LIVRO ALGELIN ANTON-Cap Criptografia-p-670-681

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654 Álgebra Linear com Aplicações
 T1. Os métodos do Exercício 4 mostram que, para a transfor-
mação do gato de Arnold, o número �(p) é o menor número 
inteiro satisfazendo a equação
Isso sugere que uma maneira de determinar �(p) é calcular
começando com n � 1 e parando quando esse procedimento 
der a matriz identidade. Use essa ideia para calcular �(p) com 
p � 2, 3, . . . , 10. Compare seus resultados com as fórmulas 
dadas no Exercício 1, se aplicável. O que você pode conjetu-
rar sobre
quando �(p) for um número par?
 T2. Os autovalores e autovetores da matriz
da transformação do gato de Arnold são
Usando esses autovalores e autovetores, podemos definir
e escrever C � PDP�1 e, portanto, Cn � PDnP�1. Use um 
computador para mostrar que
onde
e
De que maneira você pode usar esses resultados e suas con-
clusões no Exercício T1 para simplificar o método de calcular 
�(p)?
10.15 Criptografia
Nesta seção, apresentamos um método para codificar e decodificar mensagens. Também 
examinamos a aritmética modular e mostramos como a eliminação gaussiana pode ser 
utilizada, às vezes, para quebrar o código de um oponente.
PRÉ-REQUISITOS: Matrizes
Eliminação gaussiana
Operações matriciais
Independência linear
Transformações matriciais (Seção 4.9)
O estudo da codificação e decodificação de mensagens secretas é denominado criptogra-
fia. Embora os códigos secretos remontem aos primórdios da comunicação escrita, tem 
havido um aumento recente de interesse no assunto devido à necessidade de manter a 
privacidade da informação transmitida ao longo de linhas públicas de comunicação. Na 
linguagem da criptografia, os códigos são denominados cifras, as mensagens não codifica-
das são textos comuns e as mensagens codificadas são textos cifrados ou criptogramas. O 
processo de converter um texto comum num cifrado é denominado cifrar ou criptografar, 
e o processo inverso de converter um texto cifrado num comum é denominado decifrar.
Cifras
10.15 Criptografia 655
As cifras mais simples, denominadas cifras de substituição, são as que substituem 
cada letra do alfabeto por alguma outra letra. Por exemplo, na cifra de substituição
a letra de texto comum A é substituída por D, a letra de texto comum B por E e assim por 
diante. Com essa cifra, a mensagem de texto comum 
ROMA NAO FOI CONSTRUIDA EM UM DIA
fica
URPD QDR IRL FRQVWUXLGD HP XP GLD
Uma desvantagem de cifras de substituição é que elas preservam as frequências de letras 
individuais, tornando relativamente fácil quebrar o código por métodos estatísticos. Uma 
maneira de superar esse problema é dividir o texto em grupos de letras e criptografar o 
texto comum grupo a grupo, em vez de uma letra de cada vez. Um sistema poligráfico 
é um sistema de criptografia no qual o texto comum é dividido em conjuntos de n letras, 
cada um dos quais é substituído por um conjunto de n letras cifradas. Nesta seção, estu-
damos uma classe de sistemas poligráficos conhecidos como cifras de Hill, que têm por 
base transformações matriciais. (O nome é em referência a Lester S. Hill, que introduziu 
esses sistemas em dois trabalhos, “Cryptography in an Algebraic Alphabet,” American 
Mathematical Monthly, Vol. 36, junho-julho de 1929, páginas 306–312 e “Concerning 
Certain Linear Transformation Apparatus of Cryptography,” American Mathematical 
Monthly, Vol. 38, março de 1931, páginas 135–154.)
Daqui em diante, vamos supor que cada letra de texto comum e de texto cifrado, 
excetuando o Z, tem um valor numérico que especifica sua posição no alfabeto padrão 
(Tabela 1). Por motivos que ficarão claros adiante, damos a Z o valor de 0.
Nos casos mais simples de cifras de Hill, transformamos pares sucessivos de texto 
comum em texto cifrado segundo o procedimento seguinte.
Passo 1. Escolha uma matriz 2 	 2 com entradas inteiras
para efetuar a codificação. Condições adicionais sobre A serão impostas adiante.
Passo 2. Agrupe letras sucessivas de texto comum em pares, adicionando uma letra adi-
cional fictícia para completar o último par se o texto comum tiver um número ímpar 
de letras e substitua cada letra de texto comum por seu valor numérico.
