Exercícios de Logaritmos

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1. (Uece 2019) Para cada número natural n, defina 
n
nx log (2 ),= onde log (z) representa logaritmo de 
z na base 10. Assim, pode-se afirmar corretamente 
que 1 2 3 8x x x x+ + + + é igual a 
a) 86x . 
b) 48x . 
c) 68x . 
d) 49x . 
 
2. (Eear 2019) Sejam m, n e b números reais 
positivos, com b 1. Se blog m x= e se blog n y,= 
então b b
n
log (m n) log
m
 
 +  
 
 é igual a 
a) x 
b) 2y 
c) x y+ 
d) 2x y− 
 
3. (Epcar (Afa) 2019) O domínio mais amplo da 
função real f definida por 2af(x) log (x 3),= − em 
que a ]0,1[, é 
a) [ 2, 2]− 
b) ] 2, 2[− 
c) ] , 2] [2, [− −  + 
d) [ 2, 3[ ] 3, 2]− −  
 
4. (G1 - ifce 2019) Considerando 7log 2 w,= temos 
que o valor de 4log 14 pode ser expresso por 
a) 
2
.
w 1+
 
b) 
2w
.
w 1+
 
c) 
3w
.
2
 
d) 
2
.
w
 
e) 
w 1
.
2w
+
 
 
5. (Mackenzie 2019) Se a e b, a b, são soluções 
da equação 5
4
log x x
x ,
125
= então o valor de 
1
(b a)
2
− 
é 
a) 125 
b) 120 
c) 60 
d) 3 
e) 1 
 
 
6. (Espcex (Aman) 2019) A equação 
23 x
log x 1 12 log 3= + tem duas raízes reais. O 
produto dessas raízes é 
a) 0. 
b) 
1
.
3
 
c) 
3
.
2
 
d) 3. 
e) 9. 
 
7. (Espcex (Aman) 2018) A curva do gráfico abaixo 
representa a função 4y log x= 
 
 
 
A área do retângulo ABCD é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 4
3
6log .
2
 
e) 4log 6. 
 
8. (Udesc 2018) O valor de x y com x, y , 
sabendo que 2 4log (x) log (y) 2+ = e 
x y2 32,+ = é 
igual a: 
a) 4 
b) 8 
c) 2 
d) 6 
e) 10 
 
9. (Espcex (Aman) 2018) Resolvendo a equação 
2
3 1 3
3
log (x 2x 3) log (x 1) log (x 1),− − + − = + obtém-se 
a) S { 1}.= − 
b) S {4,5}.= 
c) S {6}.= 
d) S { }.=  
e) S {4}.= 
 
 
 
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10. (Uece 2018) Se x é o logaritmo de 16 na base 
2, então, o logaritmo (na base 2) de 2x 5x 5− + é 
igual a 
a) 2. 
b) 1. 
c) 1.− 
d) 0. 
 
11. (Ufrgs 2018) Se 3 9log x log x 1,+ = então o valor 
de x é 
a) 3 2. 
b) 2. 
c) 3 3. 
d) 3. 
e) 3 9. 
 
12. (Ufrgs 2017) Se 5log x 2= e 10log y 4,= então 
20
y
log
x
 é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
13. (Espcex (Aman) 2017) O número N de bactérias 
de uma cultura é dado em função do tempo t (em 
minutos), pela fórmula 1,2tN(t) (2,5) .= Considere 
10log 2 0,3,= o tempo (em minutos) necessário para 
que a cultura tenha 8410 bactérias é 
a) 120 
b) 150 
c) 175 
d) 185 
e) 205 
 
14. (G1 - ifpe 2016) Biólogos estimam que a 
população P de certa espécie de aves é dada em 
função do tempo t, em anos, de acordo com a 
relação 
t
5P 250 (1,2) ,=  sendo t 0= o momento em 
que o estudo foi iniciado. 
 
Em quantos anos a população dessa espécie de 
aves irá triplicar? (dados: log 2 0,3= e log 3 0,48.)= 
a) 45 
b) 25 
c) 12 
d) 18 
e) 30 
 
 
 
 
15. (Ufrgs 2019) O valor de 
1 2 999
E log log log
2 3 1.000
     
= + + +     
     
 
a) 3.− 
b) 2.− 
c) 1.− 
d) 0. 
e) 1. 
 
