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Notas de Aula de
Álgebra Linear
Volume I
Lino Marcos da Silva
lino.silva@univasf.edu.br
Sumário
1 Espaço Vetorial 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Exemplos de Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Subespaços Vetoriais 11
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Códigos Corretores de Erros (texto em construção...) . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Combinação Linear 21
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Subespaços Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 Sistema de Cores RGB em Computação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10 Independência Linear e Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) . . . 30
4 Base e Dimensão 31
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6 Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ii
Sumário iii
4.8 Matrizes, base e dimensão em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.9 Exercício Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.10 Exercício Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.11 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.12 Soma Direta e Base em Espaços Vetoriais Quaisquer. . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.13 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Mudança de Base 47
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Coordenadas de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Transformações Lineares 53
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Exemplos de Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 Determinando uma transformação linear a partir da imagem dos vetores de uma
base do domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.6 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.8 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.11 Transformações Lineares Injetivas e Sobrejetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.12 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.13 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.14 O Teorema do Núcleo e da Imagem. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.15 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.16 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.17 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.18 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 A Matriz de uma Transformação Linear 67
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2 A Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.6 Matriz da composição de tranformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8 Autovalores e Autovetores 79
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 Polinômio Caracteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.5 Diagonalização de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
iv Sumário
8.7 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.8 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9 Espaços com Produto Interno 91
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.8 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.9 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10 Operadores Especiais 105
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 105
10.2 Operador Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.3 Operador Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1
Espaço Vetorial
1.1 Introdução
Vetores são entes matemáticos que se caracterizam por possuir uma intensidade, uma direção e um
sentido. São utilizados, por exemplo, para representar grandezas físicas, como força e velocidade.
Neste curso de Álgebra Linear, consideraremos como um vetor cada um dos elementos de um
espaço vetorial e denominaremos de escalar qualquer elemento de um corpo 1 K. Neste curso,
iremos considerar K = R (o corpo dos números reais) ou K = C (o corpo dos números complexos).
A seguir apresentaremos a definição de um espaço vetorial e daremos alguns exemplos clássicos.
Para alguns desses exemplos iremos apresentar a prova, de que os mesmos são espaços vetoriais,
já os demais ficarão como exercício para o aluno.
1.2 Espaço Vetorial
Definição. Um conjunto V não vazio é um espaço vetorial sobre o corpo K se em seus elementos,
denominados vetores, estiverem definidas as seguintes operações:
• Soma de Vetores: A cada par de elementos u e v de V corresponde um vetor u + v,
chamado de soma de u e v, satisfazendo, para quaisquer u, v e w pertecentes a V , as
seguintes propriedades:
(A1) u+ v = v+ u (comutatividade)
(A2) u+ (v+w) = (u+ v) +w (associatividade)
(A3) Existe um vetor θ ∈ V , denominado vetor nulo, tal que u + θ = u. (existência do
elemento neutro)
(A4) Dado o vetor u ∈ V , existe o vetor −u ∈ V , denominado vetor oposto, tal que
u+ (−u) = θ. (existência do elemento simétrico)
• Multiplicação por Escalar: A cada par α ∈ K e v ∈ V , corresponde um vetor α × v ,
denominado produto por escalar de α por V , satisfazendo as seguintes propriedades:
(ME1) α× (u+ v) = α× u+ α× v
1Corpo é uma estrutura matemática na qual está definida duas operações satisfazendo algumas propriedades
2 1. Espaço Vetorial
(ME2) (α+ β)× u = α× u+ β× u
(ME3) (α× β)× u = α(β× u)
(ME4) 1× u = u.
Na definição anterior, quando K = R dizemos que V é um espaço vetorial real. Por outro lado,
se K = C, dizemos que V é um espaço vetorial complexo. Em um espaço vetorial V , o elemento
neutro e o elemento oposto, das propriedades (A3) e (A4), respectivamente, quando existem, são
únicos (ver Exercício 1).
1.3 Exemplos de Espaços Vetoriais
1. Espaço Vetorial Euclidiano. O conjunto R2 = {(x1, x2); xi ∈ R} com as operações usuais
de soma de vetores
(x1, x2) + (y1,y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
e a multiplicação por escalar
α(x1, x2) = (αx1,αx2)
é um espaço vetorial real.
2. O conjunto R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R} com as operações usuais de soma de vetores
(x1, x2, x3) + (y1,y2,y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
e a multiplicação por escalar
α(x1, x2, x3) = (αx1,αx2,αx3)
é um espaço vetorial real.
3. De um modo geral para n > 1, o conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn); xi ∈ R} com as operações
usuais de soma de vetores
(x1, x2, . . . , xn) + (y1,y2, . . . ,yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
e a multiplicação por escalar
α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1,αx2, . . . ,αxn)
é um espaço vetorial real.
Demonstração. Sejam u = (u1,u2, . . . ,un), v = (v1, v2, . . . , vn) e w = (w1,w2, . . . ,wn)
vetores do Rn. Então,
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)
= (v1 + u1, v2 + u2, . . . , vn + un)
= v+ u.
Além disso,
1.3. Exemplos de Espaços Vetoriais 3
u+ (v+w) = (u1,u2, . . . ,un) + (v1 +w1, v2 +w2, . . . , vn +wn)
= (u1 + v1 +w1,u2 + v2 +w2, . . . ,un + vn +wn)
= (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn) + (w1,w2, . . . ,wn)
= (u+ v) +w.
Logo, as propriedades A1 e A2 são satisfeitas.
Observe que o elemento neutro de Rn é vetor θ = (0, 0, . . . , 0). De fato,
θ+ u = (0 + u1, 0 + u2, . . . , 0 + un) = (u1,u2, . . . ,un) = u.
Por outro lado, para cada u = (u1,u2, . . . ,un), existe o vetor −u = (−u1,−u2, . . . ,−un)
que satisfaz
u+ (−u) = (u1 + (−u1),u2 + (−u2), . . . ,un + (−un) = (0, 0, . . . , 0) = θ.
Ou seja, está comprovada a existência do elemento oposto.
Agora, para verificarmos a validade das propriedadesME1,ME2 eME3 considere os escalares
α e β. Dessa maneira, temos
α(u+ v) = α(u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)
= (αu1 + αv1,αu2 + αv2, . . . ,αun + αvn)
= α(u1,u2, . . . ,un) + α(v1, v2, . . . , vn)
= αu+ αv;
(α+ β)u = (α+ β)(u1,u2, . . . ,un)
= (αu1 + βu1,αu2 + βu2, . . . ,αun + βun)
= (αu1,αu2, . . . ,αun) + (βu1,βu2, . . . ,βun)
= α(u1,u2, . . . ,un) + β(u1,u2, . . . ,un)
= αu+ βu; e
(αβ)u = αβ(u1,u2, . . . ,un)
= (αβu1,αβu2, . . . ,αβun)
= α(βu1,βu2, . . . ,βun)
= α(βu).
Por fim,
4 1. Espaço Vetorial
1 · u = 1 · (u1,u2, . . . ,un)
= (u1,u2, . . . ,un)
= u.
Logo, as propriedades A1 −A4 eME1 −ME4 são válidas e portanto Rn é um espaço vetorial
sobre R.
Dessa forma, o conjunto R com as operações de adição e multiplicação de números reais,
onde, nesse caso, os vetores são os números reais, é um espaço vetorial real (Justifique).
4. Espaço Vetorial de Matrizes. O Conjunto M(m,n) das matrizes reais de ordem m× n
com a soma de matrizes e a multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial real.
5. Espaço Vetorial de Polinômios. O conjunto de polinômios
Pn(t) = {antn + an−1tn−1 + · · ·+ a2t2 + a1t+ a0,ai ∈ R}
com as operações usuais de soma de polinômios
p(t) + q(t) = (ant
n + an−1t
n−1 + · · ·+ a1t+a0) + (bntn + bn−1tn−1 + · · ·+ b1t+ b0)
= (an + bn)t
n + (an−1 + bn−1)t
n−1 + ... + (a1 + b1)t+ a0 + b0;
e multiplicação de polinômios por escalar
α · p(t) = (αan)tn + (αan−1)tn−1 + · · ·+ (αa1)t+ αa0;
é um espaço vetorial sobre R. Em particular, o conjunto
P2(t) = {a2t2 + a1t+ a0, com a2,a1 e a0 ∈ R}
é um espaço vetorial, relativamente às mesmas operações. A seguir mostraremos que, de
fato, P2(t) é um espaço vetorial sobre R.
Demonstração. Sejam p(t) = a2t2+a1t+a0, q(t) = b2t2+b1t+b0 em(t) = c2t2+c1t+c0
elementos de P2(t) e considere α,β ∈ R. Vamos mostrar que as operações soma de polinômios
e multiplicação de polinômio por escalar possuem as oitos propriedades da definição de espaço
vetorial.
Primeiro vamos verificar que a propriedade (A1) é válida. De fato,
p(t) + q(t) = a2t
2 + a1t+ a0 + b2t
2 + b1t+ b0
= (a2 + b2)t
2 + (a1 + b1)t+ (a0 + b0)
= (b2 + a2)t
2 + (b1 + a1)t+ (b0 + a0)
= q(t) + p(t)
para todo p(t),q(t) ∈ P2(t). Agora, para mostrar que (A2) também vale, veja que
1.3. Exemplos de Espaços Vetoriais 5
(p(t) + q(t)) +m(t) = (a2 + b2)t
2 + (a1 + b1)t+ (a0 + b0) + c2t
2 + c1t+ c0
= (a2 + b2 + c2)t
2 + (a1 + b1 + c1)t+ (a0 + b0 + c0)
= (a2 + (b2 + c2))t
2 + (a1 + (b1 + c1))t+ (a0 + (b0 + c0))
= a2t
2 + a1t+ a0︸ ︷︷ ︸
p(t)
+((b2 + c2)t
2 + (b1 + c1)t+ b0 + c0︸ ︷︷ ︸
q(t)+m(t)
)
= p(t) + (q(t) +m(t)).
Isto é, a soma de polinômios é associativa.
O polinômio identicamente nulo de grau menor ou igual a 2,
θ(t) = 0t2 + 0t+ 0,
é tal que
p(t) + θ(t) = a2t
2 + a1t+ a0 + 0t2 + 0t+ 0
= (a2 + 0)t2 + (a1 + 0)t+ (a0 + 0)
= a2t
2 + a1t+ a0
= p(t),
para todo p(t) ∈ P2(t). Logo, o polinõmio identicamente θ(t) = 0t2 + 0t + 0 é o elemento
neutro da soma de polinômios em P2(t), e assim a propriedade (A3) também está verificada.
Agora note, que para cada polinômio p(t) = a2t2 + a1t + a0 ∈ P2(t), existe o polinômio
−p(t) = −a2t
2 − a1t− a0 ∈ P2(t) tal que
p(t) + (−p(t)) = a2t
2 + a1t+ a0 + (−a2t
2 − a1t− a0
= (a2 − a2)t
2 + (a1 − a1)t+ (a0 − a0)
= 0t2 + 0t+ 0
= θ(t).
Logo, a propriedade (A4) também está verificada.
