Livro_Matematica_ElementarI_Cad atividades

Prévia do material em texto

Matemática
Elementar I
Autor 
Leonardo Brodbeck Chaves
Matemática
Elementar I
Caderno de Atividades
2009
© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor 
dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados
IESDE Brasil S.A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 
80730-200 • Curitiba • PR
www.iesde.com.br
C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.
Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: 
IESDE Brasil S.A., 2009.
196 p.
ISBN: 978-85-7638-798-5
1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
 CDD 510
 Leonardo Brodbeck Chaves
Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em 
Eletrônica também pela UFPR.
Sumário
Contagem | 11
1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11
2. O sistema de numeração decimal | 13
Adição e subtração | 17
1. A adição | 17
2. A subtração | 18
Multiplicação e divisão | 21
1. A multiplicação | 21
2. A divisão | 23
Frações (I) | 25
1. As frações | 25
2. Resolução de problemas com frações | 28
3. Frações próprias e impróprias | 30
4. Simplificação de frações | 31
Frações (II) | 35
1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35
2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36
3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37
4. Multiplicação com frações | 40
5. Divisão com frações | 41
Potenciação | 43
1. Potenciação | 43
Expressões numéricas | 47
1. Introdução | 47
2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47
Geometria (I) | 53
1. Polígono | 53
2. Ângulos | 55
3. Triângulo | 55
4. Quadrilátero | 56
5. Perímetro de um polígono | 57
6. Medida do comprimento da circunferência | 62
Geometria (II) | 65
1. Unidade de área | 65
2. Áreas de figuras planas | 66
3. Volumes | 70
Razão e proporção | 75
1. Razão | 75
2. Proporção | 79
3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85
1. Grandezas diretamente proporcionais | 85
2. Grandezas inversamente proporcionais | 88
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95
1. Proporcionalidade composta | 95
2. Regra de três composta | 97
Porcentagem e juro | 105
1. Porcentagem | 105
2. Juro | 111
Equações do 1.o grau | 117
1. Introdução | 117
Equações do 2.o grau | 125
1. Noção de equação do 2.o grau | 125
2. Forma geral | 125
3. Solução de uma equação do 2.o grau | 127
4. Resolução de problemas do 2.o grau | 137
5. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138
Sistemas lineares 2 x 2 | 143
1. Introdução | 143
2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144
3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144
4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146
5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151
6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153
Radiciação | 159
1. Introdução | 159
2. Quadrados perfeitos | 160
3. Raiz quadrada | 161
Gráfico e função | 163
1. Plano cartesiano | 163
2. Função afim | 164
3. Função quadrática | 168
Gabarito | 173
Referências | 193
Apresentação
O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E 
desde o surgimento do homem foi dessa forma.
Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações 
matemáticas:
a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;
b) o círculo da lua cheia;
c) um cristal de gelo com angulação precisa;
d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;
e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre 
outros.
Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias 
matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com 
menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante 
a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da 
natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).
Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado 
a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais 
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de 
comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios 
de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, 
percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua 
sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações 
que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, 
frente às situações da realidade.
A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de 
adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas 
de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com 
agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma 
máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências 
lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com 
maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.
Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias 
e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio 
de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a 
concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma 
ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, 
que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e 
desenvolvimento para a sociedade.
Contagem 
1. A noção básica da Matemática: a contagem
A percepção de diferenças entre quantidades pequenas chama-se senso numérico. As 
pessoas possuem senso numérico e capacidade de contar, mas nem sempre foi assim, há milhões 
de anos, a humanidade somente conhecia os números até 3 ou 4. Ainda hoje, grupos primitivos, 
como os pigmeus da África e os índios botocudos do Brasil, somente conhecem números que 
expressam quantidades muito pequenas.
À medida que foi surgindo a necessidade de contar quantidades maiores, o homem passou 
a agrupar marcos, pedras e outros objetos usados na contagem.
Veja alguns exemplos de agrupamento de 5 em 5:
a) 12
 
b) 7
 
c) 9
 
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades12
1.1 O ábaco
O ábaco é um antigo instrumento utilizado para efetuar operações aritméticas, tais como 
adição, subtração, multiplicação e divisão.
Atualmente, o ábaco é utilizado como um artefato didático-pedagógico para facilitar a 
compreensão do significado dessas operações.
Ao longo da história, diferentes ábacos foram utilizados. Um dos mais simples é aquele em que 
a correspondência é feita utilizando-se contas furadas e enfiadas em hastes fixas em uma moldura.
O ábaco facilita tanto o registro dos objetos quanto a leitura das contagens.
Veja alguns exemplos:
a) 218
 
b) 1 243
 
c) 7 000
 
Contagem 13
d) 1 368
 
2. O sistema de numeração decimal
As principais características do sistema de numeração decimal são:
a) Princípio Aditivo e Multiplicativo
 128 significa 100 + 20 +8, ou seja, 1 x 100 + 2 x 10 + 8 x 1
b) Valor de Posição
 841 representa “oito centenas, quatro dezenas e uma unidade”. Isso corresponde à 
contagem de dez em dez no ábaco. Cada posição corresponde a uma coluna.
 
8 4 1
unidades
dezenas
centenas
c) O zero
 Colunas vazias do ábaco são representadas pelo algarismo zero.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades14
Exercícios
1. Apresente idéias, modelos e aplicações matemáticas que podemos encontrar na natureza 
e em nossas atividades cotidianas.
2. Apresente atividades que o homem primitivo desenvolvia utilizando habilidades 
matemáticas para sua sobrevivência.
3. Apresente três benefícios de estudarmos matemática.
Contagem 15
4. Vamos supor que você adquiriu um apartamento no valor de R$85.750,00. Como você 
preencheria um cheque para efetuara compra? Escreva por extenso o valor da compra. 
5. Observe a decomposição do número 45 732.
 45 732 = 4 0000 + 5 000 + 700 + 30 + 2
Faça o mesmo com os seguintes números:
a) 1 973
b) 1 980 
c) 238 975 
d) 2 004 
e) 20 081 
6. Escreva os números que estão representados no ábaco.
a)
 
= 
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades16
b)
 
= 
c)
 
= 
d)
 
= 
7. Qual é o maior número com 3 algarismos?
Adição e subtração
1. A adição 
A operação de adição aparece em um livro de autor desconhecido chamado Aritmética 
de Treviso, de 1478. Esse autor considerava a adição como a “união de vários números”.
Portanto, a idéia mais comum associada à palavra adição é a de juntar, unir, reunir.
Exemplos:
a) A família de Zequinha é numerosa. Ele possui 3 tias e 8 tios. Quantos tios e tias ele tem 
ao todo?
Total de tios e tias: 3 + 8 = 11
tios
tias
b) Daniel possuía 6 camisetas. Ele ganhou como presente de aniversário 5 camisetas. 
Quantas camisetas ele tem agora?
6 + 5 = 11
ganhou
antes
depois
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades18
c) Humberto deu 12 figurinhas a um amigo e ainda ficou com 25. Quantas figurinhas 
Humberto tinha?
 Veja:
 25 + 12 = 37
 Logo, Humberto tinha 37 figurinhas.
2. A subtração 
A operação de subtração também aparece no livro Aritmética de Treviso. O autor 
considerava que a subtração poderia ser entendida como “de dois números pode-se 
achar a diferença, isto é, do menor para o maior resta a diferença”.
Desta forma, concluimos que os problemas em que se emprega a subtração estão 
ligados a situações de “tirar”.
Exemplos:
a) João tinha 16 botões em seu armário. Ele tirou 7 deles e deu-os para o irmão. Com quantos 
botões João ficou?
 
