RESUMO Calculo Integral

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Calculo Integral 
 
Aula 1.1 
 
1. A velocidade é a derivada da função posição x = x(t) em relação ao tempo t. Qual é 
a distância (em metros) que um trem-bala percorre em 4 segundos se ele parte da 
posição x = 0 m e sua velocidade for dada por v = 4t3 - 3t2 + 2t? 
 
A. 208 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Determine a função y=y(x) sabendo que dy/dx = x² + x^1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Encontre o valor de f(x² + 4x^5 – 6)dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. A rede elétrica brasileira funciona através da corrente alternada, cuja tensão 
obedece uma função trigonométrica. Supondo que a derivada da tensão pelo tempo 
seja: dV/dt = 4cos(2t) e que a tensão tinha valor nulo quando a rede elétrica foi 
ligada, encontre a função da tensão. 
 
C. V(t) = 2sen(2t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Se prendêssemos uma vareta em uma roda e colocarmos o sistema a girar, 
observaremos que a sombra que a vareta projeta no chão é uma função 
trigonométrica. Supondo que a função da velocidade da sombra seja dada por v(θ) = 
4sen(θ) e que quando θ = 0º, a posição x da vareta é x(0°) = 0, qual é a função da 
posição que satisfaça as condições iniciais? 
 
D.X(θ)=-4cos(θ)+4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 1.2 
1. Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua 
responsabilidade. Em uma dessa visitas, percebeu uma lavoura de trigo queimando 
e ele definiu a velocidade do fogo com v(t) = 3t2 + 30t + 36, com t medido em 
segundos. Qual o espaço percorrido s(t) pelo fogo, sabendo que t = 5s? 
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para 
observar o movimento da produção. Sabendo que o ponto (1,5) pertence à curva da 
equação f(x) e a sua declividade é dada por f’(x) = 3x – 4, qual a função que o 
agricultor utiliza em seus cálculos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.Uma das formas de se calcular a integral é a partir da ideia de antiderivada, ou 
seja, encontrar uma função F(x) que ao ser derivada resulta em f(x). Nessas 
condições, a função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) com x em um 
intervalo dado. Assim, marque a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s 
e o motorista visualiza uma árvore caída em seu caminho para chegar até o 
armazém. Dessa forma, o motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma 
desaceleração constante a = -9 m/s. Em que instante a velocidade do caminhão 
chegou a zero? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal 
definido pela função c’(x) = x3 + 2x2 + 4x. Nessas condições, qual função define o 
custo total, sendo que o custo fixo é R$ 2.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 1.3 
1. Dada a função f(x) = 3x + 1, qual é a sua integral? 
 
 
 
 
 
 
2 - A solução para a integral ((20 + 4X^5)/3X)dx 
 
 
3. A integral da função f(x) = 10x + 2 no intervalo [1,2] é: 
 
 
 
 
 
4. Qual das opções abaixo representa uma integral indefinida? 
 
 
 
 
 
5. Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu 
deslocamento depois de 10 segundos? 
 
AULA 2.1 
 
1. Considere f(x) = x. Calcule R(f, P, C) para a partição P de [0,5;1,5] dada por P = ｛
0,5; 1; 1,3; 1,5｝ e pontos intermediários C = {0,7; 1,2; 1,4}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Deduza a fórmula para a integral abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
3-Calcule integral definida abaixo utilizando o teorema obtido no exercício 2. 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Calcule a seguinte integral definida: 
 
 
 
 
 
 
5-Sabendo que a fórmula da integral é , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2.2 
1. O teorema fundamental do cálculo (TFC) nos diz que: 
 
 
 
2 - Usando o teorema fundamental do cálculo, qual o resultado da seguinte integral 
definida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Calcule a seguinte integral definida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcule o valor da integral de sen(t) com limites [π ,3π/2 ] usando o TFC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 - Calcule a integral de: 
 
