Apostila_nivelamento_2022 - DEFINITIVA

Prévia do material em texto

1 
 
CAPÍTULO 
01 SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
 
 
No dia a dia, os números aparecem em muitas situações. Mas nem sempre eles foram escritos da forma como os 
conhecemos. 
Os números que usamos fazem parte do sistema de numeração indo-arábico, que você estudará ainda nesta aula. 
Em várias situações do cotidiano, os números são usados para representar a quantidade de passageiros de um 
veículo, expressar medidas (de tempo, de massa, de velocidade), formar um código, senhas bancárias, números de 
CPF e RG. Além disso os números também expressam a ordem de determinados elementos (como a ordem do 
banco de um carro, uma fila bancária ou de um atendimento médico. 
 
1. Número e numeral 
 
Número é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. Numeral é toda 
representação de um número, seja ela escrita, falada ou digitada. Para representar um número, podemos utilizar 
diferentes numerais. 
 
Os números naturais podem ser usados para contar, ordenar ou codificar. Algumas vezes indicam medidas, mas 
nem toda medida pode ser expressa por um número natural. 
 
2. Sequência dos números naturais 
 
A sequência dos números naturais é: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...) 
Observe que o primeiro termo dessa sequência é o zero; para determinar um termo seguinte qualquer, basta 
adicionar 1 ao termo imediatamente anterior. Como haverá sempre o próximo termo, a sequência dos números 
naturais é infinita. Esse fato é indicado por reticências (...). 
Agrupando todos os números dessa sequência em um conjunto, obtemos o conjunto dos números naturais, que 
indicamos por Ν. 
 
𝚴 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
Partindo desse conceito acima, podemos exemplos como: 
 Conjunto dos naturais impares {1,3,5,7,9........} 
 Conjunto dos múltiplos de 5 {5,10,15,20,25.......} 
 
3. Sucessor e antecessor de um número natural 
 
Na sequência dos números naturais, o número que vem imediatamente antes de outro é chamado antecessor, e 
o número que vem imediatamente depois é chamado sucessor. 
 
Observe a sequência de números: 
 
(7,8,9,10,11,12,13..........21,22,23,24,25,26................) 
 
Observando os três números em destaque (22,23,24) perceba que o número 22 vem antes do número 23, portanto 
22 é antecessor de 23 e o número 24 vem depois do número 23 portanto 24 é sucessor de 23. 
Logo que sucede 23 é o número 24 e quem antecede 23 é o número 22. 
 
IMPORTANTE: 
saber também que 22,23 e 24 são números consecutivos pois estão escritos um após o 
outro. 
 
 
 
 
 
 
 
2 
4. Números pares e números ímpares 
 
Os números são considerados pares e ímpares quando são NATURAIS e seguem uma sequência de duas unidades 
consecutivas. Veja: 
 
Sequência dos números naturais pares: 
 
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... 
 
Sequência dos números naturais ímpares: 
 
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ... 
 
5. A reta numérica e os números naturais 
 
Podemos representar a sequência dos números naturais em uma linha chamada de reta numérica 
 
1º passo: Traçamos uma reta e marcamos o ponto O (origem). 
 
 
2º passo: À direita de O, marcamos pontos consecutivos com a mesma distância entre eles, determinando os pontos 
A, B, C, D, … 
 
 
3º passo: Aos pontos O, A, B, C, D, …, fazemos corresponder os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, ..., respectivamente. 
 
 
Assim, estabelecemos uma correspondência entre os números naturais e os pontos marcados na reta. 
 
Com isso temos a noção de números maiores e menos que outros de acordo com a posição deles na terá. Observe: 
4 > 3 (quatro é maior que três pois está à direita do três) 
2 < 5 (dois é menor que cinco pois está à esquerda do cinco) 
 
OBSERVAÇÃO: 
Se os números seguirem no sentido da direita eles vão aumentando e consequentemente se 
vão para o sentido da esquerda ele diminuem. 
 
 
6.Sistema de numeração decimal (indo-arábico) 
 
Um dos sistemas de numeração criados na Antiguidade predominou sobre os outros: o sistema de numeração indo-
arábico, desenvolvido pelos antigos habitantes do vale do rio Indo e difundido, séculos depois, pelos árabes. 
A representação simplificada de quantidades e a possibilidade de usar essa representação em cálculos foram, 
provavelmente, os motivos do sucesso duradouro desse sistema. 
São empregados apenas dez símbolos — denominados algarismos — para representar qualquer número: 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
 
 
 
3 
 
1. É um sistema decimal: contamos quantidades formando grupos de 10 
 
 
2. É um sistema posicional: o valor de cada algarismo depende de sua posição na representação do número. 
O mesmo algarismo em diferentes posições assume valores distintos. 
 
 
Importante saber que há um símbolo que representa o zero. Nesse sistema, o símbolo zero representa a 
ausência de quantidade, indicando que não há agrupamento de 10 naquela posição 
 
Leitura de números do sistema decima (indo-arábicos) 
 
No sistema de numeração indo-arábico, determinados agrupamentos de 10 recebem nomes especiais. 
• Agrupando 10 unidades, temos 1 dezena 10 unidades 
• Agrupando 10 dezenas, temos 1 centena 100 unidades 
• Agrupando 10 centenas, temos 1 unidade de milhar 1.000 unidades 
• Agrupando 10 unidades de milhar, temos 1 dezena de milhar 10.000 unidades 
• Agrupando 10 dezenas de milhar, temos 1 centena de milhar 100.000 unidades 
• Agrupando 10 centenas de milhar, temos 1 unidade de milhão 1.000.000 de unidades 
 
Vamos considerar, por exemplo, o número 8 515 767, que corresponde, aproximadamente, à medida da superfície 
do Brasil em quilômetro quadrado. Podemos representá-lo: 
• com algarismos: 8 515 767; 
• com palavras: oito milhões, quinhentos e quinze mil, setecentos e sessenta e sete; 
• com algarismos e palavras: 8 milhões, 515 mil e 767; 
• por meio da decomposição: 
8 000 000 + 500 000 + 10 000 + 5 000 + 700 + 60 + 7 ou 8 . 1 000 000 + 5 . 100 000 + 1 . 10 000 + 5 . 1 000 + 7 
. 100 + 6 .10 + 7.1. 
 
Para facilitar a leitura, agrupamos três ordens por vez, da direita para a esquerda, formando uma classe. Ordens 
e classes podem ser organizadas em um quadro 
 
Alguns exemplos: 
 
Setenta e três mil, seiscentos e oitenta e dois 
 
 
Dois bilhões, treze milhões, quinhentos e seis 
 
 
 
4 
 
 
01. Qualquer número de quatro dígitos, em que os dígitos das unidades é igual ao das centenas, e o dígito das 
dezenas é igual ao dos milhares, é divisível por: 
a) 83 
b) 87 
c) 89 
d) 97 
e) 101 
 
02. Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses algarismos é 6 e que subtraindo 36 unidades 
do número, ele fica escrito em ordem inversa. 
a) 15 
b) 31 
c) 41 
d) 51 
e) 13 
 
03. Um número é formado de dois algarismos cuja soma é 10. Somando 54 ao número, ele fica escrito em ordem 
inversa. Calcule esse número. 
a) 12 
b) 21 
c) 28 
d) 82 
e) 46 
 
04. Considere um número com três dígitos, abc, representado no sistema de numeração decimal e com 
a > c e c  0. Faça a diferença entre abc e o número obtido de abc permutando os dígitos a e c. Em seguida, 
permute o dígito das unidades com o das centenas da diferença e adicione o valor encontrado à diferença. Qual 
o valor da soma? 
a) 1089 
b) 1098 
c) 1890 
d) 1809 
e) 1980 
 
05. Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido 
invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo 
das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é? 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
06. A soma do algarismo das dezenas e dos algarismos das unidades de um número é 15; se ao número se subtrai 
9, os algarismos se invertem. Determinar o número. 
a) 78 
b) 87 
c) 56 
d) 65 
e) 98 
 
07. Um número é formado de dois algarismos cuja soma é 10. Somando-se 54 ao número, ele fica escrito em ordem 
inversa. Qual o número? 
a) 28 
b) 38 
c) 28 
d) 82e) 92 
Exercitando 
 
 
5 
08. A soma dos dois algarismos de um número é 15. Invertendo-se a ordem destes algarismos, formam-se um 
segundo número que vale 23/32 do primeiro. Calcule esse número. 
a) 96 
b) 86 
c) 69 
d) 56 
e) 46 
 
09. Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 3. Escrevendo-se o número em ordem inversa, 
obtêm-se 4/7 do numero dado. Calcule esse número. 
a) 36 
b) 46 
c) 53 
d) 63 
e) 83 
 
10. Um número primo e positivo é formado por 2 algarismos não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um 
zero, o número ficará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, a soma desses 2 algarismos pode ser: 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 9 
e) 10 
 
11. Após muito tempo de uso, o celular de Eduarda foi infectado por um vírus que altera os números de telefone 
guardados por meio de duas situações diferentes: 
 
X – Escreve o número de trás para a frente. 
Y – Troca as posições do segundo e do terceiro algarismo. 
 
Por exemplo, se o vírus aplicar a operação X ao número 12345678, obtém-se 87654321 e se, em seguida, aplicar 
a operação Y, obtém-se o número 86754321. 
Eduarda quer ligar para Bruna a fim de convidá-la para uma festa, mas o número 43215678 foi alterado pelo 
vírus, usando a sequência de métodos XYXYX. Qual é o verdadeiro número do telefone da Bruna ? 
 
a) 87651234 
b) 86751234 
c) 86751324 
d) 43215768 
e) 42315768 
 
12. Durante a Segunda Guerra Mundial, o exército alemão utilizava a chamada Máquina 
Enigma para codificar suas mensagens e impedir a sua interceptação pelos aliados A 
Enigma consistia basicamente de um teclado com 26 letras, um quadro com 26 lâmpadas 
e um dispositivo com 3 rotores (denominado scrambler). Cada tecla e cada lâmpada 
eram conectadas por 26 fios, e os rotores moviam-se de modo Independente de modo a 
produzirem uma correspondência entre a letra original e a letra cifrada. Cada comandante 
a alemão possuía um livro de códigos, com a sequência adequada para decodificar a 
mensagem. 
Suponha que os aliados tenham interceptado um trecho de um livro de códigos da 
Máquina Enigma, conforme figura a seguir: 
 
Letra original A E S O T R I P U 
Letra cifrada D T U X R A E Q J 
 
De acordo com o padrão, a palavra crifrada "RAXQDU' foi decodificada como 
a) TROPAS. 
b) TRATOS. 
c) TROCAS 
d) ADOPAS. 
e) RASTRO. 
 
