Apostila 8 - Modelos Discretos de Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA

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MODELOS TEÓRICOS 
DISCRETOS 
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Experimento binomial é o experimento que consiste em : 
O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, 
um número finito de vezes (n); 
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o 
resultado de uma não deve afetar os resultados das 
sucessivas. 
Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis 
resultados: sucesso e fracasso. 
No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso 
e a probabilidade q = 1 – p do fracasso serão constantes. 
 
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade 
de se obterem x sucessos em n tentativas. 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
  xnxqp
x
n
xXP 





 onde x=0,1,2,...,n 
sendo: 
  !!
!
xnx
n
x
n







 
 
  qpnXDP
qpnXVAR
npXE
..
..



P(X= x) a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas; 
p a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – 
sucesso; 
q a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa 
prova – fracasso; 
com: Medidas 
descritivas 
EXEMPLOS 
1. Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um 
particular poluente orgânico. Suponha que as amostras são 
independentes com relação à presença do poluente. 
a) Determine a probabilidade que nas próximas 18 amostras, 
exatamente 2 contenham o poluente. 
2 
EXEMPLOS 
b) Determine a probabilidade de que pelo menos 4 amostras 
contenham o poluente. 
EXEMPLOS 
c) P( 3  X < 7 ). 
EXEMPLOS 
2. Uma empresa que fabrica azulejos sabe por experiência que 
5% de suas peças possuem defeitos e devem ser 
classificadas como “de segunda linha” . 
 
a) Entre seis peças selecionadas aleatoriamente, qual é a 
probabilidade de uma ser de segunda linha? 
 
b) Entre seis peças selecionadas aleatoriamente, qual é a 
probabilidade de no mínimo duas serem de segunda linha? 
EXEMPLOS 
3. Se 75% de todas as compras em uma determinada loja 
forem feitas com cartão de crédito e X for a quantidade de 
compras feitas com cartão de crédito entre 10 compras 
selecionadas aleatoriamente. Calcule o valor esperado e o 
desvio padrão de X. 
3 
EXEMPLOS 
4. Suponha que 20% de todas as peças de pisos cerâmicos 
apresentem falha em um determinado teste de resistência. 
Seja X o número de peças que apresentam falhas entre 15 
peças selecionadas aleatoriamente. Determine a 
probabilidade de: 
 
a) no máximo 8 apresentarem falha; 
 
b) exatamente 8 apresentarem falha; 
 
c) no mínimo 8 apresentarem falha; 
 
d) de 4 a 7, inclusive, apresentarem falha. 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 Depois da binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de 
probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser aplicada a 
muitos casos práticos nos quais interessa o número de vezes que 
um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de 
tempo ou num determinado ambiente físico, denominados área de 
oportunidade (comprimento, tempo, superfície, etc.), por exemplo: 
 
 O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano; 
 O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia em 
um mês; 
 Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante 
um período de 15 minutos 
 Defeitos por unidade (cm, m, etc.) por peça fabricada 
 Erros tipográficos por página, em um material impresso 
 Usuários de computador ligados à Internet 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Nos exemplos, não há como determinar‐se a probabilidade de 
ocorrência de um sucesso, mas sim a frequência média de sua 
ocorrência, como, por exemplo, dois suicídios por ano. 
 
Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a 
ocorrência de eventos ao longo de intervalos especificados. 
 
A variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo. 
 
Os intervalos podem ser de tempo, distância, área, volume ou alguma 
unidade similar. 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
!x
e
xXP
x


Onde: 
X  é o número de ocorrências 
e  é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828) 
  é a taxa média por unidade 
 
  



XVAR
XE
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 
Medidas 
descritivas 
4 
EXEMPLOS 
1. Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 
 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste 
 PABX não receber nenhuma chamada durante um 
 intervalo de 1 minuto? 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial 
nestes aspectos fundamentais: 
 
A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e 
pela probabilidade p, enquanto que a distribuição de Poisson é 
afetada apenas pela média ; 
 
Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável 
aleatória x são 0; 1; 2; ...; n, mas a distribuição de Poisson tem os 
valores de x de 0; 1; 2; ..., sem qualquer limite superior. 
 
Obs: 
O parâmetro λ é usualmente referido como taxa de ocorrência. 
EXEMPLOS 
2. O número de mulheres que entram diariamente em uma 
 clínica de estética para bronzeamento artificial 
 apresenta distribuicão de Poisson, com média de 5 
 mulheres por dia. Qual a probabilidade de que em um 
 dia particular, o número de mulheres que entram nesta 
 clínica de estética para bronzeamento artificial, seja: 
 
a) Igual a 2? 
b) Inferior ou igual a 2? 
EXEMPLOS 
3. Considere a v.a. X = número de projetos que um 
 engenheiro executa. No mês em curso relativo ao 
 último ano obteve-se uma média de 6,5 projetos 
 executados por semana (5 dias). Qual é a probabilidade 
 de que, durante uma semana qualquer: 
 
a) Não execute nenhum projeto 
b) Execute ao menos um projeto 
c) Execute mais de um projeto 
d) Não executar nenhum projeto no período de um dia 
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EXEMPLOS 
4. A experiência passada indica que um número médio de 
 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa 
 bomba. 
 
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer 
hora? 
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em 
qualquer hora? 
c) Qual é o valor esperado, a média, e o desvio padrão para 
esta distribuição? 
EXEMPLOS 
5. Um departamento de polícia recebe em média 5 
 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber 2 
 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente?