01 - Complementos de Álgebra_Unidade II

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Unidade II
BASE E DIMENSÃO
3 BASE
3.1 Processo prático para determinar vetores LI – LD no IRn
Inicialmente montamos uma matriz com as coordenadas dos vetores colocadas em linha. A seguir 
escalonamos a matriz, isto é, utilizando operações elementares a transformamos em uma matriz triangular.
Observando a matriz escalonada temos:
a) se uma ou mais linhas da matriz for nula, então os vetores são LD
b) se todas as linhas da matriz são não nulas, então os vetores são LI
Operações elementares:
a) permutação de linhas
b) multiplicação de uma linha por um número real, não nulo
c) substituição de uma linha por uma combinação linear dela com qualquer outra
 Observação
Note que o processo prático agiliza a verificação de vetores LI e LD, 
porém só pode ser utilizado para vetores do IRn. Nos demais casos, você 
deverá continuar utilizando a definição.
Exemplos:
Verificar se os vetores são LI ou LD, utilizando o processo prático
a) u = (4,1,0) , v = (-2,1,4), w = (1,1,2) .
Utilizando as operações elementares vamos transformar em zero os elementos abaixo da diagonal 
principal
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1° passo: zerar o elemento da posição a21, para isso vamos substituir a linha 2 (L2) da matriz pela 
combinação linear 2 L2 + L1, assim temos
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2 1 4
1 1 2
4 1 0
0 3 8
1 1 2
−












 L2 = 2. L2 + L1
2° passo: zerar o elemento da posição a31, vamos substituir a linha 3 (L3) pela combinação linear – 4 
L3 + L1, teremos então
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0 3 8
0 3 8
−












− −





 
 L2 = 2. L2 + L1 L3 = - 4 L3 + L1
3° passo: zerar o elemento da posição a32, vamos substituir a linha 3 (L3) pela combinação linear 
L3 + L2, assim temos
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0 3 8
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0 3 8
4
−












− −





  
11 0
0 3 8
0 0 0






 L2 = 2. L2 + L1 L3 = - 4 L3 + L1 L3 = L3 + L2
Observando a última das matrizes notamos que ela já está na forma escalonada, e como a última 
linha da matriz é nula, temos que os vetores são LD.
b) u = (2,1,1) , v = (-1,0,1), w = (1,1,3)
Utilizando as operações elementares vamos transformar em zero os elementos abaixo da diagonal 
principal.
1° passo: zerar o elemento da posição a21, para isso vamos substituir a linha 2 (L2) da matriz pela 
combinação linear 2 L2 + L1, assim temos
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−












 L2 = 2. L2 + L1
2° passo: zerar o elemento da posição a31, vamos substituir a linha 3 (L3) pela combinação linear 
– 2 L3 + L1, teremos então
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1 1 3
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0 1 5
−












− −





 
 L2 = 2. L2 + L1 L3 = - 2 L3 + L1
3° passo: zerar o elemento a32, vamos substituir a linha 3 (L3) pela combinação linear L3 + L2, assim 
temos
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1 0 1
1 1 3
2 1 1
0 1 3
1 1 3
2 1 1
0 1 3
0 1 5
2
−












− −





  
11 1
0 1 3
0 0 2−






 L2 = 2. L2 + L1 L3 = - 2 L3 + L1 L3 = L3 + L1
Observando a última das matrizes notamos que ela já está na forma escalonada, e como nenhuma 
das linhas da matriz é nula, temos que os vetores são LI.
3.1.1 Propriedades
Sejam V espaço vetorial e R = {u1, u2,..., un} (n>1) um subconjunto de V
1. Se o vetor nulo de V (u = 0) pertence a S, então S é LD
2. Se S contém um subconjunto LD, então S é LD
3. Se S é LI então qualquer subconjunto dele é LI
3.2 Base
Definição: Um subconjunto ordenado de um espaço vetorial V é uma base de V se e somente se os 
vetores de B são geradores de V e B é LI.
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B = {v1, v2, ..., vn} é base de V ⇔ 
V [B]
B Ø LI
= é
Se B = {v1, . . . , vn} é base de V, então todo vetor u de V deve ser escrito como combinação linear 
destes vetores e chamaremos os escalares desta combinação linear de coordenadas de u na base B e 
usaremos a notação u = (a1, ..., an)B .
Teorema: Todo espaço vetorial, não trivial, tem base.
Teorema: Todas as bases de um espaço vetorial V têm a mesma quantidade de vetores.
3.3 Dimensão
O número de vetores de uma base de V é chamado de dimensão de V, dim V = n.
B = {v1, v2, ..., vn} é base de V então dim V = n
 Observação
S e S = {0}, subespaço trivial, diremos que não existe base de S ou que a base é vazia, B = ∅ e por 
definição dim S = 0.
3.3.1 Algumas propriedades
A seguir, veremos alguns resultados importantes sobre dimensão de um espaço vetorial e de seus subespaços
Seja R, S subespaço de V. Então temos:
1. dim R < dim V
2. dim R = dim V ⇔ R = V
3. dim (R + S) = dim R + dim S – dim (R ∩ S),
Notemos que: dim (S + T) = dim V ⇒ S + T = V
 Lembrete
Você poderá fazer um estudo mais formal de bases de um espaço 
vetorial a partir das referencias bibliográficas.
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Exemplos
1) Mostremos que B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base do IR3
Devemos verificar as duas condições da definição de base
a) V = IR3 = [B] (B gera IR3)
montando a combinação linear dos vetores de B temos:
x (1, 0, 0) y (0, 1, 0) z (0, 0, 1)
v1 v2 v3
��� ��� �� ��+ + �� =
(x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = (x, y, z)
Logo IR3 = [B] = [(1, 0,0), (0,1,0), (0,0,1)]
b) B é LI
para verificar se os vetores são LI vamos montar a combinação linear dos vetores, igualar a zero e 
analisar o resultado do sistema, assim
a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = (0, 0, 0) (a, b, c ∈ IR)
(a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = (0, 0, 0)
(a, b, c) = (0, 0, 0) ⇒ a = b = c = 0.
Como o sistema é possível e determinado (solução única), temos que B é LI.
Das condições: a) e b) temos que B é base do IR3, logo dim IR3 = 3
2) Do mesmo modo temos:
B = {(1, 0), (0, 1)} é uma base do IR2
B = {(1,0,0,0),(0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} é uma base do IR4

