Circuitos de Segunda Ordem

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Circuitos de Segunda Ordem 
Dizemos que um circuito RLC (isto é, que contém resistores, capacitores e indutores) é de segunda ordem 
porque a variação com o tempo de qualquer tensão ou corrente do circuito pode ser descrita por uma equação 
diferencial de segunda ordem: 
• Uma equação diferencial de segunda ordem com função forçante constante tem a forma: 
 
 
• A equação característica de um circuito de segunda ordem é 𝐷2 + 𝐷2𝛼 + 𝜔0
2 , onde α é a constante de 
amortecimento e ω0 = 2πf0 é a frequência angular de ressonância. 
2 Raizes reais e iguais (Criticamente amortecido) (𝛼 = 𝜔0) 
2 Raizes reais e diferentes (Superamortecida)(𝛼 > 𝜔0) 
2 Raizes complexas e diferentes (Subamortecida)(𝛼 < 𝜔0) 
As respostas do circuito nos três casos são representadas pelas seguintes expressões: 
1 – Sobreamortecimento: 2 – Criticamente amortecida 
 
 
3 – Subamortecido: 
 
Exemplo 1 - Considere o ckt RLC abaixo. Determine vc(t) e iL(t) para t > 0 sabendo que as condições iniciais são: iL(0)= -1 A 
e vc(0)= 4 V. 
 𝑖𝑅 + 𝑖𝑙 + 𝑖𝑐 = 0 
Escrever tudo em função de tensões 
𝑣(𝑡)
2
+
1
5
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+ (𝑖𝑙(0) +
1
5
∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡) = 0 
1
2
𝑑(𝑣)
𝑑𝑡
+
1
5
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+
1
5
𝑣(𝑡) = 0 (𝑥5) 
5
2
𝑑(𝑣)
𝑑𝑡
+
5
5
 
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+
5
5
𝑣(𝑡) = 0 
5
2
𝑑(𝑣)
𝑑𝑡
+ 
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑣(𝑡) = 0 
5
2
𝐷 + 𝐷2 + 1 = 0 
𝜔0 = 1
2 = 1 
2𝛼 =
5
2
∴ 𝛼 =
5
2
2
=
5
2
∙
1
2
=
5
4
 
𝑆1 = −𝛼 + √𝛼
2 + 𝜔0
2 
𝑆1 = −
5
4
+ √
5
4
2
− 12 = −
1
2
 
𝑆2 = −𝛼 − √𝛼
2 − 𝜔0
2 
𝑆2 = −
5
4
− √(
5
4
)
2
− 12 = −2 
𝑣(𝑡) = 𝐾1𝑒
−2𝑡 + 𝐾2𝑒
−
1
2𝑡 
Utilizando condições iniciais 
𝐾1𝑒
−2∙0 + 𝐾2𝑒
−
1
2∙0 = 4 
𝐾1 + 𝐾2 = 4 
𝑖𝑙 = −
𝐾1𝑒
−2𝑡 + 𝐾2𝑒
−
1
2𝑡
2
−
1
5
𝑑(𝐾1𝑒
−2𝑡 + 𝐾2𝑒
−
1
2𝑡)
𝑑𝑡
 
Substituindo 𝑣(𝑡), temos: 
𝑖𝑙 = −
1
2
(𝐾1𝑒
−2𝑡 + 𝐾2𝑒
−
1
2𝑡) −
1
5
(−2𝐾1𝑒
−2𝑡 −
1
2
𝐾2𝑒
−
1
2𝑡) 
𝑖𝑙 = −
5
10
(𝐾1𝑒
−2𝑡 + 𝐾2𝑒
−
1
2𝑡) −
2
10
(−2𝐾1𝑒
−2𝑡 −
1
2
𝐾2𝑒
−
1
2𝑡) 
𝑖𝑙 = −
5𝐾1𝑒
−2𝑡
10
−
5𝐾2𝑒
−
1
2𝑡
10
+
4𝐾1𝑒
−2𝑡
10
+
2𝐾2𝑒
−
1
2𝑡
20
 
𝑖𝑙 = −
5𝐾1𝑒
−2𝑡
10
−
5𝐾2𝑒
−
1
2𝑡
10
+
4𝐾1𝑒
−2𝑡
10
+
𝐾2𝑒
−
1
2𝑡
10
 
𝑖𝑙 = −
𝐾1𝑒
−2𝑡
10
−
4𝐾2𝑒
−
1
2𝑡
10
 
𝑖𝑙 = −0,1𝐾1𝑒
−2𝑡 − 0,4𝐾2𝑒
−
1
2𝑡 
−0,1𝐾1𝑒
−2∙0 − 0,4𝐾2𝑒
−
1
2∙0 = −1 
−0,1𝐾1 − 0,4𝐾2 = −1 
𝐾1 + 𝐾2 = 4 
 
 
 
 
−0,1𝐾1 − 0,4𝐾2 = −1 
𝐾1 = 4 − 𝐾2 
−0,1(4 − 𝐾2) − 0,4𝐾2 = −1 
−0,4 + 0,1𝐾2 − 0,4𝐾2 = −1 → −0,3𝐾2 = −1 + 0,4 
𝐾2 = −
0,6
−0,3
= 2 ∴ 𝐾1 = 2 
𝑖𝑙(𝑡) = −0,1𝐾1𝑒
−2𝑡 − 0,4𝐾2𝑒
−
1
2𝑡 
𝑖𝑙(𝑡) = −0,1 ∙ 2𝑒
−2𝑡 − 0,4 ∙ 2𝑒−
1
2𝑡 
𝑣(𝑡) = 𝐾1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐾2𝑒
𝑆2𝑡 
𝑣(𝑡) = 2𝑒−2𝑡 + 2𝑒−
1
2𝑡 
 
