LIVRO 2

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Saiba tudo sobre derivativos com este livro que é leitura essencial 
para todos os profissionais do mercado, além de best-seller entre os 
universitários que vislumbram uma carreira na área financeira. 
Os muitos destaques desta 9ª edição incluem:
1. Novos materiais em diversos pontos do livro sobre o uso de taxas 
de overnight indexed swap (OIS) para descontos.
2. Um novo capítulo no início do livro sobre taxas de desconto, risco 
de crédito e custos e de financiamento.
3. Novos materiais sobre a regulamentação de mercados de 
derivativos de balcão.
4. Mais discussões sobre compensação centralizada, requisitos de 
marketing e execução de swaps.
5. Cobertura de produtos como opções DOOM e CEBOs oferecidas 
pelo CBOE.
6. Nova explicação não técnica dos termos nas fórmulas de 
Black-Scholes-Merton.
7. Cobertura de opções perpétuas e outros derivativos perpétuos.
8. Ampliação e atualização dos materiais sobre risco de crédito e 
derivativos de crédito com os principais produtos e questões 
introduzidos no início do livro.
9. Cobertura mais completa dos modelos de equilíbrio unifatoriais 
da estrutura a termo.
10.
Professores podem ter acesso a manual de soluções e 
apresentações PPT (ambos em inglês) depois de fazer o 
cadastro no site www.grupoa.com.br, buscar este livro e 
clicar no link Material para o Professor. 
AIUBE, F. A. L.
Modelos Quantitativos em Finanças: com Enfoque 
em Commodities 
BERK & DEMARZO
Finanças Empresariais
Finanças Empresariais: Essencial
BERK, DEMARZO & HARFORD
Fundamentos de Finanças Empresariais
BLOCHER & COLS.
Gestão Estratégica de Custos, 3.ed.
BODIE, KANE & MARCUS
Fundamentos de Investimentos, 9.ed. 
Investimentos, 10.ed. 
BREALEY, MYERS & ALLEN
Princípios de Finanças Corporativas, 10.ed.
BRUNER, R. F. 
Estudos de Casos em Finanças, 5.ed.
CATTY, J. P.
IFRS: Guia de Aplicação do Valor Justo
DAMODARAN, A.
Gestão Estratégica do Risco 
EITEMAN, STONEHILL & MOFFETT
Administração Financeira Internacional, 12.ed.
HIGGINS, R. C.
Análise para Administração Financeira, 10.ed.
ROGERS, S. 
Finanças e Estratégias de Negócios para Empreendedores, 2.ed.
ROSS, WESTERFIELD, JAFFE & LAMB
Administração Financeira: Corporate Finance, 10.ed
ROSS, WESTERFIELD, JORDAN & LAMB
Fundamentos de Administração Financeira, 9.ed
TITMAN & MARTIN
Avaliação de Projetos e Investimentos: Valuation
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
H913o Hull, John C.
 Opções, futuros e outros derivativos [recurso eletrônico]
 / John C. Hull ; tradução: Francisco Araújo da Costa ;
 revisão técnica: Guilherme Ribeiro de Macêdo. – 9. ed. –
 Porto Alegre : Bookman, 2016.
 Editado como livro impresso em 2016.
 ISBN 978-85-8260-393-2
 1. Finanças. 2. Mercado financeiro. 3. Mercados de
 opções. I. Título. 
CDU 336.012.23
Até aqui, os modelos que utilizamos para avaliar opções se basearam no modelo 
de movimento browniano geométrico do comportamento do preço do ativo que está 
por trás das fórmulas de Black–Scholes–Merton e os procedimentos numéricos que 
utilizamos foram relativamente simples e diretos. Neste capítulo, introduzimos di-
versos novos modelos e explicamos como os procedimentos numéricos podem ser 
adaptados para lidar com determinadas situações.
O Capítulo 20 explicou como os traders superam os pontos fracos do modelo 
de movimento browniano geométrico usando superfícies de volatilidade. Uma su-
perfície de volatilidade determina a volatilidade apropriada que deve ser inserida nas 
fórmulas de Black–Scholes–Merton para o apreçamento de opções plain vanilla. 
Infelizmente, ela não nos diz muito sobre a volatilidade que deve ser utilizada para 
opções exóticas quando utilizamos as fórmulas de apreçamento do Capítulo 26. Su-
ponha que a superfície de volatilidade indica que a volatilidade correta que deve ser 
utilizada para apreçar uma opção plain vanilla de 1 ano com preço de exercício de 
$40 é 27%. Esse resultado pode ser totalmente inadequado para o apreçamento de 
uma opção de barreira (ou alguma outra opção exótica) cujo preço de exercício é $40 
e a vida é um ano.
A primeira parte deste capítulo discute diversas alternativas ao movimento 
browniano geométrico, criadas para lidar com o problema do apreçamento de opções 
exóticas de forma consistente com as opções plain vanilla. Esses processos alterna-
tivos de preços de ativo se ajustam melhor aos preços de mercado das opções plain 
vanilla do que o movimento browniano geométrico. Por consequência, temos mais 
segurança para utilizá-los na avaliação de opções exóticas.
A segunda parte do capítulo estende a discussão aos procedimentos numéricos. 
Ela explica como os títulos conversíveis e alguns tipos de derivativos dependentes 
da trajetória podem ser avaliados utilizando árvores. Ela também discute os proble-
mas especiais associados à avaliação numérica de opções de barreira e como tais 
problemas podem ser enfrentados. Finalmente, ela descreve maneiras alternativas de 
C A P Í T U L O
27
Mais sobre modelos e 
procedimentos numéricos
CAPÍTULO 27 � Mais sobre modelos e procedimentos numéricos 675
construir árvores para duas variáveis correlacionadas e mostra como a simulação de 
Monte Carlo pode ser utilizada para avaliar derivativos quando há oportunidades de 
exercício antecipado.
Assim como nos capítulos anteriores, os resultados são apresentados para deri-
vativos dependentes de um ativo que oferece rendimento a uma taxa q. Para uma op-
ção sobre um índice de ações, q deve ser definido como igual ao rendimento em di-
videndos sobre o índice; para uma opção sobre uma moeda, deve ser definido como 
igual à taxa de juros livre de risco estrangeira; para uma opção sobre um contrato 
futuro, deve ser definido como igual à taxa de juros livre de risco nacional.
27.1 ALTERNATIVAS A BLACK–SCHOLES–MERTON
O modelo de Black–Scholes–Merton pressupõe que o preço de um ativo muda con-
tinuamente de maneira que produza uma distribuição lognormal para o preço em 
qualquer data futura. Muitos processos alternativos podem ser pressupostos. Uma 
possibilidade é reter a propriedade de que o preço do ativo muda continuamente, mas 
pressupor um processo que não o movimento browniano geométrico. Outra alterna-
tiva é sobrepor as mudanças contínuas no preço do ativo com saltos. Outra é pres-
supor um processo no qual todas as mudanças no preço do ativo são saltos. Vamos 
considerar exemplos de todos os três tipos de processo nesta seção. Em especial, 
vamos considerar o modelo de elasticidade constante da variância, o modelo misto 
de salto–difusão de Merton e o modelo de gama da variância. Os tipos de processos 
que vamos considerar nesta seção são conhecidos coletivamente pelo nome de pro-
cessos de Lévy.1
O modelo de elasticidade constante da variância
Uma alternativa a Black–Scholes–Merton é o modelo de elasticidade constante da 
variância (CEV, constant elasticity of variance), um modelo de difusão no qual o 
processo risk-neutral para um preço de ação S é:
onde r é a taxa de juros livre de risco, q é o rendimento em dividendos, dz é um 
processo de Wiener, � é um parâmetro de volatilidade e � é uma constante positiva.2
Quando � � 1, o modelo CEV é o modelo de movimento browniano geomé-
trico que utilizamos até aqui. Quando � � 1, a volatilidade aumenta à medida que o 
preço da ação diminui. Isso cria uma distribuição de probabilidade semelhante àque-
la observada para ações com uma cauda esquerda pesada e uma cauda direita menos 
1 Em termos gerais, um processo de Levy é um processo estocástico de tempo contínuo com incrementos 
independentes estacionários.
2 Ver J. C. Cox and S. A. Ross, “The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes”, Journal 
of Financial Economics, 3 (March 1976): 145–66.
