AD2 Álgebra Linear II 2021-2 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD2 – Álgebra Linear II – 2021/2
Gabarito
AVISO: É obrigatório, nas resoluções de sistemas lineares, reduzir por linhas à forma em escada a matriz
associada ao sistema.
Questão 1 (3,1 pontos) Seja v = (2, 1, 7).
a) [1,6 pts] Determine uma base ortonormal β = {u1, u2, u3} do R3 tal que u3 tenha mesma direção
e sentido de v e u1 × u2 = u3.
b) [0,5 pt] Determine a matriz Aβ que representa na base β a rotação de π radianos, no sentido
positivo, em torno da reta ` gerada por v.
c) [1,0 pt] Determine a matriz A, que representa na base canônica a rotação de π radianos, no sentido
positivo, em torno da reta ` gerada por v.
Solução:
a) Escolhemos, primeiramente, uma base ortogonal do R3 com v3 = v = (2, 1, 7). Os dois primeiros
vetores v1 e v2 devem estar no plano Γ de equação 2x+ 1y + 7z = 0, plano normal a v passando pela
origem.
Tomamos v1 = (3, 1,−1), fazendo x = 3, y = 1 e obtendo z = −1.
Seja v2 = (a, b, c) 6= (0, 0, 0) tal que{
v2 ∈ Γ⇐⇒ 2a+ b+ 7c = 0
v2 ⊥ v1 ⇐⇒ 〈v1, v2〉 = 0⇐⇒ 〈(3, 1,−1), (a, b, c)〉 = 0⇐⇒ 3a+ b− c = 0.
Nesse caso, a matriz associada ao sistema acima é
[
2 1 7
3 1 −1
]
. Reduzindo por linhas à forma
em escada, obtemos
[
2 1 7
3 1 −1
]
L1← 12L1∼
[
1 12
7
2
3 1 −1
]
L2←L2−3L1∼
[
1 12
7
2
0 −12 −
23
2
]
L2←− 12L2∼
[
1 12
7
2
0 1 23
]
L1←L1− 12L2∼
[
1 0 −8
0 1 23
]
Assim, a− 8c = 0 e b+ 23c = 0.
Logo, v2 = (8c,−23c, c), c ∈ R. Fazemos c = 1 e escolhemos v2 = (8,−23, 1). Temos que
v1 × v2 = det
 −→i −→j −→k3 1 −1
8 −23 1
 = (−22)−→i − (11)−→j + (−77)−→k = (−22,−11,−77) = (−11)v3
tem mesma direção e sentido contrário de v3. Para ter mesmo sentido, basta considerar, v2 =
(8c,−23c, c), c ∈ R com c = −1 e assim para v2 = (−8, 23,−1). temos que
v1 × v2 = det
 −→i −→j −→k3 1 −1
−8 23 −1
 = (22)−→i − (−11)−→j + (77)−→k = (22, 11, 77) = (11)v3
tem mesma direção e sentido de v3.
1
Logo, {v1, v2, v3} é uma base ortogonal orientada positivamente (vale a regra da mão direita, isto
é v1 × v2 = 2v3). Normalizando esses vetores, obtemos que
β =
{
u1 =
v1
‖v1‖ =
(
3√
11
, 1√
11
,− 1√
11
)
, u2 =
v2
‖v2‖ =
(
− 8
3
√
66
, 23
3
√
66
,− 1
3
√
66
)
, u3 =
v3
‖v3‖ =
(
2
3
√
6
, 1
3
√
6
, 7
3
√
6
)}
é uma base ortonormal do R3 com u3 = u1 × u2 e u3 tendo mesma direção e sentido de v = v3.
Note que, neste caso, também podeŕıamos ter usado uma das bases ortogonais orientadas positi-
vamente, {−v1,−v2, v3} ou {v2,−v1, v3} ou {−v2, v1, v3} para obtermos uma base ortonormal com a
propriedade pedida.
b)
Aβ =
 cosπ − senπ 0senπ cosπ 0
0 0 1

︸ ︷︷ ︸
=
 −1 0 00 −1 0
0 0 1
 .
c) A = AβP
−1, onde P é a matriz de mudança de base, da base β para a base canônica, é dada por
P =
[
u1 u2 u3
]
=

