Cálculo Aplicado

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Integral Derivada
Cálculo
MOMENTO: 
RELEMBRAR É VIVER!
Sim, eu sei derivar!
a) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇′ 𝒙 =
b) 𝒇 𝒙 = 𝟓𝟑 𝒙 ⇒ 𝒇′ 𝒙 =
c) 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙) ⇒ 𝒇′ 𝒙 =
d) 𝒇 𝒙 = 𝐭𝐠(𝒙) ⇒ 𝒇′ 𝒙 =
e) 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒏 (𝒙) ⇒ 𝒈′ 𝒙 =
f) 𝑯(𝒙) = 𝒆𝒙 ⇒ 𝑯′ 𝒙 =
𝐹(𝑥) 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)
___________________________________
Como integrar?
O que é integrar?
Processo de derivação 
(diferenciação)
Função Primitiva
Seja f(x) uma função real de uma variável.
Uma função F(x) é chamada de primitiva
de f(x) em um intervalo I, se para todo 𝑥 ∈ 𝐼,
𝐹(𝑥) 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Let’s think! Qual deve ser a função primitiva
cuja derivada é 𝑥2?
𝐹 𝑥 =? 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Processo de derivação
Introdução à Integração
Função 
Primitiva
𝐹1 𝑥 =
𝐹2 𝑥 =
𝐹3 𝑥 = 𝐹
′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝐹4 𝑥 =
...
Percebemos que uma mesma função admite
mais de uma primitiva.
Introdução à Integração
Definição:
 Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão
𝐹 𝑥 + 𝑐 (onde c é uma constante),
denomina-se integral indefinida da função
f(x).Denotada por:
Introdução à Integração
Símbolo de 
integração 
Função 
integrando 
Introdução à Integração
Podemos entender integral indefinida como
o conjunto de todas as primitivas de uma
função f(x) e representa-se:
Onde c é a constante de integração
Integração: algumas propriedades
Sejam f e g funções: 𝐼 → ℝ, K uma constante. 
Então: 
i. 𝐾𝑓׬ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐾 𝑓׬ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐾𝐹 𝑥 + 𝑐
ii. ׬ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥׬ + =𝑔(𝑥)𝑑𝑥׬
= 𝐹 𝑥 + 𝐺(𝑥) + 𝑐
1) cos(𝜃)𝑑𝜃−׬
___________________________________
5) Determine a única função 𝑦 = 𝑦(𝑥), definida
em ℝ, tal que
Introdução à Integração
Breve aplicação
6) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 𝑥 e
sabe-se que no instante t, 𝑡 ≥ 0, a velocidade
é 𝑣 𝑡 = 2𝑡 + 1 . Sabe-se, ainda, que no
instante 𝑡 = 0 a partícula encontra-se na
posição 𝑠 = 1.
Determine a posição s = 𝑠 𝑡 da partícula no
instante t.
Aplicação
7) Determine a função receita ( 𝑅(𝑥) ) de certa
empresa, sabendo que a receita marginal 𝑅’(𝑥) é:
𝑑𝑅
𝑑𝑥
= 225 − 3𝑥, onde 𝑥 é quantidade de produtos
vendidos.
Lembre-se que a receita é 𝑅 = 0 quando 𝑥 = 𝑜.
Algumas Integrais Imediatas
Sejam 𝛼 ≠ 0, 𝑐 e 𝑘 constantes reais. Das regras de derivação seguem as 
seguintes integrais:
a) ׬ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐
b)׬ 𝑥𝛼 𝑑𝑥 =
𝑥𝛼+1
𝛼+1
+ 𝑐 (𝛼 ≠ −1)
c) ׬
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐
d)׬ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐
e) ׬ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = sen(𝑥) + 𝑐
f) ׬ sen(𝑥)𝑑𝑥 = −cos(𝑥) + 𝑐
g) ׬ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = t𝑔(𝑥) + 𝑐
h)׬ sec(𝑥) . t𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = sec(𝑥) + 𝑐
i) ׬ co𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 = − cotg(𝑥) + 𝑐
j) ׬ 𝑐𝑜𝑠sec(𝑥) . 𝑐𝑜t𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠sec(𝑥) + 𝑐
k) ׬
1
1−𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sen(𝑥) + 𝑐
l) ׬
1
1+𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 tg(𝑥) + 𝑐
m)׬
1
𝑥 𝑥2−1
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 se𝑐(𝑥) + 𝑐
A partir das Imediatas...
