geometria - plana 1

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geometria plana
110
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
O86º x V
a)
24
6º
x
O
V
b)
76º
x
V
O
c)
O136ºx
d)
x
88º
O
e)
x
29º
O
f)
x 94º
70º
O O
g)
87º
23º
xh)
68
º
102º
O
x
i)
33º
x
O
j)
O
38
º
10
6º
x
l)
x
O
m)
O
n)
51º
x
O
56º
x
o)
x
O
196º
p)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 65
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111
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
O86º x V
a)
24
6º
x
O
V
b)
76º
x
V
O
c)
O136ºx
d)
x
88º
O
e)
x
29º
O
f)
x 94º
70º
O O
g)
87º
23º
xh)
68
º
102º
O
x
i)
33º
x
O
j)
O
38
º
10
6º
x
l)
x
O
m)
O
n)
51º
x
O
56º
x
o)
x
O
196º
p)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 65
x = 86/2
x = 43º
x = 246/2
x = 123º
x = 136º
x = 88/2
x = 44º
x
94º
x + 94 + 70 = 180
x = 16º
x/2
93º
x/2 + 23 + 93 = 180
x/2 = 64
x = 128º
66º
114º
x = 114/2
x = 57º
y
z
y = 38/2
y = 19º
z = 106/2
z = 53º
z = x + y 
x = z - y = 53 - 19 = 34º
x + 51 + 90 = 180
x = 39º
x + 56 = 180
x = 124º
76 = x/2
x = 152º
y
y = 2 . 29
y = 58º
x = y/2
x = 58/2
x = 29º
y
w
x
y = 102/2
y = 51º
w = 68/2
w = 34º
x + y + w = 180º
x = 180 - 51 - 34 = 95º
x = 180/2
x = 90º
180º
y
y = 196/2
y = 98º
x + y = 180
x = 180 - 98
x = 82º
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geometria plana
112
O O O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
a)
x
2x
b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)
n) o) p)
98º
x
78º
x
57º
x 4
2
º x
58º
88º
x
x
56º
14
0º 26º
x
94º
x
40º
36º
x
68º
82º
55º
120º
x
115º
10
0º
x
O
x
56º
x
44º
48º
x
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 66
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113
O O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
a)
x
2x
b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)
n) o) p)
98º
x
78º
x
57º
x 4
2
º x
58º
88º
x
x
56º
14
0º 26º
x
94º
x
40º
36º
x
68º
82º
55º
120º
x
115º
10
0º
x
O
x
56º
x
44º
48º
x
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 66
x + 2x = 180
3x = 180
x = 60º
y
y + 98 = 180
x + y = 180
x = 98º
114º
2x
2x + 114 = 180
2x = 66
x = 33º
84º 2x
2x + 84 = 180
2x = 96
x = 48º
z
y
140º
y = 56/2
y = 28º
z + 140 + y = 180
z = 12º
x = 2z = 2 . 12
x = 24º
z
y
z = 94/2 = 47º
y + 26 = 47 y = 21º
x = 2y = 2 . 21 = 42º
y
z
y = 68/2
y = 34º
82 = 34 + z
z = 48º
x = 2z
x = 2 . 48 = 96º
2x
60º
x
x + 60 + 55 = 180
x = 65º
y
y = 2 . 56
y = 112º
x = y = 112º
y
z
y = 2 . 44
y = 88º
z = 180 - y
z = 92º
x = z/2
x = 92/2
x = 46º
y
y + 78 = 180
y = 102
y = x/2
x = 2y
x = 204º
y 58 = 2y
y = 116º
x + y + 88 = 360
x = 156º
z
y
y = 40/2
y = 20º
z = 36 + y
z = 56º
x = 2z
x = 2 . 56
x = 112º
y
z
y = 2 . 100
y = 200º
z = 2 . 115
z = 230º
x
y + z = 360 + x
430 = 360 + x
x = 70º
R
R
y
y
z
48 = z/2
z = 96º
z + y + y = 180 y = 42º
x + y = 90 x = 48º
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114
08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-
cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-
ferência diferente de A e de B, determine :
a) a medida do ângulo ADB.
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
d) a medida do segmento CD.
