Equação da Continuidade Equação de Bernoulli

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Equação da Continuidade; Equação de 
Bernoulli;
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar o comportamento de fluidos ideais em 
movimento, bem como os modelos matemáticos utilizados para descrever o fluxo. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Resolver problemas da hidrodinâmica utilizando a equação da continuidade e a equação de 
Bernoulli.
•
Identificar quais as variáveis da hidrodinâmica estão envolvidas nos problemas físicos de 
interesse
•
Avaliar como as variáveis da hidrodinâmica se relacionam.•
DESAFIO
A massa de um avião de passeio é da ordem de grandeza de 105 quilogramas. Logo, a força de 
sustentação agindo sobre um avião que voa com velocidade constante deve ser da ordem de 106 
Newtons. 
Explique de que maneira ocorre a sustentação do avião.
INFOGRÁFICO
Uma consideração muito importante para que se encontre a equação da continuidade e a 
equação de Bernoulli é que, em um tubo de fluxo, o volume que entra, e portanto a massa, já 
que o fluido é incompressível, é igual ao volume que sai.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Utilizando o modelo de fluido ideal, estudaremos agora a dinâmica dos fluidos, bem como os 
modelos matemáticos que descrevem o fluxo do fluido ideal, que serve como uma boa 
aproximação para a compreensão de fluidos reais. Acompanhe um trecho do livro Física: uma 
abordagem estratégica, de Randall Knight, que servirá de base teórica para este estudo. Inicie a 
leitura a partir do título "A equação da continuidade".
Boa leitura.
RANDALL D. KNIGHTRANDALL D. KNIGHT
VOLUME 2
TERMODINÂMICA
ÓPTICA
K71f Knight, Randall.
 Física 2 : uma abordagem estratégica / Randall Knight ; 
 tradução Iuri Duquia Abreu. – 2. ed. – Porto Alegre : Bookman, 2009.
 392 p. : il. tabs. ; 28 cm. 
 ISBN 978-85-7780-478-8
 1. Física 2.Termodinâmica. 3. Óptica. I. Título. 
CDU 535/536
Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University, EUA, e na California 
Polytechnic University, onde atualmente é professor de física. O professor Knight bacharelou-
se em Física pela Washington University, em Saint Louis, e doutorou-se em Física pela Univer-
sity of California, Berkeley. Fez pós-doutorado no Harvard-Smithsonian Center for Astrophy-
sics, antes de trabalhar na Ohio State University. Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o 
ensino da física, o que, muitos anos depois, o levou a escrever este livro.
Os interesses de pesquisa do professor Knight situam-se na área de laser e espectroscopia, 
com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados. Ele também dirige o programa de estudos am-
bientais da Cal Poly, onde, além de física introdutória, leciona tópicos relacionados a energia, 
oceanografia e meio ambiente. Quando não está em sala de aula ou na frente de um compu-
tador, o professor Knight está fazendo longas caminhadas, remando em um caiaque, tocando 
piano ou desfrutando o seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos.
Sobre o AutorSobre o Autor
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges – CRB-10/1922
.
460 Física: Uma Abordagem Estratégica
transição para um fluxo turbulento. Uma transição de laminar para turbulento não é in-
comum no fluxo de fluidos. O modelo de fluido ideal pode ser aplicado ao fluxo laminar, 
mas não, ao fluxo turbulento.
A equação da continuidade
A FIGURA 15.27 é mais uma fotografia interessante. Aqui a fumaça é usada para auxiliar 
os engenheiros a visualizar o fluxo de ar em torno de um carro em um túnel de vento. A 
suavidade do fluxo nos diz que se trata de um fluxo laminar. Mas observe como as trilhas 
individuais de fumaça retêm sua identidade. Elas não atravessam umas às outras nem se 
misturam. Cada trilha de fumaça representa uma linha de fluxo no fluido.
