O Mundo Quantificado da Engenharia

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O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
 
11.. OO MMuunnddoo QQuuaannttiiffiiccaaddoo ddaa 
EEnnggeennhhaarriiaa 
Desde os primórdios os seres humanos viram a necessidade de padrões de 
comparação para poder descrever, comparar e avaliar melhor as coisas do mundo que 
os rodeava. Eles precisavam comunicar aos seus semelhantes, qual a direção e a 
distância até o próximo rio, quanta carne de peixe poderia pescar, quanto milho uma 
pessoa podia carregar, e assim sucessivamente. Quantas maçãs equivalem a uma 
galinha? O que e quanto do que você quer pelo seu cavalo? Você pode ver: Quanto? 
Quanta? Quantas? Quantos? O que? 
Hoje em dia a coisa parece muito óbvia, porém no começo não foi tão simples 
assim. Como definir valor material? O que vale mais do que o quê? Quanto vale uma 
tonelada de barras de ouro para um astronauta com problemas intestinais em rumo a 
Marte1? 
Para poder estabelecer “o quanto” precisamos de um sistema de numeração que 
possa ser usado para definir diferentes quantidades. Então, nada poderia ser 
quantificado sem um sistema de numeração. Criados os sistemas de numeração, 
precisam-se definir os critérios de valor. Esses critérios são arbitrários e variam de 
sociedade para sociedade. Algumas sociedades dão valor ao ouro, e baseiam as suas 
reservas de “valor” armazenando grandes quantidades desse metal, que possui algumas 
características físicas que o tornam duradouro. Mas imaginem que uma pessoa compre 
todo o ouro do mundo e que depois ninguém queira mais esse elemento, e o dono não 
consiga mais vender para ninguém, porque ninguém mais dá valor a esse metal? 
Assim, para o bem de todos, foram padronizados os elementos necessários e os 
valores considerados comuns para poder comunicar-se mais eficientemente e para 
poder efetuar trocas comerciais mais justas. O que vale mais que o que, é definido em 
função da abundância ou escassez, na facilidade ou dificuldade da sua obtenção, na 
sua duração sem transformação ou em alguma característica física que o torne 
desejável. Foi então criada a moeda como unidade de troca padrão, e assim como as 
melancias se acomodam no andar da carruagem, as coisas materiais começaram ter o 
seu valor definido em função da oferta e da procura. Na comunicação e organização da 
 
1 Em ambiente de gravidade zero, uma barra de ouro não serve nem para segurar a porta do banheiro. 
 
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vida das pessoas, foram criadas outras unidades. Por exemplo, para definir distâncias e 
comprimentos se usou como unidade o tamanho do pé, do polegar ou de parte do 
braço. Para definir o tempo, usaram-se os intervalos entre dia e noite e as variações da 
posição relativa do sol em relação ao horizonte, assim como as diferenças dos seus 
ângulos durante a troca de estações. 
Para poder definir “o quanto” se precisa medir. Medir2 significa comparar com 
um padrão. Depois do desenvolvimento dos sistemas de numeração, da padronização 
de algumas unidades de medida, a matemática moderna junto às leis da física, 
observou-se a necessidade de estabelecer novos padrões de unidades para descrever 
fenômenos físicos que usualmente eram descritos de forma qualitativa, como é o caso 
da temperatura ambiente, que podia ser quente ou fria, o nível de iluminação que podia 
estar claro ou escuro, do vento que podia estar forte ou fraco e assim sucessivamente. 
Com os princípios da matemática e da física fortemente embasados, é que começou a 
haver uma quantificação mais exata e detalhada dos materiais e fenômenos físicos. 
O trabalho dos engenheiros requer de boas e exatas estimativas de quantificação 
dos recursos naturais e dos fenômenos físicos, e toda a nossa civilização está baseada 
nessa tarefa de quantificação que visa a otimização da utilização dos recursos e do 
aumento de valor. 
Os engenheiros projetistas nas suas análises precisam avaliar grandezas tais 
como: propriedades físicas, químicas e geométricas de forma a estabelecer ou verificar 
as especificações de engenharia dos seus projetos, assim como também para 
estabelecer a viabilidade econômica dos mesmos. 
Os engenheiros trabalham em um mundo de dados técnicos que geralmente 
consiste em medições de várias quantidades físicas, tais como: voltagem, tensão 
mecânica, velocidade, viscosidade, freqüência, vazão e muitas outras. 
Podemos definir cinco categorias principais relacionadas com as medições: 
1. Avaliação de desempenho: consiste em efetuar medições das variáveis físicas 
para ter certeza que o sistema está funcionando apropriadamente. 
2. Controle de processos: consiste em operações de realimentação na qual uma 
medida é usada para manter o processo dentro de condições específicas de 
operação. Por exemplo, pela monitoração contínua da temperatura do ar, os 
termostatos sinalizam ao aparelho de ar-condicionado se deve desligar ou 
permanecer ligado para manter uma condição confortável no cômodo. 
3. Contagem: consiste em manter um registro do uso ou vazão de uma 
determinada quantidade, por exemplo, a energia elétrica ou a vazão de água do 
consumo da sua residência. 
 
2 Medir: do latim metire. 
 
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4. Pesquisa: consiste em investigar fenômenos científicos fundamentais. Na 
pesquisa de engenharia são conduzidos experimentos e medições para 
sustentar hipóteses teóricas. Por exemplo, pode ser usado um sensor 
miniatura para medir o fluxo de sangue nas artérias e permitir aos engenheiros 
biomédicos de poder desenvolver modelos de fluxo para o coração humano. 
5. Projeto: consiste em testar novos produtos e processos com objetivo de 
verificar a sua funcionalidade. Por exemplo, se um engenheiro projeta um novo 
tipo de material isolante acústico para reduzir o ruído de aviões comerciais, ele 
ou ela devem conduzir algum tipo de teste acústico para assegurar que o novo 
material funciona apropriadamente para a aplicação pretendida. 
Os testes sempre dão a “última palavra” no projeto de engenharia. Rara vez os 
engenheiros projetam um produto ou processo sem testá-lo (medi-lo) antes de fabricá-lo 
ou colocá-lo no mercado. 
As medições constituem a “espinha dorsal” da ciência e da engenharia porque a 
descrição do mundo físico é impossível sem elas. Imagine tentar caracterizar a operação 
de um disco rígido de um computador sem efetuar qualquer medição que mostre dados 
de tensão, corrente e velocidade de giro. A medição de engenharia é o ato de usar 
instrumentos para determinar o valor numérico de uma quantidade física. Por exemplo, 
podemos usar uma balança (instrumento) para medir a massa (quantidade física) de 
uma pessoa que pode ter 80 kg. Pode ser usado um termômetro (instrumento) para 
determinar a temperatura (quantidade física) do ar, que pode ser de 25 ºC. 
11..11.. AAss DDiimmeennssõõeess 
No contexto da Engenharia, dimensão é uma variável física usada para 
descrever ou especificar a natureza de uma quantidade mensurável. Por exemplo, uma 
xícara de café pode ter dimensões geométricas (volume, altura, diâmetro), térmicas 
(temperatura), mecânicas (viscosidade), etc., que podem ser descritas de forma 
quantitativa. As características qualitativas de um objeto normalmente não são 
consideradas “dimensões”. A pressão de uma caldeira, a geometria da mesma, assim 
como a velocidade de um automóvel, o espaço que ele percorre num determinado 
intervalo de tempo são exemplos de dimensões. Qualquer variável que os engenheirosusam para especificar uma quantidade física, é em geral, a dimensão de uma 
quantidade física. Os engenheiros sempre usam dimensões no seu trabalho analítico e 
experimental. 
A especificação de uma dimensão consta de duas informações: o valor numérico 
da dimensão, e a unidade de comparação. Qualquer dimensão que omita uma dessas 
duas informações, não é útil para o Engenheiro. Se for especificado um vaso de pressão 
para armazenar 500, o engenheiro questionará: 500 que? Litros? kPa? melancias? 
 
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Hoje em dia as dimensões são padronizadas e classificadas em dimensões de 
base e dimensões derivadas. Uma dimensão de base não pode ser subdividida em 
outras dimensões de base, e por isso usualmente são chamadas de dimensões 
fundamentais de uma quantidade física. Foram definidas sete unidades de base 
formalmente definidas para o seu uso na ciência e na engenharia: 
1. Comprimento [L] 
2. Massa [M] 
3. Tempo [t] 
4. Temperatura [T] 
5. Corrente Elétrica [I] 
6. Quantidade de Substância [N] 
7. Intensidade Luminosa [i] 
As dimensões derivadas são obtidas a partir das dimensões fundamentais. Por 
exemplo, a área é o comprimento ao quadrado; a velocidade é comprimento dividido 
pelo tempo; etc. A Tabela 1-1 mostra exemplos de algumas dimensões derivadas. 
Tabela 1-1 – Exemplos de dimensões derivadas. 
Grandeza Física (dimensão) Nome da variável Dimensão 
Área A [L]2 
Volume V [L]3 
Velocidade v [L].[t]-1 
Aceleração a [L].[t]-2 
Densidade de massa [M].[L]-3 
Força F [M].[L].[t]-2 
Pressão P [M].[t]-2 
Estresse mecânico [M].[t]-2 
Energia E [M].[L]2.[t]-2 
Trabalho W [M].[L]2.[t]-2 
Potência P [M].[L]2.[t]-3 
 
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Fluxo de massa 
m
 
[M].[t]-1 
Calor específico c [L]2.[t]-2.[T]-1 
Viscosidade dinâmica [M].[L]-1.[t]-1 
Tensão elétrica V [M].[L]2.[t]-3.[I]-1 
Resistência elétrica R [M].[L]2.[t]-3.[I]-2 
As letras entre colocadas entre colchetes são as dimensões de base e os 
expoentes e pontos indicam o tipo de relação de acordo como modelo físico 
correspondente. Esses símbolos são úteis para verificar a consistência das equações. 
Todas as relações matemáticas usadas nas ciências e na engenharia devem ser 
dimensionalmente consistentes, ou dimensionalmente homogêneas. Isto significa que 
em um modelo matemático de um sistema físico, ambos os lados da equação devem 
possuir a mesma dimensão. 
Os modelos matemáticos dos sistemas físicos são usualmente representados 
matematicamente por uma equação do tipo: 
alguma_dimensão = relação_de_outras_dimensões 
O sinal “=” neste escopo vai além da igualdade numérica da matemática. Ela 
representa também igualdade na dimensão. Ou seja, não pode se dizer que ter três 
laranjas é igual a ter três peras, embora o valor numérico seja o mesmo (3), a dimensão 
(o tipo) é diferente (peras não são laranjas). Observe a seguinte relação de grandezas 
físicas: 
Valor_numérico_1 [dimensão_1] = Valor_numérico_2 [dimensão_2] 
Para que a expressão anterior seja válida, Valor_numérico_1 tem que ser igual a 
Valor_numérico_2, e a [dimensão_1] tem que ser igual à [dimensão_2]. 
EEXXEEMMPPLLOO 
A aerodinâmica é a ciência que estuda o comportamento dos corpos em 
movimento no ar (ou o ar em movimento ao redor do corpo). Deve ser feita uma análise 
para calcular a distribuição das forças em um desenho de novas pás para um 
aerogerador, cujos protótipos são mostrados na Figura 1-1. 
 