16 – 7 = 9
tirou
antes
depois
b) Joaquim tem 36 canetinhas e sua irmã tem 12. Quantas canetinhas a mais tem Joaquim?
36 – 12 = 24
Logo, Joaquim tem 24 canetinhas a mais que sua irmã.
c) Em uma viagem, a família Silva já percorreu de carro 195km. Se o percurso total é de 
210km, quantos quilômetros ainda faltam?
210 – 195 = 15km
Logo, faltam 15km.
Adição e subtração 19
Exercícios
1. Pedro tem 12 bolinhas de gude, João tem 15 e Antônio tem 3. Quantas bolinhas eles têm 
no total?
2. Em uma compra de supermercado, Dona Maria comprou os seguintes itens:
Item Preço (R$)
Óleo 2,00
Macarrão 4,00
Sal 3,00
Pão 1,00 
Se ela pagou com uma nota de R$20,00, quanto foi o troco recebido?
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades20
Anotações
Multiplicação e divisão
1. A multiplicação1
A operação de multiplicação era efetuada por antigas civilizações, tais como a babilônica e a 
egípcia. No antigo Egito, por exemplo, há registros do emprego da palavra “sep” entre os números 
em uma multiplicação, que se traduzia por “vezes”. 
A lista dos principais verbos que sugerem multiplicação é a seguinte:
duplicar, dobrar, triplicar, quadriplicar, quintuplicar, centuplicar, replicar, redobrar, repetir etc.
Exemplos:
1. Na sala de aula de Bruno, existem 5 filas com 6 alunos em cada fila.
1 As atuais notações para representarmos a idéia de multiplicação são “x” e “.”, em Matemática Elementar I as duas formas são utilizadas.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades22
a) Quantos alunos estão presentes na sala se ninguém faltou?
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 alunos
b) Quantos pés de alunos nós temos na sala?
2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 60 pés
30 vezes
Logo, temos 60 pés de alunos.
Na situação que acabamos de exemplificar está envolvida mais uma das idéias da multipli-
cação, que é a soma de parcelas iguais.
Mas existem outras situações relacionadas à idéia de multiplicação, como a idéia de com-
binação.
2. Considere as cidades X, A e Y. Para ir de X até A existem 5 caminhos diferentes. Para ir de 
A a Y existem 3 caminhos diferentes. Quantos caminhos diferentes existem de X até Y?
X Y
b1
b2
b3
a1
a2
a3
a4
a5
A
As possibilidades de caminho são:
a1b1 a2b1 a3b1 a4b1 a5b1
a1b2 a2b2 a3b2 a4b2 a5b2
a1b3 a2b3 a3b3 a4b4 a5b5
No total, são 15 maneiras diferentes.
3. Um prédio residencial possui 6 andares, com 4 apartamentos por andar. Em cada aparta-
mento temos 3 moradores. Responda:
 a) Quantos apartamentos tem esse prédio?
6 . 4 = 24 apartamentos
 b) Quantas pessoas moram nesse prédio?
24 . 3 = 72 pessoas
4. Joaquina é muito vaidosa. Ela possui 3 calças e 5 camisetas. De quantas maneiras 
diferentes ela pode se vestir com essas roupas?
3 . 5 = 15 maneiras diferentes.
Multiplicação e divisão 23
5. O táxi de Antônio gasta em média 1 litro de gasolina por 15 quilômetros rodados. O tan-
que do carro é de 42 litros. Quantos quilômetros Antônio pode rodar com o combustível 
de um tanque cheio?
15 . 42 = 630 quilômetros
6. Uma roda-gigante dá 3 voltas por minuto. Quantas voltas dá em meia hora?
meia hora = 30 minutos
3 . 30 = 90 voltas
2. A divisão2
Desde a Antigüidade a divisão era a partilha de uma determinada quantidade de objetos 
por um certo número de pessoas. Na evolução das idéias provavelmente foi substituindo-se por 
sinais até chegarmos ao processo atual da divisão.
Desse modo, a idéia de divisão é associada a situações ligadas aos verbos:
partir, repartir, fracionar, fragmentar, separar, dividir etc.
A divisão pode ser encarada também como a operação inversa da multiplicação.
Veja:
Se 12 x 5 = 60, então 60 : 5 =12 ou 60 : 12 = 5
Vamos acompanhar algumas situações em que usamos a divisão:
1. Uma caixa de bombons será dividida entre 4 irmãos. Se a caixa possui 20 chocolates, 
quantos cada um recebeu?
20 : 4 = 5 chocolates
Logo, cada irmão recebeu 5 chocolates.
2. Comprei 4 pneus e paguei R$480,00. Quanto custa cada pneu?
480 : 4 = 120
Logo, cada pneu custa R$120,00.
3. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$1.200,00 à vista, que pode ser parcelada 
em 5 vezes sem juros. Qual é o valor de cada parcela?
1200 : 5 = 240
Logo, cada parcela será de R$240,00.
2 As atuais notações para representarmos a idéia de divisão são “:” e “ ÷”, em Matemática Elementar I as duas formas são utili-zadas.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades24
Exercícios
1. Um prédio comercial possui 15 andares, com 8 conjuntos por andar e 12 pessoas por con-
junto. Responda:
a) Quantos conjuntos tem esse prédio?
b) Quantas pessoas trabalham nesse prédio?
2. Maria é muito vaidosa. Ela possui 2 calças e 7 camisetas. De quantas maneiras diferentes 
ela pode se vestir com essas roupas?
3. Comprei 4 pneus e paguei R$600,00. Quanto custou cada pneu?
4. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$4.800,00 à vista, que pode ser parcelada 
em 6 vezes sem juros. Qual será o valor de cada parcela?
Frações (I)
1. As frações
As frações foram criadas há mais de 3 500 anos, no antigo Egito, principalmente para 
expressar medidas que não podiam ser demonstradas apenas com os números naturais. Ainda 
hoje as frações são muito usadas para expressar medidas.
Na linguagem comum, fração significa “parte”. Na Matemática, fração é um conceito com 
mais de um significado. Um desses significados relaciona-se com a noção de parte.
Observe as representações fracionárias das partes pintadas em relação à figura toda:
 ou 
Fração que 
corresponde Leitura
1
2 Um meio ou metade
 ou 
1
3 Um terço
 ou 
2
3 Dois terços
 ou 
1
4 Um quarto
 ou 
3
5 Três quintos
 ou 
1
7 Um sétimo
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades26
1.1 Representação
Na representação de um número fracionário usamos dois números inteiros separados por 
uma barra horizontal chamada traço de fração.
Veja:
numerador
denominador
a
b
O número de cima é chamado numerador e o número de baixo é chamado de denominador.
2
3
 representa 
a) O numerador indica o número de partes consideradas;
b) o denominador indica o total de partes em que o todo foi dividido.
1.2 Nomenclatura
Usamos as palavras meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo para 
as frações de denominadores 2 a 10. 
Por exemplo:
2
7
Dois sétimos
3
4Três quartos
1
8
Um oitavo
1
2
Um meio
3
10
Três décimos
Para denominadores maiores que 10, acrescenta-se à leitura dos denominadores a palavra 
avos. Veja alguns exemplos:
1
37
Um trinta e sete avos
7
11
Sete onze avos
72
168
Setenta e dois cento e 
sessenta e oito avos
Frações (I) 27
1.2.1 Frações decimais
As frações cujos denominadores são potências de 10, chamadas de frações decimais, 
recebem denominações especiais.
Acompanhe os exemplos:
1
10
Um décimo
1
100
Um centésimo
1
1 000 Um milésimo
1
10 000 Um décimo de milésimo
Exercícios
1. Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada figura.
a) 
b)
 
c)
 
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades28
2. Ligue as frações indicadas às representações gráficas correspondentes.
2
5 
1
5 
1
7 
3
3 
3. Escreva a forma numérica de cada uma das frações:
a) Dois nonos
b) Doze centésimos
c) Três quartos
d) Sete treze avos
e) Quatro sextos
f ) Vinte e dois trinta e nove avos
2. Resolução de problemas com frações
1. Uma cachorrinha teve 12 filhotes. Desses, 3
4
 eram machos. Quantos eram machos?
 A quarta parte de 12 é 12 : 4 = 3.
 Assim, 1
4
 de 12 é igual a 3.
Frações (I) 29
 
2
4
 de 12 é igual a 2 x 3 = 6.
 3
4
 de 12 é igual a 3 x 3 = 9, que é o número de machos.
2. Antônio gasta 
3
5
 do seu salário com o aluguel. Se Antônio ganha R$850,00, quanto ele 
gasta com o aluguel?
1
5
 de 850 = 850
5
 = 170
3
5
 de 850 = 3 x 170 = 510
Logo, Antônio gasta R$510,00 com o aluguel.
Exercícios
4. Calcule:
a) 
1
2
 de 420
b) 
1
3 de 930
c) 
2
3 de 1 800
d) 
2
3 de 72
e) 
5
6 de 330
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades30
3. Frações próprias e impróprias
Observe a classificação das frações nas figuras abaixo:
3
4
Fração própria, pois está relacionada com 
a parte de um todo, sendo menos que a 
unidade.
6
4
Fração imprópria, pois é maior que a 
unidade.
11
5
Fração imprópria, pois é maior que a 
unidade.
4
4 
= 1
É o inteiro, pois a fração 4
4
 representa o 
número 1.
Exercícios
5. Escreva a fração correspondente a cada uma das figuras:
a) 
b) 
Frações (I) 31
c) 
 
4. Simplificação de frações
Existem frações que se referem a mesma parte do todo, por exemplo 1
2
 e 2
4
. Observe nas 
figuras a seguir:
1
2
 
2
4
 
Para simplificar uma fração devemos determinar sua fração equivalente.
Uma maneira de simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador por um 
mesmo número quando houver fator comum. Caso esses termos não tenham fator comum, não 
é possível simplificar a fração. Neste caso, dizemos que a fração está na forma irredutível.
Veja alguns exemplos:
a) Simplificar 6
8
:
 Dividimos o numerador e o denominador por 2:
6 = 6 : 2 = 3
8 8 : 2 4
 A fração 3
4
 está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 3 e 4.
b) Simplificar 15
25
 .
 Dividimos o numerador e o denominador por 5:
15
25
15 : 5
25 : 5
3
5
= =
 A fração 3
5
 está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 3 e 5.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades32
c) Simplificar 21
168
.
 Dividimos o numerador e o denominador por 3 e depois por 7:
21
168
= 21 : 3
168 : 3
7
56
= = 7 : 7
56 : 7
= 1
8
 A fração 1
8
 está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 1 e 8. 
Exercícios
6. Escreva as frações equivalentes para cada figura a seguir. Observe o modelo:
 
=
 
2 = 1
6 3
a) 
 = 
=
b) 
=
=
Frações (I) 33
c) 
=
=
7. Simplifique as frações a seguir:
a) 
5
10
b) 
6
9
c) 
16
24
d) 
14
28
e) 
36
100
f ) 
72
96
g) 
49
105
h) 
40
100
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades34
Anotações
Frações (II)
1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
Estudaremos um dispositivo prático para a obtenção do m.m.c. Por exemplo, para obtermos 
o m.m.c entre 15 e 25 devemos dividi-los sucessivamente pelos números primos. Números primos 
são aqueles que são divisíveis somente por 1 e por eles mesmos. Assim, números primos são 2, 3, 
5, 7, 11, 13, 17, etc.
Veja os exemplos:
a)
15, 25 3
5, 25 5
1, 5 5
1, 1 3 x 5 x 5 = 75
 O m.m.c entre 15 e 25 é igual a 75.
b) Agora vamos calcular o m.m.c entre 2, 9 e 18.
2, 9, 18 2
1, 9, 9 3
1, 3, 3 3
1, 1, 1 2 x 3 x 3 = 18
 O m.m.c entre 2, 9 e 18 é o número 18.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades36
2. Adição e subtração de fração 
 com o mesmo denominador
Quando as frações têm o mesmo denominador, juntamos, retiramos ou comparamos 
pedaços do mesmo tamanho. Para efetuarmos uma adição ou uma subtração com frações do 
mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador 
comum.
Veja as figuras:
7
9
4
9
3
9 Adição:
43
9 9
+ =
7
9
7
9
2
9
5
9
Subtração:
27
9 9
– =
5
9
Observe mais alguns exemplos:
a) 
1
17
+ =7
17
+ 3
17
11
17 
c) 
3
10
+ = 11
10
8
10
b) 
19
43
– =5
43
14
43 
d) 
25
13
– = 14
13
11
13
Frações (II) 37
Exercícios
1. Calcule:
a) 
3
17
+
8
17
b) 
7
11
+ 2
11
+ 5
11
c) 
17
18
– 3
18
d) 
16
10
– 8
10
– 3
10
3. Adição e subtração de 
 frações com denominadores diferentes
Quando os denominadores de duas ou mais frações são diferentes, elas representam 
quantidades de “pedaços” internos que têm tamanhos diferentes. Por isso, essas quantidades (os 
numeradores) não podem ser adicionados.
Então, como calcular 1
2
+ 1
6
 ?
Uma técnica para efetuar adições e subtrações com frações, cujos denominadores são 
diferentes, é encontrar frações equivalentes às frações dadas com denominadores iguais. Um 
modo que permite reduzir as frações a um mesmo denominador é encontrando o mínimo 
múltiplo comum ou m.m.c dos denominadores dados.
Veja, nos exemplos, como funciona:
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades38
a) 
7
3
+ =2
5
35
15
+ 6
15
= 41
15x x
3, 5 3
1, 5 5
1, 1 3 x 5 = 15
 m.m.c (3, 5) = 15
b) 
1
2
+ =1
3
3
6
+ 2
6
= 5
6x x
2, 3 2
1, 3 3
1, 1 2 x 3 = 6
 m.m.c (2, 3) = 6
c) 
18
7
+ 1
2
13
49
252
98x x
+ = 49
98
+ 26
98
+ 327
98
=x
7, 2, 49 2
7, 1, 49 7
1, 1, 7 7
1, 1, 1 2 x 7 x 7 = 98
 m.m.c (7, 2, 49) = 98
Frações (II) 39
Exercícios
2. Calcule:
a) +
11
53
b) 
7
11
– 3
10
c) 
3
2
+ 1
6
– 1
2
d) 
7
9
+ 1
3
2
5
+
e) 
4
7
+ 1
8
2
3
+
f) 
42
101
+ 3
5
g) 
1
10
+ 1
3
1
5
–
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades40
4. Multiplicação com frações
O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o 
denominador é o produto dos denominadores.
Veja:
a
b
. c
d
= a . c
b . d
, sendo a, b, c e d números naturais e b e d diferentes de zero.
Acompanhe agora alguns exemplos:
a) 
1
3
. 3
4
= 1 . 3
3 . 4
= 3
12
, simplificando, 
1
4
=3 : 3
12 : 3
=3
12
b) 
2
3
. 1
3
= 2 . 1 . 7 = 14
45
. 7
5 3 . 3 . 5
c) 
1
5
. 1
5
= 1 . 1 . 1 = 1
125
. 1
5 5 . 5 . 5
Exercícios
3. Calcule:
a) 
1
5
. 1
2
b) 
3
7
. 3
14
Frações (II) 41
c) 
12
13
. 1
8
d) 
8
9
. 9
8
e) 
3
4
. 2
3
5. Divisão com frações
Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira pela segunda fração invertida.
Veja:
a) 
3
7
: 4
5
3
7
= . 5
4
= 15
28
b) 2 : 4 = 2 . 9 = 18
9 9 9 4 36
 Simplificando, 18 = 18 : 18 = 1
36 36 : 18 2
c) 2 : 2 = 2 . 3 = 6
3 3 3 2 6
 Simplificando, 6 = 6 : 6 = 1 = 1
6 6 : 6 1
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades42
Exercícios
4. Calcule:
a) 
1
3
: 1
2
b) 
7
8
: 3
4
c) 
11
10
: 1
3
d) 
12
15
: 5
8
Potenciação
1. Potenciação
Veja a seguinte multiplicação:
5 x 5 x 5 x 5 = 54 = 625
Em 54 , que representa 5 x 5 x 5 x 5, temos:
54 = 625 → potência de 5: é o resultado obtido
expoente da potência: indica quantas vezes o fator deverá ser multiplicado.
base da potência: indica o fator que se pretende multiplicar.
Observe estes exemplos:
a) 35
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243
expoente
base
potência
5 vezes
Lê-se: três elevado à quinta potência ou três elevado à quinta.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades44b) 43
 