FIGURA 15.27 O fluxo de ar laminar 
em torno de um carro em um túnel 
de vento fica visível com a fumaça. 
Cada trilha de fumaça representa 
uma linha de fluxo
Linha de fluxo
Imagine que você pudesse injetar uma gota de água colorida em uma corrente de 
água fluindo como um fluido ideal. Uma vez que o fluxo é estacionário e sem atrito e 
que a água é incompressível, esta gota colorida manteria sua identidade ao fluir. Sua 
forma poderia mudar, tornando-se compacta ou alongada, mas a gota não se misturaria 
com a água circundante.
O percurso ou trajetória seguido por esta “partícula de fluido” é chamado de linha de 
fluxo. Partículas de fumaça misturadas com o ar lhe permitem ver as linhas de fluxo na 
fotografia da Figura 15.27. Note como as trilhas individuais de fumaça retêm sua identi-
dade. A FIGURA 15.28 ilustra três propriedades importantes das linhas de fluxo.
Um feixe de linhas de fluxo vizinhas, como as mostradas na FIGURA 15.29a, constitui 
um tubo de fluxo. Já que as linhas de fluxo nunca se cruzam, todas as que atravessarem 
o plano 1, de área A1, posteriormente passarão pelo plano 2, de área A2. Um tubo de fluxo 
é como um cano invisível que mantém essa porção do fluido em movimento diferente 
das outras porções. Canos reais também são tubos de fluxo.
Plano
Plano
Tubo de fluxo definido 
por quatro linhas de 
fluxo
A velocidade do 
fluido neste ponto 
é
Área
Área
A velocidade do 
fluido neste ponto 
é v
2
.
O mesmo volume de fluido atravessa 
os dois planos durante 
O fluido percorre esta 
distância durante 
Volume
Volume
O fluido é incompressível, 
portanto estes volumes 
devem ser iguais.
FIGURA 15.29 Um tubo de fluxo.
1. Linhas de fluxo nunca se cruzam.
2. A velocidade da partícula 
 do fluido é tangente à linha 
 de fluxo.
3. A velocidade é maior onde as linhas
 de fluxo estão mais próximas.
FIGURA 15.28 As partículas de um fluido 
ideal se movem ao longo de linhas de 
fluxo.
CAPÍTULO 15 ■ Fluidos e Elasticidade 461
Quando você aperta um tubo de pasta de dente, o volume da pasta que emerge é 
equivalente à quantidade em que você reduziu o volume do tubo. Em um tubo de fluxo, 
um fluido incompressível comporta-se da mesma maneira. O fluido não é criado ou 
destruído dentro do tubo de fluxo nem pode ali ser armazenado. Se o volume V entra no 
tubo de fluxo através da área A1 durante algum intervalo de tempo �t, então um volume 
V igual sai do tubo de fluxo através da área A2.
A FIGURA 15.29b mostra o fluxo passando por A1 durante um curto intervalo de tempo 
�t. Se a velocidade do fluido nesta região é v1, o fluido se movimentará uma curta dis-
tância para a frente, �x1 � v1�t, e ocupará o volume V1 � A1�x1 � v1A1�t. A mesma 
análise para o fluido que passa por A2 com velocidade do fluido v2, ocuparia V2 � v2A2�t. 
Esses dois volumes devem ser iguais, o que leva à conclusão de que
 
(15.19)
A Equação 15.19 é chamada de equação da continuidade e é uma das duas equa-
ções mais importantes para o fluxo de um fluido ideal. A equação da continuidade sig-
nifica que o volume de um fluido incompressível que entra em uma parte de um 
tubo de fluxo deve ser correspondido por um volume igual que sai do mesmo tubo 
a jusante.
Uma conseqüência importante da equação da continuidade é que o fluxo é mais 
rápido nas partes mais estreitas de um tubo de fluxo e mais lento nas partes mais 
largas. Você está familiarizado com essa conclusão a partir de diversas observações 
feitas no dia-a-dia. Por exemplo, a água que flui da torneira mostrada na FIGURA 15.30 
adquire velocidade enquanto cai. Como resultado, o tubo de fluxo “cria um gargalo” e 
fica com um diâmetro menor.