Agora, para verificarmos a validade das propriedades (ME1)-(ME4), veja que para todo
α,β ∈ R e para todo p(t),q(t) em P2(t), temos:
α(β(p(t))) = α(β(a2t
2 + a1t+ a0))
= α(βa2t
2 + βa1t+ βa0)
= αβa2t
2 + αβa1t+ αβa0
= (αβ)(a2t
2 + a1t+ a0)
= (αβ)p(t)
6 1. Espaço Vetorial
e dessa forma, (ME1) é válida. Por outro lado,
(α+ β)p(t) = (α+ β)(a2t
2 + a1t+ a0)
= (α+ β)a2t
2 + (α+ β)a1t+ (α+ β)a0
= αa2t
2 + αa1t+ αa0 + βa2t
2 + βa1t+ βa0
= α(a2t
2 + a1t+ a0) + β(a2t
2 + a1t+ a0)
= αp(t) + βp(t),
eassim, (M2) é válida. Para mostrar que (ME3) também é válida, fazemos:
α(p(t) + q(t)) = α((a2 + b2)t
2 + (a1 + b1)t+ (a0 + b0))
= (αa2 + αb2)t
2 + (αa1 + αb1)t+ (αa0 + αb0)
= αa2t
2 + αa1t+ αa0 + αb2t
2 + αb1t+ αb0
= α(a2t
2 + a1t+ a0) + α(b2t
2 + b1t+ b0)
= αq(t) + αp(t).
Finalmente,
1 · p(t) = 1 · (a2t2 + a1t+ a0)
= 1 · a2t2 + 1 · a1t+ 1 · a0
= a2t
2 + a1t+ a0
= p(t)
para todo p(t) ∈ P2(t). Logo, a propriedade (ME4) também é válida e, portanto, mostramos
que P2(t) é um espaço vetorial real.
6. Espaço Vetorial de Funções. Dados números reais a e b com a < b, considere o intervalo
da reta X = [a,b] (ou seja, X é um subconjunto de R). Denotemos por F(X,R) o conjunto
formado por todas as funções reais com domínio X e imagens real. Isto é, o conjunto formado
por todas as funções
f : X→ R.
Considerando em F(X,R) as operações de soma de funções e multiplicação de função por
escalar, como definidas a seguir:
(f+ g)(x) = f(x) + g(x) e (αg)(x) = αg(x),
então F(X,R) é um espaço vetorial real.
1.3. Exemplos de Espaços Vetoriais 7
x
y
a x b
(x, f(x))
(x,g(x))
(x, (f+ g)(x))
f
f+ g
g
Figura 1.1: Soma de funções.
x
y
a x b
f(x)
αf(x)
f
αf
Figura 1.2: Multiplicação de função por
escalar.
x
y
a b
Figura 1.3: Função nula.
x
y
a x b
f(x)
−f(x)
f
−f
Figura 1.4: Função oposta.
Demonstração. Sejam f, g e h funções definidas em X. Como para todo x ∈ X,
f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
pois f(x) e g(x) são números reais, então, temos
(f+ g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+ f)(x),
para todo x ∈ X. Logo, f+ g = g+ f. Isto é, a soma de funções é comutativa.
8 1. Espaço Vetorial
De modo análogo,
[f+(g+h)](x) = f(x)+(g+h)(x) = f(x)+g(x)+h(x) = (f+g)(x)+h(x) = [(f+g)+h](x),
para todo x ∈ X. Logo, f+(g+h) = (f+g)+h, e assim, a soma de funções é associativa.
Existe a função f : X→ R, tal que, f(x) = 0 para todo x ∈ X. Trata-se da função nula, que
será denotada por θ. Assim, para todo x ∈ X e para toda f ∈ F(X,R) temos
(θ+ f)(x) = θ(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x).
Ou seja, existe a função θ(x) ∈ F(X,R) tal que
θ+ f = f
para toda f ∈ F(X,R). A função nula é o elemento neutro desta operação.
Para cada função f : X → R dada, a função −f : X → R, que transforma cada x ∈ X em
−f(x) é tal que
[f+ (−f)](x) = f(x) + (−f(x)) = 0 = θ(x).
Logo, dada função f ∈ F(X,R), existe a função −f ∈ F(X,R) tal que f+ (−f) = θ. Isto é, a
função −f é o elemento simétrico da soma de funções.
Agora sejam α,β ∈ R e f,g ∈ F(X,R).
α(βf)(x) = α(βf(x)) = (αβ)f(x) para todo x ∈ X. Logo,
α(βf) = (αβ)f.
((α+ β)f)(x) = (α+ β)f(x) = αf(x) + βf(x) = (αf+ βf)(x) para todo x ∈ X. Logo,
(α+ β)f = αf+ βf.
(α(f + g))(x) = α(f + g)(x) = α(f(x) + g(x)) = αf(x) + αg(x) = (αf + αg)(x) para todo
x ∈ X. Logo,
α(f+ g) = αf+ αg.
Finalmente, 1 · f(x) = f(x) para todo x ∈ X. Logo,
1 · f = f.
Dessa forma, as operações de soma de funções e multiplicação por escalar satisfazem as oitos
propriedades da definição, e portanto, ∈ F(X,R) é um espaço vetorial sobre R.
Considere o sistema linear homogêneo, na forma matricial, AX = 0 e S = {X ∈ M(n, 1);
AX = 0} sendo A ∈ M(m,n) e 0 a matriz nula de M(m,n). O conjunto S, o conjunto
formado pelas soluções de AX = 0, é um espaço vetorial.
Demonstração. Primeiro observe que se X1 e X2 são elementos de S, então X1+X2 também
pertence a S. Com efeito,
A(X1 + X2) = AX1 +AX2 = 0 + 0 = 0
Além disso, dado α ∈ R, A(αX1) = αAX1 = α · 0 = 0
Isto é, se X1 ∈ S, então αX1 também a S. Dessa forma S é fechado em relação a soma de
matrizes e ao produto de um escalar por uma matriz.
Naturalmente, as propriedades A1 −A4 e ME1 −ME4 são satisfeitas, já que neste caso, X é
um conjunto de matrizes.
1.4. Exercícios Propostos 9
1.4 Exercícios Propostos
1. Seja V o espaço vetorial Rn. Qual é o vetor nulo de V? O que representa o vetor –(x1, x2, . . . , xn)?
2. Seja W = M(2, 2). Descreva o vetor nulo e vetor oposto em W.
3. Descreva o vetor nulo e o vetor oposto em P2(t) = {a2t2 + a1t+ a0, com ai ∈ R}.
4. Mostre que o conjunto V = {(x,y); x,y ∈ R e xy > 0} com as operações
(a,b)⊕ (c,d) = (ac,bd) e α⊗ (a,b) = (aα,bα)
é um espaço vetorial real.
5. Mostre que o conjunto V = {(1,y);y ∈ R} com as operações
(1,y1) + (1,y2) = (1,y1 + y2) e α(1,y) = (1,αy)
é um espaço vetorial real.
6. Seja o conjunto R2 = {(x,y); x,y ∈ R}. Mostre que R2 não é um espaço vetorial com as
operações assim definidas:
(x,y) + (z,w) = (x+ z,y+w) e α(x,y) = (αx,y).
7. Mostre a seguinte afirmação: Em um espaço vetorial V existe um único vetor nulo e cada
elemento de V possui um único vetor oposto.
8. Mostre que o Exemplo 4 é de fato um espaço vetorial sobre R.
2
Subespaços Vetoriais
2.1 Introdução
Em muitas situações é útil identificar, dentro de um espaço vetorial, um conjunto de vetores que
possuem determinadas características, mas que, ainda assim, conseguem manter a estrutura de um
espaço vetorial. Isto é, as operações de soma de vetores e produto por escalar permanecem fechadas
nesse conjunto. Por exemplo, no espaço vetorial R2, o conjunto de pontos que representam uma reta
que passa pela origem do sistema de coordenadas cartesianas possui essa propriedade (conjunto
fechado em relação as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar), enquanto que o
conjunto de pontos que representam uma reta que não passa pela origem do referido sistema não
possui a referida propriedade. De um modo geral, espaços vetoriais que estão dentro de outros
espaços vetoriais serão chamados de subespaços vetoriais.
2.2 Subespaço Vetorial
Definição. Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V . O subconjunto W
é um subespaço vetorial de V , se W é um espaço vetorial em relação as operações de adição de
vetores e multiplicação por escalar definidas em V .
Apesar da definição de subespaço vetorial ser muito simples e compreensível, na prática, rara-
mente a utilizamos para identificar se um determinado subconjunto W de um espaço vetorial V é
um subespaço vetorial de V . De fato, este caminho, em geral, é uma atividade laboriosa, pois exige
a verificação das oito propriedades, (A1)-(A4) e (ME1)-(ME4) da definição de espaço vetorial.
Felizmente, de acordo com a próxima proposição, não precisaremos fazer a verificação de todas
essas propriedades. Com efeito, sendo W um subconjunto formado por vetores de V , então as
propriedades das operações que são válidas em V devem também ser válidas em W, desde que W
seja um conjunto fechado em relação a essas operações.
Como podemos demonstrar que um dado subconjunto W, não vazio, é um subes-
paço vetorial do espaço vetorial W?
Um subespaço vetorialW de um espaço vetorial V fica caracterizado pela seguinte proposição:
12 2. Subespaços Vetoriais
Proposição. Dados um espaço vetorial V e um subconjunto W (não vazio) de V , então W é
um subespaço de V se as duas condições a seguir forem satisfeitas:
(i) Se u e v são vetores quaisquer de W, então u+ v ∈W;
(ii) Se α ∈ R e v é um vetor qualquer de W, então αv ∈W.
Observações.
1. Todo subespaçoW de um espaço vetorial V precisa, necessariamente, conter o vetor nulo de
V . De fato, se tomarmos α = 0, por (ii), temos
0 · v = 0
para todo v ∈W.
Dessa forma, se um subconjunto W de um espaço vetorial V não possuir o vetor nulo de V ,
então W não pode ser um subespaço vetorial de V .
2. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais: o conjunto formado
apenas pelo vetor nulo e o próprio espaço V . Isto é, {0} e V . Esses dois subespaços de V são
chamados de subespaços triviais.
2.3 Exemplos
1. Seja V = R2 = {(x1, x2); xi ∈ R} com as operações usuais de soma de vetores e a multiplicação
por escalar. O subconjunto
W = {(x,y);y = kx, k é uma constante}
é um subespaço vetorial de V .
Demonstração. Observe que W também pode ser escrito da seguinte maneira:
W = {(x,kx); x ∈ R e k constante}.
Primeiro é conveniente observar que (0, 0) ∈ W. De fato, para x = 0 teremos kx = 0, para
todo k ∈ R. Logo, (0, 0) ∈W e, desse modo, W 6= ∅.
Agora sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) vetores de W. Dessa maneira, podemosescrever
u = (x1,kx1) e v = (x2,kx2). Assim,
u+ v = (x1,kx1) + (x2,kx2)
= (x1 + x2,kx1 + kx2)
= (x1 + x2,k(x1 + x2)).
Fazendo x3 = x1 + x2, temos que u+ v = (x3,kx3). Logo, u+ v ∈W e o item (i) é satisfeito.
Agora seja α ∈ R e u = (x1,y1) ∈W. Assim
αu = α(x1, x2)
= α(x1,kx1) pois u ∈W;
= (αx1,αkx1).
2.3. Exemplos 13
Fazendo x4 = αx1 temos que αu = (x4,kx4). Logo, αu ∈W e o item (ii) da proposição está
satisfeito. Poranto, W é um subespaço vetorial de V . Observe ainda que os elementos de W
descrevem uma reta passando pela origem.
Observe que para demonstrarmos que o par ordenado (x,y) ∈W devemos mostrar que esse
elemento "têm a cara"dos vetores de W. Isto é, a segunda coordenada, y, deve satisfazer
y = kx.