 
 
6 
13. (ENEM/2021) O sistema de numeração romano ainda é utilizado na indicação de capitulos e volumes de livros, 
na designação de séculos e, em ordem cronológica, de papas e reis de mesmo nome. São utilizadas sete letras 
do alfabeto: 
Quatro fundamentais: I (vale 1); X (vale 10); C (vale 100) e M (vale 1 000). 
Três secundárias: V (vale 5); L (vale 50) e D (vale 500). 
 
As regras para escrever números romanos são: 
 
1. Não existe símbolo correspondente ao zero; 
2. Os símbolos fundamentais podem ser repetidos até três vezes e seus valores são adicionados. 
Exemplo: XXX = 30; 
3. Uma letra posta à esquerda de outra de maior valor indica subtração dos respectivos valores. 
Exemplo: IX = 10 – 1 = 9; 
4. Uma letra posta à direita de outra de maior valor indica adição dos respectivos valores. 
Exemplo: XI = 10 + 1 = 11. 
 
Em uma cidade europeia há uma placa indicando o ano de sua fundação: MCDLXIX. 
 
Quantos anos de fundação essa cidade comemorará em 2050? 
a) 379 
b) 381 
c) 579 
d) 581 
e) 601 
 
 
14. O sistema de numeração egípcio utilizava os seguintes símbolos para representação. 
 
Desse modo, a representação 
 
Corresponde ao número 
a) 315. 
b) 3 015. 
c) 3 105. 
d) 30 005. 
e) 30 015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
15. (ENEM) Embora a civilização maia já estivesse em declínio na época da chegada dos espanhóis à América, seu 
desenvolvimento em vários campos da ciência, em especial, na matemática e na astronomia, era notável. Eles 
possuíam um sistema numérico avançado e diferente do sistema decimal utilizado pelas sociedades modernas. 
A imagem representa o sistema de numeração maia, que consistia em 20 símbolos representando os números 
de 0 a 19. 
 
IMENES,L.M.P. O números na história da civilização. São Paulo: Editora Scipione,2003. 
 
O zero era representado por uma espécie de tigela e todo número inteiro entre 19 e 360 era escrito em uma 
coluna vertical com duas figuras, na qual a superior representava a quantidade de grupos de 20 unidades e a 
inferior, a quantidade de unidades. O número era lido de cima para baixo e obtido somando-se as quantidades 
representadas. Por exemplo: 
 
 
O número 359 é representado, no sistema de numeração maia, como 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
16. Juliana, professora do 7º ano do Colégio Militar do Rio de Janeiro, 
deixou no quadro de uma de suas turmas o seguinte exercício: 
Sobre o valor encontrado, é correto afirmar que se trata de um 
número 
a) ímpar e múltiplo de 5. 
b) par e divisível por 11. 
c) par e múltiplo de 3. 
d) divisível por 9. 
e) primo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
17. Não é difícil confundir dois números grandes formados pelos mesmos algarismos, mas que estejam em ordens 
diferentes; principalmente quando começam pelo mesmo algarismo, como 263 e 236. Imagine um caminhoneiro 
que, viajando por uma rodovia federal, deve acessar a saída do quilômetro XYZ, mas que, por distração, acaba 
por acessar outra saída, no quilômetro XZY, da mesma rodovia. 
 
Nessa situação, a maior distância possível entre a saída correta e a saída incorreta seria de 
a) 9 km 
b) 36 km 
c) 55 km 
d) 74 km 
e) 81 km 
 
18. (ENEM) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades 
e representar números utilizando um sistema de numeração decimal 
posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus.. O 
quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as 
demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas de 
diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua 
posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. 
Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para 
representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O 
número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é 
a) 364. 
b) 463. 
c) 3 064. 
d) 3 640. 
e) 4 603. 
 
 
WhatsApp tem 29 milhões de mensagens enviadas a cada minuto, indica pesquisa 
 
19. Um novo levantamento realizado pelo CED (Centro Economia Digitale) mostrou a quantidade de mensagens 
trocadas no mundo pelo WhatsApp. De acordo com a pesquisa, ao todo, são 29 milhões de recados enviados a 
cada 60 segundos no aplicativo. 
Tudo celular, 13 nov. 2018. Disponível em: <https://www.tudocelular.com>. Acesso em: 5 jun. 2020. 
 
Considere que, ao longo de um determinado dia completo, foram enviadas 42 572 385 446 mensagens nesse 
aplicativo. Qual é a ordem do algarismo 7 no número de mensagens enviadas nesse dia? 
 
a) Dezena de milhar 
b) Unidade de milhão 
c) Dezena de milhão 
d) Unidade de bilhão 
e) Dezena de bilhão 
 
 
20. João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao 
Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele 
anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 
1 3 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas 
informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de 
a) centena. 
b) dezena de milhar. 
c) centena de milhar. 
d) milhão. 
e) centena de milhão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Como utilizar a tabela de medidas em três passos simples 
 
I. Esteja de roupas leves no momento da medição; 
II. Com o corpo ereto, meça com fita métrica, sem apertar, o busto, a cintura e o quadril;III. Compare suas medidas com a tabela a seguir. 
 
 
 
21. Seguindo a orientação do texto, uma mulher mediu o seu busto, a sua cintura e o seu quadril, observando que 
os três medem 19 cm a mais do que uma mulher de manequim PP. Assim, o manequim dela se enquadra, 
segundo a tabela, em 
a) P. 
b) M. 
c) G. 
d) GG. 
e) XGG. 
 
22. O alfabeto grego clássico possui 27 letras e foi associado a números para facilitar sua representação. 
 
 
 
Essas formas são familiares nos dias de hoje, e fica fácil entender suas operações. Para os primeiros 999 
números, bastam os símbolos acima. Mas, para números até 9.999, foram usadas as mesmas letras, 
precedidas de um risco ou acento, conforme a figura: 
 
O número 8.888, por exemplo, apareceria como ,η ω π η. O resultado da operação 
 
pode ser representado por: 
a) γ υ ι δ. 
b) β φ µ ζ. 
c) γ φ ι δ. 
d) γ υ µ ζ. 
e) β υ ι δ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
23. Observe a tabela abaixo: 
 
Diferentes representações numéricas fazem parte da história e, a cada ano que passa, descobrem-se mais 
indícios sobre outras representações. A tabela acima foi traduzida por cientistas depois de anos de estudos 
locais. De acordo com o sistema de numeração apresentado, o número 842 pode ser representado por 
a)  
b)  
c)  
d)  
e)  
 
24. Um estudo feito pela Universidade Federal do Rio de Janeiro mostrou que idosos que praticam ginástica cerebral 
têm ganho de 9% em memória e aprendizado verbal em relação aos demais. Segundo Antônio Carlos Perpétuo, 
nunca é tarde para exercitar o cérebro, e os benefícios duram para o resto da vida. Contudo, é importante ter 
prazer na atividade e manter a motivação. 
Globo. Disponível em: <https://extra.globo.com/>. Acesso em: 16 jan. 2019. 
 
Ciente da importância de exercitar o cérebro na terceira idade, um professor aposentado comprou um livro de 
Matemática que, entre diversas questões, apresentava o seguinte problema: 
“Ao subtrair de um número de dois algarismos distintos outro número formado com os mesmos dois algarismos 
do número anterior, porém em posições invertidas, o resultado é sempre divisível por x.” 
 
Desse modo, no problema apresentado, o valor de x é igual a 
a) 2. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
e) 19. 
 
 
25. Em uma atividade com sua turma, um professor utilizou 64 cartões, cada um com dois algarismos x e y, iguais 
ou distintos, pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A imagem abaixo representa um tipo desse cartão. 
 
Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as seguintes operações em sequência: 
I. multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5; 
II. acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I; 
III. multiplicou o total obtido em II por 2; 
IV. somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III. 
 
Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73. 
O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja soma x y é: 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 15 
 
 
 
11 
26. (ENEM) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação 
posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser 
apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas 
em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal 
e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste 
representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos 
abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que 
correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, 
unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre 
começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do 
número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para 
esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não 
seguiram a disposição usual. Nessa disposição, o número que está representado na figura é 
a) 46.171 
b) 147.016 
c) 171.064 
d) 460.171 
e) 610.741 
 
27. O número irracional mais famoso da Matemática, tendo até um dia em sua homenagem, é o “pi”, que tem 
representação infinita e é, aproximadamente, igual a 
 
Para comemorar o dia do “pi”, um professor fez uma brincadeira em sala de aula pedindo que cinco alunos 
escrevessem um número na lousa, sendo que o primeiro aluno deveria escrever o número “pi” e os demais 
deveriam escrever números reais distintos dos que já haviam sido escritos. Em seguida, os alunos deveriam 
determinar a ordem crescente dos cinco números, vencendo aquele que o fizesse em menor tempo. Os números 
escritos por cinco alunos dessa turma são vistos na tabela a seguir 
 
Considerando a tabela, qual sequência o aluno vencedor disse? 
a) EDBCA 
b) EDCBA 
c) ECBDA 
d) EDCAB 
e) EDBCA 
 
28. Considere os símbolos , e como operações matemáticas básicas, e 
as seguintes igualdades: 
 
Sendo assim, assinale o número que corresponde ao resultado da expressão 
 
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
29. (FUVEST 2021/1º FASE) O quadrinho aborda o tema de números primos, sobre os quais é correto afirmar: 
 
 
a) Todos os números primos são ímpares. 
b) Existem, no máximo, 7 trilhões de números primos. 
c) Todo número da forma 2n + 1, n ∈ , é primo. 
d) Entre 24 e 36, existem somente 2 números primos. 
e) O número do quadrinho, 143, é um número primo. 
 
Como decifrar um cartão de crédito? 
 
30. Um jeito simples para tentar evitar falcatruas e clonagens é prestar atenção aos dados impressos no plástico. 
Assim como notas de dinheiro legítimas contêm marcas-d’água e letras minúsculas que só podem ser 
identificadas com lupa, cartões também vêm com informações para provar sua autenticidade. Confira, a seguir, 
que o dígito verificador, o último dígito, mostrará – por meio de uma fórmula – se o número do cartão é verdadeiro. 
Este exemplo foi realizado com um cartão de números 4417 1234 5678 9113. 
 
