Apostila Estatistica Parte 2

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ESTATÍSTICA 
CURSO: PROCESSAMENTO DE DADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao escrever esta Apostila não pretendi outra coisa, senão 
proporcionar aos alunos da disciplina ESTATÍSTICA, a facilidade 
de dispor de notas de aulas dos temas do Programa da Disciplina. 
 
O acompanhamento das aulas e a pesquisa em Bibliografia sobre o assunto, 
tornam-se necessárias para o adequado aproveitamento do curso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. OSNI PAULA LEITE 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
1.0 DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA ......................................................................... 1 
1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATÍSTICA?......................................................... 1 
1.2 A NATUREZA DOS DADOS ........................................................................ 1 
1.3 TIPOS DE DADOS ....................................................................................... 2 
1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS .................................................................... 3 
1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS ..................................................... 4 
EXERCÍCIOS: E-1...................................................................................................... 5 
 
2.0 AMOSTRAGEM ................................................................................................... 6 
2.1 DEFINIÇÕES................................................................................................ 6 
2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA BASEADA EM NÚMEROS ALEATÓRIOS 
(RANDÔMICOS) ................................................................................................ 8 
2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM...................................................... 9 
2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NÃO PROBABILÍSTICA) ................ 9 
2.5 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA ........................................................... 10 
2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA............................................................... 10 
2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA ......................................................... 11 
2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO............................................. 11 
RESUMO.......................................................................................................... 11 
EXERCICIOS: E-2.................................................................................................... 13 
 
3.0 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS........................................................... 14 
 
4.0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ................................................................... 15 
 
5.0 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ............... 19 
 
6.0 APRESENTAÇÃO GRÁFICA ............................................................................ 20 
6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS................................................................... 20 
6.2 DIAGRAMA DE BARRAS........................................................................... 21 
6.3 DIAGRAMA DE CÍRCULOS ....................................................................... 22 
6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES ................................................ 23 
6.5 DIAGRAMA LINEAR .................................................................................. 25 
 
 
6.6 O PICTOGRAMA ................................................................................................ 26 
 
7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ........................... 27 
7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS................................. 31 
7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS ............ 32 
7.3 POLIGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA OU OGIVA........................ 33 
7.4 POLIGONO DA FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA ........................ 34 
 
8.0 TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO ................................................................................ 35 
8.1 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA OU EM FORMA DE SINO ........................... 35 
8.2 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA................................................................. 36 
8.3 DISTRIBUIÇÃO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL ............. 37 
8.4 APRESENTAÇÃO TIPO RAMO-E-FOLHAS .............................................. 38 
 
9.0 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL ............................... 40 
9.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ................................................................. 40 
9.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA.......................................................... 41 
9.3 MEDIANA (x̃) .............................................................................................. 41 
9.4 MODA ( xˆ ) ............................................................................................... 43 
 
10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSÃO).............................................. 44 
10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.) ...................................................................... 44 
10.2 DESVIO PADRÃO.................................................................................... 45 
10.2.1 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (S) ....................................................... 45 
10.2.2 DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO (σ) ............................................... 46 
10.2.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DESVIO PADRÃO.......................... 46 
10.2.4 SISTEMATIZAÇÃO PARA O CÁLCULO................................................ 47 
10.3 VARIÂNCIA .............................................................................................. 48 
 
11.0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL .............................................................................. 49 
EXERCÍCIOS: E-3.................................................................................................... 55 
 
12.0 PROBABILIDADE............................................................................................ 56 
12.1 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS......................................................... 57 
12.2 TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE................................................... 58 
 
 
 12.3 A MATEMÁTICA DA PROBABILIDADE ................................................... 59 
EXERCÍCIOS: E-4.................................................................................................... 62 
 
13.0 TECNICAS DE CONTAGEM ........................................................................... 63 
13.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAÇÃO........................................................ 64 
13.2 PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO. ....................................... 65 
13.3 REGRAS DE CONTAGEM....................................................................... 68 
EXERCÍCIOS: E-5.................................................................................................... 69 
 
14.0 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES......................................................... 70 
14.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ...................................................................... 72 
EXERCICIOS: E-6.................................................................................................... 76 
 
14.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON......................................................................... 77 
EXERCICIOS: E-7.................................................................................................... 79 
 
15.0 CORRELAÇÃO................................................................................................ 80 
15.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 80 
15.2 RELAÇÃO FUNCIONAL E RELAÇÃO ESTATÍSTICA ............................. 80 
15.3 DIAGRAMA DE DISPERSÃO................................................................... 81 
15.4 CORRELAÇÃO LINEAR..........................................................................82 
15.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR........................................... 85 
15.6 CUDADOS COM OS ERROS COM A INTERPLETAÇÃO DE 
CORRELAÇÃO ................................................................................................ 87 
EXERCICIOS: E-8.................................................................................................... 88 
 
16.0 REGRESSÃO LINEAR .................................................................................... 91 
16.1 AJUSTAMENTO DE CURVAS ................................................................. 91 
16.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ................................................ 92 
16.3 ANÁLISE DE REGRESSÃO..................................................................... 95 
EXERCÍCIOS E-9......................................................................................................98
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ESTATÍSTICA 
 
1.0 DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 
Etimologicamente a palavra estatística vem de “status” expressão latina que 
significa, ”sensu lato”, o estudo do estado. Os primeiros a empregarem esse termo 
foram os Alemães seguidos pela Itália, França, Inglaterra e ainda por outros paises. 
 
Para Levasseur a estatística é : “O estudo numérico dos fatos sociais”. 
 
Yule define estatística como: “Dados quantitativos afetados marcadamente por uma 
multiplicidade de causas”. 
 
Uma definição mais usual nos dias de hoje seria: “Um método cientifico que permite 
a análise, em bases probabilística, de dados coligados e condensados” 
 
Ou ainda podemos dizer que é: “A coleta, o processamento, a interpretação e a 
apresentação de dados numéricos que pertencem ao domínio da estatística” 
 
1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATÍSTICA? 
 
Por hora podemos dizer que o raciocínio estatístico é largamente utilizado no 
governo e na administração; assim, é possível que, no futuro, um empregador venha 
a contratar ou promover um profissional por causa do seu conhecimento de 
estatística. 
 
1.2 A NATUREZA DOS DADOS 
 
O dados estatísticos constituem a matéria prima das pesquisas estatísticas, eles 
surgem quando se fazem mensurações ou se restringem observações. 
Estatística descritiva: Trata-se da descrição e resumo dos dados. 
 
2 
 
Probabilidade: É um estudo que envolve o acaso. 
 
Interferência: É a analise e interpretação de dados amostrais (Amostragem). 
 
Modelo: São versões simplificadas (Abstrações) de algum problema ou situação 
real. 
 
1.3 TIPOS DE DADOS 
 
 Quantitativos Contínuos 
 Discretos 
 
 Qualitativos Nominais 
 Por postos 
 
As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Os 
dados referentes a tais variáveis dizem-se dados contínuos. Ex. Peso, comprimento, 
espessura onde usa-se a mensuração. 
 
As variáveis discretas assumem valores inteiros de dados discretos são os 
resultados da contagem de números de itens. Ex. alunos da sala de aula, número de 
defeitos num carro novo, acidentes de uma fábrica. 
 
Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o número de 
observações pertencentes a cada categoria. Ex.: atuam dentro das variáveis 
“Qualitativas” as quais devemos associar a valores numéricos para que possamos 
processar estatisticamente. Ex.: cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos), sexo 
(masculino e feminino), desempenho (excelente, bom, sofrível, mau) etc. 
 
Os dados por postos consistem de valores relativos atribuídos para denotar ordem: 
primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Ex.: concurso de beleza se classificam em 
1ª,2ª,3ª colocadas. 
 
 
3 
 
TABELA: 1 A mesma população pode originar diferentes tipos de dados. 
 
 TIPOS DE DADOS 
POPULAÇÕES CONTÍNUOS DISCRETOS NOMINAIS POR POSTO 
Alunos de administração idade/peso N. De classes Homens/Mulheres 3º grau 
 
 
1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS 
 
Os levantamentos podem ser classificados em contínuos, periódicos e ocasionais: 
 
CONTÍNUO: Quando os eventos vão sendo registrados à medida que 
ocorrem.Exemplos os registros civis dos fatos vitais (nascimento, óbitos e 
casamentos). 
 