Passo 3. Converta cada par p1 p2 de letras de texto comum sucessivamente num vetor 
coluna
e forme o produto Ap. Dizemos que p é o vetor comum e Ap, o correspondente vetor 
cifrado.
Passo 4. Converta cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético.
Cifras de Hill
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656 Álgebra Linear com Aplicações
 � E X E M P LO 1 Cifra de Hill de uma mensagem
Use a matriz
para obter a cifra de Hill da mensagem de texto comum (em inglês)
I AM HIDING
Solução Agrupando o texto comum em pares de letras e adicionando a letra fictícia G 
para completar o último par, obtemos
IA MH ID IN GG
ou, equivalentemente, usando a Tabela 1,
9 1 13 8 9 4 9 14 7 7
Para codificar o par IA, efetuamos o produto matricial
que fornece o texto cifrado KC pela Tabela 1.
Para codificar o par MH, efetuamos o produto matricial
(1)
No entanto, aqui temos um problema, pois o número 29 não possui equivalente alfabético 
(Tabela 1). Para resolver esse problema, fazemos o seguinte acordo.
Sempre que ocorrer um inteiro maior
do que 25, ele será substituído pelo
resto da divisão desse inteiro por 26.
Como o resto da divisão por 26 é um dos inteiros 0, 1, 2, . . . , 25, esse procedimento sem-
pre fornece um inteiro com equivalente alfabético.
Assim, substituímos 29 por 3 em (1), pois 3 é o resto da divisão de 29 por 26. Segue 
da Tabela 1 que o texto cifrado do par MH é CX.
As contas para os demais vetores cifrados são
Esses vetores correspondem aos pares de texto cifrado QL, KP e UU, respectivamente. 
Coletando os pares, obtemos a mensagem cifrada completa
KC CX QL KP UU
que, normalmente, seria transmitida como uma única cadeia sem espaços,
KCCXQLKPUU �
Como o texto comum foi agrupado em pares e criptografado por uma matriz 2 	 2, 
dizemos que a cifra de Hill do Exemplo 1 é uma cifra de Hill de ordem 2. Evidentemente, 
10.15 Criptografia 657
também é possível agrupar o texto comum em ternos e criptografar com uma matriz 3 	 3 
de entradas inteiras, obtendo uma cifra de Hill de ordem 3. Em geral, para uma cifra de 
Hill de ordem n, agrupamos o texto comum em conjuntos de n letras e codificamos com 
uma matriz codificadora n 	 n de entradas inteiras.
No Exemplo 1, substituímos os inteiros maiores do que 25 pelo seu resto pela divisão por 
25. Essa técnica de trabalhar com os restos é a base de uma parte da Matemática denomi-
nada aritmética modular. Tendo em vista sua importância em criptografia, vamos digredir 
por um momento para elaborar algumas das principais ideias dessa área.
Na aritmética modular, supomos dado um inteiro positivo m, denominado módulo, e 
consideramos “iguais” ou “equivalentes” em relação ao módulo quaisquer dois inteiros 
cuja diferença seja um múltiplo inteiro do módulo. Mais precisamente, temos a definição 
seguinte.
DEFINIÇÃO 1 Dados um número inteiro positivo m e dois inteiros a e b quaisquer, 
dizemos que a é equivalente a b módulo m, e escrevemos
a � b (mod m)
se a � b for um múltiplo inteiro de m.
 � E X E M P LO 2 Várias equivalências
 �
Dado um módulo m arbitrário, pode ser provado que qualquer inteiro a é equivalente, 
módulo m, a exatamente um dos inteiros
0, 1, 2, . . . , m � 1
Esse inteiro é denominado resíduo de a módulo m e escrevemos
Zm � {0, 1, 2, . . . , m � 1}
para denotar o conjunto dos resíduos módulo m.
Se a for um inteiro não negativo, então seu resíduo módulo m é simplesmente o resto 
da divisão de a por m. Para um inteiro a arbitrário, o resíduo pode ser encontrado usando 
o teorema seguinte.
TEOREMA 10.15.1 Dados um inteiro a e um módulo m quaisquer, seja
R � resto de 
Então o resíduo r de a módulo m é dado por
Aritmética modular
658 Álgebra Linear com Aplicações
 � E X E M P LO 3 Resíduos mod 26
Encontre os resíduos módulo 26 de (a) 87, (b) �38 e (c) �26.
Solução (a) Dividindo |87| � 87 por 26, temos um resto de R� 9, ou seja, r � 9. Assim,
87 � 9 (mod 26)
Solução (b) Dividindo |�38| � 38 por 26, dá um resto de R � 12, ou seja, r � 26 � 
12 � 14. Assim,
�38 � 14 (mod 26)
Solução (c) Dividindo |�26| � 26 por 26, temos um resto de R � 0. Assim,
�26 � 0 (mod 26) �
Na aritmética usual, cada número não nulo a tem um recíproco, ou inverso multipli-
cativo, denotado por a�1, tal que
aa�1 � a�1a � 1
Na aritmética modular, temos o conceito correspondente definido a seguir.
DEFINIÇÃO 2 Dado um número a em Zm , dizemos que um número a
�1 em Zm é um 
recíproco, ou inverso multiplicativo, de a módulo m se aa�1 � a�1a � 1 (mod m).
Pode ser provado que se a e m não têm fatores primos comuns, então a tem um único 
recíproco módulo m; reciprocamente, se a e m têm um fator primo comum, então a não 
tem recíproco módulo m.
 � E X E M P LO 4 Recíproco de 3 mod 26
O número 3 tem um recíproco módulo 26, pois 3 e 26 não têm fatores primos em comum. 
Esse recíproco pode ser obtido encontrado o número x em Z26 que satisfaz a equação modular
3x � 1 (mod 26)
Embora existam métodos gerais para resolver tais equações modulares, isso não será 
abordado, pois nos levaria para muito longe do nosso objetivo. Contudo, como 26 é rela-
tivamente pequeno, essa equação pode ser resolvida experimentando, uma por uma, cada 
solução possível de 0 a 25. Dessa maneira, encontramos que x � 9 é a solução, pois
3 · 9 � 27 � 1 (mod 26)
Assim,
3�1 � 9 (mod 26)
 � E X E M P LO 5 Um número sem recíproco mod 26
O número 4 não possui recíproco mod 26, pois 4 e 26 têm 2 como fator primo comum (ver 
Exercício 8). �
Para referência futura, a Tabela 2 que segue dá os recíprocos módulo 26.
10.15 Criptografia 659
Cada cifra útil deve possuir um procedimento para decifrar. Para decifrar as cifras de Hill, 
usamos a inversa (mod 26) da matriz codificadora. Para ser preciso, se m for um inteiro 
positivo, dizemos que uma matriz A com entradas em Zm é invertível módulo m se existir 
uma matriz B com entradas em Zm tal que
AB � BA � I (mod m)
Suponha, agora, que
seja invertível módulo 26 e que essa matriz seja usada numa cifra de Hill de ordem 2. Se
é um vetor comum, então
c � Ap (mod 26)
é o correspondente vetor cifrado e
p � A�1c (mod 26)
Assim, cada vetor comum pode ser recuperado do correspondente vetor cifrado pela mul-
tiplicação à esquerda por A�1 (mod 26).
Na criptografia, é importante saber quais matrizes são invertíveis módulo 26 e como 
obter suas inversas. Passamos a investigar essas questões.
Na aritmética comum, uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, det(A) � 0 ou, 
equivalentemente, det(A) tem um recíproco. O teorema seguinte é o análogo desse resul-
tado em aritmética modular.
TEOREMA 10.15.2 Uma matriz quadrada A com entradas em Zm é invertível módulo 
m se, e só se, o resíduo de det(A) módulo m tem um recíproco módulo m.
Como o resíduo de det(A) módulo m tem um recíproco módulo m se, e só se, esse 
resíduo e m não têm fator primo comum, obtemos o corolário seguinte.
COROLÁRIO 10.15.3 Uma matriz quadrada A com entradas em Zm é invertível mó-
dulo m se, e só se, m e o resíduo de det(A) módulo m não têm fatores primos comuns.
Como os únicos fatores primos de m � 26 são 2 e 13, obtemos o corolário seguinte, 
que é útil em criptografia.
COROLÁRIO 10.15.4 Uma matriz quadrada A com entradas em Z26 é invertível mó-
dulo 26 se, e só se, o resíduo de det(A) módulo 26 não é divisível por 2 ou 13.
Deixamos para o leitor verificar que se
tiver entradas em Z26 e se o resíduo de det(A) � ad � bc módulo 26 não for divisível por 
2 ou 13, então a inversa de A (mod 26) é dada por
 
(2)
onde (ad � bc)�1 é o recíproco do resíduo de ad � bc (mod 26).