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Figura 1-1 – Pás de um aerogerador. 
Um modelo matemático geral que relaciona a força que o ar em movimento 
imprime na pá, com a velocidade, densidade de massa e a geometria do sistema é: 
2
2
1
vACF aa
 
Onde: 
Fa = força de arrasto 
Ca = coeficiente de arrasto 
A = área transversal do corpo da pá 
 = densidade do ar 
v = velocidade do ar 
Determinar a dimensão do coeficiente de arrasto, Ca. 
Solução: A determinação da dimensão do coeficiente de arrasto pode ser 
encontrada escrevendo a equação na forma dimensional, simplificando os termos que 
forem necessários até obter a dimensão na forma compacta. Usando as dimensões da 
Tabela 1-1, podemos escrever: 
21322 ][][][][][][][][ tLLMLCtLM a
 
Notar que o fator ½ não possui dimensão, pois é um número constante e não 
uma variável. Reduzindo a equação tem-se: 
22322 ][][][][][][][][ tLLMLCtLM a
 
22 ][][][][][][ tMLCtLM a
 
Observar que as dimensões de ambos os lados do sinal de igualdade são 
idênticos, significando que o coeficiente de arrasto não deve possuir dimensão, para que 
o modelo seja dimensionalmente consistente. Desta forma, pode se dizer que o 
 
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coeficiente de arrasto é adimensional, ou seja, é uma variável física que possui valor, 
porém não possui dimensão. Embora possa parecer um pouco estranho, na engenharia 
existem muitas situações, especialmente na área de fenômenos de transporte. As 
quantidades adimensionais permitem aos engenheiros de formar relações entre 
variáveis que possuem a mesma dimensão para revelar certas características dos 
sistemas que de outra forma podem passar despercebidos. Neste exemplo, o modelo 
serve para calcular a força que o vento imprime na pá, a uma velocidade definida, para 
um determinado ângulo de ataque, que pode gerar um torque movimentando o 
aerogerador. 
EEXXEEMMPPLLOO 
A cinemática é a área da engenharia que trata do movimento de partículas e 
corpos rígidos, sem se preocupar com as forças que agem neles. Deve ser feita uma 
análise do tempo que leva um bote salva-vidas para cair de uma plataforma de extração 
de petróleo até a lamina de água. 
 
Figura 1-2 – Bote salva-vidas de queda-livre da Pesbo3. 
A trajetória de queda livre de um bote de segurança para fugir de uma 
plataforma de petróleo em risco de explosão pode ser descrito em função da velocidade 
inicial de escape, da altura da plataforma, e do tempo através do seguinte modelo: 
2
2
1
tgtvyy oo
 
Onde: 
y = é a trajetória que varia no tempo 
yo = é a altura da plataforma 
 
3 Pesbo: http://www.pesbo.com/ 
 
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vo = é a velocidade inicial de saída 
t = é o tempo 
g = é a aceleração gravitacional 
Verificar se o modelo matemático é dimensionalmente consistente. 
Solução: Para verificar se o modelo é dimensionalmente consistente, escrevemos 
a equação na forma dimensional. A trajetória possui dimensão [L], assim como a altura 
inicial do bote; a velocidade possui dimensão [L].[t]-1, o tempo possui dimensão [t] e a 
aceleração gravitacional, [L][t]-2. 
[L] = [L] + [L].[t]-1.[t] – [L][t]-2. [t]2 
Reduzindo: 
[L] = [L] + [L] – [L] 
Observe que o modelo é dimensionalmente correto, pois as dimensões dos dois 
lados da equação correspondem à dimensão de comprimento [L]. 
EEXXEEMMPPLLOO 
Alguns modelos matemáticos possuem constantes que não são adimensionais, 
i.e., possuem dimensões escondidas. Um exemplo é o modelo que relaciona a velocidade 
do som com a temperatura do ar onde se propaga: 
Tvs 61,04,331
 
Onde: 
vs = é a velocidade do som 
T = é a temperatura do ar 
Verificar a consistência dimensional do modelo e das constantes. 
Solução: Escrevendo o modelo de forma dimensional tem-se: 
[L].[t]-1 = [ ] + [ ] . [T] 
Paraque o modelo seja dimensionalmente consistente, é necessário que a 
constante 331,4 possua dimensão [L][t]-1, e que a constante 0,61 possua dimensão 
[L][t]-1[T]-1. 
 
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11..22.. AAllgguummaass DDeeffiinniiççõõeess GGeerraaiiss 
Uma quantidade, no sentido geral, é uma propriedade que descreve um 
fenômeno, corpo ou substância que pode ser quantificada. Exemplos são: a massa e a 
carga elétrica. 
Uma quantidade, no sentido específico, é uma propriedade que pode ser 
quantificada ou atribuída que descreve um fenômeno particular, corpo ou substância. 
Exemplos são: a massa da Lua e a carga elétrica do elétron 
Uma unidade é uma quantidade física específica definida e adotada por 
convenção, através da qual, outras quantidades específicas do mesmo tipo podem ter o 
seu valor comparado ou expressado. A seguir é mostrado um exemplo. 
unidadenuméricovalor 
volts 5
quantidade
V
 
 voltunidade da símbolonuméricovalor 
V 5
quantidade
V
 
O valor de uma quantidade física é uma expressão quantitativa de uma 
quantidade física específica e é representada pelo valor multiplicado pelo o da sua 
unidade. Desta forma, o valor numérico de uma quantidade física específica depende da 
unidade na qual está sendo representado. 
Por exemplo, o valor da altura da Torre Eiffel é h = 317 metros. Aqui, h é uma 
quantidade física, o seu valor está expresso em “metros”, o símbolo da unidade é m, e o 
317 é o seu valor numérico, quando expressado em metros é 317. Entretanto, se o valor 
de h for expresso em “pés”, com símbolo ft, o seu valor numérico expressado em ft será 
1040. 
 
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Figura 1-3 - A Torre Eiffel. 
11..33.. AAss UUnniiddaaddeess 
Uma unidade é uma magnitude arbitrariamente escolhida para manifestar uma 
quantidade de referência para uma determinada dimensão. Por exemplo, a dimensão de 
massa [M], pode ser expressa em unidades de quilogramas, libras ou toneladas. A 
dimensão comprimento [L] pode ser expressa em unidades de pés, polegadas, metros, 
etc. A dimensão temperatura [T] pode ser expressa em unidades de graus Celsius, 
Fahrenheit ou Kelvin. 
Hoje em dia, as unidades das sete grandezas físicas são padronizadas pelo 
Comité International dês Poids et Mesures, que definem o sistema SI (Système 
International d’Unités) conhecido por esse nome desde 1960. 
 
Figura 1-4 - Símbolo da Organisation Intergouvernementale de la Convention du Mètre. 
O sistema SI é baseado em sete unidades de base para sete quantidades 
assumidas ser mutuamente independentes. As sete dimensões de base são expressas 
 
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em termos de unidades SI que estão baseadas em padrões físicos bem definidos. Esses 
padrões são definidos de tal forma que qualquer unidade SI, com exceção da unidade 
de massa, podem ser reproduzidos em qualquer laboratório que tenha o equipamento 
adequado para isto. Os padrões estão baseados em constantes da natureza e nos 
atributos físicos da matéria e energia. A seguir serão definidas as sete unidades 
fundamentais que estão mostradas na Tabela 1-2. 
Tabela 1-2 – Dimensões fundamentais e as suas unidades no SI. 
Quantidade Base Unidade de Base SI 
Nome Símbolo Nome Símbolo 
Comprimento l, x, r, etc. metro m 
Massa m quilograma kg 
Tempo, duração t segundo s 
Corrente elétrica I, i ampère A 
Temperatura termodinâmica T kelvin K 
Quantidade de substância N mole mol 
Intensidade luminosa Iv candela cd 
11..33..11.. UUmmaa BBrreevvee HHiissttóórriiaa ddoo SSII 
A criação do Sistema Métrico no tempo da Revolução Francesa e a subseqüente 
disposição de dois padrões de platina representando o metro e o quilograma, em 22 de 
junho de 1799 no Archives de la Republique em Paris, podem ser entendidos como o 
primeiro passo no desenvolvimento do Sistema Internacional de Unidades. 
Em 1832, Gauss promoveu fortemente a aplicação deste Sistema Métrico, junto 
a outro sistema definido na astronomia, como um sistema coerente de unidades para as 
ciências físicas. Gauss foi o primeiro a efetuar medidas absolutas da força magnética 
terrestre em termos de um sistema decimal baseado nas três unidades mecânicas: o 
milímetro, o grama e o segundo, para representar as quantidades de comprimento, 
massa e tempo. Nos últimos anos, Gauss e Weber estenderam as suas medições para 
incluir o fenômeno da eletricidade. 
Essas aplicações no campo da eletricidade e do magnetismo foram 
posteriormente mais desenvolvidas na década de 1860 sob a liderança ativa de Maxwell 
e Thomson na British Association for the Advancement of Science (BAAS). Eles 
 