E. 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2.3 
 
1. O objetivo da integração por partes é passar de uma integral ∫ u dv, que não se 
sabe como resolver, para uma integral ∫ v du, que se consegue calcular. De modo 
geral, escolhe-se dv primeiro, sendo a parte do integrando, incluindo dx que se sabe 
integrar de modo imediato, e u será a parte restante. 
Utilize o método de integração por partes para calcular ∫ x2ex dx e assinale a alternativa 
que contém a resposta correta: 
B. ∫ x2ex dx = x2ex − 2xex + 2ex + C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Da regra de derivação do produto de duas funções u = u(x) e v = v(x), tem-se que 
(uv)' = u'v + uv'. Integrando, tem-se u(x)v(x) = ∫ u'(x)v(x) dx + ∫ u(x)v'(x) dx, ou, ainda, ∫ 
uv' dx = uv − ∫ u'v dx, que é a fórmula de integração por partes. A fórmula recebe 
esse nome porque permite que se reduza a integração do produto uv' à integração 
do produto u'v. Por isso, é comum você se deparar com a explicação de que se está 
derivando u e integrando v’. A fórmula da integração por partes também pode ser 
expressa por ∫ u dv = uv − ∫ v du. 
Utilize o método de integração por partes para calcular ∫ x ex dx e assinale a alternativa 
que contém a resposta correta: 
A.∫ x ex dx = x ex − ex + C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Pode-se formalizar o método da substituição ao observar que se tem no 
integrando uma função composta f(u) multiplicada pela derivada da função interna, 
u'(x). A derivada surge escrita na forma da diferencial 
du = u'(x) dx, ou seja, ∫ f(u)du = ∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx. Dessa igualdade, interessam os 
dois últimos termos, que indicam como sistematizar o método da integração por 
substituição: se em um intervalo a função u(x) é diferenciável e a função composta 
f(u) é contínua, então 
∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx = ∫ f(u)du nesse intervalo. 
Utilize o método de substituição para calcular ∫ 7 ∙ (7x + 5)3 dx e assinale a alternativa 
que contém a resposta correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - A integração por substituição, também conhecida como mudança de variável, 
origina-se da regra de derivação em cadeia, resultando em 
∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C; disso, assume-se u = g(x), de tal forma que 
∫ f(g(x)) ∙ g'(x) dx = ∫ f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C, pois, por hipótese, F é primitiva de 
f. A ideia do método é procurar reduzir a função que se deseja integrar à forma ∫ 
f(g(x)) ∙ g'(x) dx, em que f seja fácil de integrar. 
Utilize o método de substituição para calcular ∫ 2x(x2 + 1)3 dx e assinale a alternativa 
que contém a resposta correta: 
 
 
 
 
 
 
5 - A integração por substituição é, basicamente, o inverso da regra da cadeia para 
derivadas. Em outras palavras, esse método ajuda na integração de funções 
compostas. Existem alguns casos bem fáceis de resolver; por exemplo, conhecida a 
derivada de x2 como 2x, então ∫ 2x dx = x2 + C. Mas também existem outros casos não 
tão triviais, quando, então, percebe-se a utilidade da integração por substituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3.1 
 
1 - Para resolver integrais envolvendo potências das funções seno e cosseno, é 
possível utilizar algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada 
função. Resolva a integral aplicando a estratégia adequada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em torno 
do eixo x, para , resolve-se a integral 
2 -* Determine o volume do sólido obtido pela rotação da função em torno do eixo x, 
para . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Uma pessoa percorre um caminho em formato parabólico, segundo a curva y=x2, 
ilustrada abaixo. 
Determine a distância percorrida pela pessoa do ponto (0,0) ao ponto (1,1),sabendo 
que o comprimento do arco dessa parábola nesses pontos é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Deseja-se construir um reservatório obtido pela rotação da função , em torno do 
eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 - Um campo elétricoE no ponto P (a, b) em uma barra carregada de comprimento L é 
dado por 
Onde é uma constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra de 
comprimento 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3.2 
1 - Para resolver integrais envolvendo divisão entre polinômios, utiliza-se o método 
da decomposição em frações parciais para simplificar o cálculo da integral. 
Sendo assim, utilize tal método para resolver a integral: 
 
 
 
 
2 - Analisando a integralpode-se concluir que seu cálculo não é de fácil resolução. 
Uma forma de simplificar o cálculo integral de funções desse tipo é realizando a 
decomposição em frações parciais. 
Resolva a integral utilizando a decomposição mencionada. 
 