Decifrando
660 Álgebra Linear com Aplicações
 � E X E M P LO 6 Inversa de uma matriz mod 26
Encontre a inversa de
módulo 26.
Solução
det(A) � ad � bc � 5 · 3 � 6 · 2 � 3
de modo que, pela Tabela 2,
(ad � bc)�1 � 3�1 � 9 (mod 26)
Assim, por (2),
Conferindo,
Analogamente, A�1 A � I (mod 26) �
 � E X E M P LO 7 Decifrando uma cifra de Hill de ordem 2
Decifre a cifra de Hill de ordem 2 dada, que foi criptografada pela matriz do Exemplo 6.
GTNKGKDUSK
Solução Pela Tabela 1, o equivalente numérico do texto cifrado é
7 20 14 11 7 11 4 21 19 11
Para obter os pares de texto comum, multiplicamos cada vetor cifrado pela inversa de A 
(obtida no Exemplo 6), como segue.
Pela Tabela 1, os equivalentes alfabéticos desses vetores são
ST RI KE NO WW
que fornecem a mensagem
STRIKE NOW �
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10.15 Criptografia 661
Como o objetivo de criptografar mensagens e informações é impedir que “oponentes” 
descubram seu conteúdo, os criptógrafos têm uma preocupação com a segurança de suas 
cifras, ou seja, quão facilmente podem ser decifradas pelos oponentes (ou quebradas). 
Concluímos esta seção discutindo uma técnica para quebrar cifras de Hill.
Suponha que consigamos algum texto comum e o cifrado correspondente de uma men-
sagem de nosso oponente. Por exemplo, digamos que, examinando algum texto cifrado in-
terceptado, fomos capazes de deduzir que a mensagem é uma carta que começa com DEAR 
SIR. Mostremos que, com alguns poucos desses dados, pode ser possível determinar a matriz 
decodificadora de um cifra de Hill e, consequentemente, ter acesso ao resto da mensagem.
É um resultado básico em Álgebra Linear que uma transformação fica completamente 
determinada por seus valores numa base. Esse princípio sugere que, se tivermos uma cifra 
de Hill de ordem n e se
p1 , p2 , . . . , pn
forem vetores comuns linearmente independentes cujos correspondentes vetores cifrados
Ap1 , Ap2 , . . . , Apn
sejam conhecidos, então disporemos de informação suficiente para determinar a matriz A 
e, portanto, sua inversa A�1 (mod m).
O próximo teorema, cuja prova é discutida nos exercícios, fornece uma maneira de 
fazer isso.
TEOREMA 10.15.5 Determinando a matriz decodificadora
Sejam p1 , p2 , . . . , pn vetores comuns linearmente independentes e sejam c1 , c2 , . . . , cn 
os correspondentes vetores cifrados de uma cifra de Hill de ordem n. Se
for a matriz n 	 n de vetores coluna pT1 , p
T
2 , . . . p
T
n e se
for a matriz n 	 n de vetores linha cT1 , c
T
2 , . . . c
T
n , então a sequência de operações ele-
mentares com as linhas que reduz C a I transforma P em (A�1)T.
Esse teorema nos diz que, para encontrar a transposta da matriz decodificadora A�1, 
devemos encontrar uma sequência de operações elementares com as linhas que reduza C 
a I e então aplicar essas mesmas operações com as linhas de P. O próximo exemplo ilustra 
um algoritmo simples para fazer isso.
 � E X E M P LO 8 Usando o Teorema 10.15.5
Foi interceptada a cifra de Hill de ordem 2
IOSBTGXESPXHOPDE
Decifre essa mensagem, sabendo que ela começa com a palavra DEAR.
Decifrando uma cifra de Hill
662 Álgebra Linear com Aplicações
Solução Pela Tabela 1, o equivalente numérico do texto comum conhecido é
e o equivalente numérico do texto cifrado correspondente é
de modo que os vetores comuns e correspondentes vetores cifrados são
Queremos reduzir
a I por operações elementares com as linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a
para obter (A�1)T (a transposta da matriz decodificadora). Isso pode ser obtido adjuntando 
P à direita de C e aplicando as operações com as linhas à matriz resultante [C | P] até que 
o lado esquerdo esteja reduzido a I. A matriz final, então, terá o formato [I | (A�1)T ]. As 
contas podem ser feitas como segue.