676 Opções, futuros e outros derivativos
pesada (ver Figura 20.4).3 Quando � � 1, a volatilidade aumenta à medida que o 
preço da ação aumenta. Isso cria uma distribuição de probabilidade com uma cauda 
direita pesada e uma cauda esquerda menos pesada. Isso correspondea um smile 
de volatilidade no qual a volatilidade implícita é uma função crescente do preço de 
exercício. Esse tipo de smile de volatilidade também é observado ocasionalmente 
para opções sobre futuros.
As fórmulas de avaliação para opções de compra e de venda europeias sob o 
modelo CEV são:
quando 0 � � � 1 e:
quando � � 1, com:
onde:
e �2 (z, k, ) é a probabilidade cumulativa que uma variável com uma distribuição �2 
não central com parâmetro de não centralidade v e k graus de liberdade é menor do 
que z. Um procedimento para computar �2(z, k, v) se encontra na Nota Técnica 12 no 
site do autor: www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes.
O modelo CEV é útil para avaliar opções sobre ações exóticas. Os parâmetros 
do modelo podem ser escolhidos de modo a se ajustar o máximo possível aos preços 
de opções plain vanilla por meio da minimização da soma dos quadrados das dife-
renças entre os preços de modelos e preços de mercado.
Modelo misto de salto–difusão de Merton
Merton sugeriu um modelo no qual os saltos são combinados com mudanças contí-
nuas.4 Defina:
 �: Número médio de saltos por ano.
 k: Tamanho do salto médio, medido como uma porcentagem do preço do ativo.
3 O motivo é o seguinte: À medida que o preço da ação diminui, a volatilidade aumenta, tornando um pre-
ço de ação ainda menor mais provável; quando o preço da ação aumenta, a volatilidade diminui, tornando 
preços mais elevados menos prováveis.
4 Ver R. C. Merton, “Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous”, Journal of 
Financial Economics, 3 (March 1976): 125–44.
CAPÍTULO 27 � Mais sobre modelos e procedimentos numéricos 677
Pressupõe-se que o tamanho percentual do salto será extraído de uma distribuição de 
probabilidade no modelo.
A probabilidade de um salto no tempo �t é ��t. A taxa de crescimento média 
no preço do ativo a partir dos saltos é, portanto, �k. O processo risk-neutral para o 
preço do ativo é:
onde dz é um processo de Wiener, dp é o processo de Poisson que gera os saltos e � é 
a volatilidade do movimento browniano geométrico. Pressupõe-se que os processos 
dz e dp são independentes.
Um caso importante do modelo de Merton é aquele no qual o logaritmo de um 
mais o tamanho do salto percentual é normal. Pressuponha que o desvio padrão da 
distribuição normal é s. Merton mostra que um preço de opção europeia pode ser 
escrito como:
onde �� � �(1 � k). A variável fn é o preço de opção de Black–Scholes–Merton 
quando o rendimento em dividendos é q, a taxa de variância é:
e a taxa de juros livre de risco é:
onde � ln(1 � k).
Esse modelo dá origem a caudas esquerda e direita mais pesadas do que Bla-
ck–Scholes–Merton. Ele pode ser utilizado para apreçar opções de moeda. Assim 
como no caso do modelo CEV, os parâmetros do modelo são escolhidos por meio 
da minimização da soma dos quadrados das diferenças entre os preços de modelos e 
preços de mercado.
Modelos como o de Merton, que envolvem saltos, podem ser implementados 
com a simulação de Monte Carlo. Quando os saltos são gerados por um processo de 
Poisson, a probabilidade de exatamente m saltos no tempo t é:
onde � é o número médio de saltos por ano. De forma equivalente, �t é o número 
médio de saltos no tempo t.
Suponha que, em média, ocorrem 0,5 salto por ano. A probabilidade de m sal-
tos em 2 anos é:
A Tabela 27.1 fornece a probabilidade e a probabilidade cumulativa de 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7 e 8 saltos em 2 anos. (Os números em uma tabela como essa podem ser calcu-
lados usando a função POISSON no Excel.)
678 Opções, futuros e outros derivativos
Para simular um processo que segue os saltos durante 2 anos, é necessário de-
terminar, em cada teste de simulação:
 1. O número de saltos.
 2. O tamanho de cada salto.
Para determinar o número de saltos, em cada teste de simulação escolhemos 
um número aleatório entre 0 e 1 e usamos a Tabela 27.1 como tabela de consulta. 
