revisao prova 01

Prévia do material em texto

Estatística Descritiva
Estatística Inferencial ou 
Indutiva
Estatística
Organização
Descrição
Análises
Interpretações
Descrição, análise e representação de 
um CONJUNTO DE DADOS, utilizando 
métodos numéricos e gráficos
Estabelece métodos que permitem 
conclusões sobre a POPULAÇÃO, 
a partir de uma AMOSTRA
Variáveis
Fluxo necessário para dados
consistentes
§ São características que são medidas, controladas ou 
manipuladas em uma pesquisa
§ Os valores variam de elemento para elemento
Observações que podem ser diferentes 
à Exibem variabilidade
DADO
§ Informações obtidas de 
uma unidade
§ Os dados são os 
valores atribuídos à 
variável
§ Cada unidade tem o 
seu
§ Exemplo:
§ Gato, 5 anos, macho, 
castrado
§ Cão, Poodle, infectado, 
anêmico
§ Mulher, 28 anos, gestante, 
parda
VARIÁVEL
§ Os valores variam de 
unidade para unidade
§ Elemento genérico que 
representa o conjunto 
de resultados possíveis 
de um fenômeno ou 
característica
§ Exemplo
§ Espécie, Idade, 
Gênero,….
VARIÁVEIS
Variável
Qualitativa
(categórica)
Nominal
Ordinal
Variável
Quantitativa
(numérica)
Discreta
Continua
§ Os dados se enquadram em 
categorias que não podem ser 
postas em ordem numérica
§ Sem unidade de medida !!!
§ NOMINAL
§ Ordinação arbitrária
§ Dicotômica / binária
§ ORDINAL
§ Existe uma ordem inerente ou 
hierarquia entre as categorias
§ Não podem ser processados 
artimeticamente (subtrair, 
dividir,…)
Variável 
Qualitativa 
(categórica)
Nominal
Valores em 
categorias 
arbitrarias
Ordinal
Valores em 
categorias 
ordenadas
Grupo 
sanguíneo Pacientes
O 34
A 656
B 55
AB 66
Sexo Animais
Macho 548
Fêmea 656
Raça Animais
SRD 58
Siames 32
Maine coon 3
Persa 23
Porte Animais
Toy 5
Pequeno 32
Médio 39
Grande 23
Gigante 12
Escore corporal Animais
1 06
2 24
3 396
4 2354
5 12454
Escore de locomoçãoemVacasLeiteiras
Escala Likert
"Meu marido explicando para nosso gato 
Larry, o folheto da obesidade na sala do 
veterinário"
Escore de locomoçãoemVacasLeiteiras
As classes devem ser EXAUSTIVAS
(qualquer dado será enquadrado em 
uma das classes) e mutuamente 
EXCLUSIVAS (cada dado será 
elemento de uma única classe)
IMPORTANTE
Dados semi-
quantitativos
à Diferenças
são relativas
Mas não
constantes entre 
os vários pontos
da escala
§ Numérica
§ Resultado da representação de uma 
medida efetuada ou contagem
§ Seus valores são expressos por 
números e permitem realizar 
operações aritméticas
Variável 
Quantitativa 
(numérica)
Discreta
Valores inteiros em 
ordem númerica
Unidade de 
contagem
Contínua
Valores contínuos 
em ordem 
numérica ou 
escala
Unidade de 
medida
§ Discreta
§ Número finito
§ Geralmente inteiros 
consecutivos
§ São contagem "número 
de elementos"
§ Contínua
§ Valor entre dois limites
§ São medidas 
§ tem unidade de medida
Mostram o valor REPRESENTATIVO em torno 
do qual os dados se distribuem
◉Média
◉Mediana
◉Moda
Utilizadas para sintetizar em um 
ÚNICO NÚMERO o conjunto de 
dados
Medidas de Posição
◉ Medidas de Tendência Central
Medidas de Tendência
Central
Exemplos
◉ Qual o peso típico de bezerros 
Guzerá ao desmane no Brasil?
◉ Qual o padrão de rendimento 
que a poupança oferece?
◉ Qual o consumo de matéria 
seca esperado de um cavalo 
em 24 horas?
Usadas para responder perguntas para 
caracterizar um grupo
Média
Média (aritmética) 
◉ Medida de tendência central mais 
conhecida e mais utilizada 
◉ CÁLCULO:
x
Soma de todos os dados
Tamanho da amostraMédia =
x
"x-traço é igual ao somatório de 
x, dividido por n" 
◉ Medida de tendência central mais 
conhecida e mais utilizada 
◉ CÁLCULO:
Média (aritmética) 
N = tamanho da amostra
1
"#
$%&
'
()(̅ =
(1 + (2 + (3 + ⋯+ (0
" = ) = 1, 2, 3, …0
◉ Calcule a média
Exemplo
Animal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso 
(Kg) 30 27 32 27 28 30 34 27 30 26
* Para encontrar a média não
importa se os dados não forem
ordenados de forma crescente
◉ Peso ao nascer de 10 animais da raça Guzerrá:
◉ Calcule a média
Exemplo
Animal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso 
(Kg) 30 27 32 27 28 30 34 27 30 26
x = 1
10
xi
i=1
10
∑
◉ Peso ao nascer de 10 animais da raça Guzerrá:
"̅ = 1%&
'()
*
"+
◉ Calcule a média
Exemplo
Animal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso 
(Kg) 30 27 32 27 28 30 34 27 30 26
x = 1
10
xi
i=1
10
∑
30+27+32+27+28+30+34+27+30+36
10
= =
◉ Peso ao nascer de 10 animais da raça Guzerrá:
291
10
=29,1 kg
◉ A média indica o CENTRO DE GRAVIDADE do 
conjunto de dados à Medida de posição
◉ Não é necessariamente igual a algum valor 
da amostra - É uma medida esperada
Média x
26 3427 3228 30
29,1 kgMédia
kg
Média 
◉ É um valor que deverá sempre:
- Ser maior ou igual ao menor valor do seu 
conjunto de dados
- Ser menor ou igual ao maior valor do seu 
conjunto de dados
x
≤ x ≤Vmin Vmax
◉ Média não deve ser aplicada a dados 
Qualitativos NOMINAIS !!!