2. Seja V = R2 e U = {(x, 5x+ 3); x ∈ R}. O subconjunto U, com as operações usuais de soma
de vetores e a multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de R2. De fato, o vetor
{(0, 0} não pertence a W. Observe que os elementos de U descrevem uma reta em R2 que
não passa pela origem.
3. Todos os subespaços de R2 são: {(0, 0)}, o R2 e os seus subconjuntos que descrevem retas
passando pela origem.
4. Seja W = {(x,y, z) ∈ R3;ax + by + cz = 0}. Observe que W descreve, em R3, um plano
que passa pela origem. W é um subespaço vetorial de R3.
Demonstração. Primeiro é conveniente observar que (0, 0, 0) ∈ W. De fato, para x =
y = z = 0 teremos ax + by + cz = 0, quaisquer que sejam os escalares a,b, c ∈ R. Logo,
(0, 0, 0) ∈W e, desse modo, W 6= ∅.
Agora sejam u = (x1,y1, z1) e v = (x2,y2, z2) vetores de W. Dessa maneira, temos que
ax1 + bx1 + cz1 = 0 e ax2 + bx2 + cz2 = 0. Assim, temos
u+ v = (x1,y1, z1) + (x2,y2, z2)
= (x1 + x2,y1 + y2, z1 + z2).
Fazendo x3 = x1 + x2,y3 = y1 + y2 e z3 = z1 + z2 temos que
ax3 + by3 + cz3 = a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2)
= ax1 + by1 + cz1︸ ︷︷ ︸
0
+ax2 + by2 + cz2︸ ︷︷ ︸
0
= 0 + 0 = 0.
Logo, u + v ∈ W e o item (i) é satisfeito. Agora seja α ∈ R e u = (x1,y1, z1) ∈ W. Assim,
ax1 + bx1 + cz1 = 0.
αu = α(x1,y1, z1)
= α(x1,y1, z1)
= (αx1,αy1,αz1).
Fazendo x4 = αx1, y4 = αy1 e z4 = αz1 temos que
ax4 + by4 + cz4 = a(αx1) + b(αy1) + c(αz1)
= α(ax1 + by1 + cz1)
= αax1 + by1 + cz1︸ ︷︷ ︸
0
= α · 0 = 0.
14 2. Subespaços Vetoriais
Logo, αu ∈ W e o item (ii) da proposição está satisfeito. Portanto, W é um subespaço
vetorial de R3.
5. Todos os subespaços de R3 são: {(0, 0, 0)}, o R3, os seus subconjuntos que descrevem retas
passando pela origem e os subconjuntos que descrevem planos passando pela origem.
6. Considere em M(n,n) o conjunto S das matrizes simétricas de ordem n. S é um subespaço
vetorial de M(n,n) . Isto é,
S = {A ∈M(n,n);AT = A}.
S é um subespaço vetorial de M(n,n) .
Demonstração. Primeiro observe que a matriz nula de ordem n é uma matriz simétrica.
Logo, S 6= ∅. Agora sejam A e B matrizes simétricas de ordem n. Pela propriedade das
matrizes simétricas, temos que
(A+ B)T = AT + BT .
Por outro lado, A e B são matrizes simétricas. Logo, AT = A e BT = B. Daí, vem que
(A+ B)T = AT + BT = A+ B.
Ou seja, A+ B é uma matriz simétrica. Logo, A+ B ∈M(n,n).
Dado α ∈ R e A uma matriz simétrica de ordem n, temos, pela propriedade de matriz
simétrica, que
(αA)T = αAT = αA.
Assim, αA é uma matriz simétrica, ou seja, αA ∈ M(n,n). Portanto, S é um subespaço
vetorial de M(n,n).
7. Considere o sistema linear homogêneo
AX = 0
onde A, a matriz dos coeficientes, tem ordem m × n, X é a matriz das incógnitas e tem
ordem n× 1 e 0 é matriz dos termos independentes e tem ordem m× 1. Seja Sh o conjunto
das soluções desse sistema linear homogêo. Isto é,
Sh = {X ∈M(n, 1);AX = 0}.
Sh é um subespaço vetorial de M(n, 1).
Demonstração. Primeiro note que a matriz coluna nula de ordem n × 1 é solução de
AX = 0. Logo, Sh 6= ∅.
Agora sejam X1, X2 ∈ Sh. Dessa maneira, AX1 = 0 e AX2 = 0. Daí,
A(X1 + X2) = AX1 +AX2 = 0 + 0 6= 0.
Daí, X1 + X2 ∈ Sh. Além disso, se k ∈ R, e X1 ∈ Sh, então
A(kX1) = kAX1 = k · 0 = 0.
Logo, kX1 ∈ Sh e portanto, Sh é um subespaço vetorial de M(n, 1).
2.3. Exemplos 15
8. Seja X = [a,b] e considere os seguintes subconjuntos de f(x,R):
a) C([a,b]): o conjunto de todas as funções que são contínuas em [a,b].
b) D([a,b]): o conjunto de todas as funções que são deriváveis em [a,b].
c) I([a,b]): o conjunto de todas as funções que são integráveis em [a,b).
C([a,b]), D([a,b]) e I([a,b]) são subespaços vetoriais de F(x,R).
Essa afirmação é consequência das propriedades das funções contínuas, das funções deri-
váveis e das funções integráveis vistas no cálculo diferencial e integral. (Quais são essas
propriedades?)
Intersecção de Subespaços
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Suponha que U e W são subespaços vetoriais de V .
Então o conjunto
U ∩W = {v ∈ V ; v ∈ U e v ∈W}
é um subespaço vetorial de V .
Demonstração. Primeiro note que U ∩W 6= ∅. Isto é, 0 ∈ U ∩W. De fato, como U e W são
subespaços de V , então 0 ∈ U e 0 ∈W, logo 0 ∈ U ∩W.
Agora, vamos mostrar que a soma de dois vetores quaisquer de U ∩W é um vetor de U ∩W.
Para isso suponha que os vetores u e v pertencem a U ∩W. Dessa forma temos:
u ∈ U ∩W, logo u ∈ U e u ∈W;
v ∈ U ∩W, logo v ∈ U e v ∈W.
Dessa maneira, temos u, v ∈ U; e u, v ∈ W. Como U e W são subespaços, então u + v ∈ U e
u+ v ∈W. Logo,
u+ v ∈ U ∩W.
Para mostrarmos que a multiplicação de um vetor de U ∩W por um escalar também é um
vetor U∩W, considere α ∈ K e u ∈ U∩W. Desse modo, u ∈ U e u ∈W (ambos são subespaços
de V), então α · u ∈ U e α · u ∈W.
Logo, α · u ∈ U ∩W. Dessa forma concluimos que U ∩W é um subespaço vetorial de V .
Exemplos
1. Considere os subespaços de R3
U = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0}
e
W = {(x,y, z) ∈ R3; x = 0}.
Seja (a,b, c) um vetor qualquer de R3. Observe que (a,b, c) ∈ U ∩W se, e somente se,
(a,b, c) ∈ U e (a,b, c) ∈W, simultaneamente. Mas, isso somente ocorre se tivermos a = 0
e c = 0. Logo, um vetor v do R3 está em U∩W se, e somente se, v é do tipo (0,b, 0). Assim,
escrevemos
U ∩W = {(x,y, z) ∈ R3; x = z = 0} = {(0,y, 0);y ∈ R}.
16 2. Subespaços Vetoriais
2. Considere em R2 os subespaços
U = {(x,y) ∈ R2;y = x}
e
W = {(x,y) ∈ R2;y = −x}.
Seja (a,b) um vetor qualquer de R2. Observe que (a,b) ∈ U∩W se, e somente se, (a,b) ∈ U
e (a,b) ∈ W, simultaneamente. Mas, isso ocorre somente se tivermos b = a e b = −a. De
onde concluímos que b = 0 e a = 0. Logo, um vetor v do R2 está em U ∩W se, e somente
se, v = (0, 0). Assim, obtemos
U ∩W = {(0, 0)}.
3. Sejam V = M(n,n) seja o espaço vetorial das matrizes quadradas, com entradas reais,
de ordem n; U o subconjunto das matrizes triangulares inferiores e W o subconjunto das
matrizes triangulares superiores de ordem n. É possível mostrar que U e W são subespaços
vetoriais de V (Exercício). Observe que U ∩W é o conjunto de todas as matrizes diagonais
de ordem n.
Sobre a reunião, U ∪W, de dois subespaços U e W de um dado espaço vetorial V podemos
dizer que, em geral, não é um subespaço vetorial de V . A Figura 2.1 ilustra a união e a intersecção
de subconjuntos de V .
Figura 2.1: A intersecção de subespaços vetoriais é um subespaço vetorial
Mostraremos que a reunião de dois subespaços nem sempre é um subespaço vetorial, apresen-
tando um exemplo no espaço vetorial R2. Considere os seguintes subespaços vetoriais de R2:
U = {(x, 0); x ∈ R} e W = {(0,y);y ∈ R}.
Observe que o vetor (2, 0) ∈ U e o vetor (0, 5) ∈W. Logo, ambos pertencem ao conjunto U ∪W.
No entanto, a soma desses dois vetores
(2, 0) + (0, 5) = (2, 5)
não é um vetor de U nem um vetor W. Logo, não é um vetor de U ∪W. Portanto, U ∪W não é
um subespaço vetorial de R2.
2.3. Exemplos 17
Soma de Subespaços
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Suponha que U e W são subespaços vetoriais de V .
Então o conjunto
U+W = {v ∈ V ; v = v1 + v2, v1 ∈ U e v2 ∈W}
é um subespaço vetorial de V . O subespaço U+W chama-se soma de U e W.
Demonstração. Primeiro note que U+W 6= ∅. Isto é, 0 ∈ U+W. De fato, como U e W são
subespaços de V , 0 ∈ U e 0 ∈W. Desse modo, como
0 = 0 + 0,
temos que 0 pode ser escrito como a soma de um elemento de U com um elemento de W.
Sejam u,v ∈ U+W. Dessa forma podemos escrever
u = u1 +w1, com u1 ∈ U e w1 ∈W;
v = u2 +w2, com u2 ∈ U e w2 ∈W.
Assim, como u1,u2 ∈ U (e U é um subespaço de V), então u1 + u2 ∈ U. Do mesmo modo, como
w1,w2 ∈W (e W é um subespaço de V), então w1 +w2 ∈W.
Desse modo,
u+ v = (u1 +w1) + (u2 +w2)
= (u1 + u2) + (w1 +w2).
Fazendo u3 = u1 +u2 e w3 = w1 +w2, temos que u+ v = u3 +w3, onde u3 ∈ U e w3 ∈W. Logo,
u+ v ∈ U+W.
Agora, sejam α ∈ K e u ∈ U+W. Logo, existem u1 ∈ U e w1 ∈W tais que u = u1 +w1. Daí,
α · u = α · (u1 +w1)
= α · u1 + α ·w1.
Note que α · u1 ∈ U e α · w1 ∈ W, pois U e W sao subespaços. Assim, fazendo u4 = α · u1 e
w4 = α · w1, temos que α · u = u4 + w4, onde u4 ∈ U e w4 ∈ W. Logo, α · u ∈ U +W. Dessa
forma concluimos que U+W é um subespaço vetorial de V .
