bx_03_CURSO_ER21_MATCN_MAT_1C

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Introdução
Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm períodos de 
revolução em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 
84 anos, respectivamente. Após uma observação, quanto 
tempo decorrerá para que esses três planetas voltem a 
ocupar simultaneamente as mesmas posições ocupadas 
na observação?
Mercúrio
Sol
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno Vênus
Terra
O problema apresentado terá como solução a quan-
tidade em anos correspondente ao mínimo múltiplo 
comum entre os números 12, 30 e 84.
Esta aula tem por objetivo o estudo de tópicos im-
portantes da aritmética básica.
Múltiplo e divisor de um 
número
Sejam a e b dois números inteiros quaisquer. Se 
existir um número inteiro n tal que:
a = b . n
dizemos que a é múltiplo de b e que a é múltiplo de n. 
Se b ≠ 0, então b é um divisor de a. Da mesma forma, n 
é um divisor de a quando n ≠ 0.
Representando por m(8) o conjunto formado pelos 
múltiplos de 8, temos que:
m 8( ) = ± ± ± ±{ }
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
±( ) ±( ) ±( ) ±( )
0 8 16 24 32
8 0 8 1 8 2 8 3 8 4
, , , , ,
. . . . .
Observação:
Se um número a é múltiplo de um número b, 
com b ≠ 0, então a é divisível por b. 
O número 24, por exemplo, é múltiplo de 8. 
Portanto, 24 é divisível por 8. 
Representando por d(8) o conjunto formado pelos 
divisores de 8, temos:
d(8) = { ±1, ± 2, ± 4, ± 8}
Critérios de divisibilidade
É possível estabelecer algumas regras que permitem 
verificar se um número natural qualquer é divisível por 
outro. 
 • Divisibilidade por 2:
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das 
unidades for par, ou seja, 0, 2, 4, 6 ou 8.
 • Divisibilidade por 3 (ou por 9):
Um número é divisível por 3 (ou por 9) quando a 
soma dos valores absolutos de seus algarismos for 
divisível por 3 (ou por 9).
 • Divisibilidade por 4:
Um número é divisível por 4 se o número formado 
pelos dois algarismos da direita for divisível por 4. 
1
01
Aula Matemática
1C
Aritmética
 • Divisibilidade por 5:
Um número é divisível por 5 se o algarismo da uni-
dade for 0 ou 5.
 • Divisibilidade por 6:
Um número é divisível por 6 se for divisível simulta-
neamente por 2 e 3.
 • Divisibilidade por 7:
Um número é divisível por 7  se o dobro do último 
algarismo, subtraído do número sem o último alga-
rismo, resultar um número divisível por 7. Se o nú-
mero obtido ainda for grande, repete-se o processo 
até que se possa verificar a divisão por 7. Repete-se o 
processo com este último número.
 • Divisibilidade por 8:
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, 
ou quando o número formado pelos três últimos 
algarismos da direita for divisível por 8.
 • Divisibilidade por 9:
Para que um número seja divisível pelo número 9, a 
soma dos algarismos desse número deve ser divisível 
por 9.
Número primo
Um número inteiro é primo se, e somente se, ele 
possuir exatamente 4 divisores. 
Se p é um número primo, então seus 4 divisores são 
1, –1, p e – p.
O quadro abaixo mostra os números primos positi-
vos menores do que 100.
Os números 
0 e 1 não são 
primos.
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
Decomposição em fatores 
primos
Um número inteiro a é composto se, e somente se, a 
não é primo e a < –1 ou a > 1.
Pode-se escrever qualquer número composto como o 
produto de pelo menos dois números primos não neces-
sariamente distintos.
Assim, por exemplo, 10 = 2 . 5 e 8 = 2 . 2 . 2 são 
números compostos.
Decompor um número inteiro em fatores primos é 
encontrar todos os números primos cujo produto é o 
número dado. Essa decomposição se faz por meio de 
sucessivas divisões por números primos.
Exemplo 1:
Decompor em fatores primos o número 60:
 • 60 = 6 . 10
60 = 2 . 3 . 5 . 2
60 = 22 . 3 . 5
 • 60 = 30 . 2
60 = 15 . 2 . 2
60 = 3 . 5 . 2 . 2
60 = 22 . 3 . 5
Portanto, 60 = 22 . 3 . 5
Existe um mecanismo prático que indica as divisões 
sucessivas:
60 2 → 60 : 2 = 30
30 2 → 30 : 2 = 15
15 3 → 15 : 3 = 5
5 5 → 5 : 5 = 1
1
60 = 22 . 3 . 5
Exemplo 2:
Decompor em fatores primos o número 84:
84 2
42 2
21 3
7 7
1
84 = 22 . 3 . 7
Cálculo dos divisores de 
um número
Pode-se determinar os divisores de um número 
através da decomposição em fatores primos. Considere 
o seguinte exemplo:
Determinar os divisores do número 60.
 • Primeiramente, vamos decompor 60 em fatores primos.
60 2
30 2
15 3
5 5
1
 • Agora, colocamos um segundo traço vertical ao 
lado da decomposição de fatores primos e, na linha 
acima do primeiro fator, colocamos o número 1, que 
é divisor de qualquer número inteiro. Depois, multi-
plicamos cada fator primo pelos números que estão 
à direita e acima deles, no dispositivo.
1
60 2 2
30 2 4
15 3 3, 6, 12
5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60 
Portanto,
d(60) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, 
±60}
Fatores primos
2 Extensivo Terceirão
Observação:
Pode-se determinar o número de divisores de 
um número inteiro, através da decomposição em 
fatores primos, analisando apenas os expoentes 
dos fatores primos desse número.
Para o número 60, por exemplo, temos:
• 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5 ⇒ 60 = 22 ∙ 31 ∙ 51
• Aos expoentes dos fatores primos acrescenta-
mos uma unidade e, em seguida, multiplica-
mos as somas obtidas. O resultado da multipli-
cação indica quantos são os divisores positivos 
(ou negativos) do número: 
(2 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) = 3 ∙ 2 ∙ 2 = 12
• O número 60 tem exatamente 12 divisores po-
sitivos e 12 divisores negativos, ou seja, tem 
um total de 24 divisores.
Máximo divisor comum
Um número inteiro é o máximo divisor comum entre 
dois ou mais números inteiros se, e somente se, ele for o 
maior número obtido da intersecção dos conjuntos dos 
divisores desses números.
Assim, por exemplo, para obter o máximo divisor co-
mum entre 36 e 24, podemos determinar os divisores deles.
1
36 2 2
18 2 4
9 3 3, 6, 12
3 3 9, 18, 36 
1
1
24 2 2
12 2 4
6 2 8
3 3 3, 6, 12, 24
1
d(36) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}
d(24) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24}
Assim:
mdc(36, 24) = máximo {d(36) ∩ d(24)}
mdc(36, 24) = máximo {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
mdc(36, 24) = 12
 • Um segundo modo: considerando-se os números na 
forma fatorada completa, o máximo divisor comum 
pode ser obtido multiplicando-se os fatores primos 
comuns. Ou seja, deve-se multiplicar as potências 
cujas bases, distintas, são fatores primos comuns 
aos números, optando sempre, dentre as potências 
de mesma base, por aquelas que apresentarem o 
menor expoente.
Observe os exemplos a seguir: 
36 3
24 2
2
2
3
3
2
2
2
3 1
1=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = =
.
.
.mdc(36, 24) 12
36 3
40 2 5
2
2
2
2
2
3 1
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = =
.
.
mdc(36, 40) 4
Mínimo múltiplo comum
Um número inteiro é o mínimo múltiplo comum 
entre dois ou mais números inteiros se, e somente se, ele 
for o menor número positivo obtido da intersecção dos 
conjuntos dos múltiplos desses números.
Para obtermos o mínimo múltiplo comum entre 24 e 
36, por exemplo, podemos determinar os múltiplos deles 
e, em seguida, os múltiplos em comum:
m(36)
m(24)
= ± ±{ }
= ± ± ± ±
± ±
±
0 72 144
0 72
36 108
24 48 96 120
, , , , ,
, , , , , , ±±{ }144
m(36) m(24)∩ = ± ±{ }0 72 144, , ,
