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DEFINIÇÃO O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço. PROPÓSITO Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial, aplicando as propriedades e operações vetoriais no plano e no espaço. PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu smartphone/computador. Processing math: 100% OBJETIVOS Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto Processing math: 100% Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas. INTRODUÇÃO Em várias aplicações da ciência e da Matemática, torna-se necessária a definição de um elemento que requer na sua concepção, além de seu tamanho, sua orientação (direção e sentido). Por exemplo, ao se afirmar que um veículo está se locomovendo a uma velocidade de 80km/h, falta a informação de direção e sentido que ele está se encaminhando, para que se tenha um dado completo do problema. Este elemento, que tem na sua concepção o tamanho e a orientação, é o vetor. O conjunto dos vetores, atendendo a algumas operações básicas, irá definir o espaço vetorial. Processing math: 100% Neste estudo, vamos definir o espaço vetorial, o vetor e as suas operações básicas e, posteriormente, aplicar estes conceitos na resolução de alguns problemas ESPAÇO VETORIAL O espaço vetorial V consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a operações da adição e de multiplicação por um número real. SEJAM U E V ELEMENTOS DE V, NÃO VAZIO. ASSIM, V SERÁ UM ESPAÇO VETORIAL, SE E SOMENTE SE: Se u e v pertencem a V então u + v pertence a V; Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V. Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição e multiplicação por real, pois ao operarmos com elementos do espaço, o resultado fornece um outro elemento do mesmo conjunto. Na Álgebra, podemos definir espaços vetoriais de vários tipos de elementos, como por exemplo de matrizes de n linhas e m colunas, de funções reais de variável real e o espaço vetorial real de n dimensões (Rn). Processing math: 100% Um espaço vetorial muito trabalhado nas aplicações em Geometria Analítica e de Álgebra Linear é o espaço vetorial Rn. Este espaço vetorial será composto por elementos de n- dimensões reais, isto é RN = X1, X2, …, XN ∈ R N, I = 1,2, …, N , N ≥ 1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para n = 2 e n = 3, consegue-se associar uma análise geométrica ao estudo analítico do Rn. A partir de n > 3 as representações geométricas não são mais possíveis. Desta forma, particularmente para problemas no plano e no espaço, trabalharemos com R2 e R3, respectivamente. R2 = (X, Y) ∈ R2; X E Y REAIS R3 = (X, Y, Z) ∈ R3; X, Y E Z REAIS Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 1. Seja o conjunto C = {(x , 5) / x número real}. Verifique se o conjunto C é um espaço vetorial. SOLUÇÃO Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas. {( ) } { } { } Processing math: 100% Quando x = 2, o elemento (2,5) pertence a C, assim prova-se que o conjunto C é um conjunto não vazio. Seja um número real k = 2. Se u = (2, 5), então 2u = (2.2, 5.2) = (4, 10) = v. Mas v (4, 10) ≠(𝑥,5) para todo x. Portanto, v não pertence ao conjunto C. Desta forma, a operação de multiplicação por real não é fechada para o conjunto C. Então, C não é espaço vetorial. Pode-se também verificar que a operação de adição igualmente não é fechada para o conjunto C. Se u = (2, 5) e v = (3, 5), ambos pertencem a C. Mas u + v = (2+3, 5+5) = (5, 10) não pertencerá a C. 2. Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais. Verifique se o conjunto C é um espaço vetorial. SOLUÇÃO Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas. Seja m = x y z w o elemento do conjunto M, onde x, y, z e w são reais. Fazendo x = y = z = w = 1 tem-se o elemento m = 1 1 1 1 demonstrando que pelo menos um elemento existe no conjunto m, portanto ele não é vazio. Vamos supor k real. Ao multiplicarmos uma matriz por um número real, multiplica-se cada elemento da matriz por este número. Assim n = k. m = kx ky kz kw . Mas kx, ky, kz e kw são número reais, portanto, n também é um elemento do conjunto M demostrando que a operação de multiplicação por real é fechada no conjunto M. Sejam m = x y z w e n = a b d c dois elementos de M e p = m + n. Ao somarmos duas matrizes, somamos elemento a elemento, assim: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Processing math: 100% p = m + n = x + a y + b z + d w + c Como x + a, y + b, z + d e w + c são número reais, então p pertence a M, demonstrando também que a operação da adição é fechada para o conjunto M. Desta forma, verifica-se que o conjunto M é um espaço vetorial. VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS Existem dois tipos de grandeza: escalares e vetoriais. GRANDEZA ESCALAR A grandeza escalar é um ente matemático definido completamente pelo seu valor (magnitude, módulo, valor ou amplitude). A temperatura de uma sala ou a massa de um objeto são exemplos de grandezas escalares. GRANDEZA VETORIAL A grandeza vetorial, denominada de vetor, é um ente matemático que, para ser definido completamente, necessita, além da sua magnitude (módulo, valor ou amplitude), da definição da direção e do sentido. A velocidade de um carro ou a força atuante em um objeto são exemplos de grandeza vetorial. O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto (elemento) do espaço vetorial Rn, definido no item anterior. O vetor será representado pelos seus componentes. ATENÇÃO Assim sendo, um vetor de Rn será definido por n componentes reais, representado por (x1, x2, ..., xn). Cada componente real xi representa um tamanho da projeção do vetor na i-ésima [ ] Processing math: 100% dimensão. A combinação das n-componentes do vetor irá definir a orientação deste, dentro do espaço vetorial Rn. Para nosso caso particular do R2 e R3 podemos dar uma definição geométrica para o vetor através de um segmento de reta orientado. Seja o seguimento orientado de reta → 𝐴𝐵 , no plano ou no espaço, que seria um segmento de reta que apresenta um sentido definido. O ponto A é denominado de origem ou ponto inicial. O ponto B é chamado de extremidade ou ponto final. Este segmento orientado é definido pelo seu módulo (tamanho), direção e sentido. SE DOIS SEGMENTOS ORIENTADOS TIVEREM MÓDULOS, DIREÇÕES E SENTIDOS IGUAIS SERÃO SEGMENTOS EQUIPOLENTES OU EQUIVALENTES. → AB : Direção : Reta ∆ Sentido : A para B Módulo : Medida de ¯ AB IMPORTANTE! O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é denominado de vetor. Assim, vetor será representado geometricamente por um segmento orientado que apresenta um ( ) { Processing math: 100% módulo, uma direção e um sentido determinado. O vetor será representado por vetor →v ou pelos dois pontos que são suas extremidades na ordem do seu sentido, vetor → AB. Dessa forma, os vetores → AB e → BA são dois vetores diferentes. Eles terão mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos opostos. OPERAÇÕES BÁSICAS Como já visto, os vetores são objetos do espaço vetorial. Logo, podemos definir algumas operações básicas contidas no espaço vetorial: 1- IGUALDADE ENTRE VETORES Sejam →u x1, x2, . . . , xn e →v y1, y2, . . . , yn vetores do R n. Assim →u = →v ⇔ x1 = y1 , x2 = y2, . . . . , xn = yn, para todo i = 1, 2, ..., n 2 - ADIÇÃO ENTRE VETORES Sejam →u x1, x2, . . . , xn e →v y1, y2, . . . , yn dois vetores pertencentes ao R n. Se →w =→u + →v ⇒ w1, w2, . . . , wn = x1 + y1, x2 + y2, . . . . , xn + yn , para todo i = 1, 2, ..., n w também pertence ao Rn. 3 - MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Processing math: 100% Seja →u = x1, x2, . . . , xn vetor do R n e k um número real. Se →w = k →u ⇒ w1, w2, . . . , wn = kx1, kx2, . . . , kxn , para todo i = 1, 2, ..., n w também pertence ao Rn. Algumas propriedades podem ser definidas através da adição e multiplicação por um número real k: Associativa na Adição: →w + →u + →v = →w + →u + →v = →w + →u + →v Comutativa: →u + →v = →v + →u Existência do Elemento Neutro na Adição (0, denominado de