
que 
d im
)
(
g
f
N
o
 = 0. 
33. 
Seja 
:
T
P
2
)
(
x
→
 
P
2
)
(
x
 definida por 
)
(
)
2
(
)
(
2
c
b
x
b
a
c
bx
ax
T
+
+
+
=
+
+
. 
a) 
2
2
4
)
(
2
−
+
−
=
x
x
x
p
 
)
(
T
N
∈
? 
b) 
1
2
)
(
2
+
+
=
x
x
x
q
)
(
Im
T
∈
? 
c) 
1
2
)
(
+
=
x
x
r
)
(
Im
T
∈
? 
d) 
Determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de 
T
. 
e) 
T
 é injetora? 
T
é sobrejetora? 
34. 
Se 
V
U
T
→
:
 é uma transformação linear invertível, verifique que 
U
V
T
→
−
:
1
 também 
é linear. 
35. 
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo. 
Para as que forem isomorfismos, encontre a transformação inversa. 
a) 
:
T
R
2
→
 R
2
, 
)
3
,
3
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
T
+
−
=
. 
b) 
:
T
R
3
→
 R
2
, 
)
2
,
2
(
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
z
y
x
T
+
−
−
+
=
. 
c) 
:
T
R
3
→
 R
2
, 
)
,
2
(
)
,
,
(
z
z
x
z
y
x
T
+
=
 
d) 
:
T
R
3
→
 R
3
, 
)
3
,
2
,
2
(
)
,
,
(
z
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
T
−
+
+
−
−
−
=
. 
e) 
:
T
2
2
×
M
→
 
R
2
, 
)
,
(
)
(
b
a
b
a
d
c
b
a
T
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
. 
f) 
:
T
R
2
→
 R
3
, 
)
0
,
1
,
0
(
)
2
,
1
(
,
)
1
,
0
,
1
(
)
3
,
2
(
−
=
−
−
=
T
T
.
 
g) 
:
T
2
2
×
M
→
 
2
2
×
M
, 
AM
MA
A
T
−
=
)
(
, onde 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
2
2
1
M
. 
36. 
Mostre que são isomorfos os seguintes espaços vetoriais: 
a) 
R
2
 e 
⊂
=
=
}
0
/
)
,
,
(
{
z
z
y
x
W
 
R
3
. 
b )
 
R
3
 e 
P
2
)
(
x
. 
c )
 
2
2
×
M
 e 
R
4
. 
37. 
Seja 
V
U
T
→
:
 uma transformação linear. Mostre que: 
a) 
d im
<
U
 
d im
T
V
⇒
 não pode ser sobrejetora. 
b) 
d im
>
U
 
d im
T
V
⇒
 não pode ser injetora. 
c) 
se dim
=
U
 dim
V
, então 
T
 é injetora 
⇔
 
T
 
é sobrejetora
.
 
d) 
T
 
é um isomorfismo
 
⇒
 
d im
=
U
 
d im
V
. 
38. 
Se 
V
U
T
→
:
 é uma transformação linear, conclua que 
dim
≤
)
(
Im
T
 
d im
U
. 
39. 
Sejam 
V
U
T
→
:
 uma transformação linear injetora e 
n
u
u
u
,
,
,
2
1
K
 vetores L.I. em 
U
. 
Verifique que 
)
(
,
,
)
(
,
)
(
2
1
n
u
T
u
T
u
T
K
 são vetores L.I. em 
V
. 
40. 
Sejam 
V
U
T
→
:
 um isomorfismo e 
}
,
,
,
{
2
1
n
u
u
u
K
=
α
 uma base de 
U
. Verifique 
que o conjunto 
}
)
(
,
,
)
(
,
)
(
{
)
(
2
1
n
u
T
u
T
u
T
T
K
=
=
α
β
 é uma base de 
V
. 
41. 
Considere, em 
R
3
, a base 
}
)
1
,
2
,
1
(
,
)
1
,
1
,
1
(
,
)
0
,
1
,
1
(
{
−
−
=
α
 e denote por 
β
 a base 
canônica do 
R
2
. Se 
:
T
 R
3 
→
 R
2
 é a transformação linear definida por 
=
)
,
,
(
z
y
x
T
 