B = {(1,0, . . . ,0), (0,1,0, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,0,1)} é base do IRn
Essas bases acima são chamadas de bases canônicas.
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Temos ainda dim IR2 = 2, dim IR4 = 4, ... , dim IRn = n
3) Verificar se B =


















1 0
0 0
 ,
0 0
1 0
 ,
0 1
0 0
 ,
0 0
0 1
 é uma base de M2(IR)
Devemos verificar as duas condições da definição de base
a) V = M2(IR) = [B] (B gera M2(IR))
montando a combinação linear dos vetores de B temos:
x 
1 0
0 0
 
0 1
0 0
 
0 0
1 0
 
v1 v2 v3



 +



 +



 +��� �� ��� ���
y z t
00 0
0 1
v4



 =���
x y
z t
x y
z t
0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0



 +



 +



 +



 =




Logo
M IR B2( ) = [ ] = 














 1 0
0 0
 ,
0 0
1 0
 ,
0 1
0 0
 ,
0 0
0 1


b) B é LI
Para verificar se os vetores são LI, vamos montar a combinação linear dos vetores, igualar a zero e 
analisar o resultado do sistema, assim
a b c d
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0



 +



 +



 +



 =




a b
c d
0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
0 0



 +



 +



 +



 =




a b
c d



 =




0 0
0 0
daí vem o sistema:
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a
b
c
d
=
=
=
=





0
0
0
0
Como o sistema é possível e determinado (solução única), temos que B é LI.
Temos então que B é base do M2(IR) e dim M2(IR) = 4.
4) Verificar se B = {t , 1} é base de P1, espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 1.
Devemos verificar as duas condições da definição de base.
a) V = P1 = [B] (B gera P1)
Montando uma combinação linear dos vetores de B temos, u = a + b t, um vetor qualquer de P1, 
logo B gera P1.
b) B é LI
Devemos montar a combinação linear e igualar a zero, assim temos:
a. 1 + b. t = 0, isto é, a . 1 + b. t = 0 + 0 . t, resolvendo a igualdade encontramos a = 0 e b = 0. Logo, 
os vetores são LI
Portanto B = {t, 1} é base do P1, base canônica.
3.4 Base de um subespaço
Queremos determinar uma base e a dimensão de um subespaço U do IRn, para isso devemos encontrar 
S, um sistema de geradores de U, U = [S] e depois verificar se S é LI ou LD.
• se S é LI, então é base de U,
• se S é LD, então devemos determinar o maior subconjunto de S que seja LI.
Para determinar este subconjunto LI vamos utilizar o processo prático do item 3.1.
Como os vetores são LD, teremos linhas nulas na matriz escalonada, desprezando estas linhas 
verificamos que as restantes estão escalonadas e, portanto, os vetores que sobraram são LI. Assim 
teremos que estes vetores formam uma base do subespaço U.
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 Lembrete
Note que sempre será solicitado que você determine uma base do 
subespaço e não a base do subespaço, pois espaços vetoriais possuem 
várias bases.
Exemplos:
Determine uma base e a dimensão de cada subespaço:
1) V = IR3; U = {(2y , y, y) ∈ IR3}
1° passo: determinar um sistema de geradores de U
(2y, y, y) = y (2, 1, 1)
∴ U = [(2, 1, 1)], isto é, U é gerado pelo vetor (2,1, 1)
2° passo: verificar se o conjunto é LI ou LD
Como (2, 1, 1) ≠ (0, 0, 0) temos que {(2, 1, 1)} é LI e, portanto, base de U.
Logo B = {(2, 1, 1)} é uma base de U e dim U = 1
2) V = IR2 , U = {(x, y) | x = 3y}
Inicialmente devemos reescrever os vetores de U utilizando a condição dada, assim temos:
U = {(3y, y) | x ∈ IR}
1° passo: determinar um sistema de geradores de U
(3y, y) ∈ U ⇒ (3y, y) = y (3, 1)
∴ U = [(3, 1)], isto é, U é gerado pelo vetor (3, 1)
2° passo: verificar se o conjunto é LI ou LD
Como temos 1 vetor gerador e ele é não nulo, temos que {(3, 1)} é LI e, portanto, base de U.
Logo B = {(3, 1)} é uma base de U e dim U = 1
3) V = IR3, U = {(x, y, z) | z = x - 3y}
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Reescrevendo U temos:
U = {(x, y, x - 3y) | x, y ∈ IR}
1° passo: determinar um sistema de geradores de U
(x, y, x - 3y) ∈ U ⇒ (x, y, x - 3y) = (x, 0, x) + (0, y, - 3y) = x (1, 0, 1) + y (0, 1, - 3)
∴ U = [(1, 0, 1), (0, 1, -3)], isto é, {(1,0,1), (0, 1,- 3)} gera U.
2° passo: verificar se o sistema de geradores é LI
Utilizando o processo prático montamos a matriz com os geradores como linhas e daí temos:
1 0 1
0 1 3−




