Unidade 1 - Matemática Instrumental

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Matemática Aplicada
Armando Leite Ferreira
2MATEMÁTICA APLICADA
Matemática Instrumental
Esperamos que, ao final desta unidade, você seja capaz de:
 » Conceituar razão, identificando os seus elementos.
 » Calcular corretamente a razão entre dois números e entre duas grandezas.
 » Conceituar proporção. 
 » Identificar corretamente os termos de uma proporção.
 » Usar corretamente a propriedade fundamental das 
proporções no cálculo do termo desconhecido.
 » Distinguir corretamente grandezas diretamente e inversamente proporcionais. 
 » Entender como aplicar esse conhecimento no mundo profissional.
Unidade 01
3MATEMÁTICA APLICADA
Fica a dica: Observe os sinais
Durante o texto vocês vão se deparar com alguns sinais dando destaque a partes do texto. Fique atento!
Os ícones abaixo indicam pontos de maior importância no texto. A cor pode variar de acordo com a relevância do 
tema. Entenda:
Cuidado Normal Atenção Crítico
O ícone Se Liga indica informações novas que enriquecem o assunto ou curiosidades e notícias recentes 
relacionadas ao tema estudado, empregando diferentes mídias: vídeos, filmes, jornais, o ambiente AVMI...
 O ícone ao lado indica Atividades que deverão ser realizadas para sedimentar o conhecimento aprendido.
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Matemática
Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
1.1 Razão e Proporção
O que é uma razão?
Quando você ouve falar em razão antes de pensar em matemática deve vir a sua cabeça que razão como a capacidade da 
mente humana que permite chegar a conclusões a partir de suposições ou premissas. Por exemplo, se você é um juiz e ouve 
duas versões sobre um mesmo fato, pode ter que dar razão a alguém. Ou seja, você vai comparar as duas versões para chegar 
a uma conclusão.
Mas e na matemática? Certamente você já ouviu uma definição de razão? Escreva a seguir o que entende por razão: 
Às vezes é difícil expressar algo que é quase uma noção comum. Mas vamos tentar definir em linguagem formal. 
É o resultado da divisão de dois números. 
Olhando de outro ângulo, podemos dizer que uma razão compara duas quantias diferentes.
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números. Desta forma, o conceito de razão 
está relacionado com o conceito de divisão. Dizemos que a razão entre os dois termos (números) A e B é o quociente da divisão, 
ou seja, razão é o resultado da divisão de A por B.
A representação de uma razão pode ser A : B, B
A ou o próprio resultado. Desta forma A é o numerador e B é o denominador.
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Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
Exemplo 
A razão entre os números 20 e 5 pode ser escrita: 
A : B - 20 : 5, (lê-se: razão de A para B; A está para B ou 20 está para 5).
B
A - 5
20 e tem como resultado o número 4. Logo, 4 é a razão entre 20 e 5 (20 ÷ 5).
Exercício Semi-Resolvido 1
Determine a razão para os números a seguir:
a) 5:10
b) 10:20
c) 50:100
Resolução:
a) 5 : 10 (5 está para 10) = 10
5 = 0,5 - A razão 5:10 é 0,5
b) 10 : 20 (10 está para 20) = 10 = 0,5 - A razão 10 está para 20 é: 0,5
c) 50 : 100 (50 está para 100) = = 0,5 - A razão entre 50 e 100 é: 
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Matemática
Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
1.2 Razões com denominações especiais e usos do cálculo das razões
1.2.1 Razões Equivalentes 
 São razões que depois de simplificadas tornam-se iguais.
 