4 x 4 x 4 = 43 = 64
expoente
base
potência
3 vezes
Lê-se: quatro elevado à terceira potência ou quatro elevado ao cubo.
1.1 Forma geral
De modo geral, temos:
n vezes
an = a x a x a .... a
Como o expoente indica quantas vezes o fator aparece na multiplicação, considere-se que 
n deve ser, no mínimo, 2.
1.2 Potências especiais
De acordo com a definição de potência apresentada, 
1n = 1 e 0n = 0 qualquer que seja o valor de n.
Então, 1 x 1 x 1 x 1 .... 1 x 1 = 1, um multiplicado por qualquer número, resulta sempre em 
um.
0 x 0 x 0...0 = 0, zero multiplicado por qualquer número, resulta sempre em zero.
A partir de diversos estudos de comparação, os matemáticos estabeleceram a seguinte 
convenção:
a1 = a a
0 = 1
Veja alguns exemplos:
a) 81 = 8
b) 141 = 14
c) 31 = 3
d) 30 = 1
e) 50 = 1
Potenciação 45
f ) 2370 = 1
1.3 Propriedades das potências
A potenciação, além de proporcionar economia na escrita dos números, também torna 
alguns cálculos mais simples.
1.3.1 Produto de potências de mesma base
Veja:
(7 x 7 x 7 x 7) x (7 x 7) = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7
4 fatores 2 fatores 6 fatores
74 x 72 = 76
Para obter o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os 
expoentes.
Exemplos:
a)
 
32 x 36 = (3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) = 32+6 = 38
2 vezes 6 vezes
b) 27 x 29 = 27+9 = 216
1.3.2 Potência de potência
Para obter a potência de uma potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Exemplos:
a) (43)2 = 43 x 2 = 46
b) [(53)3]3 = 53 x 3 x 3 = 527
c) (23)2 = 23 x 2 = 26
1.3.3 Divisão de potências de mesma base
Para obter a divisão de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os 
expoentes.
Exemplos:
a) 38 32 = 38-2 = 36
b) 107 103 = 107-3 = 104
c) 26 23 = 26-3 = 23
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades46
Exercícios
1. Escreva as seguintes multiplicações na forma exponencial:
a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
b) 9 x 9 x 9
c) 15 x 15 
d) 6 x 6 x 6 x 6
e) 3 x 3 
2. Escreva as seguintes potências na forma multiplicativa:
a) 83
b) 102
c) 08 
d) 15 
3. Calcule:
a) 103 x 107
b) 34 x 33
c) (35)2
d) [(53)2]2
e) 73 72
f ) 20 x 22 x 21 x 23 x 25 
g) 613 68 62
Expressões numéricas 
1. Introdução
Agora, estudaremos a resolução de expressões numéricas que são importantes para a 
fixação da ordem de operações e de sinais como parênteses, colchetes e chaves.
2. Regras para a resolução 
 de expressões numéricas
É muito importante saber que na Matemática são adotadas regras para determinar a ordem 
com que devem ser efetuadas as operações nas expressões numéricas. Observe:
1.º) as operações de potenciação e radiciação, na ordem em que aparecem;
2.º) as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem;
3.º) as operações de adição e subtração, na ordem em que aparecem.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades48
Exemplos:
a) 
8 + 3 x 4 : 2 – 2 =
8 + 12 : 2 – 2 =
8 + 6 – 2 =
14 – 2 = 12
b) 
7 + 12 x 3 : 4 – 6 =
7 + 36 : 4 – 6 =
7 + 9 – 6 =
16 – 6 = 10
c) 
7 x 3 + 1 – 10 : 2 =
21 + 1 – 5 =
22 – 5 = 17
d) 
10 x 3 : 5 – 2 + 10 =
30 : 5 – 2 + 10 =
6 – 2 + 10 = 14
e) 
10 + 2 x 9 – 7 + 4 =
10 + 18 – 7 + 4 =
28 – 7 + 4 =
21 + 4 = 25
f ) 
12 : 4 + 2 x 3 – 5 =
3 + 2 x 3 – 5 =
3 + 6 – 5 =
9 – 5 = 4
Quando aparecem parênteses, colchetes ou chaves, adota-se mais uma regra:
4.º) As operações que estão dentro dos parênteses devem ser efetuadas em primeiro lugar, 
depois as operações que estiverem dentro dos colchetes e depois as que estiverem 
dentro da chave.
Exemplos:
a)
7 . (8 + 2) =
7 . 10 = 70
b)
[2 + (7 + 1) : 4] . 3=
[2 + 8 : 4] . 3=
[2 + 2] . 3 =
4 . 3 = 12
c)
2 . (17 – 9) + 10 =
2 . 8 + 10 = 
16 + 10 = 26
d)
[10 : 5 + (7 + 2) . 2] : 10=
[2 + 9 . 2] : 10=
[2 + 18] : 10=
20 : 10 = 2
Expressões numéricas 49
Vamos acompanhar a resolução de mais algumas expressões numéricas. Note que as 
operações são feitas sempre “de dentro para fora”. 
a)
500 – {135 – [6 . (8 + 2) + 3] . 3 + 2} =
500 – {135 – [6 . 10 + 3] . 3 + 2} =
500 – {135 – [60 + 3] . 3 + 2} =
500 – {135 – 63 . 3 + 2} =
500 – {135 – 189 + 2} =
500 – {– 54 + 2} =
500 – {– 52} =
500 + 52 = 552
b) 
102 + {14 : [15 – 8 . (9 – 8)] } =
100 + {14 : [15 – 8 . 1] } =
100 + {14 : [15 – 8] } =
100 + {14 : 7} =
100 + 2 = 102
c) 
43 – {32 + 2 x [7 + 22 x √3 + 2 . 3 – 2 x (2 + 1)] } =
64 – {9 + 2 x [7 + 4 x √3 + 2 . 3 – 2 x (2 + 1)] } =
64 – {9 + 2 x [7 + 4 x √3 + 6 – 2 x 3] } =
64 – {9 + 2 x [7 + 4 x √9 – 6] } =
64 – {9 + 2 x [7 + 4 x 3 – 6] } =
64 – {9 + 2 x [7 + 12 – 6] } =
64 – {9 + 2 x 13} =
64 – {9 + 26} =
64 – 35 = 29
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades50
d)
40 + {15 + 4 . [90 : (21 – 4 . 3)] + 7} : 31 =
40 + {15 + 4 . [90 : (21 – 12)] + 7} : 31 =
40 + {15 + 4 . [90 : 9] + 7} : 31 =
40 + {15 + 4 . 10 + 7} : 31 =
40 + {15 + 40 + 7} : 31 =
40 + 62 : 31 =
40 + 2 = 42
e)
[(2 + 3)2 + √1 + 3 ] : 3 + 23 =
[52 + √4 ] : 3 + 8 =
[25 + 2] : 3 + 8 =
27 : 3 + 8 =
9 + 8 = 17
f )
2 . (7 + 2) – 8 =
2 . 9 – 8 =
18 – 8 = 10
g)
7 – [(7 + 2) : 3 – 2] =
7 – [9 : 3 – 2] =
7 – [3 – 2] =
7 – 1 = 6
h)
(2 + 36 )2 . [10 – (6 + 2) : 4 . 3] =
(2 +6)2 . [10 – 8 : 4 . 3] =
82 . [10 – 2 . 3] =
64 . [10 – 6] =
64 . [4] = 256
Expressões numéricas 51
Exercícios
1. Resolva as seguintes expressões numéricas:
a) 12 : (3 + 1) + 5
b) 7. [(8 + 2) : 5 + 12]
c) (23 – 3) . (7 – 4 )
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades52
d) 500 – {456 – [3 . (2 + 6) – 1] . 2 + 2}
e) 81 + 2 . { 6 + 3 . 22 – [2 + (9 –23)]} 
Geometria (I)
1. Polígono
A palavra polígono é de origem grega e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon). Um polí-
gono é toda linha fechada formada por segmentos de reta consecutivos.
A D
E
CB
Linha aberta não é um polígono.
 