Se o número aleatório está entre 0 e 0,3679, não ocorre nenhum salto; se o número 
aleatório está entre 0,3679 e 0,7358, ocorre um salto; se o número aleatório está 
entre 0,7358 e 0,9197, ocorrem dois saltos; e assim por diante. Para determinar o 
tamanho de cada salto, é necessário, em cada teste de simulação, extrair um número 
da distribuição de probabilidade para o tamanho do salto para cada salto que ocorre. 
Depois que o número de saltos e o tamanho dos saltos foram determinados, sabemos 
o valor final da variável sendo simulada para o teste de simulação.
No modelo misto de salto–difusão de Merton, os saltos são sobrepostos sobre 
o processo de difusão lognormal tradicional que se pressupõe para preços de ações. 
O processo tem então dois componentes (o componente de difusão tradicional e o 
componente de salto) e uma amostra deve ser extraída de cada um separadamente. A 
amostra do componente de difusão é obtida da forma descrita nas Seções 21.6 e 21.7, 
enquanto a amostra do componente de salto é extraída da maneira descrita acima. 
Quando os derivativos são avaliados, é importante garantir que o retorno esperado 
geral do ativo (de ambos os componentes) é a taxa de juros livre de risco. Isso sig-
nifica que o drift para o componente de difusão no modelo de Merton é r 	 q 	 �k.
O modelo de gama da variância
Um exemplo de modelo de saltos puros que está ganhando bastante popularidade é 
o modelo de gama da variância.5 Defina uma variável g como a mudança durante o 
tempo T em uma variável que segue um processo gama com taxa média de 1 taxa de 
5 Ver D. B. Madan, P. P. Carr, and E. C. Chang, “The Variance-Gamma Process and Option Pricing”, Eu-
ropean Finance Review, 2 (1998): 79–105.
TABELA 27.1 Probabilidades para número de saltos em 2 anos
Número de 
saltos, m
Probabilidade de 
exatamente m saltos
Probabilidade de m 
saltos ou menos
0 0,3679 0,3679
1 0,3679 0,7358
2 0,1839 0,9197
3 0,0613 0,9810
4 0,0153 0,9963
5 0,0031 0,9994
6 0,0005 0,9999
7 0,0001 1,0000
8 0,0000 1,0000
CAPÍTULO 27 � Mais sobre modelos e procedimentos numéricos 679
variância de . Um processo gama é um processo de saltos puros no qual ocorrem 
pequenos saltos com bastante frequência e grandes saltos apenas ocasionalmente. A 
densidade de probabilidade para g é:
onde 
(�) denota a função gama. Essa densidade de probabilidade pode ser calcu-
lada no Excel usando a função GAMMADIST(�, �, �, �). O primeiro argumento da 
função é g, o segundo é T/ , o terceiro é e o quarto é VERDADEIRO ou FALSO, 
onde VERDADEIRO retorna a função de distribuição de probabilidade cumulativa e 
FALSO retorna a função de densidade de probabilidade que acabamos de apresentar.
Como sempre, definimos ST como o preço do ativo no tempo T, S0 como o 
preço do ativo hoje, r como a taxa de juros livre de risco e q como o rendimento em 
dividendos. Em um mundo risk-neutral, ln ST, sob o modelo de gama da variância, 
tem uma distribuição de probabilidade que, condicionada de g, é normal. A média 
condicional é:
e o desvio padrão condicional é:
onde:
O modelo de gama da variância tem três parâmetros: , � e �.6 O parâmetro v é a taxa 
de variância do processo gama, � é a volatilidade e � é um parâmetro que define a 
vantagem. Quando � � 0, ln ST é simétrico; quando � � 0, sua vantagem é negativa 
(assim como para ações); e quando � � 0, sua vantagem é positiva.
Suponha que estamos interessados em usar o Excel para obter 10.000 amos-
tras aleatórias da mudança no preço do ativo entre o tempo 0 e o tempo T usando o 
modelo de gama da variância. Preliminarmente, podemos definir as células E1, E2, 
E3, E4, E5, E6 e E7 como iguais a T, , �, �, r, q e S0, respectivamente. Também 
podemos definir E8 como igual a � ao definir a célula como:
Podemos então proceder da seguinte maneira:
 1. Obtenha valores amostrais para g usando a função GAMMAINV. Determine os 
conteúdos das células A1, A2,..., A10000 como:
6 Observe que todos esses parâmetros podem mudar quando passamos do mundo real para o mundo risk-
-neutral, em contraste com os modelos de difusão pura, nos quais a volatilidadepermanece a mesma.
