Resumo interativo: Álgebra linear

Prévia do material em texto

RESUMO: ÁLGEBRA LINEAR
ENTRE EM CONTATO CASO TENHA SUGESTÕES, AGRADECIMENTOS, COMENTÁRIOS
OU DÚVIDAS
REFERENTES AO MATERIAL.
annie.passeidireto@gmail.com
(ME MANDE UM EMAIL!)
Autora:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
21 de fevereiro de 2021
annie.passeidireto@gmail.com
CONTEÚDO 1 VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES E LINEARMENTE DEPENDENTES
QUEM SOU EU?
Olá, meu nome é Annie e sou graduanda em geofísica pela Universidade Federal da Bahia e pré-vestibulanda para
o Instituto Tecnológico da Aeronáutica. Antes do pré-vestibular, era graduanda, concomitantemente a geofísica, de
engenharia elétrica pela Faculdade de Tecnologia e Ciência. Atualmente, atuo como tutora de várias disciplinas e tenho
certeza que podemos aprender muito. Sendo assim, bons estudos!
CONTEÚDO INTERATIVO! APERTE NA SEÇÃO PARA ACESSAR O CONTEÚDO.
Conteúdo
1 Vetores linearmente independentes e linearmente dependentes 1
2 Combinação Linear 2
3 Base e dimensão de um espaço vetorial 4
4 Produto escalar, paralelismo e ortogonalidade 5
5 Interseção e soma de subespaços 6
6 Subespaço gerado por um conjunto de vetores 7
7 Definição de coordenadas de um vetor e de matriz coordenada. Mudança de coordenadas 8
8 Transformações Lineares 9
1 Vetores linearmente independentes e linearmente dependentes
Definição:
a) Uma sequência (~v) é linearmente dependente ~v = 0 e linearmente independente se ~v 6= 0. [BOULOS and CAMARGO(2005)]
Com isto, temos que todo vetor nulo é linearmente independente e caso contrário, será linearmente dependente.
b) Um par ordenado (~u,~v) é linearmente dependente se ~u e ~v são paralelos. Caso contrário, (~u,~v) é linearmente
independente. [BOULOS and CAMARGO(2005)]. Ou seja, se dois vetores são paralelos (possuem representantes
na mesma reta), eles são linearmente dependentes.
c) Uma tripla ordenada (~u,~v, ~w) é linearmente dependente se ~u, ~v e ~w são paralelos a um mesmo plano. Caso contrá-
rio, (~u,~v, ~w) é linearmente independente.[BOULOS and CAMARGO(2005)] Ou seja, se três vetores são coplanares
(estão contidos no mesmo plano), eles são linearmente dependentes.
d) Se n ≥ 4, qualquer sequência de n vetores é linearmente dependente. [BOULOS and CAMARGO(2005)] Ou seja,
mais de 4 vetores não podem ser coplanares.
EXEMPLOS:
Exemplo 1
Qualquer coleção de vetores contendo o vetor nulo é linearmente dependente. Tomemos os vetores (u1, 0, u2), temos
que:
0 = 0 · u1 + 0 · u2
Exemplo 2
Dois vetores são paralelos se o ângulo entre eles é igual a 0 ou 180◦. A fórmula do ângulo entre os vetores é dada
por:
1
2 COMBINAÇÃO LINEAR
cos(~u,~v) =
~u · ~v
|~u||~v|
Dado os vetores ~u = (−4, 5) e ~v = (12,−15),
cos((−4, 5), (12,−15)) = (−4, 5) · (12,−15)
|(−4, 5)||(12,−15)|
⇒ cos((−4, 5), (12,−15)) = −48− 85√
(−4)2 + 52 ·
√
122 + (−15)2
⇒ cos((−4, 5), (12,−15)) = −123√
(−4)2 + 52 ·
√
122 + (−15)2
θ = cos−1
(
−123√
(−4)2 + 52 ·
√
122 + (−15)2
)
= 180◦
Exemplo 3
Considere os vetores u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, 3, 1), u3 = (1, 0, 1), três vetores coplanares de R3 são linearmente de-
pendentes. Três vetores são LI se o det 6= 0.
det =
∣∣∣∣∣∣
1 2 1
2 3 1
1 0 1
∣∣∣∣∣∣
1 2
2 3
1 0
= 3 + 2 + 0− {4 + 0 + 3} = −2 ∴ D = −2
Ou ainda, podemos aplicar o teste do produto misto, sobre o qual efetuamos operações de escalonamento na matriz
de vetores, o processo de escalonamento fornece a combinação linear dos vetores igual a zero. Ou seja, conseguiremos
"zerar"uma linha. De acordo com as propriedades das matrizes, se temos uma linha de zeros, o determinante da matriz
será igual a 0. Ao final, realizar o determinante diretamente é uma forma simplificada do processo.
2 Combinação Linear
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F, dizemos que v ∈ V é uma combinação linear dos vetores
v1, v2, ..., vn vetores em V se, e somente se, existem escalares α1, α2, ..., αn ∈ F tais que: [Moraes(2020)]
v = α1 · v1 + α2 · v2 + ...+ αn · vn
EXEMPLOS:
Exemplo 1
O vetor (3,4,7) do R3 é uma combinação linear da base canônica β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(3, 4, 7) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1)
(3, 4, 7) = 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 7(0, 0, 1)
Exemplo 2
No espaço vetorial R3, o vetor v = (−7,−15, 22) é uma combinação linear dos vetores v1 = (2,−3, 4) e v2 = (5, 1,−2)
porque:
v = 4v1 − 3v2, de fato:
(−7,−15, 22) = 4(2,−3, 4)− 3(5, 1,−2) = (8,−12, 16) + (−15,−3, 6) = (−7,−15, 22)
2
2 COMBINAÇÃO LINEAR