3√
11
− 8
3
√
66
2
3
√
6
1√
11
23
3
√
66
1
3
√
6
− 1√
11
− 1
3
√
66
7
3
√
6

e P−1 = P t (P é matriz ortogonal). Logo,
A =

3√
11
− 8
3
√
66
2
3
√
6
1√
11
23
3
√
66
1
3
√
6
− 1√
11
− 1
3
√
66
7
3
√
6

 −1 0 00 −1 0
0 0 1


3√
11
1√
11
− 1√
11
− 8
3
√
66
23
3
√
66
− 1
3
√
66
2
3
√
6
1
3
√
6
7
3
√
6

=

3√
11
− 8
3
√
66
2
3
√
6
1√
11
23
3
√
66
1
3
√
6
− 1√
11
− 1
3
√
66
7
3
√
6


− 3√
11
− 1√
11
1√
11
8
3
√
66
− 23
3
√
66
1
3
√
66
2
3
√
6
1
3
√
6
7
3
√
6

=

−2327
2
27
14
27
2
27 −
26
27
7
27
14
27
7
27
22
27
 .
Questão 2 (2,4 pontos) Seja Π o plano gerado por u = (3,−4, 1) v = (3, 2,−1). Considere o
operador linear S reflexão com respeito ao plano Π.
a) [1,0 pts] Dê exemplo de uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de S, indicando os
seus autovalores.
b) [0,6 pt] Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza S e a sua correspondente matriz
diagonal D.
c) [0,8 pt] Determine a matriz A que representa S na base canônica do R3.
2
Solução:
a) Como u, v ∈ Π, então S(u) = u e S(v) = v, logo u e v são autovetores de S associados ao autovalor
1.
Temos que u ⊥ v, pois 〈u, v〉 = 〈(3,−4, 1), (3, 2,−1)〉 = 3 · 3 + (−4) · 2 + 1 · (−1) = 0.
Seja w = u× v = det
 −→i −→j −→k3 −4 1
3 2 −1
 = (2)−→i − (−6)−→j + (18)−→k = (2)(1, 3, 9).
Como w ⊥ Π, então S(w) = −w = (−1) · w, logo w é autovetor de S associado ao autovalor −1.
Portanto, {u, v, w} é uma base ortogonal do R3 formada por autovetores de S. Normalizando esses
vetores, obtemos que
α =
{
u1 =
u
‖u‖ =
(
3√
26
,− 4√
26
, 1√
26
)
, u2 =
v
‖v‖ =
(
3√
14
, 2√
14
,− 1√
14
,
)
, u3 =
w
‖w‖ =
(
1√
91
, 3√
91
, 9√
91
)}
é uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de S associados, respectivamente, aos autova-
lores λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = −1.
b) Seja α = {u1, u2, u3} a base de autovetores de S obtida no item (a).
Uma matriz ortogonal P que diagonaliza S é a matriz de mudança de base, da base ortonormal α
para a base canônica, dada por P =
[
u1 u2 u3
]
=

3√
26
3√
14
1√
91
− 4√
26
2√
14
3√
91
1√
26
− 1√
14
9√
91

.
Sua correspondente matriz diagonal é D =
 λ1 0 00 λ2 0
0 0 λ3
 =
 1 0 00 1 0
0 0 −1
.
c) P−1 = P t, pois P é matriz ortogonal e
A = PDP−1 = PDP t
=

3√
26
3√
14
1√
91
− 4√
26
2√
14
3√
91
1√
26
− 1√
14
9√
91


1 0 0
0 1 0
0 0 −1


3√
26
− 4√
26
1√
26
3√
14
2√
14
− 1√
14
1√
91
3√
91
9√
91

=

3√
26
3√
14
1√
91
− 4√
26
2√
14
3√
91
1√
26
− 1√
14
9√
91


3√
26
− 4√
26
1√
26
3√
14
2√
14
− 1√
14
− 1√
91
− 3√
91
− 9√
91

=

89
91 −
6
91 −
18
91
− 691
73
91 −
54
91
−1891 −
54
91 −
71
91
 .
Questão 3 (2,7 pontos) Sejam a, b, c números reais e consideremos o operador linear definido por
T (x, y, z) =
(
2√
38
x+ a y + 1√
3
z, 5√
38
x+ b y − 1√
3
z, 3√
38
x+ c y + 1√
3
z
)
.
3
a) [0,3 pt] Determine a matriz de T na base canônica.
b) [2,0 pts] Determine os números reais a, b, c para que T seja um operador ortogonal.
c) [0,4 pt] Quantos operadores ortogonais há? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) Como T (1, 0, 0) =
(
2√
38
, 5√
38
, 3√
38
)
, T (0, 1, 0) = (a, b, c) e T (0, 0, 1) =
(
1√
3
,− 1√
3
, 1√
3
)
, então
A =