 
Um lojista se depara com um cartão que contém números muito suspeitos de ser uma fraude. Com as 
informações da reportagem, ele decide fazer o teste. O número do cartão suspeito, sem o dígito verificador, é 
5555 1234 1111 567_. Para ser um cartão verdadeiro, o número verificador desse cartão deve ser 
a) 0. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 6. 
e) 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
31. Em um jogo de casais, um dos cônjuges é escolhido para descrever o caminho que o outro deve seguir até a 
saída de um labirinto. O primeiro casal a realizar a prova conseguiu cumprir o desafio, sem cometer erros no 
percurso. O caminho descrito pelo marido, considerando o sentido de quem está no labirinto, foi o seguinte: 
1. Siga em frente; 
2. Vire a primeira à esquerda, três vezes; 
3. Vire a primeira à direita, três vezes; 
4. Vire a primeira à esquerda, três vezes; 
5. Vire a primeira à direita, quatro vezes; 
6. Vire a primeira à esquerda, depois à direita; 
7. Vire a primeira à esquerda, duas vezes; 
8. Vire a primeira à direita e encontre a saída. 
 
O labirinto que a esposa seguiu, com as instruções dadas pelo marido, foi 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
32. Observe alguns exemplos de números escritos no antigo sistema de numeração da China, que era decimal e 
posicional: 
 
 
Tal sistema apresentava obstáculos associados a possíveis ambiguidades. Por exemplo, mesmo sem considerar 
números que, no nosso sistema, teriam algarismo zero na sua representação, II pode ser interpretado como os 
números 2 ou 11. Da mesma forma, IIII pode ser interpretado como oito números diferentes, cuja soma é 
a) 665 
b) 669 
c) 981 
d) 1625 
e) 1669 
 
 
 
14 
33. (FUVEST 2021/1º FASE) O sistema de numeração conhecido como chinês científico (ou em barras) surgiu 
provavelmente há mais de dois milênios. O sistema é essencialmente posicional, de base 10, com o primeiro 
algarismo à direita representando a unidade. A primeira linha horizontal de símbolos da figura mostra como se 
representam os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quando aparecemem posições ímpares (unidades, centenas 
etc.), e a segunda linha quando tais algarismos aparecem em posições pares (dezenas, milhares etc.). Nesse 
sistema, passou-se a usar um círculo para representar o algarismo zero a partir da Dinastia Sung (960-1126). 
 
 
Assinale a alternativa que representa o número 91625 nesse sistema de numeração. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
34. O sistema de numeração indo-arábico é formado por apenas 10 símbolos, conhecidos como algarismos: 
 
Uma diferença entre esse sistema e o romano, por exemplo, é que ele é um sistema de valor posicional. Isso 
quer dizer que o mesmo símbolo pode ser usado para representar quantidades diferentes, a depender da posição 
do símbolo (ou algarismo). 
Observe a situação a seguir. 
 
 
Usando apenas algarismos ímpares, temos os números M e N, de modo que: 
- M é o maior número de 5 algarismos diferentes. 
- N é o menor número de 5 algarismos diferentes. 
 
O algarismo 7 ocupa posições diferentes em M e N. 
A quantidade de unidades deste algarismo em M menos a quantidade de unidades 
deste algarismo em N resulta no número K. 
 
 
Assinale a opção que representa a quinta parte do número K escrita no sistema de numeração romano. 
a) VICMXIII 
b) VICMXXX 
c) VICCCXXVI 
d) MCCCLXXXVI 
e) MCLXXX 
 
 
 
 
15 
35. O triângulo abaixo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas 
propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal. O triângulo de Pascal (alguns países, 
nomeadamente na França, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é estudado em matemática dentro de 
um conteúdo chamado BINÔMIO DE NEWTON e segue um padrão de construção. Uma dica para construir tal 
triângulo é perceber que cada linha começa e termina pelo número 1 e a partir linha 2 (o triângulo começa com 
linha zero) o número central é igual à soma dos dois números imediatamente acima dele. 
Observe o triângulo no qual alguns números, compostos em hexágonos, foram colocados. A escrita desses 
números obedece a um determinado padrão. Considerando isso, qual o valor da adição x + y + z + w + t? 
 
 
a) 22 
b) 26 
c) 28 
d) 29 
e) 30 
 
 
 
GABARITO 
01. A 02. D 03. C 04. A 05. C 06. B 07. A 08. A 09. D 10. B 
11. C 12. A 13. D 14. B 15. E 16. A 17. E 18. C 19. C 20. C 
21. C 22. A 23. D 24. B 25. D 26. D 27. D 28. B 29. D 30. B 
31 D 32. D 33. A 34. D 35. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Yang_Hui
https://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7a
 
 
16 
 
CAPÍTULO 
02 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
 
1. Potenciação 
 
A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou 
seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes. 
 
Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação: 
 
Sendo a ≠ 0, temos: 
a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo) 
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado) 
Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao 
cubo), tem-se: 
23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8 
Sendo, 
2: Base 
3: Expoente 
8: Potência (resultado do produto) 
 
1.1 Propriedades das potências com expoentes inteiros 
 
Vamos prosseguir nosso estudo indicando simbolicamente as propriedades do cálculo com 
potências de expoente inteiro e base real não nula 
 
1.2 Produto de potências de mesma base 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
1.3 Quociente de potências de mesma base 
 
 
 
 
1.4 Potência de potência 
 
 
 
 
 
1.5 Potência de um produto ou de um quociente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
O expoente é um número inteiro negativo, com base não nula 
 
 
 
 
 
 
Notação científica 
 
A notação científica fornece uma ideia clara da ordem de grandeza (bilhões, milhões, milésimos etc.), fundamental 
para trabalhar com números “muito grandes” ou “muito pequenos”. 
A ordem de grandeza é dada pela potência de 10. 
Os números, em notação científica, são escritos como produto de dois fatores, em que um deles é uma potência 
de 10 com expoente inteiro (positivo ou negativo), e o outro, um número igual a 1 ou maior que 1 e menor que 10. 
 
Observe os exemplos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
19 
2. Radiciação 
 
Radiciação é a forma de conhecermos a raiz de um determinado número. Sendo um tipo de representação de 
expoentes fracionários. 
Para entender radiciação é necessário entender também potenciação, que é ao inverso da radiciação. 
 
Definição 
Seja a um número real não negativo e n um número natural, com n ≥ 1, chamamos de raiz enésima de a se, e 
somente se, o número real x, não negativo, elevado ao expoente n, resulta em a, tal que xn = a. 
Representação da radiciação 
Para representarmos radicais utilizamos o símbolo √ chamado de radical. Dessa forma, 
 
Onde n é o índice da raiz, a é o radicando e b a raiz. Leia-se: raiz enésima de a é igual a b. 
 
 
Exemplo: 
 
(Leia-se: raiz cúbica de 27 é igual a 3) 
 
 
(Leia-se: raiz quadrada de 16 é igual a 4), quando não aparece o índice consideramos esse índice igual a 2. 
 
 
(Leia-se: raiz quarta de 81 é igual a 3) 
Pela definição ocorre que 
 
para qualquer a ≥ 0 
 
 
2.1 Determinação da raiz enésima de um número real 
 
Na determinação da raiz enésima de um número real a, ou seja, n a , podem ocorrer os casos 
a seguir. 
 
1º caso: a > 0 e o índice n é um número natural, maior ou igual a 2 
 
 
 
https://matematicabasica.net/potenciacao/
 
 
20 
 
 2º caso: a < 0 e o índice n é um número natural ímpar, maior que 2. 
 
 
 
 
3o caso: a < 0 e o índice n é um número natural par diferente de zero. 
 
 
 
 
 
2.2 Propriedades dos radicais 
 
1a propriedade 
 
Observe as igualdades: 
 
√𝟖
𝟑
 = 2 e 8 = 𝟐𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
2a propriedade 
 
 Observe as igualdades: 
 
 
 
 
 
 
3a propriedade 
 
Observe as igualdades: 
 
 
 
 
 
 
4a propriedade 
 
Observe as igualdades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
01. Qual das alternativas abaixo contém o maior número? 
a) 2436 
b) 2710 
c) 915 
d) 331 
e) 33
3
 
 
02. Calcule o valor da expressão numérica 
12
3 2
1
323
2
62
1002364
 









 
a) 
4
1
 
b) 3 
c) 36 
d) 193 
e) 1912 
 
03. Um ano-luz é equivalente à distância percorrida pela luz, no vácuo, em um ano. Esta demora apenas um segundo 
para ir da Terra até a Lua e oito minutos para ir da Terra até o Sol. A velocidade da luz é de, aproximadamente, 
300.000 km/s no vácuo, ou seja, a luz percorre 300.000 km em apenas um segundo. Considerando que um ano 
possui 31.536.000 segundos, pode-se concluir corretamente que um ano-luz equivale a 
a) 9,46 · 108 km. 
b) 9,46 · 109 km. 
c) 9,46 · 1010 km. 
d) 9,46 · 1011 km. 
e) 9,46 · 1012 km 
 
04. (ENEM/2021) Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para 
uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é 
comumente representada pela letra grega ,φ e seu valor é dado pela solução positiva da equação 2 1.φ φ  
Assim como a potência 2,φ as potências superiores de w podem ser expressas da forma a b,φ em que a e b 
são inteiros positivos, como apresentado no quadro. 
 
2φ 3φ 4φ 5φ 6φ 7φ 
1φ  2 1φ  3 2φ 5 3φ 8 5φ ... 
 
A potência 7,φ escrita na forma a bφ (a e b são inteiros positivos), é 
a) 5 3φ 
b) 7 2φ 
c) 9 6φ 
d) 11 7φ 
e) 13 8φ 
 
05. Qual o valor de 2733 + 2733 + 2733, é: 
a) 2799 
b) 399 
c) 966 
d) 8133 
e) 3100 
Exercitando em Aula 
 
 
23 
 
06. (ENEM DIGITAL) Se a tartaruga, a lesma e o caramujo apostassem uma corrida, a lesma chegaria em último 
lugar, o penúltimo colocado seria o caramujo e a primeira seria a tartaruga. Segundo o biólogo americano BranleyAllan Branson, a velocidade “recorde” já registrada em pesquisas, por uma lesma, é de 16,5 centímetros por 
minuto. 
Disponível em: http://mundoestranho.abril.com.br. Acesso em: 6 jul. 2015. 
 