A D
EF
CB
Linha fechada é um polígono.
1.1 Classificação dos polígonos
Conforme o número de lados, o polígono recebe uma denominação especial, observe:
 
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades54
Denominação Número de lados
A C
B
triângulo 3
A B
D C
quadrilátero 4
BE
A
D C
pentágono
5
A
D
E
F
C
B hexágono 6
F
G
D C
E
A
B
heptágono 7
Temos também os seguintes polígonos:
Número de lados Denominação
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
... ...
20 Icoságono
Geometria (I) 55
2. Ângulos
Quando traçamos duas semi-retas não colineares1 e de origem comum, formamos uma 
figura chamada ângulo.
Observe:
A
B
V A
V
B
A
V
B
Em cada figura temos:
•	 VA: lado do ângulo
•	 VB: lado do ângulo
• V: vértice do ângulo
Lemos um ângulo assim: “ângulo AVB
^
 ou BVA
^
”.
Indica-se: AVB
^
 ou BVA
^
Note que a letra do vértice fica entre as outras duas e vem com o sinal ^.
3. Triângulo
3.1 Classificação quanto ao lado
Observe os triângulos a seguir:
1.
A C
B
2.
A C
B
3.
A C
B
1 Pontos que estão sobre uma mesma reta.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades56
Em cada um deles temos:
•	 AB, AC e BC como os lados do triângulo.
•	 A, B e C: vértices do triângulo.
No exemplo número 1, todas as medidas são iguais, portanto, é um triângulo eqüilátero.
No segundo exemplo, apenas duas das três medidas são iguais, assim, é um triângulo isósceles.
No terceiro exemplo, as três medidas são diferentes, e é chamado triângulo escaleno.
4. Quadrilátero
4.1 Paralelogramo
A
D CH
B
AB CD
AD BC
AH : altura
AB bases
 //
 //
 :




: A e B são paralelos à CD
: A e D são paralelos à BC
Em um quadrilátero, quando os seus lados opostos são paralelos, ele recebe o nome de 
paralelogramo.
Conforme as medidas dos ângulos internos dos lados, o paralelogramo pode ser:
A B
D C
Retângulo
Todos os ângulos medem 90°
AB = CD e AD = BC
A B
D C
Quadrado
Todos ângulos medem 90°
AB = BC = CD = DA
A C
B
D
Losango
AB = BC = CD = DA
Geometria (I) 57
4.2 Trapézio
Observe:
A
CH
B
AB CD
AB : base menor
CD base maior
AH altura
 //
 :
 :







Conforme as medidas dos ângulos internose dos lados, o trapézio pode ser:
A
D C
B
Trapézio retângulo
BA
^
D = 90º
AD
^
C = 90º
D C
A B
Trapézio isósceles
AD = BC
A
D C
B
Trapézio escaleno
AD ≠ BC
5. Perímetro de um polígono
Perímetro (P) é a soma das medidas dos comprimentos dos lados de um polígono.
Acompanhe:
BE
A
D C
3cm
4cm
2cm
5cm
3cm
P = 3cm + 4cm + 3cm + 5cm + 2cm
P = 17cm
A C
B
3cm
7cm
5cm
P = 3cm + 5cm + 7cm 
P = 15cm
D
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades58
Agora vejamos o cálculo do perímetro de um triângulo eqüilátero:
A C
B
5cm
5cm
5cm
P = 5cm + 5cm + 5cm
P = 3 . 5cm = 15cm
Conclusão: P = 3 x , em que é a medida 
do lado do triângulo eqüilátero.
Seguindo o mesmo raciocínio, vejamos o perímetro do quadrado, do retângulo, do losango 
e do pentágono regular.
Quadrado
A B
D C
2m
2m2m
2m
P = 2m + 2m + 2m + 2m
P = 4 . 2m = 8m
Conclusão:
P = 4 . 
 = medida do lado
Retângulo
A B
D C
20mm
10mm
20mm
10mm
P = 10mm + 20mm + 10mm + 
20mm
P = 2 . 10mm + 2 . 20 mm = 60mm
Conclusão:
P = 2 . b + 2 . h
b = base
h = altura
Losango
A C
B
D
0,02m
0,02m
0,02m
0,02m
P = 0,02m + 0,02m + 0,02m + 
0,02m
P = 4 . 0,02m = 0,08m
Conclusão:
P = 4 . 
 = medida do lado
Pentágono regular
BE
A
D C
7cm
7cm
7cm
7cm
7cm
P = 7cm + 7cm + 7cm + 7cm + 7cm
P = 5 . 7cm = 35cm
Conclusão:
P = 5 . 
 = medida do lado
Geometria (I) 59
Exercícios
1. Associe o polígono com a sua denominação:
A
D
E
F
C
B triângulo
A C
B
D
hexágono
BE
A
D C
heptágono
A C
B
pentágono
F
G
D C
E
A
B
quadrilátero
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades60
2. Complete as frases:
A C
B
No triângulo à esquerda,
os três lados têm medidas iguais.
Portanto, o triângulo é ________________.
A C
B
No triângulo à esquerda,
apenas duas medidas são iguais.
Portanto, o triângulo é ________________.
A C
B
No triângulo à esquerda,
os três lados têm medidas diferentes.
Portanto, o triângulo é ________________.
3. Associe cada denominação à figura correspondente:
losango 
quadrado 
retângulo 
A B
D C
A B
D C
A C
B
D
a)
b)
c)
Geometria (I) 61
4. Associe cada trapézio à sua classificação:
A
D C
B
A
D C
B
A
D C
B
trapézio isósceles
trapézio escaleno
trapézio retângulo
5. Dadas as figuras abaixo, calcule o perímetro:
a)
 A C
B
4m
3m
5m
b)
 
A C
B
D
6cm
A C
B
D
6cm
c)
 
A
D C
B6cm
9cm
4cm 5cm
d)
 
BE
A
D C
1,5cm
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades62
6. Medida do comprimento da circunferência
A medida do comprimento do diâmetro é igual a duas vezes a medida do comprimento do 
raio. Assim, D = 2 . R
Veja na figura:
raio = R
O
 
R
O
R
Dividindo-se a medida do comprimento da circunferência pela medida do comprimento 
do respectivo diâmetro, obtém-se um quociente aproximado de 3,14, o qual é representado pela 
letra grega π (pi).
π
π
π
C
=
D
C
= 
2 . R
C = 2 . . R
C = circunferência
D = diâmetro
R = raio
π	≅ 3,14
Geometria (I) 63
Exercícios
6. Determine a medida do comprimento de uma circunferência, sabendo que o comprimento 
do raio é 5cm.
C
R = 5cm
7. Se o comprimento de uma circunferência mede 62,8cm, calcule a medida do seu raio.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades64
Anotações
Geometria (II)
1. Unidade de área
Área é uma grandeza que corresponde à medida de uma superfície.
Para medir a área, utiliza-se a unidade m2 (metro quadrado).
Metro quadrado é a unidade fundamental de medida de área e corresponde à área de um 
quadrado cuja medida do comprimento do lado é 1 metro.
Observe a figura:
1m
1m
1m2
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades66
Considere um retângulo de 3m x 5m. Ele possui 15m2, pois na sua superfície “cabem” 15 
quadrados de 1 metro de lado. Veja a figura:
3m
5m
2. Áreas de figuras planas
Vamos agora determinar a medida da área de algumas figuras planas: retângulo, quadrado, 
triângulo e círculo.
Essas medidas são obtidas através de fórmulas que são representadas por letras:
• : medida do comprimento do lado;
•b: medida do comprimento da base;
•h: medida do comprimento da altura;
•A: medida da área da figura.
2.1 Retângulo
A D
B C
base
altura
A área do retângulo é 
determinada pela fórmula: 
A	=	b	.	h
Geometria (II) 67
Exemplos:
a) A medida da altura de um retângulo é 3cm. Determine a área, sabendo que a medida da 
base é o triplo da medida da altura.
h = 3cm
b = 3 . h
b = 3 . 3 = 9cm
A = b . h
A = 9 . 3 = 27cm2
b = 3 . h
h = 3cm
b) A área de um terreno retangular é 1 000m2. Sabendo que a medida de um dos lados é 
25m, qual é a medida do outro lado? 
b = ?
h = 25mA = 1 000m2
A = b h
Substituindo os dados, temos :
1 000 = b 25
25b = 1
⋅
 
 
.
0000
b = 1 000
25
 ∴b=	40m
2.2 Quadrado
A
B
D
C
lado
lado
A área do quadrado é deter-
minada pela fórmula:
A	=	 2
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades68
2.3 Triângulo
B
A C
base
altura
A área do triângulo 
é determinada pela 
fórmula: A	=	
b	.	h
2
Exemplos:
a) A medida do lado de um quadrado é 2cm. Qual é a sua área?
A
B
D
C
2cm
2cm
A = 2
A = 22
A	=	4cm2
b) Determine a área de um quadrado cujo perímetro é de 24m.
A
B
D
C
P = 24cm
P = 4 . 
24 = 4
4 = 24
=
24
4
= 6m
A = A = 62 2




