Estabilidade

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P R O F . C A R O L I N A R I B E I R O R O D R I G U E S
Controle 1
Aula 6
 Introdução – Estabilidade
 O Conceito de Estabilidade
 Análise de Estabilidade
 Análise de Estabilidade via Função de Transferência
 Análise de Estabilidade via Espaço de Estado
Resumo
 A estabilidade é a especificação de sistema mais importante. Caso 
um sistema seja instável, a resposta transitória e os erros em 
regime permanente são uma questão irrelevante.
 Foi visto que a resposta total de um sistema é a soma das 
respostas forçada e natural, ou
 A partir desse conceito, conclui-se:
 Um sistema LTI é estável se a resposta natural tende a zero à medida 
que o tempo tende a infinito.
 É instável se a resposta natural aumenta sem limites à medida que o 
tempo tende a infinito.
 É marginalmente estável caso a resposta natural não decaia nem 
aumente, mas permaneça constante ou oscile à medida que o tempo 
tende a infinito.
( ) ( ) ( )forçada naturalc t c t c t 
Introdução
 Observando a resposta total, 𝑐(𝑡), temos que:
 Um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada 
(bounded-input, bounded-output – BIBO-estabilidade).
 Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada.
 A estabilidade de um sistema relaciona-se com as raízes da equação 
característica da função de transferência do sistema.
 Sistemas estáveis possuem polos apenas no semiplano da esquerda.
 Sistemas instáveis possuem pelo menos um polo no semiplano da direita.
 Ainda, polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário levam à 
soma de respostas da forma tendendo ao infinito à medida que o tempo 
tende ao infinito (sistema instável).
 cos , para 1,2,...nAt t n  
Introdução
Resposta a impulso para várias posições de polos no plano 𝑠 (o polo 
conjugado não é mostrado – sistema de segunda ordem).
Introdução
 Nem sempre é simples determinar se um sistema de controle com 
realimentação é estável. 
 Um problema típico que surge é mostrado abaixo. Embora 
conheçamos os polos da função de transferência à frente em (a), 
não sabemos a posição dos polos do sistema em malha fechada 
equivalente em (b) sem fatorar ou calcular explicitamente as 
raízes do denominador.
Estabilidade – Sistema com Realimentação
Contudo, podemos tirar algumas conclusões:
 1- Se o sistema em malha fechada possuir apenas polos no 
semiplano da esquerda, então os fatores do denominador 
da função de transferência consistirão em produtos de 
termos como (𝑠 + 𝑎𝑖), em que 𝑎𝑖 é real e positivo, ou 
complexo com parte real positiva. 
 Logo, o produto desses termos é um polinômio com todos os 
coeficientes positivos.
 2- Nenhum termo do polinômio pode estar faltando, uma 
vez que isso implicaria no cancelamento entre coeficientes 
positivos e negativos ou fatores de raízes sobre o eixo 
imaginário.
Estabilidade – Sistema com Realimentação
 Portanto, uma condição suficiente para que um sistema seja instável
é que nem todos os sinais dos coeficientes do denominador da função 
de transferência em malha fechada sejam iguais. 
 Se potencias de 𝑠 estiverem faltando, o sistema é instável ou, na 
melhor das hipóteses, marginalmente estável. 
 Infelizmente, se todos os coeficientes do denominador estiverem 
presentes e forem positivos, não temos informações definitivas sobre 
as posições dos polos do sistema. É uma condição necessária, mas 
não suficiente.
 Um método para testar a estabilidade sem a necessidade de calcular 
as raízes do denominador é chamado de critério de estabilidade de 
Routh-Hurwitz. É uma condição necessária e suficiente.
Estabilidade – Sistema com Realimentação
 Com o método podemos dizer quantos polos do 
sistema em malha fechada estão no semiplano da 
esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo 𝑗𝜔
(Observe que foi dito quantos, e não onde).
 Construindo uma Tabela de Routh-Hurwitz Básica
Considere a função de transferência:
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
O denominador (contém os polos) pode ser descrito pela tabela:
As duas primeiras linhas são construídas a partir dos coeficientes 
do denominador da função de transferência.
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
A tabela é preenchida da seguinte forma:
O critério de Routh-Hurwitz estabelece que o numero de raízes do polinômio que 
estão no semiplano direito é igual ao numero de mudanças de sinal na primeira 
coluna.
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Caso 1 – Nenhum elemento nulo na primeira coluna
 Exemplo 1: Construa uma tabela de Routh-Hurwitz e diga quantas 
raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita e no 
semiplano da esquerda.
Solução: Primeiro passo obter o sistema em malha fechada.
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
Segundo, montar a tabela de Routh-Hurwitz:
Terceiro, interpretar a tabela de Routh-Hurwitz:
 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela, logo:
 2 polos no semiplano complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL.
3
2
1
0
1 31 0
10 1030 0
10 31 1 1030 10 0 1
72 0
72 0
7
0
0
10 10
1030 10
1030 0
2
0
s
s
s
s
     