Exemplo
 10 : 20
 5 : 10
 50 : 100
Simplificando:
20
10 = 0,5
10
5 = 0,5
100
50 = 0,5
Logo: 
10 : 20; 5 : 10; 50 : 100 são equivalentes pois a divisão de seus termos (números) resultam em um mesmo 
quociente.
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Instrumental
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01
1.2.2 Razão de velocidade média 
É a razão entre a distância percorrida (em metros, quilômetros) e o tempo gasto para percorrê-la (horas, segundos). 
Exemplo 
Um carro percorre 80 km em 1 hora. Determine a razão entre a distância percorrida (A) e o tempo gasto para 
percorrê-la (B). 
A – Distância Percorrida
B – Tempo do Percurso
Velocidade – Conceito físico que mede o deslocamento de um corpo no tempo.
A = 80 km
B = 1 hora
Razão = B
A
B
A = 1h
80Km = 80 Km/h
Observe que a razão é dada em km/h (quilômetros por hora) porque trata-se de duas grandezas diferentes.
Grandeza: É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o 
volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade de pães, entre outros, são grandezas. Ou 
seja, grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. As razões entre grandezas 
distintas (como as do exemplo, distância e tempo) podem ter um significado muito importante para o 
homem moderno e trazer informações de grande utilidade para ele.
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1.2.3 Razão de Densidade Específica
É um conceito físico que informa a razão entre a MASSA e o VOLUME de um corpo.
Exemplo 
3 cm3 de ouro pesam, aproximadamente, 57 gramas. Logo:
A = 3 (volume)
B = 57 (massa)
B
A = 57g
3cm3 = 19g
1cm3 
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Instrumental
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01
Existem muitas histórias interessantes sobre descobertas científicas. Talvez a mais conhecida seja a que 
deu origem ao cálculo da densidade.
Arquimedes, um matemático grego do século III a.C., recebeu uma missão difícil (para alguém do século 
III): descobrir uma forma de testar se o rei tinha sido roubado ou se todo o ouro entregue foi efetivamente 
utilizado para fazer sua coroa.
Arquimedes tinha duas grandezas que sabia medir peso e volume, mas isso não resolvia o problema. 
Arquimedes conhecia o peso do ouro dado para fazer a coroa, mas isso não evitaria que ao ouro fosse 
misturado cobre, por exemplo. Ele precisava criar uma forma de saber se a coroa era efetivamente feita 
de ouro puro. 
Já sem saber o que fazer resolveu tomar um banho. Lá ele “sacou” a solução para o problema. Ao colocar 
o pé na banheira cheia, verificou que o volume de água que era derramado, correspondia ao volume de 
seu corpo que estava submerso.
Pronto, havia descoberto como medir a densidade, que nada mais é do que a razão entre massa e volume 
(massa medida em quilos e volume em litros, por exemplo). Ficou tão feliz que saiu correndo peladão 
pelas ruas, gritando: Eureka, Eureka! (que significa me tragam uma toalha ;)...ou melhor Descobri!).
Arquimedes percebeu que cada corpo tinha uma densidade única. Essa densidade determina o volume 
que o corpo ocupa. Ao mergulhar o corpo na água, ele conseguiu medir o volume que foi acrescido ao 
líquido. Daí ele tem A (peso do corpo em kg) e B (volume do corpo em litros ou m3) e a razão entre os 
dois (A/B) é a densidade, ou seja, ele consegue saber de que tipo de material é feito (no caso se era só 
ouro ou uma liga de ouro e cobre).
Nem precisa dizer que já precisava uma Lava Jato por lá... 
 
 
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Instrumental
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01
1.2. 4. Razão de Densidade Demográfica 
Densidade demográfica, densidade populacional ou população relativa é a medida expressada 
pela RAZÃO entre a população e a superfície do território, geralmente aplicada a seres humanos, mas 
também em outros seres vivos (comumente, animais). É geralmente expressada em habitantes por 
quilômetro quadrado.
Exemplo 
Um município de 2500 km² tem uma população de 20.000 habitantes. 
A = 20.000 habitantes 
B = 2500 km² 
Densidade (A/B)
A/B = 20000/2500 = 
B
A = 2500
20000 = 8 hab/ km²
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01
1.2.5. Razão entre Massa e Altura2 (IMC)
O índice de massa corporal (IMC) é uma medida usada para calcular se uma pessoa está no peso ideal. 
Foi desenvolvido por Lambert Quételet no fim do século XIX. Trata-se de um método fácil e rápido para a 
avaliação do nível de gordura de cada pessoa, ou seja, é um preditor internacional de obesidade adotado 
pela Organização Mundial da Saúde (OMS).
O IMC é determinado pela RAZÃO (divisão) da massa do indivíduo pelo quadrado de sua altura, em que a 
massa está em quilogramas e a altura em metros. 
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Matemática
Instrumental
MATEMÁTICAAPLICADA
01
Exemplo de IMC
Para uma pessoa com 90 quilogramas de massa e 1,75 metros de altura, teremos:
A = 90 Kg
B = 1,75 m x 1,75 m = 3,06 m²
Razão (A/B)
B
A = 3,06
90 = 29,4 kg/m²
 