Exercício 2 - No ckt abaixo determine vc(t) e i(t) para t > 0 considerando i(0)= 4 A e vc(0)= -4 V. 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑙 = 𝑖𝑐 = 𝑖𝑟 
𝑣𝑟 + 𝑣𝑙 + 𝑣𝑐 = 0 
𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐶
∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 
6𝑖(𝑡) + 1
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
1
25
∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 
6𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 25𝑖(𝑡) = 0 
6𝐷 + 𝐷2 + 25 = 0 
2𝛼 = 6 ∴ 𝛼 = 3 
𝜔0
2 = 25 ∴ 𝑤0 = 5 
𝑥 =
(−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐)
2𝑎
 
𝑥1 = −3 + 4𝑗 
𝑥2 = −3 − 4𝑗 
𝑖(𝑡) = 𝑒−3𝑡[𝐴1 cos(4𝑡) + 𝐴2sin (4𝑡)] 
Utilizando a condição inicial 𝑖(0) = 4 
𝑖(𝑡) = 𝑒−3∙0[𝐴1 cos(4 ∙ 0) + 𝐴2sin (4 ∙ 0)] 
𝑖(𝑡) = 1 ∙ [𝐴1 ∙ 1 + 0] 
𝑖(𝑡) = 𝐴1 = 4 
 
Utilizando a condição inicial 𝑣𝑐(0) = −4 
6𝑖(𝑡) + 1
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣(𝑡) = 0 
𝑣(𝑡) = −6𝑖(𝑡) −
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
Subtituindo i(t) temos 
 
 
𝑣(𝑡) = −6(𝑒−3𝑡[4 cos(4𝑡) + 𝐴2sin (4𝑡)]) −
𝑑(𝑒−3𝑡[4 cos(4𝑡) + 𝐴2 sin(4𝑡)])
𝑑𝑡
 
𝑣(𝑡) = −6(𝑒−3𝑡[4 cos(4𝑡) + 𝐴2 sin(4𝑡)]) − (−3 ∙ 4𝑒
−3𝑡 cos(4𝑡) − 4 ∙ 4𝑒−3𝑡 sin(4𝑡) − 3𝐴2 sin(4𝑡)
+ 4𝐴2𝑒
−3𝑡cos (4𝑡)) 
𝑣(𝑡) = −12𝑒−3𝑡 cos(4𝑡) − 3𝐴2𝑒
−3𝑡 sin(4𝑡) + 16𝑒−3𝑡 sin(4𝑡) − 4𝐴2𝑒
−3𝑡cos (4𝑡) 
𝑣(𝑡) = −12 − 4𝐴2 ∴ 𝐴2 = −2 
 
 
Raízes reais e iguais 
 
Condições iniciais 
 
No ckt abaixo determine vo(t) para t > 0 
 
 
 
𝑣𝑟1 + 𝑣𝑙 + 𝑣𝑐 + 𝑣𝑟2 = 2 
𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣(0) +
1
𝐶
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑅𝑖(𝑡) = 2 
5𝑖(𝑡) +
1
4
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
1
25
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 = 2 
5𝑖(𝑡) +
1
4
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 25 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 = 2 
(5𝑖(𝑡) +
1
4
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 25 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 = 2)
1
4
 
20𝑖(𝑡) +
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 100 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 = 8 
20
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 100 = 0 
20𝐷 + 𝐷2 + 100 = 0 
2𝛼 = 20 ∴ 𝛼 =
20
2
= 10 
𝜔0
2 = 100 ∴ 𝜔0 = √100 → 𝜔0 = ±10 
𝑥(𝑡) = 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 + 𝐵2𝑡𝑒
−𝛼𝑡 
𝑖𝑙(𝑡) = 𝐵1𝑒
−10𝑡 + 𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 
Utilizando condições iniciais 
𝑖𝑙(0) = 0 
𝑣𝑙(0) = 0 
𝑖𝑙(0) = 𝐵1𝑒
−10∙0 + 𝐵2 ∙ 0𝑒
−10∙0 
𝑖𝑙(0) = 𝐵1𝑒
−10∙0 
𝑖𝑙(0) = 𝐵1 ∙ 1 
𝐵1 = 0 
𝑖𝑙(𝑡) = 𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 
 
5𝑖(𝑡) +
1
4
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐(𝑡) = 2 
Substituindo 𝑖𝑙(𝑡) em 𝑣𝑐(𝑡) 
𝑣𝑐(𝑡) = 2 − 5(𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡) −
1
4
𝑑(𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑣𝑐(𝑡) = 2 − 5𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 −
1
4
(−10𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 + 𝐵2𝑒
−10𝑡) 
𝑣𝑐(𝑡) = 2 − 5𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 −
1
4
(−10𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 + 𝐵2𝑒
−10𝑡) 
𝑣𝑐(𝑡) = 2 − 5𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 +
5
2
𝐵2𝑡𝑒
−10𝑡 −
1
4
𝐵2𝑒
−10𝑡 
 
Usando condições iniciais de v_c(0) = 0 
𝑣𝑐(𝑡) = 2 − 5𝐵2 ∙ 0𝑒
−10∙0 +
5
2
𝐵2 ∙ 0𝑒
−10∙0 −
1
4
𝐵2𝑒
−10∙0 
𝑣𝑐(𝑡) = 2 −
1
4
𝐵2 
−2 = −
1
4
𝐵2 ∴ 𝐵2 = 8 
𝑖𝑙(𝑡) = 8𝑡𝑒
−10𝑡 
𝑉0(𝑡) = 𝑅𝑖𝑙(𝑡) 
𝑉0(𝑡) = 1 ∙ 8𝑡𝑒
−10𝑡