◉ Assumimos a "média" usualmente como a classe de 
maior frequência = "A maiora da amostra..."
◉ Para esses dados aplicar a MODA
Não usar Média para 
Dados Qualitativos
Ex. Média 
da cor dos 
olhos ???
◉ Média não deve ser aplicada a dados 
Qualitativos ORDINAIS também !!!
◉ Para esses dados aplicar a MEDIANA
Não usar Média para 
Dados Qualitativos
Produção de 
leite (l) ni
05 |-- 10 2
10 |-- 15 3
15 |-- 20 5
20|-- 25 2
25|-- 30 1
Total 13
Produção de leite (l) de 13 
vacas de uma propriedade
em Serrinha, BA, em 2018
ØCalcule a média de 
produção de leite da 
propriedade
Cuidado:
ØFaixa de produção com 
maior frequência
ØNão é a média !!!
Média para Dados 
Agrupados
◉ Utilizando a FREQUÊNCIA ABSOLUTA (ni)
◉ Utilizando a FREQUÊNCIA RELATIVA (fi)
Média para Dados 
Agrupados
K= número de classes
xi= centro da classe
x = 1
N
nixi
i=1
k
∑x = n1x1 + n2x2 + ...+ nk xk
N
= à
x = xi fi
i=1
k
∑
Exemplo
Produção de 
leite (l) ni
05 |-- 10 2
10 |-- 15 3
15 |-- 20 5
20|-- 25 2
25|-- 30 1
Total 13
Produção de leite (l) de 13 
vacas de uma propriedade
em Serrinha, BA, em 2018
Ø Calcule a média de 
produção de leite da 
propriedade
" Somar o produto da 
frequência absoluta de cada
classe pelo centro de cada 
classe e dividir pelo tamanho
da amostra"
x = 1
N
nixi
i=1
k
∑
Exemplo
Produção de 
leite xi ni
05 |-- 10 2
10 |-- 15 3
15 |-- 20 5
20 |-- 25 2
25|-- 30 1
Total 13
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018 Ø Calcule a 
média de 
produção de 
leite da 
propriedade
x = 1
N
nixi
i=1
k
∑
Exemplo
Produção de 
leite xi ni
05 |-- 10 7,5 2
10 |-- 15 12,5 3
15 |-- 20 17,5 5
20 |-- 25 22,5 2
25|-- 30 27,5 1
Total 13
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018 Ø Calcule a 
média de 
produção de 
leite da 
propriedade
x = 1
N
nixi
i=1
k
∑
Produção de 
leite xi ni
05 |-- 10 7,5 2
10 |-- 15 12,5 3
15 |-- 20 17,5 5
20 |-- 25 22,5 2
25|-- 30 27,5 1
Total 13
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Ø Calcule a 
média de 
produção de 
leite da 
propriedade
= (7,5 x 2) + (12,5 x 3) + (17,5 x 5) + (22,5 x 2) + (27,5 x 1) =
13
= 15 + 37,5 + 87,5 + 45 + 27,5 = 
13
212,5 =
13
16,3 litros
x = 1
N
nixi
i=1
k
∑
Usando a 
Frequência Relativa
◉ A frequência 
relativa precisa 
estar em 
formato de 
proporção
"̅ = $
%&'
(
") ×+,
"̅ = 1100×$%&'
(
") ×+,
◉ A frequência 
relativa precisa 
estar em 
formato de 
porcentagem
Exemplo
Produção de 
leite (l) xi fi
05 |-- 10 7,5 0,15
10 |-- 15 12,5 0,23
15 |-- 20 17,5 0,39
20|-- 25 22,5 0,15
25|-- 30 27,5 0,08
Total 1
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018 Ø Calcule a 
média de 
produção de 
leite da 
propriedade
 
å
=
=
k
1i
ii xfx
" Somar o produto da frequência relativa de cada classe 
pelo centro de cada classe"
Produção de 
leite (l) xi fi
05 |-- 10 7,5 0,15
10 |-- 15 12,5 0,23
15 |-- 20 17,5 0,39
20|-- 25 22,5 0,15
25|-- 30 27,5 0,08
Total 1
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018 Ø Calculea média de 
produção de 
leite da 
propriedade
 
å
=
=
k
1i
ii xfx
= (7,5 x 0,15) + (12,5 x 0,23) + (17,5 x 0,39) + (22,5 x 0,15) + (27,5 x 0,08) =
= 1,125 + 2,875 + 6,825 + 3,375 + 2,2 = 16,4 litros
◉ Média com Pesos
◉ Exemplo:
◉ Pesos diferentes para cada nota
Média Ponderada
O “peso” é o “fator 
de ponderação
"Soma do produto das notas 
pelos respectivos pesos dividido 
pela soma dos pesos"
Xi = Peso
x =
xini
i=1
k
∑
xi
i=1
k
∑
Exemplo
◉ Calcule a Média Ponderada
Avaliações Notas Peso
Avaliação 1 9,0 3
Avaliação 2 10,0 3
Avaliação 3 6,5 4
Total 10
(9,0 x 3) + (10,0 x 3) + (6,5 x 4)
3+3+4
= =
27+30+26
10
= = 83
10
= 8,3
x =
xini
i=1
k
∑
xi
i=1
k
∑
N= 3
Calcule a Média da idade
Idade dos estudantes 
da turma de inglês 
noturno de um curso
Idade = xi ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
à Também é "ponderada"
N= 10
x =
xini
i=1
k
∑
xi
i=1
k
∑ = N
* Não é uma distribuição de Frequência
Avaliações Notas Peso
Avaliação 1 9,0 3
Avaliação 2 10,0 3
Avaliação 3 6,5 4
Total 10
Idade ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
Pessoas com:
Calcule a Média
Idade dos estudantes 
da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
x = (16×1)+ (19×4)+ (24×3)+ (26×2)
10
=
=
16+76+72+52
10
=
=
216
10
= 21,6
à Também é "ponderada"
N= 10
anos
Nunca Arredondar o Valor 
da Média !!!