 
 
 
 
 
3 - Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em 
torno do eixo x, para a ≤ x ≤ b, resolve-se a integral 
 
 
 
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da função 
 
 
Em torno do eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2. 
 
 
 
4 - Use frações parciais para calcular: 
 
 
 
 
 
5 - Um campo elétricoE no ponto P(a, b), a > 0 eb > 0, em uma barra de 
comprimento L, é dado por: 
, 
 
em que ε0 é uma constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra 
de comprimento 5. 
 
 
 
 
 
AULA 3.3 
1. Calcule a área entre as retas y = 5 e y = 2, para [a, b]. Também identifique o 
polígono cuja a área foi calculada 
 
 
2. Calcule a área entre as curvas y = x2 e y = x, no intervalo [0,2]. 
 
 
3. Calcule a área da região formada pelas curvas: x + y = 4; x – y = 0; y + 3x = 4 e diga os 
valores das coordenadas de x dos pontos de intersecção entre as curvas. 
 
 
4. Determine a área compreendida entre as curvas y = ｛ x ｝ over { 2 } e y = sqrt x. 
 
 
5 - Calcule, usando a integração em y, a área entre as curvas 
 
 
 
 
AULA 4.1 
1 - Calcule o valor da função a seguir nos pontos (1,–3) e (5,0). 
 
 
 
 
 
 
2 - Descreva o domínio e o gráfico da seguinte função: 
 
 
3 - Determine o domínio da seguinte função: 
 
 
4 - A função T(x,y,z) = x2+ y2+ z2determina a temperatura em cada ponto do espaço. 
As superfícies isotérmicas são dadas pelas equações em uma certa temperatura 
constante. 
Sendo assim, determine a equação da superfície isotérmica quando a temperatura for 
igual a 25º. 
 
5 - Determine a taxa de variação média de B até C, considerando o seguinte mapa de 
contorno: 
 
 
 
 
 
AULA 4.2 
1. Determine a massa, em kg, de uma lâmina que ocupa a região retangular R = [−1,4] 
× [2,5] e que apresenta densidade σ(x,y) = y2, medida em kg/m2. 
 
 
 
2 - Uma lâmina com densidade 
 
 
2 - medida em kg/m3, ocupa a região R retangular com 
vértices (−2,0), (3,0), (−2,5) e (3,5). O valor da massa, medida em kg, e das 
coordenadas , medidas em metros, do centro de massa são, respectivamente: 
 
 
3 - Calcule a integral tripla: 
 
 
onde E = ｛ (x,y,z) | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ z ≤ 3 ｝. 
 
 
4 - O sólido mostrado na figura a seguir tem densidade volumétrica 
 
 
medida em kg/cm3. Determine sua massa. 
 
 
5 - Calcule a integral tripla: 
 
 
 
 
onde B = [0,1] × [1,5] × [2,8]. 
 
AULA 4.3 
1 - Determine no ponto (1, -1) sabendo que f (x, y)=2x2-3y-4. 
 
 
 
2 - Encontre fx e fy considerando . 
 
 
 
 
 
3. Encontre fx, fy e fzonde f (x, y,z) = 1+xy2-2z2. 
 
 
4. Determinefxy e fyxonde f(x,y)= x+y+xy. 
 
 
5 - Encontre se a equação xy+z3x-2yz=0define zcomo função de duas variáveis 
independentes xe y. 
 
 
 
AULA 5.1 
1 - Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y)= 2xy - y3 no 
ponto P(5, 5). Ao deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar 
que ele se move em taxas de valores diferentes, dependendo da direção do 
deslocamento. Determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor. 
 
 
2 - A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, 
indica a taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função 
 f (x, y, z ) = xy + yz + zx no ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor. 
 
 
3. Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções nas 
quais é possível deslocar e determinar a taxa cuja função varia naquela direção. Mas 
existe, em um dado ponto, uma única direção na qual a função cresce mais 
rapidamente. Encontre a direção na qual a função 
f(x, y) = x2+ xy + y2 
aumenta mais rapidamente no ponto (-1, 1). Encontre a derivada direcional de f
nessa direção. 
 