Notamos que a matriz já está escalonada e, como não temos linhas nulas, os vetores são LI.
Logo, uma base de U é B = {(1, 0, 1), (0, 1, -3)} e dim U = 2
4) Consideremos V = [(1, 0, 2), (-2, 3, -1), (-1, 3, 1)] ⊂ IR3
1° passo: determinar um sistema de geradores de V
Pelo enunciado já temos os geradores de V, B = {(1, 0, 2), (-2, 3, -1), (-1, 3, 1)} gera V.
2° passo: verificar se o sistema de geradores é LI
a) zerar o elemento a21 ,
1 0 2
2 3 1
1 3 1
1 0 2
0 3 3
1 3 1
− −
−






−






 L2 = L2 + 2 L1
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b) zerar o elemento a31
1 0 2
2 3 1
1 3 1
1 0 2
0 3 3
1 3 1
1 0 2
0 3 3
0 3 3
− −
−






−











 
 L2 = L2 + 2 L1 L3 = L3 + L1
c) zerar o elemento a32
1 0 2
2 3 1
1 3 1
1 0 2
0 3 3
1 3 1
1 0 2
0 3 3
0 3 3
− −
−






−











  
11 0 2
0 3 3
0 0 0






 L2 = L2 + 2 L1 L3 = L3 + L1 L3 = L3 – L2
Note que a matriz escalonada tem uma linha nula, logo, os 3 vetores são LD, porém, os 2 primeiros 
(não nulos) são LI, logo B = {(1,0,2), (0,3,3)} é base de V
Assim, uma base de V é B = {(1, 0, 2), (0, 3, 3)} e dim V = 2.
 Observação
Sempre queos vetores forem LD, você poderá encontrar um subconjunto 
que será LI, para ser base devemos pegar o maior subconjunto de vetores 
LI possível como base.
5) U = [(1, -1, 0, 1), (2, 1, 1, 2), (-1, -2, -1, -1), (1, -4, -1, 1)] ⊂ IR4
1° passo: determinar um sistema de geradores de U
pelo enunciado já temos os geradores de U,
B = {(1, -1, 0, 1), (2, 1, 1, 2), (-1, -2, -1, -1), (1, -4, -1, 1)} gera U.
2° passo: verificar se o sistema de geradores é LI
a) zerar o elemento a21,
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no
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e 
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1 1 0 1
2 1 1 2
1 2 1 1
1 4 1 1
1 1 0 1
0 3 1 0
1 2 1 1
1 4 1
−
− − − −
− −






−
− − − −
− −

11






 L2 = L2 - 2 L1
b) zerar o elemento a31
1 1 0 1
2 1 1 2
1 2 1 1
1 4 1 1
1 1 0 1
0 3 1 0
1 2 1 1
1 4 1
−
− − − −
− −






−
− − − −
− −

11
1 1 0 1
0 3 1 0
0 3 1 0
1 4 1 1






−
− −
− −







 L2 = L2 - 2 L1 L3 = L3 + L1
c) zerar o elemento a41
1 1 0 1
2 1 1 2
1 2 1 1
1 4 1 1
1 1 0 1
0 3 1 0
1 2 1 1
1 4 1
−
− − − −
− −






−
− − − −
− −

11
1 1 0 1
0 3 1 0
0 3 1 0
1 4 1 1
1 1 0 1
0 3 1 0






−
− −
− −






−
 
00 3 1 0
0 3 1 0
− −
− −






 L2 = L2 - 2 L1 L3 = L3 + L1 L4 = L4 – L1
d) zerar os elementos a32 e a42
1 1 0 1
2 1 1 2
1 2 1 1
1 4 1 1
1 1 0 1
0 3 1 0
0 3 1 0
0 3 1
−
− − − −
− −






−
− −
− −
∼…∼
00
1 1 0 1
0 3 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0






−





∼
 L3 = L3 + L2
 L4 = L4 + L2
Notamos que a matriz escalonada tem duas linhas nulas, logo, o conjunto é LD; as duas primeiras 
linhas não são nulas, logo, essas linhas são LI
Assim, uma base de U é B = {(1, -1, 0, 1), (0, 3, 1, 0)} e dim U = 2
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 Observação
Você também pode pegar como base de U os vetores das linhas 1 e 2 da 
primeira matriz, tenha sempre o cuidado de escolher as linhas que ao final 
do processo de escalonamento não ficaram nulas.
6) Determinar uma base e a dimensão de
U, V, U + V e U ∩ V dados U = {(x, y, x – y) ∈ IR3} e V = {(2y, y, z) ∈ IR3}
base de U:
1° passo: determinar os geradores
(x, y, x - y) = x (1, 0, 1) + y (0, 1, -1)
U = [(1, 0, 1), (0, 1, -1)]
2° passo: verificar se os geradores são LI
1 0 1
0 1 1−




Note que a matriz já está escalonada, portanto os vetores são LI, logo,
BU = {(1, 0, 1), (0, 1, -1)} é uma base de U e dim U = 2
base de V:
1° passo: determinar os geradores
(2y, y, z) = y (2, 1, 0) + z (0, 0, 1)
V = [(2, 1, 0), (0, 0, 1)]
2° passo: verificar se os geradores são LI
2 1 0
0 0 1