elemento nulo): →u + 0 = →u Existência do Elemento Oposto na Adição: →u + - →u = 0 Distributiva por Vetor: → k →u + →v = k→u + k→v Distributiva por Escalar: k + h →u = k→u + h→u Associativa na Multiplicação por Real: kh →u = k h→u = h k→u Existência do Elemento Neutro na Multiplicação (1, denominado de elemento unitário): 1→u = →u IMPORTANTE! Para realizar a subtração de dois vetores →u - →v , seria semelhante a multiplicar o vetor →v por -1 e somar ao vetor →u EXEMPLO ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Processing math: 100% 1. Determine o valor de b e d para que os vetores →u( 4, b + d, 0, 1) e →v( 4 , 5 , 0, b – d) sejam iguais. SOLUÇÃO Para que dois vetores sejam iguais, todos os seus elementos devem ser iguais. Assim: b + d = 5 b - d = 1 Resolvendo o sistema, através da segunda equação tem-se b = 1 + d Substituindo na primeira, 1 + d + d = 5 → 2d = 5 – 1 = 4 → d = 2 Então, b = 1 + d = 1+ 2 = 3 ATENÇÃO! Este exercício só foi possível porque o primeiro componente, que vale 4, e o terceiro, que vale 0, eram iguais nos dois vetores. Se um dos dois fosse diferente, o exercício seria impossível. TEORIA NA PRÁTICA Em uma determinada região do espaço, um avião tem velocidade, em km/h, dada por vetor →v1 (100, b, 300). Um segundo avião apresenta uma velocidade, em km/h, dada por →v2 (50+a, 80, 300). Determine o valor de a + b para que os aviões tenham a mesma velocidade. Clique no botão para ver as informações. SOLUÇÃO { Processing math: 100% No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão. MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO Processing math: 100% Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço. INTRODUÇÃO NAS APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA, UTILIZA-SE UMA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA, ALÉM DO CÁLCULO ANALÍTICO. ASSIM, PARA SE TRABALHAR NO PLANO OU NO ESPAÇO, USA-SE OS ESPAÇOS VETORIAIS R2 E R3. Os vetores, sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior, terão neste caso uma representação por segmento orientado de reta e necessitarão de referências para serem definidos. Dessa forma, será apresentado o sistema cartesiano como um sistema de representação e referência para nossos estudos. Por fim, a definição de direções e sentidos é importante em várias aplicações, sendo necessária, portanto, a definição de vetores unitários que terão este objetivo. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO Como já visto no módulo anterior, a representação geométrica de um vetor será um segmento orientado de reta. Desse modo, torna-se necessário definir direções e sentidos, isto é, definir referências. Estas referências devem ser tanto para posição quanto para direção/sentido. Por isso, vamos adotar o sistema cartesiano para referenciarmos o espaço vetorial R2 e R3. No caso do R3, serão utilizados três eixos ortogonais, x, y e z, com valores reais, para referenciar as três dimensões. Qualquer direção/sentido no espaço pode ser definida por três Processing math: 100% direções ortogonais. A origem do sistema será definida no cruzamento dos eixos, ponto 0. O eixo x é denominado de abscissa, o eixo y de ordenada e o eixo z de cota. A seta de cada eixo define o sentido positivo de cada direção de referência. No caso do R2, serão utilizados apenas dois eixos ortogonais, x e y, com valores reais, para referenciar as suas duas dimensões. Qualquer direção/sentido no plano pode ser definida por duas direções ortogonais. ATENÇÃO Antes de definirmos como representar um vetor no plano ou no espaço, necessitamos definir a representação de um ponto nestas regiões. Um ponto P do R3 será representado por 3 componentes, que denominaremos de coordenadas. Cada coordenada representa as distâncias que o ponto tem em relação aos três planos que definem o espaço. Seja o Ponto P (X, Y, Z), com X, Y e Z números reais. X representa a distância de P ao plano YZ, Y a distância de P ao plano XZ e Z a distância de P ao plano XY. Se o ponto estiver do