Notas de aula sobre operadores lineares

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Operadores Lineares 104 
 
 
 Elaine Cristina Ferruzzi 
 Devanil Antonio Francisco 
19 OPERADORES LINEARES 
 
 
19.1 Definição 
Uma transformação linear de um espaço vetorial V 
em si mesmo é dito uma operação linear. 
 
Exemplo 01) 
 ( )
2 2I :
(x, y) x, y
→
→
� �
 
 
Exemplo 02) 
( )
2 2T : 
 (x, y) x, y
→
→ −
� �
 
 
 
19.2 Operadores Inversíveis 
 Seja um operador T : V V→ que a cada vetor 
v V∈ associa um vetor T(v) pertencente a V. Se 
existir um operador S: V V→ tal que S(T(v))=v, ou 
seja “S faz o caminho contrário de T”, para todo 
vetor v , então S será chamado operador inverso de T 
e será denotado por 1T− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.3 Propriedades dos Operadores Inversíveis 
Seja T: V→ V um operador linear. 
i) Se T é inversível e 1T− a sua inversa, então: 
1 1ToT T oT I− −= = 
ii) T é inversível se, e somente se, N(T)={0}. 
iii) Se T é inversível, T transforma base em base, 
isto é, se B é uma base de V, T(B) também é uma 
base de V.ase de V. 
iv) Se T é nversível e B uma base de V então T 
−1:V→V é linear e: [ ]( ) 11 BBT T
−
− 
=  
 
 
Observação: T é inversível ⇔⇔⇔⇔ det [T] ≠ 0. 
 
Exemplo 03) Seja o operador linear em 2� 
definido por: ( ) ( )T x, y 4x 3y, 2x 2y= − − + . 
 
 
a) Mostrar que T é inversível. 
b) Encontre ( )1T x, y− . 
 
Solução: 
a) [ ] [ ]4 3T det T 0
2 2
− 
= → ≠ 
− 
 
( )
( )
1 1
1
31x x2b) T x, y T
y y1 2
3
x+ y
 T x, y = , assim:2
x+2y
− −
−
       
= =                 
 
   
    
 
 
 
( )1 3T x, y x y, x 2y
2
−
 
= + + 
 
 
 
Exemplo 04) Verificar se o operador linear 
3 3T : →� � definido por: 
( ) ( )
( )
T 1,1,1 1,0,0
T( 2,1,0) 0, 1,0
T( 1, 3, 2) (0,1, 1)
=
− = −
− − − = −
 
é inversível e, em caso afirmativo, determinar 
1T (x, y,z).− 
 
Solução: 
Por definição de 1T− , temos: 
( ) ( )
( )
1
1
1
T 1,0,0 1,1,1
T 0, 1,0 ( 2,1,0)
T (0,1, 1) ( 1, 3, 2)
−
−
−
=
− = −
− = − − −
 
Temos também que ( ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 0, 1,0 , 0,1, 1− − é uma 
base de 3� e que as imagens desses vetores são 
conhecidas, o operador 1T− está definido, assim: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x, y,z x. 1,0,0 y z . 0, 1,0 z . 0,1, 1= + − − − + − − , 
aplicando 1T− em ambos os lados da igualdade e usando 
a propriedade de linearidade, temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1
T x, y,z x.T 1,0,0 y z .T 0, 1,0
 + z .T 0,1, 1
− − −
−
= + − − − +
− −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1T x, y,z x. 1,1,1 y z . 2,1,0 +
 + z . 1, 3, 2
−
= + − − −
− − − −
 
E portanto: 
( ) ( )1T x, y,z x 2y 3z,x y 2z,x 2z− = + + − + + 
 
S=T −1 
T 
V V 
v T(v)
 Operadores Lineares 105 
 
 
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 Devanil Antonio Francisco 
19.4 Mudança de Base 
Seja A e B duas bases de um espaço vetorial V. 
Queremos estabelecer qual a relação entre as 
coordenadas de um vetor na base B e na base A . 
Para facilitar a nossa compreensão estabelecemos 
esta relação para um espaço V de dimensão 3, mas o 
resultado aqui obtido pode ser generalizado para um 
espaço de dimensão n. 
Seja v um vetor pertencente a V, então v pode ser 
expresso como C.L. dos vetores da base 
{ }1 2 3A v ,v , v= e como C.L. dos vetores da base 
{ }1 2 3B w ,w ,w= . 
( )
1 1 2 2 3 3
A 1 2 3
v x v x v x v 
 ou ( equação 01)
V x ,x ,x
 = + +



=
 
 
da mesma forma podemos ter: 
 
( )
1 1 2 2 3 3
B 1 2 3
v y w y w y w
 ou ( equação 02)
V y , y , y 
 = + +



=
 
Por sua vez, como { }1 2 3v , v ,v V⊂ estes vetores 
podem ser escritos na base B. 
 
