Quadripolos: Circuitos de Duas Portas

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Quadripolos 
(Circuitos de Duas Portas) 
Prof. Dr. Rafael Rorato Londero 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Referências 
• Alexander, C.K., Sadiku, M.N.O., Fundamentos de 
Circuitos Elétricos, 5ª ed., Bookman, 2013. 
 
• Dorf, R.C., Svoboda, J.A., Introdução aos Circuitos 
Elétricos, 8ª ed., LTC, 2012. 
 
 
 
Conteúdo 
1. Definição 
2. Parâmetros-z: Impedância 
3. Simulação no PSpice de Quadripolos 
4. Parâmetros-y: Admitância 
5. Parâmetros-h: Híbrido 
6. Parâmetros-t: Transmissão 
7. Conversão de Parâmetros 
8. Interconexão de Quadripolos 
 
 
 
1. Definição 
 A figura abaixo apresenta um quadripolo. 
Porta de Entrada Porta de Saída 
1. Definição 
 Dependendo da escolha das variáveis (tensões e/ou 
correntes) que tomamos da entrada e da saída, 
obtemos diferentes representações de quadripolos. 
 Variáveis 
Independentes 
Variáveis 
Dependentes 
Parâmetros 
I1 , I2 V1 , V2 Impedância [Z] 
V1 , V2 I1 , I2 Admitância [Y] 
V1 , I2 I1 , V2 Híbrida [H] 
I1 , V2 V1 , I2 Híbrida Inversa [G] 
V1 , I1 V2 , I2 Transmissão [T] 
V2 , I2 V1 , I1 Transmissão Inversa [T]
’ 
2. Parâmetros-z: Impedância 
 Um quadripolo representado pela Matriz 
Impedância [Z] tem a relação entre a entrada e a 
saída dada pela equação matricial: 


















2
1
2221
1211
2
1
I
I
zz
zz
V
V Variáveis 
Independentes 
Variáveis 
Dependentes 
Matriz Impedância [Z] 
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV


2. Parâmetros-z: Impedância 
 Podemos obter os elementos da matriz impedância 
[Z] através das seguintes relações: 
01
1
11
2

I
I
V
z
02
1
12
1

I
I
V
z
01
2
21
2

I
I
V
z
02
2
22
1

I
I
V
z
Os parâmetros-z são chamados de impedâncias de 
circuito aberto. 
Impedância de 
Entrada 
Impedância 
de Saída 
Impedância de 
Transferência da 
porta 2 para a 
porta 1 
Impedância de 
Transferência da 
porta 1 para a 
porta 2 
Exemplo 2.1: Matriz Impedância 
 Considere o circuito abaixo. Encontre os seus 
parâmetros-z no domínio-s. 
Exemplo 2.1: Matriz Impedância 
 Abaixo temos o circuito representado no domínio-s. 
0)(2 2111  IIsIV
211 )2( sIIsV 
0)(3 2122  IIsIV
212 )3( IssIV 
Exemplo 2.1: Matriz Impedância 
 Agora comparamos as equações de malha obtidas 
com as equações da matriz impedância [Z]. 
211 )2( sIIsV 
212 )3( IssIV  2221212
2121111
IzIzV
IzIzV


3
2
2221
1211


szsz
szsz
Exemplo 2.1: Matriz Impedância 
 Outra maneira de se calcular os parâmetros-z é 
utilizando as definições de seus próprios parâmetros. 
01
1
11
2

I
I
V
z
02
1
12
1

I
I
V
z
01
2
21
2

I
I
V
z
02
2
22
1

I
I
V
z
Impedância de 
Entrada 
Impedância 
de Saída 
Impedância de 
Transferência da 
porta 2 para a 
porta 1 
Impedância de 
Transferência da 
porta 1 para a 
porta 2 
2.1 Matriz Impedância Recíproca 
 A matriz impedância [Z] é recíproca se z12 = z21. 
 
 No exercício anterior obtivemos a seguinte matriz 
impedância: 
 
 
 
 E concluímos que o quadripolo é recíproco. 