A grandeza
 Q � vA (15.20)
é chamada de vazão de volume. A unidade do SI para Q é o m3/s, embora, na prática, 
Q possa ser expressa também em cm3/s, litros por minuto ou, nos Estados Unidos, em 
galões por minuto. Outra maneira de expressar o significado da equação da continui-
dade é dizer que a taxa de fluxo de volume é constante em todos os pontos de um 
tubo de fluxo.
EXEMPLO 15.10 Gasolina através de um cano
Uma refinaria de petróleo bombeia gasolina para um tanque de arma-
zenamento de 1.000 L através de um canode 8,0 cm de diâmetro. O 
tanque pode ser inteiramente enchido em 2,0 min.
 a. Qual é a velocidade da gasolina ao passar pelo cano?
 b. Mais adiante no fluxo, o diâmetro do cano é de 16 cm. Qual é a 
velocidade de fluxo nesta secção do cano?
MODELO Trate a gasolina como um fluido ideal. O cano é um tubo de 
fluxo, então a equação da continuidade se aplica.
RESOLUÇÃO a. A vazão de volume é Q � (1.000 L)/(120 s) � 8,33 L/s. 
Para converter isso em unidades do SI, lembre-se de que 1 L � 10
�3
 m
3
. 
Logo, Q � 8,33 � 10�3 m3/s. Podemos determinar a velocidade da gaso-
lina usando a Equação 15.20:
 
 b. A vazão Q � vA permanece constante. A área transversal depende 
do quadrado do raio, então a área transversal do cano é 4 vezes 
maior nesta parte do que na anterior. Conseqüentemente, a veloci-
dade de fluxo deve ser 4 vezes menor, ou seja, igual a 0,41 m/s.
PARE E PENSE 15.5
 A figura mostra as vazões de 
volume (em cm
3
/s) para todos os tubos da figu-
ra, menos um. Qual é a taxa de fluxo de volu-
me através do tubo sem indicação? A direção 
do fluxo é para dentro ou para fora?
FIGURA 15.30 O diâmetro do tubo de 
fluxo muda à medida que a velocidade 
aumenta. Isso é uma conseqüência da 
equação da continuidade.
Fluxos em cm3/s
462 Física: Uma Abordagem Estratégica
A equação de Bernoulli
A equação da continuidade é uma de duas relações importantes para fluidos ideais. A 
outra é um enunciado alternativo da conservação de energia. O enunciado geral da con-
servação de energia que você aprendeu no Capítulo 11 do Volume 1 é
 �K � �U � Wext (15.21)
onde Wext é o trabalho total realizado por quaisquer forças externas exercidas.
Vejamos como isso se aplica ao tubo de fluxo da FIGURA 15.31. Nosso sistema para análi-
se é o volume do fluido contido no tubo de fluxo. O trabalho é realizado sobre este volume 
de fluido pelas forças de pressão do fluido circundante. No ponto 1, o fluido à esquerda do 
tubo de fluxo exerce uma força sobre o sistema. Esta força aponta para a direita. Na outra 
extremidade do tubo de fluxo, no ponto 2, o fluido à direita do tubo de fluxo exerce uma 
força para a esquerda. A pressão dentro do tubo de fluxo não é relevante porque essas 
forças são internas ao sistema. Somente forças externas podem alterar a energia total.
Os volumes dos cilindros 
sombreados são iguais.
Área
Área
 devida 
à pressão 
em 2
O fluido dentro do
tubo de fluxo é o 
sistema.
Somente forças externas ao sistema
realizam trabalho sobre ele. A pressão
dentro do tubo de fluxo não realiza 
qualquer trabalho sobre o sistema.
 devida 
à pressão 
em 1
Volume
Volume
FIGURA 15.31 Análise de energia para um tubo de fluxo.