PERIÓDICOS: Acontecem ciclicamente. Exemplo é o rescenceamento, feito no 
Brasil a cada dez anos. 
 
OCASIONAIS: São aqueles realizados sem a preocupação de continuidade ou 
periodicidade preestabelecidas, exemplos a maioria dos trabalhos de investigação 
cientifica. 
 
DADOS PRIMÁRIOS: Quando o investigador não encontra dados publicados 
adequados ao seu estudo, parte para a realização de um inquérito, isto é, os dados 
são levantados diretamente na população no momento da investigação. 
 
DADOS SECUNDÁRIOS: Quando o investigador para verificar as sua hipóteses de 
trabalho utiliza- se de dados já existentes, arquivados, registrados ou publicados. 
Podem ser até mesmo dados gerados pelo Departamento de Estatísticas de 
Populações da Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). 
 
4 
 
1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 
 
1. Definição do problema: Um Estudo ou Uma Análise 
 
2. Formular plano para coleta de dados adequados 
 
3. Coligir os dados 
 
4. Analisar e interpretar os dados 
 
5. Relatar as conclusões 
 
5 
 
EXERCÍCIOS: E-1 
 
1- Identifique os seguintes exemplos em termos de tipos de dados: 
 
a- 17 gramas 
 
b- 3 certos, 2 errados 
 
c- 25 segundos 
 
d- 25 alunos na classe 
 
e- tamanho de camisa 
 
f- Km/litro 
 
g- O mais aprazível 
 
h- O mais lento 
 
i- 5 acidentes no mês de maio 
 
2- Responder as perguntas: 
 
a- Defina o termo Estatística. 
 
b- Responder a pergunta: Por que estudar estatística? 
 
c- Dar exemplos de como um administrador pode se beneficiar do conhecimento 
de Estatística? 
6 
 
2.0 AMOSTRAGEM 
 
AMOSTRAGEM VERSUS SENSO: Uma amostra usualmente envolve o estudo de 
uma parcela dos ítens de uma população, enquanto que o censo requer o estudo 
de todos os ítens. 
Restrições ao Censo: 
- Custo 
- Populações infinitas 
- Dificuldade nos critérios (Precisão) 
- Produtos de testes Destrutivos (fósforos, munições) 
- Tempo despendido (atualização) 
- Tipos de informações mais restritivas 
 
Casos de excessão: 
- Populações pequenas 
- Amostras grandes em relação a população 
- Se exige precisão completa 
- Se já são disponíveis informações completas 
 
2.1 DEFINIÇÕES 
 
POPULAÇÃO: é o conjunto de indivíduos (ou objetos), que tem pelo menos uma 
variável comum observável. 
AMOSTRA: é qualquer sub-conjunto da população extraída para se realizar estudos 
estatísticos 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 POPULAÇÃO 
 
 
AMOSTRA 
7 
 
A estatística indutiva é a ciência que busca tirar conclusões probabilísticas 
sobre a população, com base em resultados verificados em amostras retiradas 
dessa população. 
 
Entretanto não basta que saibamos descrever convenientemente os dados da 
amostra para que possamos executar, com êxito, um trabalho estatístico 
completo. Antes de tudo é preciso garantir que a amostra ou amostras que serão 
utilizadas sejam obtidas por processos adequados. 
- O que é necessário garantir, em suma, é que a amostra seja “Representativa” da 
população. 
 
Dois aspectos nas amostras são fundamentais, e que dão a sua representatividade 
em termos: 
 
- Qualitativos: Amostras que representem todas as sub-populações, quando for o 
caso. 
 
- Quantitativos: Que possua quantidade de dados suficientes para representara 
População. 
 
Na indústria onde amostras são freqüentemente retiradas para efeito de Controle da 
Qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragem são 
mais simples de resolver. 
 
Por outro lado, em pesquisas sociais, econômicas ou de opinião, a 
complexibilidade dos problemas de amostragem são normalmente bastante grandes. 
 
- Interferência estatística envolve a formulação de certos julgamentos sobre um 
todo após examinar apenas uma parte, ou a amostra, dele. 
 
A probabilidade e a amostragem estão estreitamente correlacionadas e juntas 
formam o fundamento da teoria de interferência. 
 
- Amostragem é o ato de retirar amostra, isto é, a ação. 
8 
 
- Amostra é a quantidade de dados especificado para representar a população. 
 
Amostragem aleatória permite estimar o valor do erro possível, isto é, dizer “quão 
próxima” está à amostra da população, em termos de representatividade. 
 
Amostragem não aleatória não apresenta esta característica. 
Há vários métodos para extrair uma amostra talvez o mais importante seja a 
amostragem aleatória de modo geral, a amostragem aleatória exige que cada 
elemento tenha a mesma oportunidade de ser incluído na amostra. 
 
Nas Populações discretas uma amostra aleatória é aquela em que cada item da 
população tem a mesma chance de ser incluído na amostra. 
Nas Populações contínuas, uma amostra aleatória é aquela em que a 
probabilidade de incluir na amostra qualquer intervalo de valores é igual à 
percentagem da população que está naquele intervalo. 
 
Populações finitas: é quando, temos constituído por números finitos, ou fixos de 
elementos, medidas ou observações. 
Ex.: Peso bruto de 3000 latas de tinta de um certo lote de produção. 
 
Populações infinitas: são aquelas que contém, pelo menos hipoteticamente, um 
número infinito de elementos. 
Ex. Produção de carros V.W. produzidos no Brasil e a serem produzidos (universo 
volkswagem), processo probabilístico. 
 
2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA BASEADA EM NÚMEROS 
ALEATÓRIOS (RANDÔMICOS) 
 
As tabelas de números aleatórios contém os dez algarismos 0,1,2,3,4,......,9. Esses 
números podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos em qualquer 
ordem. A probabilidade de qualquer algarismo aparecer em qualquer ponto é 1/10. 
Portanto todas as combinações são igualmente prováveis. 
9 
 
Conceitualmente, poderíamos construir uma tabela de números aleatórios 
numerando dez bolinhas com os algarismos de 0 a 9 , colocando-as numa urna, 
misturando bem e extraindo uma de cada vez, com reposição, anotando os valores 
obtidos. 
 
A titulo de ilustração poderíamos querer selecionar aleatoriamente 15 clientes de 
uma lista de 830 de um grande magazine, a finalidade poderia ser : 
Estimar a freqüência de compras; 
Determinar o valor médio de cada compra; 
Registrar as queixas contra o sistema. 
 
2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM 
 
Amostragem probabilística versus Amostragem não probabilística 
 
Os planos de amostragem probabilística são delineados de tal modo que se 
conhece a probabilidade de todas as combinações amostrais possíveis. Em razão 
disso, pode-se determinar a quantidade de variável amostral numa amostra 
aleatória e uma estimativa do erro amostral. A amostragem aleatória é um exemplo 
da amostragem probabilística. 
 
A amostragem não probabilística é a amostragem subjetiva, ou por julgamento, 
onde a variabilidade amostral não pode ser estabelecida com precisão, 
conseqüentemente, não é possível nenhuma estimativa do erro amostral. 
 
A verdade é que, sempre que possível, deve-se usar a amostragem probabilística. 
 
2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NÃO PROBABILÍSTICA) 
 
Se o tamanho da amostra é bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a amostragem 
aleatória pode dar resultados totalmente não representativos, ao passo que uma 
pessoa familiarizada com a população pode especificar quais os itens mais 
representativos da população. 
10 
 
Exemplo: Uma equipe médica deve trabalhar com pacientes que se apresentem 
com voluntários para testar um novo medicamento. Nenhum desses grupos podem 
ser considerados como uma amostra aleatória do público em geral, e seria 
perigoso tentar tirar conclusões gerais com base em tal estudo. Todavia, os 
resultados poderiam proporcionar uma base para a elaboração de um plano de 
amostragem aleatório para validar os resultados básicos. Os perigos inerentes à 
pesquisa médica , bem como outro tipo de pesquisa, freqüentemente obrigam a 
limitar a pesquisa inicial a um pequeno grupo de voluntários. 
 
Exemplo: A aplicação de hormônios em mulheres na menopausa, após um período 
de tempo notou-se o aumento das chances de adquirirem câncer de mama, doenças 
cardíacas etc. 
 