16. (Mackenzie 2019) Se a, b e c são números 
reais positivos e diferentes de 1, e blog c k,= então 
b a
c
log a log c
log b

 é igual a 
a) 1 
b) 
1
k
 
c) k 
d) 2k 
e) 2k 
 
17. (Fmp 2019) Considere a função logarítmica 
f : + → definida por 7f(x) log (x).= 
Quanto vale a razão 
f(4)
?
f(16)
 
a) 7
1
log
4
 
 
 
 
b) 7 
c) 
1
4
 
d) 4 7 
e) 
1
2
 
 
18. (Eear 2017) Se log 2 0,3 e log 36 1,6, então 
log 3  _____. 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
 
19. (Pucrs 2017) Uma turma de uma escola central 
de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua 
primeira prova no Ensino Médio: Um dos valores de 
x que soluciona a equação 22log ( x 32) 4− + = é 
igual ao número de centros culturais localizados nas 
proximidades do centro da cidade. Esse número é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
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 20. (Upf 2017) Considere as funções reais de 
variável real, definidas por: x 2f(x) 1 3 −= + e 
ag(x) log x= 
Sabe-se que, na representação gráfica das funções, 
as curvas interceptam-se no ponto de abscissa 2. 
Dessa forma, o valor de a é: 
a) 2− 
b) 
1
2
− 
c) 1 
d) 
1
2
 
e) 2 
 
21. (Ufjf-pism 1 2017) Sejam a, b, c e d números 
reais positivos, tais que blog a 5,= blog c 2= e 
blog d 3.= O valor da expressão 
2 5
c 3
a b
log
d
 é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
 
22. (Unicamp 2016) A solução da equação na 
variável real x, xlog (x 6) 2,+ = é um número 
a) primo. 
b) par. 
c) negativo. 
d) irracional. 
 
23. (Espm 2014) Se 
2 3 4logx logx logx logx 20,+ + + = − o valor de x é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
 
24. (Ufrgs 2012) O número log2 7 está entre 
a) 0 e 1. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 4. 
e) 4 e 5. 
 
25. (Ufjf 2011) Sejam a, b e c números reais 
positivos, com c 1 . Sobre a função logarítmica, é 
correto afirmar: 
a) Se clog a y= , então 
ya c= 
b) c c clog (a b) (log a) (log b)+ =  
c) cc
c
log aa
log
b log b
 
= 
 
 
d) c c
1
log log a
a
 
= − 
 
 
e) c c clog (a b) log a log b− = − 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
Tem-se que 
1 2 8
1 2 8
2 8
1 2 8
1 8
8
2
9 4
4 9
4
4
x x x log2 log2 log2
log2 2 2
log2
log2
log2
log(2 )
9log(2 )
9x .
+ + +
+ 
 
 

+ + + = + + +
=   
=
=
=
=
=
=
 
 
Resposta da questão 2:[B] 
( )
( )
b b b b b b
b b b
n
log m n log log m log n log n log m
m
n
log m n log 2log n
m
 
 + = + + − 
 
 
 + = 
 
 
Como blog n y,= 
( )b b
n
log m n log 2y
m
 
 + = 
 
 
 
Resposta da questão 3: [D] 
 
De ( ) ( )  2af x log x 3 , a 0,1= −  
( )2alog x 3 0−  
 
Como 0 a 1,  
2
2 2
2 2
0 x 3 1
x 3 0 x 3 0
x 3 1 x 4 0
 − 
 −  −  
 
−  −   
 
 
De 2x 3 0,−  
x 3 − ou x 3 
De 2x 4 0,−  
2 x 2−   
Assim, 
2 x 3−   − ou 3 x 2,  que é equivalente a 
2, 3 3, 2 .   − − 
   
 
 
 
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Resposta da questão 4: [E] 
( )77 7 7
4 2
7 77
log 2 7log 14 log 2 log 7 w 1
log 14
log 4 2log 2 2wlog 2
 + +
= = = =
Resposta da questão 5:[C] 
Sendo x 0, temos 
5 5
4 4
log x log x
5 5 3
4 3
5 5 5 5
2
5 5
5 5
x x
x log x log
125 5
log x log x log x log 5
log x 4 log x 3 0
(log x 1) (log x 3) 0
x 5 ou x 125.
=  =
  = −
 −  + =
 −  − =
 = =
 