Importante !!!
◉ Mesmo que esse número não faça, 
aparentemente, sentido !!!
Exemplo
◉ Média de filhos por família =1,8 
◉ Não arrendodar para 2 !!! 
◉ Mesmo que não exista "1,8 filho"
◉ Porque:
◉ 10 famílias = 18 filhos
◉ 100 famílias = 180 filhos
Se arrendondar
aumenta o erro !!!
Se arrendondar
aumenta o erro !!!
Ex. Filhos
Média exata = 2,782789
à Média = 2,78 ou 2,8
Mas não usar 3 !!! 
Ex. Altura em m
Média de altura exata 1,7123456
à Média = 1,7123m ou 1,712m
Mas não usar 1,7m !!! 
Comum: 1 filho Comum: 1,68m
◉ Mais usada em distribuições simétricas 
(normais)
◉ Seu valor é influenciado por valores 
extremos
Média x
26 3427 3228 30
29,1 kgMédia
kg
Média 
◉ A média será sempre uma medida representativa 
dos dados ?
Animal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso 
(Kg) 30 27 32 27 28 30 34 27 30 266
x = 1
10
xi
i=1
10
∑
29,1 kg 53,1 kg
30+27+32+27+28+30+34+27+30+266
10
531
10
=
<
x
Média 
◉ Este exemplo ilustra o ponto fraco da média
como medida de centro: ela é sensível à
presença de observações extremas, ainda que
sejam poucas
x
◉ OUTLIERS
Mediana
Mediana
É o valor que ocupa a POSIÇÃO CENTRAL do 
conjunto dos dados ordenados
Animal 1 2 3 4 5
O.P.G 02 40 100 200 850
Qual a Mediana?
*Para encontrar a mediana os dados 
devem estar ordenados de forma 
crescente
Mediana
Animal 1 2 3 4 5
O.P.G 02 40 100 200 850
É o valor que ocupa a POSIÇÃO CENTRAL do 
conjunto dos dados ordenados
Ø N = número ímpar
Mediana = valor central
MEDIANA = 100 O.P.G
N = 5
Qual a Mediana?
N = ímpar
Qual a Mediana?Exemplo
Capacidade pulmonar, medida em litros, em 51 indivíduos do sexo 
masculino, aparentemente saudáveis, com idade entre 40 e 50 anos
2,88 3,28 3,35 3,44 3,46 3,60 3,64 3,69 3,80 3,89
3,91 4,00 4,14 4,18 4,25 4,27 4,32 4,36 4,39 4,43
4,43 4,48 4,54 4,55 4,56 4,58 4,61 4,63 4,66 4,72
4,75 4,81 4,86 4,90 5,02 5,06 5,16 5,19 5,22 5,29
5,31 5,38 5,49 5,59 5,62 5,62 5,80 6,02 6,12 6,68
7,01
N = 51
N = ímpar
Qual a Mediana?
Capacidade pulmonar, medida em litros, em 51 indivíduos do sexo 
masculino, aparentemente saudáveis, com idade entre 40 e 50 anos
2,88 3,28 3,35 3,44 3,46 3,60 3,64 3,69 3,80 3,89
3,91 4,00 4,14 4,18 4,25 4,27 4,32 4,36 4,39 4,43
4,43 4,48 4,54 4,55 4,56 4,58 4,61 4,63 4,66 4,72
4,75 4,81 4,86 4,90 5,02 5,06 5,16 5,19 5,22 5,29
5,31 5,38 5,49 5,59 5,62 5,62 5,80 6,02 6,12 6,68
7,01
N = 51Posição da Mediana:
N
2
+0,5
Exemplo
N = ímpar
Qual a Mediana?
Capacidade pulmonar, medida em litros, em 51 indivíduos do sexo 
masculino, aparentemente saudáveis, com idade entre 40 e 50 anos
2,88 3,28 3,35 3,44 3,46 3,60 3,64 3,69 3,80 3,89
3,91 4,00 4,14 4,18 4,25 4,27 4,32 4,36 4,39 4,43
4,43 4,48 4,54 4,55 4,56 4,58 4,61 4,63 4,66 4,72
4,75 4,81 4,86 4,90 5,02 5,06 5,16 5,19 5,22 5,29
5,31 5,38 5,49 5,59 5,62 5,62 5,80 6,02 6,12 6,68
7,01
N = 51Posição da Mediana:
N
2
+0,5
Exemplo
N = ímpar
Mediana
É o valor que ocupa a POSIÇÃO CENTRAL do 
conjunto dos dados ordenados
Qual a Mediana?
Animal 1 2 3 4
O.P.G 02 40 100 200
N = 4
N = Par
Mediana
Animal 1 2 3 4
O.P.G 02 40 100 200
É o valor que ocupa a POSIÇÃO CENTRAL do 
conjunto dos dados ordenados
Ø N = número par
Mediana = Média dos dois valores centrais
Qual a Mediana?
N = 4 MEDIANA = 40 + 100 = 70 O.P.G
2
Qual a Mediana?
Capacidade pulmonar, medida em litros, em 50 indivíduos do sexo 
masculino, aparentemente saudáveis, com idade entre 40 e 50 anos
2,88 3,28 3,35 3,44 3,46 3,60 3,64 3,69 3,80 3,89
3,91 4,00 4,14 4,18 4,25 4,27 4,32 4,36 4,39 4,43
4,43 4,48 4,54 4,55 4,56 4,58 4,61 4,63 4,66 4,72
4,75 4,81 4,86 4,90 5,02 5,06 5,16 5,19 5,22 5,29
5,31 5,38 5,49 5,59 5,62 5,62 5,80 6,02 6,12 6,68
N = 50
n
2
e n
2
+1
N = Par
Exemplo
Posição da mediana:
à Dois valores centrais:
Qual a Mediana?
