Matrizes: Conceitos e Operações

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MATRIZES
MATRIZ
Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical).
A função das matrizes é relacionar dados numéricos. Por isso, o conceito de matriz não é só importante na Matemática, mas também em outras áreas já que as matrizes têm diversas aplicações.
Uma matriz sobre um corpo ou, simplesmente, uma matriz (quando estiver subentendido) é uma tabela retangular de escalares, costumeiramente apresentada no formato seguinte.
 
As linhas de uma tal matriz são as listas horizontais de escalares dadas por
e as colunas de são as listas verticais de escalares dadas por
 
MATRIZ LINHA
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n.
Exemplo: Matriz linha 1 x 2.
 
MATRIZ COLUNA
A é a matriz de coluna de 3 por 1. Todos os números da matriz são iguais a zero. A é a matriz nula de 3 por 3. Essa categoria possui o mesmo número de linhas e colunas.
Exemplo: Matriz coluna 2 x 1.
 
MATRIZ NULA
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo: Podendo ser representada por 03 x 2. Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas.
Matriz de elementos iguais a zero.
 
MATRIZ QUADRADA
Matriz quadrada é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Matriz retangular é uma matriz na qual m≠n. Diagonal principal : numa matriz quadrada, os elementos em que i=j constituem a diagonal principal.
Exemplo: Matriz quadrada 2 x 2.
 
MATRIZ TRANSPOSTA
A matriz transposta (indicada pela letra t) é aquela que apresenta os mesmos elementos de uma linha ou coluna comparada com outra matriz.
No entanto, os elementos iguais entre as duas são invertidos, ou seja, a linha de uma apresenta os mesmos elementos que a coluna de outra. Ou ainda, a coluna de uma possui os mesmos elementos da linha de outra.
Exemplo: Matriz Transposta
A Transposta de é 
MATRIZ IDENTIDADE
Representamos essa matriz com “In”, onde o “n” é a ordem da matriz, ou seja, o número de linhas que essa matriz terá. Exemplo: I2, I3, ….. In. Seguindo a mesma regra, a matriz identidade de ordem 4 possui quatro linhas e a matriz identidade de ordem 5 possui cinco linhas.
Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.
Exemplo: Matriz identidade 3 x 3.
MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade In.
A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).
Exemplo: A matriz inversa de A é A-1.
A matriz inversa de é 
MATRIZ OPOSTA
Oposto de um número é o seu simétrico, ou seja, o oposto de 5 é -5, o posto de -2 é 2. Nesse mesmo sentido encontraremos o oposto de uma matriz. Dada uma matriz B = (bij) m x n, a sua matriz oposta será representada por –B.
Na matriz oposta, os elementos entre duas matrizes apresentam sinais diferentes, 
por exemplo:
 e 
IGUALDADE DE MATRIZES
Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas iguais elas devem obedecer a algumas regras: Devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes.
Quando temos matrizes iguais, os elementos das linhas e das colunas são correspondentes:
 
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
SOMA DE MATRIZES
Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11. Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.
 + = 
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21. Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.
 - =
 + = 
Neste caso, realizamos a soma da matriz A com a matriz oposta de B, pois A – B = A + (-B).
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Para realizar a multiplicação, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B
 . =