Média - moda - mediana - distribuição de frequências

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Fundamentos de estatística Roseane Aguiar 
 
1 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
A média é calculada quando somamos todos os 
termos de um conjunto e dividimos o resultado 
pelo número de elementos desse conjunto. 
Existem vários tipos de média, entretanto, as 
médias mais comuns são: 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 
Utilizada em casos nos quais o rol numérico 
não apresenta nenhuma repetição deve-se 
realizar o somatório de todos os elementos do 
rol e dividir essa soma pela quantidade de 
elementos. 
→ Rol: organização dos dados por 
ordem de valor, sendo ele 
crescente ou decrescente. 
 
 
 
M = Média aritmética 
x1, x2, ... xn = Valores do conjunto 
n = Quantidade de elementos 
 
Exemplo: 
Após a aplicação de uma prova, um professor 
resolveu analisar o número de acertos dos 
estudantes da turma fazendo uma lista com a 
quantidade de questões que cada um dos alunos 
acertou: 
{10, 8, 15, 10, 12, 13, 6, 8, 14, 11, 15, 10} 
 
 
 
Nesse conjunto, há 12 valores. Logo, 
realizaremos a soma desses valores e 
dividiremos o resultado por 12. Então a média 
de acertos por aluno é 11. 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
Se atribui peso para os valores do conjunto. 
Para calcular a média ponderada, realiza-se o 
mesmo processo utilizado na média aritmética 
simples, ou seja, somar todos os elementos e 
dividir a soma pela quantidade de elementos. 
Como ocorre repetições de alguns elementos, 
podemos escrever essas somas na forma de 
multiplicação, por exemplo: 
 
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 
 
O número 4 repete cinco vezes, assim, podemos 
escrever essa soma dessa forma: 
 
5 x 4 = 20 
 
Para calcular a média ponderada, é necessário: 
 
• Calcular o produto de cada valor por seu 
peso; 
• Calcular, após isso, a soma entre esses 
produtos; 
• Dividir essa soma pela soma dos pesos. 
 
 
P1 + P2 ... Pn = Pesos 
X1 + X2 ... Xn = Valores do conjunto 
 
Exemplo: 
1º Determine a média entre os 
números 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5. 
Primeiro devemos multiplicar cada número pela 
quantidade de vezes que ele se repete. Em 
seguida, devemos somá-los. A soma deve ser 
dividida pelo somatório dos pesos 
 
 
 
 
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2 
2º Em uma determinada escola, os estudantes 
são avaliados com os seguintes critérios: 
O aluno Arnaldo obteve as seguintes notas: 
Critérios Notas 
Prova objetiva 10 
Simulado 9 
Avaliação subjetiva 8 
Calcule a média final desse estudante: 
 
MODA 
 
A moda de um determinado conjunto de dados 
é o resultado que mais se repete no conjunto, 
ou seja, o que possui maior frequência absoluta. 
 
Exemplo: 
O treinador de um time de futebol anotou o 
número de gols marcados pela sua equipe 
durante as últimas partidas de um campeonato 
e obteve o seguinte conjunto: 
 
{0, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 0, 4, 1, 2, 1} 
 
Qual é a moda desse conjunto? 
 
Analisando esse conjunto, podemos verificar 
que a sua moda é 1. 
 
{0, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 0, 4, 1, 2, 1} 
 
 
 
 
MEDIANA 
 
Mediana é o número central de uma lista de 
dados organizados, sendo uma medida de 
tendência central ou, de centralidade. 
A mediana é o valor do meio ou, que representa 
o meio, de uma lista de dados. Para mediana, a 
posição dos valores é importante, assim como a 
organização dos dados. 
COMO SE CALCULA MEDIANA 
Para calcular a mediana organizam-se os dados 
de forma crescente ou decrescente. Esta lista 
é o ROL de dados. Após, verificamos se a 
quantidade de dados no ROL é par ou ímpar. 
Se a quantidade de dados no ROL é ímpar, a 
mediana é o valor do meio, da posição central. 
Se a quantidade de dados no ROL é par, a 
mediana é a média aritmética dos valores 
centrais. 
Exemplo: 
Em uma escola, foram registradas as idades de 
um grupo de alunos do 9° ano de acordo com o 
sexo. A partir dos valores obtidos, formaram-
se as seguintes tabelas: 
 
Meninas 15 13 14 15 16 14 15 15 
 
Meninos 15 16 15 15 14 13 15 16 14 
 15 14 
 
1º Vamos encontrar a mediana das idades das 
meninas. Para isso, vamos ordenas as idades em 
ordem crescente 
 