U+W
U
W
18 2. Subespaços Vetoriais
U = {(x,y, z) ∈ R3; y = z = 0} = {(x, 0, 0); x ∈ R}
W = {(x,y, z) ∈ R3; x = z = 0} = {(0,y, 0); x ∈ R}
U+W = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0} = {(x,y, 0); x,y ∈ R}
Exemplos
1. Considere em R3, os subespaços
U = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0}
e
W = {(x,y, z) ∈ R3; x = y = 0}.
Dado (a,b, c) um vetor qualquer de R3, podemos escrever
(a,b, c) = (a,b, 0) + (0, 0, c).
Observe que (a,b, 0) ∈ U e (0, 0, c) ∈W. Logo, (a,b, c) ∈ U+W. Como (a,b, c) é um vetor
arbitrário de R3, concluimos que
U+W = R3.
2. Considere em R2, os subespaços
U = {(x,y) ∈ R2;y = x}
e
W = {(x,y) ∈ R2;y = −x}.
Seja (a,b) um vetor qualquer de R2. Note que podemos escrever (a,b) do seguinte modo:
(a,b) =
(
a+ b
2
,
a+ b
2
)
+
(
a− b
2
,
−a+ b
2
)
.
Como
(
a+ b
2
,
a+ b
2
)
∈ U e
(
a− b
2
,
−a+ b
2
)
∈W, então (a,b) ∈ U+W. Mas, (a,b) é
um vetor arbitrário de R2, logo
R2 = U+W.
3. Sejam V = M(2, 2) seja o espaço vetorial das matrizes quadradas, com entradas reais, de
ordem 2; U o subconjunto das matrizes triangulares inferiores e W o subconjunto das ma-
trizes triangulares superiores de ordem 2. Dada uma matriz quadrada de ordem 2 qualquer,
digamos,
[
a b
c d
]
, podemos escrever[
a b
c d
]
=
[
a
2 0
c d2
]
+
[
a
2 b
0 d2
]
.
Ou seja, qualquer matriz quadrada de ordem 2 pode ser escrita como a soma de um ele-
mento de U (matriz triangular superior) e um elemento de W ( matriz triangular superior).
Portanto,
U+W = M(2, 2).
Observação. No próximo capítulo serão apresentadas outras técnicas que facilitam verificar
se um dado espaço vetorial é uma soma de dois ou mais subespaços dados.
2.4. Exercícios Propostos 19
2.4 Exercícios Propostos
1. Mostre que W = {(x,−3x); x ∈ R} é um subespaço vetorial de R2.
2. Mostre que W = {(x, x, 2x); x ∈ R} é um subespaço vetorial de R3.
3. Mostre que W = {(x,y, z) ∈ R3; z− y = 0} é um subespaço vetorial de R3.
4. Seja S = {(x,y, z) ∈ R3; x+ y+ z = 0} um plano do R3 passando pela origem. Mostre que S
é um subespaço vetorial de R3.
5. Dê exemplos:
a) de um subconjunto de R2 que não seja um subespaço vetorial de R2.
b) de um subconjunto de R3 que não seja um subespaço vetorial de R3.
c) de um subconjunto de R4 que seja um subespaço vetorial de R4.
d) de dois subespaços vetoriais distintos de M(2, 2) que contenham a matriz
[
−1 0
0 1
]
.
6. O espaço vetorial R2 é um subespaço vetorial de R3? Justifique.
7. Mostre que cada um dos subconjuntos de R4 a seguir são subespaços vetoriais.
(a) W1 = {(x,y, z, t) ∈ R4; x+ y = 0ez− t = 0}
(b) W2 = {(x,y, z, t) ∈ R4; 2x+ y− t = 0ez = 0}
8. Verifique se os subconjuntos U e W, abaixo, são subespaços vetoriais de M(2, 2).
(a) U =
{[
a b
c d
]
;b = c e a,b, c,d ∈ R
}
(b) W =
{[
a b
c d
]
;b = c+ 1 e a,b, c,d ∈ R
}
9. Considere os subconjuntos de R3: U = {(x, x, x); x ∈ R} e W = {(x,y, 0); x,y ∈ R}.
(a) Mostre que U é um subespaço vetorial de R3;
(b) Mostre que W é um subespaço vetorial de R3;
(c) Calcule U ∩W.
(d) R3 = U+W? Justifique.
10. Verdadeiro ou falso?
a) O conjunto solução do sistema linear formado pelas equações x+y+z = 0 e x+2z = 0
é um ponto?
b) O conjunto solução do sistema linear formado pelas equações x+y+z = 0 e x+2z = 0
é um subespaço vetorial do R3 ?
11. Mostre que o subcojunto das matrizes antissimétricas de ordem n é um subespaço vetorial
de M(n,n).
sugestão. Uma matriz A é antissimétrica se AT = −A.
20 2. Subespaços Vetoriais
12. Seja V = F(R,R) o espaço vetorial de todas as funções reais e
P = {f ∈ V ; f(−x) = f(x),∀x ∈ R}.
Ou seja, P é o subconjunto das funções pares. Mostre que P é um subespaço vetorial de V .
sugestão. Mostre que a soma de duas funções pares quaisquer é uma função par. Faça o
mesmo para o produtor de uma função par por um escalar qualquer.
13. SejamU =
{[
a b
c d
]
∈M(2, 2); b = c
}
eW =
{[
a b
c d
]
∈M(2, 2); a = d = 0 e b = −c
}
.
a) Mostre que U e V são subespaços vetoriais de M(2, 2).
b) Calcule o subespaço U ∩ V .
c) Verifique se M(2, 2) = U+ V .
14. Seja V = F(R,R) o espaço vetorial de todas as funções reais. Verifique se os seguintes
subconjuntos de V são subespaços vetoriais.
(a) W1 = {f ∈ V ; f é contínua}
(b) W2 = {f ∈ V ; f é derivável}
(c) W3 = {f ∈ V ; f é integrável}
sugestão. Use as propriedades (da soma e produto por escalar) de funções contínuas, deri-
váveis e integráveis, respectivamente.
2.5 Códigos Corretores de Erros (texto em construção...)
Códigos corretores de erros são utilizados em matemática, computação, engenharia elétrica, dentre
outras áreas do conhecimento.
A pesquisa nesse campo do conhecimento busca prevenir ou reduzir interferências de naturezas
diversas ou até mesmo erros humanos que ocorrem durante a transmissão de dados (ruídos).
Um exemplo simples de códigos corretores de erros são os chamados códigos lineares. Por
exemplo, usando o conjunto binário {0, 1} pode ser utilizado para gerar um código que orienta um
robô a se movimentar num tabuleiro quadriculado. O código gerado poderia ser o seguinte: 00
(o robô deve se mover para o leste), 01 (o robô deve se mover para o oeste), 10 (o robô deve se
mover para o norte) e 11 (o robô deve se mover para o sul). Têm-se assim o seguinte código
C = {00, 01, 10, 11}.
Matematicamente, C é um espaço vetorial sobre o corpo Z2 = {0, 1} e, por isso, dizemos que o
código C, assim construído, é um código linear.
Nesse código poderia ocorrer, na transmissão, o seguinte erro: a fonte enviar a mensagem 10
e o receptor receber a mensagem 01. Dessa forma, em vez de ir para o norte, o robô vai para o
oeste.
Para facilitar a detecção e correção de erros desse tipo durante o envio de uma mensagem
codificada por um código como esse, pode-se modificar o código original por meio da introdução
de redundâncias no mesmo. Por exemplo, o código C pode seria ser modificado para o código
C ′ = {00000, 01011, 10110, 11101}.
No novo código, as duas primeiras posições representam a mensagem do código original e as
três últimas servem para detectar e corrigir erros durante a transmissão. C ′ é um subespaço do
espaço vetorial Z52.
3
Combinação Linear
3.1 Introdução
Já sabemos que se u e v são vetores quaisquer de um espaço vetorial V sobre um corpo K, o
vetor αu + βv também pertence a V , quaisquer que sejam os escalares α e β pertencentes a K.
Expressões do tipo αu+βv são chamadas de combinações lineares dos vetores u e v. Nesta seção
veremos que qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito como soma de produtos por escalar de outros
vetores de V .
3.2 Combinação Linear
Definição. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e v1, v2, . . . , vn vetores de V . Dizemos
que o vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vn, se existem escalares
a1,a2, . . . ,an ∈ K tais que
v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn. (3.2.1)
A Figura 3.1 ilustra como um vetor w do plano pode ser obtido por meio de uma combinação
linear de dois vetores u e v do mesmo plano.
Figura 3.1: O vetor ~w é uma combinação linear dos vetores ~u e ~v
22 3. Combinação Linear
3.3 Exemplos
1. Considere o espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 sobre R. O
polinômio p(x) = 5x2 − 3x− 3 é uma combinação linear dos polinômios p1(x) = x2 − x+ 1
e p2(x) = −3x2 + x+ 5. De fato, verifica-se que p(x) = 2p1(x) − p2(x).2. Dados os vetores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4, 1) do espaço vetorial R3, temos:
(a) O vetor v = (−4,−18, 1) é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.
(b) O vetor w = (4, 3,−6) não é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.
De fato, no item (a), observe que os vetores v, v1 e v2 satisfazem a equação
v = 2v1 + (−3)v2.
Na prática, os escalares da combinação linear podem ser obtidos, usando a equação
3.2.1 da definição de combinação linear, da seguinte maneira:
v = a1v1 + a2v2
(−4,−18, 1) = a1(1,−3, 2) + a2(2, 4, 1)
(−4,−18, 1) = (a1 + 2a2,−3a1 + 4a2, 2a1 + a2).
Da iguadade de vetores em R3, obtemos o sistema linear
a1 + 2a2 = −4
−3a1 + 4a2 = −18
2a1 + a2 = 1. (3.3.1)
Resolvendo o sistema (3.3.1), concluimos que o par a1 = 2 e a2 = −3 é sua única
solução.
Usando o mesmo procedimento para o vetor w do item (b), obtemos a equação
(4, 3,−6) = a1(1,−3, 2) + a2(2, 4, 1),
que resulta no seguinte sistema linear
a1 + 2a2 = 4
−3a1 + 4a2 = 3
2a1 + a2 = −6. (3.3.2)
O sistema linear (3.3.2) não possui solução (sistema impossível). Verifique! Logo, o
vetor w não é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.
3. Um mesmo vetor v pode ser escrito de infinitas maneiras distintas como combinação linear
de dois ou mais vetores dados. Por exemplo, o vetor (3, 4) ∈ R2 pode ser escrito de infinitas
maneiras como combinação linear do vetores (1, 0), (0, 1) e (2,−1). Com efeito, por definição,
o vetor (3, 4) será uma combinação linear dos vetores (1, 0), (0, 1) e (2,−1) se existirem
escalares a1, a2 e a3 tais que
(3, 4) = a1(1, 0) + a2(0, 1) + a3(2,−1).
3.4. Subespaços Gerados 23
Resolvendo essa equação vetorial, obtemos
(3, 4) = (a1 + 2a3,a2 − a3),
de onde vem o sistema linear
a1 + 2a3 = 3
a2 − a3 = 4. (3.3.3)
Note que o sistema linear (3.3.3) possui mais incógnitas do que equação. Logo é um sistema
indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções. Dessa maneira, existem infinitos escalares
a1, a2 e a3 que satisfazem a combinação linear (3, 4) = a1(1, 0) + a2(0, 1) + a3(2,−1).
A solução geral do sistema linear (3.3.3) é dada por
{(3 − 2a3, 4 + a3,a3);a3 ∈ R}.
onde a3 foi considerada como uma variável livre. Se considerarmos a3 = 0, obteremos a1 = 3
e a2 = 4. Daí temos a combinação linear
(3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1) + 0(2,−1)
que, neste caso, não é única.