2.5 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA 
 
SISTEMÁTICA 
ESTRATIFICADA 
CONGLOMERADO 
 
2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
 
É muito parecida com a amostragem aleatória simples. Podemos ter uma 
amostragem realmente aleatória, escolhendo-se cada K-ésima amostra, onde K 
obtem-se dividindo o tamanho da população pelo tamanho da amostra. 
 
K= N onde: N= Tamanho da População 
 n n= Tamanho da Amostra 
 
EX. N= 200 e n=10 então K=200/10 = 20 
 
Significa que será escolhido um item a cada seqüência de 20 de uma lista. Para 
iniciar pode-se usar uma tabela de números aleatórios de 0 a 9 para iniciar os 
grupos. Por exemplo se der o 9, escolhemos o 9º, 29º, 39º ,49º , etc. 
11 
 
2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
 
Pressupõe a divisão da população em sub-grupos Homogêneos (Estratos), 
procedendo então a amostragem de cada sub-grupo. Ex.: Para se fazer o inventário 
do estoque, é comum termos 10% dos itens representarem cerca de 60% do valor 
total em quanto que os 90% restantes representam só 40% do valor total (Curva 
A,B,C; Pareto; regra 80/20). 
 
2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO 
 
Pressupõe a disposição dos itens de uma população em sub-grupos heterogêneos 
(sub-populações) representativos da população global. Neste caso cada 
conglomerado pode ser encarado como uma minipopulação. 
Ex.: Estudo pré-eleitoral para medir a preferência dos eleitores. (Sub-grupos: sexo, 
educação, faixa etária, poder aquisitivo, região da habitação,etc). 
 
RESUMO 
 
A finalidade da amostra é permitir fazer interferência sobre a população após 
inspeção de apenas parte dela. Fatores com custo, ensaios destrutivos e 
populações infinitas, tornam a amostragem preferível a um estudo completo 
(Censo) da população. 
 
Naturalmente espera-se que a amostra seja representativa da população da qual foi 
extraída. 
 
Potencialmente, este objetivo é atingido quando a amostragem é aleatória. 
 
Para populações discretas o termo “Aleatório” significa que cada item da 
população tem a mesma chance de participar na amostra. 
 
No caso de populações contínuas, significa que a probabilidade de incluir qualquer 
valor de um dado intervalo de valores é igual à proporção com valores naquele 
intervalo. 
12 
 
As amostras aleatórias podem ser obtidas: 
 
 - Através de um processo de mistura, com o embaralhamento de cartas; 
 
 - Pela utilização de um processo mecânico (Misturadores); 
 
 - Utilizando-se uma tabela de números aleatórios para proceder à seleção de uma 
lista. 
 
Em certas condições, podem ser mais eficientes variantes da amostragem aleatória 
simples, tais como amostragem sistemática (periódica), estratificada (sub-grupos 
Homogêneos), ou amostragem por aglomerados (sub-grupos convenientes e 
heterogêneos). 
 
A principal vantagem da amostragem aleatória é quese pode determinar o grau de 
variabilidade amostral, o que é essencial na interferência estatística. À 
amostragem não probabilística falta esta característica. 
 
13 
 
EXERCICIOS: E-2 
 
QUESTÕES PARA RECAPITULAÇÃO 
 
1- Em que circunstância é a amostragem preferível a um censo completo? 
 
2- Quando se deve preferir um censo a uma amostragem? 
 
3- Defina “Amostra Aleatória”. 
 
4- Descreva os vários métodos de obtenção de uma amostra aleatória. Como 
escolher o método a ser usado em determinada situação? 
 
5- Explique rapidamente as características: 
 
a. da amostragem por conglomerado; 
b. da amostragem estratificada; 
c. da amostragem sistemática. 
 
7- Que è amostragem por julgamento e em que circunstância deve ser usada? 
 
8- Que é amostragem probabilística e quando deve ser usada? 
 
9- Explique o significado de “Amostra Aleatória” quando a população è: 
 
 a. contínua b. Discreta 
 
 
 
14 
 
3.0 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS 
 
Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se vê às voltas com o problema de 
analisar e entender uma massa de dados, relevantes ao seu particular objeto de 
estudos. 
 
De modo geral, podemos dizer que a essência da ciência é a observação e que seu 
objetivo básico é a interferência. Esta é à parte da metodologia da ciência que tem 
por objetivos a coleta, redução, análise e modelagem dos dados, a partir do que, 
finalmente, faz-se a interferência para uma população, da qual os dados 
(amostras) foram obtidos. 
 
 
15 
 
4.0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
Para cada tipo de variável existem técnicas mais apropriadas para resumir as 
informações. Porem podemos usar algumas técnicas empregadas num caso, 
podemos adaptá-las para outros. 
 
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer a 
distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da mesma. 
 
 
Exemplo 1: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionários de uma população 
de 2000 funcionários da empresa Milsa. Ver resultados anotados na tabela abaixo. 
 
16 
 
TABELA 1 
Nº ESTADO GRAU DE Nº DE SALÁRIO IDADE REGIÃO DE 
 CIVIL INSTRUÇÃO FILHOS (X SAL. MIN) ANOS MESES PROCEDÊNCIA 
1 solteiro 1º grau --- 4 26 03 interior 
2 casado 1º grau 1 4,56 32 10 capital 
3 casado 1º grau 2 5,25 36 05 capital 
4 solteiro 2º grau --- 5,73 20 10 outro 
5 solteiro 1º grau --- 6,26 40 07 outro 
6 casado 1º grau 0 6,66 28 00 interior 
7 solteiro 1º grau --- 6,86 41 00 interior 
8 solteiro 1º grau --- 7,39 43 04 capital 
9 casado 2º grau 1 7,59 34 10 capital 
10 solteiro 2º grau --- 7,44 23 06 outro 
11 casado 2º grau 2 8,12 33 06 interior 
12 solteiro 1º grau --- 8,46 27 11 capital 
13 solteiro 2º grau --- 8,74 37 05 outro 
14 casado 1º grau 3 8,95 44 02 outro 
15 casado 2º grau 0 9,13 30 05 interior 
16 solteiro 2º grau --- 9,35 38 08 outro 
17 casado 2º grau 1 9,77 31 07 capital 
18 casado 1º grau 2 9,8 39 07 outro 
19 solteiro superior --- 10,53 25 08 interior 
20 solteiro 2º grau --- 10,76 37 04 interior 
21 casado 2º grau 1 11,06 30 09 outro 
22 solteiro 2º grau --- 11,59 34 02 capital 
23 solteiro 1º grau --- 12,OO 41 00 outro 
24 casado superior 0 12,79 26 01 outro 
25 casado 2º grau 2 13,23 32 05 interior 
26 casado 2º grau 2 13,6 35 00 outro 
27 solteiro 1º grau --- 13,85 46 07 outro 
28 casado 2º grau 0 14,69 29 08 interior 
29 casado 2º grau 5 14,71 40 06 interior 
30 casado 2º grau 2 15,99 35 10 capital 
31 solteiro superior --- 16,22 31 05 outro 
32 casado 2º grau 1 16,61 36 04 interior 
33 casado superior 3 17,26 43 07 capital 
34 solteiro superior --- 18,75 33 07 capital 
35 casado 2º grau 2 19,4O 48 11 capital 
36 casado superior 3 23,3O 42 02 interior 
17 
 
Exemplo 2: Freqüência e percentagem da amostra de 36 empregados da 
empresa Milsa segundo o grau de instrução. 
 
TABELA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Freqüência e percentagem dos 2000 empregados (População) da 
empresa Milsa (Censo x Probabilidade) 
 
TABELA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Freqüência e percentagens dos 36 empregados (Amostra) da empresa 
Milsa. 
 
GRAU DE TABULAÇÃO FRQÚÊNCIA FREQ. RELATIVA 
INSTRUÇÃO F FR % 
 
1º grau I I I I I I I I I I I I 12 33,33 
 
2º grau I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 50,OO 
 
superior I I I I I I 6 16,67 
 
TOTAL 36 100 
GRAU DE FRQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA FREQ. RELATIVA 
INSTRUÇÃO F FR % Censo FR % Provável 
 
1º grau 650 32,50 33,33 
 
2º grau 1020 51,00 50,OO 
 
superior 330 15,50 16,67 
 
TOTAL 2000 100 100 
18 
 
TABELA 4 
CLASSE DE SALÁRIOS FRQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA 
 F FR % 
 
4 I------- 8 10 27,78 
 
8 I------- 12 12 33,33 
 
12 I------- 16 8 22.22 
 
16 I------- 20 5 13,89 
 
20 I------- 24 1 2,78 
 
TOTAL 36 100 
 
Exemplo 5: Freqüências e percentagem dos empregados da empresa Milsa, 
segundo Nº de filhos. 
 