Para uma reportagem, dispondo das velocidades recordes da tartaruga e do caramujo em metro por segundo, 
se faz necessário saber o fator de conversão da velocidade recorde da lesma para metro por segundo para 
divulgar uma comparação. Com base nas informações, o fator de conversão da velocidade recorde da lesma 
para metro por segundo é 
a) 10-2 × 60-2 
b) 10-2 × 60-1 
c) 10-2 × 60 
d) 10-3 × 60-1 
e) 10-3 × 60 
 
07. Se a2 = 996 , b3 = 997 e c4 = 998, então (abc)12, vale: 
a) 9912 
b) 9921/2 
c) 9928 
d) 9998 
e) 9988 
 
08. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 10 anos 
de idade, ele apresentou uma solução genial para somar os números inteiros de 1 a 100. A solução apresentada 
por Gauss foi 5050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como sugere a figura abaixo. 
 
Usando a ideia de Gauss como inspiração, responda quanto vale o produto 1 · 2 · 4 · 8 ·· 16 · 32 · 64 · 128 
a) 4129 
b) 4128 
c) 1294 
d) 1284 
e) 25620 
 
09. Leia o trecho adaptado abaixo para responder à questão. 
“A perereca-macaco-de-cera, encontrada na América do Sul e Central, é capaz de 
aguentar mais tempo no sol forte do que outras espécies de anfíbios, devido à 
secreção de cera que reduz a perda de água por evaporação, protegendo sua pele.” 
A área territorial da América Central é de, aproximadamente, 523.000 km 2 Assinale 
a alternativa que apresenta a área em notação científica 
a) 523 .102 
b) 52,3 .104 
c) 5,23 .105 
d) 523.104 
e) 5,23 .103 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
10. (ENEM/2019) O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo 
seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, 
tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco 
países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu 
um valor X, o segundo √𝑋 , o terceiro 𝑋
1
3 , o quarto X 2 e o último X 3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o 
índice máximo. 
 
Qual desses países obteve o maior IDH? 
a) O primeiro. 
b) O segundo. 
c) O terceiro. 
d) O quarto. 
e) O quinto. 
 
11. Os microprocessadores usam o sistema binário de numeração 
para tratamento de dados. 
Atualmente, o chamado Limite de Hayflick é considerado a causa 
física mais importante do envelhecimento. Em seus estudos, o Dr. 
Leonard Hayflick, pesquisador norte-americano, em 1961, 
descobriu que na espécie humana existe um número máximo de 
divisões celulares – entre 40 e 60 ciclos – que cada célula pode se 
dividir. 
Passado esse limite, a célula não se divide mais, e morre. 
Disponível em: <https://www.portaldoenvelhecimento.com.br>. Acesso em: set. 2020 (Adaptação). 
 
Sabe-se que a cada ciclo uma célula se divide em duas, no 
segundo ciclo são geradas 4 células, no terceiro 8 e assim 
sucessivamente. Dessa maneira, o dobro da razão entre a 
quantidade de células geradas no 60º e no 40º ciclos, nessa 
ordem, é dada por: 
a) 221 
b) 220 
c) 260 
d) 2100 
e) 22 400 
 
12. Estima-se que o nosso corpo seja formado por cerca de 30 trilhões de células e que abrigue, por dentro e por 
fora, cerca de 40 trilhões de bactérias. Pesquisas sobre esses micróbios progrediram de forma muito rápida nos 
últimos anos devido aos avanços no estudo dos genomas. Mais de 10 mil espécies de micróbios já foram 
identificadas vivendo no corpo humano. 
Disponível em: <www.correiobraziliense.com.br>. Acesso em: 6 out. 2020. 
 
De acordo com o texto, o número de bactérias presentes no corpo humano, em notação científica, é dado por: 
a) 3,0 . 1010 
b) 3,0 . 1013 
c) 4,0 . 1010 
d) 4,0 . 1012 
e) 4,0 . 1013 
 
13. Depois do rompimento de duas barragens em Mariana, cidade histórica de Minas Gerais, foi relatado o seguinte 
fato: 
“De acordo com o Ibama, o volume extravasado das barragens no último dia 5 foi estimado em 50 milhões de 
metros cúbicos, quantidade que encheria 20 mil piscinas olímpicas. A lama é composta principalmente por óxido 
de ferro e areia.” 
Disponível em: <http://noticias.uol.com.br>. Acesso em: 01 dez. 2016. 
 
De acordo com o texto, o volume máximo, em litros, de lama que pode ser colocado em uma piscina olímpica é 
igual a 
a) 2,5 . 103. 
b) 2,5 . 104. 
c) 2,5 . 105. 
d) 2,5 . 106. 
e) 2,5 . 107. 
 
 
25 
 
14. (ENEM/2019) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar 
no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das 
vias respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 
mm. 
Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado). 
 
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é 
a) 1,1 × 10-1 
b) 1,1 × 10-2 
c) 1,1 × 10-3 
d) 1,1 × 10-4 
e) 1,1 × 10-5 
 
15. O valor da expressão (a-1 + b-1)-2 é: 
a) 
2)( ba
ab

 
b) 
222 )( ba
ab

 
c) a2 + b2 
d) 
2
22
)( ba
ba

 
 
16. Qual é a soma dos algarismos do número 1 + 10 + 102 + 103 + ... + 102004 + 102005 + 102006? 
a) 1 
b) 10 
c) 2006 
d) 2007 
e) 20060 
 
17. Em um jogo educativo para computador chamado PotGain, o jogador ganha um ponto a cada rodada em que 
acerta a operação de potenciação indicada. O jogo funciona da seguinte forma: é fornecido um número inicial e, 
em seguida, um outro valor para ser aplicado como expoente do número anterior, usado como base da potência. 
O jogador deve digitar a resposta e, caso ela esteja correta, ele ganha um ponto, e um novo número aparece 
para ser aplicado como expoente do resultado imediatamente anterior. 
Porém, caso a resposta esteja errada, o jogo acaba. Em uma partida do jogo PotGain, considere R1, R2, R3 e 
R4 as respostas fornecidas pelo jogador a partir do número inicial -8. Considere ainda a sequência de números 
aplicados como expoentes pelo jogador, transcrita na imagem: 
 
Sabendo que o jogador obteve 4 pontos nessa partida, a sequência R1, R2, R3 e R4 informada por ele foi 
a) –2, –4, –64 e –2. 
b) –2, 4, 64 e 2. 
c) 2, 4, 64 e 2. 
d) –2, –4, –64 e 2. 
e) –2, –4, 64 e 2. 
 
18. O valor da expressão , se A > 0, é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) √𝐴 
d) 𝐴
1
3 
e) A. 
 
 
 
 
 
 
26 
19. Em um monitor colorido, cada pixel (junção dos termos em inglês picture e element) é composto por um conjunto 
de três pontos: vermelho, verde e azul. Cada um desses pontos é capaz de exibir 256 tonalidades diferentes, 
o que equivale a oito bits. Combinando as tonalidades dos três pontos, é possível exibir 
256 · 256 · 256 = 16 777 216 cores. 
 
Sendo assim, esse monitor tem capacidade para exibir 
a) 28 cores. 
b) 216 cores. 
c) 224 cores. 
d) 264 cores. 
e) 2128 cores. 
 
20. Para incentivar novas descobertas, o Clay Mathematics Institute, no ano de 2000, ofereceu um prêmio de 1 
milhão de dólares (cerca de 2,35 milhões de reais) para quem resolvesse um dos sete problemas matemáticos 
sem resposta do Prêmio Millenium. Apenas um matemático chegou ao resultado de um deles até agora. O russo 
Grigori Perelman, em 2003, encontrou e apresentou a resposta de uma hipótese intitulada Conjectura de 
Poincaré e foi agraciado com o prêmio milionário. Porém, para surpresa de todos, recusou o prêmio, assim como 
a Medalha Field – Considerado o Nobel da Matemática. 
Disponível em:<http:www.engenhariae.com.br/colunas/os-problemas-de-matematica-que-valem-1 -milhao-de-dolares/>Acesso em: 
05 dez.2014(Adaptação) 
 
Considerando as informações do texto, o matemático Grigori Perelman, ao abrir mão do prêmio oferecido pela 
sua resolução, deixou de ganhar, em reais, a quantia de: 
a) 10 x 104 
b) 10 x 105 
c) 235 x 103 
d) 235 x 104e) 235 x 105 
 
21. Atualmente, o número de Avogadro vale cerca de 6,022 ⋅ 1023 mol–1. Uma descoberta de cientistas alemães e 
belgas pode exigir que a comunidade científica mude o valor dessa constante fundamental, baseada em novas 
medidas com cristais de silício puro. Embora a diferença entre as medidas feitas pelos cientistas seja equivalente 
a apenas um centésimo de milésimo da medida oficial do número de Avogadro, ela ainda é significativa. 
Disponível em: https://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 jun. 2021. (adaptado) 
 
A significância se deve ao fato de essa diferença, em mol–1, ser equivalente a 
a) 6,022 ⋅ 1018 
b) 6,022 ⋅ 1019 
c) 6,022 ⋅ 1020 
d) 6,022 ⋅ 1021 
e) 6,022 ⋅ 1022 
22. Sendo m n 2   e 
a
2,
b
 pode-se afirmar que a expressão 
m n
m n
1 1
a a
b b
1 1
b b
a a
   
     
   
   
     
   
 é igual a 
a) 
1
2
 
b) 
1
4
 
c) 0 
d) 4 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
23. Paola estava tentando obter sua primeira habilitação e, para isso, precisaria passar por um teste psicotécnico. 
Enfrentar tal teste a deixava com muito medo, mas ela se acalmou tão logo viu a primeira questão: 
 
O teste solicitava o valor de . Qual alternativa a seguir Paola teria que marcar para acertar essa questão? 
a) 4 
b) 8 
c) 
1
4
 
d) 
1
8
 
e) 
1
16
 
 
24. O Sirius, a maior e mais complexa estrutura científica do país, é um acelerador de elétrons que promete incluir 
o Brasil na primeira divisão da pesquisa nos próximos anos. Ele é primo dos famosos aceleradores de elétrons 
europeus, como o CERN, na Suíça. Mas, ainda que sirvam para acelerar elétrons, eles são parentes distantes. 
No equipamento brasileiro, os elétrons apenas giram em círculos, dentro de um túnel de vácuo – eles dão 600 
mil voltas por segundo no percurso de 518 metros de circunferência. 
 
 
 
A velocidade média, em km/h, de um elétron acelerado no interior do Sirius é de, aproximadamente, 
a) 1,9 · 109. 
b) 1,1 · 109. 
c) 3,1 · 108. 
d) 8,6 · 107. 
e) 3,1 · 105. 
 