O mínimo múltiplo comum é, sempre, um número 
positivo. Então:
mínimo 72, 144,mmc(36, 24)
mmc(36, 24)= 72
 • Um segundo modo: considerando-se os números na 
forma fatorada completa, o mínimo múltiplo comum 
pode ser obtido multiplicando-se as potências cujas 
bases, distintas, são fatores primos de pelo menos 
um dos números, optando sempre pelas potências 
de maior expoente quando os números apresenta-
rem fatores primos em comum.
Observe os exemplos a seguir:
36 2
24 3
3
3
2
2
2
1
2
2
3
3=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⇒ = =
.
.
.mmc(36, 24) 72
36 2
40
3
3
2
2
5
5
2 2
2
3
3
1
1=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = =
.
.
. .mmc(36, 40) 360
 • Um terceiro modo: o mínimo múltiplo comum pode 
ser obtido pela decomposição simultânea em fatores 
primos dos números considerados. O produto de 
todos esses fatores é o mmc
36 24 2
18 12 2
9 6 2
9 3 3
3 1 3
1 1
mmc(36, 24) = 23 . 32 = 8 . 9 = 72
Aula01
3Matemática 1C
Atenção
 • Existe um quarto modo: podemos obter o 
mmc e o mdc entre dois números inteiros 
simultaneamente. Basta fazer a decomposição 
em fatores primos, assinalando os números que 
dividirem ambos os números simultaneamente. 
Terminando a decomposição, o produto dos 
números assinalados é o mdc, e o produto de 
todos os fatores é o mmc.
Exemplo: 
36 24 2
18 12 2 mdc(36, 24) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12 
9 6 3
3 2 2
3 1 3
1 1
mmc(36, 24) = 22 . 3 . 2 . 3 = 72
Relação entre mmc e mdc
Dados dois números naturais a e b, o mdc (a, b) 
multiplicado pelo mmc(a, b) é igual ao produto de a 
por b, isto é:
mmc (a, b) × mdc (a, b) = a × b
Exemplo: mmc (36, 24) × mdc (36, 24) = 36 × 24
72 × 12 = 36 × 24 = 864 
m.m.c.
m.d.c.
01. (ENEM) – Em uma plantação de eucaliptos, um fazendeiro aplicará um fertilizante a cada 40 dias, um inseticida para 
combater as formigas a cada 32 dias e um pesticida a cada 28 dias. Ele iniciou aplicando os três produtos em um 
mesmo dia. De acordo com essas informações, depois de quantos dias, após a primeira aplicação, os três produtos 
serão aplicados novamente no mesmo dia? 
a) 100. b) 140. c) 400. d) 1120. e) 35840.
02. (UDESC) – A quantidade de números naturais que são divisores do mínimo múltiplo comum entre os números 
a = 540, b = 720 e c = 1800 é igual a: 
a) 75 b) 18 c) 30 d) 24 e) 60
Situações para resolver
4 Extensivo Terceirão
Assimilação
01.01. O mínimo múltiplo comum (mmc) entre 12, 24 e 
144 é:
a) 12
b) 24
c) 144
d) 288
e) 432
01.02. O máximo divisor comum (mdc) entre 36, 48 e 72 é:
a) 12
b) 24
c) 36
d) 48
e) 72
01.03. São dados dois números: A = 2³ ∙ 3² ∙ 5 e B = 2 ∙ 3³ ∙ 5². 
Qual é, respectivamente, o mmc e o mdc entre eles?
a) 23 ∙ 32 ∙ 5 e 2 ∙ 33 ∙ 52
b) 2 ∙ 33 ∙ 52 e 23 ∙ 32 ∙ 5
c) 23 ∙ 33 ∙ 52 e 23 ∙ 32 ∙ 5
d) 23 ∙ 33 ∙ 52 e 2 ∙ 32 ∙ 5
e) 2 ∙ 32 ∙ 5 e 2³ ∙ 3³ ∙ 52
01.04. O mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo 
divisor comum (mdc) dos números 24, 72 e 108 são, res-
pectivamente, iguais a:
a) 432 e 24 b) 432 e 12
c) 216 e 24 d) 108 e 12
e) 216 e 12
Testes
03. (UFPR) – Giovana deseja fazer um painel usando folhas de papel de tamanhos carta e A4. O painel será composto 
por duas faixas, cada uma contendo apenas folhas inteiras de um tipo dispostas lado a lado (sem sobreposição 
e sem espaço entre elas), formando uma figura retangular, sem sobras e sem cortes de papel. As folhas do tipo 
carta (1) serão dispostas na posição vertical, e as folhas do tipo A4 (2) serão dispostas na posição horizontal, 
conforme ilustra a figura abaixo:
1 11
2 2
11
2 2
Carta →
A4 →
...
...
Sabendo que as folhas A4 têm tamanho 210 mm por 297 mm e que as folhas carta têm tamanho 216 mm por 
279 mm, a menor quantidade total de folhas de papel (incluindo A4 e carta) que Giovanna precisa usar para 
conseguir atender às exigências do enunciado é: 
a) 12. b) 19. c) 21. d) 57. e) 88.
Aula 01
5Matemática 1C
01.05. Quanto aos divisores do número 4200. Qual é a 
quantidade de divisores negativos e total?
a) 6 e 12
b) 9 e 18
c) 12 e 24
d) 18 e 36
e) 48 e 96
Aperfeiçoamento
01.06. (FCC) – O diagrama abaixo apresenta o algoritmo da 
adição de dois números inteiros, no qual alguns algarismos 
foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. 
7 2 5
5
8 8 6
B A
D C B
E A
+
Determinando-se corretamente esses algarismos, verifica-
-se que:
a) A C D+ = ⋅2 
b) B D E+ = 
c) B A D− = 
d) C B= ⋅2 
01.07. (FEI – SP) – Sabendo-se que a x b = 10584 e que 
mmc (a,b) = 504, então o mdc (a,b) é igual a: 
a) 16 b) 26 c) 31 d) 21 e) 28
01.08. Se o mdc (360, 300) = a e o mmc (360, 300) = b, 
então o produto a x b é igual a: 
a) 1080000
b) 108000
c) 10800
d) 1080
e) 108
01.09. (UEL – PR) – Em 1982, ocorreu uma conjunção entre 
os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser 
vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. 
Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do 
Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, 
em qual dos anos seguintes estiveram em conjunção no 
céu da Terra?
a) 1840
b) 1852
c) 1864
d) 1922
e) 1960
01.10. (VUNESP – SP) – Em um colégio de São Paulo, há 120 
alunos na 1ª. série do Ensino Médio, 144 na 2ª. e 60 na 3ª. . Na 
semana cultural, todos esses alunos serão organizados em 
equipes, com o mesmo número de elementos, sem que se 
misturem alunos de séries diferentes. O número máximo de 
alunos que pode haver em cada equipe é igual a:
a) 7
b) 10
c) 12
d) 28
e) 30
01.11. (UNOPAR – PR) – A decomposição de um número x 
em seus fatores primos forneceu x = ⋅ ⋅ ⋅3 5 7 112 3 4. Sobre 
esse número, é correto afirmar que:
a) é divisível por 9;
b) é um quadrado perfeito; 
c) é igual a 1 2 3 4
3 5 7 11⋅ ⋅ ⋅ ;
d) é divisível por 21;
e) é igual a ( ) .3 5 7 11 24⋅ ⋅ ⋅ 
6 Extensivo Terceirão
Aprofundamento
01.12. (EPCAR – MG) – Um agricultor fará uma plantação 
de feijão em canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar 
os locais onde plantaria as sementes. A figura abaixo indica 
os pontos já marcados pelo agricultor e as distâncias, em 
cm, entre eles.
70 150 50015
A B C D E
Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já 
existentes, de modo que a distância d entre todos eles fosse 
a mesma e a maior possível. Se x representa o número de 
vezes que a distância d foi obtida pelo agricultor, então x é 
um número divisível por
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
01.13. (UNICAMP – SP) – A tabela abaixo informa alguns 
valores nutricionais para a mesma quantidade de dois ali-
mentos, A e B.
Alimento A B
Quantidade
Valor Energético
Sódio
Proteína
20 g
60 kcal
10 mg
6 g
20 g
80 kcal
20 mg
1 g
Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor ener-
gético) dos alimentos A e B. A razão entre a quantidade de 
proteína em A e a quantidade de proteína em B é igual a
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10
01.14. (UFSM – RS) – Estudos e simulações são necessários 
para melhorar o trânsito. Por exemplo, imagine que, de um 
terminal rodoviário, partam os ônibus de três empresas A, 
B e C. Os ônibus da empresa A partem a cada 15 minutos; 
da empresa B, a cada 20 minutos e da empresa C a cada 
25 minutos. Às 7h, partem simultaneamente 3 ônibus, um 
de cada empresa. A próxima partida simultânea dos ônibus 
das três empresas será às:
a) 9 h b) 9 h 50 min c) 10 h 30 min
d) 11h e) 12h
01.15. (FUVEST – SP) – Os números inteiros positivos são 
dispostos em quadrados da seguinte maneira:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
 