No ponto 1, a força empurra o fluido ao longo do deslocamento . Os vetores 
e são paralelos, de modo que o trabalho realizado sobre o fluido neste ponto é
 (15.22)
As grandezas A1 e �x1 entram na equação a partir de termos diferentes, mas conveniente-
mente se combinam para dar ao fluido volume V.
A situação é a mesma no ponto 2, exceto pelo fato de que aponta em sentido opos-
to ao do deslocamento . Isso introduz um cos (180°) � �1 no produto escalar para o 
trabalho, resultando em
 (15.23)
No ponto 1, a pressão a partir da esquerda empurra o fluido para a frente, realizando um 
trabalho positivo. A pressão a partir da direita, no ponto 2, tende a diminuir a velocidade 
do fluido, realizando um trabalho negativo. Conjuntamente, o trabalho realizado pelas 
forças externas é
 (15.24)
Agora vamos analisar como este trabalho altera a energia cinética e a energia po-
tencial do sistema. Um volume pequeno de fluido V � A1�x1 passa pelo ponto 1 e, em 
algum tempo posterior, chega ao ponto 2, onde o volume inalterado é V � A2�x2. A 
variação na energia potencial gravitacional deste volume de fluido é
 (15.25)
CAPÍTULO 15 ■ Fluidos e Elasticidade 463
onde � é a densidade do fluido. Analogamente, a variação na energia cinética é
 
(15.26)
Combinando as Equações 15.24, 15.25 e 15.26, obtemos a equação de energia para o 
fluido no tubo de fluxo:
 
(15.27)
O volume V é cancelado em todos os termos. Rearranjando os termos, a equação de 
energia assume a forma
 
(15.28)
A Equação 15.28 é chamada de equação de Bernoulli. Ela recebeu o nome do cientista 
suíço do século XVIII, Daniel Bernoulli, que realizou alguns dos primeiros estudos so-
bre a dinâmica dos fluidos.
A equação de Bernoulli, na verdade, nada mais é do que um enunciado sobre traba-
lho e energia. Às vezes, é útil expressar a equação de Bernoulli na forma alternativa
 
(15.29)
Esta versão da equação de Bernoulli significa que a quantidade perma-
nece constante ao longo de linhas de fluxo.
Uma aplicação importante da equação de Bernoulli pode ser facilmente demonstra-
da. Antes de ler o próximo parágrafo, tente fazer a simples experiência ilustrada na FIGU-
RA 15.32. Sério, tente mesmo!
O que aconteceu? Você provavelmente esperava que sua respiração pressionasse o peda-
ço de papel para baixo. Ao invés disso, o papel subiu. De fato, quanto mais forte você soprar, 
mais o papel se tornará paralelo ao chão. Este resultado contra-intuitivo é uma conseqüência 
da equação de Bernoulli. À medida que a velocidade do ar acima da tira de papel aumenta, 
a pressão tem de diminuir a fim de manter constante a grandeza . Conse-
qüentemente, a pressão do ar acima da tira é menor do que a pressão do ar abaixo da mesma, 
resultando em uma força resultante orientada para cima sobre o papel.
NOTA � O uso da equação de Bernoulli é muito parecido com o uso do princípio de 
conservação de energia. Em vez de identificar um “antes” e um “depois”, você deve 
identificar dois pontos de uma mesma linha de fluxo. Como os exemplos a seguir de-
monstram, a equação de Bernoulli é usada muitas vezes em conjunto com a equação 
da continuidade. �
EXEMPLO 15.11 Um sistema de irrigação
A água flui pelos canos mostrados na FIGURA 15.33. A velocidade da 
água pelo cano mais baixo é de 5,0 m/s, e um manômetro marca 75 
kPa. Qual é a leitura do manômetro no cano superior?