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Note que a matriz já está escalonada, logo, os vetores são LI.
Assim BV = {(2, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V e dim V = 2
base de U + V:
1° passo: determinar os geradores
Da propriedade 4 do item 1.7 temos:
U = [BU] e V = [BV] ⇒ U + V = [BU ∪ BV]
assim
U + V = [(1, 0, 1), (0, 1, -1), (2, 1, 0), (0, 0, 1)]
2° passo: determinar se os geradores são LI
a) como o elemento a21 é igual a zero, começamos zerando o elemento a31,
1 0 1
0 1 1
1 0 1
0 1 1
 
2 1 0
0 0 1
 
0 1 2
0 0 1
−






−
−







 L3 = L3 - 2 L1
b) zerar o elemento a32
1 0 1
0 1 1
2 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 1 2
0 0 1
 
 
 
 
 
−






−
−







−
−







1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 1
 
 
 L3 = L3 - 2 L1 L3 = L3 - L2
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c) zerar o elemento a43
1 0 1
0 1 1
2 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 1 2
0 0 1
 
 
 
 
 
−






−
−







−
−






−
−


 
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0
 
 
 




 L3 = L3 - 2 L1 L3 = L3 - L2 L4 = L4 + L3
Os 4 vetores são LD, porém os 3 primeiros são LI
Logo BU + V = {(1, 0, 1), (0, 1, -1), (2, 1, 0)} é uma base de U + V e dim U + V = 3.
Note que podemos também pegar como vetores da base os 3 vetores não nulos da última matriz, 
isto é,
BU + V = {(1, 0, 1), (0, 1, -1), (0, 0, -1)} também é uma base de U + V.
base de U∩V:
Inicialmente devemos determinar U ∩ V, para isso vamos igualar os vetores de U e V, como existem 
letras repetidas, temos:
(x, y, x - y) = (2a, a, b) e daí temos o sistema
x a
y a
x y b
=
=
− =



2
 resolvendo o sistema temos b = a
assim U ∩ V = {(2 a, a, a) ∈ IR3}
como (2 a, a, a) = a (2, 1, 1) temos que
BU ∩ V = {(2, 1, 1)} é uma base de U ∩ V e dim U ∩ V = 1
3.5 Alguns teoremas sobre bases
I. “Todo vetor do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores 
de uma base.”
De fato, consideremos B = {u1, u2, . . . , un} uma base do espaço U e v um vetor de U.
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Como B gera o espaço U, temos que v pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B, 
v = a1.u1+a2.u2+ ... + an.un.
Resta mostrar que esta forma de escrever é única. Suponhamos que v possa ser escrito de duas 
formas como combinação linear dos vetores de B, isto é, v = a1.u1+a2.u2+ ... + an.un e v = b1.u1+b2.u2+ 
... +bn.un
Temos então: a1.u1+a2.u2+ ... + an.un = b1.u1+b2.u2+ ... +bn.un, daí concluímos que
(a1+b1) u1 + (a2+b2) u2 + ... + (an+bn) un=0. (1)
Como B é base, os seus vetores são LI, logo, a combinação linear (1) só será verdadeira se ai+bi=0, 
∀ i, 1< i < n, isto é, ai=bi, ∀ i, 1< i < n. Portanto a forma de escrever éúnica.
Exemplo:
Seja B = {(1, 1, 2), (0, 1, -1), (0, 0, 1)} base do IR3, escrever o vetor u = (2, 1, 3) como combinação 
linear dos vetores de B.
Montando a combinação linear dos vetores de B e igualando ao vetor u temos:
u=a.b1+b . b2+c.b3
substituindo as coordenadas dos vetores vem:
(2, 1, 3) = a.(1, 1, 2) + b.(0, 1, -1) + c.(0, 0, 1)
e encontramos o sistema:
2
1
3 2
=
= +
= − +



a
a b
a b c
resolvendo o sistema temos: a = 2, b = -1 e c = -2.
Notamos que o sistema é possível e determinado, solução única,
logo u = 2.b1 + (-1).b2 + (-2).b3 de modo único.
II. “Um sistema de geradores de um espaço vetorial V tem algum subconjunto que é base de V.”
Seja S um sistema de geradores de V, podemos ter:
a) S LI logo é base de V
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b) S LD então existe S1 ⊂ S, S1 com o maior número possível de vetores LI de S e S1 é base de V
Exemplo:
Seja S = {(1, -2, 0), (0, 1, 1), (1, -1, 1), (0, 0, -1)} um sistema de geradores do IR3. Determinar um 
subconjunto de S que seja base do IR3 .
Como temos 4 vetores no IR3, já sabemos que o conjunto é LD. Vamos determinar quantos deles são 
LI utilizando o processo prático, item 2.1,
a) como o elemento a21 é igual a zero, começamos zerando o elemento a31,
1 2 0
0 1 1
1 2 0
0 1 1
−





−





1 -1 1
0 0 -1
0 1 1
0 0 -1

 L3 = L3 - L1
b) zerar o elemento a32
1 2 0
0 1 1
1 2 0
0 1 1
1 2−





−





−
1 -1 1
0 0 -1
0 1 1
0 0 -1
 
00
0 1 1
0 0 0
0 0 -1






 L3 = L3 - L1 L3 = L3 - L2
c) zerar o elemento a43
1 2 0
0 1 1
1 1 1
0 0 1
1 2 0
0 1 1
0 1 1
0 0 1
1 2−
−
−