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formularam os requisitos para um sistema coerente de unidades com unidades de base 
e unidades derivadas. Em 1874, a BAAS introduziu o sistema CGS, um sistema de 
unidades tridimensional coerente baseado em três unidades mecânicas: o centímetro, o 
grama e o segundo, usando prefixos que iam do micro até o mega para expressar 
múltiplos e submúltiplos decimais. O subseqüente desenvolvimento da física como 
ciência experimental foi amplamente baseado neste sistema. 
Os tamanhos das unidades coerentes do sistema CGS no campo da eletricidade 
e do magnetismo, provaram não ser muito convenientes, e na década de 1880, o BAAS 
e o International Electrotechnical Commission (IEC), aprovaram um coerente conjunto de 
unidades práticas. Além daquelas já existentes, foram adicionados o ohm para a 
resistência elétrica, o volt para a força eletromotriz, e o ampère para a corrente elétrica. 
Depois do estabelecimento da Convenção do Metro em 20 de maio de 1875, a 
CIOM concentrou-se na construção de um novo protótipo tomando o metro e o 
quilograma como unidades de base para o comprimento e a massa. Em 1889 o 1º 
CGPM sancionou os protótipos internacionais para o metro e o quilograma. Ambos, 
junto com o segundo como unidade de tempo, essas unidades constituíram um sistema 
constituíram um sistema mecânico tridimensional de unidades similar ao sistema CGS, 
mas com as unidades de base sendo o metro, o quilograma e o segundo. 
Em 1901, Giorgi mostrou que é possível combinar as unidades mecânicas do 
sistema metro-quilograma-segundo com as unidades práticas elétricas para formar um 
único e coerente sistema de unidades tetradimensional, pela adição de uma quarta 
unidade de natureza elétrica, tal como o ampère, ou ohm, e reescreveu as equações do 
eletromagnetismo na forma denominada de “racional”. A proposta de Giorgi abriu o 
caminho para um grande número de novos desenvolvimentos na área. 
Depois da revisão da Convenção do Metro pelo 6º GGPM em 1921, que estendeu 
o seu escopo e responsabilidades do BIPM para outras áreas da física, e a subseqüente 
criação do CCE (hoje CCEM) pelo 7º CGPM em 1927, a proposta de Giorgi foi fortemente 
discutida pelo IEC, a IUPAP e outras organizações internacionais. Isto levou ao CCE a 
recomendar, em 1939, a adoção de um sistema tetradimensional baseado no metro, 
quilograma, segundo e ampère. A proposta foi aprovada pelo CIPM em 1946. 
Depois de uma enquête internacional promovida pelo BIPM, que começou em 
1948, o 10º CGPM em 1954, aprovou a introdução do ampère, o kelvin e a candela 
como unidades de base para a corrente elétrica, temperatura termodinâmica e 
intensidade luminosa, respectivamente. O nome Sistema Internacional de Unidades (SI) 
foi dado a sistema pelo 11º CGPM em 1960. No 14º CGPM em 1971 foi adicionadoo 
 
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mole como unidade para a quantidade de substância, elevando o número total de 
unidades de base para sete. 
11..33..22.. UUnniiddaaddee ddee CCoommpprriimmeennttoo –– OO mmeettrroo 
As origens do metro se remontam ao século XVIII. Nesta época existiam dois 
métodos concorrentes para a definição do padrão da unidade de comprimento. Alguns 
sugeriam a definição do metro como o comprimento de um pêndulo que oscilasse com 
período da metade de um segundo; outros sugeriram a definição do metro como sendo a 
dez milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre sobre um quadrante (um 
quarto da circunferência terrestre). Em 1791, pouco depois da Revolução Francesa, a 
Academia Francesa de Ciências escolheu a definição do meridiano porque a força da 
gravidade varia levemente para cada ponto do planeta afetando o período do pêndulo. 
Assim, o metro foi definido como sendo igual a 10-7, ou a dez milionésima parte 
do comprimento do meridiano que passa por Paris, do pólo até o equador. Desta forma, 
o primeiro protótipo construído era 0,2 milímetros mais curto devido que os 
pesquisadores esqueceram de levar em consideração o achatamento da Terra devido à 
sua rotação. Mesmo assim, esse comprimento virou um padrão. A Figura 1-5 
representa a manufatura do padrão físico da primeira definição do metro. 
Em 1889 foi feito um novo protótipo de uma liga de platina com 10 por cento de 
irídio, cuja dimensão ficou dentro da faixa de 0,0001, que foi medido na temperatura do 
ponto de fusão da gelo. Em 1927, o metro foi mais precisamente definido com a 
distância, a 0o, entre os eixos de duas linhas centrais marcadas na barra de platina-
irídio armazenada no BIPM4, e declarado Protótipo do metro pelo 1º CGPM5. A barra 
está à pressão atmosférica padrão e segurada por dois cilindros de pelo menos um 
centímetro de diâmetro, simetricamente colocados no mesmo plano horizontal a uma 
distância de 571 mm um do outro. 
 
44 BIPM: Bureau International des Poids et Measures. O BIPM, localizado nos arredores de Paris, possui a tarefa de 
assegurar a unificação internacional das medidas físicas. Funciona como instituto internacional de metrologia e opera sob 
supervisão exclusiva do CIPM. O CIPM (Comité International des Poids et Mesures) funciona sob a autoridade do CGPM. 
Ele sugere modificações no SI ao CGPM para a sua adoção formal. O CIPM também possui autoridade própria para 
esclarecer as resoluções e fazer recomendações a respeito do SI. 
5 CGPM: Conférence Générale des Poids et Mearures. O CGPM é a principal organização internacional responsável pelo 
SI, representando mais de 50 países. Ela foi responsável por assegurar que o SI seja amplamente disseminado e modificado 
quando necessário, para refletir os últimos avanços na ciência e na tecnologia. 
 
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Figura 1-5 – Gravura da solidificação da liga de platina-irídio chamada “Liga 1874”. 
A definição do metro de 1889, baseado no artefato de platina-irídio, foi 
substituída no CGPM em 1960 usando uma definição baseada no comprimento de onda 
da radiação do criptônio-86. Esta definição foi adotada com o objetivo de reduzir a 
incerteza com a qual o metro deve ser realizado. Em 1983, com o mesmo objetivo, o 
CGPM substituiu a definição de 1960 pela seguinte: 
O metro é comprimento do caminho percorrido pela luz no vácuo durante 
o intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo. 
Note que o efeito desta definição é a fixar a velocidade da luz no vácuo a 
exatamente 299 792 458 m·s-1. O protótipo original do metro que foi sancionado no 1º 
CGPM em 1889, ainda está armazenado no BIPM nas mesmas condições especificadas 
naquele ano. 
11..33..33.. UUnniiddaaddee ddee MMaassssaa 
No final do século XVIII um quilograma era a massa de um decímetro cúbico de 
água. Em 1889, o 1º CGPM sancionou o protótipo internacional do quilograma feito de 
platina-irídio, mostrado na Figura 1-6 que ainda está armazenado no BIPM e que se 
encontra nas mesmas condições de 1889. 
 
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Figura 1-6 – Padrão internacional de massa definido em 1889. 
A 3ª CGPM em 1901, em uma declaração com objetivo de dar um fim à 
ambigüidade popular a respeito da palavra “peso” declarou que: 
O quilograma é a unidade de massa; e é igual à massa do protótipo 
internacional do quilograma. 
A mesma conferência declarou também que: 
1. A palavra “peso” denota uma quantidade da mesma natureza que a “força”: o 
peso de um corpo é o produto da sua massa pela aceleração devido à gravidade; em 
particular, o peso padronizado de um corpo é o produto da sua massa pelo padrão de 
aceleração devido à gravidade. 
2. O valor adotado pelo International Service of Weights and Measures para o 
valor padrão da aceleração devido à gravidade é 980,665 cm/s2, valor já declarado nas 
leis de alguns países. 
11..33..44.. UUnniiddaaddee ddee TTeemmppoo 
A unidade de tempo, o segundo, foi definido originalmente como sendo a fração 
de 1/86400 do dia solar médio. A definição exata do “dia solar médio” estava baseada 
em teorias astronômicas. Entretanto, medidas mostraram que as variações na rotação 
da Terra não foram levadas pela teoria e elas têm efeito indesejável que impossibilita 
alcançar a exatidão requerida. Com objetivo de definir a unidade de tempo de forma 
mais precisa, o 11º CGPM em 1960, adotou a definição dada pela International 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
Astronomical Union que era baseada no ano tropical. Nessa época, alguns trabalhos 
experimentais já mostravam que poderia ser utilizado um padrão de intervalos de 
tempo atômico, baseado na transição entre dois estados de energia em um átomo ou 
molécula, que pudesse ser implementado e reproduzido de forma mais precisa. 
Considerando que a definição muito precisa da unidade de tempo era indispensável 
para o Sistema Internacional, o 13º CGPM de 1967 decidiu substituir a definição do 
segundo pela seguinte: 
O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação 
correspondente à transição entre os dois estados hiperfinos6 do estado base do 
átomo de césio 133. 
Na reunião de 1997, a CIPM afirmou ainda que: 
Esta definição se refere ao átomo de césio à temperatura de 0 K. 
Esta nota foi colocada como o objetivo de esclarecer que a definição do segundo 
do SI é baseada no átomo de césio não perturbado pela radiação do corpo negro, i.e., 
em um ambiente cuja temperatura termodinâmica é igual a 0 K. As freqüências de 
todos os padrões principais de freqüência devem ser corrigidas para contornar o 
deslocamento devido à radiação ambiente. 
11..33..55.. UUnniiddaaddee ddee TTeemmppeerraattuurraa TTeerrmmooddiinnââmmiiccaa 
A definição da unidade termodinâmica de temperatura foi dada pelo 10º CGPM 
em 1954, que selecionou o ponto triplo da água como ponto fixo fundamental e atribuiu 
essa a temperatura de 273,16 K, definindo desta forma a unidade. O 13º CGPM em 
1967 adotou o nome kelvin (símbolo K) no lugar de “grau Kelvin” (símbolo ºK) e definiu 
a unidade termodinâmica de temperatura como segue: 
O kelvin, unidade termodinâmica de temperatura, é a fração 1/273,16 da 
temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. 
Assim, fica definida a temperatura do ponto triplo da água em 273,16 kelvin. 
Devido à forma em que foram definidas as escalas de temperatura, ainda 
permanece comum expressar a temperaturatermodinâmica de temperatura (símbolo T) 
em termos da sua diferença da temperatura de referência To = 273,15 K, o ponto do 
gelo. Esta diferença de temperatura é chamada temperatura Celsius (símbolo t) e é 
definida pela equação: 
 
6 Na física atômica, uma estrutura hiperfina é uma pequena perturbação nos níveis de energia (ou espectro) de átomos ou 
moléculas devido à interações entre dipolos magnéticos resultantes da interação dos momentos magnético snuclerares com 
o campo magnético do elétron. 
 