8) 𝑥׬ 𝑥𝑑𝑥
9) ׬
(𝑥3+1)
𝑥
𝑑𝑥
10) ׬ t𝑔2(𝑥)𝑑𝑥
11) ׬
𝑥4+3𝑥−1/2+4
3 𝑥
𝑑𝑥
12) Determine uma função f tal que 
𝑓′ 𝑥 + sen𝑥 = 0 e 𝑓 0 = 2
𝑥׬(14 𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑑𝑥
׬(15 sec2(5𝑡 + 1) 𝑑𝑡
׬(16 t𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑒5𝑥𝑑𝑥׬(17
Métodos de Integração
Método da Substituição ou
Mudança de Variável
Sejam 𝑓(𝑥) e 𝐹(𝑥) duas funções tais que
𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . E 𝑔(𝑥) uma função derivável tal
que 𝐼𝑚𝑔 ⊂ 𝐷𝑓 .
Este processo assemelha-se à regra da cadeia para
derivação.
𝑢 = 𝑔 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
18) 𝑥׬
3
7 − 6𝑥2𝑑𝑥
19) ׬
3
5𝑥−1
𝑑𝑥
20) ׬ sen2(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥
21) ׬ 𝑥2− 1 3𝑥𝑑𝑥
22) ׬ 2𝑥2+ 2𝑥 − 3 10 2𝑥 + 1 𝑑𝑥
23) 𝑥2𝑒𝑥׬
3
𝑑𝑥
24) 𝑐𝑜𝑡𝑔׬ 𝜃 . 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃
Método: Mudança de Variável
Problema de Valor Inicial (PVI)
25. Uma floricultura geralmente vende um tipo de
arbusto depois de cinco anos de crescimento e
modelagem. A taxa de crescimento durante esses
cinco anos pode ser aproximada pelo modelo
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
17,6𝑡
17,6𝑡2+1
, em que t é o tempo em anos e h é a
altura em polegadas. As mudas têm seis polegadas
de altura quando são plantadas (𝑡 = 0). Determine a
função crescimento.
27) 𝑥׬ 2𝑥 + 1𝑑𝑥
28) 3𝑥5׬ 𝑥3+ 1 𝑑𝑥
29) ׬
𝑒𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
1−𝑥2
30) ׬
𝑑𝑦
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 (1+𝑦2)
Método: Mudança de Variável
Método: Integração por Partes
Suponhamos 𝑓(𝑥) e g(𝑥) definidas e deriváveis
no mesmo intervalo I. Sabe-se que:
(Regra do Produto para derivação):
𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 ′ =
(𝑥)׬(31 cos(𝑥)𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔׬(32 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑥2׬(33 sen(𝑥) 𝑑𝑥
𝑒𝑥׬(34 cos(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥׬(35 ln(𝑥) 𝑑𝑥
Método: Integração por Partes
TRIGONOMETRIA
✓ sen(𝑎) . sen(𝑏) =
1
2
cos 𝑎 − 𝑏 − cos 𝑎 + 𝑏
✓ cos(𝑎) . cos(𝑏) =
1
2
(cos 𝑎 − 𝑏 + cos (𝑎 + 𝑏))
✓ sen(𝑎) . cos(𝑏) =
1
2
(sen 𝑎 − 𝑏 + sen(𝑎 + 𝑏))
M OM EN T O: REL EMB RAR É V I V ER!
36) ׬ cos2(𝑥) 𝑑𝑥
37) ׬ 𝑒2𝑥 + 𝑒−𝑥𝑑𝑥
38) 𝑥2׬ sec2(𝑥)𝑑𝑥
39) ׬
co𝑡𝑔(𝑥)
sen(𝑥)
𝑑𝑥
40) ׬ sen(3𝑥) cos(4𝑥) 𝑑𝑥
41) ׬ 𝑒−2𝑥 sen(𝑥)𝑑𝑥
Métodos de Integração all
׬(42 sec 𝑥 𝑑𝑥 (artifício)
׬(43 sec3 𝑥 𝑑𝑥
44)sen(2𝜌)𝑒sen
2 𝜌 𝑑𝜌
Métodos de Integração all