2009-1 AP1-HM-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
História da Matemática – AP1 – Gabarito
Questão 1 [2,0 pts]: Expresse
8
11
como uma soma de frações unitárias distintas.
Obs.: Expresse com mais de duas frações unitárias distintas.
Solução: Invertamos
8
11
:
11
8
∼= 1, 3 < 2. Dáı, 8
11
>
1
2
(
1
q
)
.
Temos que
8
11
− 1
2
=
16 − 11
2
=
5
22
(
aq − b
bq
)
(fração própria não-unitária).
Repetindo o racioćınio acima, temos:
22
5
= 4, 4 < 5. Dáı,
5
22
>
1
5
.
Temos que
5
22
− 1
5
=
25 − 22
110
=
3
110
(0, 1)
A seguir, com
110
3
∼= 36, 6 < 37. Dáı, 3
110
>
1
37
.
Temos que
3
110
− 1
37
=
111 − 110
4070
=
1
4070
(fração unitária).
Finalmente,
8
11
=
1
2
+
1
5
+
1
37
+
1
4070
.
Questão 2 [2,0 pts]: Seja a equação linear x +
x
a
+ b = c, com a, b, c ∈ Z+ e b < c. Resolva-a
pelo método da falsa posição considerando que a falsa posição escolhida seja x0.
Solução: Se x +
x
a
+ b = c,→ x + x
a
= c − b.
Sendo x0 a falsa posição escolhida, temos:
x0 +
x0
a
= d (6= c − b) .
Dáı, o método nos diz que multiplicando a falsa posição x0 por
c − b
d
, obtemos a resposta correta,
isto é,
c − b
d
x0 é a resposta correta.
De fato, multiplicando a equação x0 +
x0
a
= d por
c − b
d
, temos que:
c − b
d
x0 +
c − b
d
· x0
a
=
c − b
d
d = c − b .
Portanto, se x =
c − b
d
x0, então x +
x
a
= c − b, ou seja, x = c − b
d
x0 é a raiz da equação
x +
x
a
+ b = c .
Cálculo IV AP1 – Gabarito 2
Questão 3 [2,0 pts]: Calcule
√
3 pelo método babilônio de extrair ráızes quadradas com uma
sequência de aproximações com 4 termos.
Solução: Temos:
x1 = 1 (maior inteiro menor do que
√
3)
x2 =
1
2
(
1 +
3
1
)
=
1
2
(4) = 2
x3 =
1
2
(
2 +
3
2
)
=
1
2
(
7
2
)
=
7
4
= 1, 75
x4 =
1
2
(
7
4
+
3
7
4
)
=
1
2
(
7
4
+
12
7
)
=
1
2
· 49 + 48
28
=
1
2
· 97
28
=
97
56
∼= 1, 732142857
Logo: √
3 ∼= 1, 732050808 .
Questão 4 [2,5 pts]: Considere o texto matemático babilônio a seguir:
Problema: “Eu adicionei 7 vezes o lado do meu quadrado e 11 vezes a área: 6, 25”.
Solução:
• Tu multiplicarás 11 por 6, 25 : 68, 75.
• Tu fracionarás em dois 7 : 3, 5.
• Elevemos 3, 5 ao quadrado: 12, 25.
• Tu acrescentarás à 68, 75 : 81.
• É o quadrado de 9.
• Tu subtrairás 3, 5 de 9: Tu escreverás 5, 5.
• Por quanto eu devo multiplicar 11 para encontrar? Por 0, 5, seu quociente (o quociente da
divisão de 5, 5 por 11).
• O lado do quadrado é 0, 5.
a) Identifique o lado do quadrado pela variável x e traduza este texto (problema e solução) em
linguagem matemática atual.
b) Analise o conjunto dos procedimentos da solução e procure uma fórmula que a expresse.
Solução: Temos que:
11x2 + 7x = 6, 25
(
→ ax2 + bx = −c
)
• Multipliquemos 11 por 6, 25, obtemos 68, 75.
• Dividimos 7 por 2, obtêm-se 3, 5.
• Elevamos 3, 5 ao quadrado, obtemos 12, 25, isto é:
((
7
2
)2
= (3, 5)2 = 12, 25
)
.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Cálculo IV AP1 – Gabarito 3
• Adicionemos este resultado à 68, 75, encontramos 81, isto é:
((
7
2
)2
+ (11)(6, 25) = 12, 25 + 68, 75 = 81
)
.
• 81 é o quadrado de 9, isto é:
(√
(
7
2
)2
+ (11)(6, 25) =
√
81 = 9
)
.
• Subtráımos 3, 5 de 9, obtemos 5, 5, isto é:
(√
(
7
2
)2
+ (11)(6, 25) − 7
2
= 9 − 3, 5 = 5, 5
)
.
• Por quanto eu devo multiplicar 11 para encontrar 5, 5? Por 0, 5, o quociente da divisão de 5, 5
por 11, isto é:




(11) · (0, 5) = 5, 5 ⇔ 11
√
(
7
2
)2
+ (11)(6, 25) − 7
2
11
= 5, 5




⇔ 115, 5
11
= 11(0, 5) = 5, 5 .
• A solução é:
0, 5 ·




√
(
7
2
)2
+ (11)(6, 25) − 7
2
11
= 0, 5




.
Generalização do método babilonio
• Multipliquemos a por −c, obtêm-se −ac.
• Dividamos b por 2, obtêm-se b
2
.
• Elevamos b
2
ao quadrado, obtemos
b2
4
.
• Adicionemos este resultado à −ac, encontramos
b2
4
+ (−ac) = b
2
4
− ac .
• Tomemos a raiz quadrado deste último resultado:
√
b2
4
− ac .
• Subtráımos b
2
de
√
b2
4
− ac, obtemos
√
b2
4
− ac − b
2
.
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Cálculo IV AP1 – Gabarito 4
• A solução é:
√
b2
4
− ac − b
2
a
.
Ou seja:
x =
√
b2
4
− ac − b
2
a
︸ ︷︷ ︸
=
√
b2 − 4ac
4
− b
2
a
=
1
2
√
b2 − 4ac − b
2
a
=
√
b2 − 4ac − b
2a
=
−b +
√
b2 − 4ac
2a
.
⇔ ax =
√
b2
4
− ac − b
2
Questão 5 [1,5 pts]: Use a definição de Eudoxo de Cnido para mostrar que 3 está para
√
2 assim
como 3
√
2 está para 2.
Solução: Sejam m,n ∈ Z+.
(i) Suponhamos que m3 < n
√
2. Multiplicando por
√
2 a desigualdade temos:
m3
√
2 < n
√
2
√
2 = n2 .
(ii) Com o mesmo racioćınio, mostramos que se m3 > n
√
2 então m3
√
2 > n2.
Nota: veja que a implicação da definição relativa a igualdade de (se m3 = n
√
2, então m3
√
2 = n2)
não cabe neste caso pois não existem m,n ∈ Z+ tais que m3 = n
√
2 .
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