Figura 1: A coordenadas apresentadas no exemplo 3, explicitam pontos coplanares. Portanto, os vetores apresentados
são LI. Fonte: Autoria própria
Figura 2: A coordenadas apresentadas no exemplo 3, vistas por outro ângulo. Fonte: Autoria própria
Exemplo 3
A matriz A =
[
1 4
−1 −8
]
é combinação linear da base canônica β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
3
4 PRODUTO ESCALAR, PARALELISMO E ORTOGONALIDADE
[
1 4
−1 −8
]
=
[
1 0
0 0
]
+ 4 ·
[
0 1
0 0
]
−
[
0 0
1 0
]
− 8 ·
[
0 0
0 1
]
3 Base e dimensão de um espaço vetorial
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F, um subconjunto β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V se, e
somente se, [Moraes(2020)]
a) B gera V, ou seja, [B] = V .
b) B é linearmente independente.
É uma estrutura sobre a qual pode-se escrever todos os elementos do espaço vetorial por meio da sua combinação
linear.
EXEMPLOS:
Exemplo 1
β = {(1, 0), (0, 1)} é base de R2, pois para todo (x, y) ∈ R2 podemos escrever:
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
Exemplo 2
β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
é uma base de M2(R)
[
a b
d c
]
= a ·
[
1 0
0 0
]
+ b ·
[
0 1
0 0
]
+ c ·
[
0 0
1 0
]
+ d ·
[
0 0
0 1
]
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F, finitamente gerado. A dimensão de V, denotado por dimV ,
é o número de elementos de uma base V (cardinalidade). [Moraes(2020)]
a) Diz-se que o espaco vetorial E tem dimensao finita quando admite e uma base B = {v1, ..., vn} com um número
finito n de elementos. Este numero, que é o mesmo para todas as bases de E, chama-se a dimensão do espaço
vetorial E : n = dimE. Por extensão, diz-se que o espaço o vetorial E = 0 tem dimensao zero.[Lima(2006)]
b) B é linearmente independente.
É uma estrutura sobre a qual pode-se escrever todos os elementos do espaço vetorial por meio da sua combinação
linear.
EXEMPLOS:
Exemplo 1
β = {(1, 0), (0, 1)} é base de R2, pois para todo (x, y) ∈ R2. Sendo assim, a base de R2 tem dim = 2.
Exemplo 2
β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
é uma base de M2(R), como β possui 4 elementos, a dimensão da base é
dada por dim = 4.
4
4 PRODUTO ESCALAR, PARALELISMO E ORTOGONALIDADE
4 Produto escalar, paralelismo e ortogonalidade
Definição: Dados dois vetores ~u e ~v não nulos. O produto escalar de ~u por ~v é o número real ~u ·~v = |~u||~v| cos(~u,~v). Se
um dos vetores for nulo, temos que ~u · ~v = 0 [Barreto(2013)]
Propriedades
1. ~u · ~v = ~v · ~u
2. ~u · ~v = 0⇒ ~u ⊥ ~v (ortogonalidade)
3. ~u · ~u = |~u|2
4. t(~v, ~u) = (t~u) · ~u = ~v(t~u)
5. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w
Ou seja, como dito na propriedade 2, dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar der resultado nulo.
Definição: Dizemos que os vetores ~v1, ~v2, ..., ~vn são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma
mesma reta. Neste caso indicamos ~v1//~v2//~v3...// ~vn. [Barreto(2013)] Ou seja, dois vetores são paralelos se podemos
escrevê-los a partir um do outro (combinação linear).
EXEMPLOS:
Exemplo 1
Tome os dois vetores ~u = (1, 2, 5) e ~v = (1, 2,−1), são ortogonais pois,
(1, 2, 5) · (1, 2,−1) = 1 + 4− 5 = 0X
Figura 3: Demonstração geométrica do exemplo 1. Veja que o vetor v está contido no plano ortogonal a u. Fonte: Autoria
própria.
5
5 INTERSEÇÃO E SOMA DE SUBESPAÇOS
Exemplo 2
Tome os dois vetores ~u = (1, 1, 2) e ~v = (2, 2, 14) = 2, são paralelos pois,
(2, 2, 4) = 2(1, 1, 2)X
Figura 4: Representação dos vetores ~u e ~v no plano. Note que tanto a reta quanto os vetores ocupam pontos corres-
pondentes no espaço. Fonte: autoria própria.
5 Interseção e somade subespaços
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F. Se U e W são subespaços vetoriais de V, então: [Moraes(2020)]
(i) O subconjunto de V:
U ∩W = {u ∈ V ; v ∈ U e v ∈W}
é um subespaço de V.
(ii) O subconjunto de V:
U +W = {v ∈ V ; v = u+ w;u ∈ U e w ∈W}
é um subespaço de V.
Em (i), temos a definição de interseção entre subespaços, chamado de subespaço intersecção de U e de W, sobre
o qual, somente temos vetores que pertencem a U e W ao mesmo tempo. Já em (ii) temos a definição de subespaço
soma, sobre o qual temos uma mudança na estrutura condicional do subespaço, tendo como vetores integrantes aque-
les que atendem as condições de U+W.
Vale citar o conceito de soma direta, esta soma é dada quando U∩W = {0v}, ou seja, quando não temos interseção
entre os subespaços.
Exemplo:
6
7 DEFINIÇÃO DE COORDENADAS DE UM VETOR E DE MATRIZ COORDENADA. MUDANÇA DE COORDENADAS
Dando um espaço vetorial e seus subespaços, calcularemos a soma e a intersecção entre os mesmos.
Se V =M2(R) com