Capacidade pulmonar, medida em litros, em 50 indivíduos do sexo 
masculino, aparentemente saudáveis, com idade entre 40 e 50 anos
2,88 3,28 3,35 3,44 3,46 3,60 3,64 3,69 3,80 3,89
3,91 4,00 4,14 4,18 4,25 4,27 4,32 4,36 4,39 4,43
4,43 4,48 4,54 4,55 4,56 4,58 4,61 4,63 4,66 4,72
4,75 4,81 4,86 4,90 5,02 5,06 5,16 5,19 5,22 5,29
5,31 5,38 5,49 5,59 5,62 5,62 5,80 6,02 6,12 6,68
N = 50Posição da mediana:
à Dois valores centrais:
n
2
e n
2
+1 e
Exemplo
N = Par
Qual a Mediana?
Capacidade pulmonar, medida em litros, em 50 indivíduos do sexo 
masculino, aparentemente saudáveis, com idade entre 40 e 50 anos
2,88 3,28 3,35 3,44 3,46 3,60 3,64 3,69 3,80 3,89
3,91 4,00 4,14 4,18 4,25 4,27 4,32 4,36 4,39 4,43
4,43 4,48 4,54 4,55 4,56 4,58 4,61 4,63 4,66 4,72
4,75 4,81 4,86 4,90 5,02 5,06 5,16 5,19 5,22 5,29
5,31 5,38 5,49 5,59 5,62 5,62 5,80 6,02 6,12 6,68
N = 50
n
2
e n
2
+1
Exemplo
N = Par
Mediana:
à Média dos dois valores centrais:
litros
Calcule a Mediana
Idade dos estudantes 
da turma de inglês 
noturno de um curso
Idade
(anos) ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
N = 10
N = Par
Calcule a Mediana
Idade dos estudantes 
da turma de inglês 
noturno de um curso
Idade
(anos) ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
Posição da Mediana:
à Dois valores centrais:
n
2
e n
2
+1
N = 10
N = Par
!"
# e 
!"
# + 1
5ª posição e 6ª Posição
Calcule a Mediana
Idade dos estudantes da turma 
de inglês noturno de um curso
Idade
(anos) ni
Posição
16 1 1ª
19 4 2ª, 3ª, 4ª e 5ª
24 3 6ª, 7ª, 8ª 
26 2 9ª e 10ª
total 10
Posição da Mediana:
à Dois valores centrais:
n
2
e n
2
+1
N = 10
N = Par
!"
# e 
!"
# + 1
5ª posição e 6ª Posição
19 24
anos anos
Calcule a Mediana
Idade dos estudantes da turma 
de inglês noturno de um curso
Idade
(anos) ni
Posição
16 1 1ª
19 4 2ª, 3ª, 4ª e 5ª
24 3 6ª, 7ª, 8ª 
26 2 9ª e 10ª
total 10
N = 10
N = Par
5ª posição e 6ª Posição
19 24
Média dos dois 
valores centrais:
Mediana = 21,5 anos
◉ É a medida de 
tendência mais 
apropriada para 
representar VARIÁVEIS 
QUALITATIVAS ORDINAIS
Mediana para Dados 
Qualitativos
Nível de satisfação de 50 
entrevistados de um posto de Saúde 
de um Município
Nota
Número de 
entrevistados
1 3
2 8
3 19
4 11
5 5
6 4
Total 50
n
2
e n
2
+1
25ª posição
26ª posição
Mediana
3+3 = 3
2N = Par
1° Posição:
Mediana para Dados 
AgrupadosPeso de 
Bezerrões
(8 a 12 meses)
ni Ni
180 |-- 200 4 4
200 |-- 220 18 22
220 |-- 240 10 32
240 |-- 260 5 37
260 |-- 280 3 40
Total 40
◉ CLASSE MEDIANA (Md)
Classe mediana:
que contem a 
mediana
n
2
e n
2
+1 à 20ª e 21ª posição
!"
# e 
!"
# + 1
Contidas na classe mediana
Mediana para Dados 
Agrupados
◉ Mediana
Onde:
lMd = Limite inferior da classe mediana
N = tamanho da amostra
Ni Ant= Frequência absoluta acumulada da classe anterior
ni Md = Frequênciaabsoluta da classe mediana
= Intervalo de classeΔi
= lMd +
N
2
− NiAnt
niMd
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟⎟
×Δi
Classe mediana:
Classe que 
contém a 
mediana
Só par
a con
hecim
ento
Mediana
◉ Divide a amostra em duas partes: 
Animal 1 2 3 4 5
O.P.G 02 40 100 200 850
Animal 1 2 3 4
O.P.G 02 40 100 200
Uma com números 
menores ou iguais a ̀
mediana 
Outra com números 
maiores ou iguais a ̀
mediana50% 50%
A mediana não 
deve ser 
arredondada e 
não precisa ser 
necessariamente 
um valor da série 
amostral70
100
Média ou Mediana?
Ø Quando a distribuição é simétrica, a média e 
a mediana coincidem ou são similares
Média e Mediana
16.00 19.00 24.00 26.00
0
1
2
3
4
5
Idade
Histograma
Média ou Mediana?
Ø Quando a distribuição é assimétrica, a 
média e a mediana se distanciam
Média
Idade ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
Média 23,2
Mediana = 21,5
Mediana
Assimetria positiva (para direita)
◉ Em DISTRIBUIÇÕES ASSIMÉTRICAS a diferença é 
tanto maior quanto maior for a assimetria
Média ou Mediana?
Curva assimétrica 
NEGATIVA
Media < Mediana
Curva assimétrica 
POSITIVA
Mediana < Média
Distribuição normal
Média = Mediana
Cauda 
para direita
Cauda para 
esquerda
0 n
Características da Mediana
◉ Não é influenciada pela grandeza dos valores 
extremos 
◉ Utilizada em pesquisas em que os valores 
extremos são de pouca importância para o 
conjunto em geral
◉ Usada nas distribuições de frequência em que os 
limites das classes extremas são indefinidos
Ø Em casos em que há valores extremamente
diferentes, recomenda-se o uso da mediana
Exemplo
◉ 240, 370, 410, 520, 630, 680 e 820
◉ Média = 524,3 
◉ Mediana = 520
◉ 240, 370, 410, 520, 630, 680 e 6000
◉ Média = 1264,3 
◉ Mediana = 520
Média ou Mediana?
Valores 
extremos 
têm menor 
influência 
sobre a 
mediana do 
que sobre a 
média
◉ É influenciada pelo tamanho da amostra (N)
◉ Depende da POSIÇÃO e não dos valores dos 
elementos do conjunto de dados ordenados
Características da Mediana
É menos estável 
em relação à 
média
Tem maior 
chance de ser 
diferente em 
amostragens 
sucessivas da 
mesma 
população 
Sofre maior 
influência pelo 
aumento do 
tamanho da 
amostra
Cuidado !!!
◉ Existem casos, porém, em que o uso da média é mais 
razoável do que a mediana, mesmo que haja um
valor discrepante
◉ Exemplo – 3 jogos na loteria
◉ 1° vez = R$ 0,00
◉ 2° vez = R$ 0,00
◉ 3° vez = R$1.000.000,00
Qual medida melhor descreve
o seu ganho? 
Mediana é representativa de um 
conjunto em que:
◉ O n° de observações com valores 
menores que a mediana é igual ao 
n° de observações com valores 
maiores
◉ Não existam muitos dados com o 
mesmo valor da mediana
Quando devemos utilizar a 
Mediana?
◉ Quando há muitos valores iguais ou semelhantes à 
mediana
◉ Mediana não será totalmente representativa do 
conjunto de dados
Exemplo:
◉ Produção de ovos mensal
◉ 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 7, 8, 8, 9 
◉ Média = 3,5
◉ Mediana = 2
Quando não devemos 
usar a Mediana
Moda
Moda
Valor que 
surge com 
mais 
frequência
◉ Especialmente útil para 
reduzir a informação de 
um conjunto de dados 
qualitativos 
◉ Nomes ou categorias
Para os quais não se pode 
calcular a média e por 
vezes a mediana (se não 
forem susceptíveis de 
ordenação)
É um VALOR, 
não é uma
frequência
Macho Fêmea
0
20
40
60
80
100
%
Sexo
45%
73%
MODA
Valor que surge com 
mais frequência
MODA
Moda
Dados
Quantitativos
Valor que 
surge com mais 
frequência
Exemplo
◉ Número de filhotes por
parto de uma cadela
◉ 4, 5, 5, 6, 7
◉ Qual a Moda?
◉ 5
Moda
Dados
Contínuos
Agrupados
Classe modal:
Intervalo de 
classe com 
maior 
frequência
Produção de 
leite (l) xi fi
05 |-- 10 7,5 0,15
10 |-- 15 12,5 0,23
15 |-- 20 17,5 0,39
20|-- 25 22,5 0,15
25|-- 30 27,5 0,08
Total 100
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Moda para Dados 
Agrupados◉ Moda:
Onde:
lMo = Limite inferior da classe modal
ni Mo = Frequência absoluta da classe modal
ni Ant = Frequência absoluta da classe anterior à modal
ni Post = Frequência absoluta da classe posterior à modal
= Intervalo de classeΔi
= lMo +
D1
D1 +D2
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟×Δi
D1 = niMo− niAnt
D2 = niMo− niPost
Onde:
Só para conhecimento
Moda
◉ Existem situações em que não tem moda
◉ Ex. Hematócrito: 0,37; 0,42; 0,44; 0,46; 0,47; 0,53
= AMODAL
Moda
◉ Existem situações em que não tem moda = AMODAL
◉ Ex. Hematócrito: 0,37; 0,42; 0,44; 0,46; 0,47; 0,53
◉ Existem situações que só tem uma moda
◉ Ex. Altura em cm: 1,64; 1,67; 1,70; 1,77; 1,77; 1,90
= UNIMODAL
Moda
◉ Existem situações em que não tem moda = AMODAL
◉ Ex. Hematócrito: 0,37; 0,42; 0,44; 0,46; 0,47; 0,53
◉ Existem situações que só tem uma moda = UNIMODAL
◉ Ex. Altura em cm: 1,64; 1,67; 1,70; 1,77; 1,77; 1,90
◉ Existem situações que tem duas modas
◉ Ex. Tempo de coagulação (INR): 1,0; 1,2; 1,2; 1,3; 1,4; 1,4
= BIMODAL
Moda
◉ Existem situações em que não tem moda = AMODAL
◉ Ex. Hematócrito: 0,37; 0,42; 0,44; 0,46; 0,47; 0,53
◉ Existem situações que só tem uma moda = UNIMODAL
◉ Ex. Altura em cm: 1,64; 1,67; 1,70; 1,77; 1,77; 1,90
◉ Existem situações que tem duas modas = BIMODAL
◉ Ex. Tempo de coagulação (INR): 1,0; 1,2; 1,2; 1,3; 1,4; 1,4
◉ Existem situações que tem mais que uma moda
◉ Ex. N° de filhos: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 6
PLURIMODAL 
ou 
MULTIMODAL
◉ Não é afetada pelos valores extremos da 
distribuição
◉ Desde que esses valores não constituam o 
valor modal
◉ É utilizada quando se deseja obter uma 
medida rápida e aproximada de posição 
◉ Usada quando a medida de posição é 
o valor mais típico da distribuição
Características da Moda
Moda
◉ Bastante informativa quando o 
conjunto de dados é grande
◉ Se o conjunto de dados for 
relativamente pequeno (N< 30) não
tem muito sentido prático
◉ A média e a mediana fornecem, 
nesses casos, melhor descrição da 
tendência central dos dados
Posição das Medidas de 
Tendência Central
Curva Simétrica
Moda
Mediana
Média
Curva
Asimétrica
Postiva
Curva
Asimétrica
Negativa
0 n
n0
Curva 
Asimétrica
Positiva
Curva 
Simétrica
Curva 
Asimétrica
Negativa
Mo < Md < %x Mo = Md = %x %x < Md < Mo
)̅ < *+ < *,Mo < Md < %x
Mo = Md = %x
Sempre verificar Assimetria !!!
Se for 
assimétrico 
sempre usar 
mediana!!!
Média e Mediana
São medidas de centro que fornecem idéias diferentes 
para o “centro” e se comportam de forma diferente
Reflete o valor de todas as 
observações – usada em 
distribuições simétricas pois 
é sensível a outliers
◉ A média é o 
valor médio
◉ A mediana é o 
valor do meio
Não é tão sensível a outliers, sofre 
com o tamanho da amostra, 
usada em dados qualitativos 
ordinais e distribuições
assimétricas
Resumo
Moda
◉ A moda é o valor 
que surge com 
mais frequência
Pode ser usada
para descrever
dados qualitativos
nominais
Qual a Medida de 
Tendência Central 
MAIS APROPRIADA?
Tipo de 
Variável Moda Mediana Média
Q
ua
lit
at
iv
a Nominal Sim Não Não
Ordinal Sim Sim Não
Q
ua
nt
ita
tiv
a
Discreta Sim Sim se a 
distribuição for 
Assimétrica
Sim se a 
distribuição for 
SimétricaContinua Não muitointeressante
Resumos Numéricos
Ø Ressaltar Tendências e 
Características de conjuntos de 
dados
v Medidas de Assimetria
v Coeficiente de assimetria
v Medidas de Posição
v Medidas de Tendência Central
v Média, Mediana e Moda
v Separatrizes
v Quartis e Percentis
v Medidas de Variabilidade ou Dispersão
v Amplitude total, Variância, Desvio padrão 
e Coeficiente de variação
Medidas de 
Dispersão ou de 
Variabilidade
Temperaturas da Cidade de New York 
no mês de Abril de 2018
T° Média mais alta
T° Média mais baixa
Dias
T° em C
Porque usar Medidas de Dispersão?
Porque usar Medidas de Dispersão?
Medidas de Tendência Central
v Resumem a informação 
v MAS Não contam toda a história !!!
ØNão dizem NADA sobre partes 
do conjunto de dados !!!
ØNão dizem NADA sobre a 
variabilidade !!!
vNão são suficientes para caracterizar 
totalmenteuma sequência numérica !!!
Separatrizes
Medidas de 
variabilidade
Medidas de Dispersão ou Variabilidade
vAmplitude total
vIntervalo Inter-Quartil
vVariância
vDesvio-padrão 
vCoeficiente de 
variação
Amplitude
Amplitude (R)
Q1
Q2
Q3
Mediana
VMax
VMin
4
2
3
1
v Medida de dispersão ou
variabilidade
R = VMAX - Vmin
VMin - Valor mínimo
Ø É o número de menor valor
VMax - Valor Máximo
Ø É o número de maior valor
(Range)
Amplitude
Exemplo
v Peso de 5 leitões ao nascimento em kg:
v 1,1; 1,5; 1,2; 1,0; 1,4
v Qual a amplitude?
Tamanho da amostra 5 leitões
Valor mínimo 1,0 kg
Valor máximo 1,5 kg
Amplitude 0,5 kg
1,5 – 1,0 = 0,5 kg
Amplitude
v Essa medidas não é muito ú*l para resumir o dado
Exemplo
Ø A amplitude do peso de suínos para abate é 20 kg 
Ø Suínos são aba;dos com peso entre 75 e 95kg
Ø Suínos são aba;dos com peso entre 90 e 110kg
Ø Suínos são aba;dos com peso entre 150 e 170kg
Ø A amplitude é fácil de se calcular e fácil de se 
interpretar
Ø Para calculá-la usam-se apenas os dois valores extremos
Ø Mas Essa medida não mede bem a variabilidade! 
Dois conjuntos de dados podem ter 
variabilidades diferentes e apresentar
a mesma amplitude
Amplitude
v 1ª Rua: 52,0; 54,5; 54,0; 51,0; 54,4; 55,0
v 2ª Rua: 54,0; 51,5; 52,0; 51,0; 77,1; 53,0
v R (1ª Rua) = 55,0 - 51,0 = 4,0 
v R (2ª Rua) = 77,1 - 51,0= 26,1 
Muito sensível aos valores discrepantes (outliers)
Exemplo
v Amplitude do barulho
do tráfego em 5 dias
em duas ruas
Intervalo Interquartil
Variância
Medidas de Dispersão
vVariância
vDesvio padrão
vCoeficiente de variação
Avaliam o grau de VARIABILIDADE dos
dados em torno da média
Medidas de Dispersão
X = {1, 3, 7, 10, 10, 11, 15, 18, 20, 35} 
Y = {12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14}
Z = {13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13}
Dispersão (variabilidade) diferente entre as séries !!!
Dispersão
v Sinónimos: variabilidade ou espalhamento
v Mostra o quão esticada ou espremida
é uma distribuição de uma amostra em relação
ao seu centro
Grande dispersão
Pequena dispersão
Média
Dispersão
A: Dispersão pequena
B: Dispersão moderada
C: Dispersão grande
Centro = Média
Desvio
v A dispersão dos dados em relação à média de 
uma sequência pode ser avaliada através dos
desvios de cada elemento da sequência em
relação à média da sequência
v O conceito estatístico de desvio corresponde ao
conceito matemático de distância
Desvio = Observação - Média
xix1
Dispersão
Desvios
Pequenos
Os dados
estão
aglomerados
em torno da 
média
Dispersão
Pequena
Desvios
Grandes
As
observações
são
dispersas em
relação à
média
Dispersão
Grande
Variância
v Mede a dispersão esta,s-ca, indicando "o quão 
longe" em geral os valores se encontram do valor 
esperado (média)
v Considera todas as observações
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Soma dos quadrados dos 
desvios das observações 
relativamente à média, 
divida pelo número de 
observações menos uma
Variância Populacional
Variância Amostral
Os dados constituem uma amostra, mas 
os desvios são tomados em relação à 
média verdadeira da população
Os dados cons6tuem uma amostra 
e os desvios são tomados em 
relação à es5ma5va da médias2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
σ =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n
2
µ
µ = média populacional
(n-1= grau de liberdade)
"̅ = média populacional
Como calcular a Variância ?
vPor partes !!!