lado oposto do plano, antes da origem, os sinais serão negativos. Na figura ao lado estão representados os pontos P (1, 2, 2), Q (–1, –2, 1), R (1 , 2, –2) e S (1, –2, –2). A origem dos eixos será representada por O (0, 0, 0).. Processing math: 100% O R2 é um caso particular do R3, assim, os pontos no R2 apresentam apenas valores para abscissa e ordenada, ou seja, P(X,Y). Para representarmos um vetor, é preciso conhecer a sua projeção nas três direções representadas pelos eixos que definem o sistema de coordenadas. Veja a figura, o vetor →v projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho vx, na direção do eixo y apresenta um tamanho vy e na direção do eixo z um tamanho vz. Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da coordenada será negativo. Portanto, o vetor →v terá coordenadas (vx, vy , vz) , em que vx, vy e vz são número reais. No caso do R2, caso particular do R3, o vetor não terá a componente vz.Processing math: 100% Podemos representar, também, as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna, ou seja, →v = vx vy vz Na figura a seguir temos a representação, no plano, dos vetores →v (3, 1), →w (−1, 1) e →u (1, −3). Podemos observar que os segmentos → OP e → AB apresentam o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido, sendo representações, portanto, do mesmo vetor →v. Por isso, terão as mesmas coordenadas (3, 1). IMPORTANTE! A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de um vetor podem ser obtidas com as coordenadas dos seus pontos extremos, isto é, sua origem e sua extremidade. Assim, → AB = B - A Se a origem do vetor for a origem dos eixos coordenados O(0, 0, 0), a coordenada do vetor será igual à coordenada de sua extremidade. Logo, → OP = P - O = P ( ) Processing math: 100% javascript:void(0) HERMANN GRASSMANN (1809-1877) Matemático e físico alemão responsável pela criação da Álgebra Linear. EXEMPLO 1. Represente no sistema cartesiano os pontos P(1, 2), Q(-1, 2) e R(1, -1) SOLUÇÃO 2. Represente no sistema cartesiano os vetores: a) →v(1, 0) com ponto inicial no ponto (1, 2); b) →w(0, -2) com ponto inicial no ponto (1, 0); c) →u(1, -1) com ponto inicial no ponto (-1, 2). SOLUÇÃO Processing math: 100% 3. Determine as coordenadas do vetor →u que tem origem no ponto A(2, 3, -1) e extremidade no ponto B(0, 2, 1). Determine também o vetor →v = -→u. SOLUÇÃO Usando a notação de Grassmann: →u = → AB = B - A = ( 0 - 2 , 2 - 3 , 1 - (-1)) = - 2, - 1, 2 →v = - →u = → BA = A - B = ( 2 - 0 , 3 - 2 , - 1 - 1) = 2, 1, - 2 Como →v = -→u poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real: →v = - →u = → BA = A - B = ( 2 - 0 , 3 - 2 , - 1 - 1) = 2, 1, - 2 MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR DENOMINAMOS O TAMANHO DE UM VETOR POR MÓDULO OU NORMA. O MÓDULO DO VETOR →V SERÁ REPRESENTADO POR →V OU V. ( ) ( ) ( ) | | Processing math: 100% Observe a figura do item anterior, que apresenta as componentes do vetor. O módulo do vetor será dado pelo tamanho do segmento OP, assim →v = ¯ OP. Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ e verificar que o tamanho de PQ é a componente z do vetor →v, isto é, vz tem-se que |V|2 = ¯ PO 2 = ¯ PQ 2 + ¯ OQ 2 = V2Z + ¯ OQ 2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo OQR, obtém-se. ¯ OQ 2 = ¯ QR 2 + ¯ OR 2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal | | Processing math: 100% O tamanho de OR será a componente x do vetor →v, isto é, vx e o tamanho de QR será igual ao tamanho de OS que é a componente y do vetor →v, isto é, vy. Desta forma: ¯ OQ 2 = ¯ QR 2 + ¯ OR 2 = vy 2 + vz 2 →v 2 = vz 2 + ¯ OQ 2 = vz 2 + vy 2 + vz 2 Obtendo-se, assim, a fórmula que determina o módulo ou norma através das componentes do vetor: →v = v2z+ v 2 y + v 2 z EXEMPLO Determine o módulo dos vetores →u 0 , - 3 , 4 e →v -2, 1 , √3 : SOLUÇÃO →u = u2z+ u 2 y + u 2 z = √02 + (-3)2 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 →v = v2z+ v 2 y + v 2 z = (-2) 2 + 12 + √3 3 = √4 + 1 + 3 = √8 = 2√2 SAIBA MAIS Seja um triângulo ABC | | | | √ ( ) ( ) | | √ | | √ √ ( ) Processing math: 100% Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menor do que a soma dos outros dois lados. Repare que, se um dos lados fosse a soma dos outros, não haveria um triângulo formado. Se →u = → AB e →v = → BC, então AC será a soma dos dois vetores: →u + →v = → AC Dessa forma, os lados dos triângulos serão os módulos dos vetores →u , →v e →u + →v . Usando o mesmo teorema da Geometria, obtemos →u + →v ≤ →u + →v , que é denominada de Desigualdade Triangular. Desta desigualdade podemos definir outras: a) Se substituirmos →v por -→v →u + →v ≤ →u + →v →u - →v ≤ →u + -→v Então →u - →v ≤ →u + →v b) Se substituirmos o vetor →u por →u -→v →u + →v ≤ →u + →v →u - →v + →v ≤ →u - →v + →v →u ≤ →u - →v + →v →u - →v ≥ →u - →v | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Processing math: 100% OPERAÇÕES BÁSICAS NO PLANO OU NO ESPAÇO Retornando às operações básicas dos vetores, vistas no módulo anterior, vamos agora aplicá- las para o caso do R2 e R3. Assim, temos: MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL Seja →u xu, yu, zu e →w xw, yw, zw = → ku, onde k é o número real. Então: xw = kxu yw = kyu zw = kzu , k real A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção, mesmo sentido e de tamanho alterado para k vezes o módulo do vetor original. Caso o k seja negativo, o vetor altera também o sentido. Se |k| > 1, o novo vetor aumenta em relação ao anterior, porém, se |k| < 1, ocorre uma redução do tamanho. ADIÇÃO ENTRE VETORES Seja →u xu, yu, zu , →v xv, yv, zv e →w xw, yw, zw = →u + →v ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) Processing math: 100% Então xw = xu + xv yw = yu + yv zw = zu + zv Se →w xw, yw, zw = →u - →v, seria semelhante a multiplicar o vetor →v por -1 e somar ao vetor →u Então xw = xu - xv yw = yu - yv zw = zu - zv Geometricamente, podemos representar a soma e a subtração de vetores, no plano ou no espaço, pela regra do paralelogramo. Pode-se usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores, →u + →v = → QS, e da diferença dos vetores, →u - →v = → RP. →u + →v 2 = →u 2 + →v 2 - 2 →u →v cos(π - α) →u + →v 2 = →u 2 + →v 2 + 2 →u →v cos α e →u - →v 2 = →u 2 + →v 2 - 2 →u →v cosα { ( ) { | | | | | | | || | | | | | | | | || | | | | | | | | || | Processing math: 100% EXEMPLO 1. Determine o módulo do vetor →w = 2→u + →v, sendo →u(1 ,2 , −1) e →v (0 ,1 ,3). SOLUÇÃO →w = 2→u + →v = 2. 1 + 0, 2. 2 + 1, 2 - 1 + 3 = 2, 5, 1 Assim, →w = w2z + w 2 y + w 2 z = √ 22 + 52 + 12 = √4 + 25 + 1 = √30 VERSOR DE UM VETOR ÀS VEZES TORNA-SE NECESSÁRIO DEFINIR-SE UM VETOR UNITÁRIO EM UMA DETERMINADA DIREÇÃO E SENTIDO. ESTE VETOR UNITÁRIO É CONHECIDO POR VERSOR. Um vetor →v pode ser representado pela forma →v= →v v̂, isto é, seu módulo multiplicado pelo versor que define a sua direção e sentido. Por exemplo, imagine que eu queira um vetor →w que tenha a mesma direção e sentido do que o vetor →v, mas que tenha módulo k. Se eu definir →w = k →v estaria errado, pois →w = k →v , e o módulo de →w só seria k se o módulo de →v fosse unitário. Preciso, portanto, definir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor →v, com notação →v' ou v̂, que é denominado de versor: v̂ = → v →v Como 1 →v é uma constante positiva, v̂ terá a mesma direção e sentido do que →v, mas com módulo v̂ = →v →v = 1 Retornando ao nosso exemplo, o correto, então, é definir que →w = kv̂, pois →w = k v̂ = k. Agora, sim, ele teria a mesma direção e sentido do que v̂, que são os mesmos do que →v e módulo k. ( ( ) ) ( ) | | √ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Processing math: 100% ATENÇÃO! Uma aplicação direta do versor é a definição dos vetores unitários canônicos que definem as direções e sentidos do sistema cartesiano. Desse modo, a direção de x é definida pelo vetor x̂ = 1, 0, 0 , a direção de y por ŷ = 0, 1, 0 e a direção de z por ẑ = 0, 0, 1 . No caso do plano, haveria os vetores x̂ = 1, 0 e ŷ = 0, 1 . Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos, pois podemos considerar um vetor como sendo a soma de três vetores ortogonais. Seja →v xv, yv, zv , vamos definir os vetores →vx xv, 0, 0 , →vy 0, yv, 0 e →vz 0, 0, zv , assim, →v = →vx + →vy + →vz Mas, podemos definir estes vetores através dos vetores unitários →v = vxx̂ + vyŷ + vzẑ EXEMPLO 1. Determine o versor do vetor →u(3, 0, -4): SOLUÇÃO →u = u2z+ u 2 y + u 2 z = √32 + 02 + ( - 4)2 = √9 + 16 = √25 = 5 û = →u →u = 1 5 (3,0, - 4) = 3 5 , 0, - 4 5 TEORIA NA PRÁTICA Uma caixa de 2√2kg de massa percorre um piso liso com uma aceleração de 2m/s2. A direção e o sentido do movimento são definidos pelo vetor unitário √2 2 , - √2 2 . A força que gera o movimento tem vetor representado por → F a, b , com a real. Determine o valor de a e b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | √ | | ( ) ( ) ( )Processing math: 100% Clique no botão para ver as informações. SOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão. MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO Processing math: 100% Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto. INTRODUÇÃO A operação matemática de multiplicação (produto) entre dois vetores não é definida. Em compensação, definimos três tipos de produtos entre dois elementos vetoriais: PRODUTO ESCALAR PRODUTO VETORIAL PRODUTO MISTO Neste módulo, iremos definir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações. PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO Sejam os vetores →u xu, yu, zu e →v xv, yv, zv do R 3.( ) ( ) Processing math: 100% Define-se o produto escalar entre →u e →v como: →u. →v = xuxv + yuyv + zuzv COMO FOI OBSERVADO, O PRODUTO ESCALAR TEM COMO RESULTADO UM ESCALAR, ISTO É, UM NÚMERO QUE PODE SER POSITIVO, NEGATIVO OU ZERO. O PRODUTO ESCALAR PODE SER DEFINIDO PARA VETORES DO RN. PARA N > 3, ESTA OPERAÇÃO SERÁ DENOMINADA APENAS DE PRODUTO INTERNO. O produto escalar apresenta algumas propriedades: COMUTATIVA MULTIPLICAÇÃO POR REAL DISTRIBUTIVA →u · →v = →v · →u k →u · →v = k→u · →v = →u · k→v , onde k é real →u · →v + →w = →u · →v + →u · →w IMPORTANTE! Repare que →u · →u = xuxu + yuyu = x 2 u + y 2 u = →u 2 Assim, →u = x2u + y 2 u = √→u · →u EXEMPLO 1. Dados os vetores →u(2, 2) e →v(– 1, 3), determine o produto escalar entre os vetores 3→u e - →v. SOLUÇÃO 3→u. -→v = (3)(-1) →u. →v = (-3)[2. (-1) + 2.3] = (-3)[-2 + 6] = - 12 ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | √ ( ) ( ) Processing math: 100% PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO Sejam os vetores →u xu, yu, zu e →u xu, yu, zu do R 3. Considere que o ângulo entre →u e →v vale α. Define-se o produto vetorial entre →u e →v, com notação →u X →v, tal que: | →u x →v| = →u →v sen ∝ direção →u X →v ortogonal a →u e a →v sentido: regra da mão direita COMO O NOME INFORMA, O RESULTADO DO PRODUTO VETORIAL É UM VETOR QUE TEM DIREÇÃO PERPENDICULAR AOS DOIS VETORESINICIAIS, SENDO, PORTANTO, UM VETOR PERPENDICULAR AO PLANO FORMADO PELOS VETORES →U E →V. A regra da mão direita permite identificarmos o sentido do vetor →u x →v. ( ) ( ) | || | Processing math: 100% Na regra da mão direita, o dedo indicador fica na direção/sentido do primeiro vetor do produto e o dedo médio do segundo vetor. Assim, →v x →u será apontado para baixo, diferente de →u x →v. O produto vetorial, de forma diferente do produto escalar, só é definido para o R3. IMPORTANTE! O vetor →u x →v ≠ →v x →u. Eles terão mesmo módulo e mesma direção, mas pela regra da mão direita, mudando a ordem de →u e →v, terão sentidos contrários. O produto vetorial apresenta algumas propriedades a) Multiplicação por real: k (→u x →v) = (k→u x →v) = (→u x k→v), onde k é real b) Distributiva pelo produto vetorial: →u x (→v + →w) = →u x →v + →u x →w c) Se →v = k→u, isto é, se →v é paralelo a →u: →u x →v = 0 d) →u x →u = 0 e) →u x →v = (→u x →v)Processing math: 100% Seja →w = →u x →v, ao se resolver analiticamente a busca do vetor →w que atende às definições de produto vetorial, obtêm-se que: xw = yuzv - zuyv yw = zuxv - xuzv zw = xuyv - yuxv DICA O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um determinante: →u x →v = x̂ ŷ ẑ xu yu zu xv yv zv EXEMPLO 1. Determine o vetor →u x →v, sabendo que →u( 1, 2, −1) e →v (0, 1, −2) SOLUÇÃO Você pode aplicar diretamente as equações, mas fazendo através do determinante, fica mais prático: →u x →v = x̂ ŷ ẑ 1 2 -1 0 1 -2 = 2. (-2)x̂ + 0. (-1)ŷ + 1.1 ẑ - 1. (-1)x̂ - 1. (-2)ŷ - 0.2 ẑ = - 3x̂ + 2ŷ + ẑ = - 3, 2, 1 PRODUTO MISTO { | | | | ( ) Processing math: 100% Sejam os vetores →u xu, yu, zu , →v xv, yv, zv , →w xw, yw, zw do R 3. O produto misto, cuja notação é →u , →v , →w , é definido através de uma combinação entre produto escalar e produto vetorial. [→u, →v, →w] = (→u x →v) . →w = →u . (→v x →w) ATENÇÃO! O produto misto só é definido no R3, e por ser o resultado de um produto escalar, fornece como resultado um escalar. Ao se resolver analiticamente o produto misto, obtém-se uma expressão que pode ser representada pelo cálculo do seguinte determinante: →u , →v , →w = xu yu zu xv yv zv xw yw zw IMPORTANTE! Se o produto misto é nulo, quer dizer que um dos três vetores é combinação linear dos outros dois. Em outras palavras, os três vetores fazem parte de um mesmo plano no espaço. Assim, três vetores serão coplanares, isto é, pertencerão ao mesmo plano, se e somente se, →u , →v , →w = 0 O produto misto apresenta algumas propriedades: a) Multiplicação por real (k): k →u , →v , →w = k→u , →v , →w = →u , k→v , →w = →u , →v , k→w b) →u , →v , →w = →w , →u , →v = →v , →w , →u c) →u , →v , →w = - →u , →w , →v = - →v , →u , →w = - →w , →v , →u ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] | | [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Processing math: 100% EXEMPLO 1. Dados os vetores →u(0, 2, –5 ), →v(1, –1, 2) e →w(2, 0, –1 ). Determine o produto misto entre os vetores →u, →v e →w, nesta ordem. SOLUÇÃO →u , →v , →w = xu yu zu xv yv zv xw yw zw = 0 2 -5 1 -1 2 2 0 -1 = = 0. ( − 1). ( − 1) + ( − 5). 1. 0 + 2. 2. 2 – 0. 0. 2 – (– 1). 1. 2 – (– 5). ( – 1). 2 = 8 + 2 – 10 = 0 TEORIA NA PRÁTICA Três aeronaves, que realizam um movimento retilíneo, têm velocidades dadas pelos vetores →u (a, 1, –1), →v(0, 2, 1) e →w(1, 0, 2 ). Elas desejam voar de tal forma que as direções de seus movimentos formem um plano. Determine o valor de a, real, para que isso ocorra. Clique no botão para ver as informações. SOLUÇÃO [ ] | | | | Processing math: 100% No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão. MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO Processing math: 100% Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade INTRODUÇÃO O CONHECIMENTO DO ÂNGULO FORMADO POR DOIS VETORES PODE TER ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS, POR EXEMPLO, A VERIFICAÇÃO SE OS VETORES SÃO PARALELOS OU ORTOGONAIS. Assim, torna-se necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais. ÂNGULO ENTRE VETORES O ângulo entre dois vetores é aquele definido entre suas orientações positivas, ou seja, suas setas. Processing math: 100% No módulo anterior, aprendemos a usar a Lei de Cossenos, então, uma forma para obter o ângulo dos vetores é através desta solução: →u + →v 2 = →u 2 + →v 2 + 2 →u →v cosα cos ∝ = →u + →v 2 - →u 2 + →v 2 2 →u →v ou →u - →v 2 = →u 2 + →v 2 - 2 →u →v cosα cos ∝ = →u 2 + →v 2 - →u + →v 2 2 →u →v No entanto, existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do produto escalar. Pode ser provado que →u. →v = →u →v cos ∝ Assim, cos ∝ = →u . →v →u →v Se conhecemos o ângulo entre dois vetores, podemos verificar o sinal do produto escalar através da equação dada: a) Se 0 ≤ α < 900 se tem cos α > 0 , então →u. →v > 0 b) Se α = 900 se tem cos α = 0 , então →u. →v = 0 c) Se 900 < α ≤ 1800 se tem cos α < 0 , então →u. →v < 0 | | | | | | | || | | | ( | | | | ) | | | | | | | | | | | || | ( | | | | ) | | | | | | | || | | | | | Processing math: 100% EXEMPLO 1. Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores →u(2, 2) e →v(-1, 3): SOLUÇÃO →u. →v = 2. (-1) + 2.3 = - 2 + 6 = 4 →u = u2z+ u 2 y = √22 + 22 = √4 + 4 = 2√2 →v = v2z+ v 2 y = √( - 1)2 + 32 = √1 + 9 = √10 cos ∝ = →u . →v →u →v = 4 2√2 .