A
B
C
D
A
C
B
D
E
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um 
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da 
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, 
ECD e AFE.
F
A
P
B
C
D
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à 
circunferência de centro C nos pontos A e B. 
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar 
a medida do arco ADB.
28º
72º
O
x
A
BC
D
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-
cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine 
a medida do ângulo AEB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de 
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do 
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e 
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
O
R
A B
C
D
E
F
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 
pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo 
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
Jeca 67
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115
08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-
cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-
ferência diferente de A e de B, determine :
a) a medida do ângulo ADB.
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
d) a medida do segmento CD.
A
B
C
D
A
C
B
D
E
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um 
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da 
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, 
ECD e AFE.
F
A
P
B
C
D
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à 
circunferência de centro C nos pontos A e B. 
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar 
a medida do arco ADB.
28º
72º
O
x
A
BC
D
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-
cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine 
a medida do ângulo AEB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de 
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do 
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e 
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
O
R
A B
C
D
E
F
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 
pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo 
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
Jeca 67
R
R
R
R
DE = AC = CB = R (raio)
O triângulo CDE é equilátero
Portanto ECD = 60º
ADB = 90º
O triângulo ADB é retân-
gulo porque está inscrito
numa semicircunferência.
x
y
z
w
y + w + z = 180
w = 60º
y + z = 120º
k
p
y = 2k k = y/2
z = 2p p = z/2
x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2
x = 120/2
x = AFE = 60º
z
y
z = 28/2 = 14º
y = 72 /2 = 36º
y = x + z
x = y - z
x = 36 - 14
x = 22º
35º
xy
z
w
k p
z = 2 . 35 = 70º
y + z + w = 180
y + w = 110º
k = w/2
p = y/2
x = k + p = w/2 + y/w
x = (y + w)/2
x = 110/2
x = 55º
48º
y
y
z
z
w
O triângulo APB é isósceles
2y + 48 = 180
y = 66º
z + y = 90º
z = 24º
w + 2z = 180
w = 132º
ADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º
P
Q
x
80º 20º
y
z
z = 20 + 80
z = 100º
y = QOR/2
y = 80/2
y = 40º
z = x + y
100 = x + 40
x = 60º (resp)
D
a) ADB = 90º
Todo triângulo retângulo pode ser 
inscrito numa semicircunferência.
b) triângulo retângulo.
c) CD é uma mediana do 
triângulo ABD
d) CD = AC = CB = R (raio)
 CD = 6 cm
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116
A
B
C
D
EF
G
H
I
09) A figura abaixo representa um eneágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar 
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
GB e HD.
Ox
A
B
C
D
F
EG
H
I
J
10) A figura abaixo representa um decágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ 
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD 
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
O
A
B
C
DE
F
G
O
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 
inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a 
medida do ângulo BDG.
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 68
12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-
gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-
minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD 
e BI.
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117
A
B
C
D
EF
G
H
I
09) A figura abaixo representa um eneágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar 
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
GB e HD.
Ox
A
B
C
D
F
EG
H
I
J
10) A figura abaixo representa um decágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ 
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD 
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
O
A
B
C
DE
F
G
O
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 
inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a 
medida do ângulo BDG.
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-
gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-
minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD 
e BI.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 68
y
z
m = 360/9
m = 40º
y = BCD/2
y = 2 . 40 = 80/2
y = 40º
z = HG/2
z = 40/2
z = 20º
x = y + z
x = 40 + 20
x = 60º (resp)
x
m = 360/10
m = 36º
x = JAC
x = 3 . 36
x = 108º (resp)
m = 360º/7
x
x = GAB/2
x = 2 . m/2
x = (2 . 360/7)/2
x = 360/7
x = 360º/7 (resp)
x
m = 360/15
m = 24º
y
z
y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2 
y = 60º
z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º
x = y + z = 60 + 48
x = 108º (resp)
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118
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A B
C
D
E
F
G
H
I
JKL
M
N
P
Q
R
S
T
U
O
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
ND e BJ.