MODELO Considere a água como um fluido ideal que obedece à equa-
ção de Bernoulli. Considere uma linha de fluxo conectando o ponto 
1, na parte mais baixa do cano, com o ponto 2, na parte superior do 
cano.
,
,
,
,
FIGURA 15.33 Os canos de água de um sistema de irrigação.
Continua
1. Segure uma tira
 de papel na ponta
 do lábio inferior, 
 apenas tocando
 o lábio.
2. Contraia os lábios
 e assopre com
 força sobre a parte
 superior da tira.
Tira de papel de 
2,5 cm 20 cm 
FIGURA 15.32 Uma demonstração simples 
da equação de Bernoulli.
464 Física: Uma Abordagem Estratégica
RESOLUÇÃO A equação de Bernoulli, a Equação 15.28, relaciona a 
pressão, a velocidade do fluido e as alturas dos pontos 1 e 2. É fácil 
resolvê-la isolando a pressão p2 no ponto 2:
Todas as grandezas à direita são conhecidas, exceto v2, e é justamente 
aí que a equação da continuidade será útil. As áreas transversais e as 
velocidades da água nos pontos 1 e 2 são relacionadas por
v1A1 � v2A2
de onde podemos determinar
A pressão no ponto 1 é p1 � 75 kPa � 1 atm � 176.300 Pa. Agora 
podemos usar a expressão acima para p2 a fim de calcular p2 � 
105.900 Pa. Esta é a pressão absoluta; o manômetro no cano su-
perior marcará
AVALIAÇÃO A redução do tamanho do cano diminui a pressão porque 
torna v2 � v1. O aumento de elevação também reduz a pressão.
EXEMPLO 15.12 Energia hidroelétrica
Pequenas usinas hidroelétricas em montanhas às vezes trazem água de 
um reservatório para a usina de energia através de tubos embutidos. 
Em uma dessas usinas, o tubo de captação de 100 cm de diâmetro, na 
base da represa, localiza-se 50 m abaixo da superfície do reservatório. 
A água desce 200 m através do tubo antes de entrar na turbina por um 
bocal de 50 cm de diâmetro.
 a. Qual é a velocidade da água na turbina?
 b. Em quanto a pressão de entrada difere da pressão hidrostática 
àquelaprofundidade?
MODELO Trate a água como um fluido ideal que obedece à equação 
de Bernoulli. Considere uma linha de fluxo que inicie na superfície 
do reservatório e termine na saída do bocal. A pressão na superfície 
é p1 � patm e v1 � 0 m/s. A descarga de água acontece no ar, então p3 
� patm na saída.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 15.34 é uma representação pictórica da si-
tuação.
Represa
Linha de fluxo
FIGURA 15.34 Representação pictórica do fluxo de água para uma 
usina hidroelétrica.
RESOLUÇÃO a. A usina elétrica está localizada nas montanhas, onde 
patm � 1 atm, porém patm comparece nos dois lados da equação de 
Bernoulli e, por isso, é cancelada. A equação de Bernoulli, com v1 � 
0 m/s e y3 � 0 m, é
patm é cancelada, conforme esperado, assim como a densidade �. Iso-
lando v3, obtemos
 b. Poder-se-ia esperar que a pressão na entrada fosse a pressão hi-
drostática patm � �gd à profundidade d. Porém a água está fluindo 
para o tubo de captação; logo, não está em equilíbrio estático. Po-
demos determinar a velocidade v2 na captação usando a equação 
da continuidade:
A captação ocorre na linha de fluxo entre os pontos 1 e 3, de modo 
que podemos aplicar a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2:
Solucionando esta equação para p2, e observando que y1 � y2 � d, 
encontramos:
A pressão de entrada é menor do que a pressão hidrostática pela gran-
deza
AVALIAÇÃO A saída de água pelo bocal é a mesma se ela caísse de 
250 m acima da superfície do reservatório. Isso não é surpreendente, 
pois consideramos um líquido não-viscoso (isto é, sem atrito). A água 
“real” teria menor velocidade, mas ainda fluiria muito em grande ve-
locidade.