−
−






−
 
00
0 1 1
0 0 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0−






−
−







 
 L3 = L3 - L1 L3 = L3 - L2 L3, 4
Assim temos que os 4 vetores são LD, porém, os 3 primeiros são LI, logo
B ⊂ S, B = {(1, -2, 0), (0, 1, 1), (1, -1, 1)} é uma base do IR3.
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Note que é indiferente pegarmos os 3 vetores da 1ª matriz ou de qualquer outra matriz do processo, 
desde que não utilizemos a linha que ficou nula.
III. “Todo conjunto LI, de vetores de V, pode ser completado até formar uma base de V.”
dim
, , , ,
 
 li e j n
 vetores
V n
S v v v j
j
=
= { } <1 2 …� ��� ���
B v v v u u uj k
n
= { }1 2 1 2, , , , , , ,… …� ����� �����
 vetores
 li 
B Ø base de Vé
Exemplo:
Seja S = {(1, -2, 0), (0, 1, 1)} um conjunto LI, completar S para que seja uma base do IR3.
Inicialmente devemos lembrar que uma base do IR3 deve ter 3 vetores e estes vetores devem ser LI.
Como o conjunto S tem 2 vetores LI, basta acrescentar um vetor que seja LI com os outros dois e 
teremos uma base do IR3.
Tomemos por exemplo o vetor u = (0, 0, 1), o conjunto B = {(1, -2, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} é LI (basta 
montar a matriz e verificar que já está escalonada) e portanto uma base do IR3.
 Saiba mais
Saiba mais sobre bases de espaços vetoriais e subespaços no capítulo 3, 
itens 3 e 4 de: LEON, S. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC.
4 VETOR COORDENADA
Consideremos B uma base ordenada de um espaço V, chamamos de vetor coordenada de u em 
relação a B, ao vetor formado pelos coeficientes da combinação linear dos vetores na base ordenada B.
Assim,
B = {v1, v2, ..., vn} base ordenada de V
u = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn
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 u [ ] =






B
n
a
a
a
1
2

 vetor coordenada
Os coeficientes a1, a2 ..., an são as coordenadas de u em relação à base B.
 Lembrete
Se alteramos a ordem dos vetores na base B, o vetor coordenada 
também será alterado.
Exemplos:
1) Determinar [v]S, com v = (-1, 2, -2) sendo:
a) S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} base do IR3
S = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
v1 v2 v3

v = av1 + bv2 + cv3
(-1, 2, -2) = a(1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (a, b, c)
logo v S[ ] =
−
−






1
2
2
 o vetor coordenada coincide com o vetor v, pois S é base canônica.
b) S = {(1, 1, 2), (0, 1, -1), (0, 0, 1)} base do IR3
S = {(1,1,2),(0,1,-1),(0,0,1)}
v1 v2 v3
�����
v = av1 + bv2 + cv3
(-1, 2, -2) = a (1, 1, 2) + b(0, 1, -1) + c(0, 0, 1)
(-1, 2, -2) = (a, a + b, 2a - b + c)
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e 
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Di
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27
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20
13
a
a b
a b c
= −
+ =
− + = −



1
2
2 2
assim a = -1, b = 3 e c = 3
logo v S[ ] =
−





1
3
3
 é o vetor coordenada.
Note que neste caso o vetor coordenada é diferente de v, pois a base S não é canônica.
2) Sendo S = {t+1, t -1} base do P1, espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 1, determinar 
[u]S e [u]B sendo u = 3 t + 1 e B = {t, 1} base canônica do P1.
Devemos escrever u como combinação linear dos vetores de S, assim:
3t + 1 = a. (t+1) + b.(t-1)
Temos então:
3t + 1 = at + a + bt - b
3t + 1 = (a + b) . t + (a - b)
igualando os coeficientes de mesma potência vem:
a b
a b
+ =
− =

3
1
resolvendo o sistema temos: a = 2 e b = 1, assim u S[ ] = 


2
1
O vetor coordenada em relação a B, base canônica do P1, é dado por:
 Bu[ ] = 


3
1
4.1 Matriz mudança de base
Sendo R = {v1, v2, . . . , v n} e S = {u1, u2, . . . , u n} bases ordenadas de um espaço V indicamos por PS ← R a 
matriz mudança de base de R para S.
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Para determinar a matriz mudança de base devemos determinar o vetor coordenada de cada vetor 
de R em relação à base S, isto é, devemos escrever cada vetor de R como combinação linear dos vetores 
de S.
A matriz será formada pelos vetores coordenada, colocados em colunas.
 Lembrete
Se alterarmos a ordem dos vetores nas bases R e S, a matriz mudança 
de base seráalterada.
Exemplo:
Determinar a matriz mudança de base de R para S, sendo R e S as bases ordenadas do IR3 dadas por:
S = {(1,1,1), (1,0,1), (0,0,1)} e R = {(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)}.
Inicialmente devemos determinar o vetor coordenada de cada vetor de R em relação à base S.
Temos então:
S R
s s s r r
= ={( , , ),( , , ),( , , )} {( , , ),( , , )111 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 11
1 2 3 1
 
22 3
0 0 1

,( , , )}
r
a) r1 = a1 . s1 + a2 . s2 + a3 . s3
substituindo as coordenadas dos vetores encontramos o sistema
a a
a
a a a
1 2
1
1 2 3
1
0
1
+ =
=
+ + =



a solução do sistema dá o vetor coordenada de r1 na base S, isto é,
r1
0
1
0
[ ] =






b) r2 = b1 . s1 + b2 . s2 + b3 . s3
substituindo as coordenadas dos vetores encontramos o sistema
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b b
b
b b b
1 2
1
1 2 3
0
1
1
+ =
=
+ + =



a solução do sistema dá o vetor coordenada de r2 na base S, isto é,
r2
1
1
1
[ ] = −






c) r3 = c1 . s1 + c2 . s2 + c3 . s3
substituindo as coordenadas dos vetores encontramos o sistema
c c
c
c c c
1 2
1
1 2 3
0
0
1
+ =
=
+ + =



a solução do sistema dá o vetor coordenada de r3 na base S, isto é,
r3
0
0
1
[ ] =