10 11 12
13 14 15
16 17 18
 
19 . .
. . .
. . .
O número 500 se encontra em um desses quadrados. A 
linha e a coluna em que o número 500 se encontra são, 
respectivamente:
a) 2 e 2 
b) 3 e 3 
c) 2 e 3
d) 3 e 2 
e) 3 e 1
01.16. (FCC – SP) – No almoxarifado de certa empresa havia 
dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 
160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de 
empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote 
contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se 
todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a 
menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é:
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
01.17. (FCC – SP) – A tabela abaixo apresenta as dimensões 
do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2.
comprimento 
(m)
largura 
 (m)
espessura 
(mm)
B1 23,10 0,18 1,5
B2 18 0,18 1,5
Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o 
corte feito em B1 como em B2, resulte em folhas retangulares, 
todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o 
menor número de folhas que se poderá obter é:
a) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 149
Aula 01
7Matemática 1C
01.18. (FCC – SP) – Sabe-se que um número inteiro e posi-
tivo N é composto de três algarismos. Se o produto de N por 
9 termina à direita por 824, a soma dos algarismos de N é:
a) 11 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18
Desafio
01.19. Uma faixa retangular de tecido deverá ser recortada 
em quadrados de mesmo tamanho, sem deixar sobras. Os 
quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se 
as dimensões da faixa são 7 m de comprimento e 1,05 m de 
largura, pede-se:a quantidade total de quadrados, o períme-
tro e o lado dos quadrados em centímetros, respectivamente.
a) 2100, 350, 30 b) 735, 150, 75
c) 2800, 700, 63 d) 60, 140, 35
e) 70, 280, 42
01.20. (UNESP – SP) – Considere o número inteiro 3600, cuja 
fatoração em números primos é 3 00 2 3 54 2 26 = ⋅ ⋅ . Os divi-
sores positivos de 3600 são os números da forma 2 3 5x y n⋅ ⋅ , 
com x y e n∈ ∈ ∈{ , , , , }, { , , } { , , }.0 1 2 3 4 0 1 2 0 1 2 Determine:
a) O número total de divisores inteiros e positivos de 3600 
e quantos desses divisores são também divisores de 720.
b) Quantos dos divisores inteiros e positivos de 3600 são 
pares e quantos são quadrados perfeitos.
Gabarito
01.01. c
01.02. a
01.03. d
01.04. e
01.05. e
01.06. b (A = 1; B = 3; C = 9; D = 4 e E = 7)
01.07. d
01.08. b
01.09. d
01.10. c
01.11. d
01.12. d
01.13. c
01.14. e
01.15. a
01.16. c
01.17. b
01.18. c
01.19. d
01.20. a) 45 e 30
b) 36 e 12
8 Extensivo Terceirão
Definição
Equação do 1o. grau, na incógnita x, é uma sentença 
matemática que pode ser reduzida à forma ax + b = 0, 
onde a e b são números reais, com a diferente de zero.
Exemplo: 2x – 6 = 0
Resolver uma equação do primeiro grau na incógnita 
x é determinar o valor de x que torna a igualdade verda-
deira. Assim, na equação do exemplo acima, temos x = 3, 
pois substituindo x por 3, nessa equação, encontramos 
uma igualdade verdadeira:
2 3 6 0 6 6 0 0 0. − = ⇒ − = ⇒ =
Resolução
Para resolver uma equação do 1o. grau, seguimos os 
princípios da igualdade, que são:
1o.) se somarmos ou subtrairmos um mesmo número a 
ambos os membros da igualdade, esta não se altera;
2º.) se multiplicarmos ou dividirmos um mesmo número 
real diferente de zero a ambos os membros da igual-
dade, esta não se altera. 
Exemplos:
Dada a igualdade:
5 = 5
 • somando o número 3 a ambos os membros da igual-
dade, temos:
5 + 3 = 5 + 3 ∴ 8 = 8
 • subtraindo o número 3 a ambos os membros da 
igualdade inicial, temos:
5 – 3 = 5 – 3 ∴ 2 = 2
 • multiplicando pelo número 2 ambos os membros da 
igualdade inicial, temos:
5 . 2 = 5 . 2 ∴ 10 = 10
 • dividindo pelo número 5 ambos os membros da 
igualdade inicial, temos:
5 : 5 = 5 : 5 ∴ 1 = 1
Portanto, para resolver a equação 2x – 6 = 0, podemos, 
pelos princípios da igualdade, isolar a incógnita x. Assim, 
somando 6 a ambos os membros da igualdade, temos:
2x – 6 + 6 = 0 + 6
2x = 6
 • dividindo pelo número 2 ambos os membros da 
igualdade, temos:
2
2
x
 = 
6
2
 • simplificando, determinamos o valor de x:
x = 3
Em termos mais práticos podemos estabelecer que:
2x – 6 = 0
 • “passando“ o 6 para o segundo membro com a 
operação inversa da subtração, temos:
2x = 0 + 6 ∴ 2x = 6
 • “passando“ o 2 para o segundo membro com a 
operação inversa da multiplicação, temos:
x = 
6
2
 ∴ x = 3
Conjunto solução
O conjunto solução (S) de uma equação do primeiro 
grau na incógnita x é o conjunto unitário formado pelo 
único valor de x que verifica a igualdade dessa equação.
Para a equação 2x – 6 = 0, do exemplo anterior, 
temos que S = { 3 }.
Equações equivalentes
Duas equações são equivalentes quando apresen-
tam o mesmo conjunto solução.
Exemplo: 
As equações:
3x – 1 = 5 e 1 + 2x = 5
são equivalentes, pois apresentam o mesmo conjunto 
solução, que é S = {2}.
9Matemática 1C
Matemática
1B1C
Equações do 1º. grau
Aula 02
Al Khwarizmi 
Foi um astrônomo e matemático que nasceu em Khiva, atualmente Uzbequistão, mas cresceu 
em Bagdá, onde foi morar com seus pais, e trabalhou na “Casa da Sabedoria”. No século IX escreveu 
o livro intitulado “O livro sumário sobre cálculos por transposição e redução”, onde usou o termo 
“álgebra” no sentido de “transpor um termo de um membro para o outro numa igualdade”, que é 
o que se faz quando desejamos isolar uma incógnita numa equação. Por isso, muitos consideram 
Al Khwarizmi como o “pai da álgebra”. A palavra Álgebra – Al-jabr, em árabe – quer dizer 
”a reunião das partes quebradas”.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/E
du
ar
d 
Ki
m
01. (PUC – MG) – O valor de x que verifica a igualdade x x x
−
−
−
= −
1 4 3 1
2 6 3
 é:
a) 
2
3
b) 
3
4
c) 
3
2
d) 
4
3
02. (FATEC – SP) – Entre as tarefas de um professor, está a elaboração de exercícios. Professores de Matemática ainda 
hoje se inspiram em Diofanto, matemático grego do século III, para criar desafios para seus alunos. Um exemplo 
de problema diofantino é: “Para o nascimento do primeiro filho, o pai esperou um sexto de sua vida; para o nas-
cimento do segundo, a espera foi de um terço de sua vida. Quando o pai morreu, a soma das idades do pai e dos 
dois filhos era de 240 anos. Com quantos anos o pai morreu?” Considerando que, quando o pai morreu, ele tinha 
x anos, assinale a equação matemática que permite resolver esse problema.
a) x
x x+ + =5 2 240
6 3
 b) x
x x+ + =
6 3
240 c) x
x x+ + =4 3 240
5 4
d) x
x x+ + =
6 2
3
240 e) x
x x+ + =6 3 240
5 4
Situações para resolver
10 Extensivo Terceirão
03. (MACK – SP) – Uma pesquisa realizada com k pessoas, a respeito da preferência de cada uma delas pela leitura de 
um dos jornais A, B e C, revelou que 
k
4
 preferem A, 
7k
20
 preferem B, 
3k
8
 preferem C e 70 pessoas não gostam de 
nenhum dos três jornais. O número k de pessoas consultadas foi:
a) 1.600 b) 1.800 c) 2.000 d) 2.400 e) 2.800
04. (UFV – MG) – Sabendo-se que –1 é a raiz da equação (m + 5)x + 3m = 3(x – 2) e sendo K = 2m2 – 5, então K é igual a:
a) 8 b) – 13 c) – 8 d) 5 e) 3
05. (UNICAMP – SP) – Para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius usa-se a fórmula C =
F5 32
9
( )
,
− em que F é o 
número de graus Fahrenheit e C é o número de graus Celsius.
a) Transforme 35 graus Celsius em graus Fahrenheit.
b) Qual a temperatura (em graus Celsius) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus 
Celsius?
Aula 02
11Matemática 1C
Assimilação
02.01. O valor de x na proporção x x+ = +4
9
25
12
 é:
a) 63 b) 62 c) 61 d) 60 e) 59
02.02. O valor de y na equação y
y+ =
2
21
2
 é:
a) um número par.
b) um número racional não inteiro.
c) um número par e primo.
d) um número primo.
e) um número quadrado perfeito.
02.03. Resolvendo a equação do 1º. grau 
3 1
5
2 3
3
4
m m
m
+ − + = − , encontramos o valor de 2m igual a:
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9
02.04. Resolvendo a equação 2 3
3
5 2 1
2
5
1
6
( ) ( )
,
x x
x
+ + − = −
qual o valor de Xx?
a) 
1
2
 b) 
1
4
 c) 
2
2
 
d) 2 e) 2
02.05. Na equação 
1
3
2
1
5
3 4(y ) (y ) ,+ − − = o valor de y–1 é:
a) 5
2
9
b) 41
2
 
c) 
2
59
 
d) 2
41
e) − 41
2
Aperfeiçoamento
02.06. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 
dá para comprar exatamente um objeto que custa R$ 60,00. 
Quanto Marcos possui?
a) R$ 20,00
b) R$ 20,50
c) R$ 22,00
d) R$ 22,50
02.07. Um motorista, após ter enchido o tanque de seu 
veículo, gastou 1/5 da capacidade do tanque para chegar até 
a cidade A; gastou mais 28 L para ir da cidade A até a cidade 
B; sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que 
corresponde a 1/3 de sua capacidade. Quando o veículo 
chegou à cidade B, havia, no tanque menos de:
a) 10 L b) 15 L c) 18 L d) 20 L e) 21 L
Testes
12 Extensivo Terceirão
02.08. Eduardo tem R$ 1.325,00 e Alberto, R$ 932,00. Eduar-
do economiza R$ 32,90 por mês e Alberto, R$ 111,50. Depois 
de quanto tempo terão quantias iguais?
a) 3 meses b) 5 meses
c) 7 meses d) 9 meses
02.09. (MACK – SP) – O número inteiro positivo, cujo 
produto de seu antecessor com seu sucessor é igual a 8 é:
a) 5 b) 4 c) – 3 d) 3 e) 2
02.10. (UNICAMP – SP) – A representação decimal de certo 
número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da 
soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o 
produto dos algarismos é igual a 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16
Aprofundamento
02.11. (FGV – SP) – Sendo m e n números reais, a operação 
m n é definida como sendo igual a 2 − −m n. Observe 
dois exemplos de uso dessa simbologia:
7 5 = – 10
Se x é um número real tal que x − =0 83, ,x então x é 
igual a:
a) 7
12
 b) 106
75
 c)17
12
 
d) 71
50
 e) 142
99
1
3
− =15 16 6,
02.12. Hoje, o Senhor Antônio está com 43 anos e suas três 
filhas, Marta com 13 anos, Márcia com 11 anos e Beth com 7 
anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será igual à soma 
das idades das três filhas?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
02.13. A diferença das idades entre Beth e Paula é de 7 anos. 
Quando a idade da mais nova dobra em relação à idade de 
hoje, a soma das idades das duas irmãs será 147 anos. A soma 
das idades delas hoje é de:
a) 67 anos
b) 71 anos
c) 75 anos
d) 77 anos
e) 83 anos
02.14. A razão entre a idade de Flávia e sua mãe é igual a 
13
27
. Se a soma das duas idades é igual a 80, então Flávia tem:
a) 39 b) 37 c) 33 d) 29 e) 26
02.15. (UEM – PR) – João recebeu de seu avô x reais de 
aniversário, gastou R$20,00 para comprar uma camiseta e do 
que restou ele usou 1
4
 para comprar um boné. Sobraram 
ainda R$45,00. Sobre o exposto assinale o que for correto. 
01) João gastou 25% do dinheiro que ganhou do avô na 
compra do boné.
02) João utilizou 1
4
 do dinheiro que ganhou do avô na 
compra da camiseta.
04) O boné custou R$15,00.
08) O avô de João deu a ele R$100,00.
16) O boné custou 75% do valor da camiseta.
Aula 02
13Matemática 1C
02.16. (FGV – SP) – Um cinema cobra R$30,00 por ingresso. 
Estudantes e idosos pagam meia entrada, isto é, R$15,00 
por ingresso.
Para uma sessão, foram vendidos 300 ingressos e a receita 
correspondente foi R$7.200,00. Sabendo que o número de 
estudantes é 40% superior ao de idosos, podemos concluir 
que o número de frequentadores idosos é:
a) menor que 40.
b) divisível por 6.
c) múltiplo de 10.
d) primo.
e) maior que 90.
02.17. (CESGRANRIO – RJ) – José viaja 350 quilômetros 
para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. 
Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou 
para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade 
de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos 
quilômetros ele percorreu após o café?
a) 87,5
b) 125,6 
c) 262,5
d) 267,5
e) 272,0
02.18. A soma de três números pares consecutivos é igual 
a 78. Determine o produto destes números:
a) 7.920
b) 13.728
c) 14.784
d) 17.472
e) 21.840
 