U =
{[
a b
c d
]
∈M2(R); a = d
}
V =
{[
a b
c d
]
∈M2(R); a = 0 e c = −b
}
a) U ∩W :
A =
[
a b
c d
]
∈ U ∩W ⇔
{
a = d
a = 0 e c = −b
⇔ a = d = 0 e c = −b⇔ A =
[
0 b
−b 0
]
Logo, U ∩W =
{[
0 b
−b 0
]
∈M2(R)
}
b) U +W :
U +W =
{[
x y
z t
]
∈M2(R);
[
x y
z t
]
=
[
a b
c d
]
+
[
0 d
−d e
]}
Logo,
[
x y
z t
]
∈ U +W ⇔

x = a
y = b+ d
z = c− d
t = a+ e
sendo assim, podemos escrever um vetor
[
x y
z t
]
como a soma de um
vetor de U com um de W.
6 Subespaço gerado por um conjunto de vetores
Definição: Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo F e S um subconjunto finito de V, ou seja, S = {v1, , vn}, o
conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S é um subespaço de V, chamado subespaço gerado
pelos elementos de S, ou simplesmente, subespaço gerado de S. [Moraes(2020)]
Notação: [S] ou [v1, , vn]
Se um subespaço é gerado por [S], temos que [S] é um sistema de geradores para o subespaço U. Além disso,
vale citar que, se [S] é finito, dizemos que U é um subespaço finitamente gerado.
Exemplo:
Seja S =