Logo, a matriz mudança de base de R para S será:
PS R← = −






0 1 0
1 1 0
0 1 1
4.1.1 Processo prático para determinar a matriz mudança de base
Podemos determinar a matriz mudança de base utilizando a matriz ampliada e o escalonamento 
para transformar a primeira parte da matriz ampliada em matriz identidade. A segunda parte da matriz 
ampliada será a matriz mudança de base.
Exemplo:
Determinar a matriz mudança de base de R para S, sendo R e S as bases ordenadas do IR3 dadas por:
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S = {(1,1,0), (1,0,1), (0,0,1)} e R = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}.
Vamos montar a matriz ampliada colocando as coordenadas dos vetores como colunas da matriz, na 
primeira parte os vetores de S e na segunda os vetores de R.
1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1
1






↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
s s s r r 2 3 1 2 rr3
Transformando a 1ª parte da matriz na matriz identidade, utilizando as operações elementares nas 
linhas da matriz ampliada temos (faça as contas e confirme)
1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 2 1
−






Assim, a matriz mudança de base de R para S é:
PS R← = −






1 1 0
0 1 0
1 2 1
4.1.2 Alguns resultados importantes
I. Mudança das coordenadas de um vetor da base R para a base S
[u]S = PS ← R . [u]R
Exemplo:
Dados [ ]u R =




1
0
 e PS R← =
−




2 1
1 1
 determine [u]S
Basta fazer o produto das matrizes, assim
[ u] P [u] S S R R= =
−







 = −



←
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1
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2
1
.
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II. A matriz mudança de base de R para S é inversível e sua inversa é a matriz mudança de 
base de S para R.
(PS ← R)
-1 = P-1S ← R = PR ← S
Exemplo:
Dadas as bases do IR2, R = {(-1,1), (2,1)} e S = {(1,0), (1,1)} determinar a matriz mudança de base 
de R para S e a matriz mudança de base de S para R.
Escrevendo os vetores de R como combinação linear dos vetores de S temos:
(-1,1) = a1 (1,0) + a2 (1,1)
(2,1) = b1 (1,0) + b2 (1,1)
Resolvendo vem: a1 = -2, a2 = 1, b1 = 1 e b2 = 1, logo
PS R← =
−



2 1
1 1
Do mesmo modo, vamos determinar a matriz de S para R, isto é, vamos escrever os vetores de S 
como combinação linear dos vetores de R.
Assim temos:
(1,0) = a1 (-1,1) + a2 (2,1)
(1,1) = b1 (-1,1) + b2 (2,1)
Resolvendo vem: a1 = -1/3, a2 = 1/3, b1 = 1/3 e b2 = 2/3, logo
PR S← =
−






1
3
1
1
1
3
2
3
Você pode também utilizar a inversa da matriz mudança de base.
Calcule a inversa da matriz PS R← =
−



2 1
1 1 e confira com o resultado encontrado.
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 Saiba mais
Saiba mais sobre matriz mudança de base no capítulo 4, item 4.7 
de: KOLMAN, B. Introdução à álgebra linear. 6. ed. São Paulo: Editora 
Prentice-Hall do Brasil, 1998.
4.2 Ampliando seu leque de exemplos
1. Sendo V
a b b
d
M IR e U
x
y
M IR=





∈
+
=



 ∈

0
0
02 2
( ) ( ) uma base de U ∩ V é:
A) B =






0 0
0 0
B) B =






0 1
0 0
C) B =






1 0
0 0
D) B =






0 0
1 0
E) B =






0 0
0 1
Resposta correta: alternativa C.
Resolução do exercício
Devermos inicialmente determinar a intersecção de U e V, para isso vamos igualar os vetores de U e de V,
a b b
d
x
y
+


 =



0
0
0
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a b x
b
y
d
+ =
=
=
=





0
0
0
 resolvendo o sistema temos: a = x, b = 0, d = 0, y = 0, substituindo em U ou em V temos:
a b b
d
x+


 =



0
0
0 0
U V
x
M IR∩ =



 ∈


0
0 0 2
( )
Logo uma base de U ∩ V será B =






1 0
0 0
2. A expressão que indica u = (3, 4, -2) como combinação linear da base b1 = (1,1,1), b2 = (0,-1,1), b3 = (0,0,2)}, 
é:
A) u = 3 b1 + b2 + b3
B) u = 3 b1 + 2b2 + b3
C) u = 2 b1 - b2 - b3
D) u = 3 b1 + b2 - b3
E) u = 3 b1 - b2 - 2 b3
Resposta correta: alternativa E.
Resolução do exercício
Devemos escrever u como combinação linear dos vetores b1, b2, b3, isto é,
u = a . b1 + b . b2 + c . b3,, substituindo as coordenadas dos vetores temos:
(3,4,-2) = a.(1,1,1) +b. (0,-1,1) +c .(0,0,2) 
(3,4,-2) = (a,a-b,a+b+2c)
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a
a b
a b c
=
− =
+ + = −