13 14 14 15 15 15 15 16 
 
Como a quantidade de elementos é par, a 
mediana é a média aritmética dos valores 
centrais: 
Prova objetiva Peso 3 
Simulado Peso 2 
Avaliação subjetiva Peso 5 
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3 
 
2º Vamos agora encontrar a mediana da idade 
dos meninos, colocando as idades em ordem 
crescente 
13 14 14 14 15 15 15 15 15 
16 16 
Como a quantidade de elementos é ímpar, a 
mediana é o valor do meio, ou seja, 15. 
Outra forma de fazer é usando a formula: 
 
Exemplo: 
Usando a questão anterior, para saber a 
mediana da idade dos meninos: 
 
1º Somamos a quantidade de elementos que tem 
na tabela, ou seja, 11 e depois soma com 1 e 
divide por 2. 
 
M = 11 + 1 / 2 
M = 6 
 
A mediana está na 6º posição, sendo o valor 
central o número 15. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
É quando o conjunto de dados é coletado e 
contado pela quantidade de vezes que um dado 
aparece e, então, distribuímos esses dados em 
uma tabela. 
Os dados nessa tabela são divididos em classes 
pré-estabelecidas, anotando-se a frequência 
de cada classe. 
CARACTERÍSTICAS 
• É construído através de gráfico de 
colunas; 
• Representa a variação de uma medida 
de um grupo de dados; 
• Utiliza a distribuição de frequências; 
• Identifica variações anormais em um 
determinado processo; 
• Facilita a comparação de resultados; 
• Permite tomada de decisões a respeito 
de um processo, pois melhora a 
capacidade de análise; 
• Melhora a visibilidade de onde está um 
valor central; 
• Facilita a análise da dispersão de uma 
amostra. 
COMO MONTAR UMA TABELA DE 
FREQUÊNCIA 
1º Passo: transformar uma tabela primitiva em 
rol. Uma tabela primitiva possui dados 
desordenados 
Exemplo: 
 Amostra: 32,45, 65, 12, 18, 45, 62, 12 
Construindo o Rol: 
 Amostra: 12,12,18,32,45,45,62,65 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º passo: Distribuição de frequência sem 
intervalos de classe 
- Para se fazer a distribuição de frequência em 
tabelas, é necessário transformar os dados 
brutos, em ROL 
 
1 12 
2 12 
3 12 
4 18 
13 14 14 14 15 15 15 15 15 
16 16 
Repassando os conceitos: 
O que é rol? 
É a distribuição de uma amostra ou população 
em ordem crescente. 
S = {4,1,3,1,2,2,3,2} 
Rol: S = {1,1,2,2,2,3,3,4} 
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4 
5 18 
6 32 
7 45 
8 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEITOS 
 
X = Número de dados coletados 
Fi = Frequência absoluta 
→ Está variável refere-se à 
quantidade de vezes que um 
elemento repete 
Fr = Frequência relativa 
→ É a divisão entre a frequência 
absoluta e o número de dados 
coletados. 
 Fa = Frequência acumulada 
→ É a representação da soma (ou 
total) de todas as frequências 
absoluta até o ponto presente no 
conjunto de dados. 
Fra = Frequência relativa acumulada 
→ É o acumulo da frequência relativa. 
Será a soma da frequência relativa 
da linha com a frequência 
acumulada da linha anterior. 
 
Exemplo: 
Com a intenção de compreender melhor o fluxo 
de correntes ao decorrer de uma semana, o 
número de clientes que uma empresa atendeu 
nesse período foi anotado na lista a seguir: 
 
Segunda-feira 3 clientes 
Terça-feira 11 clientes 
Quarta-feira 8 clientes 
Quinta-feira 5 clientes 
Sexta-feira 16 clientes 
Sábado 7 clientes 
De acordo com as quantidades encontradas, 
construa a tabela frequência da quantidade de 
clientes atendidos por dia ao longo da semana. 
 