 
 
4 - Dada uma função, podemos determinar a direção na qual a função apresenta a 
menor variação possível. Tal direção é unicamente determinada, juntamente com a 
taxa mínima de variação. Encontre a direção na qual a função 
 
diminui mais rapidamente no ponto (4, 1, 1). Encontre a derivada direcional de f
nessa direção. 
 
 
 
5. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a 
função T(x, y) = x3- y3+ xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais 
rapidamente no ponto (2,1). 
 
 
 
 
 
 
AULA 5.2 
1. Encontre a massa total do arame no formato de parábola y = x2, ao longo de1 ≤ x ≤ 
4, que tem densidade de massa δ = y/x. 
 
 
2 - Resolva a integral 
 
na qual C é o semicírculo centrado na origem, com raio 3 e rotação no sentido horário. 
 
3 - Resolva a integral de linha 
 
na qual C é o segmento de reta de (3,6) a (1,–1). 
 
4 - Calcule 
 
na qual C é o caminho y = x2 de x = –1 a x = 2, no sentido do aumento do valor da 
coordenada x. 
 
5. Calcule o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial F(x,y) = (x2 – 2xy)i 
+ (y2 – 2xy)j, ao percorrer o trajeto C, definido pela parábola y = x2, do ponto (–1,1) ao 
ponto (1,1), no sentido do crescimento das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
AULA 5.3 
 
1.Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = (u2 – 
v, u + v, v2). Marque a alternativa que contém o produto escalar F.n em termos dos 
parâmetros u e v. 
 
 
 
2. O componente normal de um campo vetorial F num ponto P de uma superfície 
orientada é o produto escalar F(P)⋅en(P)=||F(P)||cos(θ), onde θ é o ângulo entre F(P) e 
en(P). Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = 
(u2 – v, u + v, v2). Marque a alternativa que contém o componente normal de F à 
superfície S em P = (3,3,1) = Φ(2,1). 
 
 
3 - Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = 
(u2 – v, u + v, v2) ao longo de 
 
Marque a alternativa que contém 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma das aplicações da integral de superfície de campos vetoriais é no cálculo do 
fluxo do fluido através de uma superfície S. Considere F = < x, y, 2z > e S a porção 
da superfície z = 1 – x2 – y2 acima do plano xy, orientada com normal apontando para 
cima. Marque a alternativa que contém o fluxo do campo vetorial F através de S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 6.1 
 
1 - Use o teorema de Green para calcular ∫C x2y dx + x dy, ao longo do caminho 
triangular apresentado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Utilizando o teorema de Green, resolva a integral ∮C xy dx + x2y3 dy, na qual C é o 
triângulo da figura a seguir, com orientação positiva. 
 
 
 
 
 
3. Use o teorema de Green para resolver a integral ∮C y3 dx − x3 dy, onde C é o círculo 
de raio 2 centrado na origem e orientado positivamente. 
 
 
4 - Utilize o teorema de Green e solucione a integral ∫C x2y dx − x2 dy, na qual C é 
representado na figura a seguir: 
 
5 - Use o teorema de Green para resolver a integral ∫C (6y − 9x)dy − (xy − x3)dx, em 
que C é apresentado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 6.2 
1 - O cálculo do rotacional é um dos componentes do teorema de Stokes,sendo assim, 
você deve treinar o uso da ferramenta. 
 
Calcule o rotacional de . 
 
 
2 - O teorema de Stokes é uma forma muito utilizada para o cálculo de integral. Com 
base em seus conhecimentos, use o teorema de Stokes para calcular a integral 
referente ao campo vetorial , considerando que C seja 
a porção do paraboloidez = , apresentado na figura, com z≥0, com 
orientação para cima e que C seja o círculo, , com orientação positiva, 
que forma a fronteira de σ no plano xy. 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Utilize o teorema de Stokes para resolver Onde 
 
C é o triângulo com vértice (1, 0,0), (0,1,0) e (0,0, 1) orientado no sentido anti-
horário, apresentado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Use o teorema de Stokes para resolver 
 
 e S é a porção da esfera de raio 4 com z≥0, orientada para cima. 
 
 
5 - Utilize o teorema de Stokes para resolver , onde F =, e e S é o pedaço de , com x = 
- 2, orientada na direção negativa do eixo x. 
 