3
4
2 2
 resolvendo o sistema temos: a = 3, b = -1, c = - 2
Logo u= 〖3 . b1 – b2–2 . b3
3. O vetor que completa o conjunto li R = {(3,-1,2), (1,1,0)}, transformando-o em uma base do IR3 é:
A) w = (6, -2, 4)
B) w = (-2, -2, 0)
C) w = (0, 0, 0)
D) w = (0, 0, 3)
E) w = (3, 3, 0)
Resposta correta: alternativa D.
Resolução do exercício
Para completar R para que seja base do IR3 devemos acrescentar um vetor que torne o conjunto LI, 
assim temos:
A) w = (6, -2, 4) não serve, pois é múltiplo de (3,-1,2), logo torna o conjunto LD.
B) w = (-2, -2, 0) não serve, pois é múltiplo de (1,1,0), logo torna o conjunto LD.
C) w = (0, 0, 0) não serve, pois torna o conjunto LD.
D) w = (0, 0, 3) serve, pois torna o conjunto LI, formando assim uma base do IR3.
E) w = (3, 3, 0) não serve, pois é múltiplo de (1, 1, 0), logo torna o conjunto LD.
4. Indique a afirmação correta:
A) {(2,-1),(4,-2)} é base do IR2.
B) {(1, 0, 1),(0, 2, 3)} é base do IR3.
C) A dimensão do IR5 é 6.
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D) {(2,1, 3, 0),(0, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 0)} é um conjunto li.
E) {(1,- 1),(0, 2), (3, 1)} é base do IR2.
Resposta correta: alternativa D.
Resolução do exercício
Verificando cada uma das alternativas temos:
A) (F) os vetores são LD, são múltiplos, logo não podem formar uma base do IR2.
B) (F) os vetores são LI, porém toda base do IR3 deve ter 3 vetores, assim o conjunto não pode ser base 
do IR3.
C) (F) a dimensão do IR5 é igual a 5.
D) (V) os vetores são LI, podemos verificar isso com o processo prático.
2 1 3 0
0 2 1 1
0 0 2 0





 L I
E) (F) toda base do IR2 deve ter 2 vetores, assim o conjunto dado não pode ser base.
5. O vetor coordenada de v = (3, 2, -1) em relação à base ordenada do IR3,
B = {(1,1,1), (0,1,-2), (0,0,1)} é:
A) [ ]v B =






3
1
6
B) [ ]v B = −
−






 3
1
6
C) [ ]v B =
−





3
1
6
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D) [ ]v B = −






3
1
6
E) [ ]v B =
−






3
1
6
Resposta correta: alternativa B.
Resolução do exercício
Para determinar o vetor coordenada de v devemos determinar os coeficientes da combinação linear 
v = 〖a . b〖1+ b . b2 + c . b3 , isto é,
(3, 2, -1) = a . (1,1,1) + b . (0,1,-2) + c . (0,0,1)
(3, 2, -1) = (a, a + b, a - 2 b + c)
a
a b
a b c
=
+ =
− + = −



3
2
2 1
 resolvendo o sistema temos a = 3, b = -1 e c = - 6
Logo v B[ ] = −
−






3
1
6
6. O vetor coordenada de v = (0, 4, 3) em relação à base ordenada do IR3,
B = {(2,1,-1), (0,2,1), (0,0,1)} é:
A) 
[ ]v B =






0
1
2
B) [ ]v B = −






0
1
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C) [ ]v B =






0
2
1
D) [ ]v B = −






2
1
0
E) [ ]v B =
−






0
1
2
Resposta correta: alternativa C.
Resolução do exercício
Para determinar o vetor coordenada de v devemos determinar os coeficientes da combinação linear 
v= 〖a . b〖1 + b. b2 + c . b3, isto é:
(0, 4, 3) = a . (2, 1, -1) + b . (0, 2, 1) + c . (0,0,1)
(0, 4, 3) = (2a, a + 2 b, - a + b + c)
2 0
2 4
3
a
a b
a b c
=
+ =
+ + =



 resolvendo o sistema temos a = 0, b = 2 e c = 1
Logo v B[ ] =






0
2
1
7. Sendo R = {(1,-1,0), (0,2,1), (0,0,1)} e S = {(1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)} a matriz mudança de base de R 
para S é:
A)PS R ← = −
−






1 0 0
2 2 0
2 1 1
B) PS R ← =






1 0 0
2 2 0
2 1 1
71
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
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 –
 D
ia
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am
aç
ão
: M
ár
ci
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– 
13
/1
0/
11
 //
 M
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an
ça
 d
e 
no
m
e 
e 
re
di
ag
ra
m
aç
ão
 -
 R
ev
isã
o:
 V
irg
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 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
27
/0
6/
20
13
C) PS R ← = −






1 2 0
2 0 0
2 1 1
D) PS R ← = −






1 1 0
2 2 0
2 1 1
D) PS R ← =
−
−






1 2 2
0 2 0
0 1 1
Resposta correta: alternativa A.
Resolução do exercício
Devemos calcular o vetor coordenada de cada um dos vetores da base R, assim:
r1 = 〖a . s1 + b . s2 + c . s3
(1, -1, 0) = a (1, 1,0) + b (0, 1, 1) + c (0, 0, 1)
(1, -1, 0) = (a, a + b, b + c)
a
a b
b c
=
+ = −
+ =



1
1
0
resolvendo o sistema temos, a = 1, b = -2 e c = - 2
r2 = 〖a . s1 + b. s2 + c . s3
(0, 2, 1) = a (1, 1,0) + b (0, 1, 1) + c (0, 0, 1)
(1, -1, 0) = (a, a + b, b + c)
a
a b
b c
=
+ =
+ =



0
2
1
 resolvendo o sistema temos, a = 0, b = 2 e c = - 1
r3 = 〖a . s1 + b . s2 + c . s3
(0, 0, 1) = a (1, 1, 0) + b (0, 1, 1) + c (0, 0, 1)
72
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 –
 D
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am
aç
ão
: M
ár
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13
/1
0/
11
 //
 M
ud
an
ça
 d
e 
no
m
e 
e 
re
di
ag
ra
m
aç
ão
 -
 R
ev
isã
o:
 V
irg
ín
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
27
/0
6/
20
13
(1, -1, 0) = (a, a + b, b + c)
a
a b
b c
=
+ =
+ =



