Escoamento Viscoso Interno e Incompressível

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Escoamento Viscoso Interno e 
Incompressível
Escoamentos Internos
Os escoamentos internos e incompressíveis, onde os efeitos da 
viscosidade são consideráveis, são de extrema importância 
para os engenheiros! Exemplos,
 • Escoamento em tubo circular:
• veias e artérias de um corpo;
• sistema de saneamento e abastecimento de água da cidade;
• sistema de irrigação do agricultor;
• sistemas de tubulações que transportam fluidos em uma 
fábrica;
• linhas hidráulicas de uma aeronave, e
• jato de tinta da impressora do computador.
• Escoamentos em dutos não-circulares e canais abertos
• Vimos que efeitos viscosos resultam no 
número de Reynolds:
• Quando as áreas de superfície, tais como a 
área da parede de um tubo, são relativamente 
grandes os efeitos viscosos tornam-se 
bastante importantes
Região de entrada e Escoamento
Totalmente Desenvolvido
Tensão de cisalhamento e
Pressão
• No escoamento plenamente desenvolvido, em 
regime permanente e num tubo horizontal com 
diâmetro constante, os efeitos viscosos 
oferecem a força de resistência que equilibra 
exatamente a força de pressão, sendo
• Na região de entrada existe um equilíbrio entre as 
forças de pressão, as viscosas e as de inércia. 
Assim, o módulo do gradiente de pressão ∂p/∂x é 
maior na região de entrada
Escoamento Laminar
Escoamento Laminar Completamente 
Desenvolvido entre placas paralelas infinitas
A partir da eq. de Navier-Stokes:












−








∂
∂=
a
y
a
y
x
pau
22
2µ



 −




∂
∂=
2
1
a
y
x
payxτ
L
paa
x
p
l
Q
µµ 1212
1 33 ∆=




∂
∂−=
( )
2
12
1 a
x
p
laA
QV 




∂
∂−==
−
µ
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido com 
placa superior movendo-se a velocidade constante ( a partir 
de Navier-Stokes)