Portanto, vem a 5= e b 125.= Em consequência, a 
resposta é 
1
(125 5) 60.
2
 − = 
 
Resposta da questão 6: [D] 
De acordo com a definição de logaritmo devemos 
considerar x 0. 
2
3
3 3 32x
33
2 2
3 3 3 3
3 3 1 3 2
log 3 12
log x 1 12 log 3 log x 1 12 log x 1
2 log xlog x
2 (log x) 2.log x 12 2 (log x) 2.log x 12 0
2 10 1
log x log x 3 x 27 ou log x 2 x 
2 2 9
= +  = +   = + 

 = +   − − = 

=  =  = = −  =

 
Portanto, 1 2
1
x x 27 3
9
 =  = 
Resposta da questão 7: [B] 
Sendo S a área do retângulo ABCD, 
( ) ( )C DS 8 2 y y= −  − 
C é um ponto do gráfico da função 4y log x,= logo, 
2
C 4
3
C 2
C 2
C
y log 8
y log 2
1
y 3 log 2
2
3
y
2=
=
= 
=
 
D Ay y= e A é um ponto do gráfico da função 
4y log x,= logo, 
2
A 4
A 2
A 2
A D
y log 2
y log 2
1
y log 2
2
1 1
y y
2 2
=
=
=
=  =
 
Assim, 
( )
3 1
S 8 2
2 2
S 6 1
S 6
 
= −  − 
 
= 
=
 
 
Resposta da questão 8:[A] 
Tem-se que 
x y x y 52 32 2 2 y 5 x.+ +=  =  = − 
 
Logo, vem 
22 4 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
3 2
log x log y 2 log x log (5 x) 2
1
log x log (5 x) log 4
2
log x log (5 x) log 16
log x (5 x) log 16
x 5x 16 0.
+ =  + − =
 +  − =
 + − =
  − =
 − + =
 
 
Por inspeção, concluímos que x 4= é raiz. Assim, 
pelo dispositivo de Briot-Ruffini, temos 
4 1 5 0 16
1 1 4 0
−
− −
 
 
Donde segue que 
3 2 2x 5x 16 (x 4)(x x 4) 0.− + = − − − = Por 
conseguinte, a única raiz inteira é x 4,= o que 
implica em y 1.= 
A resposta é 4 1 4. = 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
( ) ( ) ( )23 1 3
3
log x 2x 3 log x 1 log x 1− − + − = + 
 
Condições de existência: 
2x 2x 3 0, x 1 0 e x 1 0.− −  −  +  
 
De ( ) ( ) ( )23 1 3
3
log x 2x 3 log x 1 log x 1 ,− − + − = + 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
2
3 33
2
3 3 3
2
3 3
2
2
2 2
log x 2x 3 log x 1 log x 1
log x 2x 3 log x 1 log x 1
x 2x 3
log log x 1
x 1
x 2x 3
x 1
x 1
x 2x 3 x 1 x 1
x 2x 3 x 1
2x 3 1
x 1
−− − + − = +
− − − − = +
− −
= +
−
− −
= +
−
− − = +  −
− − = −
− − = −
= −
 
x 1= − não convém, pois 1 1 0.− −  
 
Portanto, S .=  
 
 
 
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Resposta da questão 10: [D] 
Do enunciado, temos: 
2
4
2
2
x log 16
x log 2
x 4 log 2
x 4
=
=
= 
=
 
Substituindo x 4= em 2x 5x 5,− + temos: 
24 5 4 5 1−  + = 
Assim, 
( )22 2log x 5x 5 log 1 0− + = = 
 
Resposta da questão 11: [E] 
De 3 9log x log x 1,+ = temos: 
Condição de existência: x 0. 
2
3 9
3 3
3 3
3 3
3
3
2
3
3 2
3
log x log x 1
log x log x 1
1
log x log x 1
2
2log x log x
1
2
3log x 2
2
log x
3
x 3 0
x 3
x 9
+ =
+ =
+ =
+
=
=
=
= 
=
=
 