COMO CONVERTER METROS CÚBICOS PARA TONELADA? 
 
O metro cúbico é uma unidade de medida de volume que é representado pelo símbolo m³ e 
equivale ao volume de um cubo com 1 metro de aresta, enquanto a tonelada é uma unidade de 
medida de massa que é aceita pelo Sistema Internacional de Unidades e é simbolizada pela letra 
t. Cada tonelada equivale a 1.000kg. Tendo em conta que se pretende converter uma unidade 
de massa em uma unidade de volume, a conversão só é possível se conhecermos a densidade do material que 
pretendemos converter. 
 
A densidade de massa de um objeto pode ser calculada da seguinte forma: a sua massa m dividida pelo seu volume 
V. Habitualmente, utiliza-se o símbolo grego ρ para representar a densidade. Resumindo, a fórmula da densidade 
é 
m
.
V
ρ  
NUNES, Vitor. Como converter metros cúbicos para tonelada? Matemática.PT. Disponível em:< https://www.matematica.pt/faq/converter-
metro-tonelada.php>. Acesso em: 20 out. 2019 (adaptado). 
 
 
28 
 
25. No domingo, 20 de outubro deste ano, a Marinha informou que haviam sido retirados em torno de 600 toneladas 
de resíduos das praias brasileiras atingidas pelo derramamento de óleo. 
Considerando que a densidade do petróleo é de, aproximadamente, 30,8 g cm , o volume, em 3cm , referente a 
essa quantidade de petróleo é igual a 
a) 750 bilhões. 
b) 75 milhões. 
c) 75 mil. 
d) 750 mil. 
e) 750 milhões. 
 
26) (FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação 2x+3 + 2x+1 = 5y+3 + 3 . 5y. 
Então, x- y vale: 
a) 8 
b) 5 
c) 9 
d) 6 
e) 7 
 
27. Calculando o valor da expressão encontraremos: 
a) √
1
𝑎
6
 
b) 4.a-1 
c) a-1 
d) √𝑎
8
 
e) √𝑎−1 
 
28. Para uma festa surpresa, os alunos de Matemática do professor Marconi mandaram confeitar um bolo com a 
seguinte mensagem: 
Parabéns, professor, pelos seus 
 
Marconi se emocionou com a singela homenagem, afinal, ele comemorava 
a) 64 anos 
b) 40 anos 
c) 36 anos 
d) 32 anos 
e) 20 anos 
29. Resolvendo a expressão 
 
1023333333333
2,7
0
5
12
3
2
1
88888
1331,1






















 encontra-se: 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
29 
30. (ENEM) O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito 
grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, 
o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol. 
Quantos algarismos tem um gugolplex? 
a) 100 
b) 101 
c) 10100 
d) 10100 + 1 
e) 101 000+ 1 
 
31. O professor Donizete ganhou de presente de aniversário de sua turma de 
Matemática um relógio com um mostrador muito peculiar. Nele, cada 
número é escrito sob a forma de uma expressão matemática, conforme 
apresentado a seguir: 
Donizete fiou lisonjeado com o presente, mas percebeu que havia erro na 
expressão que deveria indicar o número 
a) 2. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 8. 
32. Sabendo-se que 
1
x
2
 e y 4,  o valor da expressão 
y xx ( y)
x y
  

 é igual a: 
a) 3x 
b) 2y 
c) 2y 
d) 2x y 
e) 
x
y
 
 
33. Um telescópio da Estação Espacial Internacional captou imagens de um enorme jato de luz de raios X a 10 mil 
anos-luz da Terra. [...]: trata-se de um buraco negro, [...], “devorando” uma estrela, um acontecimento inédito e 
excepcional. 
Disponível em: www.revistagalileu.globo.com. Acesso em: 5 maio 2019. 
 
Reconhecendo que um ano-luz é uma medida de distância que corresponde a 9,46 .1012 km, o jato de luz de 
raios X está distante da Terra 
a) 9,46 108 km. 
b) 9,46 . 1011 km. 
c) 9,46 1013 km. 
d) 9,46 1016 km. 
e) 9,46 1048 km. 
 
34. Utilizando um programa com capacidade de realizar cálculos com resultados de até 2 500 dígitos, um estudante 
universitário multiplica 22 018 por 52 019 e encontra um número composto de 2 019 dígitos. Esse estudante precisa 
da soma de todos os dígitos desse resultado para a atividade de programação que deve executar. Essa soma é 
igual a 
a) 1. 
b) 5. 
c) 12. 
d) 30. 
e) 100. 
 
35. O número de algarismos do produto 517× 49 é igual a: 
a) 17 
b) 18 
c) 26 
d) 34 
e) 35 
 
 
30 
 
36. Estima-se que, em 2016, a quantidade de dados que circularam na internet foi de 1,1 zettabyte, e que, ao final 
de 2019, esse valor chegaria a 2 zettabytes. Suponha que a circulação de dados cresceu de forma linear nesse 
período, mantendo-se o padrão de crescimento nos anos seguintes. Considere que 1 zettabyte = 106 petabytes, 
1 petabyte = 106 gigabytes e que um vídeo em qualidade UHD (ultra high definition) tem, em média, 16 gigabytes 
de dados. A quantidade de dados que circularão na internet em 2023 equivale a quantos vídeos em qualidade 
UHD? 
a) 200000 
b) 350000 
c) 2000000 
d) 200000000000 
e) 350000000000 
 
37. Pela primeira vez na história, astrônomos registraram a imagem de um buraco negro, o qual está localizado em 
uma galáxia distante. 
O buraco negro registrado tem 40 bilhões de quilômetros de diâmetro – cerca de 3 milhões de vezes o tamanho 
da Terra – e foi descrito pelos cientistas como um “monstro”. Além disso, ele está a impressionantes 500 
quintilhões de quilômetros de distância do nosso planeta, e, para que pudesse ser fotografado, foi necessário 
utilizar uma rede de oito telescópios ao redor do mundo. 
BBC, 10 abr. 2019. Disponível em: <https://www.bbc.com/news/scienceenvironment-47873592>. Acesso em: 8 maio. 2018. (Tradução 
livre). 
 
De acordo com o texto, o quociente entre o comprimento do raio do buraco negro fotografado e a distância do 
nosso planeta à região onde ele está localizado é igual a 
a) 4 ∙ 10–11. 
b) 8 ∙ 10–11. 
c) 2 ∙ 10–8. 
d) 4 ∙ 10–8. 
e) 8 ∙ 10–8. 
 
Como calcular o IAC 
Para desenvolver o índice de gordura corporal, Richard Bergman, da Universidade do Sul da Califórnia,em Los 
Angeles, e colegas analisaram informações de cerca de 1 700 americanos de origem mexicana. Eles procuraram 
as características, tais como gênero, idade, altura, peso, circunferência do quadril ou alguma combinação desses 
traços que melhor se correlacionasse com a gordura corporal medida através do uso de uma técnica com raio-x. Os 
pesquisadores descobriram que a circunferência do quadril e a altura estavam fortemente ligadas à gordura corporal. 
A partir dessas características, os pesquisadores desenvolveram uma equação para o cálculo do índice de 
adiposidade corporal: 
 
38. Um médico, de posse dessas informações, resolveu reescrever a equação para que pudesse calcular a altura 
de seus pacientes em função do IAC e da medida da circunferência de seus quadris. A equação obtida pelo 
médico é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
31 
 
39. Neutrinos são partículas muito, muito pequenas. Na verdade, elas são as menores partículas conhecidas. Sua 
massa é 100 milhões de vezes menor que a do próton –uma das partículas que formam o núcleo dos átomos. 
Isso equivale a um bilionésimo de trilionésimo de trilionésimo de um grama. 
CARBINATTO, Bruno. “Partículas ’fantasma’ de alta energia detectadas na Antártica desafiam físicos”. Superinteressante, 24 jan. 2020. 
Disponível em: 
<https://super.abril.com.br>. Acesso em: 10 abr. 2020. 
 
A potência de base 10 que representa a massa de um neutrino, em grama, é 
a) 10–33 
b) 10–26 
c) 10–24 
d) 10–21 
e) 10–15 
 
40. Com o tempo, os dispositivos para armazenar arquivos digitais ficaram cada vez 
mais modernos e com capacidades de armazenamento cada vez maiores. Uma 
pessoa tinha cinco desses dispositivos em sua casa: um disquete, um CD, um DVD, 
um pen drive e um HD externo, com capacidades de armazenamento de 1,44 MB, 
700 MB, 4,7 GB, 128 GB e 3 TB, respectivamente. Sabe-se que essas unidades de 
medida de informação (MB, GB e TB) são múltiplos de bytes e que 1 GB é mil vezes 
maior do que 1 MB e 1 TB é mil vezes maior do que 1 GB. Se essa pessoa quisesse 
armazenar um arquivo com 0,4 bilhões de bytes, qual seria o dispositivo de menor capacidade de 
armazenamento que poderia guardá-lo? 
a) Disquete 
b) CD 
c) DVD 
d) Pen drive 
e) HD externo 
 
41. O IMC (Índice de Massa Corporal) é uma ferramenta usada para detectar casos de obesidade ou desnutrição, 
principalmente em estudos que envolvem grandes populações. O IMC é calculado pela fórmula: 
 
Ao realizar uma consulta para calcular o IMC de uma pessoa, o médico não registrou a altura do paciente, porém, 
como já tinha em mãos o IMC dele, que é igual a 21, e sua massa de 70 kg, pôde obter a sua altura. A altura do 
paciente, em metro, é representada pela expressão: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
Minecraft educacional: jogos como ferramenta de aprendizagem 
 
42. Muitos professores têm usado os jogos como ferramenta para estimular o aprendizado de seus estudantes. 
Suponha que um professor de Matemática, em uma de suas aulas sobre números naturais, tenha pedido à sua 
classe que construa árvores usando o Minecraft. Como o jogo consiste em montar um cenário utilizando blocos 
de construção do tipo Lego, um dos estudantes decidiu manter, a cada etapa das construções, o mesmo padrão 
de formação das árvores, colocando-as lado a lado e sempre acrescentando uma quantidade de blocos em suas 
partes superiores. 
 
A figura a seguir ilustra o início das construções: 
 
 
Para a construção da árvore na Etapa 10, o estudante utilizou 
a) 10 blocos. 
b) 21 blocos. 
c) 100 blocos. 
d) 121 blocos. 
e) 130 blocos. 
 