TABELA 5 
NÚMERO DE FILHOS FREQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA 
 Xi F FR % 
 
0 4 20 
 
1 5 25 
 
2 7 35 
 
3 3 15 
 
5 1 5 
 
TOTAL 20 100 
 
EXERCÍCIO - Representar a distribuicao de frequencia para Idade e a Regiao de 
procedencia dos funcionarios da Empresa Milsa. 
19 
 
5.0 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS 
QUANTITATIVAS 
 
A representação gráfica da distribuição de freqüências de uma variável tem a 
vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma. 
Podemos optar por vários tipos de gráficos, porem qualquer que seja ele, devemos 
especificar os elementos essenciais para a sua interpretação, que são: 
- o título; 
- o corpo; 
- o cabeçario; 
- as colunas indicadoras. 
TÍTULO é a indicação que, precedendo a tabela, é colocado na parte superior da 
mesma. Deve ser preciso, claro e conciso, indicando a natureza dos fatos estudados 
(o que), e a época (quando) em que o mesmo foi observado. 
CORPO da tabela é o conjunto de linhas e colunas que contem respectivamente, 
as séries Horizontais e verticais de informações. Casa, cela ou célula é o 
cruzamento de uma linha com uma coluna, onde se tem a freqüência com que a 
categoria (ou categorias) aparecem. 
CABEÇARIO é à parte da tabela em que é designada a natureza (as categorias, 
as modalidades da variável) do conteúdo de cada coluna. 
COLUNA INDICADORA é à parte da tabela em que é designada a natureza (as 
categorias, as modalidades da variável) do conteúdo de cada linha. 
Os elementos complementares de uma tabela são: 
- Fontes; 
- Notas. 
FONTE é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável pela sua 
organização ou fornecedora dos dados primários. A razão da presença da fonte não 
é somente honestidade cientifica, mas também permitir ao leitor a possibilidade de 
consultar o trabalho original de onde procedemas informações. 
NOTAS são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral. 
E são numeradas, podendo-se também usar símbolos gráficos, sendo comum o 
asterisco. 
20 
 
6.0 APRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
A apresentação gráfica dos dados e respectivos resultados de sua análise pode 
também ser feita sob forma de figuras, em geral gráficos ou diagramas. 
 
Gráficos devem ser auto-explicativos e de fácil compreensão, de preferência sem 
comentários inseridos.Devem ser simples, atrair a atenção do leitor e inspirar 
confiança. 
6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS 
 
Para sua construção é traçada uma reta horizontal (ou vertical) de sustentação; a 
partir de pontos eqüidistantes na reta, traça-se perpendiculares cujos 
comprimentos sejam proporcionais às freqüências. 
 
freqüências 
 
 
 
12 
 
 
 
10 
 
 
 
8 
 
 
 
6 
 
 
 
4 
 
 
 
2 
 
 
 
0 
 
 
 4 I------- 8 8 I-------12 12 I-------16 16 I-------20 20 I-------24 
 Salários 
21 
 
6.2 DIAGRAMA DE BARRAS 
 
A mesma distribuição acima poderia ser representada por meio de diagrama que 
levasse em conta a magnitude da área da figura geométrica, já que a vista 
repousa melhor sobre uma superfície do que sobre uma linha. 
 
 
 
 
freqüências 
 
 
12 
 
 
 
10 
 
 
 
8 
 
 
 
6 
 
 
 
4 
 
 
 
2 
 
 
 
0 
 
 
 
 4 I-------8 8 I-------12 12 I-------16 16 I------- 20 20 I-------24 
 Salários 
 
22 
 
6.3 DIAGRAMA DE CÍRCULOS 
 
Alem do retângulo, outra figura geométrica utilizada é o círculo ou conjunto de 
círculos. Lembrando que a área do círculo é o produto do número irracional π = 
(3,1416) pelo quadrado do raio (r), isto é, C= π.r ² , e desde que as áreas dos 
diversos círculos devem ser proporcionais às magnitudes das freqüências, isto é, C 
= α. f onde α é o fator de proporcionalidade, segue-se que: 
 
α . f = π. r ² , ou seja, r = √ α .f Se chamar √ α de α`, tem-se : 
 π π 
 
portanto, os raios dos círculos devem ser proporcionais a raiz quadrada das 
freqüências das modalidades da variável. 
Assim se quisermos representar graficamente a distribuição da tabela 1.4, os raios 
do círculo deverão ser: 
 
r1 = √ 27,78 . α`= 5,27 . α`→ 5,27. 3 = 15.8 mm 
 
r2 = √ 33,33 . α`= 5.77 . α`→ 5,77. 3 = 17,3 mm 
 
r3 = √ 22.22. α`= 4,71. α`→ 4,71. 3 = 14,1 mm 
 
r4 = √13,89 . α`= 3.72. α`→ 3,72. 3 = 11,1 mm 
 
r5 = √ 2,78 . α` = 1,66 α`→ 1,66. 3 = 5,00 mm 
 
A figura abaixo representa esta distribuição, com um α` adotado de 3 mm. 
 
 
 
 
2,7
% 
 
 22,22 
% 
 
 27,78 
% 
 
 33,33 
% 
13,89 
% 
r = α`.√ f 
23 
 
6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES 
 
Outra opção seria através de setores circulares, na qual se divide a área total de um 
círculo em subáreas (setores) proporcionais as freqüências. 
Lembrando que o círculo compreende setores cujas áreas (S) são produto do raio (r) 
pelo tamanho do arco (a), isto é, S = r.a, e com S deve ser proporcional a freqüência 
f, tem-se S= α.f , onde α é o fator de proporcionalidade; então: 
 
 α .f = r. a 
 
a = α . f 
 r 
Se chamarmos α de α`, tem-se S = α`. f , isto é, os arcos e os respectivos 
 r 
ângulos centrais de um círculo é igual a 360°, e sendo F a freqüência total, tem-se 
 
360° = α`. F 
 
ou seja: α`= 360° Portanto a = 360°. f 
 F F 
 
 
Assim, a distribuição de freqüência da tabela 4 representando faixas de salários fica: 
 
a1 = 360° x 27,78 = 100° 
 100 
 
a2 = 360° x 33,33 = 120° 
 100 
 
a3 = 360° x 22,22 = 80° 
 100 
 
a4 = 360° x 13,89 = 50° 
 100 
 
S5 = 360° x 2,78 = 10° 
 100 
24 
 
Diagrama de Setores Circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
Diagrama de Setores Circular feito automaticamente pelo excel 
 
28%
33%
22%
14%
3%
 
 
120° 
 
 50° 
 
 
 
 
 
 100° 80° 
10° 
25 
 
6.5 DIAGRAMA LINEAR 
 
 No diagrama linear deve-se plotar os pontos nos eixos como foi feito no diagrama de 
barras e em seguida unir esses pontos por semi-retas contituindo-se desta forma o 
diagrama linear. 
 
 freqüências 
 
 
12
 
 x 
 
 
 
10 x 
 
 
 x 
8 
 
 
 
6 
 
 x 
 
4 
 
 
 
2 
 
 x 
 
0 
 
 
 4 I-------8 8 I-------12 2 12 I-------16 16 I------- 20 20 I------- 24 
 salários 
 
26 
 
6.6 O PICTOGRAMA 
 
A figura abaixo mostra um exemplo de apresentação pictográfica de dados temporais 
(comumente encontrada em jornais, revistas e relatórios de vários tipos), no caso abaixo 
representa a população dos Estados Unidos. 
 
