Aula 08 - Distribuição normal-5

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BIOESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Prof. Dr. Eduardo Rodrigues
SÃO LUIS
2022
BIOESTATÍSTICA
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Introdução 
Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição continua de probabilidade é a distribuição normal, ou curva normal, distribuição de Gauss (Karls Friedrich, 1777-1855), que constitui a base teórica de toda inferência estatística. A função de densidade de probabilidade de uma curva variável X com distribuição normal é definida pela seguinte equação:
Onde, x e y são variáveis estatísticas 
M = média da distribuição
σ = desvio-padrão da distribuição 
π (pi) = 3,1415.... (constante)
e = 2,71828.... É a base dos logaritmos naturais (constante)
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A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva.
A distribuição normal é simétrica em torno da média o que implica que e média, a mediana e a moda são todas coincidentes.
Introdução 
Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição continua de probabilidade é a distribuição normal, ou curva normal, distribuição de Gauss (Karls Friedrich, 1777-1855), que constitui a base teórica de toda inferência estatística. A função de densidade de probabilidade de uma curva variável X com distribuição normal é definida pela seguinte equação:
Onde, x e y são variáveis estatísticas 
M = média da distribuição
σ = desvio-padrão da distribuição 
π (pi) = 3,1415.... (constante)
e = 2,71828.... É a base dos logaritmos naturais (constante)
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Gráfico da curva normal
Introdução 
Principais característica da curva normal:
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Tem um ponto máximo no eixo dos y (eixo vertical), que corresponde à media no eixo x (eixo horizontal). 
É simétrica em relação ao eixo do y, no ponto correspondente à média no eixo dos Y.
Tem dois pontos de inflexão (pontos nos quais a curva muda de concavidade), que correspondem a M ± σ.
É assintótica em relação ao eixo dos x, isto é, a curva mão intercepta o eixo dos x.
Prolonga-se no eixo dos x de - ꝏ a + ꝏ 
Tem forma de “sino”
Área de probabilidade
Lembremos que a integral definida de uma função f(x), em um intervalo [a,b], nos dá a área sob a função, compreendida entre os valores a e b da variável x. 
Assim, a integral definida da equação normal, no intervalo [a,b], representada a área sob a curva normal, no intervalo [a,b]. 
Como temos 50% das observações abaixo da média e 50% acima, a área total sob a curva normal corresponde a uma probabilidade de 100%. Na figura a seguir, a área A sob a curva normal nos dá a probabilidade de uma variável x esta compreendida entre os intervalos a e b.
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Acima da média
Abaixo da média
MÉDIA
O coeficiente Z
Uma amostra de dados reais nunca se ajusta perfeitamente a uma distribuição normal teórica, mas frequentemente ela se aproxima bem.
Quando esta aproximação for razoável, podemos fazer inferência de probabilidades sabendo apenas as estimativas amostrais de µ (média) e σ (desvio-padrão), pois a área sob a curva é conhecida matematicamente.
“Padronizar” significa remover a escala da variável original, em geral transformando-a em um índice.
Índices são úteis pois permitem a comparação entre variáveis.
A principal transformação da curva normal é a Z. Para transformar sua variável no índice Z utiliza-se a seguinte formula:
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Valor da variável (X), a média (µ), e o desvio padrão (σ)   . 
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Como utilizar a tabela de Coeficiente Z
A tabela indica as proporções de áreas para vários intervalos de valores para a distribuição de probabilidade normal padronizada, com a fronteira inferior começando sempre na média. Essa tabela elimina o uso da equação.
Na 1° coluna da tabela, descendo até a linha 1,2, e percorrendo-a à sua linha direita até chegar na sua casa (célula) da coluna, encontraremos o valor 0,3997. Portanto a área de probabilidade correspondente a Z= 1,28 é 0,3997 (39,97%), que representa a região localizada à direita da linha da média (no ponto z=0) do gráfico da curva normal, conforme mostra a figura.
Exemplos: Na tabela seguinte, encontre a probabilidade correspondente aos seguintes valores do coeficiente Z.
Z = 1,28 >> é o mesmo que 1,2 + 0,08
Como utilizar a tabela de Coeficiente Z
Exemplos: Na tabela seguinte, encontre a probabilidade correspondente aos seguintes valores do coeficiente Z.
Z = 1,28 >> é o mesmo que 1,2 + 0,08
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Como utilizar a tabela de Coeficiente Z
Exemplos: Na tabela seguinte, encontre a probabilidade correspondente aos seguintes valores do coeficiente Z.
Z = - 0,67
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O valor negativo de z nos indica que a área se localiza à esquerda da linha da média no gráfico da curva normal.