43. O objeto mais distante conhecido no nosso Sistema Solar está agora confirmado. O dito-cujo foi apelidado de 
FarFarOut e é conhecido desde 2018, mas só agora os astrônomos determinaram seu afastamento médio do 
Sol: 132 unidades astronômicas (UA). Uma unidade astronômica corresponde à distância média entre a Terra e 
o Sol. 
CARBINATTO, Bruno. “O objeto mais longínquo do Sistema Solar fica 132 vezes mais distante que a Terra”. Disponível em: 
<https://super.abril.com.br>. Acesso em: 3 mar. 2021. 
 
Considere que a medida da circunferência da Terra é de 40 000 quilômetros e que a distância média da Terra 
ao Sol equivale a 150 milhões de quilômetros. A distância média do FarFarOut ao Sol equivale a quantas voltas 
completas ao redor da circunferência da Terra? 
a) 495 000 
b) 35 200 
c) 3 750 
d) 3 300 
e) 495 
 
44. Hoje as massas das partículas mais importantes são conhecidas. Sabe-se que o próton e o nêutron têm, cada 
um, 0,0000000000000000000000016 g. É infinitamente pequeno, mas, ainda assim, equivale a 1840 vezes a 
massa do elétron. 
Disponível em: https://super.abril.com.br. Acesso em: 22 fev. 2021. (adaptado) 
 
Em notação científica, a massa, em grama, de um elétron é de, aproximadamente, 
a) 1,6 ∙ 10–24 
b) 2,9 ∙ 10–21 
c) 2,9 ∙ 10–27 
d) 3,2 ∙ 10–24 
e) 8,7 ∙ 10–28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
45. Computadores utilizam, por padrão, dados em formato binário, em que cada dígito, denominado de bit, pode 
assumir dois valores (0 ou 1). Para representação de caracteres e outras informações, é necessário fazer uso 
de uma sequência de bits, o byte. No passado, um byte era composto de 6 bits em alguns computadores, mas 
atualmente tem-se a padronização que o byte é um octeto, ou seja, uma sequência de 8 bits. Esse padrão 
permite representar apenas 82 informações distintas. Se um novo padrão for proposto, de modo que um byte 
seja capaz de representar pelo menos 2.560 informações distintas, o número de bits em um byte deve passar 
de 8 para 
a) 10 
b) 12 
c) 13 
d) 18 
e) 20 
 
46. Sabendo que 100x 20 e 50y 400 pode-se afirmar que: 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
a) x é igual a y. 
b) x é a metade de y. 
c) x é o dobro de y. 
d) x é igual ao quadrado de y. 
e) x é igual ao quadruplo y. 
 
47. (ENEM/PPL) O nanofio é um feixe de metais semicondutores usualmente utilizado na fabricação de fibra óptica. 
A imagem ilustra, sem escala, as representações das medidas dos diâmetros de um nanofio e de um fio de 
cabelo, possibilitando comparar suas espessuras e constatar o avanço das novas tecnologias. 
 
 
 
O número que expressa a razão existente entre o comprimento do diâmetro de um fio de cabelo e o de um 
nanofio é 
a) 146 10 
b) 
5
96 10

 
c) 
5
96 10 
d) 46 10 
e) 456 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
48. Na Medicina, especificamente na Fisiologia, médicos, diante de muitos estudos, conseguiram estimar que a área 
da superfície corporal de um ser humano é, em metros quadrados, muito próxima de 11% da raiz cúbica do peso 
do ser humano, em quilos, elevado ao quadrado. 
Disponível em: <http://mathematikos.mat.ufrgs.br/textos/mundreal.html>. Acesso em: 14 mar. 2018 (Adaptação). 
 
Um adulto que possui área superficial igual a 1,76 m2, tem um peso, em kg, igual a, aproximadamente, 
a) 50 
b) 52 
c) 54 
d) 60 
e) 64 
 
49. O valor de 
52 2 10( ) ( )
2
π π π
π
    
 é igual a: 
a) π 
b) π 
c) 
1
2
π 
d) 
1
2
 
e) 
1
2
 
 
50. (ENEM) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do 
corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se 
com a sua massa m pela fórmula 
2
3A k m ,  em que k e uma constante positiva. 
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto 
será multiplicada a área da superfície corporal? 
a) 3 16 
b) 4 
c) 24 
d) 8 
e) 64 
 
 
GABARITO 
01. D 02. C 03. E 04. E 05. E 06. B 07. E 08. D 09. C 10. C 
11. A 12. E 13. D 14. D 15. D 16. D 17. B 18. E 19. C 20. D 
21. A 22. B 23. B 24. B 25. E 26. B 27. D 28. B 29. E 30. D 
31 D 32. D 33. D 34. B 35. B 36. D 37. A 38. A 39. A 40. B 
41. D 42. D 43. A 44. E 45.D 46. A 47. D 48. E 49. E 50. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
CAPÍTULO 
03 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Os produtos notáveis são expressões algébricas utilizadas em muitos cálculos matemáticos, por exemplo, nas 
equações de primeiro e segundo grau. 
O termo “notável” refere-se à importância e notabilidade desses conceitos para a área da matemática. 
Produtos notáveis são uma ferramenta muito importante dentro da matemática, pois auxilia no desenvolvimento e 
resolução de boa parte dos problemas tanto na parte de Aritmética, Álgebra e Geometria. 
 
Quadrado da Soma de Dois Termos 
 
O quadrado da soma de dois termos é representado pela seguinte expressão: 
 
 
 
Assim, o quadrado do primeiro termo é somado ao dobro do primeiro termo pelo segundo termo, e por fim, somado 
ao quadrado do segundo termo. 
 
 
Quadrado da Diferença de Dois Termos 
 
O quadrado da diferença de dois termos é representado pela seguinte expressão: 
 
 
 
Logo, o quadrado do primeiro termo é subtraído ao dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo e, por 
fim somado ao quadrado do segundo termo. 
 
O Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos 
 
O produto da soma pela diferença dois termos é representado pela seguinte expressão: 
 
 
 
Nota-se que ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação o resultado da expressão é a subtração do 
quadrado do primeiro e do segundo termo. 
 
O Cubo da Soma de Dois Termos 
 
O cubo da soma de dois termos é representado pela seguinte expressão: 
 
 
 
Dessa forma, o cubo do primeiro termo é somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo 
termo e o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. Por fim, ele é somado ao cubo do 
segundo termo. 
 
O Cubo da Diferença de Dois Termos 
 
O cubo da diferença de dois termos é representado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
01. Simplificando a fração algébrica 
2 2
2 2
x y 2x 2y
,
x y
  

 sendo x e y números reais, tais que x y 0  e 
x y 4,  obtém-se o valor 
a) 1,5 
b) 1,0 
c) 0,5 
d) 0,0 
 
02. Sejam x e y 𝜖 ℝ com x y 16   e xy 64. O valor da expressão 
x y
y x
 é 
a) – 2. 
b) – 1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 2. 
 
03. O valor exato de 6666662 – 3333342 é: 
a) 333332 • 106 
b) 333334 • 109 
c) 333332 • 108 
d) 333334 • 108 
e) 333332 • 1010 
 
04. Após desenvolver os cálculos de um problema algébrico, Rafael encontrou o resultado a seguir: 
 
Ao analisar o resultado, o estudante encerrou sua tarefa. Ao ser perguntado pelo seu professor sobre o motivo 
de interromper os cálculos, Rafael argumentou que o resultado é um número irracional e, portanto, não havia 
necessidade de continuar. 
O professor terminou os cálculos e convenceu o aluno de que, além de x ser um número racional, x é 
 
a) primo. 
b) divisor de 16. 
c) múltiplo de 10. 
d) múltiplo de 12. 
e) divisível por 8. 
 
 
05. Considere que, na expressão algébrica a seguir, x = 0,21 e y = 1,21. 
 
Desse modo, o valor numérico de E, na expressão apresentada, é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
Exercitando 
 
 
37 
06. No evento de confraternização de 25 anos do Colégio Flor Azul, a estudante Juliana pediu à cozinheira Dona 
Felícia, responsável pelos lanches servidos durante a festa, a receita de um molho especial que fazia muito 
sucesso. Para fazer algum mistério e desafiar um pouco a estudante, Dona Felícia escreveu a receita, mas 
mudou a grafia da quantidade do ingrediente mais importante, o molho shoyu, escrevendo do seguinte modo: 
 
Juliana estranhou, mas, depois, sorriu ao compreender a brincadeira. Pensou algum tempo e chegou ao número 
natural simplificado que representa a quantidade de colheres de molho shoyu da receita. Esse número é 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
07. Os produtos notáveis buscam facilitar os cálculos, reduzir 
o tempo de resolução e agilizar o aprendizado. Os gregos, 
na Antiguidade, faziam uso de procedimentos algébricos e 
geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis 
modernos. 
É importante destacar que o uso dos produtos notáveis 
pelos gregos está registrado na obra Elementos, de 
Euclides de Alexandria, na forma de representações 
geométricas. Um dos problemas clássicos pode ser 
modernamente reescrito como a seguir: 
“Um jardim de 400 unidades de área será plantado por um 
agricultor, sendo dividido em quatro regiões, conforme a 
ilustração a seguir. Sua esposa possui grande afeição por um tipo específico de flor e decide atribuir à medida b 
o valor de 15 unidades de comprimento.” 
 
O valor que deve ser encontrado pelo agricultor para a medida a, na mesma unidade de comprimento citada, é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
08. Certo dia, um viajante andava pelo deserto, sem água e morrendo de sede, e deparou-se com uma imensa 
pirâmide que continha, em uma de suas entradas, um enigma, que, se fosse resolvido corretamente, prometia 
matar a sede do viajante com um estoque de água no interior dessa pirâmide. 
O enigma era um problema de Matemática e estava escrito na forma de versos: 
“Somos dois números reais positivos cujo produto é igual a 273, e cuja soma dos nossos quadrados é igual a 
610. 
Se quiser a água contida no interior da pirâmide, descubra a metade da nossa soma, que essa será a senha 
secreta.” 
 
Após pensar e escrever os seus cálculos na areia do deserto, o viajante conseguiu matar a sua sede, pois 
encontrou a senha secreta, cuja soma dos algarismos é um número 
a) primo. 
b) quadrado perfeito. 
c) divisor de 34. 
d) cubo perfeito. 
e) divisível por 16. 
 