)
,
2
(
z
y
x
z
y
x
−
−
+
−
, determine 
[
]
α
β
T
. 
42. 
Sejam 
}
)
1
,
0
,
1
(
,
)
0
,
0
,
1
(
,
)
1
,
1
,
0
(
{
=
α
 
e 
}
)
1
,
0
(
,
)
0
,
1
(
{
−
−
=
β
 
bases 
de 
R
3
 
e 
R
2
, 
respectivamente. Se 
T
 é a transformação linear que satisfaz 
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1
1
1
1
0
1
α
β
T
, 
encontre uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de 
T
, decida se 
T
 é injetora 
e/ou sobrejetora e determine 
)
,
,
(
z
y
x
T
. 
43. 
Sejam 
α
 
a 
base 
canônica 
do 
R
2
 
e 
T
 
o 
operador 
linear 
sobre 
o 
R
2
 
satisfazendo 
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
5
1
3
1
α
α
T
. Existe uma base 
β
 do 
R
2
, tal que 
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
0
1
1
α
β
T
? 
44. 
Sejam 
}
)
0
,
0
,
1
(
,
)
1
,
1
,
0
(
,
)
0
,
1
,
1
(
{
−
=
α
 
e 
}
)
1
,
1
(
,
)
2
,
1
(
{
−
=
β
 
bases 
de 
R
3
 
e 
R
2
, 
respectivamente. 
Se 
:
T
R
3
→
R
2
 
é 
a 
função 
linear 
que 
s a t i s f a z
[
]
=
α
β
T
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
0
1
1
1
2
1
, 
calcule 
[
]
β
)
0
,
1
,
1
(
−
T
, 
)
0
,
1
,
1
(
−
T
 e 
)
,
,
(
z
y
x
T
. 
45. 
Verifique que o operador linear sobre o 
R
3
 definido por 
)
,
2
,
(
)
,
,
(
z
y
y
y
x
z
y
x
T
+
−
=
 é 
um isomorfismo e encontre uma matriz que represente seu inverso. 
46. 
Classifique como 
v e r d a d e i r a
 ou 
f a l s a
 cada uma das afirmações abaixo. 
a )
 
Se 
:
T
P
2
)
(
x
→
 
P
1
)
(
x
 
é 
a 
transformação 
linear 
definida 
por 
=
+
+
)
(
2
c
bx
ax
T
 
c
b
x
c
a
+
+
−
)
(
, então 
)
(
1
2
)
(
2
T
N
x
x
x
p
∈
+
+
=
. 
b )
 
Se 
L
 é o operador linear sobre o 
R
2
 definido por 
)
2
2
,
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
L
−
−
=
, então o 
vetor 
)
3
,
2
(
=
u
 não está na imagem de 
L
. 
c )
 
Existem transformações lineares 
:
f
 R
3 
→
 R
5
 que são sobrejetoras. 
d )
 
Se 
uma 
transformação 
linear 
:
f
 
R
7 
→
 
R
5
 
satisfaz 
d im
2
)
(
Im
=
f
, 
então 
um 
conjunto L.I. em seu núcleo conterá no máximo 
3
 vetores. 
e )
 
Se 
A
 é uma matriz de ordem 
n
m
×
, então 
A
 representa alguma transformação linear 
:
T
R
n
→
 R
m
. 
47. 
Qual é a matriz da transformação 
:
T
P
1
)
(
x
→
 
P
2
)
(
x
 definida por 
=
)
)
(
(
x
p
T
)
(
x
p
x
, 
em relação às bases 
}
1
,
{
x
=
α
, de 
P
1
)
(
x
, e 
}
1
,
1
,
{
2
+
−
=
x
x
x
β
 de 
P
2
)
(
x
? 
48. 
Suponha 
que 
uma 
transformação 
linear 
:
T
P
1
)
(
x
→
 
P
2
)
(
x
 
tem 
uma 
representação 
matricial da forma 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
1
0
0
1
, em relação às bases canônicas de 
P
1
)
(
x
 
e 
P
2
)
(
x
. Qual é 
essa transformação? 
49. 
Sejam 
V
 um espaço vetorial de dimensão 
n
 e 
V
V
I
→
:
 o operador identidade. Qual é a 
matriz de 
I
 em relação a uma base qualquer de 
V
? Se 
α
 e 
β
 são duas bases distintas 
de 
V
, qual é a matriz 
[
]
α
β
I
? 
50. 
Sejam 
:
f
 
R
2 
→
 
R
3
 
e 
:
g
 
R
3 
→
 
P
1
)
(
x
 
as 
transformações 
lineares 
definidas, 
respectivamente, por 
)
,
2
,
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
f
−
=
 e 
c
x
b
a
c
b
a
g
+
+
=
)
(
)
,
,
(
. Considerando-se 
as bases 
}
)
1
,
0
(
,
)
0
,
1
(
{
−
−
=
α
, 
}
)
1
,
0
,
1
(
,
)
0
,
0
,
1
(
,
)
1
,
1
,
0
(
{
=
β
 e 
}
1
,
1
{
+
−
=
x
x
γ
, 
a )
 
determine as matrizes 
[
]
[
]
β
γ
α
β
g
f
,
 e 
[
]
α
γ
f
g o
, 
b )
 
defina a transformação 
f
g
o
 e 
c )
 
decida se 
f
g
o
 é um isomorfismo. 
□□□□□□