 
 
 
 
 
1920 
 
1930 
 
1940 
 
1950 
 
1960 
 
1970 
 
1980 
 
1990 
 
 
 
 
Cada símbolo = 10 milhões de pessoas 
 
Pictograma da população dos Estados Unidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
A análise estatística de dados relativos a uma amostra de uma população, requer uma 
aglutinação organizada de informações, conforme regras cuja prática demonstrou serem 
eficientes. 
Consideremos uma relação de pesos de pacotes de manteiga, em gramas, de uma 
amostra de 100 pacotes extraídos parcialmente de um processo automático de 
empacotamento. 
A especificação de fabricação é 215 ±15 gramas (200 a 230 gramas) 
 
TABELA 6 
 
AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO 
1 207 21 220 41 210 61 210 81 217 
2 213 22 204 42 214 62 220 82 211 
3 210 23 213 43 219 63 213 83 213 
4 21524 211 44 215 64 217 84 218 
5 201 25 214 45 217 65 214 85 213 
6 210 26 217 46 213 66 219 86 216 
7 212 27 224 47 218 67 214 87 218 
8 204 28 211 48 214 68 215 88 216 
9 209 29 220 49 215 69 223 89 206 
10 212 30 209 50 212 70 217 90 212 
11 215 31 214 51 221 71 213 91 207 
12 216 32 208 52 211 72 218 92 213 
13 221 33 217 53 218 73 207 93 215 
14 219 34 214 54 205 74 210 94 212 
15 222 35 209 55 220 75 208 95 223 
16 225 36 212 56 203 76 214 96 210 
17 215 37 208 57 216 77 211 97 226 
18 218 38 215 58 222 78 205 98 224 
19 213 39 211 59 206 79 215 99 214 
20 216 40 216 60 221 80 207 100 215 
O agrupamento destes dados em sub-grupos é feito com base nos seguintes conceitos: 
 
28 
 
Amplitude total (R.T.): é a diferença entre a medida máxima e a medida mínima. No 
caso da amostra de pacotes de manteiga acima, temos: 
R.T. = 226 – 201 = 25 gramas 
Número de classes (d) : é o número de divisões que estipulamos para a Amplitude Total. 
Normalmente pode-se usar d =̃ √ n onde n= número de itens na amostra para o 
exercício temos d =̃ √ 100 → 10 classes, porem deve-se utilizar sempre que possível 
número impar de classes no caso 9 classes. 
 
Classe: é o intervalo de variação das medidas. 
 
Amplitude do intervalo de classe (R.I.): é a diferença entre os valores máximos e 
mínimos de cada classe. 
Amplitude intervalo de cada classe R.I . = R.T 
 Número de Classes 
No caso do exercício temos: 
 
Amplitude intervalo de cada classe R.I . = 25 = 2,7 aprox. 3 
 7 
RI adotado = 3 RT adotado = 27 diferenca 2 comeca uma antes do menor e termina 
um antes do maior valor. 
 
As classes devem ser mutuamente exclusivas, para que não haja duvida na localização 
dos valores das variáveis, podemos dai utilizar as seguintes simbologias para os 
intervalos: 
 
0 ----I 10 intervalo aberto & fechado, para significar que o intervalo compreende os 
valores da variável maiores do que 0 (excluído) e até 10 (inclusive); 
 
0 I---- 10 intervalo fechado & aberto, para significar que compreende os valores da 
variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (exclusive); 
0 ----- 10 Intervalo aberto & aberto, para significar que compreende valores maiores do 
que 0 e menores do que 10. 
 
29 
 
0 I----I 10 intervalo fechado & fechado, para significar que compreende os valores da 
variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (inclusive). 
 
TABELA de DISTRIBUIÇÃO das FREQÜÊNCIAS 
 
Para a facilidade e metodização do processo de análise estatística, monta-se um tabela 
que agrupe as informações obtidas, de forma de Tabela de Freqüências. Para os pacotes 
em pauta, teremos a seguinte tabela de freqüências: 
 
TABELA 7 
 
VALOR COMPRIMENTO FREQ. FREQUENCIA FREQUENCIA FREQUENCIA 
CLASSE CLASSE TABULAÇÃO F RELATIVA % ACUM. ACUM. REL.% 
 
1 200 ---I 203 I I 2 2 2 2 
 
2 203 ---I 206 I I I I I I 6 6 8 8 
 
3 206 ---I 209 I I I I I I I I I I 10 10 18 18 
 
4 209 ---I 212 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 36 36 
 
5 212 ---I 215 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 28 28 64 64 
 
6 215 ---I 218 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 82 82 
 
7 218 ---I 221 I I I I I I I I I I 10 10 92 92 
 
8 221 ---I 224 I I I I I I 6 6 98 98 
 
9 224 ---I 227 I I 2 2 100 100 
 
 
 
 
 ∑ 100 100% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Onde: 
 
Freqüência (F) = é o numero de vezes que as medidas ocorrem no intervalo de classes 
 
Freqüência relativa (FR) = é a percentagem da freqüência de cada classe em relação ao 
total de elementos. 
 FR = F d x 100 
 N 
 
Freqüência acumulada (FA) = é a soma das freqüências até o intervalo de classe 
considerado. 
 
Ex. Fa5 = F1+ F2 + F3 + F3 + F5 → 2+ 6+ 10+ 18+ 28 = 64 
 
Freqüência acumulada relativa (FAR) = é a soma das freqüências relativas até o 
intervalo considerado 
 
Far3 = Fr1 + Fr2 + Fr3 → 2 + 6 + 10 = 18 
31 
 
7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS 
 
 
 
 freqüências 
 
28
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLIGONO DE 
FREQÜÊNCIAS 
32 
 
7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS 
 
 
 
% 
28%
 
 
 
 
 
 
 
 
21% 
 
 
 
 
 
 
14% 
 
 
 
 
 
 
7% 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES 
 
 
 
 
 
POLIGONO DE 
FREQÜÊNCIA 
RELATIVA 
33 
 
7.3 POLIGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA OU OGIVA 
 
 
 
 F.AC. 
 
100 
 
 
 
 
 
80 
 
 
 
 
 
60 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
01 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLIGONO DE 
FREQÜÊNCIAS 
ACUMULADA 
34 
 
7.4 POLIGONO DA FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA 
 
 
% 
 
F.AC 
REL. 
 
100 % 
 
 
 
 
 
80 % 
 
 
 
 
 
60 % 
 
 
 
 
 
40 % 
 
 
 
 
 
 
 
20 % 
 
 
 
 
 
0 %1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLIGONO DE 
FREQÜÊNCIAS 
ACUMULADA 
RELATIVA 
35 
 
8.0 TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO 
 
As distribuições de freqüência podem se apresentar de diversas formas conforme as 
figuras a seguir: 
 
8.1 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA OU EM FORMA DE SINO 
 
A distribuição é simétrica quando os valores se distribuem igualmente em torno da média 
(X) 
 
A) Normal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B) Alongada36 
 
C) Achatada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.2 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA 
 
É aquela em que as freqüências dos valores medidos, se distribuem de forma desigual 
em torno da média. 
 
A) Assimétrica Positiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 B) Assimétrica Negativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.3 DISTRIBUIÇÃO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL 
 
Chamamos de moda numa distribuição, ao valor da medida ou classe que corresponde à 
freqüência máxima. Sob o critério da moda as distribuições classificam-se em: 
 
A) DISTRIBUIÇÃO MODAL – Quando a distribuição tem freqüência máxima ela è 
denominada modal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mo 
 
B) DISTRIBUIÇÃO AMODAL – Quando a distribuição não tem moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
C) DISTRIBUIÇÃO BIMODAL – Quando a distribuição tem duas modas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mo mo 
 
D) DISTRIBUIÇÃO MULTIMODAL – Quando a distribuição tem mais de duas modas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mo mo mo 
 
8.4 APRESENTAÇÃO TIPO RAMO-E-FOLHAS 
 
Uma alternativa para o uso da tabela de distribuição de freqüências é usar o gráfico do 
tipo ramo-e-folhas. 
Podermos estudar a partir de um exemplo prático: 
Observamos os seguintes números de passageiros em 50 viagens de um avião que faz 
ponte aérea Rio - São Paulo: 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
61 52 64 84 35 57 58 95 82 64 
 
50 53 103 40 62 77 78 66 60 41 
 
58 92 51 64 71 75 89 37 54 67 
 
59 79 80 73 49 71 97 62 68 53 
 
43 80 75 70 45 91 50 64 56 86 
 
SOLUÇÃO: 
 F F.A. 
3 5 7 2 2 
 
4 0 1 3 5 9 5 7 
 
5 0 0 1 2 3 3 4 6 7 8 8 9 12 19 
 
6 0 1 2 2 4 4 4 4 6 7 8 11 30 
 
7 0 1 1 3 5 5 7 8 9 9 39 
 
8 0 0 2 4 6 9 6 45 
 
9 1 2 5 7 4 49 
 
10 3 1 50 
 
 
 
A MEDIANA NESTE CASO SERÁ X̃ = 64 
 
 
 
 
40 
 
9.0 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Como o próprio nome indica, a medida de tendência central visa a determinar o centro da 
distribuição. Esta determinação, porem, não é bem definida daí parece razoável 
chamarmos de “tendência central”. 
 