 
Resposta da questão 12:[A] 
2
5
4
10
20 20 20
log x 2 x 5 x 25
log y 4 y 10 y 10000
y 10000
log log log 400 2
x 25
=  =  =
=  =  =
= = =
 
 
Resposta da questão 13: [C] 
1,2t
84 1,2t
84 1,2t
N(t) (2,5)
10 (2,5)
log10 log(2,5)
10
84log10 1,2 t log
4
84 1,2t (log10 log4)
70 t (1 2 log2)
70 t (1 2 0,3)
70
t
0,4
t 175 minutos
=
=
=
 
=    
 
=  −
=  − 
=  − 
=
=
 
 
Resposta da questão 14: [E] 
Para 
0
5
t ? P(t) 3P(0)
P(0) 250 (1,2) P(0) 250
=  =
=   =
 
Logo
t t
5 5P(t) 3P(0) 250 (1,2) 3 250 (1,2) 3=   =   = 
 
Aplicando logaritmos, temos: 
( )
( )
( )
( )
t
5log(1,2) log3
t 12
log log3
5 10
t
log12 log10 log3
5
t
2log2 log3 log10 log3
5
t
2 (0,3) 0,48 1 0,48
5
t
0,08 0,48 t 30anos
5
 =
 
 = 
 
 − =
 + − =
  + − =
 =  =
 
 
Resposta da questão 15:[A] 
 
Calculando: 
1 2 999
log log log
2 3 1.000
log1 log2 log2 log3 log3 log4 log998 log999 log999 log1000
log1 log1000 0 3 3
     
+ + +     
     
− + − + − + + − + −
− = − = −
Resposta da questão 16: [E] 
Tem-se que 
a
b a a
c
b
b b
2
1
log c
log a log c log b
1log b
log c
log c log c
k .


=
= 
=
 
Resposta da questão 17: [E] 
Calculando: 
( )
7
2
7 7 7
7
7
f(4) log (4)
f(16) log (16) log 4 2 log (4)
log (4)f(4) 1
f(16) 2 log (4) 2
=
= = = 
= =

 
Resposta da questão 18:[B] 
Tem-se que 
2log36 log(2 3)
2 (log2 log3)
2 0,3 2 log3
0,6 2 log3.
= 
=  +
  + 
 + 
 
Portanto, o resultado é 
0,6 2 log3 1,6 log3 0,5.+     
 
 
 
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Resposta da questão 19: [B] 
Desde que x é um número inteiro positivo, temos: 
2 2
2
2
log ( x 32) 4 x 32 16
x 16.
x 4.
− + =  − + =
 =
 =
 
 
Resposta da questão 20: [E] 
Calculando: 
2 2 0 2
a a a
f(2) g(2)
1 3 log 2 1 3 log 2 log 2 2 a 2 a 2−
=
+ =  + =  =  =  =
 
Resposta da questão 21:[C] 
Calculando: 
( )
( )
2 5
2 5 3 2 5 3
c c c c c c3
b b b
c c c
b b b
a b
log log a b log d log a log b log d
d
log a log b log d
2log a 5log b 3log d 2 5 3
log c log c log c
5 1 3 5 9 15 9 6
2 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2 2 2
= − = + − =
 
= + − =  +  −  = 
 
   
=  +  −  = + − = − = =   
   
 
 
Resposta da questão 22: [A] 
Sabendo que calog b c a b,=  = para quaisquer a 
e b reais positivos, e a 1, temos 
2
xlog (x 6) 2 x x 6 0 x 3,+ =  − − =  = 
que é um número primo. 
 
Resposta da questão 23: [D] 
Sabendo que bloga b loga,=  para todo a real 
positivo, vem 
2 3 4
2
logx logx logx logx 20 10 logx 20
logx 2
x 10
x 0,01.
−
+ + + = −   = −
 = −
 =
 =
 
 
Resposta da questão 24: [C] 
x
2log 7 x 2 7 2 x 3.=  =    
 
Resposta da questão 25:[D] 
Temos que −
 
= = − 
 
1
c c c
1
log log a log a.
a
 Portanto, a 
alternativa [D] é a única correta.