 
  




Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Verificação com a ajuda do MatLab®
2 polos no semiplano 
complexo direito
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Exercício 1: Construa uma tabela de Routh e diga quantas 
raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita e no 
semiplano da esquerda.
Verifique os polos, por exemplo, utilizando o MatLab®.
Resposta: (𝑎). Quatro no semiplano da direita (spd) e três no 
semiplano da esquerda (spe), sistema instável.
(𝑏). Dois no (spd) e três no (spe), sistema instável.
 
 
7 6 5 4 3 2
5 4 3 2
 ( ) 3 9 6 4 7 8 2 6
10
 ( )
3 5 6 3 2 1
a P s s s s s s s s
b T s
s s s s s
       

    
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Caso 2 – Zero apenas na primeira coluna de uma linha
Para evitar esse fenômeno, um épsilon, 𝜖, tendendo a zero é 
designado para substituir o zero na primeira coluna.
 Exemplo 2: Determine a estabilidade da função de transferência 
em malha fechada
Utilize o comando MatLab® abaixo para obter os polos da função de 
transferência em malha fechada.
roots([1 2 3 6 5 3])
5 4 3 2
10
( )
2 3 6 5 3
T s
s s s s s

    
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
Solução:
negativo
positivo
 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela, logo:
 2 polos no semiplano complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL.
5
4
3
2
2
1
0
1 3 5
2 6 3
7
0 0
2
3 0
42 49 6
0 0
12 14
3 0 0
6 7
s
s
s
s
s
s



 


 

Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Exercício 2: Construa uma tabela de Routh-Hurwitz e determine o 
numero de polos no semiplano da esquerda, no semiplano da direita para 
o sistema. Após confirme a resposta com o código do MATLAB abaixo.
Resposta: Dois polos no semiplano da direita (spd) e três no semiplano da 
esquerda (spe), sistema instável.
No MatLab®
numg=1; % Define o numerador de G(s).
deng=conv([1 0],[2 3 2 3 2]); % Define o denominador
G=tf(numg,deng); % Cria o objeto G(s).
T=feedback(G,1) % Calcula em malha fechada T(s).
polos=pole(T) % Obtém os polos de T(s).
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Caso 3 – Uma linha inteira de zeros
Acontece quando um polinômio estritamente par ou estritamente impar for um 
fator do polinômio original.
 Exemplo 3: Determine o numero de polos no semiplano da direita da função 
de transferência em malha fechada
Utilize o comando MatLab® abaixo para obter os polos da função de 
transferência em malha fechada.
roots([1 7 6 42 8 56])
5 4 3 2
10
( )
7 6 42 8 56
T s
s s s s s

    
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
Solução:
 Nenhuma mudança de sinal na primeira coluna da tabela, logo:
 Nenhum polo no semiplano da direita.
5
4
3
2
1
0
1 6 8
7 42 56
28 84
21 56 0
2
0 
8
0 0
3
56
 0
0 0
0 
s
s
s
s
s
s
4 2 0( ) 7 42 56P s s s s  3 1( ) 28 84
dP s
s s
ds
 
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
Uma linha de zeros na tabela de 
Routh-Hurwitz
Construindo o polinômio auxiliar
Derivando em relação a 𝑠, temos
Substitua os coeficientes na linha de zeros.
Os polinômios pares só possuem raízes que são simétricas com 
relação à origem. Esta simetria pode ocorrer sob três condições de 
posições das raízes: 
(1) As raízes são simétricas e reais, 
(2) As raízes são simétricas e imaginarias,
(3) As raízes são quadrantais. 
A figura mostra exemplos 
desses casos. Cada caso 
ou combinação desses 
casos gera um polinômio
par.
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Logo, é o polinômio par que faz com que a linha de zeros apareça. 
 Ainda, algumas das raízes poderiam estar sobre o eixo 𝑗𝜔. Uma vez 
que raízes 𝑗𝜔 são simétricas em relação à origem, se não tivermos 
uma linha de zeros, não será possível termos raízes 𝑗𝜔.
Voltando ao Exemplo 3, o critério de Routh indica a inexistência de 
polos no semiplano da direita, embora falta ainda analisar o 
polinômio par
Este polinômio apresentar 4 raízes no eixo imaginário, portanto, fora 
do semiplano esquerdo.
4 2 0( ) 7 42 56P s s s s  
1,2 3,42 1, 41s j s j   
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Exemplo 4: Para a função de transferência, diga quantos polos 
estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre 
o eixo 𝑗𝜔.
Solução: Tabela de Routh:
8 7 6 5 4 3 2
20
( )
12 22 39 59 48 38 20
T s
s s s s s s s s