 ∴
⇒ ∴ A=	336m2
Geometria (II) 69
Exemplos:
a) A medida da base de um triângulo é de 15cm e a altura é de 8cm. Qual é a sua área?
A
B
C
b = 15cm
h = 8cm
A =
b . h
2
A =
15 . 8
2
A = 
120
2
∴
A=	60cm2
b) A altura de um triângulo mede 4cm e a base é o dobro da altura. Qual é a área do 
triângulo?
A
B
C
b = 2 . h
h = 4cm
h = 4cm
b = 2 . h
b = 2 . 4 b = 8cm
A =
b . h
2
A =
8 . 4
2
A = 
32
2
∴
∴
A=	16cm2
2.4 Círculo
R
A área do círculo é determinada pela fórmula:
A	=	π .	R2
π	≅ 3,14
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades70
3. Volumes
Volume é uma grandeza que corresponde à medida do espaço ocupado por um corpo.
Para medir o volume, utiliza-se uma unidade de medida fundamental de volume, o metro 
cúbico, cujo símbolo é m3.
Mas, o que é um metro cúbico?
Metro cúbico é a unidade fundamental de medida de volume e corresponde ao 
volume de um cubo cuja medida da aresta é de 1m.
1m
1m
1m
aresta
Exemplos:
a) O raio de um círculo mede 2cm. Qual sua área?
A = ?
R = 2cm
= 3,14π
A = π . R2
A = 3,14 . 22
A = 3,14 . 4
A	=	12,56cm2
b) Qual é a área de um círculo cujo diâmetro mede 12cm?
R R
12cm D = 2 . R
12 = 2 . R
2R =12
R =
12
2
R = 6cm∴
A = . R2
A = 3,14 . 62
A = 3,14 . 36
A	=	113,04cm2
Geometria (II) 71
Para medir volumes também é possível utilizar o litro, cujo símbolo é  . Para a conversão 
basta sabermos que 1m3 = 1000
3.1 Paralelepípedo retângulo
Vamos aprender a determinar o volume de um paralelepípedo retângulo resolvendo o 
seguinte problema:
a) Qual é o volume de um paralelepípedo retângulo que tem as dimensões 4m de com-
primento, 3m de altura e 2m de largura?
Basta contarmos o número de cubos de 1m3 que existem no paralelepípedo.
1m
1m
1m
4m
2m
2m
Contando os cubos existentes, chegamos a um volume de 16 . 1m3 = 16m3.
Note que podemos obter o volume do paralelepípedo de uma maneira mais simples, assim:
Volume	=	4m	.	2m	.	2m	=	16m3
Dessa forma podemos concluir que o volume de um paralelepípedo retângulo pode ser 
expresso por	V	=	a	.	b	.	c, sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo.
V = a . b . cc
b
a
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades72
3.2 Cubo
O volume do cubo é dado pela expressão V	=	a3, em que a é a aresta do cubo.
a
a
a
Vejamos mais alguns exemplos:
a) Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: 12cm de comprimento, 
4cm de altura e 5cm de largura. Determine seu volume:
V = a . b . c
V = 12 . 5 . 4
V	=	240cm3
4cm
5cm
12cm
b) Uma caixa d´água mede 2m x 2m x 1m. Qual é sua capacidade?
 Como essa caixa d´água tem o formato de um paralelepípedo retângulo, a sua 
capacidade é dada por:
 V = a . b . c
 V= 2 . 2 . 1V	=	4m3
Geometria (II) 73
Exercícios
1. Uma das medidas de um terreno regular é 7m. Determine a área do terreno, sabendo que 
a outra medida é o triplo da primeira.
2.	 Determine a área de um quadrado cujo perímetro é 32cm.
3.	 A medida da base de um triângulo é de 9cm e da altura é de 6cm. Qual é a área desse 
triângulo?
4.	 Calcule a área da superfície de uma moeda que possui 2cm de diâmetro.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades74
5. A aresta de um cubo mede 3cm. Determine o seu volume.
3cm
3cm
3cm
6. Encontre a capacidade de uma caixa que mede 5cm de largura, 8cm de comprimento e 
3cm de altura.
3cm
5cm
8cm
7. Uma piscina tem a capacidade de armazenar 75m3. Quantos litros correspondem a essa 
capacidade?
8. Um garrafão de 5 litros corresponde a quantos metros cúbicos?
Razão e proporção
1. Razão
1.1 Definição
Razão é o quociente entre dois números, sendo que o segundo número é diferente de zero.
A
B
 ou A : B com B ≠ 0
Como você pode perceber, uma razão é também representada por uma fração. No entanto, 
não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo:
Número racional 
(representado por fração)
Razão 
(representado por fração)
1
3 lê-se: um terço
1
3 lê-se: um para três ou um está para três
9
5 lê-se: nove quintos
9
5 lê-se: nove para cinco ou nove está para cinco
4
10 lê-se: quatro décimos
4
10 lê-se: quatro para dez ou quatro está para dez
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades76
1.2 Os termos de uma razão
Vamos considerar a notação 3
7
. O que ela representa? 
A notação 37 é um numeral (fração) que representa o número “três sétimos”, em que 3 é o 
numerador, e 7 o denominador. Porém, 3
7
 é a representação também da razão “três para sete”, 
em que 3 é denominado antecedente, e 7 é denominado conseqüente.
Fração Razão
numerador
denominador
antecedente
conseqüente
1.3 Razões iguais e simplificação de uma razão
Para obtermos razões iguais, basta aplicarmos a propriedade fundamental das razões, que 
é a seguinte:
Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, 
obtém-se outra razão igual à primeira.
Acompanhe duas aplicações da propriedade fundamental das razões:
2
3 =
4
6 =
6
9 =
8
12 = ...
2x
x3
x4
2x
x3
x4
48
60 = = =
:2
24
30
12
15
4
5
:2
:3
:2
:2
:3 Forma irredutível
Observe que, no exemplo anterior, a razão 4
5
 é a forma mais simples de 48
60
 e não é possível 
simplificá-la ainda mais, portanto, é chamada de irredutível.
Razão e proporção 77
Exercícios
1. Complete, indicando a leitura das seguintes razões:
a) 34 : ____________________________________________________________________
b) 1 : 5 : ___________________________________________________________________
c) 49 : _____________________________________________________________________________
d) 97 : _____________________________________________________________________________
e) 5 : 10 : __________________________________________________________________________
2. Complete as frases com numerador, denominador, antecedente ou conseqüente:
a) 4
9
 é uma fração, em que 4 é o _____________ e 9 o _____________.
b) 13
17
 é uma razão, em que 13 é o _____________ e 17 o _____________.
c) 37 é uma fração, em que 3 é o _____________ e 7 o _________________.
d) 16 é uma razão, em que 1 é o _____________ e 6 o _________________.
3. Simplifique as razões a seguir até a forma irredutível:
a) 18
24
= 
b) 6
27
=
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades78
c) 12
30
= 
d) 15
16
=
e) 30
54
= 
f ) 56
88
= 
4. Acompanhe os problemas resolvidos a seguir e, depois, resolva os exercícios:
• Você tem 25 anos de idade e seu irmão mais velho tem 30 anos. Qual é a razão entre a 
sua idade e a do seu irmão?
Solução:
25 anos
30 anos
5
6
=
• Qual é a razão entre 2 dias e uma semana?
Solução:
1 semana ⇔ 7 dias
2 dias
7 dias
2
7
=
a) Um casal possui 6 filhos, sendo 2 meninas e 4 meninos. Qual é a razão entre o número 
de meninos e de meninas?
b) Um time de futebol marcou em um campeonato 17 gols e sofreu 21. Qual é a razão entre 
o número de gols marcados e sofridos?
c) Uma colméia possuía 150 abelhas. Após três meses, esse número passou para 320 
abelhas. Qual é a razão entre o número de abelhas depois e antes desse período?
Razão e proporção 79
2. Proporção
2.1 Definição
A sentença que representa uma igualdade entre duas razões equivalentes constitui uma 
proporção.
Então, 60
40
30
20
= é uma proporção que se lê: sessenta está para quarenta, assim como 
trinta está para vinte.
2.2 Termos de uma proporção
A proporção formada pelas razões A
B
 e C
D
 é dada por:
A
B
C
D
=
ou
A : B = C : D
Onde A e D são os extremos e B e C são os meios.
2.3 Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Assim, na proporção
A
B
C
D
=
temos: A x D = B x C
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades80
3. Aplicando razão e proporção para 
 calcular densidade volumétrica
Você já se perguntou por que uma bolinha de isopor flutua na água enquanto que uma de 
chumbo, de mesmo volume, afunda? 
Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. 
Mas o que é densidade?
Densidade volumétrica de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, que pode ser 
medida em quilograma (kg) ou grama (g) e o seu volume, que pode ser medido em metro cúbico 
(m³), centímetro cúbico (cm³) ou litro (  ), entre outras unidades de medida.
A fórmula da densidade é representada por:
d = m
v
d: densidade
m: massa
v: volume
A unidade da densidade pode ser kg/m³, g/cm³, entre outras.
Note que a densidade é uma aplicação de razão.
Observe alguns exemplos de substâncias e suas densidades:
Substância Densidade (g/cm³)
madeira 0,5
gasolina 0,7
álcool 0,8
alumínio 2,7
ferro 7,8
mercúrio 13,6
Razão e proporção 81
Observe os exercícios resolvidos:
1. Um artista esculpiu um enfeite em madeira que possui um volume de 500cm3. Agora, 
ele quer construir uma réplica do objeto usando ferro. Se o ferro possui uma densidade 
volumétrica de 7,8g/cm3, qual é a massa de ferro necessária?
 Como a densidade é a razão entre a massa e o volume:
 d = m
v
 , em que m é a massa e v é o volume.
 Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções:
 7,8g = m
1cm3 500cm3
 m . 1 = 7,8 . 500
 m = 3 900g ou 3,9kg
 Resposta: A massa de ferro necessária para construir o mesmo objeto é de 3,9kg.
2. Você seria capaz de calcular a massa de madeira inicialmente utilizada na construção 
do enfeite?
 De acordo com a tabela de densidades, a densidade volumétrica da madeira é 0,5g/
cm3. Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções:
 0,5g = m
1cm3 500cm3
 m . 1 = 0,5 . 500
 m = 250g
 Resposta: A massa de madeira utilizada foi de 250g.
 A massa de madeira necessária para construir o mesmo objeto é menor do que a 
massa de ferro. Isso se deve ao fato de a densidade volumétrica da madeira ser inferior 
à densidade do ferro.
Exercícios
5. Dê a leitura das seguintes proporções:
a) 3
2
6
4
ou 3 : 2 = 6 : 4 = lê-se: __________________________________________
b) 4
5
8
10
ou 4 : 5 = 8 :10 = lê-se: __________________________________________
c) 12
15
4
5
ou 12 :15 = 4 : 5 = lê-se: __________________________________________
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades82
d) a
b
x
y
ou a : b = x : y = lê-se: __________________________________________
6. O termo x é desconhecido. Descubra seu valor em cada uma das proporções, aplicando a 
propriedade fundamental das proporções. Acompanhe o exercício resolvido a seguir:
a)
 
4
3
=
x
6
3 . x = 4 . 6
3x = 24 x = 
24
3
 
 
 
 
 ⇔
∴x = 8
b) 
x
45
5
9
=
c) 48
x
12
5
=
d) 11 : 3 = x : 6
Razão e proporção 83
7. Estude o problema resolvido a seguir e, depois, resolva os demais.
a) Uma vara de 12cm encravadaverticalmente no solo produz uma sombra de 15cm. 
Quanto deve medir o comprimento da vara para que ela produza uma sombra de 
45cm?
12cm
15cm
x
45cm
15 . x = 12 . 45
15x = 540 x
540
15
=
⇔ =
∴x	=	36cm
b) Você tem um arquivo de imagem no computador medindo 9cm de largura por 12cm de 
comprimento. Se você ampliar essa fotografia usando um software de edição de imagens 
de modo que a medida de seu comprimento passe a ser de 60cm, quanto medirá sua 
nova largura?
c) Na planta que representa o projeto de uma casa, as dimensões da sala são 6cm de largura 
e 10cm de comprimento. Ao construir a casa, a sala ficou com uma largura de 4,5m. Qual 
é a medida do comprimento da sala, em metros?
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades84
Anotações
Grandezas 
proporcionais (I): 
regra de três simples
1. Grandezas diretamente proporcionais 
Vamos considerar o seguinte problema:
Daniela foi ao armazém comprar 1 litro de leite e pagou R$3,00. 
1. Quanto pagaria se comprasse 2 litros? 
 Pagaria 2 x R$3,00 = R$6,00.
2. E se Daniela comprasse 3 litros? 
 Pagaria 3 x R$3,00 = R$9,00.
Observe então: 
Quantidade Preço
1 litro R$3,00
2 litros R$6,00
3 litros R$9,00
4 litros R$12,00
5 litros R$15,00
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades86
Perceba que o que ocorre com o valor da capacidade ocorre também com o preço. Assim, 
podemos estabelecer as seguintes igualdades:
1
2
 = 
R$3,00
R$6,00
 
2
3
 = 
R$6,00
R$9,00
 
1
3
 =






 
R$3,00
R$9,00
 etc.
Note que a razão entre dois valores quaisquer da primeira (quantidade) é igual à razão 
entre os dois termos correspondentes da segunda (preço).
Assim, dizemos que no exemplo da compra de leite por Daniela, as duas grandezas – quan-
tidade e preço – são diretamente proporcionais.
Definição: duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os dois 
valores da primeira é igual à razão entre os dois valores correspondentes da segunda.
As grandezas envolvidas na compra de Daniela são diretamente proporcionais, ou seja, se 
a quantidade comprada por Daniela aumenta, o preço final também aumenta. Da mesma forma, 
se a quantidade comprada por Daniela diminui, o preço também diminui.
1.1 Regra de três simples direta
A resolução de problemas que envolvem duas grandezas diretamente proporcionais é feita 
com o auxílio de uma regra chamada regra	de	três	simples	direta.
Vejamos alguns casos:
a) O preço de 5m de um determinado tecido é R$120,00. Qual é o preço de 8m do mesmo 
tecido?
Comprimento Preço
5m R$120,00
8m x
Neste caso, comprimento e preço são grandezas diretamente proporcionais.
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 87
 Então,
5m
8m
 = 
120
x
5
8
 = 
120
x
5 . x = 8 . 120
5x = 960
x =
960
5
 x = 
 ⇒
⇒ 1192
Resposta: O preço de 8m de tecido é R$192,00.
b) Um carro percorreu 240km em 3h20min. Nas mesmas condições, em quanto tempo 
esse carro percorrerá 300km?
3h20min = 3 x 60min + 20min = 200min
Distância Tempo
240km 200min
300km x
Então,
240km
300km
 = 
200min
x
240
300
 = 
200
x
240 . x = 300 . 200
2
 ⇒
440x = 300 . 200
x =
60 000
240
x = 250min∴
Transformando 250min, temos aproximadamente 4h10min.
Resposta: O carro percorrerá 300km em 4h10min.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades88
2. Grandezas inversamente proporcionais
Vamos considerar o seguinte problema:
Um operário faz um serviço em 6 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria feito por 
dois operários?
Seria feito em 3 horas, ou seja, na metade do tempo gasto por um operário.
E por três operários?
Seria feito em 2 horas, ou seja, na terça parte do tempo gasto por um operário.
Pois bem, agora observe:
Operário Tempo
1 6h
2 3h
3 2h
Perceba que o que ocorre com o número de operários ocorre de maneira inversa com o 
tempo. Se o número de operários aumenta, o tempo para realizar o serviço diminui. Portanto, 
operário e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Neste caso, podem-se estabelecer as seguintes igualdades:
 