 
 
AULA 6.3 
1. As integrais triplas podem ser resolvidas usando integrais iteradas. 
Encontre a integral tripla ∭x y dV em B, em que Bé uma caixa retangular dada por B 
= ｛(x,y,z) | −2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2｝, e assinale a alternativa correta. 
 
 
2.As integrais triplas têm propriedades como, por exemplo, sobre a integral da soma. 
Encontre a integral tripla ∭(x z + y2) dV em B, em que B é uma caixa retangular dada 
por B = ｛(x,y,z) | −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1｝, e assinale a alternativa correta. 
 
 
3 - As regiões no espaço, onde será efetuada a integral tripla, podem ser do tipo I, II 
ou III. 
Dada a região Q mostrada na figura a seguir, encontre a integral tripla ∭sen (y2) 
dV em Q, e assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Além das regiões sólidas terem tipos diferentes, as projeções do sólido em algum 
plano também podem ser do tipo I ou do tipo II. 
Encontre a integral ∭(x + y + z) dV em Q, cuja região Q é definida por 0 ≤ z ≤ 1, x ≤ y 
≤ x2 e 0 ≤ x ≤ 1, e assinale a alternativa correta. 
 
 
5 - Dentre as aplicações de integrais triplas, uma delas é o cálculo de volumes. 
Diante disso, analise a figura a seguir e encontre seu volume usando integrais 
triplas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIOS 
DESAFIO 1.1 
Ao caírem da mesma altura na Terra, objetos de massas e formas distintas podem ter 
velocidades diferentes ao tocarem o chão. Isso ocorre devido à resistência do ar existente 
na superfície terrestre. 
Galileu Galilei (1564-1642) previu que, sem a presença do ar, corpos de massas diferentes 
soltos simultaneamente da mesma altura, cairiam juntos, lado a lado, sob a mesma 
aceleração. Este fato foi comprovado experimentalmente pelo astronauta David Scott, 
comandante da missão Apollo 15 (em 1971), ao deixar cair uma pena de falcão e um martelo 
de alumínio de uma altura aproximada de 1,6 m. Ambos os objetos tocaram o solo lunar no 
mesmo instante. 
Sabe-se que a aceleração de um objeto é a derivada de sua função velocidade em relação 
a variável tempo e que a aceleração gravitacional é constante na superfície da lua. 
Suponha que uma pena e um martelo sejam soltos, a certa altura, na superfície 
lunar. Usando seu conhecimento de antiderivada, como você explica o fato de o martelo e 
a pena terem a mesma função velocidade na lua? Justifique a sua resposta combinando 
as formas quantitativa (equações) e qualitativa (descrições). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 1.2 
As integrais indefinidas no cálculo matemático envolvem situações com funções em uma 
formulação mais complexa, tal que f'(x) = g(x). Esse processo poderá ser realizado em 
atividades da área da Agronomia, possibilitando resultados precisos aos agrônomos. 
Suponha que você, agrônomo, está verificando todas as propriedades da região Sul que 
estão na sua demanda. Em umas das propriedades, verificou a danificação da plantação de 
milho por lagartas. Para verificar os dados precisamente, você utilizou a expressão y’ = 4 + 
5t4 para observar a plantação danificada diariamente. Após a verificação, constatou-se que 
50.000 m2 (5 hectares) já estão danificados. 
a) Quantos metros quadrados da lavoura estarão danificados em 7 dias? 
b) Caso a proliferação esteja muito grande, que atitudes deverão ser tomadas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 1.3 
As integrais são extremamente importantes para diversos cálculos aplicados, como por 
exemplo, em situações envolvendo o centro de massa dos objetos. 
Muitas estruturas e sistemas mecânicos comportam-se como se suas massas estivessem 
concentradas em um único ponto, que é chamado de centro de massa. Saber o centro de 
massa dos projetos a serem desenvolvidos é de suma importância em determinados 
lugares, como onde ocorre terremotos com certa frequência e os prédios precisam ser 
resistentes, pois uma força externa é capaz mudar o centro de massa de lugar, provocando 
desequilíbrio de um edifício. 
Considere a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 2.1 
As integrais estão presentes em muitas áreas de conhecimento, assim como no nosso dia 
a dia. O deslocamento de uma partícula num dado intervalo de tempo, a área de uma região 
irregular, o aumento do número de bactérias ao final de um dado período são todas 
situações descritas via integral definida. 
Suponha que você está em um carrinho de montanha russa que se desloca com velocidade 
descrita no gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
O que se pode afirmar sobre sua posição nos instantes 0s e 8s? 
Lembre-se que a função posição é a antiderivada da função velocidade. Desta forma, a 
área entre a função e o eixo x, dentro do intervalo dado, representa o deslocamento do 
carrinho neste intervalo. Observe que, no intervalo de 0 a 8 segundos, a área acima do 
eixo x é igual à área abaixo deste eixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 2.2 
No ensino médio, somos aprovados em física decorando inúmeras fórmulas. Quem nunca 
ouviu falar em MRU e MRUV? Por isso, chegou a hora de virar o jogo! Você vai mostrar, 
com a ajuda do Teorema Fundamental do Cálculo, que todas aquelas fórmulas são 
deduzidas de dois princípios básicos: 
1º: Para variar-se a posição da partícula, é necessário haver velocidade (calculada pela 
derivada da função posição). 
2º: Para variar-se a velocidade, é necessário haver aceleração (calculada pela derivada da 
função velocidade). 
Dessa forma, deduza as equações da cinemática, para uma partícula em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 2.3 
 