FREQUENCIA RELATIVA 
 
FREQUENCIA ACUMULADA 
 
 
Obs: O total da frequência absoluta (f) será 
igual a frequência acumulada (fa) 
 
FREQUENCIA RELATIVA ACUMULADA 
 
 
 
x f 
12 3 
18 2 
32 1 
45 2 
Dia da 
semana (x) 
Frequência 
absoluta (f) 
Frequência relativa 
(fr) 
Segunda 3 3÷50 x 100 = 6% 
Terça 11 11÷50 x 100= 22% 
Quarta 88÷50 x 100 = 16% 
Quinta 5 5÷50 x 100 = 10% 
Sexta 16 16÷50 x 100 = 32% 
Sábado 7 7÷50 x 100 = 14% 
Total 50 100% 
x (f) fr (%) fa 
Segunda 3 6% 3 
Terça 11 22% 14 
Quarta 8 16% 22 
Quinta 5 10% 27 
Sexta 16 32% 43 
Sábado 7 14% 50 
Total 50 100% 
x (f) fr (%) fa Fra (%) 
Segunda 3 6% 3 6% 
Terça 11 22% 14 6% + 22% = 28% 
Quarta 8 16% 22 28% + 16% = 44% 
Quinta 5 10% 27 44% + 10% = 54% 
Sexta 16 32% 43 54% + 32% = 86% 
Sábado 7 14% 50 86% + 14% = 100% 
Total 50 100% 
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EXERCÍCIOS 
 
1. (Enem 2021) Uma grande rede de 
supermercados adota um sistema de avaliação 
dos faturamentos de suas filiais considerando 
a média de faturamento mensal em milhão. A 
matriz da rede paga uma comissão para os 
representantes dos supermercados que 
atingirem uma média de faturamento mensal 
(M), conforme apresentado no quadro. 
 
Um supermercado da rede obteve os 
faturamentos num dado ano, conforme 
apresentado no quadro. 
 
Nas condições apresentadas, os 
representantes desse supermercado avaliam 
que receberão, no ano seguinte, a comissão de 
tipo 
A) I. 
B) II. 
C) III. 
D) IV. 
E) V. 
 
2. (Enem 2021) O quadro apresenta o número 
de terremotos de magnitude maior ou igual a 7, 
na escala Richter, ocorridos em nosso planeta 
nos anos de 2000 a 2011. 
 
 
 
Um pesquisador acredita que a mediana 
representa bem o número anual típico de 
terremotos em um período. Segundo esse 
pesquisador, o número anual típico de 
terremotos de magnitude maior ou igual a 7 é 
 
A) 11. 
B) 15. 
C) 15,5. 
D) 15,7. 
E) 17,5. 
 
3. Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com 
alguns alunos de um curso, coletou as idades 
dos entrevistados e organizou esses dados em 
um gráfico. 
 
 
Qual a moda das idades, em anos, dos 
entrevistados? 
 
a) 9 
b) 12 
c) 13 
d) 15 
e) 21 
 
4. (Enem) Os candidatos K, L, M, N e P estão 
disputando uma única vaga de emprego em uma 
empresa e fizeram provas de português, 
matemática, direito e informática. A tabela 
apresenta as notas obtidas pelos cinco 
candidatos. 
 
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Segundo o edital de seleção, o candidato 
aprovado será aquele para o qual a mediana das 
notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for 
a maior. O candidato aprovado será 
a) K. 
b) L. 
c) M. 
d) N. 
e) P 
 
5. Quais valores são, respectivamente, a moda, 
média e mediana dos números da lista a seguir? 
133, 425, 244, 385, 236, 236, 328, 1000, 
299, 325 
 
a) 236; 361,1 e 312 
b) 244; 361 e 312 
c) 236; 360 e 312 
d) 236; 361,1 e 310 
e) 236; 361,1 e 299 
 
6. O gráfico apresenta a taxa de desemprego 
(em %) para o período de março de 2008 a abril 
de 2009, obtida com base nos dados 
observados nas regiões metropolitanas de 
Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de 
Janeiro, São Paulo e Porto Alegre. 
 
 
 
A mediana dessa taxa de desemprego, no 
período de março de 2008 a abril de 2009, foi 
de 
a) 8,1%. 
b) 8,0%. 
c) 7,9%. 
d) 7,7%. 
e) 7,6%. 
 
7. Nos quatro primeiros dias úteis de uma 
semana o gerente de uma agência bancária 
atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia 
útil dessa semana esse gerente atendeu n 
clientes. Se a média do número diário de 
clientes atendidos por esse gerente nos cinco 
dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi 
a) 21 
b) 19 
c) 18 
d) 20 
e) 23 
 
8. Considere a seguinte amostra aleatória das 
idades em anos completos dos alunos em um 
curso preparatório. Com relação a essa 
amostra, marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 
25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 
28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 
28. 
 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 
27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 
1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 
27. 
 
9. A distribuição dos salários dos funcionários 
de um setor de uma confecção, segundo as 
funções que exercem, é apresentada na tabela. 
 
