AV1 - ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CÁLCULO NUMÉRICO

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
Roniquelle de Jesus Fernandes 
01404853 
Engenharia Elétrica 
 
Esta atividade tem como objetivo encontrar, por meios de cálculos 
matemáticos, um polinômio quadrático que esteja relacionado aos três pontos 
escolhidos pelo engenheiro responsável pelo projeto de duplicação de uma 
avenida em uma cidade hipotética, conforme apresentado na case da questão. 
Levando em consideração que o mesmo escolheu os seguintes pontos abaixo, 
seguiremos desenvolvendo, por meio da interpolação polinomial pelo método de 
Lagrange, os cálculos que nos levarão a encontrar este polinômio. 
 
 
Figura 1 - Pontos escolhidos para interpolação 
 
O nosso polinômio de Lagrange será um polinômio de 2º grau (quadrático) 
do tipo 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, pelo fato de termos 3 pontos envolvidos. A técnica 
de Lagrange fornece uma alternativa de como calcular esse mesmo polinômio 
que passa pelos três pontos utilizando três funções distintas (que também são 
polinômios), as quais possuem características bem definidas. Assim, podemos 
descrever nossa equação principal a fim de encontrá-lo: 
𝑷𝟐(𝑿) = 𝑳𝟎 × 𝒇(𝑿𝟎) + 𝑳𝟏 × 𝒇(𝑿𝟏) + 𝑳𝟐 × 𝒇(𝑿𝟐) 
Sendo que, 𝑳𝟎, 𝑳𝟏, e 𝑳𝟐 são funções distintas correspondentes a cada 
ponto. Os valores 𝑿𝟎, 𝑿𝟏 e 𝑿𝟐 são, respectivamente, os valores horários de “x” 
(16h, 17h e 18h), e 𝒇(𝑿𝟎), 𝒇(𝑿𝟏) e 𝒇(𝑿𝟐) são, respectivamente, os valores 
referentes ao quantitativo de carros em cada horário (14, 19 e 22), isto é, a 
imagem de “x” (y). 
 
 
A primeira coisa que devemos fazer é calcular as funções 𝑳𝟎, 𝑳𝟏, e 𝑳𝟐. Podemos 
fazer esse cálculo da seguinte maneira: 
Hora (h) 16h 17h 18h
Carros 14 19 22
𝐿 =
(𝑋 − 𝑋 ) × (𝑋 − 𝑋 )
(𝑋 − 𝑋 ) × (𝑋 − 𝑋 )
→
(𝑋 − 17) × (𝑋 − 18)
(16 − 17) × (16 − 18)
→
𝑋 − 18𝑋 − 17𝑋 + 306
2
 
𝑳𝟎 =
𝑿𝟐 − 𝟑𝟓𝑿 + 𝟑𝟎𝟔
𝟐
 
𝐿 =
(𝑋 − 𝑋 ) × (𝑋 − 𝑋 )
(𝑋 − 𝑋 ) × (𝑋 − 𝑋 )
→
(𝑋 − 16) × (𝑋 − 18)
(17 − 16) × (17 − 18)
→
𝑋 − 18𝑋 − 16𝑋 + 288
−1
 
𝑳𝟏 =
𝑋 − 34𝑋 + 288
−1
→ −𝑿𝟐 + 𝟑𝟒𝑿 − 𝟐𝟖𝟖 
𝐿 =
(𝑋 − 𝑋 ) × (𝑋 − 𝑋 )
(𝑋 − 𝑋 ) × (𝑋 − 𝑋 )
→
(𝑋 − 16) × (𝑋 − 17)
(18 − 16) × (18 − 17)
→
𝑋 − 17𝑋 − 16𝑋 + 272
2
 
𝑳𝟐 =
𝑿𝟐 − 𝟑𝟑𝑿 + 𝟐𝟕𝟐
𝟐
 
Após encontrar esses valores, vamos substituí-los na equação principal, 
multiplicando pelos valores de 𝒇(𝑿): 
𝑃 (𝑋) =
𝑋 − 35𝑋 + 306
2
× 14 + (−𝑋 + 34𝑋 − 288) × 19 +
𝑋 − 33𝑋 + 272
2
× 22 
Desenvolvendo as multiplicações em cada fração, temos: 
𝑃 (𝑋) =
14𝑋 − 490𝑋 + 4284
2
+ (−19𝑋 + 646𝑋 − 5472) +
22𝑋 − 727𝑋 + 5984
2
 
Agora, fazendo o MMC destas frações, encontramos um novo denominador 2, e 
seguimos desenvolvendo o cálculo, sempre dividindo o novo denominador pelo 
antigo em cada fração, multiplicando esse resultado pelos valores do numerador, 
se atentando ao jogo de sinais: 
𝑃 (𝑋) =
14𝑋 − 490𝑋 + 4284 − 38𝑋 + 1292𝑋 − 10944 + 22𝑋 − 726𝑋 + 5984
2
 
Fazendo a soma dos termos comuns, temos: 
𝑃 (𝑋) =
−2𝑋 + 76𝑋 − 676
2
 
Simplificando a equação, dividindo por 2, encontramos nosso polinômio 
quadrático que interpola os 03 valores escolhidos, sendo então a= -1; b= 38 e 
c= -338. O mesmo é: 
𝑷𝟐(𝑿) = −𝑿 + 𝟑𝟖𝑿 − 𝟑𝟑𝟖 
Como efeito de prova, para termos certeza que o polinômio encontrado está 
correto, substituímos os três valores de 𝑿 e vemos se os resultados batem 
conforme tabela da figura 1. 
1º Caso, para 𝑿=16: 
𝑃 (16) = −(16) + (38 × 16) − 338 → 𝑃 (16) = −256 + 608 − 338 
𝑃 (16) = 608 − 594 → 𝑷𝟐(𝟏𝟔) = 𝟏𝟒. 
Vemos então que para 16hs (x), temos 14 Carros (y), batendo conforme tabela. 
2º Caso, para 𝑿=17: 
𝑃 (17) = −(17) + (38 × 17) − 338 → 𝑃 (17) = −289 + 646 − 338 
𝑃 (17) = 646 − 627 → 𝑷𝟐(𝟏𝟕) = 𝟏𝟗. 
Vemos então que para 17hs (x), temos 19 Carros (y), batendo conforme tabela. 
3º Caso, para 𝑿=18: 
𝑃 (18) = −(18) + (38 × 18) − 338 → 𝑃 (18) = −324 + 684 − 338 
𝑃 (18) = 684 − 662 → 𝑷𝟐(𝟏𝟖) = 𝟐𝟐. 
Vemos então que para 18hs (x), temos 22 Carros (y), batendo conforme tabela. 
 Chegamos a conclusão que o polinômio quadrático encontrado que 
interpola os 03 valores escolhidos para esta atividade está correto. 
 
Referências bibliográficas: 
https://www.youtube.com/watch?v=tf2zKz8FVzU. Acessado em 02.06.2022 
https://cn.ect.ufrn.br/index.php?r=conteudo%2Finterp-lagrange. Acessado em 
02.06.2022