3.4 Subespaços Gerados
Dados dois vetores v1 e v2 de um espaço vetorial V qualquer, considere o conjunto S formado por
todas as combinações lineares formadas por esses vetores. Isto é,
S = {v ∈ V ; v = a1v1 + a2v2}.
sendo a1 e a2 escalares. Como tanto a1 quanto a2 podem assumir infinitos valores reais, então o
conjunto S possui infinitos elementos. Conforme iremos mostrar mais adiante, S é um subespaço
vetorial de V . Diremos que S é o subespaço de V gerado pelos vetores v1 e v2.
No Exemplo 1 da Seção 3.3, os vetores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4, 1) geram o subespaço
vetorial S do R3 formado por todas as combinações lineares do tipo:
a1(1,−3, 2) + a2(2, 4, 1).
Observe que para gerar o vetor nulo do R3 por meio de uma combinação linear dos vetores
v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4, 1) basta escrever a combinação linear
0 · (1,−3, 2) + 0 · (2, 4, 1) = (0, 0, 0).
O teorema a seguir estabelece e generaliza o que acabamos de discutir sobre subespaço gerado.
Teorema. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K eW = {v1, v2, ..., vn} um subconjunto
não vazio de vetores de V . O conjunto S de todas as combinações lineares dos vetores de W é um
subespaço vetorial de V .
Demonstração. Primeiro note que S 6= ∅. De fato, sempre podemos escrever
0 = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vn.
24 3. Combinação Linear
Isto é, o vetor nulo de V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores deW. Agora, su-
ponha quew1 ew2 são vetores quaisquer de S, então existem escalares a1,a2, . . . ,an e b1,b2, . . . ,bn
tais que
w1 = a1v1 + a2v2 + ... + anvn e w2 = b1v1 + b2v2 + · · ·+ bnvn.
Daí, vem que
w1 +w2 = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + · · ·+ (an + bn)vn.
Logo, w1 + w2 ∈ S pois também é uma combinação linear de vetores de W. Além disso, tem-se
que
α ·w1 = (αa1)v1 + (αa2)v2 + · · ·+ (αan)vn
e, dessa maneira, α · w1 ∈ S, para todo escalar α e todo w1 ∈ S. Portanto, S é um subespaço
vetorial de V .
Observações.
1. Diz-se que S é o subespaço gerado pelos vetores v1, v2, . . . , vn. Ou que S é o subespaço gerado
por W. Denota-se
S = G(W) ou S = [v1, v2, . . . , vn].
2. Os vetores v1, v2, . . . , vn são chamados de vetores geradores do subespaço S, enquanto W é
o conjunto gerador do subespaço S.
3. Define-se G(∅) = {0}. Isto é, o espaço gerado pelo conjunto vazio é o espaço vetorial formado
apenas pelo vetor nulo.
4. W ⊂ G(W). Ou seja, um conjunto de geradores sempre está contido no subespaço gerado
por ele.
5. Todo subconjuntoW de um espaço vetorial V gera um subespaço de V , podendo G(W) = V .
Neste caso, diz-se que W é um gerador de V .
3.5 Exemplos
1. Em R2 o vetor (1, 1) gera o subespaço
U = {(x, x); x ∈ R}.
Com efeito, qualquer vetor (x, x) ∈ U pode ser escrito da seguinte maneira
(x, x) = x · (1, 1).
Logo, U = [(1, 1)].
2. Os vetores (1, 0) e (0, 1) geram o espaço R2. De fato, dado um vetor (x,y), qualquer, de R2,
têm-se
(x,y) = x · (1, 0) + y · (0, 1).
Ou seja, qualquer vetor do R2 se escreve como uma combinação linear dos vetores (1, 0) e
(0, 1). Portanto,
[(1, 0), (0, 1)] = R2.
3.6. Dependência e Independência Linear 25
3. Um vetor (x,y), qualquer, de R2, também pode ser escrito do seguinte modo:
(x,y) =
x+ y
2
(1, 1) +
y− x
2
(−1, 1).
Ou seja, qualquer vetor do R2 também pode ser escrito como uma combinação linear dos
vetores (1, 1) e (−1, 1). Portanto,
[(1, 1), (−1, 1)] = R2.
Observação. Os escalares
x+ y
2
e
y− x
2
podem ser calculados resolvendo-se a equação
(x,y) = a1(1, 1) + a2(−1, 1)
em função de x e y.
4. O conjunto de polinômios {1, t, t2} gera todo o espaço P2. De fato, qualquer polinômio p(t)
de grau igual ou menor do que 2 se escreve da seguinte maneira p(t) = a2t2 + a1t+ a0.
5. Em M(2, 2), temos
[
a b
0 c
]
= a
[
1 0
0 0
]
+b
[
0 1
0 0
]
+c
[
0 0
0 1
]
. Logo, o subespaço das matrizes
triângulares superiores de ordem 2 é gerado pelas matrizes
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
e
[
0 0
0 1
]
.
6. Se [u1,u2, ..,uk] = U e [w1,w2, ...,wk] = W, então U +W = [u1,u2, ..,uk,w1,w2, ...,wk].
Isto é, se os vetores u1,u2, ..,uk geram o subespaço vetorial U; e se os vetores w1,w2, ...,wk
geram o subespaço vetorial W, então o subespaço vetorial U+W é gerado pela reunião dos
vetores geradores de U com os vetores geradores de W.
3.6 Dependência e Independência Linear
Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e v1, v2, . . . , vn vetores de V . Dizemos que o conjunto
{v1, v2, . . . , vn} é um conjunto linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, v2, . . . , vn são
LI, se a equação
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0v
admite apenas a solução nula. Isto é, se a1 = a2 = · · · = an = 0.
Definição. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpoK e v1, v2, . . . , vn vetores de V . Dizemos
que o conjunto {v1, v2, . . . , vn} é um conjunto linearmente independente (LI), ou que os vetores
v1, v2, . . . , vn são LI, se a equação
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0v
admite apenas a solução nula. Isto é, se a1 = a2 = · · · = an = 0.
No caso em que exista algum ai 6= 0 dizemos que o o conjunto {v1, v2, . . . , vn} é um conjunto
linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, v2, . . . , vn são LD.
Observação. O símbolo 0v na definição acima indica o vetor nulo do espaço vetorial V em
questão.
O teorema a seguir estabelece outra caracterização da dependência linear.
26 3. Combinação Linear
Teorema 1. O conjunto {v1, v2, ..., vn} é LD se, e somente se, pelo menos um desses vetores
for combinação linear dos demais.
Demonstração.
Suponha que {v1, v2, ..., vn} é um conjunto LD. Então, por definição, a equação
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
admite uma solução diferente da trivial. Isto é, existe uma solução (a1,a2, ...,an) onde pelo menos
um ai 6= 0. Vamos supor, sem perda de generalidade, que a1 6= 0. Assim, obtemos
a1v1 +a2v2 + ... + anvn = 0;
a1v1 = −a2v2 − a3v3 − · · ·− anvn;
v1 =
1
a1
(−a2v2 − ... − anvn);
v1 = −
a2
a1
v2 −
a3
a1
v3 − · · ·−
an
a1
vn.
Logo, v1 é uma combinação linear de {v2, . . . , vn}.
Por outro lado, suponha que algum dos vetores de {v1, v2, . . . , vn} é uma combinação linear dos
demais vetores. Sem perda de generalidade, vamos supor que v1 seja esse vetor. Pela definição de
combinação linear, existem escalares (a2,a3, . . . ,an) tais que
v1 = a2v2 + a3v3 + · · ·+ anvn.
Dessa equação, obtemos
v1 − a2v2 − a3v3 − · · ·− anvn = 0
que é uma combinação linear nula tendo o número 1 como o coeficiente de v1. Logo, qualquer
solução dessa equação será diferente da solução nula. Portanto, o conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn}
é um conjunto LD. �
Equivalentemente ao Teorema1 , temos o seguinte:
Teorema 2. O conjunto {v1, v2, . . . , vn} é LI se, e somente se, nenhum desses vetores for
combinação linear dos demais.
3.7 Exemplos
1. Em R2, os vetores (1, 1) e (−1, 1) são vetores LI.
De fato, sejam a1 e a2 tais que
a1(1, 1) + a2(−1, 1) = (0, 0)
(a1 − a2,a1 + a2) = (0, 0).
Daí, obtemos o sistema linear
a1 − a2 = 0
a1 + a2 = 0
cuja solução é a1 = a2 = 0.
3.7. Exemplos 27
2. Em R2, Os vetores (1, 0), (0, 1) e (2,−1) são linearmente dependentes. De fato, note que o
vetor (2,−1) é uma combinação linear dos vetores (1, 0) e (0, 1) pois
(2,−1) = 2(1, 0 − 1(0, 1).
Logo pelo Teorema 1, o conjunto {(1, 0), (0, 1), (2,−1)} é LD.
3. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e vetores u, v ∈ V . Provar que se {u, v} é um
conjunto LI, então {u+ v,u–v} também é um conjunto LI.
Demonstração. Como queremos mostrar que os vetores u+ v e u–v são linearmente inde-
pendentes, devemos considerar a combinação linear a1(u + v) + a2(u − v) = 0v e mostrar
que, necessariamente, a1 = a2 = 0. Dessa maneira, temos o seguinte desenvolvimento:
a1(u+ v) + a2(u− v) = 0v
a1u+ a1v+ a2u− a2v = 0v
(a1 + a2)u+ (a1 − a2)v = 0v
Como os vetores u e v são LI, por hipótese, segue da terceira equação que a1 e a2 deve
satisfazer o sistema de equações
a1 + a2 = 0
a1 − a2 = 0,
cuja solução é a1 = a2 = 0. �
4. Seja V o espaço vetorial das funções reais contínuas. O conjunto {ex, e−x}, onde e é o
número de Euler (base dos logaritmos naturais), é LI.
Demonstração. Devemos mostrar que a equação aex+ be−x = 0 admite apenas a solução
a = b = 0. Dada a equação
aex + be−x = 0, (3.7.1)
calculemos a derivada das funções de ambos os menbros. Daí, obtemos
aex − be−x = 0. (3.7.2)
Somando as equações (3.7.1) e (3.7.2), vem que
2aex = 0.
Como 2ex 6= 0 para todo x real, segue que a = 0. Substituindo o valor de a na equação
(3.7.1), obtemos
be−x = 0.
Como e−x 6= 0 para todo x real, segue que b = 0. Dessa maneira, a = b = 0 e a equação
aex + be−x = 0 admite apenas a solução nula. Portanto, o conjunto {ex, e−x} é LI, como
queríamos demonstrar. �
28 3. Combinação Linear
5. Para todas as contantes reais a e b não nulas, o conjunto
{sen(ax), cos(bx)} é LI.
com efeito, considere a equação
a1 sen(ax) + a2 cos(bx) = 0. (3.7.3)
Note que a equação 3.7.3 deve valer para todo x ∈ R, em particular para x = 0. Daí, temos
a1 sen(0) + a2 cos(0) = 0⇒ a1 · 0 + a2 · 1 = 0 (3.7.4)
Logo, a2 = 0. Substituindo em 3.7.3, obtemos:
a1 sen(ax) = 0. (3.7.5)
Como 3.7.5 deve valer para todo x ∈ R, concluimos que
a1 = 0,
pois sen(ax) 6= 0 para valores de a e x convenientemente escolhidos.