É possível calcular a derivada de quase todas as funções usadas em problemas práticos, 
seja por meio de regras ou fórmulas específicas. Por sua vez, a integração exige métodos 
mais elaborados e apropriados para cada situação. 
Também conhecido como integração por substituição, o método de mudança de variável é 
considerado o inverso da regra da cadeia para derivadas e também tem aplicação prática. 
Como exemplo, pode-se mencionar seu uso para cálculo de preço a partir de taxa de 
variação, modelos de ajustes de preço, modelos de depreciação, receita, lucro, oferta, 
demanda, investimentos, entre outros. 
Neste Desafio, você aprofundará os conhecimentos sobre o método da integração por 
substituição a partir de um problema de demanda por sandálias. Acompanhe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediante o exposto, e partindo do pressuposto de que o gerente precisa realizar algumas 
análises para planejar melhor suas próximas compras e o valor cobrado, bem como 
acompanhar seu estoque, auxilie-o na definição dos seguintes elementos: 
a) o preço para o qual a demanda porsandálias é de 500 pares; 
b) o preço acima do qual a demanda é zero; 
c) a demanda se o preço do par de sandálias for de R$ 90,00. 
 
a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
C 
DESAFIO 3.1 
O cálculo integral pode ser aplicado na física para determinar as equações do 
movimento. Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, é possível relacionar as equações 
da posição, da velocidade e da aceleração de uma partícula. 
Neste Desafio, você vai analisar a posição de um objeto cuja fórmula recai em uma integral 
trigonométrica. 
Suponha que um objeto se mova em linha reta e sua velocidade é dada por: 
v(t) = sen t cos² t 
Onde v é dado em m/s. 
a) Determine a integral que representa a função posição s(t) desse objeto. 
b) Encontre a função posição s(t) quando s(0) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 3.2 
 
O método das frações parciais é essencial para simplificar integrais que envolvem funções 
racionais. Algumas integrais envolvendo frações apresentam certa dificuldade para serem 
resolvidas. Suas dificuldades são minimizadas quando se faz a decomposição da função 
racional em frações parciais. 
Como exemplo, pode-se citar a análise da quantidade de uma população de peixes a partir 
de sua função densidade, aplicando frações parciais. Então, imagine que você é um biólogo 
e deseja saber a população de peixes (em milhares) em um lago com formato circular com 
raio de 3 km. A função densidade de peixes é dada pela função: 
que calcula a densidade populacional de peixes em um dado raio r. Para determinar a 
quantidade de peixes no lago, é necessário resolver a integral 
 
 
 
 
 