1 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 32 3
3 13 1 23 2 33 3
v a w a w a w
v a w a w a w ( equação 03)
v a w a w a w 
= + +

= + +

= + +
 
 
 
Substituindo a equação 03 na equação 01, temos: 
1 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 32 3
3 13 1 23 2 33 3
v x (a w a w a w )
 +x (a w a w a w )
 x (a w a w a w )
= + + +
+ + +
+ + +
 ou 
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
v (a x a x a x )w
 + (a x a x a x )w
 (a x a x a x )w
= + + +
+ + +
+ + +
 (equação 
04) 
 
comparando a equação 04 e a equação 02, temos: 
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
= + +

= + +

= + +
 
 
Na forma matricial: 
 
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
y a a a x
y a a a x
y a a a x
     
     
=     
          
 
A matriz 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a 
a a a
 
 
 
  
é chamada de matriz 
mudança de base de A para B. 
 
Note que o papel dessa matriz é transformar as 
componentes de um vetor v na base A em componentes 
do mesmo vetor v na base B, ou seja: [ ] [ ] [ ]AB B Av I . v= 
 
Então a matriz [ ]ABI , representa um operador que leva v 
em v para todo v V∈ , ora este é o papel do operador 
identidade. Sendo assim, simbolizamos a matriz por: 
 
[ ]
11 12 13
A
21 22 23B
31 32 33
a a a
I a a a 
a a a
 
 
=  
  
 
 
Obs.Comparando a matriz [ ]ABI com a equação 03 
observe que cada coluna é formada pelas coordenadas 
dos vetores de A em relação a B, isto é: 
[ ] [ ] [ ]
11 12 13
1 21 2 22 3 23B B B
31 32 33
a a a
v a , v a , v a
a a a
     
     
= = =     
          
 
Podemos também demonstrar que [ ] [ ]( ) 1B AA BI I −= ou 
seja , que a matriz de mudança de base de B para A, é a 
inversa da matriz mudança de base de A para B. 
 
Exemplo 05) Consideremos as seguintes bases do 2� : 
{ } { }A (1,1),(0, 1) e B (2, 3),( 3,5)= − = − − . 
 a) Determine [ ]ABI . 
 b)Utilizar a matriz [ ]ABI para calcular [ ]Bv , sendo: 
[ ]A
1
v
2
 
=  
 
 
 
Solução: 
a) Vamos expressar os vetores da base A em relação a 
base B. 
V1 = (1, 1) = a.(2,−1) + b.(−3, 5) 
V2 = (0, −1) = c.(2, −3) + d.(−3, 5) 
Assim temos: 
(1 ,1) = (2a −3b, −3a + 5b) 
(0,−1) = (2c−3d, −3c+5d) 
 
O que equivale aos sistemas: 
2a 3b 1 2c 3d 0
 e 
3a 5b 1 3c 5d 1
− = − = 
 
− + = − + = − 
 
 Operadores Lineares 106 
 
 
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 Devanil Antonio Francisco 
 
cujas soluções são: a = 8, b = 5, c = −3 e d = −2 
 
Assim, 
(1, 1) = 8.(2,−3) + 5.(−3,5) 
(0,−1) = −3.(2,−3) –2.(−3,5) 
 
Assim, temos: 
 [ ]AB
8 3
I
5 2
− 
=  
− 
 
 
 
 
 
b) [ ] [ ] [ ]AB B A
8 3 1 2
v I . v .
5 2 2 1
−     
= = =     
−     
 
 
 
19.5 Matrizes Semelhantes 
Seja T : V V→ um operador linear. Sejam A e B 
bases de V e [ ] [ ]A BT e T matrizes que 
representam o operador T nas bases A e B. As 
matrizes [ ] [ ]A BT e T são ditas semelhantes. 
 