       
Distribuição de Pólos via Tabela de Routh com linhas de 
Zeros
Na linha 𝑠3 aparece uma linha de zeros. Voltando uma linha para 𝑠4, 
extraímos o polinômio par
𝑃(𝑠) dividirá o denominador de 𝑇 𝑠 e, consequentemente, é um fator.
Derivando em relação a 𝑠, obtemos
 Substitua a linha de zeros com 4, 6 e 0. Finalmente, continue a tabela 
até alinha 𝑠0, utilizando o procedimento padrão.
4 2( ) 3 2P s s s  
3( ) 4 6 0
dP s
s s
ds
  
Distribuição de Pólos via Tabela de Routh com linhas de 
Zeros
Interpretando a tabela:
 1º - Interpretando a partir do polinômio par (da linha 𝑠4 até 𝑠0):
Não existe mudança de sinal. Assim, o polinômio par não possui polos no 
semiplano da direita. Também não existem polos no semiplano da esquerda, devido 
ao requisito de simetria. Logo, os 4 polos estão sobre o eixo 𝑗𝜔.
 2º - Interpretando da linha 𝑠8 até 𝑠4:
Observa-se 2 mudanças de sinal. Portanto, 2 polos estão no semiplano da direita. 
Sistema instável.
Distribuição de Pólos via Tabela de Routh com linhas de 
Zeros
 Caso 4 – Polos repetidos no eixo 𝑗𝜔
Considere o seguinte polinômio característico,
A tabela de Routh é
 Neste caso, a existência de raízes 𝑗𝜔 múltiplas leva a um polinômio de quarta ordem 
na forma de um quadrado perfeito.
5 4 3 2( ) ( 1)( )( )( )( ) 2 2 1q s s s j s j s j s j s s s s s           
5
4
3
2
1
0
1 2 1
1 2 1
0
1 1 0
0 0
1 0 0
s
s
s
s
s
s
 

Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
Sendo 𝜖 → 0. Observe a ausência da troca de sinal,
uma condição que indica falsamente que o sistema é
marginalmente estável. O polinômio auxiliar da
linha 𝑠1 é (𝑠2+1) e da linha 𝑠3 é 𝑠4 + 2𝑠2 + 1 =
(𝑠2 + 1)2, indicando raízes repetidas sobre o eixo 𝑗𝜔,
logo o sistema é instável.
 Exercício 3: Utilize o critério de Routh-Hurwitz para descobrir quantos polos 
do sistema em malha fechada a seguir, 𝑇(𝑠), estão no spd, no spe e sobre o eixo 
𝑗𝜔:
Resp.: Dois no semiplano da direita (spd), dois no semiplano da esquerda (spe) e 
dois sobre o eixo 𝑗𝜔.
3 2
6 5 4 3 2
7 21 10
( )
6 0 6
s s s
T s
s s s s s s
  

     
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Exercício 4: Utilize o critério de Routh-Hurwitz para descobrir 
quantos polos do sistema em malha fechada estão no spd, no spe e 
sobre o eixo 𝑗𝜔:
Resp.: Dois no semiplano da direita (spd), quatro no semiplano da 
esquerda (spe) e dois sobre o eixo 𝑗𝜔.
Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz
 Exemplo 5: Determine a faixa de valores de ganho, 𝐾, para o 
sistema, que fará com que o sistema seja estável, instável e 
marginalmente estável. Admita 𝐾 > 0.
 Solução: Primeiro, obtenha a função de transferência em malha 
fechada como:
3 2
( )
18 77
K
T s
s s s K