 
 
 
 
38 
 
09. As duas paredes laterais de determinada catedral são iguais e têm 
formato de quadrado com lado de medida p. As janelas dessas paredes 
também têm formato de quadrado, mas com lado de medida q. A figura 
a seguir apresenta a disposição das janelas em uma das paredes. 
Os lados dessas paredes voltados para o interior da catedral serão 
totalmente pintados, com exceção das janelas, e o custo do serviço de 
pintura é proporcional à medida S da área total a ser pintada. A 
expressão algébrica que fornece o valor de S em função das medidas p 
e q, tomadas em uma mesma unidade métrica, pode ser dada por 
a) S = (2p + 6q) ∙ (p – 3q) 
b) S = (2p + 18q) ∙ (p – 9q) 
c) S = (p + 3q) ∙ (p – 3q) 
d) S = (p + 9q) ∙ (p – 9q) 
e) S = 2 ∙ (p – 3q)2 
 
10. A figura a seguir mostra as dimensões, em metros, de uma suíte retangular, com 
quarto e banheiro também retangulares, de certa pousada. O gerente do 
estabelecimento precisava trocar o carpete da suíte e, para isso, passou as 
dimensões dele para uma empresa especializada, a fim de fazer o orçamento do 
serviço. 
Com base na figura apresentada, a forma mais fatorada possível da expressão 
que representa, em metros quadrados, a medida da área dessa suíte é 
a) (x + 1)². 
b) (x + 2)². 
c) 2(x + 1)². 
d) 2(x + 2)². 
e) 3(x + 1)² 
 
11. No projeto inicial de um edifício que ocupa o espaço de um quarteirão, 
a área de construção correspondia a 2a × 2a metros quadrados. A 
prefeitura interveio no projeto alegando que havia a necessidade de se 
aumentar a calçada em torno do edifício. 
Após a revisão do projeto, a área de construção foi diminuída e passou 
a ter como medida 5b × 5b. A figura a seguir demonstra a alteração no 
projeto do edifício: 
 
Com base nas informações, a área de construção que o edifício perdeu após as mudanças foi de 
a) (2a + 5b)⋅(2a – 5b). 
b) (2a + b)⋅(a – 5b). 
c) (5a + 2b)⋅(5a – 2b). 
d) 2a2 – 5b2. 
e) (2a)⋅(5b). 
 
12. Em determinado programa de computador voltado para o estudo da Matemática, 
o usuário deve inserir dois números reais positivos, a e b, com a > b. Em seguida, 
o programa converte esses números para medidas dadas em milímetros, a fim 
de reproduzir na tela do computador um quadrado com lado de medida (a – b) 
dentro de um quadrado com lado de medida (a + b), como mostrado na figura a 
seguir . Independentementeda escolha dos valores de a e b, a área sombreada 
na figura será sempre dada, em mm2, por: 
a) 4ab 
b) a2 – b2 
c) 2a2 + 2b2 
d) a2 + 2ab + b2 
e) a2 – 2ab + b2 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
13. A fatoração permite simplificar cálculos algébricos por meio de regras que transformam somas e subtrações em 
multiplicações ou potências. Um dos casos de fatoração mais utilizados é a “diferença de quadrados”, que 
permite transformar uma subtração entre dois quadrados em um produto de dois fatores, segundo a relação: 
 
m2 – n2 = (m + n) ⋅ (m – n) 
 
Assim, pode-se, por exemplo, calcular 20022 – 19982 = = (2002 + 1998) ⋅ (2002 – 1998) = 4000 ⋅ 4 = 16000. 
Dados os números x = a + b + c, tal que a2 – 2bc – b2 – c2 = = 160 e a – b – c = 40, e 
y = 20082 ⋅ 4000 – 4000 ⋅ 19922, o valor da expressão 
𝑦
𝑥2
 é igual a: 
a) 4 ⋅ 106. 
b) 16 ⋅ 106. 
c) 64 ⋅ 106. 
d) 256 ⋅ 106. 
e) 1 024 ⋅ 106. 
 
14. Em um emblemático programa de auditório, a pergunta valendo 1 milhão de reais foi: 
 
“Qual o valor aproximado de 125.5452 – 125.4452 ?” 
 
O participante levou o prêmio em barras de ouro ao responder que o valor era, aproximadamente, 
a) 25,1 milhões. 
b) 27,2 milhões. 
c) 28,3 milhões. 
d) 32,1 milhões. 
e) 41,2 milhões. 
 
15. Depois de ensinar que (a + b) . (a − b) = a2 −b2, um professor pediu que os alunos utilizassem a diferença de 
dois quadrados para fazer a conta “105 vezes 95” por meio de um cálculo mental simples. Os alunos que 
seguiram corretamente a proposta do professor finalizaram a operação fazendo a conta 
a) 9925 + 50. 
b) 10050 − 75. 
c) 10025 − 50. 
d) 10000 − 25. 
e) 9950 + 25. 
16. Para cada número real positivo m, a expressão 1/2 1/2 2
1 1
( ) 1 1m m
m m
        
  
 é igual a 
a) m1/2. 
b) m + 1. 
c) m + 2. 
d) m + 3. 
e) m + 1/m. 
 
17. Antiguidade, os gregos utilizavam procedimentos algébricos e geométricos semelhantes aos conceitos de 
produtos notáveis que conhecemos atualmente. A importância de seu uso deve-se ao fato de acelerarem os 
cálculos, reduzindo o tempo de resolução. Dessa forma, ao simplificarmos a expressão 
 
teremos como valor 
a) 
 
(𝑥+𝑎)
(𝑥−𝑎)
 
b) 
 
(𝑥+𝑎)²
(𝑥−𝑎)²
 
c) (𝑥 − 𝑎)²
(𝑥 − 𝑎)
 
d) (𝑥 + 𝑎)
(𝑥 + 𝑎)²
 
e) 𝑎²
(𝑥 − 𝑎)
 
 
 
 
 
 
40 
 
18. Em uma das aulas de Matemática de um colégio, a professora escolheu quatro alunos e contou a quantidade 
de figurinhas que cada um deles tinha na mochila. Os alunos escolhidos foram André, Caio, Bernardo e Daniel. 
Os demais alunos não sabiam a quantidade de figurinhas que cada um levava consigo naquele dia. A professora 
especificou que André tinha A figurinhas, Bernardo, B figurinhas, Caio, C figurinhas e Daniel, D figurinhas. Em 
seguida, ela disse que: 
A . C + A . D + B . C + B . D = 792 
 
Além disso, ela informou que Caio e Daniel, juntos, tinham 24 figurinhas. O desafio proposto pela professora 
consistia em determinar quantas figurinhas André e Bernardo possuíam juntos. Acertou o desafio quem 
respondeu que os dois, juntos, tinham um número de figurinhas igual a 
a) 28. 
b) 29. 
c) 30. 
d) 33. 
e) 35. 
 
19) O único par de números naturais m e n que satisfaz a igualdade m2 – n2 = 17 é tal que 
a) seu produto é 72 
b) sua soma é 18 
c) seu quociente é 17 
d) sua diferença é 2 
 
20. Em entrevista a um programa de televisão, um matemático, ao ser questionado sobre a idade de seus dois 
filhos, lançou um desafio: “Posso dizer que a soma das idades de meus filhos é 32. Já a diferença entre os 
quadrados das idades é de 256 anos.” Um entusiasta pela matemática que estava na plateia prontamente ergueu 
a mão pedindo a palavra e respondeu corretamente que cada filho tinha 16 anos de idade. 
a) cada filho tinha 16 anos de idade. 
b) um filho tinha 24 anos, e o outro, 8 anos. 
c) um filho tinha 22 anos, e o outro, 10 anos. 
d) um filho tinha 20 anos, e o outro, 12 anos. 
e) um filho tinha 18 anos, e o outro, 14 anos 
 
21. O curioso aluno Lucas perguntou ao seu professor de matemática quanto era a soma dos quadrados da idade 
do professor e do seu filho primogênito. O professor, que gostava de provocar os alunos, não deu resposta, mas 
disse que a soma das referidas idades era 52 e o produto delas era 507. Com essas informações, Lucas 
descobriu corretamente que a resposta à sua pergunta era: 
a) 1.640 
b) 1.666 
c) 1.690 
d) 1.705 
e) 1.725 
 
22. Gabriel estava estudando fatoração de números para sua prova final de Matemática, e, para testar se havia 
assimilado bem a matéria, se desafiou a simplificar a expressão 4 0342 + 2 0182 – 2 0162 + 1 2 sem a ajuda de 
uma calculadora. Após pensar um pouco, ele descobriu que a expressão anterior poderia ser representada 
corretamente pelo número 
a) 4 0342 + 4 034. 
b) 4 0352 – 1. 
c) 4 0352. 
d) 4 0352 + 1. 
e) 4 0362. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
23. Um dispositivo de segurança bancária, em uma de suas etapas, possui uma senha formada por um número que 
é a média aritmética de dois números positivos conhecidos Reinaldo usa essa senha quando precisa acessar a 
sua conta bancária por um computador que não é o seu pessoal. Se, por acaso, ele esquecer essa senha, o 
banco lhe oferece duas dicas de segurança que o ajudam a lembrar quais são esses dois números, e, assim, 
lembrá-lo da senha que será usada. As dicas de segurança são as seguintes: 
 
• A soma dos quadrados desses dois números é igual a 180. 
• O produto desses dois números é igual a 72. 
 
Então, a senha usada por Reinaldo é um número 
a) primo. 
b) maior do que 10. 
c) quadrado perfeito. 
d) cubo perfeito. 
e) múltiplo de 6. 
 
24. Considere dois números positivos x e y, com x y, tais que 
 
2 2
x y x y 8
.
x y 15
    

   
 
Nessas condições, 2x é igual a 
a) 31 
b) 32 
c) 33 
d) 34 
e) 35 
 
25. Sabendo que    
2 2
y 2010 2000 2000 1990    , o valor de 
7
y
10
 é igual a 
a) 8 
b) 16 
c) 20 
d) 32 
 
26. Qual o inteiro positivo mais próximo de 26112611  ? 
a) 6 
b) 8 
c) 16 
d) 64 
 
27. O número 347347  é: 
a) Irracional. . 
b) Racional, mas não é inteiro. 
c) Menor que 4. 
d) inteiro 
e) maior que 4. 
 
28. Suponha definida as sentenças 9...xxx  e 7...yyy  . Então, o valor de 3y – 2x é igual 
a: 
a) 18 
b) 20 
c) 24 
d) 28 
e) 32 
 
 
 
42 
 
29. Em uma sala de aula, um estudante disse ao seu colega que, quanto mais alto é o número, mais difícil é 
reconhecer as raízes exatas. Ao observar uma expressão que eles deveriam resolver, indicada a seguir, o colega 
respondeu que eles deveriam encontrar os menores valores distintos e inteiros para a e b, facilitando para 
encontrar o resultado da racionalização 
 
Após pensar um pouco, eles definiram que o valor de a2 + b2 é a raiz quadrada de 625. 
O menor valor inteiro encontrado por eles como resultado da racionalização é igual a 
a) 2. 
b) 5. 
c) 8. 
d) 25. 
e) 64. 
 