São medidas de tendência central: 
 
 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES/PONDERADA; 
 
 MEDIANA; 
 
 MODA. 
 
 
9.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 
Dada uma distribuição de freqüências, chama-se de média aritmética desta destituição, e 
representa-se por a soma de todos os valores da variável, dividida pelo número de 
variáveis “n”. 
 
 = Σx 
 n 
 n 
Sendo: Σx 
 i= 1 
 
 
Exemplo: Calcular a média aritmética simples de 8, 3, 5, 12, 10. 
 
 
 = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7,6 
 5 5 
 
41 
 
9.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
 K 
 Σ xi .fi 
 i= 1 
 = 
 K 
 Σx fi 
 i= 1 
 
 
onde: f = freqüência dos números x = números 
 
Exemplo: Calcular a média ponderada dos números 5, 8, 6, 2 os quais ocorrem com as 
freqüências 3, 2, 4 e 1, respectivamente 
 
Números x = 5, 8, 6, 2 
Freqüências f = 3, 4, 2, 1 
 
 = 3x5 + 4x8 + 2x6 + 1x2 = 57 = 5,7 
 3+4+2+1 10 
 
9.3 MEDIANA (x̃) 
 
Se ordenarmos uma seqüência de números do menor para o maior e se a quantidade 
desses números for impar, então a mediana será o valor do meio, ou a média dos dois 
valores do meio caso a quantidade de números seja par. 
 
O símbolo que usamos para representar a mediana é x̃ lê-se “x til”. 
No caso de calculo da mediana quando estamos trabalhando com distribuição de 
freqüência determinamos o valor mais provável dessa distribuição a partir de: 
 
x̃ = Freqüência acumulada total = FA (para números pares) 
2 2 
 
42 
 
Ou ainda A posição DA MEDIANA é definida por { n+1 } -ésimo elemento quando ”n” 
é 2 
é í̃mpar temos um número inteiro e dá a posiçã́o da mediana; 
 
Exemplo: Determine a posição da mediana para a) n=15 b) n=45 c)n=88 
 
a) n+1 = 15+1 = 8, e a mediana é o valor do 8° elemento; 
 2 2 
b) n+1 = 45+1 = 23, e a mediana é o valor do 23° elemento; 
2 2 
c) n = 88 = 44 e a mediana é o valor correspondente ao valor do 44°elemento. 
 2 2 
 
No caso do exercício da distribuição dos 100 valores de peso de pacotes de manteiga 
temos: 
 
X = n = 100 = 50, e a mediana é o valor do 50° elemento 
 2 2 
 
 
 
 
 
 
 
FA 0 2 8 18 36 64 82 92 98 100
X 200 203 206 209 212 215 218 221 224 227
 
 50° 
 
 
 
 
(64 – 36) (215 – 212) 
(64 – 50) Δ 
 
 
36 64
212 215
 50° 
 valor 
43 
 
Δ = 14 x 3 = 1,5 
 28 
portanto a mediana será 212 + Δ logo, X = 212 + 1,5 = 213,5 
 
9.4 MODA ( xˆ ) 
 
Em um conjunto de números a moda é o valor que ocorre com maior freqüência, isto é, o 
valor mais comum. 
Exemplos: 
1) 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10 
 moda=8 
2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
 moda = Ф (não existemoda) 
3) 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9 
 moda = 4 e 8 
 
Para o exemplo do exercício das distribuições de freqüências dos pacotes de 
manteiga temos que a moda é o ponto médio da classe modal, localiza-se a classe 
modal como sendo a classe com maior freqüência e em seguida determina-se seu 
ponto médio. 
 
Classe modal é a 5° classe, portanto moda = 212 + 215 = 213,5 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSÃO) 
 
As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos uns 
dos outros, ou separados. Podemos dizer que dispersão é o grau com o qual os 
valores numéricos de uma distribuição tendem a se distanciar em torno de um valor 
médio. 
 
Em todos os casos, o valor zero indica ausência de dispersão; a dispersão aumenta 
à proporção que aumenta o valor da medida (amplitude,desvio-padrao, variância). 
 
 
 xx x x x x xxx xxx xx x x 
 
 a) pequena dispersão 
 
xx x x xxx x x x x x x x x xx x x xxx x x x xx x x x x xx 
 
 b) grande dispersão 
 
 
10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.) 
 
É a medida mais simples de dispersão. É a diferença entre o maior e o menor valor 
das observações. 
 
R.T. = Xmax – Xmin 
Embora exista simplicidade de cálculo, existem duas restrições ao seu generalizado: 
 
1- Utiliza apenas uma parcela das informações contidas nas observações. O seu 
valor não se modifica mesmo que os valores das observações variem, desde que 
conservem os seus valores Máximo e mínimo. 
 
2- Depende do número de observações na amostra. Em geral o valor da amplitude 
cresce quando cresce o tamanho da amostra. 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X min.I I x max. 
R.T. = pequeno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X min. I I X max. 
 R.T. = Grande 
 
10.2 DESVIO PADRÃO 
 
É à medida que determina a variação dos valores observados em torno da média da 
distribuição, e representa a distância do ponto de inflexão da curva até a linha da média. 
 
10.2.1 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (S) 
 
O desvio padrão da amostra representa a dispersão da amostra e é dada pela equação: 
 
 
 S = (X1- )² + (X2- )² + (X3- )² + ..... +(Xn- )² 
 n 
 
46 
 
 Onde: Xi = Medidas individuais 
 S = Σ ( Xi - ) ² 
 n n = Número de elementos ou 
 valores 
 
 
10.2.2 DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO (σ) 
 
O desvio padrão da população representa a o grau de dispersão da população em torno 
da média é representado por σ, também representa a distância do ponto de inflexão, e é 
dado pela expressão: 
 
 
 σ = (X1- )² + (X2- )² + (X3- )² + ..... +(Xn- )² 
 n - 1 
 
 
 σ = Σ ( Xi - ) ² 
 n - 1 
 
10.2.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DESVIO PADRÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 σ 
 
 
 
 
 
 
 
 +σ 
47 
 
10.2.4 SISTEMATIZAÇÃO PARA O CÁLCULO 
 
Para sistematizar o cálculo do desvio padrão de uma amostra é utilizado o seguinte 
procedimento: 
 
1- Calcular o valor da média; 
2- Montar a tabela abaixo 
 
 
observações Xi 
 
 Xi - 
 
 (Xi - )² 
medidas 
 
1 X1 X1 - (X1 - )² 
2 X2 X2 - (X2 - )² 
3 X3 X3 - (X3 - )² 
. . . . 
. . . . 
. . . . 
n Xn Xn - ( Xn - )² 
 
 Σ (Xi- )² 
 
 
3-Aplicam-se as fórmulas: 
 
 
 S = Σ ( Xi - ) ² 
 n 
 
 
 
 σ = Σ ( Xi - ) ² 
 n - 1 
 
48 
 
10.3 VARIÂNCIA 
 
Variância da população é a soma dos quadrados dos desvios de cada observação em 
relação à média de “x”, divide-se por n – 1. Indica-se a Variância da População por σ² . 
Podemos fazer a mesma analogia com a Variância da Amostra dada por S². 
 
Fórmula da variância da Amostra 
 n 
 Σ ( Xi - ) ² 
 S ² = i = 1 
 n 
 
Fórmula da variância da População 
 
 n 
 Σ ( Xi - ) ² 
 σ ² = i = 1 onde n – 1 = número de graus de liberdade 
 n - 1 
 
Como medida de dispersão, a Variância tem a desvantagem de apresentar unidade de 
medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados estão em 
metros, a Variância fica em metros quadrados. 
O desvio padrão por sua vez, fica com valor na mesma da unidade da variável. 
 
49 
 
11.0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
(ou de GAUSS, ou de LAPLACE, ou ainda, dos ERROS DAS OBSERVAÇÕES) 
 
É uma distribuição contínua e simétrica, cujo gráfico tem a forma de um sino. A 
distribuição normal é o resultado da atuação conjunta de causas aleatórias. 
 