680 Opções, futuros e outros derivativos
 2. Para cada valor de g, obtemos um valor amostral de z para uma variável que é 
normalmente distribuída com média �g e desvio padrão � Para tanto, defi-
nimos a célula B1 como:
e as células B2, B3,..., B10000 da mesma forma.
 3. O preço de ação ST é dado por:
Definindo C1 como:
e C2, C3,..., C10000 da mesma forma, são criadas amostras aleatórias da dis-
tribuição de ST nessas células.
A Figura 27.1 mostra a distribuição de probabilidade obtida usando o modelo 
de gama da variância para ST quando S0 � 100, T � 0,5, � 0,5, � � 0,1, � � 0,2 e r 
� q � 0. Para fins de comparação, ela também mostra a distribuição dada pelo movi-
mento browniano geométrico quando a volatilidade é 0,2 (ou 20%). Apesar de não 
ficar claro na Figura 27.1, a distribuição do gama da variância tem caudas mais pe-
sadas do que a distribuição lognormal dada pelo movimento browniano geométrico.
Uma maneira de caracterizar a distribuição do gama da variância é que g 
define a taxa à qual a informação chega durante o tempo T. Se g é grande, muitas 
informações chegam e a amostra que obtemos de uma distribuição normal no passo 2, 
tem média e variância relativamente grandes. Se g é pequeno, chegam relativamente 
poucas informações e a amostra que obtemos tem média e variância relativamente 
40 60 80 100 120 140 160 180 200
Gama da variância
Movimento browniano geométrico
FIGURA 27.1 Distribuições obtidas com o processo de gama da variância e movimento 
browniano geométrico.
CAPÍTULO 27 � Mais sobre modelos e procedimentos numéricos 681
pequenas. O parâmetro T é a medida de tempo tradicional e g também é chamado de 
medida econômica do tempo ou tempo ajustado para o fluxo de informações.
Madan et al. (1998) fornecem fórmulas semianalíticas de avaliação de opções 
europeias. O modelo de gama da variância tende a produzir um smile de volati-
lidade em forma de U. O smile não é necessariamente simétrico, sendo bastante 
pronunciado para vencimentos mais curtos e “morrendo aos poucos” para vencimen-
tos mais longos. O modelo pode ser ajustado a preço de opções plain vanilla simples 
sobre ações ou moedas estrangeiras.
27.2 MODELOS DE VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA
O modelo de Black–Scholes–Merton pressupõe que a volatilidade é constante. Na 
prática, como discutido no Capítulo 23, a volatilidade varia com o passar do tempo. 
O modelo do gama da variância reflete esse fato com sua variável g. Valores baixos 
de g correspondem a uma baixa taxa de chegada para informações e uma baixa vo-
latilidade; valores altos de g correspondem a uma alta taxa de chegada para informa-
ções e uma alta volatilidade.
Uma alternativa ao modelo do gama da variância é um modelo no qual o pro-
cesso seguido pela variável de volatilidade é especificado explicitamente. Primei-
ramente, vamos supor que o parâmetro de volatilidade no movimento browniano 
geométrico é uma função conhecida do tempo. O processo risk-neutral seguido pelo 
preço do ativo é, então:
 (27.1)
As fórmulas de Black–Scholes–Merton estão corretas, desde que a taxa de variância 
seja definida como igual à taxa de variância média durante a vida da opção (ver Pro-
blema 27.6). A taxa de variância é o quadrado da volatilidade. Suponha que durante 
um período de 1 ano, a volatilidade de uma ação será 20% durante os primeiros 6 
meses e 30% durantes os últimos 6 meses. A taxa de variância média é:
0,5 � 0,202 � 0,5 � 0,302 � 0,065
É correto usar Black–Scholes–Merton com uma taxa de variância de 0,065. Esse 
valor corresponde a uma volatilidade de � 0,255, ou 25,5%.
A equação (27.1) pressupõe que a volatilidade instantânea de um ativo é per-
feitamente previsível. Na prática, a volatilidade varia estocasticamente. Isso levou 
ao desenvolvimento de modelos mais complexos, com duas variáveis estocásticas: o 
preço da ação e sua volatilidade.
Um modelo que foi utilizado por pesquisadores é:
 
(27.2)
 (27.3)
682 Opções, futuros e outros derivativos
onde a, VL, � e � são constantes e dzs e dzv são processos de Wiener. A variável V 
nesse modelo é a taxa de variância do ativo. A taxa de variância tem um drift que a 
leva de volta ao nível VL a uma taxa a.
Hull e White mostram que quando a volatilidade é estocástica, mas não cor-
relacionada com o preço do ativo, o preço de uma opção europeia é o preço de 
Black–Scholes–Merton integrado sobre a distribuição de probabilidade da taxa de 
variância média durante a vida da opção.7 Assim, o preço de uma opção de compra 
europeia é:
onde é o valor médio da taxa de variância, c é o preço de Black–Scholes–Merton 
expresso com uma função de e g é a função de densidade de probabilidade de 
em um mundo risk-neutral. Esse resultado pode ser utilizado para mostrar que Bla-
ck–Scholes–Merton superestima os preços de opções que estão no dinheiro ou pró-
ximo disso e subestima os preços de opções muito dentro ou muito fora do dinheiro. 
O modelo é consistente com o padrão de volatilidades implícitas observados para 
opções de moedas (ver Seção 20.2).
O caso no qual o preço do ativo e a volatilidade estão correlacionados é mais 
complexo. Os preços de opções podem ser obtidos usando a simulação de Monte 
Carlo. No caso específico em que � � 0,5, Hull e White fornecem uma expansão em 
série e Heston fornece um resultado analítico.8 O padrão de volatilidades implícitas 
obtido quando a volatilidade é negativamente correlacionada com o preço do ativo é 
semelhante àquele observado para ações (ver Seção 20.3).9
O Capítulo 23 discute os modelos de média móvel ponderada exponencial-
mente (EWMA) e GARCH(1,1). Estes são abordagens alternativas à caracteriza-
ção de um modelo de volatilidade estocástica. Duan mostra que é possível usar o 
GARCH(1,1) como base para um modelo de apreçamento de opções internamente 
consistente.10 (Ver Problema 23.14 para a equivalência dos modelos GARCH(1,1) e 
de volatilidade estocástica.)
Os modelos de volatilidade estocástica podem ser ajustados aos preços de 
opções plain vanilla e então usados para apreçar opções exóticas.11 Para opções que 
duram menos de um ano, o impacto de uma volatilidade estocástica no apreçamen-
7 Ver J. C. Hull and A. White, “The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities”, Journal 
of Finance, 42 (June 1987): 281–300. Esse resultado é independente do processo seguido pela taxa de 
variância.
8 Ver J. C. Hull and A. White, “An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatili-
ty”, Advances in Futures and Options Research, 3 (1988): 27–61; S. L. Heston, “A Closed Form Solution 
for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options”, Review of Fi-
nancial Studies, 6, 2 (1993): 327–43.
9 A razão é dada na nota de rodapé 3.
10 Ver J.-C. Duan, “The GARCH Option Pricing Model”, Mathematical Finance, vol. 5 (1995), 13–32; e 
J.-C. Duan, “Cracking the Smile” RISK, vol. 9 (December 1996), 55-59.
11 Para um exemplo disso, ver J. C. Hull and W. Suo, “A Methodology for the Assessment of Model Risk 
and its Application to the Implied Volatility Function Model”, Journal of Financial and Quantitative 
Analysis, 37, 2 (June 2002): 297–318.
CAPÍTULO 27 � Mais sobre modelos e procedimentos numéricos 683
to é relativamente pequena em termos absolutos (apesar de ser bastante grande em 
termos percentuais para opções muito fora do dinheiro). O impacto se torna progres-
sivamente maior à medida que a vida da opção aumenta. O impacto de uma volatili-
dade estocástica sobre o desempenho do delta hedge normalmente é bastante grande. 
Os traders reconhecem esse fato e, como descrito no Capítulo 19, calculam o vega 
para monitorar sua exposição às mudanças na volatilidade.
27.3 O MODELO DE IVF
Os parâmetros dos modelos que analisamos até aqui podem ser escolhidos de modo 
a oferecerem um ajuste aproximado aos preços de opções plain vanilla em um dia 
qualquer. Às vezes, as instituições financeiras querem ir um passo além e usam um 
modelo que fornece um ajuste exatoaos preços dessas opções.12 Em 1994, Derman e 
Kani, Dupire e Rubinstein desenvolveram um modelo criado com esse objetivo, que 
viria a ser conhecido como o modelo de função de volatilidade implícita (IVF, im-
plied volatility function) ou modelo de árvore implícita.13 Ele oferece um ajuste exato 
aos preços de opções europeias observados em um dia qualquer, independentemente 
do formato da superfície de volatilidade.
O processo risk-neutral para o preço do ativo no modelo tem a forma:
onde r(t) é a taxa de juros a termo instantânea para um contrato com vencimento no 
tempo t e q(t) é o rendimento em dividendos como função do tempo. A volatilidade 
�(S, t) é uma função de S e de t e é escolhida de forma que o modelo aprece todas as 
opções europeias de maneira consistente com o mercado. Como demonstram Dupire 
e Andersen e Brotherton-Ratcliffe, �(S, t) pode ser calculado analiticamente:14
 
(27.4)
onde cmkt (K, T) é o preço de mercado de uma opção de compra europeia com preço 
de exercício K e vencimento T. Se um número suficientemente grande de preços de 
opções de compra europeias está disponível no mercado, essa equação pode ser uti-
lizada para estimar a função �(S, t).15
12 Há um motivo prático para isso. Se o banco não usa um modelo com essa propriedade, há o risco de os 
traders que trabalham para o banco dedicarem seu tempo a praticar arbitragem com os modelos internos 
do banco.
13 Ver B. Dupire, “Pricing with a Smile”, Risk, February (1994): 18–20; E. Derman and I. Kani, “Riding 
on a Smile”, Risk, February (1994): 32–39; M. Rubinstein, “Implied Binomial Trees” Journal of Finance, 
49, 3 (July 1994), 771–818.
14 Ver B. Dupire, “Pricing with a Smile”, Risk, February (1994), 18–20; L. B. G. Andersen and R. 
Brotherton-Ratcliffe “The Equity Option Volatility Smile: An Implicit Finite Difference Approach”, Journal 
of Computation Finance 1, No. 2 (Winter 1997/98): 5–37. Dupire considera o caso em que r e q são zero; 
Andersen e Brotherton-Ratcliffe consideram a situação mais geral.
15 Normalmente é necessária alguma suavização da superfície de volatilidade observada.
684 Opções, futuros e outros derivativos
Andersen e Brotherton-Ratcliffe implementam o modelo usando a equação 
(27.4) em conjunto com o método das diferenças finitas implícito. Uma abordagem 
alternativa, a metodologia da árvore implícita sugerida por Derman e Kani e Rubins-
tein, envolve construir uma árvore para o preço do ativo que é consistente com os 
preços das opções no mercado.
Quando usado na prática, o modelo de IVF é recalibrado diariamente com os 
preços de opções plain vanilla. Ele é uma ferramenta para apreçar opções exóticas 
de forma consistente com as plain vanilla. Como discutido no Capítulo 20, as opções 
plain vanilla definem a distribuição de probabilidade risk-neutral do preço do ativo 
em todos os tempos futuros. Logo, o modelo de IVF obtém a distribuição de proba-
bilidade risk-neutral do preço do ativo em todos os tempos futuros corretamente. 
Isso significa que as opções que oferecem resultados em apenas um momento (ex.: 
opções tudo ou nada ou ativo ou nada) são apreçadas corretamente pelo modelo de 
IVF. Contudo, o modelo não acerta necessariamente a distribuição conjunta do preço 
do ativo em dois ou mais tempos. Isso significa que opções exóticas como as com-
postas e de barreira podem ser apreçadas incorretamente.16
27.4 TÍTULOS CONVERSÍVEIS
Agora passamos para uma discussão sobre como os procedimentos numéricos apre-
sentados no Capítulo 21 podem ser modificados para enfrentar determinados proble-
mas de avaliação. Começaremos pela questão dos títulos conversíveis.