1 0 00 0 0
0 0 0
 ,
0 1 00 0 0
0 0 0
 ,
0 0 10 0 0
0 0 0
 ,
0 0 01 0 0
0 0 0
 ,
0 0 00 1 0
0 0 0
 ,
0 0 00 0 1
0 0 0
 ,
0 0 00 0 0
1 0 0
 ,
0 0 00 0 0
0 1 0
0 0 00 0 0
0 0 1

Então,
[S] =
α1
1 0 00 0 0
0 0 0
+ α2
0 1 00 0 0
0 0 0
+ α3
0 0 10 0 0
0 0 0
+ α4
0 0 01 0 0
0 0 0
+ . . .+ α9
0 0 00 0 0
0 0 1
 ;α1, α2, . . . , α9 ∈ R

=

α1 α2 α3α4 α5 α6
α7 α8 α9
 ;α1, α2, . . . , α9 ∈ R

Portanto, [S] é um subespaço das matrizes reais do R3.
7
7 DEFINIÇÃO DE COORDENADAS DE UM VETOR E DE MATRIZ COORDENADA. MUDANÇA DE COORDENADAS
7 Definição de coordenadas de um vetor e de matriz coordenada. Mudança
de coordenadas
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F de dimensão n. Se β = {v1, v2, . . . , vn} é uma base de V, então
cada vetor v de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores de β. [Moraes(2020)]
Quanto a matriz coordenada, não é um termo que eu tenha lido nos livros ou encontrado na internet. Porém, acredito
que seu professor se refira a notação das coordenadas de um vetor a qual pode ser representada por uma matriz coluna.
No entanto, não existe um conceito formal para o termo "matriz coordenada".
Definição: Sejam V espaço vetorial sobre um corpo F de dimensão finita, β = {v1, v2, . . . , vn} e β′ = u1, u2, , un
bases ordenadas de V, dado um vetor v ∈ V podemos escrevê-lo como:[Moraes(2020)]
Equação (1):
v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn
v = β1v1 + β2v2 + . . .+ βnvn
Assim, v[β] =

α1
α2
...
αn
 e v[β′] =

β1
β2
...
βn

Já que β′ = u1, u2, , un é base de V, podemos escrever os vetores de β como combinação linear dos vetores de β′ ,
ou seja, 
v1 = a11u1 + a21u2 + . . .+ an1un
v2 = a12u1 + a22u2 + . . .+ an2un
...
vn = a1nu1 + a2nu2 + . . .+ annun
Substituindo em (1), temos:
v = α1(a11u1 + a21u2 + . . .+ an1un) + α2(a12u1 + a22u2 + . . .+ an2un) + . . .+ αn(a1nu1 + a2nu2 + . . .+ annun)
= (α1a11 + α2a12 + . . .+ αna1n)u1 + (α1a1 + α2a22 + . . .+ αna2n)u2 + . . .+ (α1an1 + α2an2 + . . .+ αnann)un.
Mas como v = β1u1+β2u2+. . .+βnun e as coordenadas em relação a uma base são únicas temos necessariamente:

β1 = α1a11 + α2a12 + . . .+ αna1n
β2 = α1a21 + α2a22 + . . .+ αna2n
...
βn = α1a1n + α2a1n + . . .+ αnann
Assim, matricialmente temos:

β1
β2
...
βn
 =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 ·

α1
α2
...
αn

8
8 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Definição: Seja V espaço vetorial sobre um corpo F de dimensão finita, dadas β = {v1, v2, . . . , vn} e β′ = u1, u2, , un
bases ordenadas de V, a matriz:[Moraes(2020)]
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann

é chamada matriz de mudança de base de β para β′
Vale citar que,
1. A matriz de mudança de base é invertível e sua inversa é a matriz de mudança de base inversa. Assim,
(Mββ
′)−1 =Mββ
′
EXEMPLOS:
Exemplo 1
Seja ~v = (7, 3, 8) e a base β = {(2, 1, 3), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} As coordenadas do vetor nesta base são dadas por:
(7, 3, 8) = 3(2, 1, 3) + 2(1, 0, 0)− (1, 0, 1)
Portanto as coordenadas de [v]β =
 32
−1