30. Sejam as operações  e # definidas no conjunto dos inteiros positivos, tais que 
xx y 2 y   e 
2x # y x xy 1.   Determine o sucessor do número resultante da expressão 1#2[(1#3) ] [(1#2)#(2#1)]. 
a) 523 
b) 524 
c) 525 
d) 526 
e) 527 
 
31. Antônio possui um terreno de 1 600 m2. Uma parte do muro para cercar a propriedade já foi construída, 
totalizando 80 m de comprimento. No entanto, ainda falta cercar o restante do lote. A situação atual da obra está 
apresentada a seguir: 
Sabe-se que o lote do Antônio e o terreno 2, propriedade de outra pessoa, formam um quadrado. Além disso, o 
terreno 2 tem todos os lados iguais. 
Dessa maneira, o comprimento restante do muro a ser construído, para delimitar o lote do Antônio, em metro, é 
igual a 
 
a) 50. 
b) 60. 
c) 100. 
d) 120. 
e) 160. 
 
32. (ESPM 2020) O valor da expressão numérica 
 
é igual a: 
a) 0 
b) 2 
c) 1 
d) 1/2 
e)1/443 
 
33. (ENEM/2021) Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores 
numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos 
números reais por xΔy = x2 + xy — y2 e x * y = xy + x. 
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, 
a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb) * (bΔa) = 0. 
Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios. Um 
navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1. Dessa 
forma, o valor recebido pelo navio receptor será 
a) √5 
b) √3 
c) √1 
d) 
−1+√5
2
 
e) 
3+√5
2
 
 
34. Anselmo foi encarregado de calcular o valor da expressão A = 4 000.2062 – 4 000.2042, sem utilizar calculadora. 
Seu amigo Fernando recomendou a utilização de técnicas de fatoração, além do conhecimento dos produtos 
notáveis. Ao seguir o conselho de Fernando, Anselmo obteve 
a) 3 280 000 
b) 360 000 
c) 2 380 000 
d) 1 680 000 
e) 1 240 000 
35. Considere que a 0, b 0 e (a b) 0.  Sabendo-se que 
a b
3,
b a
  determine o valor de 
2 2
2
a b
.
2(a b)


 
a) 0,1 
b) 0,3 
c) 0,6 
d) 0,8 
e) 1,0 
 
36. Uma professora propôs como desafio para sua turma de 7º ano simplificar a fração: 
 
1 2 3 2 4 6 4 8 12 7 14 21
1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35
          
           
 
Depois de alguns minutos, três alunos fizeram as seguintes afirmações: 
 
I. O resultado na simplificação é um número inteiro. 
II. O resultado da simplificação é 
2
.
5
 
III. O resultado da simplificação é 5. 
 
Sobre as afirmações, é correto dizer que: 
a) Todas são falsas. 
b) Duas são verdadeiras. 
c) Apenas uma é verdadeira. 
d) Todas são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
37. Doutor Estranho, “o mágico da Matemática”, inventou um novo desafio e convidou seu amigo Salomão a 
participar. As regras eram as seguintes: 
 
- pensar em dois números de apenas um algarismo, sendo um ímpar e o outro par (diferente de zero); 
- calcular a soma desses números; 
- calcular a diferença entre esses números; 
- multiplicar a soma pela diferença; 
- dizer o resultado. 
 
Se Salomão encontrou 77 como resultado, qual foi o maior dos números nos quais ele pensou? 
a) 8 
b) 9 
c) 6 
d) 7 
e) 5 
 
38. Alberto é dono de uma lanchonete e, para decorá-la, decidiu emoldurar um 
quadro que seu avô pintou há muitos anos, colocando-o na recepção do seu 
estabelecimento. 
 
A tela desse quadro é retangular, e sua moldura é feita de madeira, de largura x 
cm, envolvendo, por fora, toda a tela, como mostrado na figura. Sabendo que a 
área da tela é de 2.800 cm 2 e que Alberto quer que o quadro todo tenha 
dimensão externa de 80 cm × 50 cm, a largura da moldura medirá 
a) 3 cm. 
b) 4 cm. 
c) 5 cm. 
d) 6 cm. 
e) 7 cm. 
 
39. Uma confeitaria foi contratada para fazer o bolo para o aniversário de cem anos de uma escola. A pedido da 
diretoria escolar, a parte superior do bolo será igual ao símbolo retangular da escola e terá 60 cm de comprimento 
e 30 cm de largura, conforme a imagem a seguir. 
 
Sabe-se que o retângulo em que o nome da escola está escrito é branco e que o restante do símbolo da escola 
é cinza. 
Para confeitar o bolo, o confeiteiro usará fondant, que é uma cobertura de açúcar, tingindo uma parte de cinza e 
deixando a outra parte em branco. Após cortar o fondant na área exata que cada cor terá no bolo, ele aplicará o 
fondant sobre o bolo e depois escreverá o nome da escola por cima do fondant branco. 
Desconsiderando a altura do fondant que será aplicado no bolo, a área do bolo em que o confeiteiro aplicará o 
fondant branco pode ser representada por: 
a) (30 – x)2 
b) 2(30 – x)2 
c) x (30 – x) 
d) (60 – x) (30 – x) 
e) (60 – x2) (30 – x) 
 
 
 
 
 
45 
 
40. Em um terreno retangular de lados medindo 20 e 30 metros, será 
construída uma área verde, também retangular, conforme indicações da 
figura (fora de escala).Se a área verde terá 250 m2, o seu perímetro, em 
metros, deverá ser igual a 
a) 46. 
b) 52. 
c) 58. 
d) 64. 
e) 70. 
 
 
 
 
41. A “razão áurea” (ou número de ouro) é definida de várias maneiras diferentes e aparece em várias construções 
da natureza e humana. Esse número, geralmente, é denotado por  (a letra grega “fi”) e tem como valor 
 
5 1
.
2

  
Em várias situações, é mais interessante a utilização do inverso multiplicativo de . Qual é o valor de 
1
?

 
a) 5 2 
b) 
5 1
2

 
c) 
5 1
2

 
d) 
1 5
2

 
e) 2 5 
 
42. Dados A x y,  B x y  e C x y,  para x y, x 0 e y 0. Simplificando a expressão algébrica 
2 2A B
,
C

 
obtém-se: 
a) 0. 
b) 
2y
.
x
 
c) 4. 
d) 
2x
.
y
 
e) 
2x
.
y
 
43. Se x e y são dois números reais positivos, então a expressão 
2
y x
M x y
x y
 
   
 
 é equivalente a 
a) xy. 
b) 2xy. 
c) 4xy. 
d) 2 xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
44. Reduzindo a expressão 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2        ao numeral mais simples, temos: 
a) 2. 
b) 2. 
c) 2 2. 
d) 6. 
e) 2 2. 
 
45. Calcule o valor de 
21 23
7 3 3
101256 0 7
5
1 2058
3125
1 8943 1
5X
1,5 2 ( 1)


 
   
 
   
 
 
 e assinale a opção correta. 
a) 162 
b) 202 
c) 242 
d) 262 
e) 272 
 
 
GABARITO 
01. A 02. E 03. A 04. E 05. A 06. E 07. C 08. D 09. A 10. C 
11. A 12. A 13. B 14. A 15. D 16. D 17. B 18. D 19. C 20. D 
21. A 22. C 23. A 24. D 25. B 26. A 27. D 28. C 29. A 30. D 
31 D 32. C 33. E 34. A 35. B 36. C 37. B 38. C 39. B 40. E 
41. C 42. C 43. C 44. A 45. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
CAPÍTULO 
04 PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
 
 
 
 
48 
 
 
01. Uma operação * deve ser efetuada de acordo com a seguinte definição: a * b = a + b + a . b, sendo a e b 
números inteiros. Assim, calculando-se 2 * (12 * 5) obtém-se 
a) 217 
b) 223 
c) 227 
d) 233 
e) 237 
 
02. Sejam x e y números naturais, □ e ∆ e símbolos com os seguintes significados: 
 
a) 92. 
b) 78. 
c) 64. 
d) 43. 
e) 21. 
 
03. Quaisquer que sejam os números inteiros a e b, define-se a operação # por a # b = 2a – 3b. 
Nessas condições, o valor da expressão (4 # 5) # (–6) é 
a) – 4. 
b) – 2. 
c) 2. 
d) 4. 
e) 32. 
 
04. Seja ∆ a operação definida por u∆ = 3 − 5u, qualquer que seja o inteiro u. Calculando (−2)∆ + (2∆)∆ obtém-se um 
número compreendido entre: 
a) −20 e −10 
b) −10 e 20 
c) 20 e 50 
d) 50 e 70 
e) 70 e 100 
 
05. Observe a figura a seguir 
 
Que número deve substituir x se o diagrama for preenchido com números naturais, de acordo com a regra 
sugerida na própria figura? 
a) 32 
b) 50 
c) 55 
d) 82 
e) 100 
 
Exercitando 
 
 
49 
 
06. Para cada par ordenado de números reais (a, b), com a ≠ b, definimos a operação  da seguinte forma: 
 
O valor de [(12)3]4 é 
a) -4. 
b) -1. 
c) 0. 
d) ½ 
e) 3/4 . 
 
07. No conjunto dos números reais, em que estão definidas as operações usuais de adição, subtração, multiplicação, 
divisão e potenciação, definem-se as operações ▽ e ⊗ como segue: 
 
x ▽ y = x + y; 
 
x ⊗ y = y 2 - x 2 
 
Nessas condições, o valor de ( 3 ▽ 4 ) ⊗ 5 é: 
a) 24 
b) -24 
c) 35 
d) -35 
e) 0 
 
08. Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases 
da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, 
com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira. Nesse 
mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro? 
a) Domingo. 
b) Segunda-feira. 
c) Terça-feira. 
d) Quinta-feira. 
e) Sexta-feira. 
 
09. ENEM/2019)