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Luis Fernando Espinosa Cocian 
t = T- To 
A unidade de temperatura Celsius é o grau Celsius, símbolo °C, que por 
definição é igual em magnitude ao kelvin. A diferença ou intervalo de temperatura pode 
ser expresso em kelvins ou em graus Celsius (13º CGPM, 1967). O valor numérico da 
temperatura Celsius t expressado em graus Celsius é dado por: 
t/°C = T/K – 273,15 
O kelvin e o grau Celsius são ambas as unidades da Escala Internacional de 
Temperatura de 1990 (ITS-90) adotadas pelo CIPM em 1989. 
Na reunião de 2005, o CIPM afirmou que: 
A definição se refere à água tendo composição isotrópica definida exatamente pela 
seguinte quantidade de substância: 0,00015576 mole de 2H por mole de 1H, 0,0003799 
mole de 17O por mole de 16O, e 0.0020052 mole de 18O por mole de 16O. 
11..33..66.. UUnniiddaaddee ddee CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaa 
As unidades elétricas “internacionais”, para a corrente e a resistência, foram 
apresentadas pelo International Electrical Congress em Chicago em 1893, sendo que as 
definições do “ampère internacional” e o “ohm internacional” foram confirmadas pela 
International Conference of London em 1908 
Embora sendo óbvio na ocasião do 8º CGPM (1933) que existia um unânime 
desejo de substituir essas “unidades internacionais” pelas chamadas unidades 
“absolutas”, a decisão oficial para aboli-las somente foi tomada no 9º CGPM (1948), que 
adotou o ampère com unidade de corrente elétrica, seguindo a definição proposta pelo 
CIPM em 1946: 
O ampère é uma corrente constante que se mantidos em dois condutores 
retos paralelos de comprimento infinito, de desprezível seção reta circular, e 
separados 1 metro um do outro no vácuo, deve produzir entre os dois condutores 
uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro de comprimento. 
Isto deriva em que a constante magnética 0, também conhecida como a 
permeabilidade do espaço livre, é exatamente 4 x 10–7 henry por metro, ou seja 0 = 
4 x 10–7 H/m. 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
11..33..77.. UUnniiddaaddee ddee QQuuaannttiiddaaddee ddee SSuubbssttâânncciiaa 
Após a descoberta das leis fundamentais da química, foram criadas unidades 
chamadas “átomo-grama” e “molécula-grama”, usadas para especificar quantidades de 
elementos químicos ou compostos. Essas unidades tinham relação direta com os “pesos 
atômicos” e “pesos moleculares” que eram de fato, massas relativas. Os “pesos 
atômicos” eram referenciados com o peso atômico do oxigênio, assumido como 16. 
Mas, enquanto os físicos separavam isótopos no espectrômetro de massa e atribuíam o 
valor 16 para um dos isótopos do oxigênio, os químicos atribuíam os valores 16, 17 e 
18, o que para eles era a ocorrência natural do elemento oxigênio. 
Finalmente, um acordo entre a IUPAP7 e a IUPAC8 deu fim a esta dualidade em 
1960. Os físicos e químicos sempre concordaram em atribuir o valor 12 ao então 
chamado “peso atômico” do isótopo de carbono com número de massa igual a 12 
Ar(12C). A escala unificada então obtida fornece valores de massa atômica relativa. 
Então, foi definida a unidade de quantidade de substância fixando a massa 
correspondente do carbono 12. Por acordo internacional, essa massa foi fixada em 
0,012 kg e à unidade da quantidade “quantidade de substância” foi dado o nome de 
mole (símbolo mol). 
Seguindo as propostas da IUPAP, IUPAC e da ISO9, o CIPM de 1969 deu e 
confirmou a definição do mole, eventualmente adotada pelo 14º CGPM em 1971. 
O mole é a quantidade de substância de um sistema que contém tantas 
entidades elementares quanto há átomos em 0,012 quilogramas de carbono 12; 
o seu símbolo é o “mol”. 
E ainda: 
Quando o mole é usado, as entidades elementares devem ser especificadas e 
podem ser átomos, moléculas, íons, elétrons, outras partículas ou grupos específicos de 
partículas. 
Na reunião de 1980, o CIPM aprovou especificou que na definição da quantidade 
de substância, é entendido que a referência é com relação a átomos de carbono 12 não 
ligados, em repouso, em seu estado estacionário. 
A definição do mole também determina o valor da constante universal que 
relaciona o número de entidades com a quantidade de substância pra qualquer 
 
7 IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics (http://www.iupap.org/). 
8 IUPAC: International Union of Pure and Applied Chemistry (http://www.iupac.org/). 
9 ISO: International Organization for Standardization. 
 
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Luis Fernando Espinosa Cocian 
amostra. Esta constante é chamada constante de Avogadro, símbolo NA ou L. Se N(X) 
representa o número de entidades X em uma amostra específica, e se n(X) representa a 
quantidade de substância de entidades X na mesma amostra, a relação é: 
n(X) = N(X)/NA 
Desde que N(X) é adimensional e n(X) possui a unidade SI mole, a constante de 
Avogadro possui a unidade do recíproco do mole (mol-1). 
No nome “quantidade de substância”, as palavras “de substância” podem ser 
substituídas por simplicidade pelas palavras que especificam a substância 
correspondente a qualquer aplicação particular, de forma que se possa falar, por 
exemplo, em “quantidade de cloreto de hidrogênio, HCl” ou “quantidade de benzeno, 
C6H6”. 
É importante sempre fornecer a especificação precisa da entidade envolvida. Isto 
deve ser feito preferivelmente dando a fórmula química empírica do material envolvido. 
Embora a palavra “quantidade” possuir uma definição ainda mais geral no dicionário, a 
abreviação de “quantidade de substância” pode ser usada para simplificar. Isto também 
se aplica às quantidades derivadas tais como “quantidade de concentração de 
substância”, que pode simplesmente ser dita com “quantidade de concentração”. 
11..33..88.. UUnniiddaaddee ddee IInntteennssiiddaaddee LLuummiinnoossaa 
Originalmente, cada país possuía a sua própria definição de intensidade 
luminosa e essas eram dificilmente reproduzidas; foi necessário esperar até 1909 para 
conseguir a unificação no nível internacional, quando os laboratórios dos EUA, Francia 
e Inglaterra decidiram adotar a vela internacional representada pela iluminação de 
lâmpadas de filamento de carbono. 
Na Alemanha, ao mesmo tempo, era estabelecida a vela Hefner, definida por um 
padrão de chama, e igual a nove décimos da vela internacional. Os padrões baseados 
em lâmpadas incandescentes dependem da sua estabilidade e por isso nunca foram 
satisfatórios. Por outro lado, as propriedades do corpo negro10 forneciam uma solução 
teórica perfeita e, em 1933, foi adotado o princípio de que as novas unidades 
fotométricas deveriam ser baseadas na emissão luminosa do corpo negro na 
temperatura de congelamento da platina (2045 K). 
 
10 Na física, um corpo negro é um objeto que absorve toda a luz que chega a ele. Nenhuma radiação eletromagnética passa 
através dele e nem é refletida. Desde que nenhuma luz é refletida ou transmitida, o objeto parece negroquando frio. Se o 
corpo negro estiver quente, essas propriedades fazem dele uma fonte ideal de radiação térmica. 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
As unidades de intensidade luminosa baseadas em padrões de chamas ou de 
filamentos incandescentes, em uso em vários países antes de 1948, foram substituídos 
inicialmente pela “nova candela” baseada na luminância de um radiador de Planck 
(corpo negro) na temperatura de congelamento de platina. 
Esta modificação foi preparada pela CIE11 e pelo CIPM antes de 1937, e foi 
promulgada pelo CIPM em 1946. Ela foi ratificada em 1948 pelo 9º CGPM que adotou 
um novo nome para esta unidade, a candela (símbolo cd); em 1967 o 13º CGPM fez 
uma emenda na definição de 1946. 
Em 1979, devido a dificuldades experimentais na realização de um radiador de 
Planck em alta temperatura e as novas possibilidades oferecidas pela radiometria, i.e., a 
medição de energia da radiação óptica, o 16º CGPM (1979) adotou uma nova definição 
para a candela: 
A candela é a intensidade luminosa, em uma dada direção, de uma fonte 
que emite radiação monocromática com freqüência de 540 x 1012 hertz e que 
possui uma intensidade radiante nessa direção de 1/683 watt por 
esferorradiano. 
Da definição anterior deriva que a eficácia do espectro luminoso para a radiação 
de freqüência de 540 x 1012 hertz é exatamente 683 lumens por watt, K = 683 lm/W = 
683 cd.sr/W. 
11..44.. UUnniiddaaddeess DDeerriivvaaddaass 
As unidades derivadas são produtos das unidades de base. As unidades 
derivadas são produtos das unidades base que não incluem nenhum fator numérico 
além de 1. As unidades bases e derivadas, forma um conjunto coerente de unidades. 
11..44..11.. UUnniiddaaddeess DDeerriivvaaddaass eemm TTeerrmmooss ddee UUnniiddaaddeess ddee 
BBaassee 
O número de quantidades na ciência não possui limites e não é possível fornecer 
uma lista completa das quantidades derivadas. A Tabela 1-3 mostra alguns exemplos 
de quantidades derivadas e as suas correspondentes unidades derivadas expressadas 
diretamente em termos de unidades de base. 
Tabela 1-3 – Exemplos de unidades derivadas coerentes expressadas em termos das 
suas unidades básicas. 
 
