Aplicacao das leis de Newton_parte_2_Forca_de_atrito_torque_Dinamica

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Elaborado por: dr. Dombole:(Física Aplicada: Energias Renováveis) E-mail: miradombole@gmail.com 
 
 
Universidade Rovuma 
Departamento de Engenharia e Ciências Tecnológicas 
Disciplina: Física I 
 
Aplicação das leis de Newton_Parte_2_Forças: Atrito e Normal, Torque e Dinâmica do 
corpo Rígido. 
Força de atrito Cinético ou dinâmico 
1.Se as rodas de carro ficam “ficam travadas” (impedidas de girar) durante a travagem 
de emergência, o carro desliza na pista, onde deixou as marcas de 290 m. Supondo que 
 e que a aceleração do carro se manteve constante durante a travagem, qual 
era a velocidade do carro quando as rodas travaram? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ideias-chave: Se desprezarmos os efeitos do ar sobre o carro, a celebração a se deveu 
apenas a uma força de atrito cinético ⃗ exercida pela estrada sobre o carro, no sentido 
oposto ao do movimento do carro, que é o sentido positivo do eixo x. Então podemos 
esta força à aceleração escrevendo a segunda lei de Newton para as componentes x 
 como: 
 (1) 
Figura 1: (a) Um carro desliza para direita e finalmente para apos 290m. (b) Digrama de 
corpo livre do carro. 
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Onde m é a massa do carro. O sinal negativo indica o sentido da força de atrito cinético. 
Cálculos: O módulo da força de atrito , onde é o módulo da força normal 
que a estrada exerce sobre o carro. E é igual ao módulo da força de gravitacional ⃗ 
que age sobre o carro, que é igual a mg. Assim . 
 
Explicitando a na equação (1) e fazendo , temos: 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
Onde o sinal negativo indica qua aceleração ocorre no sentido negativo do eixo x. 
 
 Em seguida usaremos a equação: 
 . 
Sabemos que o deslocamento foi 290m e supomos que a velocidade fina v foi 0. 
 √ √ ( 
 
 ⁄ )
 ⁄ . 
 
2. Na figura, um bloco de massa m = 3,0 kg escorrega em um piso enquanto uma força 
 ⃗ de módulo de 12 N, fazendo um ângulo para cima com a horizontal, é aplicada ao 
bloco. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é . O ângulo 
pode variar de 0 a 90
0
 (o bloco permanece sobre o piso). Qual é o valor para o qual o 
módulo da aceleração a do bloco é máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: (a) Uma força é aplicada a um bloco em movimento. (b) As forças verticais. (c) AS 
componentes verticais. (d) As forças horizontais e aceleração 
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deias-chave: Como o bloco está em movimento, a força de atrito envolvida é a força de 
atrito cinético. O módulo desta força e dado por , é a força normal). O 
sentido é oposto do movimento. 
Cálculo de : Como precisamos de conhecer o módulo da força de atrito, vamos 
determinar primeiro o módulo da força normal. 
Considerando segundo a figura 2 (b) que mostra as forças paralelas ao eixo vertical y. A 
força norma é para cima, a força gravitacional Fg, de módulo mg, é para baixo e a 
componente Fy da força aplicada é para cima . Desta forma podemos 
escrever a segunda lei de Newton ⃗ ⃗ para essas forças ao longo do eixo y 
como, 
 (3) 
 
Onde tomamos a aceleração ao longo de y como sendo zero (o bloco não se move ao 
longo desse eixo). Assim, 
 
 (4) 
 
 
 
Cálculo da aceleração a: Na horizontal de acordo com a figura (2d), temos a 
componente Fx da força aplicada é para direita: . A força de atrito tem 
módulo e aponta para esquerda. Aplicando a segunda lei de Newton ao 
movimento ao longo do eixo x, temos: 
 
 (5) 
 
Substituindo o valor na equação (5) e explicitando a, obtemos: 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) (6) 
 
Cálculo de : Para determinar o valor de que maximiza a, derivamos a em 
relação a e igualamos o resultado a zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Reagrupando os termos e usando a identidade ⁄ , obtemos, 
 . 
 
 
 
Força de atrito estático 
Embora muitas estratégias engenhosas tenham sido atribuídas aos construtores da 
Grande Pirâmide, os blocos de pedra foram provavelmente içados com o auxílio de 
cordas. A figura 3(a) mostra um bloco de 2000 kg no processo de ser puxado ao longo 
de um lado (plano) da Grande Pirâmide, que constitui um plano inclinado com um 
ângulo . O Bloco é sustentado por um trenó de madeira e puxado por várias 
cordas (apenas uma é mostrada na figura). O caminho do trenó é lubrificado com água 
para reduzir o atrito estático par 0,40. Suponha que o atrito no ponto (lubrificado) no 
qual a corda passa pelo alto da pirâmide seja desprezível. Se cada operário puxa com 
uma força de 686 N (um valor razoável), quantos operários são necessários para que o 
bloco esteja prestes a se mover? 
 