 
A partir dessas informações: 
a) Escreva a função racional da integral como decomposição em frações parciais. 
b) Encontre a população total de peixes no lago. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 3.3 
A complexidade do projeto de arquitetura influencia diretamente no custo da obra. Essa 
complexidade pode ser classificada em simples, normal e luxo, dependendo das 
características dos materiais utilizados em sua estrutura e do acabamento da construção. 
Imagine que se deseja construir um jardim com regiões de convívio, conforme ilustra a 
figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Cada “pétala” de área verde pode ser aproximada pela região compreendida entre as 
funções y = x2 e x = y2, considerando cada unidade dos eixos correspondendo a 100m, 
como observa-se no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que o custo da grama é de R$1,50 o metro quadrado, calcule o custo da área 
verde do projeto do jardim. 
PADRÃO DE RESPOSTA ESPERADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 4.1 
A função de várias variáveis aparece como forma de modelar diversos problemas do dia a 
dia. Em uma empresa, por exemplo, é possível determinar o lucro com a venda de um 
produto, analisando os custos com a produção e a receita obtida com a venda. 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa na produção ou 
aquisição de algum produto. É possível representá-la usando a seguinte 
expressão: C = Cf+ Cv , em que Cf é o custo fixo e Cv é o custo variável. 
Já a função receita está ligada ao faturamento bruto da empresa, dependendo do número 
de vendas de determinado produto. É possível representá-la usando a seguinte 
expressão: R = pv, em que p é a quantidade de produto vendida e v é o valor de venda do 
produto. 
A partir dessa contextualização, considere o seguinte cenário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diante do exposto, resolva as seguintes questões: 
a) Determine o lucro da empresa com a produção de 150 peças por mês, sabendo que o 
custo de produção de cada peça é R$ 5,00. 
b) Considere que, em certo mês, devido ao aumento do preço dos materiais para a produção 
das peças, o custo da empresa foi de R$ 1.500,00. Sendo assim, determine qual deverá ser 
o valor de venda de cada peça a fim de manter o lucro. 
 
RESPOSTA ESPERADA 
A função lucro está relacionada ao lucro líquido da empresa em questão. Sendo assim, é 
constituída pela diferença entre a função receita e a função custo. Ainda, constata-se o 
lucro apenas se o resultado for positivo; caso ele seja negativo, houve prejuízo. 
A 
 
 
 
 
B 
 
 
 
 
 
DESAFIO 4.2 
Carregamentos externos em vigas acarretam o surgimento de três forças internas: o 
momento fletor M, a força cortante V e a força normal N, além de sujeitarem a viga a 
tensões capazes de causar diferentes tipos de deformações. 
 
 
 
 
 
 
A tensão a que a viga está sujeita, nesse caso, é chamada de tensão de flexão σ, cuja 
intensidade é determinada por: 
 
 
em que: 
* Mx é o momento fletor em relação ao eixo x; 
* c é a distância da linha neutra até a extremidade mais distante da seção transversal; 
* Jx é o momento de inércia de área calculado em relação ao eixo, cuja origem coincide com 
a posição do centroide da figura. 
As coordenadas do centroide são dadas por: 
 
Esse momento é determinado por meio da integral dupla: 
sendo medido em cm4. 
Com base nesse contexto, para resolver este Desafio, considere a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
Diante disso, determine a tensão de flexão σ de tal viga. Sua resposta será expressa 
em N/cm2. 
PADRÃO DE RESPOSTA ESPERADO 
Este Desafio envolve cálculo de estruturas estáticas. Embora a fórmula para a tensão de 
flexão seja simples, todo o processo dependerá da utilização de integrais duplas para 
determinar o centro de massa da imagem e o seu momento de inércia. Para isso, será 
necessário definir corretamente a região de integração. Veja 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 4.3 
Derivadas parciais são as derivadas de funções que dependem de mais de uma variável. O 
nome de derivadas parciais se dá pelo fato de ser preciso determinar as derivadas da 
função em relação a cada uma das variáveis. A derivada parcial de uma função em relação 
a uma das variáveis determina a taxa de variação da função em relação a essa variável. 
Utilize derivadas parciais para resolver o desafio abaixo. 
Suponha que você está analisando o clima de cidades brasileiras para um estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, calcule: 
a) A derivada de parcial de T em relação ao tempo. 
b) Determine a variação da temperatura em relação ao tempo quando t=12 horas e h=100m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A 
DESAFIO 5.1 
Em muitos problemas aplicados, é preciso determinarse uma função cresce ou decresce 
numa certa direção,a partir de um ponto especificado. A derivada direcional ajuda a fazer 
essa análise e descobrir a taxa de crescimento (ou decrescimento) da função. 
Confira o Desafio a seguir: 
A pressão P (em kPa), o volume V (em L) e a temperatura T (K) de 1 mol de gás ideal estão 
relacionados pela equação: 
PV = 8,31 T 
Determine a taxa de variação da pressão P na direção e sentido do vetor U 
 quando o volume do gás é de V = 150 L e a temperatura 
de T = 400 K. 
 