11 CIE: International Commission on Illumination. 
 
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Quantidade derivada Unidade derivada coerente SI 
Nome Símbolo Nome Símbolo 
Área A metro quadrado M2 
Volume V metro cúbico M3 
Velocidade metro por segundo m/s 
Aceleração a metro por segundo ao quadrado m/s2 
Número de onda , recíproco do metro M–1 
Densidade, densidade de massa quilograma por metro cúbico kg/m3 
Densidade superficial A quilograma por metro quadrado kg/m2 
Volume específico v metro cúbico por quilograma m3/kg 
Densidade de corrente j ampère por metro quadrado A/m2 
Campo magnético H ampère por metro A/m 
Quantidade de concentração (a), 
concentração c mole por metro cúbico mol/m3 
Concentração de massa , quilograma por metro cúbico kg/m3 
Luminância Lv candela por metro quadrado cd/m2 
Índice de refração (b) N um 1 
Permeabilidade relativa (b) r um 1 
Notas: 
(a) No campo da química clínica esta quantidade é também chamada de concentração de 
substância. 
(b) Essas são quantidades adimensionais, ou quantidades de dimensão “um”, e o símbolo “1” é 
geralmente omitido na especificação dos valores das quantidades adimensionais. 
11..44..22.. UUnniiddaaddeess ccoomm NNoommeess EEssppeecciiaaiiss 
Por conveniência, certas unidades derivadas coerentes receberam nomes e 
símbolos especiais. Existem vinte e duas unidades com nomes especiais (ver Tabela 
1-4). Esses nome e símbolos especiais podem ser usados em combinação com os nomes 
e símbolos das unidades de base e outras derivadas para expressar as unidades de 
outras quantidades derivadas. 
Os nomes e símbolos especiais é simplesmente uma forma compacta para a 
expressão de combinações de unidades de base que são usadas frequentemente, e em 
muitos casos elas também servem para que o leitor lembre as quantidades envolvidas. 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
Os prefixos SI podem ser usados com qualquer nome e símbolos especiais, porém 
quando isto é feito a unidade resultante não será mais coerente. 
Os valores de varias quantidades diferentes podem ser expressos usando o 
mesmo nome e símbolo das unidades SI. Assim, para a quantidade capacidade de calor 
assim como para a quantidade entropia, a unidade SI é o joule por kelvin. 
Analogamente para a quantidade de base corrente elétrica, assim como para a 
quantidade derivada força magneto motriz, a unidade SI é o ampère. 
Uma unidade derivada pode frequentemente ser expressa em várias formas pela 
combinação das unidades de base com unidades derivadas que possuem nomes 
especiais. O joule, por exemplo, pode ser escrito “newton metro”, ou “quilograma metro 
quadrado por segundo quadrado”. Isto, entretanto, é uma liberdade algébrica a ser 
governada pelas considerações físicas de senso comum. Em algumas situações algumas 
formas podem ser mais úteis que outras. 
Na prática, com certas quantidades, é dada preferência ao uso de certos nomes 
de unidades especiais, ou combinação de nomes de unidade, para facilitar a distinção 
entre diferentes quantidades que tem a mesma dimensão. Quando esta liberdade for 
usada, deve se lembrar o processo pelo qual a quantidade é definida. Por exemplo, a 
quantidade torque pode ser lembrada como sendo o produto da força pela distância, 
sugerindo a unidade “newton metro”, ou ela pode ser pensada como sendo a energia 
pelo ângulo, sugerindo a unidade joule por radiano. 
A unidade SI da freqüência é dada em hertz, que resulta na unidade ciclos por 
segundo; a unidade SI para a velocidade angular é dada em radianos por segundo; a 
unidade de atividade é designada em becquerel, que implica em contagens por segundo. 
Embora seja formalmente correto escrever todas as três formas dessas unidades como o 
recíproco do segundo, o uso de diferentes nomes enfatiza a natureza diferente das 
quantidades concernentes. Usando a unidade radianos por segundo para a velocidade 
angular, e hertz para a freqüência, enfatiza que o valor numérico da velocidade angular 
em radianos por segundo é 2 vezes o valor numérico da freqüência correspondente em 
hertz. 
Tabela 1-4 – Unidades derivadas coerentes com nomes e símbolos especiais. 
Quantidade 
derivada 
Unidade derivada SI coerente (a) 
Nome Símbolo 
Expressado 
em termos 
de unidades 
Expressado em termos de 
unidades SI de base 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
SI 
Ângulo plano radiano (b) rad 1 (b) m/m 
Ângulo sólido 
esferorradiano 
(b) 
Sr (c) 1 (b) m2/m2 
Freqüência hertz (d) Hz s–1 
Força newton N m kg s–2 
Pressão, estresse pascal Pa N/m2 m–1 kg s–2 
Energia, trabalho, 
quantidade de calor 
joule J N m m2 kg s–2 
Potência, fluxo 
radiante 
watt W J/s m2 kg s–3 
Carga elétrica, 
quantidade de 
eletricidade 
coulomb C s A 
Potencial elétrico, 
diferença de 
potencial, força 
eletromotriz 
volt V W/A m2 kg s–3 A–1 
Capacitância farad F C/V m–2 kg–1 s4 A2 
resistência elétrica ohm V/A m2 kg s–3 A–2 
condutância elétrica siemens S A/V m–2 kg–1 s3 A2 
Fluxo magnético weber Wb V s m2 kg s–2 A–1 
Densidade de fluxo 
magnético 
tesla T Wb/m2 kg s–2 A–1 
Indutância henry H Wb/A m2 kg s–2 A–2 
Temperatura Celsius grau Celsius (e) °CK 
Fluxo luminoso lúmen Lm cd sr (c) Cd 
Iluminância lux Lx lm/m2 m–2 cd 
Atividade 
referenciada a um 
radionuclídeo (f) 
becquerel (d) Bq s–1 
Dose absorvida, 
energia específica, 
kerma 
gray Gy J/kg m2 s–2 
dose equivalente, 
dose ambiental 
sievert Sv J/kg m2 s–2 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
equivalente, 
dose direcional 
equivalente, 
dose pessoal 
equivalente 
Atividade catalítica katal Kat s–1 mol 
(a) Os prefixos SI podem ser usados com qualquer nome e símbolo especial, porém quando isto é feito a 
unidade resultante não será mais coerente. 
(b) O radiano e o esferorradiano são nomes especiais para com dimensão 1 que podem ser usados para 
carregar informação sobre a quantidade correspondente. Na prática os símbolos rad e sr são usados somente 
quando necessário, entretanto o símbolo para a unidade derivada 1 é geralmente omitido na especificação de 
quantidades adimensionais. 
(c) Em fotometria, o nome esferorradiano e o símbolo sr são usualmente mantidos nas expressões das 
unidades. 
(d) O hertz é usado somente para fenômenos periódicos, e o becquerel é usado somente em processos 
estocásticos em atividade referida a um radionuclídeo. 
(e) O grau Celsius é o nome especial para o kelvin usado para expressar a temperatura Celsius. O grau 
Celsius e o kelvin são iguais em tamanho, i.e., o valor numérico da diferença de temperatura ou intervalo de 
temperaturas é o mesmo quando expressados em graus Celsius ou kelvins. 
(f) Atividade referenciada a um radionuclídeo, às vezes incorretamente chamada de radioatividade. 
11..55.. UUnniiddaaddeess ccoomm NNoommeess ee SSíímmbboollooss eessppeecciiaaiiss 
A Tabela 1-5 mostra exemplos de unidades derivadas SI cujos nomes e símbolos 
incluem unidades derivadas SI com nomes e símbolos especiais. 
Tabela 1-5 – Exemplos de unidades derivadas SI cujos nomes e símbolos incluem 
unidades derivadas SI com nomes e símbolos especiais. 
Quantidade derivada 
Unidade Derivada SI coerente 
Nome Símbolo 
Expressão em unidades 
SI de base 
Viscosidade dinâmica pascal segundo Pa s m–1 kg s–1 
Momento de força newton metro N m m2 kg s–2 
Tensão superficial newton por metro N/m kg s–2 
Velocidade angular radiano por segundo rad/s m m–1 s–1 = s–1 
Aceleração angular radiano por segundo quadrado rad/s2 m m–1 s–2 = s–2 
Densidade de fluxo de calor, 
irradiância 
watt por metro quadrado W/m2 kg s–3 
Capacidade de calor, 
entropia 
joule por kelvin J/K m2 kg s–2 K–1 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
Calor específico, entropia 
específica 
joule por quilograma kelvin J/(kg K) m2 s–2 K–1 
Energia específica joule por quilograma J/kg m2 s–2 
Condutividade térmica watt por metro kelvin W/(m K) m kg s–3 K–1 
Densidade de energia joule por metro cúbico J/m3 m–1 kg s–2 
Campo elétrico volt por metro V/m m kg s–3 A–1 
Densidade de carga elétrica coulomb por metro cúbico C/m3 m–3 s A 
Densidade superficial de 
cargas 
coulomb por metro quadrado C/m2 m–2 s A 
Densidade de fluxo elétrico, 
deslocamento elétrico 
coulomb por metro quadrado C/m2 m–2 s A 
Permissividade farad por metro F/m m–3 kg–1 s4 A2 
Permeabilidade henry por metro H/m m kg s–2 A–2 
Energia molar joule por mole J/mol m2 kg s–2 mol–1 
Entropia molar, capacidade 
molar de calor 
joule por mole kelvin J/(mol K) m2 kg s–2 K–1 mol–1 
Exposição (raios X e ) coulomb por quilograma C/kg kg–1 s A 
Taxa de dose de absorção gray por segundo Gy/s m2 s–3 
Intensidade radiante watt por esferorradiano W/sr m4 m–2 kg s–3 = m2 kg s–3 
Radiância 
watt por metro quadrado 
esferorradiano 
W/(m2 sr) m2 m–2 kg s–3 = kg s–3 
Concentração de atividade 
catalítica 
katal por metro cúbico kat/m3 m–3 s–1 mol 
 