Os títulos conversíveis são aqueles emitidos por uma empresa cujo titular tem 
a opção de trocar o título pelas ações da empresa em determinadas datas no futuro. 
A taxa de conversão é o número de ações obtido em troca de um título (que pode ser 
uma função do tempo). Os títulos quase sempre são resgatáveis (ou seja, o emissor 
tem o direito de recomprá-los em datas específicas a preços predeterminados). O 
titular sempre tem o direito de converter o título depois que ele for resgatado. Assim, 
a possibilidade de resgate normalmente é uma maneira de forçar a conversão antes 
do que o titular gostaria. Às vezes, a opção de resgate do titular depende do preço das 
ações da empresa estarem acima de um determinado patamar.
O risco de crédito tem um papel importante na avaliação dos títulos conversí-
veis. Se o risco de crédito é ignorado, são obtidos preços de baixa qualidade, pois 
a avaliação dos cupons e dos pagamentos de principal sobre o título é exagerada. 
Ingersoll fornece uma maneira de avaliar títulos conversíveis usando um modelo 
semelhante ao de Merton (1974), discutido na Seção 24.6.17 Ele pressupõe o movi-
mento browniano geométrico para os ativos totais do emissor e modela as ações da 
empresa, sua dívida conversíveis e suas outras dívidas como direitos contingentes do 
16 Hull e Suo testam o modelo de IVF pressupondo que todos os preços de derivativos são determinados 
por um modelo de volatilidade estocástica. Eles descobriram que o modelo funciona razoavelmente bem 
para opções compostas, mas às vezes gera erros graves para opções de barreira. Ver J. C. Hull and W. Suo, 
“A Methodology for the Assessment of Model Risk and its Application to the Implied Volatility Function 
Model”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 37, 2 (June 2002): 297–318.
17 Ver J. E. Ingersoll, “A Contingent Claims Valuation of Convertible Securities”, Journal of Financial 
Economics, 4, (May 1977), 289–322.
CAPÍTULO 27 � Mais sobre modelos e procedimentos numéricos 685
valor dos ativos. O risco de crédito é levado em conta porque os titulares da dívida 
são pagos integralmente apenas se o valor dos ativos é maior do que a quantia que 
lhes é devida.
Um modelo mais simples e bastante utilizado na prática envolve modelar o 
preço das ações do emissor. Pressupõe-se que a ação segue o movimento browniano 
geométrico, exceto que há uma probabilidade ��t de que haverá uma inadimplência 
em cada breve período de tempo �t. Em caso de inadimplência, o preço da ação vai 
para zero e há uma recuperação sobre o título. A variável � é a taxa de risco risk-
-neutral definida na Seção 24.2.
O processo de preço de ação pode ser representado pela variação da árvore 
binomial tradicional de forma que em cada nó haja:
1. Uma probabilidade pu de um movimento positivo percentual de tamanho u du-
rante o próximo período de tempo de duração �t.
2. Uma probabilidade pd de um movimento negativo percentual de tamanho d
durante o próximo período de tempo de duração �t.
3. Uma probabilidade ��t ou, mais precisamente, 1 	 e	��t, de que haverá uma
inadimplência, com o preço da ação movendo-se para zero durante o próximo
período de tempo de duração �t.
Os valores de parâmetros, escolhidos para corresponder aos dois primeiros momen-
tos da distribuição de preço da ação, são:
onde a � e(r	q)�t, r é a taxa de juros livre de risco e q é o rendimento em dividendos 
sobre a ação.
A vida da árvore é definida como igual à vida do título conversível. O valor 
do título conversível nos nós finais da árvore é calculado com base em quaisquer 
opções de conversão que o titular possua na data. A seguir, analisamos a árvore re-
troativamente. Nos nós em que os termos do instrumento permitem conversão, pode-
mos testar se a conversão é ou não ideal. Também testamos se a posição do emissor 
pode ser melhorada pelo resgate dos títulos. Se sim, pressupomos que os títulos são 
resgatados e retestamos se a conversão é ou não ideal. Isso é equivalente a definir o 
valor em um nó como igual a:
onde Q1 é o valor dado pelo rollback (pressupondo que o título não é convertido ou 
resgatado no nó), Q2 é o preço da opção de compra e Q3 é o valor se a conversão 
ocorre.