√10 = 2 √20 = 2 2√5 = √5 5 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Uma aplicação direta do produto escalar, versor e ângulo entre vetores é a determinação da projeção de um vetor sobre o outro. Sejam dois vetores →u e →v que formam um ângulo α entre si. A projeção de →u sobre →v será denominada de → Puv → PUV = →u cos ∝ e → PUV = → PUV ∧ v | | √ | | √ | | | | | | | | | | Processing math: 100% Mas cosα = →u . →v | u | | v | → PUV = →u cosα ∧ v = →u →u . →v →u →v ∧ v = →u. →v ∧ v →v EXEMPLO 1. Determine a projeção do vetor →u(1, 1, 1) sobre o vetor →v (3, 0, −4): SOLUÇÃO →v = v2z+ v 2 y + v 2 z = √32 + 02 + ( - 4)2 = √9 + 16 = √25 = 5 v̂ = →v →v = 1 5 (3 ,0 , - 4) = 3 5 , 0, - 4 5 →u. →v = 1 .3 + 1. 0 + 1. (-4) = 3 - 4 = - 1, Assim, → PUV = →u. →v ∧ v | v | = - 3 5 , 0, 4 5 CONDIÇÃO DE PARALELISMOS E ORTOGONALIDADE A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar, assim: cos ∝ = →u . →v →u →v Desse modo, se dois vetores →u e →v são ortogonais, isto é, com ângulo entre si de 90o, então →u. →v = 0 sendo esta a condição de ortogonalidade. Se dois vetores →u e →v são paralelos entre si, então →v = k→u, com k real. Como já visto, neste caso →u x →v = 0. Sendo esta uma possível condição de paralelismo. | | | | ( | | | | ) ( ) | | | | √ | | ( ) ( ) ( ) | | | | Processing math: 100% Outra opção é que se →v = k →u, k real, usando as propriedades básicas do vetor: xv xu = yv yu = zv zu = k IMPORTANTE! As condições de ortogonalidade e paralelismo podem ser extrapoladas para a dimensão do Rn. Assim, dois vetores em Rn serão ortogonais se seu produto interno for zero e serão paralelos se suas coordenadas forem proporcionais. EXEMPLO 1. Determine o valor de b para que os vetores →u(2, b, 0) e →v(–1, 1, 3) sejam ortogonais. SOLUÇÃO →u. →v = 2. (-1) + b. 1 + 0.3 = - 2 + b Para serem ortogonais, →u. →v = 0 → - 2 + b = 0 → b = 2 2. Determine o valor de a e b para que os vetores →u(2, b, a) e →v(–1, 1, 3) sejam paralelos. SOLUÇÃO Se u e v são paralelos, então xv xu = yv yu = zv zu → - 1 2 = 1 b = 3 a Assim, b = -2 e a = (-3) . 2 = -6 TEORIA NA PRÁTICA Processing math: 100% O trabalho de uma força (w), medido em Joule (J), é um conceito de Física que mede o efeito de uma força sobre um deslocamento, logo, w = → F. → d, em que → F é a força aplicada ao objeto e → d o vetor deslocamento feito pelo objeto. Uma caixa de massa 2kg sofre o efeito de uma força → F(2, −2, 2)N. Com a aplicação desta força, a caixa se deslocado ponto A(– 1, 0, 2) até o ponto B (3, 0, 1). Determine o trabalho provocado por esta força na caixa durante este deslocamento. Clique no botão para ver as informações. SOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão. MÃO NA MASSA Processing math: 100% VERIFICANDO O APRENDIZADO CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo dos quatro módulos, foi possível descrever a definição de espaço vetorial e, principalmente, do elemento vetorial denominado de vetor, além da representação do vetor, suas operações matemáticas e aplicações no plano e no espaço. Por fim, relacionado à determinação do ângulo entre vetores, foram analisadas as condições de ortogonalidade e paralelismo. PODCAST AVALIAÇÃO DO TEMA: CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTESProcessing math: 100% javascript:void(0); REFERÊNCIAS ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. p. 119-180. APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. p. 519-536. HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2. ed. Nova Jersey: Prentice-Hall, 1971. p. 28-39. PEREIRA, Paulo. Cálculo é fácil - Cálculo 1: aulas 2 a 15, In: Equaciona com Paulo Pereira, Youtube. Publicado em: 8 mar. 2019 SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMJ, 2012. p. 132-208. EXPLORE+ Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet. Processing math: 100%
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