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obDda ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 2 + 8 + 5 + 64 =
21
4 = 5,25
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 5,25
xi
2
8
5
6
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 5,25
xi *+ − ,*
2 2 - 5,25
8 8 - 5,25
5 5 - 5,25
6 6 - 5,25
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 5,25
xi *+ − ,* *+ − ,* -
2 -3,25
8 2,75
5 -0,25
6 0,75
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 5,25
xi *+ − ,* *+ − ,* -
2 -3,25 (-3,25)2
8 2,75 (2,75)2
5 -0,25 (-0,25)2
6 0,75 (0,75)2
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 5,25
xi *+ − ,* *+ − ,* -
2 -3,25 10,56
8 2,75 7,56
5 -0,25 0,06
6 0,75 0,56∑
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 5,25
xi *+ − ,* *+ − ,* -
2 -3,25 10,56
8 2,75 7,56
5 -0,25 0,06
6 0,75 0,56
18,75
∑
Exemplo – Calcule a Variância
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
"̅ = 5,25
xi *+ − ,* *+ − ,* -
2 -3,25 10,56
8 2,75 7,56
5 -0,25 0,06
6 0,75 0,56
18,75
∑
à
/0,12
34/ =
/0,12
5 = 6,25
Enquanto as unidades da média, moda e mediana e desvio padrão são as 
mesmas dos valores coletados, apresentando assim uma interpretação, a 
variância não admite interpretação prática, pois a sua unidade de medida é 
elevada ao quadrado
Variância
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
v Expressa um desvio quadrático médio
v Pode causar alguns problemas de interpretação !!!
v Para evitar isto, costuma-se usar o DESVIO PADRÃO
Desvio Padrão (s)
v Raiz quadrada da variância
v Possui a mesma unidade dos dados originais e, 
consequentemente, da média
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
s = s2
Exemplo – Calcule a Desvio Padrão
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
s2 =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−11. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Somar todas as diferenças
5. Dividir por # − 1
6. Calcular a raiz quadrada O desvio padrão das notas em 
relação à media foi de 2,50 
PONTOS
s2 = 6,25
s = 6,25 = 2,50
A média das notas de estatística 
dos alunos foi de 5,25 com desvio 
padrão de 2,50 pontos
"̅ = 5,25
Idade dos estudantes da turma 
de inglês de um curso noturno
Idade 
(anos) xi
ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
Calcule o 
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ("̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por # − 1
7. Calcular a raiz quadrada
x = (16×1)+ (19×4)+ (24×3)+ (26×2)
10
=
=
216
10
= 21,6
&' =21,6 anos
x = 1
N
nixi
i=1
k
∑
Idade dos estudantes da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni !" − $! !" − $!
% &"× !" − $! %
16 1 16 - 21,6
19 4 19 - 21,6
24 3 24 - 21,6
26 2 26 - 21,6
total 10
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! = 21,6 anos
Idade dos estudantes da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni !" − $! !" − $!
% &"× !" − $! %
16 1 -5,6 (-5,6)2
19 4 -2,6 (-2,6)2
24 3 2,4 (2,4)2
26 2 4,4 (4,4)2
total 10
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! = 21,6 anos
Idade dos estudantes da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni !" − $! !" − $!
% &"× !" − $! %
16 1 -5,6 31,4
19 4 -2,6 6,8
24 3 2,4 5,8
26 2 4,4 19,4
total 10
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! = 21,6 anos
Idade dos estudantes da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni !" − $! !" − $!
% &"× !" − $! %
16 1 -5,6 31,4 31,4 x 1
19 4 -2,6 6,8 6,8 x 4
24 3 2,4 5,8 5,8 x 3
26 2 4,4 19,4 19,4 x 2
total 10
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! = 21,6 anos
Idade dos estudantes da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni !" − $! !" − $!
% &"× !" − $! %
16 1 -5,6 31,36 31,4
19 4 -2,6 6,76 27,0
24 3 2,4 5,76 17,3
26 2 4,4 19,36 38,7
total 10
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! = 21,6 anos
∑
Idade dos estudantes da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni !" − $! !" − $!
% &"× !" − $! %
16 1 -5,6 31,36 31,36
19 4 -2,6 6,76 27,04
24 3 2,4 5,76 17,28
26 2 4,4 19,36 38,72
total 10 114,4
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! = 21,6 anos
∑
s2= 
--.,.
-01- =
--.,.
3 = 12,7
Idade dos estudantes da turma de inglês de 
um curso noturno
Idade 
(anos) ni !" − $! !" − $!