11..66.. MMúúllttiippllooss ee SSuubbmmúúllttiippllooss DDeecciimmaaiiss ddaass 
UUnniiddaaddeess SSII 
11..66..11.. PPrreeffiixxooss SSII 
O 11º CGPM (1960) adotou uma série de nomes e símbolos de prefixo para os 
nomes e símbolos dos múltiplos decimais e submúltiplos das unidades SI, variando de 
1012 até 10-12. Os prefixos para 10–15 and 10–18 foram adicionados pelo 12º CGPM 
(1964), para1015 and 1018 pelo 15º CGPM (1975) e para 1021, 1024, 10–21 e 10–24 pelo 19º 
CGPM (1991). A Tabela 1-6 lista todos os nomes e símbolos aprovados para os prefixos. 
Tabela 1-6 – Prefixos SI 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
Fator Nome Símbolo Fator Nome Símbolo 
101 deca da 
 
10–1 deci d 
102 hecto h 10–2 centi c 
103 kilo k 10–3 mili m 
106 mega M 10–6 micro µ 
109 giga G 10–9 nano n 
1012 tera T 10–12 pico p 
1015 peta P 10–15 femto f 
1018 exa E 10–18 atto a 
1021 zetta Z 10–21 zepto z 
1024 yotta Y 10–24 yocto y 
Os símbolos prefixos são impressos no tipo romano, assim como os símbolos, 
independente do tipo usado no texto que o rodeia, e são colados aos símbolos de 
unidade sem deixar nenhum espaço entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade. 
Com exceção de da (deca), h(hecto) e k (kilo), todos os símbolos múltiplos são 
escritos em letras maiúsculas, e os submúltiplos são impressos em letras minúsculas, 
exceto no início de uma sentença. 
O grupo formado pelo símbolo do prefixo colado ao símbolo da unidade constitui 
um novo e inseparável símbolo de unidade (formando um múltiplo ou submúltiplo da 
unidade concernente) que pode ser elevado a uma potência positiva ou negativa e pode 
ser combinado com outros símbolos de unidade para formar símbolos compostos de 
unidades. 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
(a) 2,3 cm3 = 2,3 (cm)3 = 2,3 (10–2 m)3 = 2,3 x 10–6 m3 
(b) 1 cm–1 = 1 (cm)–1 = 1 (10–2 m)–1 = 102 m–1 = 100 m–1 
(c) 1 V/cm = (1 V)/(10–2 m) = 102 V/m = 100 V/m 
(d) 5000 µs–1 = 5000 (µs)–1 = 5000 (10–6 s)–1 = 5 x 109 s–1 
Analogamente, os nomes de prefixos são também inseparáveis dos nomes das 
unidades às quais estão conectados. Assim, por exemplo, o milímetro, micropascal e 
meganewton são palavras simples. Os símbolos compostos com mais de um prefixo não 
é permitido. Esta regra também se aplica para os nomes de prefixos. Os símbolos de 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
prefixos não podem ficar sozinhos e nem ser colados ao número 1, o símbolo da 
unidade 1. 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
Errado Certo 
5 MkN 5 GN 
3 m F 3 nF 
9 mkg 9 g 
Os nomes e símbolos de prefixos são usados com outras unidades não-SI, mas 
eles nunca são usados com as unidades de tempo: minuto, min; hora, h; dia, d. 
Entretanto, os astrônomos usam o miliarcosegundo (mas), e microarcosegundo ( as), 
para a medida de ângulos extremamente pequenos. 
 
11..66..22.. OO QQuuiillooggrraammaa 
Dentre todas as unidades de base do Sistema Internacional, o quilograma (kg) é 
o único cujo nome e símbolo, por razões históricas, incluem o prefixo. Os nomes e 
símbolos para os múltiplos e submúltiplos da unidade de massa são formados 
conectando o nome do prefixo com a unidade chamada “grama”, e o símbolo do prefixo 
com o símbolo da unidade “g”. 
11..77.. UUnniiddaaddeess ffoorraa ddoo SSII 
O Sistema Internacional de Unidades é um sistema de unidades adotado pelo 
CGPM que fornece uma referência aceita internacionalmente. Esse sistema de unidades 
é o recomendado para a ciência, tecnologia, engenharia e para o comércio. 
As unidades SI de base e as unidades derivadas coerentes, incluindo àquelas 
com nomes especiais, possuem uma importante vantagem que é a de formar um 
conjunto coerente, e por isso, não requerem da inserção de nenhum valorespecífico nas 
equações que relacionam as quantidades. 
Desde que o SI é o único sistema de unidades que é globalmente reconhecido, 
fica a clara vantagem para o estabelecimento de facilidade de diálogo internacional. 
Finalmente, ela simplifica o ensino da ciência e da tecnologia para as seguintes 
gerações, se todos optarem usar esse sistema. 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
De qualquer forma, sabe se que algumas unidades não-SI ainda aparecem na 
literatura científica, técnica e comercial, e continuarão a ser usadas por muitos anos. 
Algumas unidades não-SI possuem importância histórica e estão tão profundamente 
arraigadas na história e na cultura da raça humana que continuarão a ser usadas por 
muito tempo no futuro. 
Alguns cientistas têm se dão a liberdade, às vezes, nos seus trabalhos 
particulares, de usar as unidades não-SI que lhes tragam alguma vantagem específica 
no seu trabalho. Um exemplo é o uso da unidade CGS Gauss na teoria eletromagnética 
aplicada à dinâmica quântica e à relatividade. Por essa razão é útil listar algumas das 
mais importantes unidades não-SI, como é feito a seguir. Entretanto, se essas unidades 
são usadas, as vantagens do SI são perdidas. 
A inclusão das unidades não-SI neste texto não tenta encorajar o uso dessas. 
Pelas razões antes citadas, as unidades SI devem ser preferidas. É indesejável também 
a mistura do uso de unidades não-SI com unidades SI, e isto deve ficar restrito a casos 
especiais, de forma a não comprometer as vantagens do SI. Finalmente, quando 
qualquer unidade não-SI for usada, é uma boa prática definir as unidades não-SI em 
termos da unidade SI correspondente. 
11..77..11.. UUnniiddaaddeess NNããoo--SSII ppaarraa uussoo ccoomm SSII ee UUnniiddaaddeess 
bbaasseeaaddaass eemm CCoonnssttaanntteess FFuunnddaammeennttaaiiss 
A Tabela 1-7 mostra as unidades não-SI que são aceitas para uso com o Sistema 
Internacional de Unidades, devido ao seu amplo uso com as unidades SI na vida 
cotidiana. As demais tabelas contêm unidades que devem ser usadas somente em 
circunstancias muito especiais. 
A Tabela 1-7 inclui as unidades tradicionais de tempo e ângulo. Ela também 
contém o hectare, o litro e a tonelada, que são de uso comum na vida cotidiana e que 
são usadas no mundo todo, e correspondem a uma unidade coerente do SI em potência 
de dez. Os prefixos SI são usados para muitas dessas unidades, com exceção das 
unidades de tempo. 
Tabela 1-7 – Unidades não-SI aceitas para uso com unidades SI. 
Quantidade Nome da unidade Símbolo da unidade Valor em unidades SI 
Tempo minuto min 1 min = 60 s 
hora (a) h 1 h = 60 min = 3600 s 
dia d 1 d = 24 h = 86 400 s 
 
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Luis Fernando Espinosa Cocian 
Ângulo plano grau (b,c) ° 1° = ( /180) rad 
minuto ' 1' = (1/60)° = ( /10 800) rad 
segundo (d) '' 1'' = (1/60)' = ( /648 000) rad 
Área hectare (e) ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2 
Volume litro (f) L, l 1 L = 1 l = 1 dm3 = 103 cm3 = 10–3 m3 
Massa tonelada (g) t 1 t = 103 kg 
(a) O símbolo desta unidade foi incluído no 9º CGPM (1948). 
(b) A norma ISO 31 recomenda que o grau seja dividido de forma decimal no lugar de usar o 
minuto e o segundo. Para a navegação, entretanto, o minuto possui a vantagem de que um 
minuto de latitude corresponde aproximadamente a uma milha náutica. 
(c) O grad é um nome alternativo para a unidade de ângulo plano. Definido como sendo igual a (
/200) rad. Assim, há 100 grad em um ângulo reto. O valor potencial do grad na navegação é 
devido a que a distância entre do pólo ao equador da Terra ser aproximadamente 10 000 km, 
resulta em que um ângulo de um centigrad é 1 km na superfície. Apesar disso, o grad é 
raramente usado. 
(d) Para aplicações em astronomia, os pequenos ângulos são medidos em arcosegundos (i.e., 
segundos de um ângulo plano), miliarcosegundos, microarcosegundos e picoarcosegundos, 
simbolizados por mas, µas, e pas, respectivamente, onde o arcosegundos é um nome alternativo 
para o segundo do ângulo plano. 
(e) A unidade hectare e o seu símbolo ha, foram adotados pelo CIPM em 1879. O hectare é usado 
para expressar área de terra. 
(f) O litro e o seu símbolo l, foram adotados pelo CIPM em 1879. O símbolo alternativo, a letra L 
maiúscula, foi adotado no 16º CGPM (1979) para evitar o risco de confusão entre a letra l (ele) e o 
algarismo 1 (um). 
(g) A tonelada e o seu símbolo t, foram adotados pelo CIPM em 1879. Nos países de fala inglesa 
esta unidade é usualmente chamada “tonelada métrica”. 
 