RESPOSTA ESPERADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 5.2 
As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações na área das exatas, 
como, por exemplo, em situações em que o comportamento de um campo escalar ou vetorial 
é estudado ao longo de uma curva. 
Neste Desafio, você será instigado a resolver um problema sobre o comportamento de uma 
partícula que se desloca em um componente de um motor, utilizando a integral de linha. 
Acompanhe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediante o exposto e utilizando seus conhecimentos sobre integrais de linha, encontre a 
solução do problema, resolvendo a integral dada. 
RESPOSTA ESPERADA 
Para resolver a integral dada, considerando o círculo de raio 2 (C) centrado em uma 
origem localizada em y = 4, em um primeiro momento, deve-se parametrizar a curva para, 
em seguida, realizar a integração. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 5.3 
André está cursando a disciplina de Cálculo. Nesta semana seu professor abordou as 
integraisde superfície de campos vetoriais e utilizou a seguinte expressão: 
 
 
André compreendeu que Φ(u,v) é a parametrização da superfície orientada S e que n(u,v) é 
o vetor normal, mas ficou em dúvida sobre o conceito de superfície orientada, então 
questionou seu professor: 
 
RESPOSTA ESPERADA 
Que bom seu questionamento, André! 
Orientação de superfície S é uma escolha de um vetor normal unitário em cada ponto P da 
superfície, que varia continuamente na superfície. 
Como há dois sentidos normais em cada ponto de S, uma orientação serve para especificar 
um desses dois “lados” da superfície. 
Se for trocada a orientação de S, a integral de superfície troca de sinal. No caso da integral 
de superfície escalar não nos preocupávamos com a orientação da superfície porque a 
integral envolve o comprimento ||n|| mas não o sentido de n, como mostram as expressões 
a seguir. 
Integral de Superfície Escalar 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 6.1 
No decorrer de sua vida acadêmica e profissional, você poderá se deparar com situações 
que exigem o uso de artifícios para encontrar a solução. O teorema de Green, por 
exemplo, permite resolver algumas integrais que seriam insolúveis ou extremamente difíceis 
de serem resolvidas diretamente. 
Tendo isso em vista, neste Desafio, você vai lidar com um problema aparentemente 
insolúvel, pois você não tem todas as informações necessárias para resolvê-lo 
diretamente. No entanto, poderá resolvê-lo por meio de raciocínio. 
Acompanhe: 
 
Considerando o exposto, resolva o problema, apresentando os devidos cálculos. 
RESPOSTA ESPERADA 
Não é possível calcular diretamente a integral de linha ao longo de C1 porque não há 
especificação de C1. Todavia, pela figura dada e pelo enunciado, é possível deduzir 
que ∂D = C1 − C2 e, assim, utilizar o teorema de Green. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 6.2 
Muitas vezes a solução de uma questão vem implícita no enunciado, o qual fornece um 
caminho rápido para a resposta, ou seja, nas palavras do texto. 
Considere a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 6.3 
As integrais triplas estão relacionadas a funções de três variáveis e são resolvidas usando 
integrais iteradas. Uma de suas aplicações é o cálculo de volumes. Embora diversos objetos 
tenham fórmulas definidas para se encontrar o volume, como pirâmides e cilindros, existem 
objetos não usuais. Para estes, o cálculo do volume por integrais triplas é muito útil. 
Sendo assim, acompanhe o Desafio proposto a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre o projeto apresentado, determine: 
a) os limites do objeto no espaço, ou seja, o domínio de variação das variáveis x, y e z. 
b) o volume interno do objeto. 
 
RESPOSTA ESPERADA 
Para determinar os limites do objeto no espaço, basta analisar o esboço dado. Já o seu 
volume interno deve ser calculado pela integral tripla. Veja a seguir a resolução completa: