reforço engenharia-física 2- Exercícios sobre osciladores amortecidos e forçados-2019-5ebefcac0164d28680ea5b0a3234e8db

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Reforço Engenharia 1 
Física 2 
 
Exercícios sobre Osciladores Amortecidos Forçados 
Professor: Rodrigo Jordão 
 
Resumo 
 
Amplitude das oscilações amortecidas 
 
Ex.1: Um bloco possui massa 𝑚 = 1,5𝑘𝑔 e está preso por uma mola de constante elástica 8𝑁/𝑚. A força é 
dada por −𝑏 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
, sendo 𝑏 = 230𝑔/𝑠. O bloco é puxado 12𝑐𝑚 para baixo e liberado (𝐴0 = 12𝑐𝑚). Calcule: 
a) O tempo para que a amplitude seja um terço da amplitude inicial. 
b) O número de oscilações quando isso acontecer. 
 
Resolução: 
a) 𝐴(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑒
−
𝑏
2𝑚
∙𝑡 ∙ cos(𝜔′𝑡 + 𝜑) 
1
3
𝐴0 = 𝐴0 ∙ 𝑒
−
𝑏
2𝑚
∙𝑡 ⇒ −
𝑏
2𝑚
∙ 𝑡 = ln (
1
3
) ⇒ 𝑡 = −
2𝑚
𝑏
∙ ln (
1
3
) =
2𝑚
𝑏
∙ ln(3) ≈ 14,3𝑠 
b) 𝜔′ = √
𝑘
𝑚
−
𝑏2
4𝑚2
= 2,31𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝑇 =
2𝜋
𝜔′
= 2,72𝑠 
𝑛 =
𝑡
𝑇
= 5,27 
 
 
Decaimento das amplitudes 
 
Ex.2: Um bloco possui massa 𝑚 = 250𝑘𝑔 e está preso por uma mola de constante elástica 85𝑁/𝑚. Sendo 
𝑏 = 70𝑔/𝑠 e 𝑇 = 0,34𝑠. Calcule a razão 𝐴(20𝑇)/𝐴0. 
 
Resolução: 
𝐴(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑒
−
𝑏
2𝑚
∙𝑡 ∙ cos(𝜔′𝑡 + 𝜑) 
𝐴(0) = 𝐴0 ∙ 𝑒
0 ∙ cos(0 + 0) = 𝐴0 
𝐴(20𝑇) = 𝐴0 ∙ 𝑒
−
𝑏
2𝑚
∙20𝑇 ∙ cos (
2𝜋
𝑇
∙ 20𝑇) = 𝐴0 ∙ 𝑒
−
𝑏
2𝑚
∙20𝑇 
𝐴(20𝑇)
𝐴0
= 𝑒−
𝑏
2𝑚
∙20𝑇 = 0,39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 2 
Física 2 
 
Amortecimento Crítico 
 
Ex.3: Uma massa de 0,25kg é atada a uma mola de constante elástica igual a 4N/m. Supondo que uma força 
de amortecimento igual (em módulo) ao dobro da velocidade instantânea que atua no sistema. Determine a 
equação de movimento se o peso parte da posição de equilíbrio com velocidade de 3m/s para cima. 
 
Resolução: 
𝑚 = 0,25𝑘𝑔 
𝑘 = 4𝑁/𝑚 
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡 = −2𝑣 
𝑏 = −2 
𝑥(𝑡) =? 
𝑥(0) = 0 
�̇�(0) = −3 
 
Precisamos descobrir primeiro o tipo de amortecimento, para isso comparamos 
𝛾
2
 com 𝜔0. 
𝑚�̈� = −𝑘𝑥 − 𝑏�̇� ⇒ �̈� +
𝑏
𝑚
�̇� +
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 ⇒ �̈� + 𝛾�̇� + 𝜔0
2𝑥 = 0 
𝛾
2
=
𝑏
2𝑚
= 4 
𝜔0 = √
𝑘
𝑚
= 4 =
𝛾
2
→ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ (𝑎 + 𝑐𝑡) 
𝑥(0) = 1 ∙ 𝑎 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 
�̇�(𝑡) = (−
𝛾
2
) ∙ 𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ (𝑎 + 𝑐𝑡) + 𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ 𝑐 
�̇�(0) = (−
𝛾
2
) ∙ 1 ∙ 0 + 1 ∙ 𝑐 = 𝑐 = −3 
 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒−4𝑡 ∙ (−3𝑡) 
 
 
Amortecimento Subcrítico 
 
Ex.4: Uma massa de 0,5kg é atada a uma mola de 1,5 m de comprimento. Na posição de equilíbrio o 
comprimento da mola éde 2,48 m. Se o peso for suspenso e soltar a partir do repouso de um ponto 2 m acima 
da posição de equilíbrio, encontre o deslocamento 𝑥(𝑡) se é sabido ainda que o meio ambiente oferece 
resistência igual a velocidade instantânea. 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 3 
Física 2 
 
Resolução: 
𝑚 = 0,5𝑘𝑔 
𝑙0 = 1,5𝑚 
𝑙 = 2,48𝑚 
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡 = −2�̇� 
𝑏 = 1 
𝑥(𝑡) =? 
𝑥(0) = −2 
�̇�(0) = 0 
 
Descobrindo a constante da mola: 
𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑘𝑥 ⇒ 0,5 ∙ 9,8 = 𝑘 ∙ 0,98 ⇒ 𝑘 = 5𝑁/𝑚 
 