% &"× !" − $! %
16 1 -5,6 31,36 31,36
19 4 -2,6 6,76 27,04
24 3 2,4 5,76 17,28
26 2 4,4 19,36 38,72
total 10 114,4
Desvio Padrão
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! = 21,6 anos
∑
s2= 12,7
s = 12,7 = 3,6 anos
Idade dos estudantes da 
turma de inglês de um 
curso noturno
Idade 
(anos) ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
Desvio Padrão
!" = 21,6 anos
s = 3,6 anos
A média de idade dos estudantes 
da turma de inglês de um curso 
noturno foi de 21,6 anos com 
desvio padrão de 3,6 anos
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 7,5 – 16,35
10 |-- 15 12,5 3 12,5 – 16,35
15 |-- 20 17,5 5 17,5 – 16,35
20 |-- 25 22,5 2 22,5 – 16,35
25|-- 30 27,5 1 27,5 – 16,35
Total 13
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 -8,85
10 |-- 15 12,5 3 -3,85
15 |-- 20 17,5 5 1,15
20 |-- 25 22,5 2 6,15
25|-- 30 27,5 1 11,15
Total 13
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 -8,85 (-8,85)2
10 |-- 15 12,5 3 -3,85 (-3,85)2
15 |-- 20 17,5 5 1,15 (1,15)2
20 |-- 25 22,5 2 6,15 (6,15)2
25|-- 30 27,5 1 11,15 (11,15)2
Total 13
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 -8,85 78,32
10 |-- 15 12,5 3 -3,85 14,82
15 |-- 20 17,5 5 1,15 1,32
20 |-- 25 22,5 2 6,15 37,82
25|-- 30 27,5 1 11,15 124,32
Total 13
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 -8,85 78,32 78,32 x 2
10 |-- 15 12,5 3 -3,85 14,82 14,82 x 3
15 |-- 20 17,5 5 1,15 1,32 1,32 x 5
20 |-- 25 22,5 2 6,15 37,82 37,82 x 2
25|-- 30 27,5 1 11,15 124,32 124,32 x 1
Total 13
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 -8,85 78,32 156,65
10 |-- 15 12,5 3 -3,85 14,82 44,47
15 |-- 20 17,5 5 1,15 1,32 6,61
20 |-- 25 22,5 2 6,15 37,82 75,65
25|-- 30 27,5 1 11,15 124,32 124,32
Total 13
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
∑
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 -8,85 78,32 156,65
10 |-- 15 12,5 3 -3,85 14,82 44,47
15 |-- 20 17,5 5 1,15 1,32 6,61
20 |-- 25 22,5 2 6,15 37,82 75,65
25|-- 30 27,5 1 11,15 124,32 124,32
Total 13 407,69
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtraira média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
∑
s2= ./0,234564 =
./0,23
47 = 33,97
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de 
leite (L) xi ni !" − $! !" − $! % &"× !" − $! %
05 |-- 10 7,5 2 -8,85 78,32 156,65
10 |-- 15 12,5 3 -3,85 14,82 44,47
15 |-- 20 17,5 5 1,15 1,32 6,61
20 |-- 25 22,5 2 6,15 37,82 75,65
25|-- 30 27,5 1 11,15 124,32 124,32
Total 13 407,69
s =
ni
i=1
n
∑ xi − x( )
2
n−1
Passo a Passo
1. Calcular a média ()̅)
2. Subtrair a média a cada um dos valores
3. Elevar a diferença obtida ao quadrado
4. Multiplicar os valores pelo peso
5. Somar todos os produtos
6. Dividir por * − 1
7. Calcular a raiz quadrada
$! =16,35 litros
Desvio Padrão
∑
s2= 33,97
s = 33,97 = 5,83 litros
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de leite
(L) xi ni
05 |-- 10 7,5 2
10 |-- 15 12,5 3
15 |-- 20 17,5 5
20 |-- 25 22,5 2
25|-- 30 27,5 1
Total 13
!" =16,35 litros
Desvio Padrão
s = 5,83 litros
A produção de leite 
média das vacas de 
uma propriedade em 
Serrinha, foi de 16,35 
litros com desvio 
padrão de 5,83 litros
Coeficiente de variação (CV)
v É uma medida de dispersão que expressa, em 
porcentagem, o desvio-padrão por unidade da 
média:
Serve para poder 
comparar o quanto 
duas amostras 
diferentes variaram 
em relação à media
s = desvio padrão
"̅ = média
CV = s"̅ × 100
Exemplo – Calcule o Coeficiente de variação
v Notas de Estatística de 4 alunos
v 2, 8, 5, 6
v Notas de Anatomia de 4 alunos
v 3, 6, 7, 9
As notas variaram 47,62% em 
relação à nota média de Estatística
"̅ = 5,25
s = 2,50
CV = s"̅ × 100
CV = 2,505,25 × 100 = 47,62%
"̅ = 6,25
s = 2,50
CV = 2,506,25 × 100 = 40,0%
As notas variaram 40% em relação à 
nota média de Anatomia
As notas de Estatísticas variaram mais em relação 
à média dos alunos
A variação foi 
a mesma?
Idade dos estudantes da 
turma de inglês de um 
curso noturno
Idade 
(anos) ni
16 1
19 4
24 3
26 2
total 10
Desvio Padrão
!" = 21,6 anos
s = 3,6 anos
A média de idade dos estudantes 
da turma de inglês de um curso 
noturno foi de 21,6 anos com 
desvio padrão de 3,6 anos
As idades variaram 16,77% em 
relação à idade média da turma
CV = s.̅ × 100
CV = 3,6021,6 × 100 = 16,77%
Produção de leite (l) de 13 vacas de uma
propriedade em Serrinha, BA, em 2018
Produção de leite
(L) xi ni
05 |-- 10 7,5 2
10 |-- 15 12,5 3
15 |-- 20 17,5 5
20 |-- 25 22,5 2
25|-- 30 27,5 1
Total 13
!" =16,35 litros
Desvio Padrão
s = 5,83 litros
A produção de leite 
média das vacas de 
uma propriedade em 
Serrinha, foi de 16,35 
litros com desvio 
padrão de 5,83 litros
A produção de leite variou 35,66% em 
relação à produção média das vacas
CV = s,̅ × 100
CV = 5,8316,35 × 100 = 35,66%
CV = Possibilita comparações
"Não confundir alhos 
com bugalhos"
Assunto Média (!") Desvio padrão (s) Coeficiente de Variação (CV)
Notas de 
estatística 5,25 pontos 2,50 pontos 47,62 %
Notas de 
Anatomia 6,25 pontos 2,50 pontos 40,00 %
Idade de alunos 21,6 anos 3,6 anos 16,77 %
Produção de leite 16,35 litros 5,83 litros 35,66 %
Assunto Média (!") Desvio padrão (s) Coeficiente de Variação (CV)
Notas de 
estatística 5,25 pontos 2,50 pontos 47,62 %
Notas de 
Anatomia 6,25 pontos 2,50 pontos 40,00 %
Produção de leite 16,35 litros 5,83 litros 35,66 %
Idade de alunos 21,6 anos 3,6 anos 16,77 %
Resumos Numéricos
Ø Ressaltar TENDÊNCIAS e características
v Medidas de Posição
v Medidas de Tendência Central
v Média, Mediana e Moda
v Separatrizes
v Quartis e Percentis
v Medidas de Variabilidade ou Dispersão
v Amplitude total, Intervalo Inter Quartil, Variância, Desvio 
padrão e Coeficiente de variação