Exemplo 2
Sejam R3 e U um subespaço de base β′ = {(1, 5, 8), (4,−1, 5)} sabendo que a matriz de mudança de base de β′
para β é dada por
[
1 1
2 −1
]
, mostraremos a matriz de mudança de base de β para β′.
Para encontrar a matriz de mudança de base inversa, devemos encontrar a inversa de
[
1 1
2 −1
]
. Sendo assim, a
matriz de mudança de base de β para β′ é dada por
[
1/3 1/1
2/3 −1/3
]
.
Exemplo 3
Considere as bases B = {(1, 0), (0, 1)} e C = {(1, 1), (0, 1)} para R2 . Vamos encontrar a matriz de mudança da base
B para a base C. Vamos escrever os elementos da base C como combinação linear dos elementos da base B. Temos
que:
(1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1)
(0, 1) = 0(1, 0) + 1(0, 1)
Assim, a matriz de mudança da base B para a base C é dada por [M ]C =
[
1 0
1 1
]
8 Transformações Lineares
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo F , uma aplicação T : V −→ W é uma transformação linear
se, e somente se, satisfaz as seguintes condições:
• Para quaisquer u e v em V tivermos T (u+ v) = T (u) + T (v).
9
REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS
• Para todo v em V e todo λ em F tivermos T (λv) = λ · T (v)
Exemplo
Um exemplo de transformação linear é dado por:
T (p(t)) =
d4
dt4
· p(t)
É uma estrutura linear que consta a derivada de polinômios. Ao derivar a quarta estrutura polinomial apresentada,
teremos:
p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 + a4t
4
p′(t) = a1 + 2a2t+ 3a3t
2 + 4a4t
3
p′′(t) = 2a2 + 6a3t+ 12a4t
2
p(3)(t) = 6a3 + 24a4t
p(4)(t) = 24a4
Que pode ser um vetor de R.
PROVA
Escolhidos p1 = a01 + a11t+ a21t2 + a31t3 + a41t4 e p2 = a02 + a12t+ a22t2 + a32t3 + a42t4 do espaço dos polinômios
de grau 4, para provar 1, fazemos:
p1 + p2 = a01 + a02 + a11t+ a12t+ a21t
2 + a22t
2 + a31t
3 + a32t
3 + a41t
4 + a42t
4
T (p1 + p2) = 24a41 + 24a42 = T (p1) + T (p2) = 24a41 + 24a42X
Para provar 2, basta lembrar da propriedade da derivada dada por [k · f(x)]′ = k · f ′(x). Portanto, temos que a
estrutura apresentada é uma transformação linear.
Referências
[Barreto(2013)] N. S. Barreto. Vetores e geometria analática, 2013. URL https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=
sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxuZWliYXJyZXRvfGd4OjRiZmZmMDRlN2I1ZTFjMGE. acesso em 12 de de-
zembro de 2020.
[BOULOS and CAMARGO(2005)] P. BOULOS and I. CAMARGO. Geometria analítica-um tratamento vetorial. são
paulo: Ed, 2005.
[Lima(2006)] E. L. Lima. Álgebra linear. Number 512.5 512.5 LIMal7. 2006.
[Moraes(2020)] S. Moraes. Álgebra linear a, 2020. URL https://drive.google.com/file/d/
1NIJrQVTDBhZAzl3CYnN0k3gBhOsNG4gM/view. acesso em 12 de dezembro de 2020.
10
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxuZWliYXJyZXRvfGd4OjRiZmZmMDRlN2I1ZTFjMGE
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxuZWliYXJyZXRvfGd4OjRiZmZmMDRlN2I1ZTFjMGEhttps://drive.google.com/file/d/1NIJrQVTDBhZAzl3CYnN0k3gBhOsNG4gM/view
https://drive.google.com/file/d/1NIJrQVTDBhZAzl3CYnN0k3gBhOsNG4gM/view
	Vetores linearmente independentes e linearmente dependentes
	Combinação Linear
	Base e dimensão de um espaço vetorial
	Produto escalar, paralelismo e ortogonalidade
	Interseção e soma de subespaços
	Subespaço gerado por um conjunto de vetores
	Definição de coordenadas de um vetor e de matriz coordenada. Mudança de coordenadas
	Transformações Lineares