As unidades da Tabela 1-8, estão relacionadas com constantes fundamentais e 
os seus valores têm de ser determinados experimentalmente, e por caso disso possuem 
uma incerteza associada. Com exceção das unidades astronômicas, todas as outras 
unidades da Tabela 1-8 estão relacionadas com constantes físicas. 
As primeiras três unidades: eletronvolt (eV), dalton (Da), e a unidade de massa 
atômica (u) e a unidade astronômica (ua), tem o seu uso aceito pelo CIPM. As unidades 
da Tabela 1-8 jogam um papel importante em vários campos especializados onde os 
resultados de medições e cálculos são mais convenientes e úteis quando expressos 
nessas unidades. Para o eletronvolt e o dalton, os valores dependem dos valores da 
carga elementar e e da constante de Avogadro NA, respectivamente. 
 
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Luis Fernando Espinosa Cocian 
Existem muitas outras unidades deste tipo, porque existem muitos campos nos 
quais é mais conveniente expressar os resultados das observações experimentais ou 
cálculos teóricos em termos de constantes fundamentais da natureza. As duas 
unidades mais importantes baseadas em constantes da natureza são: o sistema de 
unidade natural (u.n.) usado em altas energias e na física das partículas e; o sistema 
unidade atômica (u.a.) usado na física atômica e na química quântica. 
Tabela 1-8 – Unidades não-SI cujos valores devem ser obtidos de forma experimental 
Quantidade Nome da unidade 
Símbolo da 
unidade 
Valor em unidades SI (a) 
Unidades aceitas para uso com o SI 
energia eletronvolt (b) eV 1 eV = 1.602 176 53 (14) x 10–19 J 
massa dalton, (c) Da 1 Da = 1.660 538 86 (28) x 10–27 kg 
 Unidade de massa atômica 
unificada 
u 1 u = 1 Da 
comprimento Unidades astronômicas (d) ua 1 ua = 1.495 978 706 91 (6) x 1011 m 
Unidades naturais (u.n.) 
velocidade 
u.n. de velocidade 
(velocidade da luz no 
vácuo) 
c0 299 792 458 m/s (exato) 
ação 
u.n. de ação (constante 
reduzida de Planck) 
 1.054 571 68 (18) x 10–34 J s 
massa 
u.n. de massa 
(massa do elétron) 
me 9.109 3826 (16) x 10–31 kg 
tempo u.n. de tempo /(mec02) 1.288 088 6677 (86) x 10–21 s 
Unidades atômicas (u.a.) 
carga 
u.a. de carga 
(carga elementar) 
E 1.602 176 53 (14) x 10–19 C 
massa 
u.a. de massa 
(massa do elétron) 
me 9.109 3826 (16) x 10–31 kg 
ação 
u.a. de ação 
(constante reduzida de 
Planck) 
 1.054 571 68 (18) x 10–34 J s 
comprimento 
u.a. de comprimento, bohr 
(rádio de Bohr) 
a0 0.529 177 2108 (18) x 10–10 m 
energia 
u.a. de energia, hartree 
(energia Hartree) 
Eh 4.359 744 17 (75) x 10–18 J 
 
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tempo u.a. de tempo /Eh 2.418 884 326 505 (16) x 10–17 s 
(a) A incerteza padrão são os dois dígitos colocados entre parênteses. 
(b) O eletronvolt é a energia cinética adquirida por um elétron ao passar através da diferença de 
potencial de um volt no vácuo. O eletronvolt é comumente combinado com prefixos SI. 
(c) O dalton (Da) e a unidades unificadade massa atômica (u) são nomes alternativos (e símbolos) 
para a mesma unidade, igual a 1/12 vezes a massa do átomo livre de carbono 12. O dalton é 
frequentemente combinado com prefixos SI, por exemplo, para expressar a massa de grandes 
moléculas em quilodaltons, kDA, ou megadaltons, MDa, ou para expressar pequenos valores de 
diferença de massa de átomos ou moléculas em nanodaltons, nDa, ou ainda picodaltons, pDa. 
(d) A unidade astronômica é aproximadamente igual à distância média entre a Terra e o Sol. É o rádio 
de uma órbita Newtoniana circular não perturbada ao redor do sol de uma partícula com massa 
infinitesimal, movendo-se com a velocidade angular média de 0.017 202 098 95 radianos por dia 
(conhecido como constante Gaussiana). 
A Tabela 1-9 e a Tabela 1-10 contém unidades tem valores exatamente definidos 
em termos de unidades SI e são usados em circunstâncias particulares para satisfazer 
necessidades comerciais, legais ou que são de interesse científico especializado. 
Provavelmente essas unidades continuarão sendo usadas por muitos anos. Muitas 
dessas unidades são importantes para a interpretação de textos científicos antigos. 
A Tabela 1-9 também fornece as unidades das quantidades logarítmicas de 
relações: o neper, bel e o decibel. Essas unidades são adimensionais e são diferentes na 
sua natureza das outras unidades adimensionais, sendo que alguns cientistas 
consideram que elas não devam ser chamadas de unidades. Essas unidades são usadas 
para carregar informação de uma quantidade relacionada com o logaritmo de uma taxa. 
O neper, Np, é usado para expressar valores de quantidades cujos valores 
numéricos estão baseados no logaritmo neperiano (ou natural), ln = loge. O bel e o 
decibel, B e dB, onde 1 dB = (1/10) B, são usados para expressar valores de 
quantidades cujos valores numéricos estão baseados no logaritmo de base 10. lg = log10. 
As formas na quais essas unidades são interpretadas estão descritas nas notas (g) e (h) 
da Tabela 1-9. Os prefixos SI são usados com duas das unidades da Tabela 1-9, com o 
bar (por exemplo: milibar, mbar), e com o bel, especificamente para o decibel, dB. O 
decibel é listado explicitamente na tabela porque o bel é raramente usado sem esse 
prefixo. 
Tabela 1-9 – Outras unidades não-SI 
Quantidade Nome da unidade 
Símbolo da 
unidade 
Valor em unidades SI 
pressão bar (a) bar 1 bar = 0.1 MPa = 100 kPa = 105 Pa 
 