  
Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Construa a tabela de Routh
 Se 𝐾 < 1386, todos os termos na primeira coluna serão positivos e, 
como não há mudanças de sinal, o sistema terá três polos no 
semiplano da esquerda e será estável.
 Se 𝐾 > 1386, o termo 𝑠1 na primeira coluna será negativo. Haverá 
duas mudanças de sinal, ou seja, sistema instável.
 Se 𝐾 = 1386, termos a linha 𝑠1 inteira de zeros, o que pode significar 
polos sobre 𝑗𝜔.
Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Retorne na linha 𝑠2 e substitua 𝐾 = 1386, construímos o polinômio par
Derivando em relação a 𝑠, temos
Substituindo a linha de zeros com os coeficiente, temos a tabela
Como não há mudanças de sinal a partir do polinômio par até o final da tabela,
o polinômio par tem suas duas raízes sobre o eixo 𝑗𝜔 com multiplicidade
unitária. Como não há mudanças de sinal acima do polinômio par, a raiz
remanescente está no semiplano da esquerda. Portanto, o sistema é
marginalmente estável.
2( ) 18 1386P s s 
( )
36 0
dP s
s
ds
 
Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
A figura ilustra a resposta ao degrau para alguns valores de 𝐾, 
100K  1386K  10000K 
Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
 Exercício 5: Para um sistema com realimentação unitária com a função de 
transferência à frente
Determine a faixa de valores de 𝐾 que torna o sistema estável.
Resp.: 0 < 𝐾 < 2.
 Exercício 6: Considere o sistema de controle. Qual a relação de 𝐾 e 𝑎 que 
torna o sistema estável.
Resp.:
 
  
20
( )
2 3
K s
G s
s s s


 
  60 6
36
K K
a
K
 

Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Projeto de Estabilidade via Routh em Função de Dois 
Parâmetros
Exemplo 6: Encontre os valores possíveis para os 
ganhos, 𝐾 e 𝐾𝐼, tal que o sistema realimentado com um 
controlador PI (Proporcional-Integral) seja estável.
 Solução: A equação característica em malha fechada 
é
  
 3 2
1
1 3 2 0
1 2
I
I
K
K s s K s K
s s s
 
        
  
A tabela de Routh é
Para a estabilidade, temos que
A função de transferência de malha fechada é
3
2
1
0
1 2
3
6 3
3
I
I
I
s K
s K
K K
s
s K

 
1
0 e 2
3
I IK K K  
 3 2
( )
( )
( ) 3 2
I
I
Ks KY s
T s
R s s s K s K

 
   
Projeto de Estabilidade via Routh em Função de Dois 
Parâmetros
A região pode ser traçada no MatLab® usando os comandos
fh=@(ki,k)6+3*k-ki;
ezplot(fh)
hold on
f=@(ki,k)ki;
ezplot(f);
A figura ao lado mostra a 
resposta transitória para 
três pares de ganhos de 
realimentação.
Projeto de Estabilidade via Routh em Função de Dois 
Parâmetros
Lembrando que os valores dos polos do sistema são 
iguais aos autovalores da matriz de sistema, 𝐴.
 Os autovalores da matriz 𝐴 são soluções da equação 
det(𝑠𝐼 − 𝐴), que também resultava nos polos da 
função de transferência. Assim,
é a equação característica do sistema a partir da qual os 
polos do sistema podem ser obtidos.
 det 0sI A 
Análise de Estabilidade via Espaço de Estados
 Exemplo 7: Dado o sistema, determine quantos polos estão no 
semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo 
𝑗𝜔.
 Solução: Primeiro construa
Agora, obtenha 
 
0 3 1 10
2 8 1 0
10 5 2 0
1 0 0
x x u
y x
   
   
 
   
        

 
0 0 0 3 1 3 1
0 0 2 8 1 2 8 1
0 0 10 5 2 10 5 2
s s
sI A s s
s s
      
     
      
     
             
  3 2det 6 7 52sI A s s s    
Análise de Estabilidade via Espaço de Estados
Utilizando o polinômio, forme a tabela de Routh
 Uma mudança de sinal na primeira coluna da tabela, logo:
 Um polo no semiplanoda direita e dois polos no semiplano da 
esquerda. Sistema Instável.
Utilize o comando MatLab® abaixo para obter os autovalores da matriz 
de sistema, 𝐴.
A=[0 3 1;2 8 1;-10 -5 -2] % Define a matriz A.
autovalores=eig(A) % Obtém os autovalores.
Análise de Estabilidade via Espaço de Estados
 Exercício 7: Para o sistema a seguir, representado no 
espaço de estados, determine quantos polos estão no 
semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o 
eixo 𝑗𝜔.
 Resp.: Dois no spd e um no spe.
 
2 1 1 0
1 7 1 0
3 4 5 1
0 1 0
x x r
y x
   
   
 
   
       

Análise de Estabilidade via Espaço de Estados