x y
z
14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-
das dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
y
z
t
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-
minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
zt
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK 
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-
nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
x
y
z
t
17) A figura abaixo representa um octógono regular 
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo 
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as 
medidas dos ângulos x, y, z e t. A
B
C
D
EF
G
H
I
O
x
18) No eneágono regular ABCD … , determinar a 
medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
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119
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A B
C
D
E
F
G
H
I
JKL
M
N
P
Q
R
S
T
U
O
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
ND e BJ.
x y
z
14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-
das dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
y
z
t
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-
minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
zt
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK 
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-
nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
x
y
z
t
17) A figura abaixo representa um octógono regular 
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo 
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as 
medidas dos ângulos x, y, z e t. A
B
C
D
EF
G
H
I
O
x
18) No eneágono regular ABCD … , determinar a 
medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
A medida do arco MN
é igual a 360/15 = 24º
24º
48º
72º
BJD = BCD/2 = 48/2 = 24º
JDN = JLN/2 = 96/2 = 48
JRN é ãngulo externo do triângulo JRD
JRN = 24 + 48 = 72º (resp)
R
w
k
m = 360/20
m = 18º
x = CDF/2
x = 3.m/2 = 3 . 18/2
x = 27º
k = FJM/2 
k = 7.m/2 = 7 . 18/2
k = 63º
w = RUB/2
w = 5.m/2 = 5 . 18/2
w = 45º
y = k + w = 63 + 45
y = 108º
x + y + z = 180
27 + 108 + z = 180
z = 45º
m = 360/12
m = 30º
x = LCE/2
x = 5.m/2 = 5 . 30/2
x = 75º
y = EFH/2
y = 3.m/2 = 3.30/2
y = 45º
z = HIJ/2
z = 2.m/2 = 2.30/2
z = 30º
t = ACE
t = 4,m = 4 . 30
t = 120º
m
 =
 3
60
/8
m
 =
 4
5º
x = BEH/2
x = 6.m/2
x = 6 . 45/2
x = 135º
y = x = 135º
z = x/2 = 135/2
z = 67,5º
t = 2,5 . m
7 = 2,5 . 45
t = 112,5º
m
 =
 3
60
/1
2
m
 =
 3
0º
x = BFI/2
x = 7.m/2 = 7 . 30/2
x = 105º
y = EHK/2
y = 6.m/2 = 6 . 30/2
y = 90º
z = ILB/2
z = 5.m/2 = 5 . 30/2
z = 75º
t = KBE/2
t = 6.m/2 = 6 . 30/2
t = 90º
m = 360/9
m = 40º
y
z
y = ABD/2
y = 3.m/2
y = 3 . 40/2
y = 60º
z = GF/2
z = m/2
z = 40/2
z = 20º
y = x + z
x = y - z
x = 60 - 20
x = 40º
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120
A
B CD
E
F
O
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos 
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
De
saf
io
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo ACB ?
a) 51º
b) 43º
c) 33º
d) 47º
e) 37º
A
B
C
PM
N
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo BAC ?
a) 62º
b) 64º
c) 58º
d) 63º
e) 59º
A
B
C
PM
N
O
35ºA B
O
D
C
x
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 
de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC 
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-
gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana 
e pela bissetriz do ângulo reto ?
Jeca 70
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geometria plana
121
A
B CD
E
F
O
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos 
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
De
saf
io
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo ACB ?
a) 51º
b) 43º
c) 33º
d) 47º
e) 37º
A
B
C
PM
N
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo BAC ?
a) 62º
b) 64º
c) 58º
d) 63º
e) 59º
A
B
C
PM
N
O
35ºA B
O
D
C
x
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 
de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC 
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-
gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana 
e pela bissetriz do ângulo reto ?
Jeca 70
160º
63º
xy
y = 160/2 = 80º
x + y + 63 = 180
x + 80 + 63 = 180
x = 180 - 143
x = 37º (resp e)
70º
180º
x = ABC/2
x = (180 +70)/2
x = 250/2
x = 125º
110º
63º y
20º
10 cm 10 cm
A B
C
O
45º
20º
x
a) Em todo triângulo retângu-
lo a mediana relativa à hipo-
tenusa vale a metade dessa
hipotenusa.
Portanto CO = 10 cm
b) 45 + x + 20 = 90
x = 90 - 65
x = 25º
(Resolução na página 72)