Formamos a matriz [C | P].
Multiplicamos a primeira linha por 9�1 � 3.
Substituímos 45 pelo seu resíduo módulo 26.
Somamos �19 vezes a primeira linha à segunda.
Substituímos as entradas da segunda linha pelos 
seus resíduos módulo 26.
Multiplicamos a segunda linha por 5�1 � 21.
Substituímos as entradas da segunda linha pelos 
seus resíduos módulo 26.
Somamos �19 vezes a segunda linha à primeira.
Substituímos as entradas da primeira linha pelos 
seus resíduos módulo 26.
10.15 Criptografia 663
Assim,e, portanto, a matriz decodificadora é
Para decifrar a mensagem, agrupamos primeiro o texto cifrado em pares e encontramos os 
equivalentes numéricos de cada letra, como segue.
Em seguida, multiplicamos os vetores cifrados sucessivamente pela esquerda por A�1 e 
encontramos os equivalentes alfabéticos dos pares de texto comum resultantes.
Finalmente, construímos a mensagem a partir dos pares de texto comum:
DE AR IK ES EN DT AN KS
DEAR IKE SEND TANKS �
Leitura recomendada
Os leitores interessados em aprender mais sobre criptografia podem consultar os livros listados a 
seguir. O primeiro é elementar e o segundo é mais avançado.
1. ABRAHAM SINKOV, Elementary Cryptanalysis, a Mathematical Approach (Mathematical
Association of America, 2009).
2. ALAN G. KONHEIM, Cryptography, a Primer (New York: Wiley-Interscience, 1981).
664 Álgebra Linear com Aplicações
Conjunto de exercícios 10.15
1. Em cada parte, obtenha a cifra de Hill da mensagem
DARK NIGHT
com matriz codificadora dada.
(a) (b)
2. Em cada uma das partes, determine se a matriz é invertível
módulo 26. Se for, encontre uma inversa módulo 26 e confira
seu resultado verificando que AA�1 � A�1A � I (mod 26).
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
3. Decodifique a mensagem
SAKNOXAOJX
sabendo que é uma cifra de Hill com matriz codificadora
4. É interceptada uma cifra de Hill de ordem 2 que começa com
os pares
SL HK
Encontre as matrizes codificadora e decodificadora, sabendo 
que a versão comum da mensagem começa com a palavra 
ARMY.
5. Decodifique a cifra de Hill de ordem 2
LNGIHGYBVRENJYQO
sabendo que as quatro últimas letras do texto comum são 
ATOM.
6. Decodifique a cifra de Hill de ordem 3
HPAFQGGDUGDDHPGODYNOR
sabendo que as nove primeiras letras do texto comum são 
IHAVECOME.
7. Todos os resultados desta seção podem se generalizados para
o caso em que o texto comum for uma mensagem binária, ou
seja, uma sequência de 0 e 1. Nesse caso, usamos a aritmética
módulo 2 em vez da módulo 26. Assim, por exemplo, 1 � 1
� 0 (mod 2). Suponha que queiramos criptografar a mensa-
gem 110101111. Começamos separando a mensagem em ter-
nos para formar os três vetores e tomamos 
 como a matriz codificadora.
(a) Encontre a mensagem codificada.
(b) Encontre a inversa módulo 2 da matriz codificadora e 
verifique que ela decodifica a mensagem codificada en-
contrada na parte (a).
8. Se, além do alfabeto padrão, fossem permitidos o ponto, a vír-
gula e o ponto de interrogação, teríamos 29 letras disponíveis
para texto comum e cifrado e toda a aritmética matricial seria
feita módulo 29. Sob que condições uma matriz cujas entradas
são de Z29 seria invertível módulo 29?
9. Substituindo sucessivamente os valores x � 0, 1, 2, . . . , 25 na
equação modular 4x � 1 (mod 26), conclua que essa equação
não possui solução em Z26 .
 10. (a) Sejam P e C as matrizes do Teorema 10.15.5. Mostre que
P � C(A�1)T.
(b) Para provar o Teorema 10.15.5, sejam E1 , E2 , . . . , En as 
matrizes elementares que correspondem às operações 
elementares com as linhas que reduzem C a I, ou seja,
En · · · E2E1C � I
Mostre que
En · · · E2E1P � (A
�1)T
do que segue que a mesma sequência de operações de 
linha que reduz C a I converte P a (A�1)T.