1 operário 3h 1 operário 2h 2 operários 2h = = = 
2 operários 6h 3 operários 6h 3 operários 3h
Definição: duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois 
valores quaisquer da primeira é igual à razão inversa dos dois valores da segunda.
2.1 Regra de três simples inversa
Os problemas que envolvem duas grandezas inversamente proporcionais são resolvidos 
com o auxílio de uma regra chamada regra	de	três	simples	inversa.
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 89
Acompanhe a resolução de alguns problemas:
a) Um automóvel, com velocidade de 80km/h percorre um trajeto em 4h. Em quanto 
tempo esse trajeto seria percorrido, se o carro estivesse com a velocidade de 
64km/h?
Velocidade Tempo
80km/h 4h
64km/h x
 Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Note que se a velocidade 
diminui, o tempo aumenta.
80km/h
64km/h
 = 
x
4h
80
64
 = 
x
4
64 . x = 80 . 4
64x = 320
x =
32
 ⇒
00
64
x = 5∴
Resposta: O automóvel percorrerá o trajeto em 5 horas.
b) Uma turma de 40 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local 
do acampamento, encontraram mais 10 alunos. Quantos dias durarão os alimentos com a 
nova turma?
Alunos Tempo
40 10 dias
40 + 10 = 50 X
 Aluno e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Se o número de alunos 
aumenta o tempo que os alimentos vão durar diminui.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades90
2.1.1 Aplicando a regra de três em medidas agrárias
Para medirmos a área de sítios, fazendas, chácaras e terrenos em geral, usa-se unidade de 
medida de área chamada hectares (ha), are (a) e centiare (ca).
Para convertermos as unidades agrárias para o metro quadrado e vice-versa, precisamos 
saber que:
1ca = 1m2
1a = 100m2
1ha = 10 000m2
Exemplos:
a) Temos uma chácara medindo 2,5ha. Qual é a sua área em metros quadrados?
ha m2
1 10 000
2,5 x
 Aplicando regra de três, temos:
1
2,5
= 10 000
x
x = 2,5 10 000
x = 
∴ .
25 000m2
40 alunos
50 alunos
 = x
10 dias
40
50
= x
10
50 . x = 40 . 10
50
⇒
xx = 400
x = 400
50
x = 8∴
Resposta:	Os alimentos vão durar apenas 8 dias.
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 91
b) Temos uma fazenda medindo 65 000m2 de área. Qual é a sua área em hectares?
ha m2
1 10 000
x 65 000
Aplicando regra de três, temos:
1
x
=
10 000
65 000
10 000x = 65 000
x =
65 000
10 000
x =
∴
	6,5ha
Exercícios
1. Resolva o exercício a seguir:
 Observe as tabelas a seguir e conclua se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. A seguir, complete as frases e as respectivas proporções com os valores 
indicados nas tabelas:
a)
Grandeza X Grandeza Y
12 4
15 5
18 6
 As grandezas X e Y são _____________ proporcionais, pois:
 
 12 
 = 
4
5 18 
 = 
4
6
e
15
18
 = 
 6 
 
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades92
b)
Grandeza A Grandeza B
2 30
5 12
6 10
 As grandezas A e B são _____________ proporcionais, pois:
2
5
 = 
 30 
2
6
 = 
 10 
e
 6 
 = 
10
12
 
2. Resolva os seguintes problemas:
a) Um tecido tem 15m de comprimento e custa R$450,00. Qual é o preço de 75m desse mesmo 
tecido?
b) Uma indústria gastou 600m de um determinado tecido para fazer 200 uniformes. 
Quantos metros desse tecido serão gastos para fazer 700 uniformes?
c) Uma indústria empregou 38kg de plástico para fabricar 300 carrinhos de brinquedo. 
Quantos carrinhos idênticos serão fabricados com 57kg de plástico?
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 93
d) Um automóvel, com velocidade de 90km/h, demora 6h para ir de uma cidade a outra. 
Com que velocidade deverá retornar para percorrer o mesmo trajeto em um prazo de 4h?
e) Uma casa é construída em 2 meses por 10 pedreiros. Em quantos dias a mesma casa 
seria construída por 15 pedreiros?
f ) Um carro, com velocidade de 45km/h, leva 3h20min para percorrer uma determinada 
distância. Emquanto tempo fará esse mesmo percurso com a velocidade de 72km/h?
g) Um jardineiro experiente tem de semear um campo de futebol medindo 64m de largura 
por 90m de comprimento. Quantos quilos de semente ele vai precisar, sabendo que um 
quilo é suficiente para 16m2?
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades94
Anotações
Grandezas proporcionais (II): 
regra de três composta
1. Proporcionalidade composta
Observe as figuras:
B C
A
4
5
C’B’
A’
10
8
x2
Triângulo
Base Altura Área
5 4
A = 5 . 4
2
 = 10
10 8 A = 
10 . 8
2
 = 40
x 2 x 2x2 x2
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades96
B
2
6
12
4 CA
C’
B’
A’
8
x3
Triângulo
Base Altura Área
4 2 A = 4 . 2
2
 = 4
12 6 A = 
12 . 6
2
 = 36
x 3 x 3x3 x3
Pelas figuras anteriores observamos que:
Se uma grandeza é proporcional a outras, então os valores de suas medidas são 
proporcionais ao produto dos valores das medidas das outras.
Vamos ver como funciona:
a)
Triângulo
Base Altura Área
10 5 25
20 10 100
x2 x2 x2 x2
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 97
b)
Triângulo
Base Altura Área
7 6 21
14 3 21
x2 x½ x 2 x½
c)
Triângulo
Base Altura Área
4 3 6
8 1,5 6
x2 x½ x 2 x½
Agora, vamos seguir a resolução de um problema passo a passo, estudando a regra de 
três composta.
2. Regra de três composta
Problemas que envolvem várias grandezas, direta ou inversamente proporcionais, são 
resolvidos com o auxílio de uma regra chamada regra	de	três	composta.
Vejamos alguns exemplos:
a) Dois operários, depois de 8 dias de serviço, receberam R$400,00. Quanto receberão 5 
operários por 12 dias de trabalho?
Operários Tempo Valor
2 8 dias R$400,00
5 12 dias x
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades98
Analise, isoladamente e com cada uma das outras, a grandeza que contém o valor 
desconhecido. Assim:
Operários Valor
2 R$400,00
5 x
aumenta também 
aumenta
Se 2 operários recebem R$400,00, 5 operários deverão receber mais. Então, as grandezas 
operário e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é:
2
5
 e 400
x
Tempo Valor
8 dias R$400,00
12 dias x
aumenta
também 
aumenta
Se em 8 dias os operários recebem R$400,00, em 12 dias deverão receber mais. Então, as 
grandezas tempo e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é:
8
12
 e 400
x
Para as três grandezas, a ordem das razões é: 2
5
, 
400
x
 e 
8
12
.
Podemos concluir então que: 400
x
= 
2
5
 . 
8
12
400
x
4
15
x
400 . 15
4
1 500.⇒ = ⇒ = =
Resposta: 5 operários receberão por 12 dias de trabalho R$1.500,00.
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 99
b) Um carro com a velocidade média de 80km/h percorre, em 2 dias de viagem, 1 800km. 
Se a velocidade for alterada para 60km/h, quanto tempo ele levará para percorrer 
3 375km?
Velocidade Tempo Percurso
80km/h 2 dias 1 800km
60km/h x 3 375km
Velocidade Tempo
diminui 
80km/h 2 dias
 aumenta
60km/h x
Se a velocidade do carro for de 80km/h o tempo necessário é de 2 dias. Quando a 
velocidade for de 60km/h o carro precisará de mais tempo. Então, velocidade e tempo são 
grandezas inversamente proporcionais. Logo, a ordem das razões é:
60 e 2
80 x
Tempo Percurso
aumenta 
2 dias 1 800km
 aumenta
x 3 375km
Se para percorrer 1 800km o carro leva 2 dias, para percorrer 3 375km o carro vai precisar 
de mais tempo. Então, máquinas e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Logo, a 
ordem das razões é:
2 e 1 800
x 3 375
Para as três grandezas, a ordem das razões é: 60
80
 , 2
x
 e 1 800
3 375
Então podemos concluir que: 2 = 60 . 1 800 ⇒ 2 = 2 ⇒ x = 5
x 80 3 375 x 5
Resposta: Serão necessários 5 dias.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades100
c) 6 máquinas trabalhando 4 horas produzem 200m de um tecido. Quantas máquinas 
serão necessárias para, em 3 horas, produzir 800m desse tecido?
Máquinas Tempo Comprimento
6 4h 200m
x 3h 800m
inversa
direta
6
x
 = 
3
4
 .
200
800
5
x
1
3 
x = 15⇒ = ⇒
Resposta: Serão necessárias 15 máquinas.
d) Uma turma de 20 pessoas foi acampar, levando alimentos suficientes para 21 dias, com 
3 refeições diárias. Chegando ao local, encontraram mais 15 pessoas. Por quantos dias 
terão alimento, se fizerem apenas 2 refeições diárias?
Pessoas Tempo Refeições/dia
20 21 dias 3
35 x 2
inversa inversa
21
x
= 
2
3
 .
35
20
 