3
2
][
ss
ss
Z
2.1 Matriz Impedância Recíproca 
 Para o caso da matriz impedância [Z] ser recíproca, o 
quadripolo pode ser representado pelo circuito T-
equivalente. 
2.1 Matriz Impedância Recíproca 
 Se o circuito contém fontes dependentes ou 
amplificadores operacionais a reciprocidade não é 
satisfeita e o quadripolo é não-recíproco. 
 
 Para um quadripolo não-recíproco temos z12 ≠ z21. 
 
 Todos os circuitos formados por elementos passivos 
(resistores, indutores e capacitores) são quadripolos 
recíprocos. 
2.1 Matriz Impedância Recíproca 
 Para um quadripolo [Z] não-recíproco, podemos 
representá-lo pelo circuito equivalente abaixo. 
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Encontre os parâmetros-z da rede de duas portas 
abaixo para m = 2/3. 
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Vamos calcular os parâmetros-z utilizando as 
definições de seus próprios parâmetros. 
01
1
11
2

I
I
V
z
02
1
12
1

I
I
V
z
01
2
21
2

I
I
V
z
02
2
22
1

I
I
V
z
Impedância de 
Entrada 
Impedância 
de Saída 
Impedância de 
Transferência da 
porta 2 para a 
porta 1 
Impedância de 
Transferência da 
porta 1 para a 
porta 2 
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV


Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Para calcular z11 e z21 colocamos uma fonte de tensão 
V1 na porta de entrada e deixamos aberta a porta de 
saída (I2 = 0). 
 
 
 
 
 Aplicando o conceito de supermalha: 
 
 
 
 
0324 11  IIIV
(1)54 11 IIV 
21 mVII 
(2)21 mVII 
(3)32 IV 
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Substituindo (3) em (2) e m = 2/3 : 
 
 
 
 Substituindo (4) em (1): 
 
 
 
III 3
3
2
1  (4)3
1 
I
I 
3
54 111
I
IV 
11
3
17
IV 


3
17
01
1
11
2I
I
V
z
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Substituindo (2) em (3) para m = 2/3: 






 212
3
2
3 VIV
212 23 VIV 


1
01
2
21
2I
I
V
z
12 33 IV 
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Para calcular z12 e z22 colocamos uma fonte de tensão 
V2 na porta de saída e deixamos aberta a porta de 
entrada (I1 = 0). 
 
 
 
 
 Aplicando a Lei das Malhas: 
 
 
 
0)(3 422  IIV
(5))(3 422 IIV 
0)(32 2414  IIVI
(6)53 421 IIV  (7)24 mVI 
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Substituindo (7) em (5) para m = 2/3: 
)(3 222 mVIV 
222
3
2
33 VIV 


1
02
2
22
1I
I
V
z
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Substituindo (5) em (7) para m = 2/3: 
 
 
 
 
 Substituindo (8) em (6): 
)(3
3
2
424 III 
424 22 III 
(8)
3
2
24 II 
221
3
2
53 IIV  

3
1
02
1
12
1I
I
V
z
Exemplo 2.2: Quadripolo Não-Recíproco 
 Finalmente, obtemos a matriz impedância do 
quadripolo. 
 
 
 
 Percebemos que z12 ≠ z21. Portanto, o quadripolo é 
não-recíproco. 







 

11
3
1
3
17
][Z
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Encontre os parâmetros-z para o circuito abaixo na 
frequência ω = 106 rad/s. 
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Primeiramente vamos desenhar o circuito em 
Regime Permanente Senoidal. 
j2 Ω 
-j250 Ω 
Vx 8 kΩ 2 kΩ 
Vx /20 
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV


01
1
11
2

I
I
V
z
I2 = 0 I1 
+ 
V1 
 - 
+ 
V2 
 - 
xVV 1
V1 V2 
Equação para V1: 
I
j
V
k
V
I 


2508
11
1
Equação para V2: 
k
VV
I
220
21 
2
21
j
VV
I


I 
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Substituindo a corrente I na equação de V2: 
 
 
 
 
 Substituindo a corrente I na equação de V1: 
 
 
 
k
VV
j
VV
2202
2121 

1
0
2 77,5005,1 VV 
22508
2111
1
j
VV
j
V
k
V
I




222508
2111
1
j
V
j
V
j
V
k
V
I 
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Substituindo V2 na equação anterior: 
 