−








∂
∂+=
a
y
a
y
x
pa
a
Uyu
22
2µ



 −




∂
∂+=
2
1
a
y
x
pa
a
U
yx µτ
3
12
1
2
a
x
pUa
l
Q





∂
∂−=
µ
( )
2
12
1
2
a
x
pU
laA
QV 




∂
∂−==
−
µ
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido 
em um tubo ( a partir de Navier-Stokes)
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Exercícios e Aplicações
2 – Um mancal de virabrequim em um motor de 
automóvel é lubrificado por óleo SAE 30 a 210 oF. O 
diâmetro do cilindro interno é 3 in, a folga diametral é 
0,0025 in e o eixo gira a 3600 rpm; o seu comprimento é 
1,25 in. O mancal não está sob carga, de modo que a folga 
é simétrica. Determine o torque requerido para girar o 
eixo e a potência dissipada.
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Exercícios e Aplicações
 Um viscosímetro simples e preciso pode ser feito com um 
tubo capilar. Se a vazão em volume e a queda de pressão 
forem medidas, e a geometria do tubo for conhecida, a 
viscosidade de um fluido Newtoniano poderá ser 
calculada. Um teste de um certo líquido num viscosímetro 
capilar forneceu os seguintes dados: vazão em volume 
(880 mm3/s), comprimento do tubo (1,0 m), diâmetro do 
tubo (0,50 mm) e queda de pressão (1,0 Mpa). Determine 
a viscosidade do líquido.
Escoamento turbulento em um tubo
“Nas situações práticas, a maioria dos escoamentos 
em tubos encontrados são turbulentos”
 Em um escoamento turbulento totalmente 
desenvolvido as três componentes da 
velocidade são diferentes de zero, podendo 
ser escritas em termos de uma quantidade 
média e uma parte flutuante no tempo:
Tensões Tangenciais nos Escoamentos
Turbulentos Totalmente Desenvolvidos
Em um instante de tempo dado, uma partícula do fluido move-
se através de uma área incremental dA, devido à flutuação de 
velocidade v’ ; ela entra em uma camada vizinha de fluido, que 
está se movendo a uma velocidade mais alta na direção x e, 
assim, fornece um efeito retardador sobre a camada vizinha
A tensão cisalhante total em uma localização 
particular seria devida a ambas, à viscosidade 
e à troca de quantidade de movimento 
descrita acima, ou seja:
A tensão cisalhante total pode ser relacionada 
ao gradiente de pressão somando-se as forças 
sobre o elemento cilíndrico horizontal mostrado 
à direita na figura acima:
Distribuições da tensão de cisalhamento em 
um escoamento totalmente desenvolvido em 
um tubo:
Perfil de velocidade Turbulento
(velocidade de atrito)
Na região externa ou central, onde a tensão 
turbulenta predomina, os dados do perfil das 
velocidades são bem correlacionados pela equação
Lei de potência ou exponencial
Uma forma alternativa mais simples que descreve 
adequadamente a distribuição da velocidade do 
escoamento turbulento em um tubo é o perfil da lei 
de potência
Da lei de potência, a velocidade média é dada por:
Introduzimos o fator de atrito, f, que é uma tensão de
cisalhamento adimensional na parede, definido por:
O expoente n é relacionado ao fator de atrito, f, pela 
expressão empírica
n varia de 5 a 10, dependendo do no. de Reynolds e da 
rugosidade da parede do tubo e/D. O valor 7 é comumente usado 
(“perfil exponencial um sétimo”)
Avaliação Energética do Escoamento 
em Tubos
Supondo um escoamento permanente num tubo de seção 
variável, a equação da energia seria:
Supondo que não há trabalho de nenhuma espécie, 
escoamento permanente, incompressível e que a energia 
interna e pressão são uniformes em qq. seções (1) e (2):
onde α é o coeficiente cinético de energia. Dividindo a Eq. 
acima pela vazão mássica e organizando os termos, temos:
Os últimos dois termos do lado direito da Eq.a acima são 
identificados como sendo a perda de carga total; então: 
−
∫=
2
.
3
Vm
dAV
A
ρ
α
Cálculo de Perda de Carga
A perda de carga total é a soma das perdas de carga 
contínuas e das perdas de carga locais:
Escoamento Laminar
Escoamento Turbulento
Diagrama de Moody
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Entradas e Saídas
Expansões e Contrações
Válvulas e 
acessórios
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Exercícios e Aplicações
1 – Um tubo liso horizontal, de 
100 m de comprimento, está 
conectado a um grande 
reservatório.
Que profundidade, d, deve ser 
mantida no reservatório para 
produzir uma vazão volumétrica 
de água de 0,01 m3/s? O 
diâmetro interno do tubo liso é 
75 mm. A entrada é de borda 
viva e a água descarrega para a 
atmosfera.
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Exercícios e Aplicações
2 – Petróleo cru escoa através de um trecho horizontal do oleoduto 
do Alasca a uma taxa de 1,6 milhões de barris por dia (1 barril = 42 
galões). O diâmetro interno do tubo é 48 in; a rugosidade do tubo é 
equivalente à do ferro galvanizado. A pressão máxima admissível é 
1200 psi; a pressão mínima requerida para manter os gases 
dissolvidos em solução no petróleo cru é 50 psi. O petróleo cru tem 
densidade relativa igual a 0,93; sua viscosidade à temperatura de 
bombeamento de 140 0F é 3,5 x 10-4 lbf.s/ft2. Para estas condições, 
determine o espaçamento máximo possível entre estações de 
bombeamento. Se a eficiência da bomba é de 85%, determine a 
potência que deve ser fornecida a cada estação de bombeamento.
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Exercícios e Aplicações
3 – Um sistema de proteção contra incêndio é suprido por um tubo 
vertical de 80 ft de altura, a partir de uma torre de água. O tubo mais 
longo no sistema tem 600 ft, é feito de ferro fundido e tem cerca de 
20 anos de idade. O tubo contém uma válvula de gaveta; outras 
perdas menores podem ser desprezadas. O diâmetro do tubo é 4 in. 
Determine a vazão máxima (em galões por minuto) de água através 
desse tudo.
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