O salário médio mensal desses funcionários é 
de R$ 2.290,00. É correto afirmar que o 
salário mensal de uma Cortadeira é de 
 
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7 
a) R$ 1.750,00. 
b) R$ 1.900,00. 
c) R$ 2.250,00 
d) R$ 2.500,00. 
e) R$ 2.750,00. 
 
10. Podem apresentar informações que não são 
objeto de tratamento numérico, ou seja, 
apresentam informações não numéricas. Essa 
afirmativa se refere a: 
 
a) Tabela 
b) Gráfico de linhas 
c) Gráfico de colunas 
d) Quadros 
e) Gráfico polar 
 
11. (UFRGS — 2019) A média aritmética das 
idades de um grupo de 10 amigos é 22 anos. Ao 
ingressar mais um amigo nesse grupo, a média 
aritmética passa a ser de 23 anos. A idade do 
amigo ingressante no grupo, em anos, é 
a) 29. 
b) 30. 
c) 31. 
d) 32. 
e) 33. 
 
12. Analise a tabela de distribuição de 
frequência abaixo: 
 
 
 
Sabe-se que f é a frequência absoluta, fac é a 
frequência absoluta acumulada, fr% é a 
frequência relativa (percentual) e frac% é a 
frequência relativa (percentual) acumulada. 
Considerando as informações da tabela, é 
CORRETO afirmar que os valores de A, B, C, D, 
são respectivamente: 
 
a) 41; 89; 30,50; 90,50. 
b) 48; 89; 30,50; 25,00. 
c) 41; 61; 25,00; 90,50. 
d) 48; 79; 44,50; 90,50. 
 
13. Em cada bimestre, uma faculdade exige a 
realização de quatro tipos de avaliação, 
calculando a nota bimestral pela média 
ponderada dessas avaliações. Se a tabela 
apresenta as notas obtidas por uma aluna nos 
quatro tipos de avaliações realizadas e os pesos 
dessas avaliações, sua nota bimestral foi 
aproximadamente igual a: 
 
 
 
a) 8,6. 
b) 8,0. 
c) 7,5. 
d) 7,2. 
e) 6,8. 
 
14. (UNIUBE MG/2014) Um aluno deve 
atingir 70 pontos para ser aprovado. Esse total 
de pontos é resultado de uma média ponderada 
de 3 notas, N1, N2 e N3, cujos pesos são, 
respectivamente, 1, 2, 2. 
As suas notas, N1 e N2, são, respectivamente, 
em um total de 100 pontos distribuídos em cada 
uma, 50 e 65. Para ser aprovado, a sua nota 
N3 (em 100 pontos distribuídos) deverá ser: 
 
a) Maior ou igual a 70 pontos. 
b) Maior que 70 pontos. 
c) Maior que 85 pontos. 
d) Maior ou igual a 85 pontos. 
e) Maior ou igual a 80 pontos. 
 
15. O índice de massa corporal (IMC) de uma 
pessoa é definido como o quociente entre a 
massa dessa pessoa, medida em quilograma, e o 
quadrado da sua altura, medida em metro. Esse 
índice é usado como parâmetro para verificar 
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8 
se o indivíduo está ou não acima do peso ideal 
para a sua altura. Durante o ano de 2011, uma 
pessoa foi acompanhada por um nutricionista e 
passou por um processo de reeducação 
alimentar. O gráfico indica a variação mensal 
do IMC dessa pessoa, durante o referido 
período. Para avaliar o sucesso do tratamento, 
o nutricionista vai analisar as medidas 
estatísticas referentes à variação do IMC. 
 
 
 
De acordo com o gráfico, podemos concluir que 
a mediana da variação mensal do IMC dessa 
pessoa é igual a 
Alternativas 
 
a) 27,40. 
b) 27,55. 
c) 27,70. 
d) 28,15. 
e) 28,45. 
 
16. A tabela a seguir resume os resultados de 
uma pesquisa efetuada em um restaurante, 
sobre as preferências alimentares: 
 
 Refeição 
Sexo Saladas Carnes Massas 
Masculino 12 41 27 
Feminino 35 15 30 
 
De acordo com a tabela, os clientes do 
restaurante consomem: 
a) saladas e carnes com a mesma frequência 
b) saladas e massas com a mesma frequência 
c) carnes e massas com a mesma frequência 
d) carnes com uma maior frequência que cada 
uma das demais refeições 
e) massas com uma maior frequência que cada 
uma das demais refeições 
 
17. (SUDAM AM – IADES). Em 20 dias de 
aula, um professor de estatística anotou o 
número de alunos ausentes. Depois,fez a 
seguinte tabela de frequências: 
 
 
A letra B representa o número 
A) 5. 
B) 6. 
C) 7. 
D) 8. 
E) 9. 
 