 
 Finalmente, obtemos: 
 
 
 Podemos obter z21 através z11: 
2
77,5005,1
22508
1
0
111
1
j
V
j
V
j
V
k
V
I




0
01
1
11 46,469,19
2I
I
V
z


0
11
0
01
10
01
2
21 23,1079,1977,5005,177,5005,1
22
z
I
V
I
V
z
II
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Agora vamos calcular z22. 
j2 Ω 
-j250 Ω 
Vx 8 kΩ 2 kΩ 
Vx /20 
02
2
22
1

I
I
V
z
I2 I1 = 0 
+ 
V1 
 - 
+ 
V2 
 -xVV 1
V1 V2 
Equação para V2: 
I
V
k
V
I 
202
12
2
Equação para V1: 
k
V
j
V
I
8250
11 


2
12
j
VV
I


I 
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Substituindo a corrente I na equação de V1: 
 
 
 
 
 Substituindo a corrente I na equação de V2: 
 
 
 
k
V
j
V
j
VV
82502
1112 



2
0
1 01,0008,1 VV 
2202
1212
2
j
VVV
k
V
I


22202
1212
2
j
V
j
VV
k
V
I 
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Substituindo V1 na equação anterior: 
 
 
 Finalmente, obtemos: 
 
 
 Podemos obter z12 através z22: 
2
01,0008,1
220
01,0008,1
2
2
0
22
0
2
2
j
V
j
VV
k
V
I






0
02
2
22 5,454,19
1I
I
V
z


0
22
0
02
20
02
1
12 51,469,1901,0008,101,0008,1
11
z
I
V
I
V
z
II
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Abaixo segue o circuito desenhado no PSpice 
baseado no livro texto. Devemos realizar análise CA 
na frequência 0,15915 MHz (f = ω/2π). 
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
 Para determinar z22 e z12 recorremos ao circuito 
abaixo desenhado no PSpice baseado no livro texto. 
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
FREQ VM(1) VP(1) 
1.592E+05 1.969E+01 -4.461E+00 
FREQ VM(2) VP(2) 
1.592E+05 1.979E+01 -1.023E+01 


0
01
1
11 46,469,19
2I
I
V
z


0
01
2
21 23,1079,19
2I
I
V
z
Exemplo 3.1: Simulação no PSpice 
FREQ VM(2) VP(2) 
1.592E+05 1.954E+01 -4.504E+00 

0
02
2
22 5,454,19
1I
I
V
z
FREQ VM(1) VP(1) 
1.592E+05 1.969E+01 -4.518E+00 

0
02
1
12 51,469,19
1I
I
V
z
4. Parâmetros-y: Admitância 
 Um quadripolo representado pela Matriz Admitância 
[Y] tem relação dada pela equação matricial: 


















2
1
2221
1211
2
1
V
V
yy
yy
I
I
2221212
2121111
VyVyI
VyVyI


01
1
11
2

V
V
I
y Admitância de 
Entrada 
02
1
12
1

V
V
I
y
Admitância de 
Transferência da 
porta 1 para 2 
01
2
21
2

V
V
I
y
Admitância de 
Transferência da 
porta 2 para 1 
02
2
22
1

V
V
I
y
Admitância 
de Saída 
1][][  ZY
Os parâmetros-y são chamados de admitâncias de curto-circuito. 
4. Parâmetros-y: Admitância 
 Para que o quadripolo [Y] seja recíproco devemos 
ter: y12 = y21. 
 Desse modo, podemos representá-lo pelo circuito 
∏-equivalente abaixo. 
4. Parâmetros-y: Admitância 
 Caso o quadripolo dado pela matriz admitância [Y] 
seja não-recíproco. Então, ele pode ser representado 
pelo circuito genérico abaixo. 
Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Encontre os parâmetros-y da rede de duas portas 
abaixo. 
Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Vamos calcular os parâmetros-y utilizando as 
definições de seus próprios parâmetros. 
01
1
11
2

V
V
I
y
02
1
12
1

V
V
I
y
01
2
21
2

V
V
I
y
02
2
22
1

V
V
I
y
Admitância de 
Entrada 
Admitância 
de Saída 
Admitância de 
Transferência 
Admitância de 
Transferência 
2221212
2121111
VyVyI
VyVyI


Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Para calcular os parâmetros y11 e y21 colocamos uma 
fonte de corrente I1 na porta de entrada e aplicamos 
um curto-circuito na porta de saída (V2 = 0). 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a lei das 
correntes no ponto 1: 
(1)
24
2 0011 
VV
II 
(2)
8
01
1 
VV
I


Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Isolando V0 na equação (2): 
 Substituindo V0 na equação (1): 
 
110 8IVV 
2
8
4
8
2 111111
IVIV
II




111111 162884 IVIVII 
11 320 VI  S
V
I
y
V
15,0
20
3
01
1
11
2


Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Para calcular y21, aplique a lei dos nós no ponto 2. 
0
4
2 2
0
1  I
V
I
0
4
8
2 2
11
1 

 I
IV
I
0488 2111  IIVI
S
V
I
y
V
25,0
4
1
01
2
21
2


Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Para calcular os parâmetros y22 e y12 colocamos uma 
fonte de corrente I2 na porta de saída e aplicamos 
um curto-circuito na porta de entrada (V1 = 0). 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a lei das 
correntes no ponto 2: 
(3)0
4
2 2012 
VV
II 


(4)
8
0
1 
V
I 
Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Substituindo a equação (4) na equação (3): 
0
48
2 2002 


VVV
I
0
444
200
2 
VVV
I
S
V
I
y
V
25,0
4
1
02
2
22
1


Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Para calcular y12, aplique a lei dos nós ao ponto 1. 
42
2 20011
VVV
II


4
8
2
8
2 21111
VII
II


4
242 21111
V
IIII S
V
I
y
V
05,0
20
1
02
1
12
1


10 8IV 
Exemplo 4.1: Matriz Admitância 
 Finalmente, obtemos a matriz admitância [Y] do 
quadripolo. 
 
 
 
 Percebemos que os elementos da diagonal 
secundária são diferentes. Portanto, o quadripolo é 
não-recíproco. 









25,025,0
05,015,0
][Y
4.1 Transformação T ↔ ∏ (ou Y ↔∆) 
Transformação T → ∏ Transformação ∏ → T 
5. Parâmetros-h: Híbrido 
 Um quadripolo representado pela Matriz Híbrida [H] 
tem relação dada pela equação matricial abaixo: 


















2
1
2221
1211
2
1
V
I
hh
hh
I
V
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV


01
1
11
2

V
I
V
h Impedância de 
Entrada 
02
1
12
1

I
V
V
h
Ganho Inverso 
de Tensão 
01
2
21
2

V
I
I
h
Ganho Direto de 
Corrente 
02
2
22
1

I
V
I
h
Admitância 
de Saída 
5. Parâmetros-h: Híbrido 
 Para que o quadripolo [H] seja recíproco devemos 
ter: h12 = - h21. 
 Independente da reciprocidade, o quadripolo [H] 
pode ser representado pelo circuito abaixo. 
Exemplo 5.1: Equivalente de Thevenin 
 Determine o equivalente de Thevenin visto pela 
porta de saída do circuito abaixo. 
Exemplo 5.1: Equivalente de Thevenin 
 A tensão de Thevenin é a tensão de circuito aberto 
na porta de saída VTH = V2, quando I2 = 0. 
 
 
I2 = 0 I1 
+ 
V2 
- 
+ 
V1 
- 
11 4060 IV 
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV


222121
2121111
0
4060
VhIh
VhIhI


2
21
22
1 V
h
h
I 
Exemplo 5.1: Equivalente de Thevenin 
 Substituindo I1 na primeira equação: 
2122
21
22
112
21
224060 VhV
h
h
hV
h
h

212212221122221 4060 VhhVhhVhh 
2222111221
21
2
40
60
hhhhh
h
V


V
k
VVTH 69,29
200402001)2(10
1060
2 




Exemplo 5.1: Equivalente de Thevenin 
 Pelo fato do circuito equivalente do quadripolo [H] 
possuir fontes dependentes internamente, não 
podemos eliminar as variáveis independentes I1 e V2 
do circuito. 
 