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Luis Fernando Espinosa Cocian 
milímetro de 
mercúrio (b) 
mmHg 
1 mmHg 133.322 Pa 
comprimento angstrom (c) Å 1 Å = 0.1 nm = 100 pm = 10–10 m 
distância Milha náutica (d) M 1 M = 1852 m 
área barn (e) b 
1 b = 100 fm2 = (10–12 cm)2 = 10–28 
m2 
velocidade nó (f) kn 1 kn = (1852/3600) m/s 
taxas logarítmicas neper (g,i) Np [ver a nota (j) sobre o valor do neper, 
o bel e o decibel] bel (h,i) B 
decibel (h,i) dB 
(a) Desde 1982 o bar tem sido usado como padrão de pressão na tabulação de todos os dados 
termodinâmicos. Antes dessa data, a pressão padrão usada era a atmosfera padrão, igual a 1,013 
25 bar, ou 101 325 Pa. 
(b) O milímetro de mercúrio é uma unidade legal para a medição da pressão sangüínea em alguns 
países. 
(c) O ångström é amplamente usado na cristalografia de raios-x e na química estrutural devido 
que todas as ligações químicas estão na faixa de 1 a 3 angstrom. Apesar disso, não houve 
ratificação oficial do CIPM e nem do CGPM. 
(d) A milha náutica é uma unidade especial utilizada na navegação aérea e naval para expressar 
distância. O valor convencional foi adotado pela International Extraordinary Hydrographic 
Conference, Mônaco 1929, com o nome de “milha náutica internacional”. Ainda não há um 
símbolo padrão, sendo usados os seguintes símbolos: M, NM, Nm, e nmi. A unidade foi 
originalmente escolhida, e continua a ser usada, porque uma milha náutica na superfície 
terrestre resulta aproximadamente em um minuto do ângulo medido a partir do centro da Terra, 
que é conveniente quando a latitude e longitude são medidas em graus, minutos e segundos de 
um ângulo. 
(e) O barn é uma unidade de área utilizada para expressar seção reta na física nuclear. 
(f) O nó é definido como sendo uma milha náutica por hora. Não existe símbolo padronizado, 
entretanto normalmente é usado kn. 
(g) A declaração LA = n Np (onde n é um número) é interpretada como ln(A2/A1) = n. Assim, 
quando LA = 1 Np, A2/A1 = e. O símbolo A é usado aqui para identificar a amplitude de um sinal 
senoidal, e LA é então chamado de logaritmo neperiano da taxa de amplitude, ou diferença 
neperiana do nível de amplitude. 
(h) A declaração LX = m dB = (m/10) B (onde m é um número) significa que lg(X/X0) = m/10. 
Assim, quando LX = 1 B, X/X0 = 10, e quando LX = 1 dB, X/X0 = 101/10. Se X significa o valor 
médio quadrático de um sinal, ou uma quantidade de potência, LX é chamado nível de potência 
com relação a X0. 
(i) No uso dessas unidades é importante que a natureza da quantidade seja especificada, assim 
como qualquer valor de referência. Essas não são unidades SI, porém têm sido aceitas pelo CIPM 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
para uso com o SI. 
(j) Os valores numéricos do neper, bel e decibel, são raramente requeridos. Eles dependem da 
forma na qual as quantidades logarítmicas forem definidas. 
A Tabela 1-10 difere da anterior somente em que as unidades estão relacionadas 
com o antigo sistema de unidades CGS (centímetro-grama-segundo), incluindo as 
unidades elétricas. No campo da mecânica, o sistema CGS foi construído sob três 
quantidades de base: o centímetro, o grama e o segundo. As unidades elétricas CGS 
foram derivadas dessas três unidades de base, usando equações diferentes as usadas 
no SI. Devido que isso pode ser feito de formas diferentes, levou ao estabelecimento de 
vários sistemas diferentes: o CGS-SEU (eletrostática), o CGS-MEU (eletromagnetismo) e 
o CGS-Gaussiano. Sempre foi reconhecida a conveniência do sistema CGS-Gaussiano, 
especialmente em certas áreas da física, particularmente na eletrodinâmica clássica e 
relativística. 
A Tabela 1-10 mostra as relações entre as unidades CGS e as correspondentes 
SI, e listam àquelas unidades CGS que possuem nomes especiais. Com essas unidades 
também podem ser usados os prefixos SI, por exemplo, milidina, miligauss, mG, etc. 
Tabela 1-10 – Unidades não-SI associadas com o antigo sistema CGS de unidades. 
Quantidade 
Nome da 
unidade 
Símbolo da 
unidade 
Valor em unidades SI 
energia erg (a) erg 1 erg = 10–7 J 
força dina (a) dyn 1 dyn = 10–5 N 
viscosidade dinâmica poise (a) P 1 P = 1 dyn s cm–2 = 0.1 Pa s 
viscosidade cinemática stokes St 1 St = 1 cm2 s–1 = 10–4 m2 s–1 
luminância stilb (a) sb 1 sb = 1 cd cm–2 = 104 cd m–2 
iluminância phot ph 1 ph = 1 cd sr cm–2 = 104 lx 
aceleração gal (b) Gal 1 Gal = 1 cm s–2 = 10–2 m s–2 
fluxo magnético maxwell (c) Mx 1 Mx = 1 G cm2 = 10–8 Wb 
densidade de fluxo 
magnético 
gauss (c) G 1 G = 1 Mx cm–2 = 10–4 T 
campo magnético œrsted (c) Oe 1 Oe (103/4 ) A m–1 
(a) Esta unidade e o seu símbolo foram incluídos no 9º CGPM (1948). 
(b) O gal é uma unidade especial de aceleração usado na geodésia e na geofísica para expressar a 
aceleração devido à gravidade. 
(c) Essas unidades fazem parte do chamado sistema tridimensional CGS “eletromagnético” 
baseado em equações não racionalizadas de quantidade, e devem ser comparadas com cuidado 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
comas unidades SI correspondentes do SI, que é baseado em equações racionalizadas que 
envolvem quatro dimensõese quatro quantidades para a teoria eletromagnética. O fluxo 
magnético, , e a densidade de fluxo magnético, B, são definidos por equações similares no 
sistema CGS e no SI, de forma que as unidades correspondentes podem ser relacionadas 
diretamente. Entretanto, o campo magnético não racionalizado, H (não-racionalizado) = 4 x H 
(racionalizado). O símbolo equivalente é usado para indicar quando: 
H (não-racionalizado) = 1 Oe, 
H (racionalizado) = (103/4 ) A m–1. 
11..88.. EEssccrreevveennddoo aass QQuuaannttiiddaaddeess ee aass ssuuaass UUnniiddaaddeess 
Os princípios gerais da escrita dos símbolos e números foram dados pela 
primeira vez no 9º CGPM (1948). Depois disso foram estabelecidas as regras elaboradas 
pela ISSO, IEC e outras entidades internacionais. Como conseqüência, hoje em dia 
existe um consenso geral em como devem ser escritos e usados os símbolos e nome das 
unidades, incluindo os prefixos assim como as quantidades, assim como os valores das 
quantidades deve ser expresso. 
O atendimento das principais regras e convenções que serão descritas a seguir 
serve para facilitar a leitura e compreensão de publicações técnicas e científicas. 
11..88..11.. CCoommoo UUssaarr ooss SSíímmbboollooss ddaass UUnniiddaaddeess 
Os símbolos das unidades são impressos em tipo romano (vertical) independente 
do tipo de letra usado no texto ao redor do símbolo. Eles são impressos em minúsculas 
a menos que sejam derivados de nome próprio, e neste caso, a primeira letra é 
maiúscula12. Alguns exemplos são listados a seguir. 
 m, metro 
 s, segundo 
 Pa, pascal 
 ohm 
 L ou l, litro (exceção) 
Os prefixos múltiplos ou submúltiplos, se usados, fazem parte da unidade e 
precede o símbolo da mesma sem separação. Um prefixo nunca pode ser usado de 
forma isolada, assim como não podem ser usados de forma combinada. Alguns 
exemplos são colocados a seguir: 
 nm, e não mµm 
 
12 Uma exceção à esta regra, adotada pelo 16º CGPM (1979) é que a letra maiúscula L ou minúscula l é permitida para o 
caso do litro, de forma a evitar uma possível confusão com o valor numérico 1 com a letra “ele” minúscula. 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
Os símbolos são entidades matemáticas, não abreviações. Desta forma, elas não 
podem ser seguidas de um ponto, exceto no final de uma sentença, e não podem ter 
plural e nem misturar símbolos de unidades com nomes em uma expressão, já que os 
nomes não são entidades matemáticas. Alguns exemplos são colocados a seguir. 
 75 cm de comprimento, e não 75 cm. de comprimento 
 l = 75 cm, e não 75 cms 
 coulomb por quilograma, e não coulomb por kg 
Ao formar produtos e quocientes de símbolos de unidades as regras normais da 
multiplicação e divisão algébrica podem ser aplicadas. A multiplicação deve ser indicada 
por um espaço em branco ou por um ponto centrado a meia altura (·), caso contrário 
pode haver confusão com alguns prefixos que podem ser interpretados como símbolo de 
unidade. A divisão é indicada por uma linha horizontal, por uma barra oblíqua (/) ou 
usando expoentes negativos. Quando muitos símbolos de unidades estiverem 
combinados, deve se tomar cuidado para evitar ambigüidades, por exemplo, usando 
chaves ou expoentes negativos. A barra não deve ser usada mais de uma vez em uma 
dada expressão que não possua chaves para remover as ambigüidades. Alguns 
exemplos são listados a seguir. 
 N m ou N · m, para newton metro 
 
 m/s ou 
s
m
 ou m s–1, para metro por segundo 
 ms, milisegundos 
 m s, metro vezes segundo 
 m kg/(s3 A), ou m kg s–3 A–1, mas não m kg/s3/A, e nem m kg/s3 A 
Não é permitido o uso de abreviações ou extensões para os nomes ou símbolos 
de unidades, tais como seg (para segundo ou s), mm quad (para mm2 ou milímetros 
quadrados). 
11..88..22.. CCoommoo UUssaarr ooss NNoommeess ddaass UUnniiddaaddeess 
Os nomes das unidades são normalmente impressos em letras de tipo romano 
(verticais) e elas são tratadas como palavras ordinárias. Como regra geral os nomes são 
escritos em letras minúsculas mesmo quando o símbolo da unidade começa com letra 
maiúscula (e mesmo sendo derivado de nome próprio), exceto no início da sentença ou 
dentro de um título de seção. Mantendo essa regra a fala correta do nome da unidade 
com o símbolo ºC é “grau Celsius” (a unidade “grau” começa com letra minúscula “g” e o 
modificador Celsius continua com a letra “C” maiúscula por ser nome próprio). Um 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
outro exemplo é o caso da unidade “kelvin”, escrita em minúsculas, embora o seu 
símbolo seja K, com letra maiúscula (derivado de nome próprio). 
Apesar de que os valores das quantidades sejam normalmente expressos usando 
símbolos para os números e símbolos para as unidades, se por alguma razão o nome da 
unidade for mais apropriado que o seu símbolo deve se dar preferência ao nome por 
extenso da unidade. 
 3,6 m/s, ou 3,6 metros por segundo 
Quando o nome de uma unidade é combinado com o nome de um prefixo, não 
deve ser colocado nenhum espaço ou hífen entre o nome do prefixo e o nome da 
unidade. A combinação nome do prefixo mais o nome da unidade formam uma palavra 
única. 
 miligrama, mas não mili-grama 
 kilopascal, mas não quilo-pascal e nem kilo-pascal 
Quando o nome de uma unidade derivada é formada a partir dos nomes de 
outras unidades individuais pela multiplicação, então é permitido o uso de espaço ou 
hífen para separar os nomes dessas unidades individuais. 
 pascal segundo, ou pascal-segundo 
As palavras dos modificadores tais como “quadrado” ou “cúbico” são usados nos 
nomes das unidades para elevá-los em potência, e eles são colocados depois do nome 
da unidade. Alguns exemplos são colocados a seguir. 
 metro por segundo quadrado, centímetros quadrados, 
milímetro cúbico, ampère por metro quadrado, 
quilograma por metro cúbico. 
11..99.. RReeggrraass ee CCoonnvveennççõõeess ddee EEssttiilloo ppaarraa EExxpprreessssaarr 
VVaalloorreess ddee QQuuaannttiiddaaddeess 
A continuação é apresentada uma lista de regras para expressar os valores das 
quantidades. 
11..99..11.. VVaalloorr NNuumméérriiccoo ddee uummaa QQuuaannttiiddaaddee ee oo sseeuu UUssoo 
O valor de uma quantidade é expresso pelo produto de um número e uma 
unidade, e o número multiplicando a unidade é o valor numérico da quantidade 
expressada nessa unidade. O valor numérico de uma quantidade depende da escolha 
da unidade. Assim, o valor de uma quantidade particular é independente da escolha da 
unidade, embora o valor numérico seja diferente para diferentes unidades. 
 
O M U N D O Q U A N T I F I C A D O D A E N G E N H A R I A 
Luis Fernando Espinosa Cocian 
 voltunidade da símbolonuméricovalor 
V 5
quantidade
V
 
Os símbolos das quantidades são, geralmente, letras simples escritas em letras 
de estilo itálico, apesar de que podem carregar informações em subscritos, sobrescritos 
ou em chaves. Por exemplo, C é o símbolo recomendado para a capacidade calorífica, 
Cm para a capacidade calorífica molar, Cm,p para a capacidade calorífica a pressão 
constante, e Cm,V a capacidade calorífica a volume constante. 
Os nomes e símbolos recomendados para as quantidades estão listados na ISO 
31 dentre outras. Entretanto, os símbolos para as quantidades são recomendações (em 
contraste com os símbolos para as unidades, cujo uso correto é obrigatório). Em 
circunstâncias particulares um autor pode desejar usar um símbolo da sua própria 
escolha, por exemplo, para