Como utilizar a tabela de Coeficiente Z
Exemplos: Na tabela seguinte, encontre a probabilidade correspondente aos seguintes valores do coeficiente Z.
Z = 1,28 >> é o mesmo que 1,2 + 0,08
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Como utilizar a tabela de Coeficiente Z
Exemplos: Na tabela seguinte, encontre a probabilidade correspondente aos seguintes valores do coeficiente Z.
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Z= 0,15
Z= 0,29
Z= - 0,36
Z= 0,51
Z= 1,11
Z= 1,01
Z= - 1,26
Z= 1,31
Z= 1,40
Z= 0,00
Z= 0,01
Z= 1,35
Z= - 1,46
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Aplicações da distribuição normal
O peso médio de um grupo de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determine o número esperado de estudantes desse grupo que pesam:
a) Entre 60 e 77,5 kg
b) Entre 81,2 e 86 kg
Solução: As medidas dos pesos X1 = 60 e X2 = 77,5 correspondem às seguintes unidades (z): 
Z1 = 
Z1 = = Z1 = - 2,07
Z2 = = Z2 = 0,27
Valor correspondente na Tabela 01 0,4808 (48,08%) 
Valor correspondente na Tabela 01 0,1064 (10,64%) 
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Aplicações da distribuição normal
O peso médio de um grupo de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determine o numero esperado de estudantes desse grupo que pesam:
O valor da área de probabilidade é: 0,4808 + 0,1064 = 0,5872 (58,72%), ou seja, esperamos que 58,72% desses estudantes tenham o peso compreendido entre 60 e 77,5 kg. Portanto, o número esperado de estudantes desse grupo é de: 500 *0,5872 = 293,6 = 294 estudantes 
IMPORTANTE
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Aplicações da distribuição normal
O peso médio de um grupo de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determine o numero esperado de estudantes desse grupo que pesam:
c) Acima de 83,7 kg
Solução: A medida do peso X1 = 83,7 correspondem às seguintes unidades (z): 
Z1 = 
Z1 = = Z1 = 1,09
Valor correspondente na Tabela 01 0,3621 (36,21%) 
Acima de 79 kg
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Aplicações da distribuição normal
50%
50%
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Aplicações da distribuição normal
Logo, a área de probabilidade é de 0,5 (50%) – 0,3621 = 0,1379 (13,79%). Portanto, o número esperado é de 500*0,1379 = 68,95 = 69 estudantes 
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Aplicações da distribuição normal
O peso médio de um grupo de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determine o numero esperado de estudantes desse grupo que pesam:
c) Acima de 69 kg
Solução: A medida do peso X1 = 69 correspondem às seguintes unidades (z): 
Z1 = 
Z1 = = Z1 = - 0,87
Valor correspondente na Tabela 01 0,3078 (30,78%) 
Acima de 58,6 kg
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Aplicações da distribuição normal
Logo, a área de probabilidade é de 0,5 (50%) + 0,3078 = 0,8078 (80,78%). Portanto, o número esperado é de 500*0,8078 = 403,9 = 404 estudantes 
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Aplicações da distribuição normal
O peso médio de um grupo de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determine o numero esperado de estudantes desse grupo que pesam:
c) Inferior a 85,6 kg
Solução: A medidas do peso X1 = 85,6 correspondem às seguintes unidades (z): 
Z1 = 
Z1 = = Z1 = 1,35
Valor correspondente na Tabela 01 0,4115 (41,15%) 
Inferior a 72,8 kg
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Aplicações da distribuição normal
Logo, a área de probabilidade é de 0,5 (50%) + 0,4115 = 0,9115 (91,15%). Portanto, onúmero esperado é de 500*0,9115 = 455,17 = 456 estudantes 
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atividade
Uma aluna do curso de psicologia está desenvolvendo uma pesquisa sobre a compulsão alimentar em adultos isolados durante a pandemia. A coleta de dados se deu por meio de entrevista com auxilio de questionários misto, ou seja com questões aberta e fechadas. A partir dos dados, foram calculados o tempo médio necessário para que cada entrevistado pudesse responder a pesquisa. O tempo médio foi de 35 minutos com um desvio padrão de 2,89 minutos.
Sorteando-se um entrevistado ao acaso, qual é a probabilidade dele terminar de responder ao questionário:
Antes de 20 minutos 
Entre 15 e 25 minutos
Após o tempo médio 
Após 40 minutos
Z00,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0
0,1
0,2
.
.
.
1,1
1,20,3997
1,3
Z00,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,60,2486
0,7