Exemplo 5.1: Equivalente de Thevenin 
 Então, colocamos uma fonte de tensão V2 = 1 V na 
porta de saída e anulamos a fonte de 60 V na porta 
de entrada. 
2
2
I
V
ZTH 
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV


1
140
221212
121111


hIhI
hIhI
4011
12
1


h
h
I
Exemplo 5.1: Equivalente de Thevenin 
 Substituindo I1 na equação de I2, 
 
 
 
 
 Finalmente, 
 
 
 
 
mA
k
I 43,19200
401
2
102 


 
 46,51
43,19
1
2
2
mI
V
ZTH
22
11
12
212
40
h
h
h
hI 







5.1 Parâmetros-g: Híbrido Inverso 
 Um quadripolo representado pela Matriz Híbrida 
Inversa [G] tem relação dada pela equação matricial: 


















2
1
2221
1211
2
1
I
V
gg
gg
V
I
2221212
2121111
IgVgV
IgVgI


01
1
11
2

I
V
Ig Admitância de 
Entrada 
02
1
12
1

V
I
I
g
Ganho Inverso 
de Corrente 
01
2
21
2

I
V
V
g
Ganho Direto de 
Tensão 
02
2
22
1

V
I
V
g
Impedância 
de Saída 
1][][  HG
5.1 Parâmetros-g: Híbrido Inverso 
 Para que o quadripolo [G] seja recíproco devemos 
ter: g12 = - g21. 
 Independente da reciprocidade, o quadripolo [G] 
pode ser representado pelo circuito abaixo. 
6. Parâmetros-t: Transmissão 
 O quadripolo representado pela Matriz de 
Transmissão [T] é definido de maneira diferente em 
relação aos outros tipos estudados anteriormente. 


















2
2
1
1
I
V
DC
BA
I
V
221
221
DICVI
BIAVV


6. Parâmetros-t: Transmissão 
 Os parâmetros ABCD são calculados da seguinte 
forma: 
02
1
2

I
V
V
A Ganho Inverso 
de Tensão 
02
1
2

V
I
V
B
Impedância de 
Transferência 
02
1
2

I
V
I
C
Admitância de 
Transferência 
02
1
2

V
I
I
D
Ganho Inverso 
de Corrente 
221
221
DICVI
BIAVV


6.1 Parâmetros-t’: Transmissão Inverso 
 Analogamente, um quadripolo representado pela 
Matriz de Transmissão Inversa [T]’ tem relação dada 
pela equação: 


















1
1
2
2
I
V
dc
ba
I
V
112
112
dIcVI
bIaVV


01
2
1

I
V
V
a Ganho Direto 
de Tensão 
01
2
1

V
I
V
b
Impedância de 
Transferência 
01
2
1

I
V
I
c
Admitância de 
Transferência 
01
2
1

V
I
I
d
Ganho Direto 
de Corrente 
6.1 Parâmetros-t’: Transmissão Inverso 
 Para que os quadripolos [T] e [T]’ sejam recíprocos é 
necessário que: 
 
 
 
 
 Se A = D (ou a = d) o quadripolo é simétrico. 
Exemplo 6.1: Matriz de Transmissão 
 Os parâmetros ABCD da Matriz [T] do circuito abaixo 
são: 
 
 
 Uma carga representada pelo resistor variável RL é 
conectada na porta de saída do quadripolo de modo 
que a carga absorva potência máxima. Calcule o valor 
de RL e a potência absorvida pela carga. 





 

21,0
204
][
S
T
Exemplo 6.1: Matriz de Transmissão 
Exemplo 6.1: Matriz de Transmissão 
 Para calcular o valor de RL, primeiramente devemos 
determinar o equivalente de Thevenin visto pelos 
terminais da carga. 
221
221
DICVI
BIAVV


TH
TH
VI
VI


1,0
41050
1
1
  THTH VV 41,01050 
VVTH 10
Exemplo 6.1: Matriz de Transmissão 
 A resistência de Thevenin RTH pode ser calculada 
anulando-se a fonte de 50 V e colocando uma fonte 
de tensão de 1 V na porta de saída. 
221
221
DICVI
BIAVV


21
21
211,0
201410
II
II


  22 20421,010 II 
AI 125,02 
 8
125,0
1
2
2
I
V
RTH
Exemplo 6.1: Matriz de Transmissão 
 O circuito equivalente visto pela carga é dado abaixo. 
Para que a carga absorva 
potência máxima devemos 
ter: 
 8THL RR
A
RR
V
I
THL
TH
PL 625,0
88
10
max 




2
maxmax PLLL IRP 
WPL 125,3625,08
2
max 
7. Conversão de Parâmetros 
 Vamos converter os parâmetros-z para os 
parâmetros-h. 
 
