1- Matrizes (revisão) - tipos - operações - corrigida

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ÁLGEBRA LINEAR 
1 - MATRIZES 
DEFINIÇÃO 1. É uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
ORDEM OU DIMENSÃO 
DEFINIÇÃO 2. A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas. 
NOTAÇÃO. Representaremos a matriz A de m linhas e n colunas, isto é, a matriz A de 
ordem m por n, por Amxn ou (aij)mxn ou ou [aij]mxn. 
OBSERVAÇÕES. 
1. Existem outras notações para matrizes, além de colchetes, como parênteses ou duas 
barras. 
2. Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e minúsculas para os seus 
elementos. 
3. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, funções ou 
mesmo outras matrizes. 
4. Os elementos de uma matriz de ordem n x n que estão nas posições em que i = j, 
pertencem à diagonal que chamamos diagonal principal. A outra diagonal é chamada 
diagonal secundária. Na diagonal secundária, a soma i+ j para qualquer de seus elementos 
é sempre uma mesma constante. 
 
TIPOS DE MATRIZES 
1. Nula: é a matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero. 
2. Coluna: é a matriz que possui m linhas e uma única coluna (n = 1). 
3. Linha: é a matriz que possui uma única linha e n colunas (m = 1). 
4. Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n), 
que será chamada matriz de ordem m (ou matriz de ordem n). 
4.1. Diagonal: é a matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal 
principal iguais a zero. 
4.1.1. Escalar: é a matriz quadrada diagonal que tem os elementos da diagonal 
principal iguais e os outros iguais a zero. 
 4.1.1.1. Identidade: é a matriz escalar que tem os elementos da diagonal principal 
iguais a um. 
 4.2. Triangular Superior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo da 
diagonal principal iguais a zero. 
 4.3. Triangular Inferior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal 
principal iguais a zero. 
 4.4. Simétrica: é a matriz quadrada tal que aij = aji, para todo i e todo j. Ou seja, que possui os 
elementos simétricos em relação à diagonal principal iguais. 
 4.5. Anti-Simétrica: é a matriz quadrada tal que aij = – aji para todo i e todo j. Isso implica em 
os elementos da diagonal principal serem iguais a zero e os elementos simétricos em 
relação à diagonal principal serem opostos. 
 
 
 
 
 
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 IGUALDADE DE MATRIZES 
 
DEFINIÇÃO 3. Duas matrizes A e B são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de 
linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij 
= bij, para todo i e todo j). 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
1. Adição/subtração: A soma/diferença de matrizes de mesma ordem ou de mesma 
dimensão, mxn, é ainda uma matriz de ordem mxn, cujos elementos são obtidos pela 
soma/diferença dos elementos correspondentes das matrizes dadas. 
NOTAÇÃO: Considere as matrizes Amxn = [ aij ]mxn e Bmxn = [ bij ]mx n . Então 
Cmxn = Amxn + Bmxn = [ aij ]mxn + [ bij ]mx n = [ aij + bij ]mx n 
 
2. Multiplicação de um escalar por uma matriz: O produto de um escalar por uma matriz 
de ordem mxn, resulta em uma outra nova matriz também de ordem mxn, cujos elementos 
é o produto do escalar por cada elemento da matriz dada. 
 
Consideremos o escalar k e a matriz Amxn = [ aij ]mxn 
Então, 
 Bm×n = k.Amxn = [ k.aij ]mxn = [ bij ]mx n 
 
3. Produto de matrizes: 
 
Devemos observar que: 
a) o produto matricial A.B só é definido se o número de colunas da primeira matriz, A, 
for igual ao número de linhas da segunda matriz, B. 
b) A matriz resultante do produto da matriz de ordem mxn, Amxn, por uma matriz de 
ordem nxp, Bnxp, é uma nova matriz de ordem mxp, Cmxp. 
c) NOTAÇÃO: Considere as matrizes Amxn = [ aij ]mxn e Bnxp = [ bjk ]nxp 
Então, Cmxp = Amxn.Bnxp = [ cik ]mxp. 
 
d) O elemento cik da matriz resultante C é obtido somando o produto dos elementos da 
i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna 
da segunda matriz. 
DEFINIÇÃO 4. A transposta de uma matriz A é a matriz At , cujas colunas são iguais às linhas de 
A, isto é, se Amxn = [ aij ]mxn , A
t 
= [ aji]nxm. 
Observação1: A é antissimétrica se At = – A. 
Observação2: A é simétrica se At = A. 
DEFINIÇÃO 5. Uma matriz é ortogonal se o produto dela por sua transposta é a matriz identidade. 
DEFINIÇÃO 6. Matriz Periódica é toda matriz A tal que An = A, n > 2. Se “n” é o menor inteiro 
para o qual A
n
 = A, dizemos que o periódico de A é n-1. 
DEFINIÇÃO 7. Matriz Idempotente é toda matriz periódica A tal que A2 = A, ou seja, se A2 = A, 
então A
3
 = A
4
 = A
5
 = ... = A
n
 = A . 
DEFINIÇÃO 8. Matriz Nilpotente é uma matriz A para a qual existir um número inteiro positivo 
“p” tal que A
p
 = 0. Se “p” é o menor inteiro positivo tal que A
p
 = 0, diz-se que A é nilpotente de 
índice “p”, Se A
3
 = 0, então A
4
 = ... = A
n
 = 0.