Precisamos descobrir primeiro o tipo de amortecimento, para isso comparamos 
𝛾
2
 com 𝜔0. 
𝑚�̈� = −𝑘𝑥 − 𝑏�̇� ⇒ �̈� +
𝑏
𝑚
�̇� +
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 ⇒ �̈� + 𝛾�̇� + 𝜔0
2𝑥 = 0 
𝛾
2
=
𝑏
2𝑚
= 1 
𝜔0 = √
𝑘
𝑚
≈ 3,16 >
𝛾
2
→ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑥(0) = 𝐴 ∙ cos(𝜑) = −2 
�̇�(𝑡) = (−
𝛾
2
) ∙ 𝐴𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) − 𝐴𝜔𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ sen(𝜔𝑡 + 𝜑) 
�̇�(0) = (−
𝛾
2
) ∙ 𝐴 ∙ cos(𝜑) − 𝐴𝜔 ∙ sen(𝜑) = 0 
 
Dessa forma, montando o sistema obtemos: 
𝜑 = arctan (−
1
3
) , 𝐴 = −
2
cos(𝜑)
 
 
Ex.5: Um corpo que foi suspenso por uma mola oscila em um período 𝑇 = 0,2𝜋𝑠, quando não há resistência, 
e um período 𝑇′ = 0,25𝜋𝑠, quando há resistência proporcional a primeira potência da velocidade. Achar as leis 
das oscilações amortecidas do corpo, sabendo que o estiramento que a mola possuía na posição inicial com 
relação a posição de equilíbrio estático era de 0,06 m e que o corpo recebeu liberdade completa. 
 
Resolução: 
𝑇 = 0,2𝜋𝑠 
𝑇′ = 0,25𝜋𝑠 
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡 = −𝑏�̇� 
𝑥(𝑡) =? 
𝑥(0) = 0,06𝑚 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 4 
Física 2 
 
�̇�(0) = 0 
 
𝜔0 =
2𝜋
𝑇
= 10𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔 =
2𝜋
𝑇′
= 8𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔2 = 𝜔0
2 −
𝛾2
4
⇒ 𝛾 = 12 
𝛾
2
= 6 < 𝜔0 → 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑥(0) = 𝐴 ∙ cos(𝜑) = 0,06 
�̇�(𝑡) = (−
𝛾
2
) ∙ 𝐴𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) − 𝐴𝜔𝑒−
𝛾
2
𝑡 ∙ sen(𝜔𝑡 + 𝜑) 
�̇�(0) = (−
𝛾
2
) ∙ 𝐴 ∙ cos(𝜑) − 𝐴𝜔 ∙ sen(𝜑) = 0 
 
Dessa forma, montando o sistema obtemos: 
𝜑 = arctan(−0,75) , 𝐴 =
0,06
cos(𝜑)
 
 
A equação do movimento fica: 
𝑥(𝑡) = 0,0601𝑒−6𝑡 ∙ cos(8𝑡 − 0,0748) 
 
 
Ressonância 
 
Ex.6: Suponha que na equação da amplitude 𝑥𝑚 é dada por: 
𝑥𝑚 =
𝐹𝑚
[𝑚2(𝜔𝑑
2 − 𝜔2 + 𝑏2𝜔𝑑
2)]1/2
 
Sendo 𝐹𝑚 a amplitude constante da força externa alternada exercida sobre a mola pelo suporte rígido. Na 
ressonância na ressonância qual é a amplitude do movimento? 
 
Resolução: 
Na ressonância 𝜔𝑑 = 𝜔. Assim podemos concluir que: 
𝑥𝑚 =
𝐹𝑚
𝑏𝜔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 5 
Física 2 
 
Posição de equilíbrio e vibração 
 
Ex.7: Um carro de 1000kg, que está com quatro ocupantes de 82kg, viaja em uma estrada de terra com 
costelas separadas por uma distância média de 4m. O carro trepida com amplitude máxima quando está 
16km/h. Quando o carro para e os ocupantes saltam, qual a variação de altura do carro? 
 
Resolução: 
𝑀 = 1000𝑘𝑔 
𝑚 = 82𝑘𝑔 cada ocupante 
O carrro trepida com 𝐴𝑚𝑎𝑥 a 𝑣 = 16𝑘𝑚/ℎ 
 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋𝑣
𝑑
= √
𝑘
4𝑚 + 𝑀
⇒ 𝑘 = (
2𝜋𝑣
𝑑
)
2
∙ (4𝑚 + 𝑀) = 
𝑥𝐴 =
𝑀𝑔
𝑘
 
𝑥𝐵 =
(4𝑚 + 𝑀)𝑔
𝑘
 
Δ = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 =
4𝑚𝑔
𝑘
=
4𝑚𝑔
(4𝑚 + 𝑀)
∙
𝑑2
(2𝜋𝑣)2
= 0,050𝑚 
 
 
Equação do movimento amortecido 
 
Ex.8: A equação fundamental de um oscilador amortecido é do tipo 𝑎�̈� + 𝑏�̇� + 𝑐𝑥 = 0. Sua solução será da 
forma 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛽𝑡 sen(𝜔𝑡 + 𝛼), se: 
 
Resolução: 
Fazendo o equivalente a equação do oscilador harmônico amortecido: 
𝑎�̈� + 𝑏�̇� + 𝑐𝑥 = 0 ⇒ �̈� +
𝑏
𝑎
�̇� +
𝑐
𝑎
𝑥 = 0 
𝛾 =
𝑏
𝑎
, 𝜔0 = √
𝑐
𝑎
 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛽𝑡 sen(𝜔𝑡 + 𝛼) 
 
A solução será dessa forma se o movimento for subcrítico, ou seja: 
𝛾
2
< 𝜔0 ⇒
𝑏
𝑎
< √
𝑐
𝑎