21
x
=
14
12 
 x = 18 dias⇒ ⇒
Resposta: Terão alimento por apenas 18 dias.
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 101
Exercícios
Tente resolver os seguintes problemas:
1. Cinco operários demoram 9 horas para retirar 1 000 tijolos da carroceria de um caminhão. 
Quantos tijolos 6 operários, com a mesma capacidade dos anteriores, conseguirão retirar 
em 5 horas?
2. Cinco grupos de estudo com 4 alunos em cada grupo resolvem, em 2 horas, 36 problemas. 
Em quanto tempo 10 grupos de 8 alunos resolverão 72 problemas?
3. Uma perfuradora de cartões, trabalhando 12 horas por dia, perfura 3 200 cartões em 8 dias. 
Quantas horas por dia deverá trabalhar para perfurar 5 000 cartões em 15 dias?
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades102
4. Dezesseis operários fazem 720 peças em 6 dias. Quantos operários são necessários para 
fazer 2 160 peças em 24 dias?
5. Um aluno efetua 200 operações em 2 dias, estudando 8 horas por dia. Em quantos dias esse 
aluno, estudando 2 horas por dia, efetuará 100 operações?
6. Quantos homens são necessários para construir um muro de 150m de comprimento por 
10m de altura em 30 dias, sabendo que, nas mesmas condições, 25 homens constroem um 
muro de 50m de comprimento por 8m de altura, em 8 dias?
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 103
7. Andando 14 horas por dia, com uma velocidade média de 30km/h, um carro leva 6 dias 
para percorrer 2 520km. Qual deve ser a velocidade média desse carro para ele percorrer 
essa mesma distância em 7 dias, andando 10 horas por dia?
8. Numa indústria, 4 máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Quantos dias serão 
necessários para que apenas 2 máquinas produzam 900 peças?
9. Cinco operários trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias produzem 200 objetos. 
Quantos objetos serão produzidos por 8 operários trabalhando 4 horas por dia durante 15 
dias?
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades104
Anotações
Porcentagem e juro 
1. Porcentagem
É usual nos cálculos financeiros utilizarmos a porcentagem com taxa. Isso permite que seja 
feito um cálculo direto, de acréscimos e descontos, sobre determinado valor.
Exemplos:
a) Um assalariado ganha um salário bruto de R$3.200,00. Descontando imposto de renda, 
contribuições previdenciárias e outras deduções, temos um total de desconto de 40%. 
Qual é o valor do salário líquido, que é o salário bruto com as deduções?
Salário líquido = salário bruto – deduções
SL = SB – D
SL = (100% de 3 200) – (40% de 3 200)
SL = 60% de 3 200
SL =
60 . 3 200
100
SL = 0,60 . 3 200 = 1 920
Note que o fator de diminuição é 0,6:
Usando taxas, bastaria calcular assim:
SL =
(100 –40) . 3 200 ⇒ SL =
60 . 3 200
100 100
SL = 0,60 . 3 200 = 1 920
Resposta: O salário líquido é de R$1.920,00.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades106
b) André tinha uma dívida no cartão de crédito de R$450,00. O juro mensal é de 11%. 
Qual é o total da dívida ao final de um mês?
Montante = capital + juros
M = C + j
(
.
=
=
=
=
=
M 100% de 450) + (11% de 450)
M 111% de 450
111
M 450
100
M 1,11 . 450
Note que o fator de aumento é 1,11.
M 499, 50
Resposta: O total da dívida (montante) será de R$499,50.
1. Calcule as porcentagens a seguir:
 a) 27% de 1 300
27
27% de 1 300 = × 1 300 = 0,27 . 1 300 = 351
100
fator
Vamos calcular rapidamente então?
Situação Cálculo do fator Operação
Desconto de 10% 100% – 10% = 90% =
90 = 0,90
100
Multiplicar por 0,90
Acréscimo de 3,5% 100% + 3,5% = 103,5% =
103,5 = 1,035
100
Multiplicar por 1,035
Desconto de 2% 100% – 2% = 98% =
98 = 0,98
100
Multiplicar por 0,98
Para uma situação geral, temos:Se um valor V sofre um aumento percentual de uma taxa i, o novo valor é dado por:
N = V + i.V = V(1+i), em que 1 + i é o fator de aumento.
Da mesma maneira, se um valor V sofre uma diminuição percentual de uma taxa i, o novo 
valor N é dado por:
N = V – iV = V(1-i) onde 1 – i é o fator de diminuição.
Agora, vamos acompanhar alguns exemplos:
Porcentagem e juro 107
 b) 3,7% de 8 500
= =
3,7
3,7% de 8 500 . 8 500 0, 037 . 8 500 = 314, 50
100
fator
2. Com o auxílio de sua calculadora, resolva os seguintes problemas:
a) O senhor Antônio aplicou a quantia de R$250,00 na caderneta de poupança. Qual é 
o seu saldo depois de 30 dias se naquele mês a aplicação rendeu no total 0,71%?
 
  
N = V + iV
N = V (1+ i)
0,71
N = 250 1+
100
N = 250 (1+ 0,0071)
N = 250.1,0071 
fator de aumento
N = 251,78
Resposta: O seu saldo é de R$251,78.
b) O preço de um televisor é de R$1.100,00. Se for pago à vista, o desconto é de 8,5%. 
Se for comprá-lo à vista, qual o valor final?
fator
=
=
=
=
=
 
  
-
-
N V + iV
N V (1– i)
8, 5
N 1 100 1
100
N 1 100. (1 0, 085)
N 1 100 . 0, 915
N = 1 006,50
Resposta: O preço final será R$1.006,50.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades108
3. O senhor Antônio tem o salário de R$800,00 mensais. Ele receberá um aumento de 
15%. De quanto será o aumento?
= =⋅1515% de 800 800 120
100
 Resposta: O aumento será de R$120,00.
4. Calcule as porcentagens a seguir:
 a) 22% de 250
=⋅22 250 55
100
	 Resposta: 55.
 
 b) 90% de 22 500
=⋅90 22 500 20 250
100
	 Resposta: 20 250.
 
c) 5% de R$120
⋅
5
120 = 6
100
	 Resposta: R$6.
5. O salário mínimo atual é de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de 
15%. Se as reivindicações forem atendidas, qual será o valor do salário?
Dica: para um cálculo rápido, multiplique 360 por 1,15. Assim: 360.1,15 = 414,00.
+
+
+
+
ATUALS = S aumento
15
S = 360 . 360
100
S = 360 0,15 . 360
S = (1 0,15) . 360
S = 414, 00
Resposta: O salário será de R$414,00.
Porcentagem e juro 109
6. Dona Joana está pesquisando o preço de uma roupa que custa R$220,00. Se ela pagar 
à vista, o desconto é de 8%. Qual será o preço final se ela pagar à vista?
Dica: para um cálculo rápido, multiplique 220 por 0,92. Assim: 220 . 0,92 = 202,40.
FINAL ORIGINAL
FINAL
FINAL
FINAL
FINAL
P = P – D
8
P = 220 – . 220
100
P = 220 – 0,08 . 220
P = (1 – 0,08) . 220
P = 202, 40
Resposta: O preço com desconto será R$202,40.
Exercícios
Resolva os exercícios que seguem:
1. Calcule as porcentagens a seguir:
a) 2% de 530
b) 88% de 1 700
c) 6% de R$22.500,00
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades110
2. Para pagamento a prazo, um calçado que custa R$80,00 terá um acréscimo de 11%. Qual é 
o valor do acréscimo?
3. O preço de um computador é de R$2.500,00. Se for pago a prazo, o preço sobe 7%. Qual é 
o preço a prazo?
4. O preço da gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma redução de 3%. Qual o valor do 
preço final?
Porcentagem e juro 111
2. Juro
Juro é a remuneração que se paga por um capital emprestado por um certo período de tempo.
2.1 Juro simples
O senhor José precisa de um empréstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a 
ser pago dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor José pagará de volta à 
financeira?
Quando fazemos um empréstimo bancário, pagamos juros. No caso do senhor José, ele 
terá de pagar ao banco o valor do capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular 
assim:
Juros = 500 x 20% x 1
⋅ ⋅20Juros 500 1
100
Juros 500 0, 20 1 100
= 
= . . =
taxa
capital numerador de 
períodos
Assim, o senhor José pagará:
Total = 500 + 100 = 600.
Resposta: Ele pagará R$600,00 à financeira.
O cálculo do juro pode ser generalizado:
J = C . i . n
J = juro
C = capital
i = taxa
n = número de períodos
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades112
Vejamos mais alguns exemplos:
a) Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa de 25% durante 
um período de 3 anos.
 C = 5 000
25
i 25% 0, 25
100
= = = 
 n = 3
 j = ?
 J = C. i. n
 J = 5 000 . 0,25 . 3
	 ∴ J = 3 750
	 Resposta: O juro é de R$3.750,00
b) Qual é o montante resgatado de um capital de R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5% 
durante 1 ano?
 Aqui precisamos definir o que é montante. Montante é o capital	aplicado mais o	ren-
dimento.
 Dessa maneira:
 Montante = Capital aplicado + rendimento
 M = C + J
 M = C + C.i.n
	 M	=	C	(1+	i.n)
 Voltando ao problema,
 C = 8 000
5
i 5% 0, 05
100
= = = 
 n = 1 ano = 12 meses (repare que o período e a taxa devem estar sempre na mesma 
base de tempo)
 M = 8 000 (1+ 0,05.12)
 M = 8 000 . 1,6 = 1 280.
	 Resposta: O montante é de R$12.800,00.
Porcentagem e juro 113
c) Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano, durante 6 meses?
M = 88 000
∴
 
  
20
i = 20% ano = ao ano = 0, 20 ano
100
6 1
n = 6 meses ano = ano
12 2
C = ?
M = C + C.i.n
1
88 000 = C 1 + 0, 20.
2
88 000 = C (1 + 0,10)
88 000
C = C = 80 000, 00
1,10
Resposta: O capital é de R$80.000,00.
2.2 Juro composto 
Quando fazemos uma aplicação em caderneta de poupança, por exemplo, os rendimentos 
do período de 1 mês são incorporados ao capital.
Acompanhe os montantes (saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais, 
durante 3 meses.
Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00
Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50
Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.102,50 R$55,12 R$1.157,62
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades114
Anteriormente, tivemos o exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto é 
aquele que no fim de cada período é aplicado ao capital anterior.
Vejamos alguns exemplos:
a) Se as cadernetas pagam rendimento de 0,65% ao mês, calcule, usando uma calculadora, 
quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses.
	 :: Primeiro mês:





C 500, 00 
0, 65
i 0, 65% = 0, 0065 ao mês
100
n 1 mês
=
 = = 
 = 
 M = C (1 + n.i) = 500 (1 . 0,0065) = 500 . 1,0065 = 503,25
	 :: Segundo mês:




C 503, 25 
i 0, 0065 ao mês
n 1 mês
=
 = 
 = 
 M = C (1 + n.i) = 503,25 (1 . 0,0065) = 503,25 . 1,0065 = 506,52
	 :: Terceiro mês:




C 506, 52 
i 0, 0065 ao mês
n 1 mês
=
 = 
 = 
 M = C (1 + n.i) = 506,52 (1 . 0,0065) = 506,52. 1,0065 = 509,81
 Logo o capital rende R$509,81 – R$500,00 = R$9,81
	 Resposta: O capital rende R$9,81.
b) Determinar o juro recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no 
regime de juros simples, durante um período de 5 anos.
 
C = 8 750 
12
i = 12% ao ano = = 0,12 ao ano
100
n = 5 anos




Porcentagem e juro 115
 j = C.i.n
 j= 8 750 . 0,12 . 5 ∴ j = 5 250
	 Resposta: O juro simples é de R$5.250,00.
c) Qual é o montante resgatado de um capital de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de 
1,5% ao mês, no regime de juros simples, durante 2 anos?
 