Classificação
O resultado é comparado com uma tabela que indica o grau de obesidade do indivíduo: 
IMC Classificação
< 16 Magreza grave
16 a < 17 Magreza moderada
17 a < 18,5 Magreza leve
18,5 a < 25 Saudável
25 a < 30 Sobrepeso
30 a < 35 Obesidade Grau I
35 a < 40 Obesidade Grau II (severa)
> 40 Obesidade Grau III (mórbida)
Ou seja, há um sobrepeso na pessoa do exemplo.
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01
1.2.6. Razões Opostas 
Razões opostas (ou simétricas) são razões de módulos (valores) iguais e de sinais diferentes. 
Exemplo
A = 10
B = 100
B
A = 100
10
A = -10
B = -100
B
A = 100
10
-
-
1.2.7. Razões Inversas 
É quando o antecedente (A) de uma corresponde ao consequente (B) da outra (o produto) entre elas é igual a UM. 
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Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
Exemplo
A = 3 
B = 7 
E 
A1=7
B1=3
B
A = B1
A1 ... 7
3 e 3
7
O produto entre elas: 1
7
3 # 3
7 =
7 3
3 7
#
#
= 21
21 =1
Agora que você está fera em razões tem mais alguns exercícios para você treinar antes de começar a emocionante conclusão 
desta unidade em PROPORÇÕES! 
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Instrumental
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01
 Exercícios Propostos de Razão
1. A razão A/B é igual a 100. Determine a razão B/A.
2. A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual é a distância real entre essas duas cidades?
3. A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as idades de Pedro e Josefa?
4. Uma caixa de chocolate possui 250 g de peso líquido e 300 g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso 
bruto?
5. A razão entre o comprimento da sombra e da altura de um edifício é de 2/3 . Se o edifício tem 12 m de altura, qual o 
comprimento da sombra?
6. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apre-
sentou o melhor desempenho?
7. A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mês é de 4/5 . O que resta coloco em cader-
neta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de poupança?
8. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número 
de vitórias para o número total de partidas disputadas?
9. Durante o Campeonato Brasileiro de 2010, uma equipe teve 12 pênaltis a seu favor. Sabendo que a razão do número de 
acertos para o total de pênaltis foi de 3/4 , quantos pênaltis foram convertidos em gol por essa equipe?
10. Um reservatório com capacidade para 8 m³ de água está com 2000L de água. Qual é a razão da quantidade de água que 
está no reservatório para a capacidade total do reservatório? (Lembre-se que 1 dm³ = 1L). 
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Matemática
Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
1.2 PROPORÇÃO 
Agora que entendemos Razão, fica muito fácil entender proporção. Proporção é simplesmente:
A igualdade entre duas razões.
Vamos imaginar quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa ordem, formam uma proporção quando:
(lê-se A está para B assim como C está para D)A∶B = C∶D 
Na proporção temos: b
a
d
c=
Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção. 
O primeiro e o quarto termos (a e d) são denominados extremos, enquanto o segundo e o terceiro (b e c) são denominados 
meios. 
a = c 
b dou
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Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
1.2.1 Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos: 
a = c 
b d ⇔ a.d = b.c
1.2.2 Soma dos termos de uma Proporção
Considere a proporção:
a = c 
b d
→ a⁺c = a = c 
b⁺d b d
 Isso nos leva à seguinte propriedade:
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes 
assim como cada antecedente está para seu consequente. 
Anote porque será importante quando estudarmos Regra de Sociedade!
1.2.3 Terceira e Quarta Proporcionais
Esses termos dizem respeito a obtenção do termo a ser determinado em uma proporção. 
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01
1.2.4 Terceira Proporcional 
Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo: 
a = b 
b c
Exemplo
Determine o valor de x, sabendo que os números a seguir, na ordem em que aparecem, formam uma 
proporção: 
; ; ; .x5 8 8
Solução: 
x8
5 8=
Os números 5, 8, 8 e x, nessa ordem forma uma proporção. 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções. 
x5 8 8#=
,x 5
8 8 12 8
#
= =
O número 12,8 , assim determinado, chama-se a terça parte proporcional dos números 5,8 e 8. 
Assim, dados b e c, não nulos e iguais, denomina-se terça proporcional desses números um número x, tal que:
 
b
a
x
b=
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Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
1.2.5 Quarta Proporcional 
Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção: 
b
a
x
c=
 
Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade 
fundamental das proporções. 
Exemplo
Determine o valor de x, sabendo que os números a seguir, na ordem em que aparecem, formam uma proporção: 
; ; , ; .x5 8 3 5
 
Solução: 
,
x8
5 3 5=
 
Os números 5, 8, 3,5 e x, nessa ordem forma uma proporção. 
,x5 8 3 5#=
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções. 
x5 28=
 
Resolvendo a equação em x. 
,x 5
28 5 6= =
 
O valor de x é 5,6 
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Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
Ou seja, ;ax bc x a
bc= =
O número 5,6, assim determinado, chama-se a quarta parte proporcional dos números 5,8 e 3,5. 
Assim, dados três números a, b e c, não nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x, tal que
b
a
x
c=
Observe que a diferença entre a Terceira e a Quarta Proporcional é o fato de que, em proporções com um antecedente e con-
sequente iguais, há apenas 3 termos distintos. Se os termos iguais são conhecidos, só restará conhecer mais um (considerando 
que há apenas uma incógnita), daí chamar-se terça proporcional. Em proporções com todos os termos diferentes, ao conhecer 
três devemos buscar o quarto, ou a quarta proporcional.
Exercício Semi-Resolvido 2
Considerando, nesta ordem, os três números a seguir: 15; 5; 24. Calcule a quarta proporcional.
Solução: 
 
De acordo com o exposto temos x5
15 24= . Logo, temos 
x15 24#= _______
Aplicando a propriedade das proporções. 
x15 120=
Resolvendo a equação em x 
x 15
120=
x 8=
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Instrumental
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01
1.2.6 Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta, ou, diminuindo 
uma delas, a outra também diminui. 
Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, os números que 
expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma 
constante K tal que: 
 
 
K
b
a=
Pai Filho
20 cm
8 cm
Exemplo
Uma torneira foi aberta para encher uma vasilha. A cada 5 minutos é medida altura do nível de água em centímetros por 
minutos. 
Observe o quadro que mostra a evolução da ocorrência: 
Tempo (min) Altura (mm) 
5 100
10 200
15 300
Observe que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e o mesmo ocorre quando o 
intervalo de tempo é triplicado.
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Instrumental
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01
Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo. 
1. Quando o intervalo de tempo passa de 5 min para 10 min, dizemos que o tempo varia na razão K 5
10 2= =
Enquanto que a altura da água varia de 100 mm para 200 mm, ou seja, a altura varia na razão 2 . Observamos que estas duas 
razões são iguais:2 5
10
100
200= =
 
 
2. Quando o intervalo de tempo varia de 10 min para 15 min, a altura varia de 200 cm para 300 cm. Nesse caso, o tempo varia 
na razão ,10
15 1 5= e a altura na razão ,200
300 1 5= . Então, notamos que essas razões são iguais: 
 