É válido o seguinte resultado em relação a matrizes 
semelhantes , que daremos aqui sem demonstrar: 
 
 
Se [ ] [ ]A BT e T são semelhantes, então existe 
uma matriz M inversível tal que 
[ ] [ ]1B A T M T M−= . 
Onde [ ]BAM I= ( matriz mudança de base da base 
B para base A). 
 
Exemplo 06) Sejam 2 2T : →� � um operador 
linear e as bases: ( ) ( ){ }A 3,4 , 5,7= e 
( ) ( ){ }B 1,1 , 1,1= − e seja: [ ]A 2 4T 2 1
− 
=  
− 
 a matriz 
de T na base A. Calcular [ ]BT . 
 
Solução: 
Pela relação: [ ] [ ]1B AT M . T .M−= , onde M é a 
matriz-mudança de base de B para A. Assim: 
[ ]B 1AM I A .B−= = , ou seja: 
13 5 1 1 2 12
M .
4 7 1 1 1 7
−
− −     
= =     
−     
,onde: 
1
7 6
2M
1 1
2
−
 
 
=  
 
  
 
Teremos então: 
[ ] [ ]1B AT M . T .M−= 
[ ]B
7 6 2 4 2 122T . .
1 2 1 1 71
2
 
 
− −   
=      
− −     
  
 
[ ]B
5 8 2 12 2 4
T .
1 1 1 7 1 5
− −     
= =     
− −     
 
 
 
Resumindo: 
01) [ ]A 1BI B .A−= 
02) [ ]B 1AI A .B−= 
03) [ ] [ ]( ) 1A BB AI I −= 
04) [ ] [ ] [ ]A A AT(V) T . V= 
05) [ ] [ ] [ ]AB B AV I . V= 
06) [ ] [ ] [ ]AB B AT(V) I . T(v)= 
07) [ ] [ ][ ] [ ]A BB B A AT I . T . I= 
 
 
Exercícios: 
01) Dado os operadores lineares, determine 1T− : 
a) 2 2T : ,T(x, y) (3x 4y, x 2y)→ = − − +� � 
b) 3 3T : ,T(x, y,z) (x y 2z, y z,2y 3z)→ = − + − −� � 
 
02) Sejam as bases { }1 2A v , v= e { }1 2B= w , w 
2
 do ,� onde v1=( 2,−1), v2=(−1,1) e w1 = (1, 0) e 
w2 = (2, 1). Determinar a matriz de mudança de 
base de A para B. 
 
03) Sejam B = { (1,0), ( 0,1)} e C={ (1,1) , (−1,0) }, 
D={ (−1,1) , ( 2,−3) } e E={ (2,1), ( −5, −1) } base 
do 2� . Determinar as matrizes de mudança de base 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]C B D B EB C B D DI , I , I , I e I 
 
[ ]1 Bv [ ]2 Bv 
 Operadores Lineares 107 
 
 
 Elaine Cristina Ferruzzi 
 Devanil Antonio Francisco 
04) Dado os operadores lineares: 2 2T : →� � . 
Verifique quais são inversíveis e, nos casos 
afirmativos, determine uma fórmula para 1T− . 
a) 2 2T : →� � , T(x, y) = (x − 2y, −2x + 3y). 
b) 2 2T : →� � , T(x, y) = (x, −y). 
 
05) Seja o operador linear: 
( )
2 2T : 
 (x, y) 2x 9y,x 2y
→
→ + +
� �
, determine [ ]BT , 
onde ( ) ( ){ }B 3,1 , 3,1= − 
 
 
 
Respostas: 
01) 
( )
1
1
1 3
a)T (x, y) x 2y, x y
2 2
b)T (x, y,z) x y z,3y z,2y z
−
−
  
= + + 
 

= − + − −
 
02) [ ]AB
4 3
I
1 1
− 
=  
− 
 
 
03) 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
C
B
B
C
D
B
B
D
E
D
1 1
a) I 
1 0
0 1
b) I 
1 1
1 2
c) I 
1 3
3 2
d) I 
1 1
8 17
e) I
3 6
− 
=  
 
 
=  
− 
− 
=  
− 
− − 
=  
− − 
− 
=  
− 
 
 
04) ( )
( )
1
1
a) T (x, y) 3x 2y, 2x y
b) T (x, y) x, y
−
−
= − − − −
= −
 
 
05) [ ]B
5 0
T
0 1
 
=  
− 