18. (INEP – IBFC). Seja x a variável discreta 
“número de carros” de 20 pessoas e 
considerando a distribuição abaixo: 
 
A média contínua do número de carros é: 
a) 1,8 
b) 1,9 
c) 2,0 
d) 3,0 
e) 3,6 
 
19. Em uma fábrica de refrigerantes, é 
necessário que se faça periodicamente o 
controle no processo de engarrafamento para 
evitar que sejam envasadas garrafas fora da 
especificação do volume escrito no 
rótulo. Diariamente, durante 60 dias, foram 
anotadas as quantidades de garrafas fora 
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9 
dessas especificações. O resultado está 
apresentado no quadro. 
 
 
A média diária de garrafas fora das 
especificações no período considerado é 
A) 0,1. 
B) 0,2. 
C) 1,5. 
D) 2,0. 
E) 3,0. 
20. Os dados seguintes representam 20 
observações relativas ao índice pluviométrico 
em determinado município. Construir a 
distribuição de frequência para dados não 
grupados. 
144 152 159 160 151 157 146 154 145 160 
151 150 142 146 142 141 141 150 143 158 
 
GABARITO 
 
1. Alternativa b 
Resolução: 
 
 
 
 
 
2. Alternativa c 
Resolução: 
 
Para encontrar a mediana, primeiramente 
colocaremos esses dados em ordem: 
 
11, 11, 12, 13, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 20, 24 
 
Agora, encontraremos os dois termos centrais 
do conjunto: 
 
11, 11, 12, 13, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 20, 24 
 
Calculando a média entre eles, temos: 
Me=15+16/2= 15,5 
 
3. Alternativa a 
 
4. Alternativa d 
Resolução: 
 
Como são 4 notas (número par), a mediana 
será sempre a média da 2ª e da 3ª maior nota. 
 
Mediana das notas do candidato K: 
 
Mediana das notas do candidato L: 
 
Mediana das notas do candidato M: 
 
Mediana das notas do candidato N: 
 
Mediana das notas do candidato P: 
 
Portanto, o candidato N será aprovado, pois 
sua mediana das notas é a maior. 
 
5. Alternativa a 
 
6. Alternativa b 
 
7. Alternativa b 
 
Média = (19 + 15 + 17 + 21 + n) / 5 = 19 
19 + 15 + 17 + 21 + n = 19 x 5 
72 + n = 95 
n= 95 – 72 = 23 
 
Nossa sequencia ordenada é então: 15, 17, 19, 
21, 23 
Como a mediana é o termo do meio quando 
ordenados, a resposta é 19. 
 
8. Alternativa e 
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10 
9. Alternativa d 
Resolução: 
 
200×4 + 1500×10 + 4x + 8000×2 / 20 = 2290 
4800 + 15000 + 4x + 16000 = 45800 
35800 + 4x = 45800 
4x = 45800 - 35800 
4x = 10000 
x = 10000/4 
x = 2500 
 
10. Alternativa d 
 
11. Alternativa e 
12. Alternativa a 
 
13. Alternativa d 
 
14. Alternativa d 
Resolução: 
70 = 1·50 + 2·65 + 2·x 
 5 
70 = 50 + 130 + 2·x 
 5 
5·70 = 50 + 130 + 2·x 
350 = 50 + 130 + 2·x 
350 – 50 – 130 = 2·x 
350 – 180 = 2·x 
170 = 2x 
x = 170 
 2 
x = 85 
 
15. Alternativa a 
 
16. Alternativa e 
 
17. Alternativa a 
Resolução: 
B representa 25% da quantidade de dias de 
aula. 
Como o professor fez a pesquisa durante 20 
dias, temos que B = 5 
 
18. Alternativa b 
 
19. Alternativa b 
 
20. 
 
x (f) fr (%) fa Fra (%) 
141 2 10 2 10 
142 2 10 4 20 
143 1 5 5 25 
144 1 5 6 30 
145 1 5 7 35 
146 2 10 9 45 
150 2 10 11 55 
151 2 10 13 65 
152 1 5 14 70 
154 1 5 15 75 
157 1 5 16 80 
158 1 5 17 85 
159 1 5 18 90 
160 2 10 20 100 
Total 20 100%