 11. (a) Se A for a matriz codificadora de uma cifra de Hill de
ordem n, mostre que
A�1 � (C�1P)T (mod 26)
onde C e P são as matrizes definidas no Teorema 10.15.5.
(b) Em vez de usar o Teorema 10.15.5 como no texto, en-
contre a matriz decodificadora A�1 do Exemplo 8 usando 
o resultado na parte (a) e a Equação (2) para calcular
C�1. [Observação: embora esse método seja prático com 
cifras de Hill de ordem 2, o Teorema 10.15.5 é mais efi-
ciente com cifras de Hill de ordem n se n 
 2.]
 Seção 10.15 Exercícios com tecnologia 
Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos 
utilizando um recurso computacional. Em geral, esse recurso é 
MATLAB, Mathematica, Maple, Derive ou Mathcad, mas também 
pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma 
calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. 
Em cada exercício, você deverá ler a documentação pertinente do 
recurso particular que estiver utilizando. O objetivo destes exer-
cícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu 
recurso computacional. Uma vez dominadas as técnicas nestes 
exercícios, você estará capacitado a usar seu recurso computacio-
10.16 Genética 665
nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercí-
cios regulares.
 T1. Dizemos que um inteiro positivo é relativamente primo com 
um outro inteiro positivo se os dois inteiros não tiverem fator 
comum (a não ser 1). Dado um inteiro positivo n, seja Sn � 
{a1 , a2 , a3 , . . . , am}, com a1 � a2 � a3 � · · · � am, o con-
junto de todos os inteiros positivos menores do que n que são 
relativamente primos com n. Por exemplo, se n � 9, então
S9 � {a1 , a2 , a3 , . . . , a6} � {1, 2, 4, 5, 7, 8}
(a) Construa uma tabela consistindo em n e Sn com 
n � 2, 3, . . . , 15 e depois calcule
em cada caso. Faça uma conjectura para n 
 15 e prove 
a validade de sua conjectura. [Sugestão: use o fato de que 
se a for relativamente primo com n, então n � a também 
é relativamente primo com n.]
(b) Dado um inteiro positivo n e o conjunto Sn , seja Pn a ma-
triz m 	 m
de modo que, por exemplo,
Use um computador para calcular det(Pn) e det(Pn)(mod 
n) com n � 2, 3, . . . , 15 e em seguida use esses resultados
para construir uma conjectura.
(c) Use os resultados da parte (a) para provar a validade de 
sua conjectura. [Sugestão: some as primeiras m � 1 linhas 
de Pn com a última linha e use o Teorema 2.2.3.] O que 
esses resultados implicam sobre a inversa de Pn (mod n)?
 T2. Dado um inteiro positivo n, o número de inteiros positivos 
menores do que n e relativamente primos com n é denomi-
nado a função Phi de Euler de n e é denotada por 
(n). Por 
exemplo, 
(6) � 2, já que somente dois inteiros positivos (a 
saber, 1 e 5) são menores do que 6 e não têm fator comum 
com 6.
(a) Usando um computador, calcule e imprima a lista de 
todos os inteiros positivos que são menores do que n e re-
lativamente primos com n, com n � 2, 3, . . . , 25. Então 
use esses inteiros para determinar os valores de 
(n) com 
n � 2, 3, . . . , 25. Você consegue descobrir algum padrão 
nos resultados?
(b) Pode ser mostrado que se {p1 , p2 , p3 , . . . , pm} forem to-
dos os fatores primos distintos de n, então
Por exemplo, como {2, 3} são os fatores primos distintos 
de 12, temos
o que confere com o fato de {1, 5, 7, 11} serem os únicos
inteiros positivos menores do que 12 relativamente pri-
mos com 12. Usando um computador, imprima todos os 
fatores primos de n com n � 2, 3, . . . , 25. Em seguida 
calcule 
(n) usando a fórmula dada e compare a lista 
com seus resultados na parte (a).
10.16 Genética
Nesta seção, investigamos a propagação de uma característica herdada em sucessivas 
gerações calculando potências de uma matriz. 
PRÉ-REQUISITOS: Autovetores e autovalores
Diagonalização de uma matriz
Compreensão intuitiva de limites 
Nesta seção, examinamos a hereditariedade de características de animais ou plantas. Va-
mos supor que a característica hereditária sob consideração seja governada por um con-
junto de dois genes, que denotamos por A e a. Por hereditariedade autossômica, cada in-
Características hereditárias