Propriedades da Dependência e Independência Linear
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K.
1. Se W = {w} e w 6= 0v, então W é LI. Ou seja, qualquer conjunto possuindo um único vetor
não nulo é um conjunto LI.
2. Se um conjunto W ⊂ V contém o vetor nulo, então W é LD.
3. Se uma parte do conjunto W ⊂ V é LD, então W é também LD.
4. Se um conjunto W é LI, qualquer parte W̄ de W também é LI.
5. Se {v1, v2, ..., vn} é LI e {v1, v2, ..., vn,w} é LD, então w é combinação linear de dos vetores
v1, v2, ..., vn.
Demontração. Para provar (i), considere a equação αw = 0v. Como w 6= 0v, então α = 0
é a única solução possível. Logo pela definição de dependência linear, W é LI.
Para provar (ii), suponha que W é um subconjunto de V contendo o vetor nulo. Como
podemos escrever o vetor nulo como combinação linear dos demais vetores (basta tomar os
coeficientes da combinação linear como sendo o número zero), então pelo Teorema 1, W é
um conjunto LD.
Para mostrar que (iii) vale, seja W = {v1, v2, ..., vk, vk+1, ..., vn} um conjunto de V e seja
W̄ = {v1, v2, ..., vk} ⊂ W um conjunto LD. Logo, existe pelo menos um vetor de W̄ que
é uma combinação linear dos demais vetores de W̄. Digamos que v1 seja esse vetor. Logo,
existem escalares a2, ...ak tais que v1 = a2v2 + ... + akvk. Como podemos escrever,
v1 = a2v2 + ... + akvk + 0vk+1 + ... + 0vn,
segue v1 também é uma combinação linear dos demais vetores de W e, portanto, W é um
conjunto LD.
Os itens (iv) e (v) fica como exercício.�
3.8. Exercícios Propostos 29
3.8 Exercícios Propostos
1. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
(a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
(b) Para que valor de k o vetor (−8, 14,k) é combinação linear de u e v?
(c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a,b, c) seja uma combinação
linear de u e v.
2. Consideremos no espaço P2 = at2 + bt+ c;a,b, cR os vetores p(t) = t2–2t+1, q(t) = t+2
e h(t) = 2t2 − t.
(a) Escrever o vetor m(t) = 5t2–5t+ 7 como combinação linear de p(t), q(t) e h(t).
(b) Escrever o vetor m(t) = 5t2–5t+ 7 como combinação linear de p(t) e q(t).
(c) Determinar uma condição para a, b e c de modo que o vetor at2+bt+c seja combinação
linear de q(t) e h(t).
(d) É possível escrever p(t) como combinação linear de q(t) e h(t)?
3. Considere o subespaço de R4:
S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
(a) o vetor (2/3, 1,−1, 2) pertence a S?
(b) o vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
4. Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por{[
2a a+ 2b
0 a− b
]
;a,b ∈ R
}
.
(a)
[
0 −2
0 1
]
∈W?
(b)
[
0 2
0 1
]
∈W?
5. SejaW o subespaço de M(3, 2) gerado pelas matrizes
0 01 1
0 0
 ,
0 10 −1
1 0
 e
0 10 0
0 0
. Verifique
se a matriz
0 21 2
3 0
 ∈W.
6. Seja V = C[0, 1] o espaço vetorial das funções reais contínuas no intervalo [0, 1]. Verifique se
cada um dos subconjutnos a seguir são LI em V .
(a) {x, x+ 1, x2 − 1}
(b) {1, ex, e−x}
(c) {senx, cosx}.
30 3. Combinação Linear
7. Dados vetores v1, v2, ..., vn de um espaço vetorial V , prove que se w ∈ V é uma combinação
linear dos vetores v1, v2, ..., vn, então
[v1, v2, ..., vn,w] = [v1, v2, ..., vn].
8. Sejam v1, v2, ..., vn vetores linearmente independentes de um espaço vetorial V . Prove que se
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn, então a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn.
9. Sejam V um espaço vetorial e u, v,w ∈ V . Prove que o conjunto {u, v,w} é LI se, e somente
se, o conjunto {u+ v,u+w, v+w} é LI.
10. Sejam V um espaço vetorial e u, v,w ∈ V . Suponha que {u, v,w} é LI. Dado t ∈ V , existem
escalares α, β e γ tais que t = αu + βv + γw. Prove que {u + t, v + t,w + t} é LI se, e
somente se, α+ β+ γ 6= 1.
3.9 Sistema de Cores RGB em Computação Gráfica
Texto em construção
3.10 Independência Linear e Solução de Equações Dife-
renciais Ordinárias (EDO)
(Texto em construção)
Se as funções y = f(x) e y = g(x) são soluções da equação diferencial de segunda ordem
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0
onde p e q são funções contínuas num determinado intervalo aberto I, então a combinação linear
y = a1f(x) + a2g(x)
também é solução, quaisquer que sejam os escalares a1 e a2.
No estudo das soluções de uma EDO tem relevante papel o número
W = f(x0)g
′(x0) − f
′(x0)g(x0).
O número W é chamado de determinante wronskiano das soluções f e g. Se W 6= 0 para todo
x0 ∈ I, então as funções f e g são linearmente independentes em I.
4
Base e Dimensão
4.1 Introdução
Um espaço vetorial possui, em geral, infinitos vetores. Contudo, já sabemos que alguns espaços
vetoriais podem ser gerados a partir de um número finito de seus elementos,através de combinações
lineares realizadas com os mesmos. Esse resultado é muito interessante no sentido de que podemos
construir todo um espaço vetorial usando apenas alguns de seus elementos. Nessa seção, veremos
que conjuntos de geradores que são linearmente independentes tem essa propriedade. Por exemplo,
o conjunto {(1, 0), (0, 1)} é um conjunto LI de geradores do R2. Conjuntos dessa natureza serão
chamados de bases e são o tema central da seção. Atenção. Estas notas de aulas tem como
objetivo servir de guia aos alunos que cursam a disciplina álgebra linear, nas turmas sob minha
responsabilidade, dos cursos de engenharia da UNIVASF. O uso das mesmas não dispensa a leitura
dos livros didáticos indicados nas referências bibliográficas da disciplina, bem como a resolução de
exercícios propostos nos mesmos.
4.2 Base
Definição. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e β = {v1, v2, ..., vn} um conjunto de
vetores não nulos de V . Dizemos que o conjunto β é uma base de V se:
(i) {v1, v2, ..., vn} é LI
(ii) {v1, v2, ..., vn} gera V . Ou seja,
V = [v1, v2, ..., vn].
De maneira resumida, dizemos que um subconjunto não-vazio β de vetores de um espaço
vetorial V é uma base de V se β é LI e gera V .
Observações.
1. Prova-se que todo espaço vetorial V 6= ∅ possui uma base. Além disso, se V possui um
conjunto gerador com um número finito de elementos diz-se que V é um espaço finitamente
gerado. Nesse caso, qualquer base de V terá um número finito de elementos.
32 4. Base e Dimensão
2. Se V não for um espaço finitamente gerado, então qualquer base de V possui infinitos ele-
mentos. Isso acontece, por exemplo, com o espaço F(X,R) das funções reais definidas em
X ⊂ R.
4.3 Exemplos
1. O subconjunto β = {e1, e2} de vetores de R2, tal que e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), é uma base do
R2;
O subconjunto β = {e1, e2, e3} de vetores de R3, tal que e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e (0, 0, 1),
é uma base do R3. De um modo geral, o conjunto
β = {e1, e2, ..., en}
é uma base do Rn. Tal base é conhecida como base canônica do Rn.
2. Considere o espaço vetorial P3 dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre R. O
subconjunto de P3 formado pelos polinômios
β = {1, t, t2, t3}
é uma base de P3. De um modo geral, o conjunto
{1, t, t2, ..., tn}
é uma base do espaço vetorial real Pn. Esta base é chamada de base canônica do Pn.
3. O subconjunto {[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
é uma base para o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem dois, M(2, 2). Esta é a
base canônica de M(2, 2).
4.4 Exercícios resolvidos
1. Mostre que o subconjunto β = {(1, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 0, 2)} é uma base do R3.
Resolução. Devemos mostrar que β é um conjunto LI e gera o R3. Para mostrar que β
é um conjunto LI considere a equação
a1(1, 1, 0) + a2(1,−1, 0) + a3(0, 0, 2) = (0, 0, 0).
Efetuando as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetores em R3 obtemos
(a1 + a2,a1 − a2, 2a3) = (0, 0, 0).
Da igualdade entre os dois vetores, vem o sistema linear
a1 + a2 = 0
a1 − a2 = 0
2a3 = 0,
4.4. Exercícios resolvidos 33
cuja solução é a1 = a2 = a3 = 0. O que mostra que o conjunto β é LI.
Agora, para mostrar que β gera o R3, consideramos um vetor genérico desse espaço, por
exemplo, (x,y, z) e mostramos que o mesmo pode ser escrito como uma combinação linear
dos vetores de β. Isto é, mostramos que existem escalares a1,a2 e a3 tais que
(x,y, z) = a1(1, 1, 0) + a2(1,−1, 0) + a3(0, 0, 2).
Efetuando as operações adequadas obtemos
(x,y, z) = (a1 + a2,a1 − a2, 2a3).
Da igualdade entre os dois vetores, vem o sistema linear
a1 + a2 = x
a1 − a2 = y
2a3 = z.
Resolvendo o sistema obtemos a1 =
x+ y
2
, a2 =
x− y
2
e a3 =
z
2
. Note que independente-
mente dos valores de x, y e z a existência dos escalares a1,a2 e a3 está garantida. Assim,
podemos afirmar que qualquer vetor (x,y, z) pode ser escrito como uma combinação linear
dos vetores de β. Logo, β gera o R3. Dessa forma, concluímos que o conjunto β é uma base
do R3 pois é um conjunto LI e gera o R3. �
2. Mostre que o conjunto
β = {1, t− 1, t2 + t, t3 − t+ 1}
é uma base P3, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre R.
Resolução. Devemos mostrar que β é um conjunto LI e gera P3. Para mostrar que β é
um conjunto LI considere a equação
a11 + a2(t− 1) + a3(t2 + t) + a4(t3 − t+ 1) = 0 + 0t+ 0t2 + 0t3.
Efetuando nessa equação as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetores
em P3 e agrupando os termos semelhantes, obtemos
a1 − a2 + a4 + (a2 + a3 − a4)t+ a3t2 + a4t3 = 0 + 0t+ 0t2 + 0t3.
Da igualde entre os dois polinômios, obtemos o sistema linear
a1 − a2 + a4 = 0
a2 + a3 − a4 = 0
a3 = 0
a4 = 0,
cuja solução é a1 = a2 = a3 = a4 = 0. O que mostra que o conjunto β é LI.
Paramostrar que β gera o P3, consideramos um vetor genérico desse espaço, por exemplo,
c0+c1t+c2t
2+c3t
3 e mostramos que o mesmo pode ser escrito como uma combinação linear
dos vetores de β. Isto é, mostramos que existem escalares a1,a2, a3 e a4 tais que
c0 + c1t+ c2t
2 + c3t
3 = a11 + a2(t− 1) + a3(t2 + t) + a4(t3 − t+ 1).
34 4. Base e Dimensão
Efetuando as operações adequadas no polinômio do lado direito e agrupando os termos
semelhantes, obtemos
c0 + c1t+ c2t
2 + c3t
3 = a1 − a2 + a4 + (a2 + a3 − a4)t+ a3t2 + a4t3.
Da igualde entre os dois polinômios, obtemos o seguinte sistema linear
a1 − a2 + a4 = c0
a2 + a3 − a4 = c1
a3 = c2
a4 = c3.
Resolvendo o sistema linear em função de c0, c1, c2 e c3, obtemos: a4 = c3, a3 = c2, a2 =
c1 − c2 + c3 e a1 = c0 + c1 − c2. Como os escalares a1,a2, a3 e a4 existem, então β gera P3.
Por fim, como o conjunto β é LI e gera o P3, concluímos que β é uma base desse espaço. �
3. Mostre que o conjunto
β =
{[
1 2
0 0
]
,
[
1 0
−1 0
]
,
[
0 0
2 −1
]
,
[
0 2
0 1
]}
é uma base para o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem dois, M(2, 2).
Resolução. Devemos mostrar que o conjunto β é LI e gera M(2, 2). Para mostrar que β
é um conjunto LI mostraremos que a equação
a1
[
1 2
0 0
]
+ a2
[
1 0
−1 0
]
+ a3
[
0 0
2 −1
]
+ a4
[
0 2
0 1
]
=
[
0 0
0 0
]
admite apenas a solução trivial a1 = a2 = a3 = a4 = 0.
Efetuando as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetores em M(2, 2)
obtemos [
a1 + a2 2a1 + 2a4
−a2 + 2a3 −a3 + a4
]
=
[
0 0
0 0
]
Analisando a igualdade entre as duas matrizes, obtemos o sistema linear
a1 + a2 = 0
2a1 + 2a4 = 0
−a2 + 2a3 = 0
−a3 + a4 = 0,
cuja solução é a1 = a2 = a3 = a4 = 0. O que mostra que o conjunto β é LI.
Agora, precisamos mostrar que β gera M(2, 2). Para isso, consideraremos um vetor genérico
desse espaço, por exemplo,
[
x y
z w
]
e mostraremos que o mesmo pode ser escrito como uma
combinação linear dos vetores de β. Isto é, mostraremos que existem escalares a1,a2, a3 e
a4 tais que
a1
[
1 2
0 0
]
+ a2
[
1 0
−1 0
]
+ a3
[
0 0
2 −1
]
+ a4
[
0 2
0 1
]
=
[
x y
z w
]
.
4.5. Resultados Importantes 35
Efetuando as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetores em M(2, 2)
obtemos [
a1 + a2 2a1 + 2a4
−a2 + 2a3 −a3 + a4
]
=
[
x y
z w
]
Analisando a igualdade entre as duas matrizes, obtemos o sistema linear
a1 + a2 = x
2a1 + 2a4 = y
−a2 + 2a3 = z
−a3 + a4 = w.
Tal sistema linear pode ser resolvido por qualquer método conhecido. A solução encontrada é
a1 = −x+y−z−2w, a2 = 2x−y+z+2w, a3 =
2x− y+ 2z+ 2w
2
e a4 =
2x− y+ 2z+ 4w
2
.
A existência dos escalares a1,a2, a3 e a4 mostra que β gera M(2, 2).
Portanto, concluímos que o conjunto
β =
{[
1 2
0 0
]
,
[
1 0
−1 0
]
,
[
0 0
2 −1
]
,
[
0 2
0 1
]}
é uma base para o espaço vetorial M(2, 2)
4. Seja U um subespaço vetorial do R3 definido por
U = {(x,y, z); x− 2y− z = 0}.
Determine uma base para U.
Resolução. Primeiro note que um vetor genérico (x,y, z) ∈ U se, e somente se, as coorde-
nadas x,y e z satisfazem a equação x−2y−z = 0. Resolvendo a equação em z, por exemplo,
obtemos z = x− 2y. Daí, um vetor genérico de U pode ser escrito como (x,y, x− 2y). Dessa
forma, podemos escrever a combinação linear
(x,y, x− 2y) = x(1,0, 1) + y(0, 1 − 2).
Logo, concluímos que o subespaço vetorial U é gerado pelos vetores (1, 0, 1) e (0, 1,−2). Por-
tanto, se esses vetores forem linearmente independentes, então o conjunto {(1, 0, 1), (0, 1,−2)}
será uma base de U. Como os vetores (1, 0, 1) e (0, 1,−2) não são múltiplo um dos outro, isto
é, não existe nenhum k ∈ R tal que (1, 0, 1) = k(0, 1,−2), então eles são vetores linearmente
independentes. Portanto, o conjunto {(1, 0, 1), (0, 1,−2)} é uma base do subespaço vetorial
U.
4.5 Resultados Importantes
Dado um conjunto de geradores de um espaço vetorial V , sempre podemos extrair do mesmo uma
base de V . Além disso, se V é um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de n vetores,
então quaisquer subconjunto de V com mais de n elementos é, necessariamente, um conjunto LD.
Essas duas afirmações são apresentadas nos próximos teoremas.
Teorema 1. Sejam {v1, v2, ..., vn} vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então
dentre estes vetores podemos extrair uma base de V.
36 4. Base e Dimensão
Teorema 2. Sejal V um espaço vetorial finitamente gerado pelo conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn}.
Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto qualquer con-
junto LI tem no máximo n vetores).
Corolário. Qualquer base de um espaço vetorial finitamente gerado tem sempre o mesmo
número de elementos.
O fato do número de elementos de uma base de um espaço vetorial V ser invariante motiva
mais uma definição: a dimensão do espaço. A dimensão de um espaço vetorial, que será definida
a seguir, desempenha uma papel importante no estudo dos espaços vetoriais.
4.6 Dimensão
Definição. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. A dimensão de V , denotamos dim(V),
é o número de vetores numa base de V , no caso de V admitir uma base finita. Caso o espaço V
não admita uma base com um número finito de vetores, diremos que a dimensão de V é infinita.
4.7 Exemplos
1. dim(Rn) = n. Em particular, dim(R2) = 2 e dim(R3) = 3.
2. dim(Pn) = n+ 1. Por exemplo, dim(P2) = 3 e dim(P3) = 4.
3. dim(M(m,n) = m× n. De modo particular, os espaços M(2, 2) e M(3, 4) têm dimensão 4
e 12, respectivamente.
4. O espaço vetorial de todas as funções reais de domínio X e imagem real, F(X,R), não possui
uma base com um número finito de vetores, logo dim(F(X,R)) =∞.
A tarefa de calcular a dimensão de um espaço ou subespaço vetorial consiste,
essencialmente, em determinar uma base desse espaço ou subespaço e contar quantos
vetores tem na mesma.
Teorema 3. Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode
ser completado de modo a formar uma base de V.
Corolário. Se dimV = n, então qualquer conjunto de n vetores LI de V formará uma base
de V.
Segundo esse colorário, num espaço espaço vetorial V de dimensão 2, por exemplo, um conjunto
de dois vetores LI, é necessariamente uma base de V .
4.8 Matrizes, base e dimensão em Rn
Dado um conjunto de vetores geradores {v1, v2, .., vm} de um subespaço vetorial de Rn como extrair
desse conjunto um subconjunto {v ′1, v ′2.., v ′k}, k 6 m, de vetores linearmente independentes que gere
o mesmo subespaço vetorial? Note que ao responder esta questão, teremos determinado também
como encontrar uma base e a dimensão desse subespaço. Outra questão relevante é: como um
conjunto de vetores linearmente independentes do espaço vetorial Rn pode ser completado até
4.9. Exercício Resolvido 37
formar uma base desse espaço (ou de um subespaço)? As respostas podem ser dadas com base no
próximo teorema.
Teorema 5. Suponha que uma dada matriz Am×n seja transformada, por meio de operações
elementares em suas linhas, na matriz Bm×n. Então:
(i) Um conjunto de colunas da matriz A é LI se e somente se o conjunto das colunas corres-
pondentes na matriz B é LI.
(ii) Uma matriz linha 1 × n é uma combinação linear das linhas de A se e somente se é uma
combinação linear das linhas de B. Isto é, o conjunto das linhas de A geram o mesmo espaço
que o conjunto das linhas de B.
O Teorema 5 fornece uma grande vantagem computacional pois nos possibilita usar a forma
escalonada de uma matriz para podermos analisar a dependência e independência linear entre
vetores do Rn. Para isso, construímos uma matriz A onde cada coluna (ou cada linha) é um
dos vetores v1, v2, .., vm de Rn dados. A matriz B, citada no teorema, será a matriz A na forma
escalonada.
4.9 Exercício Resolvido
1. Determine uma base para o subespaço W do R3 gerado pelos vetores (1, 1, 0),
(1, 0, 1),(0,−3, 2) e (−2, 1, 0).
Resolução. Primeiro obtemos uma matriz 3× 4 que possui como colunas os vetores dado:
1 1 0 −21 0 −3 1
0 1 2 0
 .
Poderemos obter a forma escalonada (por linhas) desta matriz através de uma sequência de
operações elementares em suas linhas, como por exemplo: substituindo a segunda linha pela
soma desta com a primeira linha multiplicada por −1:1 1 0 −20 −1 −3 3
0 1 2 0
 ;
substituindo a terceira linha pela soma desta com a segunda linha:1 1 0 −20 −1 −3 3
0 0 −1 3
 .
Observe que as três primeiras colunas da matriz escalonada forma uma conjunto LI. Logo,
as três primeiras colunas da matriz inicial formam um conjunto LI e dessa forma, os três
primeiros vetores, (1, 1, 0), (1, 0, 1) e (0,−3, 2) dados forma um conjunto LI de geradores de
W. Portanto, o conjunto {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0,−3, 2)} é uma base de W. Como a dimensão
de W é 3 e W está contido em R3, então concluímos que W = R3.
38 4. Base e Dimensão
2. Complete o conjunto {(1, 2,−1, 0), (1,−1, 1, 2), (0, 1, 0, 1)} de forma a obter uma base
do R4.
Resolução. Primeiro devemos verificar se os três vetores dados formam um conjunto LI.
Faça isso como exercício!
Uma vez verificado que os três vetores dados formam um conjunto LI, e como uma base do
R4 tem 4 vatores, já que sua dimensão é 4, devemos incluir mais um vetor no conjunto de
forma que o conjunto resultante ainda seja LI. A escolha das coordenadas do vetor (a,b, c,d)
a ser incluido no conjunto pode ser realizada da seguinte forma:
Primeiro, obtemos a matriz 4 × 4 que possui como colunas os vetores dados e o vetor
(a,b, c,d):

1 1 0 a
1 −1 1 b
−1 1 0 c
0 2 1 d
 .
Efetuando o escalonamento (por linhas) dessa matriz, obtemos a matriz:
1 1 0 a
0 −2 1 −a+ b
0 0 1 b+ c
0 0 0 −a− b− 2c+ d
 .
Observe que para a última coluna ser linearmente independente com as três primeiras devemos
ter
−3a− b− 2c+ d 6= 0.
Esta condição será satisfeita, por exemplo, se considerarmos a = 1 e b = c = d = 0. Substituindo
esses valores, obteremos a matriz 
1 1 0 1
0 −2 1 −1
0 0 1 0
0 0 0 −1

que possui as quatros colunas linearmente independentes. Sendo a = 1 e b = c = d = 0, o vetor
(a,b, c,d) a ser incluído no conjunto, fica na forma (1, 0, 0, 0). Assim, o conjunto
{(1, 2,−1, 0), (1,−1, 1, 2), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0)}
é uma base do R4.