 
DICA DO PROFESSOR
Acompanhe uma conversa sobre a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.
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EXERCÍCIOS
1) Um cano de 2,00 cm de diâmetro se estreita para 8,00 mm. No primeiro segmento, 
um líquido flui com velocidade de 4,00 m/s. A velocidade do líquido no segundo 
segmento e a vazão de volume no cano valem, respectivamente: 
A) 16,0 m/s e 1,26 × 10 -3 m3/s.
B) 100 m/s e 5,03 × 10 -4 m 3 / s
C) 25,0 m/s e 4,00 × 10 -4 m 3 /s
D) 25,0 m/s e 1,26 × 10 -3 m3 /s
E) 1,00 m/s e 1,26 m3 /s
Considere o tubo de fluxo abaixo contendo óleo, que flui de forma a podermos 
considera-lo um fluido ideal. Ele flui por um tubo que sobe de nível e se estreita. Dois 
manômetros marcam a pressão em dois pontos do tubo, como mostra a figura. Qual o 
valor da pressão indicada no segundo manômetro? (Dados: ρ óleo = 900 kg / m 3 e g = 
9,8 m/s 2) 
2) 
img_conteudo/exercicio1.png
A) 290 kPa
B) 109 kPa
C) 114 kPa
D) 286 kPa
E) 90,7 kPa
Considere o tubo de fluxo abaixo contendo óleo, que flui de forma a podermos 
considera-lo um fluido ideal. Ele flui por um tubo que sobe de nível e se estreita. Dois 
manômetros marcam a pressão em dois pontos do tubo, como mostra a figura. Qual o 
valor da pressão indicada no segundo manômetro? (Dados: ρ óleo = 900 kg / m 3 e g = 
9,8 m/s 2) 
3) 
 
A) 38,4 kPa
B) 162 kPa
C) 64,4 kPa
D) 135 kPa
E) 74,0 kPa
4) Um avião está se movendo pelo ar com velocidade de 220 m/s. As linhas de fluxo 
acima da asa estão comprimidas em 88% de sua área original. As linhas de fluxo 
abaixo da asa não estão comprimidas. Qual é a velocidade do ar acima da asa do 
avião em relação a esta? 
A) 220 m/s
B) 26,4 m/s
C) 414 m/s
D) 194 m/s
E) 250 m/s
5) Um Boeing 747 (figura) tem e torno de 500 m² de área alar (área total das duas asas). 
Considere que ele está se movendo a 230 m/s em relação ao ar. As linhas de fluxo 
acima da asa estão comprimidas em 80% de sua área original. As linhas de fluxo 
abaixo da asa não estão comprimidas. Calcule a força resultante devido à pressão à 
qual o Boeing está submetido. Considere a densidade do ar na altitude em que o 
Boeing está voando ρ ar = 0,40 Kg/m 3. 
 
A) 1,27 x 10 6 N
B) 5,91 kN
C) 2,98 x 10 6 N
D) 2,20 x 10 6 N
E) 3,48 x 10 6 N
NA PRÁTICA
Sim, é possível velejar contra o vento. Não totalmente contra o vento, mas quase nesta direção. 
Tudo depende do ângulo que a vela faz com ele. Quando o vento passa pela vela, esta o divide, e 
ele passa parte por um lado e parte por outro. Num dos lados há um estreitamento do canal, 
provocado pelo próprio movimento do ar no outro lado da vela, que agora está curva. Como a 
vazão deve ser constante, o ar que passa pelo canal mais estreito tem sua velocidade aumentada, 
ocasionando ali uma região de baixa pressão e produzindo uma força resultante sobre a vela.
 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
O que é a equação de Bernoulli?
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Equação de Bernoulli
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Tubo de Venturi caseiro e equação de Bernoulli
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