 
 
 Os parâmetros-h são dados por: 
 


















2
1
2221
1211
2
1
I
I
zz
zz
V
V
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV




















2
1
2221
1211
2
1
V
I
hh
hh
I
V
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV


7. Conversão de Parâmetros 
 Dessa forma, devemos obter uma equação para I2 
em termos de I1 e V2. 
 
 
 
 
 Comparando as equações, 
2221212 IzIzV  2
22
1
22
21
2
1
V
z
I
z
z
I 
2121111 IzIzV  2
22
12
1
22
21122211
1 V
z
z
I
z
zzzz
V 


2221212
2121111
VhIhI
VhIhV


22
22
22
21
21
22
12
12
22
11
1
z
h
z
z
h
z
z
h
z
h Z




8. Interconexão de Quadripolos 
 Quadripolos podem ser interconectados de três 
maneira: 
 
 8.1 Interconexão Série 
 8.2 Interconexão Paralela 
 8.3 Interconexão em Cascata 
 
 Dependendo da ligação, alguns tipos de quadripolos 
são mais vantajosos que outros. 
8.1 Interconexão Série 
 
ba VVV 111 
ba III 111 
ba VVV 222 
ba III 222 
8.1 Interconexão Série 
 Pela característica da ligação, o quadripolo [Z] 
oferece algumas vantagens: 
     ba VVV 
         IZIZV ba 
        IZZV ba 
     baeq ZZZ 
8.2 Interconexão Paralela 
ba III 111 
ba VVV 111 
ba III 222 
ba VVV 222 
8.2 Interconexão Paralela 
 Pela característica da ligação, o quadripolo [Y] 
oferece algumas vantagens: 
     ba III 
         VYVYI ba 
        VYYI ba 
     baeq YYY 
8.3 Interconexão Cascata 
Dizemos que dois quadripolos estão ligados em 
cascata quando a porta de saída de um é ligada a 
porta de entrada de outro. 
8.3 Interconexão Cascata 
 Pela característica da ligação, o quadripolo [T] 
oferece algumas vantagens: 
  











a
a
a
a
a
I
V
T
I
V
2
2
1
1
  











b
b
b
b
b
I
V
T
I
V
2
2
1
1
    











b
b
ba
a
a
I
V
TT
I
V
2
2
1
1
     baeq TTT 
  











2
2
1
1
I
V
T
I
V
eq
Exemplo 8.1: Interconexão de Quadripolos 
 Calcule V2 / Vs para o circuito abaixo. 
Exemplo 8.1: Interconexão de Quadripolos 
 Pela figura percebemos que os quadripolos estão 
ligados em série. 
 Recorrendo ao circuito T-equivalente para o 
quadripolo [Z] da parte inferior do circuito, podemos 
obter os seus parâmetros-z. 
10
0 0
  






1010
1010
bZ
Exemplo 8.1: Interconexão de Quadripolos 
 O quadripolo equivalente [Zeq] da interligação será: 
 
 
 
 Logo, 
 
 
 
      


















3018
1822
1010
1010
208
812
baeq ZZZ


















2
1
2221
1211
2
1
I
I
zz
zz
V
V
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV


Exemplo 8.1: Interconexão de Quadripolos 
 Analisando o circuito, podemos calcular V1 e V2. 
11 5 IVV s 
22 20IV 
Exemplo 8.1: Interconexão de Quadripolos 
 Substituindo essas condições de contorno nas 
equações do quadripolo equivalente. 
21211115 IzIzIVs 
222121220 IzIzI 
212 301820 III 
21
18
50
II 
211 18225 IIIVs 
22 18
18
50
27 IIVs 






257IVs 
Exemplo 8.1: Interconexão de Quadripolos 
 Portanto, 
2
22
57
20
I
I
V
V
s 


3509,02 
sV
V