2√
38
a 1√
3
5√
38
b − 1√
3
3√
38
c 1√
3
 .
b) T é um operador ortogonal se, e somente se, as colunas (ou linhas) da matriz A são unitárias e
ortogonais. Note que 438 +
25
38 +
9
38 =
38
38 = 1 ,
1
3 +
1
3 +
1
3 =
3
3 = 1 e
2√
114
− 5√
114
+ 3√
114
= 0. Logo,
2√
38
a+ 5√
38
b+ 3√
38
c = 0
1√
3
a− 1√
3
b+ 1√
3
c = 0 e
a2 + b2 + c2 = 1, (?)
Primeiramente, vamos resolver o sistema linear homogêneo
{
2√
38
a+ 5√
38
b+ 3√
38
c = 0
1√
3
a− 1√
3
b+ 1√
3
c = 0 e
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:
[
1√
3
− 1√
3
1√
3
2√
38
5√
38
3√
38
] L1 ← √3L1
L2 ←
√
38L2∼
[
1 −1 1
2 5 3
]
L2←L2−2L1∼
[
1 −1 1
0 7 1
]
L2← 17 L2∼
[
1 −1 1
0 1 17
]
L1←L1+L2∼
[
1 0 87
0 1 17
]
Logo,
a+
8
7
c = 0 e b+
1
7
c = 0 ⇒ a = −8
7
c e b = −1
7
c.
Substituindo em (?), obtemos
1 = a2 + b2 + c2 =
64
49
c2 +
1
49
c2 + c2 =
114
49
c2 ⇒ c2 = 49
114
⇒ c = ± 7√
114
.
Então
a =
8√
114
, b =
1√
114
e c = − 7√
114
ou a = − 8√
114
, b = − 1√
114
e c =
7√
114
.
c) Há dois operadores ortogonais, pois há duas possibilidades de matrizes ortogonais
A =

2√
38
a 1√
3
5√
38
b − 1√
3
3√
38
c 1√
3
 .
4

2√
38
8√
114
1√
3
5√
38
1√
114
− 1√
3
3√
38
− 7√
114
1√
3

ou

2√
38
− 8√
114
1√
3
5√
38
− 1√
114
− 1√
3
3√
38
7√
114
1√
3

.
Questão 4 (1,8 pontos) Seja Π o plano gerado por u = (4, 1, 2) e v = (−1, 2, 1). Considere o
operador linear T projeção ortogonal sobre o plano Π.
a) [1,0 pt] Dê exemplo de uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de T , indicando os
autovalores.
b) [0,8 pt]Determine T (x, y, z).
Solução:
a) Como u, v ∈ Π, então T (u) = u e T (v) = v, logo u e v são autovetores de T associados ao autovalor
1. Temos que u ⊥ v, pois 〈u, v〉 = 〈(4, 1, 2), (−1, 2, 1)〉 = 4 · (−1) + 1 · (2) + 2 · 1 = 0.
Seja w = u× v = det
 −→i −→j −→k4 1 2
−1 2 1
 = (−3)−→i − (6)−→j + (9)−→k = (−3) (1, 2,−3).
Como w ⊥ Π, então T (w) = (0, 0, 0) = (0) · w, logo w é autovetor de T associado ao autovalor 0.
Portanto, {u, v, w} é uma base ortogonal do R3 formada por autovetores de T . Normalizando esses
vetores, obtemos que
α =
{
u1 =
u
‖u‖ =
(
4√
21
, 1√
21
, 2√
21
)
, u2 =
v
‖v‖ =
(
− 1√
6
, 2√
6
, 1√
6
,
)
, u3 =
w
‖w‖ =
(
1√
14
, 2√
14
,− 3√
14
)}
é uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de T associados, respectivamente, aos autova-
lores λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 0.
b) Seja α = {u1, u2, u3} a base de autovetores de T obtida no item (a). Seja v = (x, y, z). Temos que
v = 〈v, u1〉u1 + 〈v, u2〉u2 + 〈v, u3〉u3
Como T (u1) = u1, T (u2) = u2 e T (u3) = (0, 0, 0). Segue que
T (v) = 〈v, u1〉T (u1) + 〈v, u2〉T (u2) + 〈v, u3〉T (u3) = 〈v, u1〉u1 + 〈v, u2〉u2
Logo
T (x, y, z) = T (v) = 〈v, u1〉u1 + 〈v, u2〉u2
= 〈(x, y, z),
(
4√
21
, 1√
21
, 2√
21
)
〉
(
4√
21
, 1√
21
, 2√
21
)
+ 〈(x, y, z),
(
− 1√
6
, 2√
6
, 1√
6
)
〉
(
− 1√
6
, 2√
6
, 1√
6
)
= 4x+y+2z√
21
(
4√
21
, 1√
21
, 2√
21
)
+ −x+2y+z√
6
(
− 1√
6
, 2√
6
, 1√
6
)
=
(
16x+4y+8z
21 ,
4x+y+2z
21 ,
8x+2y+4z
21
)
+
(
x−2y−z
6 ,
−2x+4y+2z
6 ,
−x+2y+z
6
)
=
(
96x+24y+48z+21x−42y−21z
126 ,
24x+6y+12z−42x+84y+42z
126 ,
48x+12y+24z−21x+42y+21z
126
)
Logo,
T (x, y, z) =
(
117x− 18y + 27z
126
,
−18x+ 90y + 54z
126
,
27x+ 54y + 45z
126
)
.
5