 
Ideias-chave: (1) Como o bloco está prestes a se mover, a força de atrito estático tem o 
maior valor possível, . (2) Como os operários estão puxando o bloco para 
cima, a força de atrito é para baixo (as forças de atrito sempre se opõem ao movimento). 
Figura 3: (a) Um bloco de pedra na iminência de ser içado para o alto da Grande Pirâmide. (d) As 
componentes da força gravitacional. (c) Diagrama do corpo livre do bloco. 
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(3) A componente da força gravitacional paralela ao plano e para baixo é , 
enquanto a componente perpendicular ao plano e para dentro é (figura 3b). 
Cálculos: 
Para as componentes da força em relação ao eixo x: 
 (7) 
Como o bloco está prestes a se mover e força de atrito estático tem o maior valor 
possível, : 
 (8) 
Podemos também escrever a segunda lei de Newton para as componentes das forças em 
relação ao eixo y: 
 (9) 
 
Explicitando FN na equação (9) e substituindo o resultado na equação (8), obtemos: 
 (10) 
Substituindo esta expressão na equação (7) e explicitando F obtemos: 
 (11) 
Fazendo m = 2000 kg, 520 e , força necessária para colocar o bloco de 
prestes a se mover é de 2,027x10
4
 N. 
Dividindo 2,027x10
4
 N pela força de 686 N que cada operário é supostamente capaz de 
aplicar, descobrimos que o número necessário de operários é 
 
 
 
 
Torque 
Para derrubar um adversário de 80 kg com um golpe de judo, você pretende puxar o 
quimono desde um braço com uma força ⃗e usar um braço de alavanca d1=0,30 m em 
relação a um eixo de rotação situado no seu quadril direito figura. Você quer faze-lo 
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girar em torno de eixo de rotação com uma aceleração angular de -6,0 rad/s2, ou seja, 
com uma aceleração angular no sentido horário da figura. 
Suponha que o momento de inércia I do seu adversário em relação ao eixo rotação é 15 
kg.m
2
. 
(a) Qual deve ser o módulo de ⃗ se, antes de tentar derrubar o adversário, você 
inclinar o corpo dele para frente, de modo a reduzir a distância entre o centro de 
massa e o seu quadril figura 4(a). 
(b) Qual deve ser o módulo de ⃗ se seu oponente permanece em pé antes de você 
tentar derruba-lo, de modo que ⃗⃗⃗ tem um braço de alavanca d2=0,12 m (figura 
4b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Ideia-chave: É possível relacionar a força ⃗⃗⃗ com aceleração angular através da 
segunda lei de Newton para rotações . 
Cálculos: O único torque que age sobre o seu oponente é produzido pela força Fg que 
você aplica ao quimono, e podemos escreverna forma, 
 (12) 
Neste caso, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Um golpe de judo(a) execuntando correctamente e (b) execuntando 
incorrectamente. 
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(b) Como o braço de alavanca de Fg não é mais zero, o torque produzido por Fg é agora 
a d2mg e é positivo, já que o torque tende a fazer o corpo do seu adversário na sentido 
anti-horário. 
 Cálculos: Neste caso a equação assume a forma 
 
 
 
 
 
 
 
 (13) 
 
 ⁄ 
 
 
Dinâmica do corpo rígido 
A figura 5(a) mostra um disco uniforme, de massa M=2,5 kg e R=20 cm, montado em 
um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m=1,2 kg está pendurado por uma corda de 
massa desprezível que está enrolada na borda do disco. Determine a aceleração do bloco 
em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda. A corda não escorrega e 
não existe atrito no eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: (a) O corpo em queda faz girar o disco. (b) Diagrama de corpo livre do bloco. (c) 
Digrama de corpo livre incompleto do disco. 
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Ideias – chave: (1) Considerando o bloco como o sistema, podemos relacionar sua 
aceleração a às forças que agem sobre ele através da segunda lei de Newton ( ⃗ 
 ⃗) , (2) Considerando o disco como um sistema, podemos relacionar sua aceleração 
angular ao torque que age sobre ele através da segunda lei de Newton para rotações 
 . (3) Para combinar os movimentos do bloco e do disco, usamos o facto de 
que a aceleração linear a do bloco e a aceleração linear (tangencial) at da borda do disco 
são iguais. 
Forças que agem sobre o bloco: As forças são representadas no diagrama do corpo 
livre do bloco (figura 5b): A força da corda é ⃗⃗⃗ e força gravitacional é ⃗ , de módulo 
mg. Podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo de eixo 
vertical y ( )como 
 (14) 
Entretanto, não podemos obter o valor de a usando apenas essa equação, porque ela 
também contém a incógnita T. 
Torque exercido sobre o disco: Vamos considerar a rotação do disco. 
A força ⃗⃗ exercida pela corda sobre o disco age a uma distância r = R do eixo tangente à 
borda do disco. Assim, a força um torque –RT, negativo porque o torque tende a fazer o 
disco girar no sentido horário . O momento de inércia I do disco é MR
2
/2. 
Então podemos escrever a equação na forma 
 
 
 
 
 (15) 
Como a corda não escorrega, a aceleração linear a do bloco e a aceleração linear 
(tangencial) at de um ponto da borda do disco são iguais, nesse caso substituindo 
 ⁄ na equação (15), obtemos: 
 
 
 
 (16) 
Combinações dos resultados: Combinações as equações (14) e (16): 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 
 ⁄ 
 
 
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Então a tensão T será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ⁄ ) 
 
A aceleração angular do disco será : 
 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄ 
 
 
Referências Bibliográficas 
Alonso, M., & Finn, E. (1991). Um curso Universitario (Vol. I e II). Sao Paulo. 
Halliday, D., & Resnick, R. (2008). Fundamentos da Fisica: Mecanica.