,1 5 10
15
200
300= =
 
 
Concluímos que a razão entre tempo altura atingida pela água é sempre igual. Podemos dizer que o nível da água é diretamen-
te proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta. 
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Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
Exercício Semi-Resolvido 3
Se um carro percorre, em média, 100 km com 10 litros de combustível, esse carro consumirá 30 litros, para percorrer 300 km. 
Relacione os espaços percorridos com a quantidade de combustível consumida 
Distância Percorrida (km) Volume de Combustível Gasto (litros) 
______ 300" 10" ______
Escrevendo a proporção:
3 10
30
100
300= =
Nesta situação, se o espaço percorrido triplicar, por exemplo, o volume de combustível também triplicará. Se o espaço percor-
rido for a metade, o volume de álcool também será a metade. 
Dizemos que as grandezas espaço e volume, nesta situação, são grandezas diretamente proporcionais. 
1.2.7 Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, 
aumentando uma delas, a outra diminui, ou, diminuindo 
uma delas, a outra aumenta. Se duas grandezas a e b são 
inversamente proporcionais, os números que expressam essas 
grandezas variam na razão inversa, quando uma aumenta a 
outra diminui proporcionalmente. 
Grandeza 1
Au
m
en
ta
D
im
in
ui
D
im
in
ui
Au
m
en
ta
Grandeza 2 Grandeza 2Grandeza 1
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Matemática
Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
Exemplo
Uma professora tem 36 livros para distribuir entre os melhores alunos. Ela precisa definir quantos alunos irá premiar pois 
tem que dar a mesma quantidade de livros para cada aluno. 
Se ela premiar apenas o melhor aluno, este receberá 36 livros. Se forem os 2 melhores alunos cada um receberá 18 livros 
e assim por diante como mostra o quadro a seguir:
Alunos escolhidos Livros para cada aluno 
1 36
2 18
3 12
4 9
6 6
Observe que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e o mesmo ocorre quando o 
intervalo de tempo é triplicado.
De acordo com o quadro, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas 
que variam juntas da seguinte forma:
• Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade. 
• Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte. 
• Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte. 
• Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte. 
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MATEMÁTICA APLICADA
01
Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (alunos escolhidos e número de livros) são grandezas inversamente pro-
porcionais. Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 18 para 9. 
Observe que para chegar a igualdade é preciso inverter a razão: 
2 2
4
18
9
1
9
18= = =
b l
Ou seja quando se dobra o número de alunos o número de livros cai a metade.
Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 18 para 6. Observemos que 
essas razões não são iguais, mas são inversas: 
3 2
6
18
6
1= =
b l
Observe que quanto maior o número de alunos premiados, menor proporcionalmente, o número de livros. Embora isso seja 
um conhecimento intuitivo, seu entendimento irá facilitar o aprendizado da Regra de Três.
Exercício Semi-Resolvido 4.
Um automóvel se desloca de uma cidade até outra localizada a 330 Km. Na estrada, estranhamente, existem diversos limites de 
velocidade, como mostra o quadro a seguir que reúne o tempo gasto a cada limite de velocidade: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
180 1
90 1
60 1
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01
De acordo com o quadro, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 180 Km/h. Quando diminui a veloci-
dade à metade, ou seja, 90 Km/h, a distância percorrida cai a metade e quando diminui a velocidade para 60 Km/h a distância 
é percorrida é um terço da inicial. 
Velocidade (Km/h) Distância (h) 
180 180
90 _____
60 _____
Logo, podemos afirmar que velocidade e distância percorrida são grandezas inversamente proporcionais.
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Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
 Exercícios Propostos de Proporção
1. Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos matriculados em um curso e o número de alunos não 
concluintes desse curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse 
curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de alunos matriculados nesse curso é:
2. A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes 
números?
3. Calcule o valor da seguinte proporção: x 1
18
6
2+ =
4. Para cada 2 automóveis que vende, o vendedor ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês que 
vendeu 15 automóveis? 
5. Se (3, x, 14, …) e (6, 8, y, …) forem grandezas diretamente proporcionais. Determine o valor de x + y.
6. Para produzir 120 blocos de cimento, uma fábrica consome 420 kg de material. Quantos quilogramas seriam consumidos 
para produzir 1000 blocos?
7. Seis caminhões fizeram 8 viagens cada um para transportar terra para um aterro. Quantas viagens seriam feitas por cami-
nhão se a frota fosse composta por 16 veículos?
8. Quinze operários constroem uma casa em 6 meses. Em quanto tempo vinte operários seriam capazes de construir a mesma 
casa?
9. Uma senhora consome duas caixas de remédio a cada 45 dias. Quantas caixas ela consome por ano? Em quanto tempo ela 
consome 12 caixas? 
10. Um carro percorre os 500 km que separam Campinas e o Rio de Janeiro em 6h. Mantendo a mesma velocidade, quanto 
tempo ele gastaria para ir de Campinas a Vitória, distantes 950 km?
 
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Matemática
Instrumental
MATEMÁTICA APLICADA
01
PARA QUE SERVE ESSE CONHECIMENTO?
A compreensão de razão e proporção é a base para o trabalho com grandezas direta e inversamente proporcionais 
e sendo também uma condição necessária para o desenvolvimento do pensamento proporcional. 
As razões e proporções estão em tudo que nos cerca. Se olhar a contabilidade, a economia, a física, a química e as 
diversas áreas de saúde verá muitas aplicações matemáticas. Um exame de sangue tem um festival de razões. Uma 
simples receita culinária, se você quiser dobrar, vai ter que fazer proporcional e assim por diante.
Existem proporções particulares, como a proporção áurea, que está presente em vários elementos da natureza e é 
considerada por alguns a proporção divina.
Enfim, são a base para muitas formas de exibir informações quantitativas. Fique atento porque ao longo desta 
matéria você irá lidar com razões e proporções em todas as unidades.