02.19. A idade de um pai é o quádruplo da idade do filho. 
Daqui a 10 anos, a idade do pai será o dobro da idade do 
filho. Qual será a idade do pai daqui a 10 anos?
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
Desafio
02.20. Num sábado à tarde, Andréa e Sandro foram fazer 
um lanche na Casa de Chá Doces Encantos. Pediram cinco 
coxinhas e dois cappuccinos. Ao receberem a conta no 
valor de R$59,95, verificaram que foram cobrados 10% de 
gorjeta. Andréa que gosta muito de coxinha, descobriu que 
às quartas feiras todo o cardápio é 5% mais barato, contudo, 
a gorjeta é cobrada da mesma forma. Qual é o valor que 
Andréa e Sandro pagariam se fizessem o mesmo pedido?
a) R$ 54,50
b) R$ 51,77
c) R$ 59,95
d) R$ 52,56
e) R$ 56,95
02.01. e
02.02. d 
02.03. d
02.04. c
02.05. d
02.06. d
02.07. e
02.08. b
02.09. d
02.10. c
02.11. c
02.12. b
02.13. d
02.14. e
02.15. 22 (02 + 04 + 16)
02.16. c
02.17. c
02.18. d
02.19. a
02.20. e
Gabarito
14 Extensivo Terceirão
Introdução
Equação do 1o. grau com duas incógnitas, x e y, é uma 
sentença matemática do tipo ax + by + c = 0, onde a, b e 
c são números reais, com a e b diferentes de zero.
Exemplo:
2x +3y = 7
Uma das soluções dessa equação é o par ordenado 
(x; y) tal que
 • x = 2 e y = 1, pois 2 ∙ 2 + 3 ∙ 1 = 7;
 • x = –1 e y = 3, pois 2 ∙ (–1) + 3 ∙ 3 = 7; 
 • x = 5 e y = –1, pois 2 ∙ 5 + 3 ∙ (–1) = 7.
Esses são apenas três exemplos dos valores de x e y 
que formam uma solução da equação 2x + 3y = 7, pois 
essa equação admite infinitas soluções. 
Observe que se isolarmos uma das incógnitas 
teremos uma solução geral para a equação. Por 
exemplo:
 • 2 3 7
7 2
3
7 2
3
x y y
x
x k e y
k+ = ⇒ = − ⇒ = = − 
formam, para todo número real k, uma solução 
da equação 2x + 3y = 7. Portanto, essa equação 
admite infinitas soluções, e seu conjunto solução é 
S k
k
para todo k= − ∈⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
; ;
7 2
3
Um conjunto de duas ou mais equações formam 
um sistema de equações.
Os dois sistemas, apresentados a seguir, são exem-
plos de sistemas de equações do 1o. grau com duas 
incógnitas.
 •
2 2
3 5 3
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
 •
2 2
3 5 3
1
x y
x y
x y
+ =
− =
− + = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Conjunto solução de um 
sistema de equações
A solução de um sistema de equações pode não ser 
única ou nem existir. Mas toda e qualquer solução de 
um sistema de equações é, obrigatoriamente, solução 
de todas as equações que formam esse sistema.
Nos sistemas de equações do 1°. grau com duas 
incógnitas, o conjunto solução é formado por todos os 
pares ordenados que apresentam, de forma ordenada, 
os valores das duas incógnitas que são soluções, simul-
taneamente, de todas as equações do sistema. 
Exemplo: 
O par ordenado (1; 0) é a única solução do sistema 
2 2
3 5 3
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
, pois x = 1 e y = 0 são os únicos valores 
que verificam as duas equações do sistema.Portanto, o 
conjunto solução desse sistema é S = ( ){ }1 0;
Representação gráfica
A toda equação do 1o. grau com duas incógnitas 
corresponde, no plano cartesiano, uma reta.
Considerando um sistema formado por apenas duas 
equações do 1o. grau, com duas incógnitas, as retas 
correspondentes são
 • concorrentes, quando o sistema tem solução única;
x
y
0
1
2
3
4
–1
0 1 2 3 4 5 6 7
15Matemática 1C
Matemática
1B1C
Sistemas de equações do 1º. grau
Aula 03
 • coincidentes, quando o sistema tem infinitas soluções; 
x
y
–1 1 2 3 4
1
0
2
3
 • paralelas, quando o sistema não tem solução. 
–1 1 2
x
y
4
3
2
0
1
Métodos de resolução
Apresentaremos dois métodos de resolução de sis- 
temas de equações do 1o. grau:
 • Método da substituição
 • Método da adição
Método da substituição
Este método consiste em isolar, numa das equações, 
uma das incógnitas e, a seguir, substituir a expressão 
obtida na outra equação.
Exemplo:
Resolver o sistema 
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
2 7
1
Resolução:
 • Isolando x na primeira equação, temos: x = 7 – 2y
 • Substituindo, na segunda equação, x por 7 – 2y e 
resolvendo a nova equação obtida, determinamos o 
valor de y:
7 2 1 7 3 1 2−( )− = ⇒ − = ⇒ =y y y y
 • Substituindo y por 2, na equação x = 7 – 2y, determi-
namos o valor de x:
x x= − ⇒ =7 2 2 3.
Os valores de x e y que resolvem todas as equações 
do sistema formam o par ordenado (x; y), que é uma 
solução do sistema. Portanto, o par ordenado (3; 2) é 
a única solução do sistema 
2 12
3
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
, e o conjunto 
solução desse sistema é:
S 3 2= ( ){ };
Método da adição
Este método consiste em somar ambas as equações 
de tal forma que seja eliminada uma das incógnitas.
Exemplo:
Resolver o sistema 
2 12
3
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
Resolução:
 • Somando as equações do sistema, membro a 
membro, cancelamos a incógnita y e, em seguida, 
determinamos o valor da incógnita x:
+
+ =
− =
=
2 12
3
3 15
x y
x y
x
3 15 5x x= ⇒ =
 • Substituindo x por 5 na primeira equação do sistema 
(poderia ser na segunda), determinamos o valor de y:
2 5 12 2. + = ⇒ =y y
Então, o conjunto solução do sistema 
2 12
3
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
é:
S 5 2= ( ){ };
Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando apresentam 
o mesmo conjunto solução.
Exemplo: 
Os sistemas 
3 5 1
4 3 6
x y
x y
+ = −
+ =
⎧
⎨
⎩
 e x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
1
5
 são equivalen-
tes, pois apresentam o mesmo conjunto solução, que é:
S 3 2= ( ){ }; −
16 Extensivo Terceirão
Situações para resolver
01. No sistema linear 
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
4 14
4 11 , o valor de x + y é um número:
a) par.
b) primo.
c) irracional.
d) negativo.
e) nulo.
02. (MACK – SP) – Em cada uma das salas de aulas de uma escola existem 30 carteiras. Distribuídos os alunos da 
escola nas salas, uma delas fica com exatamente 20 carteiras vazias e, as demais salas, totalmente ocupadas. 
Utilizando 4 salas a menos,e acrescentando 10 carteiras em cada uma delas, todas ficam totalmente ocupadas. 
O número de alunos da escola é
a) 370 b) 380 c) 400 d) 410 e) 440
Aula 03
17Matemática 1C
03. (UEPG – PR) – Uma loja de cosméticos comprou 60 vidros de esmalte da marca M e 40 vidros da marca R, pa-
gando no total R$ 190,00. Se a razão entre os preços unitários dos esmaltes M e R é de 3 para 5, nessa ordem, 
assinale o que for correto. 
01) A diferença entre os preços unitários das duas marcas é de R$ 1,50. 
02) Se a loja tivesse comprado 50 vidros de cada marca, teria pago R$ 10,00 a mais. 
04) Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca M, teria pago R$ 40,00 a menos. 
08) Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca R, teria pago R$ 40,00 a mais.
04. (FUVEST – SP) – Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram 
uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram 
dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
 Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
 Carlos e Andreia pesam 123 kg, e
 Andreia e Bidu pesam 66 kg.
 Podemos afirmar que:
a) cada um pesa menos que 60 kg.
b) dois pesam mais que 60 kg.
c) Andreia é a mais pesada.
d) o peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é mais pesado que Andreia e Bidu juntos.
18 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
03.01. Das seguintes equações listadas abaixo, quais são 
classificadas como lineares? Analise as afirmações e some 
as proposições verdadeiras.
01) a b c− + =2 3 
02) x
y
+ =1 4 
04) 3 2
1
5
⋅ − + = −x y z 
08) 4 3 2x y− = − 
16) 2 52x x− = 
32) − − = +m n p 2 
64) a b c
2 2 2 1+ + = 
03.02. Quais das ternas abaixo é solução da equação 
2x – 3y + z = 3?
a) (5, 4, 1)
b) (5, 4, –1)
c) (3, 2, 2)
d) ( –1, –1, 2)
e) (2, 1, –4)
03.03. Determine o valor real de m, de modo que o par 
(m, 2m + 1) seja solução da equação 3x – 11y = 4.
03.04. O par ordenado (a, b) é solução do sistema 
x y+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
2 17
2 11x y
. Então a3 + b2 é igual a:
a) 58 b) 76 c) 34 d) 23 e) 10
03.05. Resolvendo o sistema 
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
3 34
2 2 , obtém-se x e y tal que y – x é igual a:
a) –6 b) 6 c) 14 d) –14 e) –10
03.06. Resolvendo o sistema
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
20
3 4 72 , podemos concluir que:
a) y = 3x
b) y = x + 6
c) y = 3x – 14
d) y = –4x + 12
e) y = 2x –4
Aperfeiçoamento
03.07. Após resolver o sistema, algébrica e graficamente, 
classifique-o em Sistema Impossível (SI), Sistema Possível 
Determinado (SPD) ou Sistema Possível Indeterminado (SPI).
2 4
2 2 10
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
 
Aula 03
19Matemática 1C
03.08. Após resolver o sistema, algébrica e graficamente, 
classifique-o em Sistema Impossível (SI), Sistema Possível 
Determinado (SPD) ou Sistema Possível Indeterminado (SPI).
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
2
2 2 4 
03.09. Após resolver o sistema, algébrica e graficamente, 
classifique-o em Sistema Impossível (SI), Sistema Possível 
Determinado (SPD) ou Sistema Possível Indeterminado (SPI).
4 2 1
8 4 4
x y
x y
− =
− =
⎧
⎨
⎩
 
03.10. Num domingo de sol, porém muito frio, há 25 
pessoas andando de skate ou bicicleta no parque. No total 
há 74 rodas girando. Quantas pessoas andam de bicicleta e 
quantas andam de skate respectivamente?
a) 11 e 14
b) 14 e 11
c) 12 e 13
d) 13 e 12
e) 10 e 15
03.11. Em uma cafeteria no shopping, um café expresso e 
cinco pães de queijo custam R$ 13,50; dois cafés expresso e 
sete pães de queijo custam R$ 21,60. Quanto custarão cinco 
cafés expresso e seis pães de queijo?
a) R$ 30,80
b) R$ 35,50
c) R$ 32,30
d) R$ 34,60
e) R$ 33,30
03.12. Numa balada em Curitiba, o convite para homens 
custava R$60,00 e para mulheres, R$50,00. Sabendo que 
o número de mulheres que foram à balada excede em 15 
o número de homens e que, ao todo, foram arrecadados 
R$25060,00, pergunta-se: qual é o número de homens que 
foram a essa balada?
a) 236
b) 206
c) 251
d) 221
e) 216
03.13. (UNESP – SP) – Maria tem em sua bolsa R$15,60 
em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o 
número de moedas de 25 centavos é o dobro do número 
de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:
a) 68
b) 75
c) 78
d) 81
e) 84
20 Extensivo Terceirão
03.14. (UNESP – SP) – Um orfanato recebeu uma certa 
quantidade x de brinquedos para serem distribuídos entre 
as crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 
70 brinquedos para serem distribuídos. Mas, para que cada 
criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários 
mais 40 brinquedos. O número de crianças do orfanato e a 
quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, 
respectivamente: 
a) 50 e 290
b) 55 e 235
c) 55 e 220
d) 60 e 250
e) 65 e 265
03.15. Os valores de x e y que satisfazem a equação
( ) ( )x y x y+ − + − − =14 12 02 2
são tais que o produto de x e y é um número: 
a) par;
b) primo;
c) quadrado perfeito;
d) múltiplo de 5;
e) múltiplo de 7.
03.16. (UERJ) – Um homem com apenas R$20,00 comprou 
coco e abacaxi em uma feira. A unidade do coco custou 
R$2,00 e a do abacaxi, R$4,00. Com o dinheiro que possuía, a 
maior quantidade dessas frutas que ele pode ter comprado é:
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6
03.17. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. 
Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar 
e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 
0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma 
produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe 
de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões 
abaixo. 
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg 
de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. 
b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do 
tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende 
gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe? 
03.18. (ACAFE – SC) – Uma biblioteca possui 300 livros, 
todos do mesmo tamanho. Um funcionário pretende dividi-
-los igualmente entre as prateleiras da loja. Sabendo que, 
se os livros forem igualmente divididos entre 3 prateleiras 
a menos, cada prateleira receberá 5 livros a mais do que o 
previsto inicialmente. Assim, o número de prateleiras para 
colocar todos os livros é: 
a) Múltiplo de 4.
b) Múltiplo de 3.
c) Entre 10 e 12.
d) Maior que 20.
Aula 03
21Matemática 1C
Desafio
03.19. (FGV – SP) – O dono de uma papelaria comprou uma grande quantidade de canetas de dois tipos, A e B ao preço de 
R$20,00 e R$15,00 a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de R$1020,00. No total, ele saiu da loja com 777 
canetas, mas sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de caneta que comprou, ele ganhou uma caneta extra, 
do mesmo tipo, de brinde. 
Nas condições descritas, o total de dúzias de canetas do tipo B que ele comprou foi igual a:
a) 52 b) 48 c) 45 d) 41 e) 37
03.20. (UEPG – PR) – Fábio fez compras em duas lojas. Na primeira loja, gastou a metade do que tinha na carteira, mais 
R$3,00 de estacionamento. Na segunda loja, gastou a terça parte do que restou na carteira, mais R$5,00 de estacionamento. 
Se ele ainda ficou com R$53,00 na carteira, assinale o que for correto.
01) Ele tinha mais de R$200,00 na carteira.
02) Na segunda loja, ele gastou 20% do que tinha inicialmente.
04) Na primeira loja, ele gastou mais de R$85,00.
08) No total, ele gastou menos de R$130,00
Gabarito
03.01. 45 (01 + 04 + 08 + 32)
03.02. d
03.03. m = −
1
19
5
03.04. b
03.05. b
03.06. e
03.07. S SPD= −{( ; )}3 2
–1 0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
–1
–2
–3
–4
–5
–6
03.08. S SPI= − + ∈{(x; x ) / x };2
–2 0 2 4 6 8
2
4
6
–1
–2
–3
03.09. S = ∅; SI
–1 0 0,5 1 1,5–3 –2,5 –2
0,5
1
1,5
–0,5
–1
–1,5
–2
–3,5
03.10. d
03.11. e
03.12. d
03.13. c
03.14. b
03.15. b
03.16. a
03.17. a) Não
b) A = 22,5kg; B = 5kg
03.18. b (N =1 5)
03.19. b
03.20. 12 (04 + 08) 
22 Extensivo Terceirão
Introdução
Linguagem das máquinas
Vivemos hoje a era digital, que trouxe – e continuaa 
proporcionar – mudanças radicais na comunicação. 
Muito antes de serem desenvolvidos os compu-
tadores, o homem já havia desenvolvido a teoria das 
matrizes, sem a qual o mundo digital não existiria. 
Nenhum programa gráfico, nem o Word nem o Excel, 
por exemplo, poderiam ser criados se não existissem 
as matrizes. Então, não há exagero em dizer que Ma-
triz é a linguagem das máquinas. 
Tudo começou com o desenvolvimento do hábito, 
simples e milenar, de registrar números agrupando-os 
em tabelas.
Para se ter uma ideia de quão antiga essa prática 
é, o capítulo VII de uma das principais obras da mate-
mática chinesa – “Os nove capítulos sobre a arte da 
matemática”, escrita por Chiu-Chang Suan-Shu, que 
data do século II a.C. e contém uma coleção de 246 
problemas – trata, entre outras coisas, da resolução 
de equações e sistemas lineares com os números 
alinhados em forma matricial, ou seja, organizados 
em linhas e colunas. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/R
a2
st
ud
io
O célebre matemático 
francês Augustin Louis Cau-
chy chamava as matrizes de 
“tableau ” (tabelas), isso em 
1826. Porém, o termo matriz, 
como conhecemos hoje, foi 
usado pela primeira vez pelo 
matemático inglês James 
Joseph Sylvester, num artigo 
publicado em 1850, onde 
usou a palavra matriz como 
sinônimo de ventre, por ser o “local onde se gera ou se 
cria algo ”, fazendo referência 
ao significado original do la-
tim, matrix. Em 1858, Arthur 
Cayley, grande amigo de 
Sylvester, escreveu o artigo 
“Memoir on the Theory of 
Matrices ”, consagrando assim 
o termo matriz. 
Para iniciar o estudo desse importante assunto, e 
familiarizar-se com as notações, considere, como exem-
plo, a situação descrita a seguir.
João e Maria conseguiram obter as seguintes notas 
em Matemática, Física e Química:
Matemática Física Química
João 7,0 5,0 6,0
Maria 9,0 4,0 5,0
Com as notas de João e Maria, podemos formar a 
tabela:
A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
7 5 6
9 4 5
©
W
el
lc
om
e 
Li
br
ar
y, 
Lo
nd
on
.
 Arthur Cayley 
1821 – 1895
 James Sylvester 
1814 – 1897
©
W
el
lc
om
e 
Lib
ra
ry
, L
on
do
n.
23Matemática 1C
Matemática
1B1C
Matrizes
Aula 04
Essa tabela de números, dispostos em linhas e colu-
nas, é uma matriz do tipo 2 × 3, onde 2 é o número de 
linhas e 3, o de colunas. 
Podemos também representá-la das seguintes 
formas:
A =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
7 5 6
9 4 5
7 5 6
9 4 5
 A = 
Definição
Chama-se matriz real do tipo m × x (lemos m por n) 
toda tabela formada por números reais dispostos em m 
linhas e n colunas. 
Os números que formam a tabela são chamados de 
elementos da matriz.
Vale destacar ainda que uma matriz do tipo m n× 
tem exatamente m n. elementos.
Exemplos:
A =
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 5
1 0
1 3
 é uma matriz 3 × 2;
B =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2 5
3 0 5 6,
 é uma matriz 2 × 3;
C =
− −2 3 1
11 0 2
10 4 5
 é uma matriz 3 × 3.
Notação 
Dada uma matriz A, denotaremos por aij cada um 
dos elementos dessa matriz, onde i indicará a linha e j, a 
coluna desse elemento. Assim, 
 • se A é uma matriz 3 × 2, então A
a a
a a
a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
×
11 12
21 22
31 32 3 2 
De forma resumida, podemos escrever A aij= ×[ ]3 2 . 
Ou seja,
A a A
a a
a a
a a
ij= ⇒ =×
×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
[ ]3 2
11 12
21 22
31 32 3 2
 
 
Exemplo:
Escreva a matriz A aij= ×[ ]2 2 tal que a i jij = +3 .
Solução:
(I) A a A
a a
a aij
= ⇒ =×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
[ ]2 2
11 12
21 22
 
(II) a i j
a a
a aij
= + ⇒
= ⋅ + = = ⋅ + =
= ⋅ + = = ⋅ + =
3
3 1 1 4 3 1 2 5
3 2 1 7 3 2 2 8
11 12
21 22
Assim, a matriz é: A =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4 5
7 8
 