Observamos que embora os dois exercícios anteriores tenham sido resolvidos por meio da forma
escalonada da matriz cujas colunas eram os vetores inicialmente dados, a resolução também pode
ser feita quando escrevemos esses vetores como linhas de uma matriz e realizamos o escalonamento
da mesma. Contudo, nesse caso, a interpretação da dependência e independência linear dos vetores
é diferente. Essa alternativa será apresentada na próxima seção.
4.10. Exercício Resolvido 39
Espaço Linha, Espaço Coluna e Posto de uma Matriz. Outra maneira
de analisar a dependência linear entre vetores do Rn
Observe que, durante o escalonamento de uma matriz, ao realizarmos operações elementares sobre
as suas linhas estamos, na verdade, realizando combinações lineares com essas linhas. Como já
sabemos, o conjunto de todas as combinações lineares realizadas com um conjunto de vetores
forma um subespaço vetorial (de um dado espaço vetorial). Assim faz sentido a definição seguinte.
Definição. O espaço linha de uma matriz Am×n é o subespaço de Rn gerado pelas linhas de
A. De modo análogo, o espaço coluna de A é o subespaço de Rm gerado pelo conjunto de colunas
de A.
O espaço coluna tem uma importânciamuito grande no estudo dos sistemas lineares e será
estudado mais adiante. Por ora vamos focar a atenção no espaço linha de uma matriz e como
utilizá-lo para decidir se um dado conjunto de vetores do Rn é LI ou LD. Isso pode ser feito com
base no item (ii) do teorema seguinte.
Teorema 6. Seja A uma matriz m× n. Então:
(i) O posto da matriz A é igual a dimensão do espaço coluna de A.
(ii) O posto da matriz A é igual a dimensão do espaço linha de A e uma base para esse espaço
é fornecida pelas linhas não nulas da forma escalonada da matriz A.
De acordo com o item (ii) do Teorema 6, se escrevermos cada vetor de um conjunto {v1, v2, .., vm}
de geradores do subespaço W como linha de uma matriz A e, ao final do escalonamento dessa
matriz, obtivermos uma matriz B cujas linhas não nulas formam o conjunto de vetores {v ′1, v ′2.., v ′k},
k 6 m, então o conjunto {v ′1, v ′2.., v ′k} é uma base de W.
4.10 Exercício Resolvido
1. Determine uma base para o subespaço W do R3 gerado pelos vetores (1, 1, 0),
(1, 0, 1),(0,−3, 2) e (−2, 1, 0).
Resolução. Esse exercício já foi resolvido na seção 4.9 escrevendo os vetores como colunas
de uma matriz. Agora, usando o item (ii) do Teorema 6, vamos resolvê-lo escrevendo os
vetores dados como linhas de uma matriz. Dessa forma, obtemos
1 1 0
1 0 1
0 −3 2
−2 1 0
 .
Efetuando a operação L2 − L1 e substituindo a segunda linha pelo resultado dessa operação;
em seguida, substituir a quarta linha pela resultado da operação L4 + 2L1, obtemos:
1 1 0
0 −1 1
0 −3 2
0 3 0
 .
Substituindo a terceira linha pelo resultado da operação L3 − 3l2; e substituindo a quarta
linha pelo resultado da operação L4 + 3L2, obtemos:
40 4. Base e Dimensão

1 1 0
0 −1 1
0 0 −1
0 0 3
 .
Por fim, substituindo a quarta linha pelo resultado da operação L4 + 3L3, temos:
1 1 0
0 −1 1
0 0 −1
0 0 0
 .
Dessa forma, as três primeiras linhas da matriz na forma escalonada fornecem uma base
para o subespaço W. Isto é, o conjunto {(1, 1, 0), (0,−1, 1), (0, 0,−1)} é uma base de W.
Além disso, note que o conjunto formado pelas 3 linhas não nulas da matriz escalonada cor-
responde ao conjunto formado pelas três primeiras linhas da matriz inicial. Logo, o conjunto
{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0,−3, 2)} também é uma base deW conforme foi determinado no exercício
1 da seção 4.9. Na verdade, neste caso, W = R3.
2. Determine o subespaço U do R3 gerado pelos vetores (1,−1,−1), (1, 1, 0) e (1, 1, 2).
Resolução. Primeiro vamos determinar uma base para o subespaço U. Para isso vamos
encontrar a forma escalonada da matriz1 −1 −11 1 0
1 3 1
 .
Substituindo as linhas 2 e 3 pelos resultados das operações L2−L1 e L3−L1, respectivamente,
obtemos:
1 −1 −10 2 1
0 4 2
 .
Finalmente, substituindo a linha 3 pelo resultado da operação L3 − 2L2, obtemos a forma
escalonada
1 −1 −10 2 1
0 0 0
 .
Logo, o conjunto {(1,−1,−1), (0, 2, 1)} é uma base para o subespaço W. Daí, fazendo uma
combinação linear com esses dois vetores para escalares x e y quaisquer, obtemos
x(1,−1,−1) + y(0, 2, 1) = (x,−x+ 2y,−x+ y).
Portanto,
W = {(x,−x+ 2y,−x+ y); x,y ∈ R}.
4.11. Soma Direta 41
4.11 Soma Direta
Definição. Seja V um espaço vetorial. Suponha que U e W são subespaços vetoriais de V . Diz-se
que V é a soma direta de U e W, denota-se V = U⊕W, se
(i) U ∩W = {0};
(ii) V = U+W.
Exemplos
1. No exemplo 1 (Soma de Subespaços) os subespaços
U = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0}
e
W = {(x,y, z) ∈ R3; x = y = 0}
são tais que R3 = U+W. Além disso, U ∩W = {(0, 0, 0)} ( verifique!). Portanto,
R3 = U⊕W.
2. No exemplo 2 (Soma de Subespaços) os subespaços
U = {(x,y) ∈ R2;y = x}
e
W = {(x,y) ∈ R2;y = −x}
são tais que R2 = U+W. Além disso, Além disso, U ∩W = {(0, 0)} ( verifique!). Portanto,
R2 = U⊕W.
3. O exemplo 3 (Soma de Subespaços) temos U +W = M(2, 2), mas essa soma não pode ser
uma soma direta por que U ∩W é formado por todas as matrizes diagonais de ordem 2.
Soma direta em Rn.
O próximo exercício exemplifica uma maneira de calcular soma de subespaços em R3. O raciocínio
utilizado nesse exercício se aplica a subespaços de espaços euclidianos de dimensões maiores.
1. Considere os subespaços U = {(x,y, z); x+ y = 0} e W = {(x,y, z); x− z = 0} de R3. Mostre
que
R3 = U+W.
Resolução. Inicialmente vamos determinar um conjunto de vetores geradores de U e um
conjunto de vetores gerados de W.
Um vetor (x,y, z) ∈ U se e somente se x + y = 0, o que implica y = −x. Logo, um vetor
genérico de U é da forma (x,−x, z). Daí, temos
(x,−x, z) = x(1,−1, 0) + z(0, 0, 1).
Logo, o subespaço U é gerado pelos vetores (1,−1, 0) e (0, 0, 1).
42 4. Base e Dimensão
De modo análogo, temos que um vetor genérico de W é da forma
(x,y, x) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0)
e que W é gerado pelos vetores (1, 0, 1) e (0, 1, 0).
Dessa forma, U + W é gerado pelos vetores (1,−1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1) e (0, 1, 0). Para
encontrar uma base para esse espaço, basta encontrar a forma escalona da matriz
1 −1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 0
 .
Efetuando operações elementares sobre as linhas da matriz, obtemos a seguinte forma esca-
lonada (esta forma escalonada não é única):
1 −1 0
0 −1 1
0 0 1
0 0 0
 .
Daí, o conjunto {(1,−1, 0), (0,−1, 1), (0, 0, 1)} forma uma base para U+W. Logo, dim(U+
W) = 3. Mas, como U +W é um subespaço de R3 e tem a mesma dimensão desse espaço,
então
U+W = R3.
�
Uma vez que já mostramos que U +W = R3, uma pergunta pertinente neste exercício é se
R3 seria uma soma direta dos subespaços U e W? Isto é, se poderíamos ter R3 = U ⊕W?
Para responder a esta pergunta basta apenas calcular a interseção U ∩W. Lembramos que
para ser soma direta a intersecção entre os subespaços deve ter apenas o vetor nulo.
Neste caso, se (x,y, z) ∈ U ∩W devemos ter simultaneamente, y = −x e z = x. Daí, temos
que os vetores de U ∩W são do tipo (x,−x, x). Logo, U ∩W é um subespaço de dimensão
1 gerado pelo vetor (1,−1, 1) e, assim, U ∩W 6= {(0, 0, 0)}. Portanto, o R3 não é uma soma
direta dos subespaços U e W.
4.12 Soma Direta e Base em Espaços Vetoriais Quaisquer.
O próximo exercício estabelece que um espaço vetorial V é uma soma direta dos subespaços gerados
por cada um dos vetores que compõem essa base.
1. Dado um subconjunto não-vazio β = {v1, v2, ..., vn} de vetores de um espaço vetorial V,
mostre que β é uma base de V se, e somente se,
V = [v1]⊕ [v2]⊕ ...⊕ [vn].
Resolução. Suponha que β = {v1, v2, ..., vn} seja uma base de V e sejam V1 = [v1],V2 =
[v2], ...,Vn = [vn]. Vamos mostrar que
Vi ∩ Vj = {0}, para todo i 6= j;
4.13. Exercícios Propostos 43
e que
V = V1 + V2 + ... + Vn.
Primeiro, suponha que v ∈ Vi ∩ Vj. Logo, v ∈ Vi e v ∈ Vj. Daí, existem escalares a1 e a2
tais que
v = a1vi e v = a2vj.
Assim,
a1vi = a2vj.
Mas, se a1 e a2 forem, simultaneamente, diferentes de zero, então teríamos
vi =
a2
a1
vj e vj =
a1
a2
vi.
Mas, isso não pode ocorrer porque vi e vj são vetores LI, já que pertencem a uma base de
V . Logo, a1 = 0 e a2 = 0. Isto é, v = 0 e assim, Vi ∩Vj = {0}. Como Vi e Vj foram tomados
arbitrariamente, então o resultado vale para para todo i, j = 1, 2, ...,n. Agora seja v ∈ V .
Como β = {v1, v2, ..., vn} é uma base de V , então existem escalares a1,a2, ...,an tais que
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn.
Isso mostra que
V = V1 + V2 + ... + Vn.
Portanto,
V = V1 ⊕ V2 ⊕ ...⊕ Vn.
Por outro lado, suponha que
V = V1 ⊕ V2 ⊕ ...⊕ Vn.
Vamos mostrar que β = {v1, v2, ..., vn} é uma base de V . Para isso, precisamos mostrar que
β gera V e é LI. Como, por hipótese, V = V1 ⊕ V2 ⊕ ...⊕ Vn, então V = V1 + V2 + ... + Vn.
Logo, qualquer vetor v ∈ V se escreve, do seguinte modo:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
para alguma sequência de escalares a1,a2, ...,an. Como v é arbitrário, segue que β gera V .
Agora, suponha que β = {v1, v2, ..., vn} seja LD. Então existe, vj ∈ β que é combinação linear
dos demais vetores de β. Digamos, sem perda de generalidade, que vj = avi para algum
i = 1, 2, ..n e i 6= j. Então, temos que avi ∈ Vj e avi ∈ Vi. Logo, avi ∈ Vj ∩ Vi. Mas, isso
contradiz o fato de que Vi ∩ Vj = {0} ( V é soma