 
 
Parâmetros da Distribuição Normal 
 
 µ → Média da População 
 Determinam o formato da curva 
 σ → Desvio padrão da população 
 
Equação da Função de Probabilidade – A equação da função de probabilidade é dada 
pela expressão: 
 - ( x - µ )² 
 2 σ² 
 f(x) = 1 e 
 σ√ 2π 
 
Do estudo de estatística concluímos que: 
 
- a variável x pode assumir qualquer valor real no intervalo - ∞< x < +∞ 
 F (x) 
 
 
 
 
 σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x- 3σ 
 
x- 2σ x- 1σ 
 
 x +1σ 
 
x+ 2σ 
 
 x+ 3σ 
 
50 
 
- a variável x obedecerá a uma Distribuição Normal, se a probabilidade de que um valor 
x seja menor ou igual a outro xo for:- ( x - µ )² 
 x0 2 σ² 
 P( x < x0 ) = f(x0) = 1 e dx 
 σ√ 2π - ∞ 
 
- a integral da expressão representa a área compreendida entre - ∞ e xo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- ∞ + ∞ 
 
 
Portanto: 
 
“ A probabilidade de ocorrência de um valor menor ou igual à área abaixo da curva, entre 
os valores - ∞ e xo” . 
Os valores π = 3,1416 e e ( número neperiano) = 2,718 são constantes numéricas. 
 
CARACTERISTICAS DA CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
A curva normal obedece necessariamente às seguintes características: 
 
a- A média µ é o valor da variável x para o qual a f(x) é máxima. 
 
 F (x) 
 
 
 
 
 σ 
 
 
 
 
 
 
 
 X0 
 
51 
 
b- O desvio Padrão σ, é a distância entre a média e o ponto de inflexão da curva. 
 
c- A área total sob a curva normal é igual a 1, pela própria equação da probabilidade. 
 
d- Em virtude da simetria as áreas à direita e à esquerda do valor µ são iguais 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA 
 
Se tomarmos a equação auxiliar: 
 
Z = X - µ 
 σ 
o que significa adotar como origem dos z o ponto em que x = µ e como unidade de 
escalados z e o desvio padrão σ, teremos transformado a expressão da função das 
probabilidades na distribuição normal reduzida: 
 
 - z² 
 2 
f(z)= 1 e 
 σ√ 2π 
 
 
Considerando, a partir da equação auxiliar: 
 
dz = 1 
dx σ 
dx = σ. dz 
 
Portanto a função da probabilidade, em função de Z, será dada pela expressão: 
52 
 
 - z² 
 z 2 
f(z)= 1 e dz 
 σ√ 2π - ∞ 
 
As áreas sob a curva permanecem as mesmas, mas agora podem ser tabuladas em 
função dos valores de Z (Ver figura abaixo, eixo dos Z). Basta construir a tábua das áreas 
para os valores I(z), na tábua 1. 
 
Por exemplo, a área desde Z=0, até Z= 1,0 é I(1,0) = 0,3413 ou 34,13% da área total da 
curva; conseqüentemente, dentro do intervalo ± 1 σ temos 68,26% da área total da curva. 
 
Se procurarmos a probabilidade de encontrarmos um valor de “x” dentro do intervalo 
µ ± 0,95 onde é a media, σ é o desvio padrão da população, teremos: 
 
P(- Z0 < Z < Z0) = P (µ – 0,95 σ < Z < µ + 0,95 σ) 
Iz1 = 0,3289 It= 0,6578 ou 65,78%. 
 
Apresentamos na tabela abaixo alguns dos mais importantes intervalos de distribuição 
normal para aplicações em exercícios de probabilidade na curva normal. 
 
TÁBUAS DE ÁREAS DA CURVA NORMAL 
 
A partir da equação auxiliar Z = X - µ podemos transformar valores de x em 
 σ 
valores de z e em seguida construir uma tabela com resultados das integrais, que 
corresponde à área sob a curva xo intervalo de 0 a Z0 identificada por Iz0. 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 Z 
 
Transformação de X em Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F (x) 
 
 
 
 σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x- 3σ 
 
x- 2σ x- 1σ 
 
x +1σ 
 
x+ 2σ 
 
 x+ 3σ 
 
Xo Z= X - µ 
Zo 
 σ 
 
µ µ - µ 0 
 σ 
µ + 1σ µ + 1σ- µ 1 
 σ 
µ + 2σ µ + 2σ- µ 2 
 σ 
µ + 3σ µ + 3σ- µ 3 
 σ 
µ - 1σ µ - σ - µ -1 
 σ 
µ - 2σ µ - 2σ - µ -2 
 σ 
µ - 3σ µ - 3σ - µ -3 
 σ 
 
54 
 
 I Zo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 Zo 
 
 
 
 AREAS I ZO = P (0 ≤ z ≤ Z0) para Z0= (x - µ)/ σ 
Z0 
I Z0 
Z0 
I Z0 
Z0 
I Z0 
Z0 
I Z0 
Z0 
I Z0 
Z0 
I Z0 
0,00 0,0000 0,60 0,2257 1,20 0,3849 1,80 0,4641 2,40 0,4918 3,00 0,4987 
0,05 0,0199 0,65 0,2422 1,25 0,3944 1,85 0,4678 2,45 0,4929 3,05 0,4989 
0,10 0,0398 0,70 0,2580 1,30 0,4032 1,90 0,4713 2,50 0,4938 3,10 0,4990 
0,15 0,0596 0,75 0,2734 1,35 0,4115 1,95 0,4744 2,55 0,4946 3,15 0,4992 
0,20 0,0793 0,80 0,2881 1,40 0,4192 2,00 0,4772 2,60 0,4953 3,20 0,4993 
0,25 0,0987 0,85 0,3051 1,45 0,4279 2,05 0,4798 2,65 0,4960 3,25 0,4994 
0,30 0,1179 0,90 0,3159 1,50 0,4332 2,10 0,4821 2,70 0,4965 3,30 0,4995 
0,35 0,1369 0,95 0,3289 1,55 0,4394 2,15 0,4842 2,75 0,4970 3,35 0,4996 
0,40 0,1554 1,00 0,3413 1,60 0,4452 2,20 0,4861 2,80 0,4974 3,40 0,4997 
0,45 0,1736 1,05 0,3531 1,65 0,4505 2,25 0,4878 2,85 0,4978 3,50 0,4998 
0,50 0,1915 1,10 0,3643 1,70 0,4554 2,30 0,4893 2,90 0,4981 3,70 0,4999 
0,55 0,2088 1,15 0,3749 1,75 0,4599 2,35 0,4906 2,95 0,4984 3,90 0,5000 
 
55 
 
EXERCÍCIOS: E-3 
 
1- Trace uma curva normal e sombreie a área desejada a partir das informações: 
 
a- área à direita de z=1,0 
b- área da esquerda de z= 1,0 
c- área entre z=0 e z=1,5 
d- área entre z=0 e z= - 2,9 
e- área entre z=1,0 e z= 2,0 
f- área entre z= -2,0 e z= 2,0 
g- área entre z= 2,5 e z=3,0 
 
2- Ache os valores de z correspondentes as seguintes áreas: 
 
a- área à esquerda de µ para Iz = 0,0505 
b- área à esquerda de µ para Iz = 0,0228 
c- área à esquerda Iz= 0,4505 e área da direita Iz = 0,4861 
 
3- Uma distribuição normal tem media 50 e desvio padrão 5. Que percentagem da 
população estaria provavelmente dentro dos intervalos: 
 
 a- P ( x ≤ 60) 
 b- P ( 35 ≤ x ≤ 62) 
 c- P ( 55 ≤ x ≤ 65) 
 d- P ( x > 55) 
 e- P ( 35 ≤ x ≤ 45) 
 
4- Suponha uma renda média de uma grande comunidade possa ser razoavelmente 
aproximada por uma distribuição normal com media anual de R$ 10.000,00 e 
desvio padrão de R$ 2.000,00. 
 
a- Que percentagem da população terá renda superior a R$ 15.000,00? 
b- Numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham 
menos de R$ 8.000,00 de renda? 
56 
 
12.0 PROBABILIDADE 
 
O problema fundamental da estatística consiste em lidar com o acaso e a incerteza. 
Chama-se probabilidade de um acontecimento a razão entre o número de casos 
favoráveis ao mesmo e o número total de acontecimentos possíveis. 
 