Classificação de matrizes 
De acordo com o número de linhas e colunas, alguns 
tipos de matrizes podem receber nomes especiais.
Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda e qualquer matriz que possui 
quantidades iguais de linhas e colunas. 
Exemplo:
M =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 3
0 4
é uma matriz quadrada, pois tem duas 
linhas e duas colunas. Ou seja, é uma matriz quadrada 
do tipo 2 × 2, ou simplesmente, uma matriz de ordem 2.
É importante saber
Ordem de uma matriz quadrada nada mais é 
do que o número de linhas (ou de colunas) des-
sa matriz. Portanto, uma matriz de ordem 3, por 
exemplo, é uma matriz quadrada do tipo 3 × 3.
É importante destacar também:
– chama-se diagonal principal de uma matriz 
quadrada A o conjunto dos elementos aij des-
sa matriz tal que i = j;
– chama-se diagonal secundária de uma matriz 
quadrada A o conjunto dos elementos aij des-
sa matriz tal que i + j = n + 1.
Exemplo:
Na matriz quadrada de ordem 3, a seguir, estão 
destacadas as diagonais principal e secundária.
A
a a
a a
a a
a
a
a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
11 12
21 22
31 32
13
23
33
diagonal secundária diagonal principal
24 Extensivo Terceirão
Traço (tr) de uma matriz quadrada 
Chamamos de traço de uma matriz quadrada a soma 
dos elementos de sua diagonal principal.
Considerando uma matriz quadrada A, de ordem n, 
temos que: 
tr(A) a a a a11 22 33 nn= + + + +
Toda matriz é, de fato, um arranjo retangular de 
números reais. Porém, é comum que se chame de matriz 
retangular as matrizes em que o número de linhas é 
diferente do número de colunas.
Matriz linha e matriz coluna
Chamamos de matriz linha as matrizes do tipo 1 × n 
e de matriz coluna as matrizes do tipo m × 1, ou seja, as 
matrizes que têm uma única linha ou uma única coluna, 
respectivamente.
Exemplos:
 • B =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
7
13
é uma matriz coluna, pois é formada por 
uma única coluna.
 • C = [ ]32 7 1 é um exemplo de matriz linha, pois 
possui uma única linha.
Igualdade de matrizes
Dadas duas matrizes A e B, do mesmo tipo, dizemos 
que A e B serão iguais se, e somente se, todos os ele-
mentos correspondentes forem iguais. Ou seja:
Se A aij m n= ×[ ] e B b ij m n= ×[ ] , então A = B se, e 
somente se, a bij ij= para todos os valores possíveis de 
i e j note que i m e j n∈ ∈{ } { }( )1 2 1 2, , , , , , .
Exemplo:
Sejam as matrizes P
x
y
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
8
1
 e Q
z
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
1 3
. 
Se P Q= , então x = 2 , y = 3 e z = 8 . 
Tipos de matrizes
Apresentaremos, a seguir, alguns tipos de matrizes. 
Outros tipos serão apresentados nas próximas aulas.
Matriz nula
Chama-se matriz nula toda e qualquer matriz cujos 
elementos são todos iguais a zero.
Exemplo:
O = →
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
0 0
0 0
0 0
matriz nula do tipo 3 × 2
Matriz oposta
Para toda matriz A existe, em correspondência, uma 
única matriz – A que é obtida trocando-se o sinal de cada 
elemento de A. Dizemos que – A é a matriz oposta de A.
Exemplo:
Se A = −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 0
4 3
 
, então − =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥A
1 0
4 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz 
transposta de A a matriz At , n × m, tal que a primeira 
coluna de At é igual à primeira linha de A, a segunda 
coluna de At é igual à segunda linha de A, e assim 
sucessivamente. Ou seja, as colunas da matriz At são, 
ordenadamente, iguais às linhas de A. 
Exemplo:
Se A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
5 3 4
1 0 2
, então sua transposta é
A t =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
5 1
3 0
4 2
. 
Atenção
Observe que A é uma matriz do tipo 2 × 3, 
enquanto que At é do tipo 3 × 2. Note também 
que todo elemento aij de A é igual ao elemento 
aji de A
t. 
Matriz simétrica
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é simétrica 
quando A = At, onde At denota a transposta de A.
Exemplo:
A matriz A =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
7 3 1
3 2 4
1 4 5
 é simétrica, pois:
A At =
−
− =
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
7 3 1
3 2 4
1 4 5
Observação:
Se A = –At, dizemos que a matriz A é antissi-
métrica.
Aula 04
25Matemática 1C
26 Extensivo Terceirão
01. (UFAL) – Considere a matriz A = (aij)3x4, na qual a
i j se i j
i j se i jij
=
− ≤
⋅ >
⎧
⎨
⎩
,
,
.
 O elemento que pertence à 3a. linha e à 2a. coluna da matriz At, transposta de A, é:
a) 4 b) 2 c) 1 d) – 1 e) – 2
02. Uma construtora foi contratada para construir 2 estilos de casa: Modelo-X e Modelo-Y. As quantidades de materiais 
empregados em cada estilode casa são mostradas pela matriz:
Ferro Madeira Tijolo
Modelo X
Modelo Y
−
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
8 18 20
6 15 16
 Suponha que o construtor vá construir 3 casas do Modelo-X e 2 do Modelo-Y. Se os preços por unidade de ferro, ma-
deira e tijolo são, respectivamente, R$150,00, R$100,00 e R$120,00, então o custo total desses materiais empregados 
nessas construções é igual a
a) R$ 22230,00
b) R$ 22780,00
c) R$ 23730,00
d) R$ 23940,00
e) R$ 24840,00
Situações para resolver
03. (UERJ) – A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco 
dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.
35 6 36 4 38 6 38 0 36 0
36 1 37 0 37 2 40 5 40 4
35 5 35 7 36 1 37 0 39
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,,2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 Determine: 
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 
Testes
Assimilação
04.01. Dadas as matrizes A
x y
x y
=
+
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 1
6 0
3
e 
B x z
w y
= +
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
5 1
0
4
, e sabendo que A = B, determine 
x + y – z + w
a) 5 b) –9 c) 9 d) 15 e) –5
04.02. (EEAR – SDAS – SP) – Se 
1
1 2
a
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ e 
b
x k
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2 são 
matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são respectivamen-
te:
a) 1,–1, 1, 1
b) 1,1, –1, –1
c) 1, –1, 1, –1
d) 1, –1, –2, –2
Aula 04
27Matemática 1C
04.03. Seja a matriz A aij x= ( ) ,3 4 onde cada a i jij = +( ) .
2 Qual 
é a soma de todos os elementos de A?
a) 54
b) 156
c) 266
d) 265
e) 165
 
04.04. (UCSAL – BA) – Seja a matriz A aij x= ( )3 3 definida por:
a
i
i se i j
j se i j
ij
j=
<
=
>
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
−
, se i j
,
,1
Nessas condições, o produto de todos os elementos da 
matriz A, é igual a:
a) 4 2 
b) 27
c) 27 2 
d) 54
e) 54 2 
04.05. (UCSAL – BA) – Se a matriz a seguir é simétrica, então 
x + y + z é igual a:
A
y
x z=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 1 2
0 1
4 3 2
a) –2
b) –1
c) 1
d) 3
e) 5
Aperfeiçoamento
04.06. A matriz A a b c
c
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 3
2 1
 admite a transposta 
A
a
a b
b b c
t = −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2
2 1
3 6
.
Nestas condições, calcule o valor de a b c
a ⋅ − 2 
a) –9
b) –41
c) 281
d) 41
e) 231
04.07. (UNIMES – SP) – Considere a matriz 
M m
z
ij
x
= =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
( ) ,
0
3
3 1
 cuja lei de formação é dada por 
m a i b i jij = ⋅ + ⋅ +
2 . Dessa forma, o valor de z é igual a:
a) 9
b) 8
c) 6
d) 10
e) 7
28 Extensivo Terceirão
04.10. (UFSM – RS) – Sabendo-se que a matriz 
A
y
x x
y
=
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
36 7
0 5
4 30 3
2 é igual a sua transposta, o valor 
de 2x+y é:
a) –23
b) –11
c) –1
d) 11
e) 23
Aprofundamento
04.11. (CEFET – MG) – Cinco amigos A A A A A1 2 3 4 5, , , , 
viajaram juntos num fim de semana e, durante a viagem, as 
despesas foram divididas igualmente entre eles. Entretanto, 
para facilitar o troco, algumas vezes um emprestava dinheiro 
para o outro.
Considere que nas matrizes S e D, abaixo, estão registrados 
os valores, em reais, que cada um emprestou para o outro 
no sábado e no domingo, respectivamente, sendo que o 
elemento da linha i e da coluna j representa o que o amigo Ai 
emprestou ao amigo AJ nesse dia, com i e j variando de 1 a 5.
S =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
0 4 7 10 2
15 0 11 1 0
12 5 0 4 8
5 0 2 0 10
5 1 3 2 0
 D =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
0 1 4 2 1
0 0 16 7 10
15 8 0 11 0
0 4 5 0 5
18 3 0 4 0
Ao final da viagem, o amigo A4 ainda devia aos demais 
amigos, em reais, a quantia de 
a) R$ 10,00
b) R$ 15,00
c) R$ 31,00
d) R$ 41,00
e) R$ 72,00
04.08. (FCMSC – SP) – Se uma matriz quadrada A é tal que 
At = – A, ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que 
M é antissimétrica e M
a m m
a b m
b c c
=
+
+
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
4
2
2 8
12 13
23 . Os termos 
m12, m13 e m23 da matriz M valem, respectivamente:
a) –4, –2 e 4
b) 4, 2 e –4
c) 4, –2 e –4
d) 2, –4 e 2
e) 0, 0 e 0
04.09. (UFPR) – Seja M aij= [ ] uma matriz de ordem 3 x 2, 
tal que: para i j a i jij= = −, ( )2 e para i j a i jij≠ = +, 2 . A 
matriz M é:
a) 
0 2
2 0
4 0−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
b) 
0 6
6 0
8 10
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
c) 
0 4
5 0
7 8
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
d) 
0 5 7
4 0 8
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
e) 
0 6 8
6 0 10
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
Aula 04
29Matemática 1C
04.12. (UEL – PR) – Conforme dados da Agência Nacional 
de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos 
públicos e 1814 aeródromos privados certificados. Os pro-
gramas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego 
aéreo representam a malha aérea por meio de matrizes. 
Considere a malha aérea entre quatro cidades com aero-
portos por meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D 
indexadas nas linhas e colunas da matriz 4 × 4 dada a seguir. 
Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4 × 4 se as cidades X 
e Y possuem conexão aérea direta, caso contrário coloca-se 
0. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi 
preenchida com 1.
A B C D
A
B
C
D
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas 
ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar para a 
cidade de origem, assinale a alternativa correta. 
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades.
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades. 
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. 
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B. 
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C. 
04.13. Denomina-se traço de uma matriz quadrada a soma 
dos elementos da diagonal principal. Se o traço da matriz 
A
x
y
=
− +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2 1
 é igual a 10 e x = 2y, o valor de y
x
 é igual a:
a) 
1
2
 