0
0
1
 resolvendo o sistema temos, a = 0, b = 0 e c = 1
Logo a matriz mudança de base é: PS R ← = −
−






1 0 0
2 2 0
2 1 1
8. Sendo R = {(1,-1,0), (0,2,1), (0,0,1)} e S = {(1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)} a matriz mudança de base da 
base S para R é:
A) PR S← =
−






1 1 0
2 0
1 1
1
2
1
2
B) PR S← = −






1 1 0
2 0
1 1
1
2
1
2
C) PR S← =
−






1 0 0
1 0
1 1
1
2
1
2
D) PR S← =
−






1 1 0
1 2 0
1 112
E) PR S ← =






1 1 0
1 1
1 1
1
2
1
2
Resposta correta: alternativa C.
Resolução do exercício
Devemos calcular o vetor coordenada de cada um dos vetores da base S, assim:
s1 = 〖a . r1 + b . r2 + c . r3
73
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Re
vi
sã
o:
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 D
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 M
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e 
e 
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m
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 -
 R
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isã
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 V
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ín
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 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
27
/0
6/
20
13
(1, 1, 0) = a (1, -1,0) + b (0, 2, 1) + c (0, 0, 1)
(1, 1, 0) = (a, - a + 2 b, b + c)
a
a b
b c
=
− + =
+ =



1
2 1
0
 resolvendo o sistema temos, a = 1, b = 1 e c = - 1
s2 = 〖a . r1 + b . r2 + c . r3
(0, 1, 1) = a (1, -1, 0) + b (0, 2, 1) + c (0, 0, 1)
(0, 1, 1) = (a, - a + 2 b, b + c)
a
a b
b c
=
− + =
+ =



0
2 1
1
 resolvendo o sistema temos, a = 0, b = ½ e c = ½
s3 = 〖a . r1 + b . r2 + c . r3
(0, 0, 1) = a (1, -1,0) + b (0, 2, 1) + c (0, 0, 1)
(0, 0, 1) = (a, - a + 2b, b + c)
a
a b
c
=
− + =
+ =



0
2 0
1
 resolvendo o sistema temos, a = 0, b = 0 e c = 1
Logo, a matriz mudança de base é: PR S ← =
− −






1 0 0
1
1
2
0
1
1
2
1
9. Sabendo que o vetor coordenada de v na base R é [ ]v R =






2
1
3
 e que a matriz mudança de base de 
R para S é dada por PS R ← = −
−






1 0 0
2 2 0
2 1 1
 o vetor coordenada de v na base S é:
74
Unidade II
Re
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/1
0/
11
 //
 M
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 -
 R
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 V
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Di
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m
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ão
: M
ár
ci
o 
- 
27
/0
6/
20
13
A) [ ]v s =






2
2
0
B) [ ]v s = −






2
1
0
C) [ ]v s =






0
2
1
D) [ ]v s =






2
1
6
E) [ ]v s = −






2
2
6
Resposta correta: alternativa E.
Resolução do exercício
Para calcular o vetor coordenada de v na base R vamos utilizar:
[ v] P [v] S S R R= ←
[ ] . . v S = −
−












1 0 0
2 2 0
2 1 1
2
1
3
[ ] . v S = −






2
2
6
10. Sabendo que o vetor coordenada de v na base S é [ ]v s =
−






3
2
1
 e que a matriz mudança de base 
 
de S para R é dada por PR S← =
−






1 0 0
1 0
2 1 4
1
2
 o vetor coordenada de v na base R é:
75
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Re
vi
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 G
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al
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 –
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/1
0/
11
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e 
re
di
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m
aç
ão
 -
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Di
ag
ra
m
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ão
: M
ár
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o 
- 
27
/0
6/
20
13
A) [ ]v R =






4
2
0
B) [ ]v R =






2
3
0
C) [ ]v R =
−






0
2
8
D) [ ]v R =
−






3
4
8
E) [ ]v R = −






2
2
6
Resposta correta: alternativa D.
Resolução do exercício
Para calcular o vetor coordenada de v na base S vamos utilizar:
[ v] P [v] R R S S= ←
[ ] . . v R =
−





 −






1 0 0
1
1
2
0
2 1 4
3
2
1
[ v] .R =
−






3
4
8
76
Unidade II
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0/
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 //
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e 
no
m
e 
e 
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di
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ão
 -
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isã
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ia
 / 
Di
ag
ra
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: M
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27
/0
6/
20
13
 Resumo
Vimos nesta unidade as noções de base e dimensão.
Iniciamos com o processo prático para determinação de vetores LI e LD, 
nele utilizamos as operações básicas nas linhas da matriz formada pelas 
coordenadas dos vetores.
Um conjunto ordenado B de vetores de V é uma base de V se e somente se:
a) B gera V, isto é, V = [ B ].
b) B é LI.
O número de vetores da base do espaço V, chamamos de dimensão de V.
Chamamos de vetor coordenada de u em relação à base B, ao vetor 
formado pelos coeficientes da combinação linear dos vetores na base B.
u = a1 . v1 + a2 . v2 + . . . + an . vn
u
a
a
an
[ ] =






1
2

Matriz mudança de base, da base R para base S - PS ← R, é formada pelos 
vetores coordenada de cada vetor de R em relação à base S, colocados em 
colunas.