C 2 200= 




 
1,5
i 1,5% ao ano 0,015 ao mês
100
n 2 anos 24 meses
 = = = 
 = = 
 M = C (1 + i.n)
 M = 2 200 (1+ 0,015 . 24)
 M = 2 200 . 1,36 ∴	M = 2 992
	 Resposta: O montante é R$2.992,00.
d) Suponha que as cadernetas de poupança rendam 0,63% ao mês. Simule uma aplicação 
de um capital de R$1.000,00 por três meses.
Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.000,00 1 000 . 0,0063 . 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30
Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.006,30 1 006,30 . 0,0063 . 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64
Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.012,64 1 012,64 . 0,0063 . 1 = 6,38 1 012,64 + 6,38 = 1 019,02
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades116
Exercícios
Resolva os exercícios que seguem:
5. Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00 com taxa de8% ao ano, durante 4 
anos, no regime de juros simples.
6. Qual é o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado a uma taxa de 1% ao 
mês, no regime de juros simples, durante 6 anos?
7. Faça a simulação de uma aplicação em fundos de um capital de R$8.000,00 com taxa de 
1,5% ao mês, durante 4 meses.
Equações do 1.o grau 
1. Introdução
Resolver uma equação significa encontrar um valor desconhecido, ou seja, o valor de uma 
variável ou incógnita, representada em geral por uma letra.
Vamos aprender como resolver as equações que apresentam uma variável com expoente 
unitário. Tais equações podem ser representadas pela forma geral numa equação equivalente na 
forma:
ax + b = 0
em que x é a variável e a e b são números racionais, de modo que a ≠ 0. Elas são denominadas 
equações	do	1.º	grau	com	uma	variável.
Exemplos:
•	 2z + 5 = 0 é uma equação do primeiro grau na incógnita z.
• 8x – 3 = x + 21 é uma equação do primeiro grau na incógnita x.
•	 y + 5 = 12 é uma equação do primeiro grau na incógnita y.
•	 3n – 1 =12
8
 é uma equação do primeiro grau na incógnita n.
•	 x2 = 25 não é uma equação do primeiro grau.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades118
Vejamos no exemplo a seguir quais são os passos para resolver uma equação do 1.º grau.
3(x + 2) = 18 + x
1.º	passo:	eliminar os parênteses e os denominadores, se existirem.
3(x + 2) = 18 + x
3 . x + 3 . 2 = 18 + x
3x + 6 = 18 + x
2.º	passo:	passar para o 1.º membro os termos com incógnita e para o 2.º membro os 
termos sem incógnita.
3x – x = 18 – 6
3.º	passo:	reduzir os termos semelhantes.
2x = 12
4.º	 passo: isolar a incógnita para descobrir seu valor (no exemplo devemos passar o 
coeficiente do 1.º membro dividindo o 2.º membro).
x = 12
2
x = 6
Exercícios
1. Escreva a equação que representa cada sentença, seguindo os exemplos:
a) O número cujo triplo menos 12 dá 24.
 3x – 12 = 24
b) O número cujo antecessor de seu dobro é igual ao seu sucessor.
 2x – 1 = x + 1
c) O número cujo dobro mais cinco dá 13.
Equações do 1.o grau 119
d) O número cujo dobro dá 22.
e) O número cujo seu dobro mais o seu triplo é igual a 25.
f ) O número mais a sua sexta parte é igual a 5.
2. Resolva as seguintes equações do primeiro grau em x, conforme os exemplos:
a) x – 7 = 42
x = 42 + 7
∴	x = 49
b) 3x + 2 = 14
3x = 14 – 2
3x = 12
x = 12
3
∴ x = 4
c) x – 9 = 12
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades120
e) 8 – 2x = – 4
–2x = – 4 – 8
– 2x = – 12 . ( –1)
2x = 12
x = 12
2
∴ x = 6
h) 2 (x+2) = 14
2x + 4 = 14
2x = 14 – 4
2x = 10
x = 10
2
∴ x = 5
d) 5x + 8 = 28
f ) 8 – 5x = – 17
g) 5 = 8 – 3x
Equações do 1.o grau 121
i) 3 (2x–5) = 3
j) x 2+ = 10
2 3
m.m.c. (2,3) = 6
3x + 4 = 60
6 6 6
3x + 4 = 60
3x = 60 – 4
3x = 54
x = 54
3
x = 18
l)
 
x 3
= 8
2 5
-
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades122
20
kg8
kg
Estabelecendo a equação e desenvolvendo, temos:
x + x + x + x + 8 = x + x + 20
4x + 8 = 2x + 20
4x – 2x = 20 – 8
2x = 12
x = 12
2
x = 6kg
Resposta: Cada esfera tem uma massa de 6kg.
3. Observe a balança da figura a seguir. Se as caixas são iguais, determine a massa de cada 
caixa.
16
kg
Estabelecendo a equação e desenvolvendo, temos:
x + x + x + x = 16
4x = 16
16
x =
4
x = 4kg
Resposta: Cada caixa tem uma massa de 4kg.
4. Observe a balança da figura a seguir. As esferas de chumbo são iguais. Qual é a massa de 
cada esfera de chumbo?
Equações do 1.o grau 123
5. Observe a balança da figura a seguir. Se as caixas são iguais. Qual é a massa de cada caixa?
27
kg
6. Observe a balança da figura a seguir. As esferas de chumbo são iguais. Qual é a massa de 
cada esfera de chumbo?
22
kg
12
kg
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades124
7. O triplo de um número menos 6 vale 15. Que número é esse?
3x – 6 = 15
3x = 15 + 6
3x = 21
21
x =
3
x = 7
8. A terça parte de um número mais o próprio número vale 8. Que número é esse?
/ / /
x
+ x = 8
3
x 3x 24
+ =
3 3 3
x + 3x = 24
4x = 24
24
x =
4
x = 6
9. O dobro de um número mais ele mesmo vale 24. Que número é esse?
10. A quarta parte de um número mais o sucessor desse número vale 16. Que número é esse?
Equações do 2.o grau
1. Noção de equação do 2.o grau
Uma equação é considerada de 2.º grau quando o maior expoente da variável é 2.
Exemplos: 
•	 x2 – 8x = 10
•	 3y2 = 2y – 2
•	 8m = –m2
2. Forma geral
Toda equação do 2.º grau pode ser reduzida à forma geral ax2 + bx + c = 0, com a	≠	0, em que:
x: é a variável ou incógnita
a: coeficiente de x2
b: coeficiente de x
c: termo independente
 
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades126
Exemplos:
 


a) 3x2 – 10x + 5 = 0
variável = x
a = 3
b = –10
c = 5
 


b) m2 – m + 2 = 0
 variável = m
 a = 1
 b = –1
 c = 2 
 


c) –x2 + 8x – 5 = 0
variável = x
a = –1
b = + 8
c = – 5
Vamos retornar à forma geral:
ax2 + bx + c = 0 com a ≠	0
Se os coeficientes b ou c são nulos, diz-se que a equação é incompleta. Vejamos:
2x2 – 8x + 10 = 0



Equação completa
a = 2
b = –8
c = 10
 
2x2 + 0x – 7 = 0 
ou 2x2 – 7 = 0



Equação incompleta
a = 2
b = 0
c = –7
 
4x2 – 16x + 0 = 0
ou 4x2 – 16x = 0 



Equação incompleta
a = 4
b = –16
c = 0
4x2 + 0x + 0 = 0
ou 4x2 = 0



Equação incompleta
a = 4
b = 0
c = 0
 
Equações do 2.o grau 127
2.1 Redução à forma geral
Em muitas situações, uma equação do 2.º grau não aparece na forma geral. Porém, por 
meio de transformações algébricas (agrupamento de termos semelhantes), essa equação pode 
ser reduzida à forma geral.
Exemplos:
a) 3x2 – 8x = 10x + 3
 3x2 – 8x – 10x – 3 = 0
 3x2	–18x	–	3	=	0
b) x (5x – 8) = – 5x 
 x (5x – 8) = – 5x 
 x . 5x – x . 8 = – 5x 
 5x2 – 8x = – 5x
 5x2 – 8x + 5x = 0
 5x2	–	3x	=	0
c) (x – 3)2 = 4
 (x – 3) . (x – 3) = 4
 x . x – x . 3 – 3 . x – 3 . (–3) = 4
 x2 – 3x – 3x + 9 = 4
 x2 – 6x + 9 = 4
 x2 – 6x + 9 – 4 = 0
	 x2	–	6x	+	5	=	0
3. Solução de uma equação do 2.o grau
As raízes de uma equação do 2.º grau são valores atribuídos à variável que fazem com que 
o valor da expressão ax2 + bx + c seja nulo.
Uma equação do 2.º grau possui pelo menos duas raízes ou soluções.
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades128
Acompanhe:
a) Na equação: x2 – 5x + 6 = 0, as raízes são 3 e 2, pois
 32 – 5 . 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = – 6 + 6 = 0
 e
 22 – 5 . 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = – 6 + 6 = 0
b) Na equação: x2 – 3x – 4 = 0, as raízes são –1 e 4, pois
 (–1)2 – 3.(–1) – 4 = 1 + 3 – 4 = – 4 + 4 = 0
 e
 4 2 – 3 . 4 – 4 = 16 – 12 – 4 = – 4 + 4 = 0
Entretanto, você deve estar se perguntando: como se chegou a esses números para 
as raízes?
Vamos descobrir agora!
3.1 Solução de equação do 2.o grau incompleta 
 da forma ax2 + c = 0, com a ≠	0 e b = 0
Encontramos as raízes da equação do 2.º grau incompleta com b = 0, utilizando a estratégia 
de isolar a incógnita.
Acompanhe os exemplos:
a) 2x = 49
x = ± 49
x = ±7
∴x	= –7	ou		x	= 7
b) 2
2
2
2
2
–2x + 12 = 0
–2x = – 12 . (–1)
2x = 12
12
x =
2
x = 6
x = ± 6
–x	=	 6	ou		x	=	 6
Equações do 2.o grau 129
c) 2
2
2
–y + 1= 0
–y = –1 . (–1)
y = 1
y = ± 1
y = ±1
y	=	–1	ou		y	=	1
d) 
-
-
2
2
x + 16 = 0
x = 16
x = 16
Como	 não	 existe	 raiz	 quadrada	
de	 número	 negativo	 no	 conjunto	 dos	
números	reais,	a	equação	não	tem	solução	
para	o	conjunto	dos	números	reais.
3.2 Solução da equação do 2.o grau incompleta 
 da forma ax2 + bx = o, com a ≠	0 e c = 0
Encontramos as raízes da equação do 2.º grau com c = 0, utilizando a estratégia de fator em 
evidência. 
Acompanhe os exemplos:
a) x2 – 4x = 0
 x . (x – 4) = 0
 1.º fator 2.º fator
 x = 0 x – 4 = 0
 x = 4
b) 3y2 + 8y = 0
 y . (3y + 8) = 0
 1.º fator 2.º fator
 y = 0 3y + 8 = 0
 3y = –8
 
y =–8
3
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades130
c) 4 (x2 + 1) = 4 (x + 1)
 Determinando a forma geral da 
equação:
 4 . (x2 + 1) = 4 . (x + 1)
 4 . x2 + 4 . 1 = 4 . x + 4 . 1 
 4x2 + 4 = 4x + 4
 4x2 + 4 – 4x – 4 = 0
 4x2