b) 1
c) 2
d) −
1
2
 
e) –1
04.14. (FGV – SP) – A organização econômica Merco é 
formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios 
realizados entre os três parceiros é representado em uma 
matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da 
linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país 
j, em bilhões de dólares.
Se A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
0 1 2 3 1
2 1 0 2 5
0 9 3 2 0
, ,
, ,
, ,
, então o país que mais exportou e 
o que mais importou no Merco foram, respectivamente:
a) 1 e 1
b) 2 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 1 
e) 3 e 2
04.15. (UERJ) – Em um supermercado, um cliente empurra 
seu carrinho de compras passando pelos setores 1, 2 e 3, com 
uma força de módulo constante de 4 Newtons, na mesma 
direção e mesmo sentido dos deslocamentos. Na matriz A 
abaixo, cada elemento aij indica, em Joules, o trabalho da 
força que o cliente faz para deslocar o carrinho do setor i 
para o setor j, sendo i e j elementos do conjunto {1, 2, 3}.
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
0 40 60
40 0 80
60 80 0
Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim, re-
tornar ao setor 1, a trajetória do cliente descreve o perímetro 
de um triângulo. Nessas condições, o cliente percorreu, em 
metros, a distância de:
Obs.: O trabalho W realizado por uma força F, em módulo, 
para deslocar um corpo por uma distância d considerando 
mesma direção e sentido é dado pela fórmula: W F d= ⋅ . 
Utilizando os dados da matriz, considerando F N= 4 .
a) 35
b) 40
c) 45
d) 50
30 Extensivo Terceirão
04.16. (UEPA) – A tabela abaixo, regularmente disposta em 
linhas (atletas) e colunas (dia), representa os registros dos 
tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1º. dia 2º. dia 3º. dia
A a a a
B a a a
C a a a
Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e 
aij = 30i + 10j o elemento genérico da tabela, com i e j dados 
em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no 
terceiro dia foi de: 
a) 2 horas e 30 minutos
b) 2 horas e 10 minutos
c) 2 horas
d) 1 hora e 50 minutos
e) 1 hora e 30 minutos
04.17. (AFA – SP) – Uma montadorade automóveis prepara 
três modelos de carros, a saber:
Modelo 1 2 3
Cilindrada (em litro) 1.0 1.4 1.8
Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada termo 
aij representa a distância percorrida, em km, pelo modelo i, 
com um litro de combustível, à velocidade 10j km/h. 
6 7 6 7 2 8 9 8 2 11 10 12 11 8
5 7 5 7 8 5 8 10 5 9 5 11 5 11
3 2 7 5 9 5 5 8 1
, , , , ,
, , , , ,
, , , , 77 4 9 8 9 4 13 1, , , ,
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Com base nisso, é correto dizer que
a) para motoristas que somente trafegam a 30 km/h, o car-
ro 1.4 é o mais econômico.
b) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 e 
um 1.8 trafegam a 50 km/h, o 1.4 será o mais econômico.
c) para motoristas que somente trafegam a velocidade de 
70 km/h, o carro 1.8 é o de maior consumo.
d) para motoristas que somente trafegam a 80 km/h, o car-
ro 1.0 é o mais econômico.
04.18. (UEM – PR) – Em uma região, populações de espécies 
de insetos pertencentes às ordens Hymenoptera (abelhas, 
E1, e formigas, E2) e Isoptera (cupins, E3) vivem em três locais 
diferentes (1, 2 e 3), com os organismos de cada população 
mantendo algum grau de cooperação e de divisão de traba-
lho. Considere a matriz que representa o número de popu-
lações desses insetos, em que a entrada aij dessa matriz é a 
população da espécie Ej no local i, e assinale o que for correto. 
24 19 21
15 11 18
12 16 14
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
01) O número de populações de insetos dessa região é 150.
02) A quantidade de populações de cupins dessa região é 
53.
04) Nessa região, o número de populações de insetos per-
tencentes à ordem Hymenoptera é 97.
08) As populações de abelhas, de formigas e de cupins são 
exemplos de espécies coloniais.
16) As populações de abelhas, de formigas e de cupins 
constituem parte da comunidade dessa região.
Desafio
04.19. (UFRJ) – Há 5 senadores designados para uma Co-
missão Parlamentar de Inquérito (CPI). Eles devem escolher 
entre si um presidente para comissão, sendo que cada 
senador pode votar em até 3 nomes. Realizada a votação 
onde cada um deles recebeu um número de 1 a 5 os votos 
foram tabulados na matriz A aij x= ( )5 5 a seguir indicada. Na 
matriz A, cada elemento aij é igual a 1 (um) se i votou em j, 
e é igual a 0 (zero), caso contrário.
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 0 0 0 1
1 0 0 0 1
Qual o candidato mais votado?
a) Candidato 1
b) Candidato 2
c) Candidato 3
d) Candidato 4
e) Candidato 5
Aula 04
31Matemática 1C
04.01. c
04.02. c
04.03. c
04.04. e
04.05. e
04.06. e
04.07. d
04.08. b
04.09. c
04.10. c
Gabarito
04.20. (FGV – SP) – Os marcos A, B, C e D de uma cidade estão conectados por pistas de rodagem, conforme mostra a malha 
viária indicada no diagrama da figura 1. A figura 2 indica uma matriz que representa as quantidades de caminhos possíveis 
de deslocamento entre os marcos (dois a dois).
Considera-se um caminho entre dois marcos qualquer percurso que não viole o sentido da pista, que não passe novamente 
pelo marco de onde partiu e que termine quando se atinge o marco de destino final pela primeira vez. As flechas da figura 
1 indicam o sentido das pistas de rodagem.
Figura 2
A B C D
A
B
C
D
0 2 1
1 0 1 1
3 3 0 4
1 2 1 0
4⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Figura 1
Durante período de obras na malha viária descrita, a pista de rodagem entre os marcos A e D passou a ser de mão simples 
(sentido de A para D), e a pista do marco C para o marco D, ainda que tenha permanecido com mão simples, teve seu sentido 
invertido, passando a ser de D para C. Comparando os 16 elementos da matriz da figura 2 com seus correspondentes na matriz 
da nova configuração de malha viária, a quantidade de elementos que mudarão de valor é igual a
a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.
04.11. a
04.12. a
04.13. a
04.14. c
04.15. c
04.16. e
04.17. d
04.18. 23 (01 + 02 + 04 + 16)
04.19. e
04.20. b
32 Extensivo Terceirão