Assim quando se considera uma população limitada de P indivíduos, a probabilidade de 
cada um ser escolhido, ao acaso, é de 1/P. 
 
Laplace definiu probabilidade como: “O quociente do número de casos favoráveis sobre o 
número de casos igualmente possíveis”. 
Por exemplo, se jogarmos uma moeda “não viciada” para o ar, de modo geral não 
podemos afirmar se vai dar cara ou coroa. 
 
Porém existem apenas dois eventos possíveis: sair “cara” ou “coroa” Nesse exemplo 
existe um caso favorávela esse evento em dois casos possíveis. A P (K) = ½ ou 50%. 
 
Considerando-se “cara” como sucesso e “coroa” como fracasso e representando-se o 
acontecimento favorável como “P” e o não favorável como “Q”, temos as razões: 
 
P= ½ e Q = ½ 
Sendo P+Q = 1 
Então P= (1 - Q) e Q = (1 - P) 
 
A probabilidade de um evento A, denotada por P (A), é um número de 0 a 1, que indica a 
chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1,00 é P(A), maior é a 
chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de Zero, menor é a chance de 
ocorrência do evento A. 
 
Um evento impossível atribui-se a probabilidade Zero. 
 
Um evento certo tem probabilidade de 1. 
As probabilidades podem ser expressas, inclusive por valores decimais, frações e 
percentagem como: 20%; 2 em 10; 0,2; ou ainda 1/5. 
57 
 
Além do uso na interpretação de jogos de azar, usa-se ainda a probabilidade mediante 
determinada combinação de julgamento, experiência ou dados históricos, para predizer 
Quao Provável é a ocorrência de determinado evento futuro. 
 
Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos Negócios e do Governo. A 
previsão da aceitação de um novo produto, o cálculo dos custos de produção, a 
contratação de um novo empregado, o preparo do orçamento, a avaliação do impacto de 
uma redução de impostos sobre a inflação – tudo isso contém algum elemento de Acaso. 
 
12.1 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS 
 
 
Consideremos o experimento que consiste em “extrair uma carta de um baralho de 52 
cartas”. Há 52 eventos elementares no espaço amostral. Quanto aos eventos podemos 
classificá-los em: 
 
 ESPAÇO AMOSTRAL 
 
COMPLEMENTO Cartas vermelhas e cartas pretas 
 
 
 Não se interceptam cartas de 
MUTUAMENTE EXCLUDENTE copas e cartas de paus 
 
 
NAO SÃO MUTUAMENTE Cartas de copas e figuras, tem 
EXCLUDENTE elementos em comum. 
 
 
 Cartas de paus, ouro, copas e 
COLETIVAMENTE EXAUSTIVO A B C D espadas 
 
 
 
 A 
 A B 
 A B 
58 
 
12.2 TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE 
 
Há três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades, O método Clássico, 
quando o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. O método Empírico, que 
se baseia na freqüência relativa de ocorrência de um evento num grande número de 
provas repetidas; e o método Subjetivo, que utiliza estimativas pessoais baseadas num 
certo grau de crença. 
 
 OBJETIVO SUBJETIVO 
 
 
 CLÁSSICO EMPÍRICO Opinião Pessoal 
(resultados igualmente prováveis) (dados históricos) 
 
O Método Clássico 
 
Os jogos de azar (lançamento de moedas, jogo de dados, extração de cartas) 
usualmente apresentam resultados igualmente prováveis. 
Nestes casos temos: 
 
P(cada resultado) = 1 
 Número de resultados possíveis 
 
Se cada carta de um baralho de 52 tem a mesma chance de ser escolhida, então a 
probabilidade de extrair cada uma delas é de 1/52 : P (A) = 1/52 1,92%. 
 
Da mesma forma a probabilidade de termos uma cara no lançamento de uma moeda é ½ 
ou 50%. O mesmo ocorre com uma coroa, ou seja ½ ou 50%. 
 
No caso de um dado temos a probabilidade de dar qualquer número: 1,2,3,4,5,6 é de 1/6 
ou de 16,66%. 
 
De forma geral vale também a expressão: 
 
59 
 
P(A) = Número de resultados associados ao evento A 
 Número total de resultados possíveis 
 
Por exemplo, a probabilidade de extração de uma dama, de acordo com esta definição, é 
 
P (dama) = 4 damas = 4 = 1 = 7,69% 
 52 cartas 52 13 
 
Analogamente, a probabilidade de obter número ímpar no lance de um dado é 
 
P(ímpar) = 3 faces = 3 ou 50% 
 6 faces possíveis 6 
 
12.3 A MATEMÁTICA DA PROBABILIDADE 
 
Muitas aplicações de estatística exigem a determinação da probabilidade de 
combinações de eventos. Há duas categorias de eventos de interesse, A e B, no espaço 
amostral. 
 
Pode ser necessário determinar P(A e B), isto é; a probabilidade de ocorrência de ambos 
os eventos. 
 
Em outras situações, podemos querer a probabilidade de ocorrência de A ou B P(A ou B). 
 
Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “independentes” P(A e B) 
 
Se dois eventos são independentes, então a probabilidade da ocorrência de ambos é 
igual ao produto de suas probabilidades individuais: 
 P(A e B) = P(A) . P(B) 
Exemplo Jogam-se duas moedas equilibradas.Qual a probabilidade da ocorrência de 
ambas darem cara? 
É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro. 
Além disso, para moedas equilibradas, P(cara)= ½ . Logo p(cara e cara) será: 
 
60 
 
1° moeda 2°moeda 
 ½ x ½ = ¼ ou 25% 
 
Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “mutuamente excludente” 
P(A ou B ocorrerá) 
 
Se dois eventos mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrência de qualquer um 
deles é a soma de suas probabilidades individuais. Para dois eventos A e B temos: 
 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
Exemplo, qual é a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado 
equilibrado? 
P(cinco) ou P(seis) = P (5) + P(6) = 1 + 1 = 2 = 33,33% 
 6 6 6 
 
Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “não mutuamente 
excludente” P(A ou B ou ambos ocorrerão) 
 
Suponhamos a probabilidade de extração de uma carta de paus ou um dez de um 
baralho de 52 cartas . Como é possível que uma carta seja simultaneamente de “paus” e 
um “dez”, os eventos não são mutuamente excludentes. Assim devemos excluir a 
probabilidade de interseção. Então temos: 
 
P(paus) = 13 , P(dez)= 4 , P( dez de paus) = 1 , 
 52 52 52 
 P(paus ou dez,ou ambos) = P(paus) + P(dez) - P(dez de paus) 
 
 = 13 + 4 - 1 = 16 
 52 52 52 52 
 
 
 
 
 
61 
 
 NAIPE 
 
PAUS OUROS COPAS ESPADA 
PRETA VERMELHA VERMELHA PRETA 
♣ K ♦ K ♥ K ♠ K 
♣ Q ♦ Q ♥ Q ♠ Q 
♣ J ♦ J ♥ J ♠ J 
♣ 10 ♦ 10 ♥ 10 ♠ 10 
♣ 9 ♦ 9 ♥ 9 ♠ 9 a carta é um dez
♣ 8 ♦ 8 ♥ 8 ♠ 8 
♣ 7 ♦ 7 ♥ 7 ♠ 7 
♣ 6 ♦ 6 ♥ 6 ♠ 6 
♣ 5 ♦ 5 ♥ 5 ♠ 5 
♣ 4 ♦ 4 ♥ 4 ♠ 4 
♣ 3 ♦ 3 ♥ 3 ♠ 3 
♣ 2 ♦ 2 ♥ 2 ♠ 2 
♣ A ♦ A ♥ A ♠ A 
 Carta de paus 
Os eventos “paus” e “dez” se interceptam. 
 
 
Regra de probabilidade 
 
P (A e B), para eventos independentes (Multiplicação) P(A) x P(B) 
 
P (A ou B), para eventos mutuamente excludentes (Soma) P(A) + P(B) 
 
P (A ou B ou ambos ocorrerão), para eventos não mutuamente excludentes 
 P(A) + P(B) - P(A intercepta B) 
 
62 
 
EXERCÍCIOS: E-4 
 
1- Extrai-se uma só carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter: 
a- Um valete 
b- Uma figura 
c- Uma carta vermelha 
d- Uma carta de ouros 
e- Um dez de paus 
f- Um nove vermelho ou um 
oito preto 
2- Relacione os