Aula 01 - Princípio aditivo e princípio multiplicativo

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FUNDAÇÃO CECIERJ 
 
 
CURSO DE EXTENSÃO EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE 
 
 COMBINATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
Maria de Fatima Soares da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
 
Aula 1 – Princípio aditivo e princípio multiplicativo 
Aula 2 – Arranjos, permutações e combinações simples 
Aula 3 – Princípio da Inclusão-Exclusão 
Aula 4 – Permutações caóticas 
Aula 5 – Permutações circulares 
Aula 6 – Arranjos e permutações com repetição de elementos 
Aula 7 – Combinações completas 
Aula 8 – Princípio da Casa dos Pombos 
Aula 9 – Triângulo de Pascal 
Aula 10 – Binômio de Newton e Expansão Multinomial 
 
 
 
 
 
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Aula 1 
 
 
PRINCÍPIO ADITIVO E PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
 
 
Objetivo 
Utilizar, com segurança, o princípio aditivo e o princípio multiplicativo em 
problemas de contagem. 
 
 
Exemplo 1 
 
 Maria entrou numa loja que tem 2 tipos diferentes de doces e 4 de salgados. 
a) Supondo que ela só possa comprar um alimento, de quantas maneiras 
distintas ela poderá escolhê-lo? 
 
São 2 + 4 = 6 tipos de alimentos. Maria poderá escolher de 6 maneiras distintas o 
seu alimento. 
 
 
b) Supondo, agora, que ela deseja comprar um doce e um salgado, de 
quantas maneiras distintas ela poderá escolhê-los? 
 
Chamemos os diferentes tipos de doces de D1 e D2 e os de salgados de S1, S2, S3 
e S4. 
 
 Observemos o seguinte diagrama, também conhecido como a árvore das 
possibilidades. 
 
 
 
 Maria pode escolher o doce D1 e o salgado S1 ou o doce D1 e o salgado S2, e 
assim por diante. Ela tem 8 maneiras distintas de escolher um doce e um salgado. 
 
 
 
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Poderíamos também construir a árvore da seguinte maneira e obter as 8 
possibilidades de escolher um doce e um salgado. 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 Uma corrida é disputada por 3 atletas. De quantas maneiras poderemos ter 
os dois primeiros lugares? 
 
 Chamemos os atletas de A, B e C. 
 
 Partindo do princípio de que qualquer atleta poderá chegar em primeiro lugar, 
temos 3 possibilidades para o primeiro lugar. Uma vez ocupado o primeiro lugar, o 
segundo lugar poderá ser ocupado por um dos 2 atletas restantes. 
 
 
 
 
 
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Encontramos 6 maneiras distintas de se obter os dois primeiros lugares na corrida. 
Neste exemplo, observemos que a possibilidade (A, C) é diferente de (C, A), pois a ordem 
de chegada é importante. 
 
 No exemplo 1a usamos o princípio aditivo. Já nos exemplos 1b e 2 poderíamos ter 
usado o princípio multiplicativo. Esses dois princípios são do nosso conhecimento desde 
que começamos a estudar Matemática. Podemos enunciá-los da seguinte forma: 
 
 
Princípio Aditivo 
 
Seja A um conjunto e A1, A2, ..., An subconjuntos de A, disjuntos 2 a 2, de 
forma que A = A1 ∪A2 ∪ ... ∪ An. 
Sendo n(A) o número de elementos de A e n(Ai) o número de elementos de Ai 
para 1 ≤ i ≤ n, temos 
n(A) = n(A1) + n(A2) + ... + n(An) 
 
 
 
 Princípio Multiplicativo 
 
Se uma tarefa a ser realizada pode ser dividida em n etapas sucessivas de 
modo que 
p1 é o número de maneiras de se realizar a 1ª etapa; 
p2 é o número de maneiras de se realizar a 2ª etapa; 
... 
e pn o número de maneiras de se realizar a n-ésima etapa 
 
então p1 . p2 . ... . pn é o número de maneiras diferentes de se realizar a tarefa. 
 
 
 
Nos exemplos 1b e 2 encontramos a resposta exibindo as possibilidades, 
entretanto, poderiam ser resolvidos da seguinte maneira: 
 
 
Exemplo 1b 
 A tarefa é contar o número de maneiras distintas que Maria poderá comprar um 
doce e um salgado. 
Etapa 1 – escolher o doce. Isto pode ser feito de 2 maneiras. 
Etapa 2 – escolher o salgado. Isto pode ser feito de 4 maneiras. 
Pelo princípio multiplicativo temos 2.4 = 8 maneiras de se escolher um doce e um 
salgado. 
 
 
Exemplo 2 
A tarefa é contar o número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares. 
Etapa 1 – atleta que poderá obter o 1º lugar. Isto pode ocorrer de 3 maneiras. 
Etapa 2 – atleta que poderá obter o 2º lugar, já tendo sido ocupado o 1º lugar. Isto pode 
ocorrer de 2 maneiras. 
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Pelo princípio multiplicativo temos 3.2 = 6 resultados possíveis. 
 
Usamos o princípio multiplicativo para resolver problemas de contagem quando 
estamos interessados apenas na quantidade de elementos e não na exibição destes 
elementos um a um. 
 
 
Ao continuar a leitura desta aula e das demais, antes de olhar a solução (ou 
soluções) apresentada(s), tente resolver sozinho o problema, só então prossiga a leitura. 
 
 
Exemplo 3 
 
 Quantos números inteiros entre 1000 e 9999 não têm algarismos repetidos? 
 
 
Etapa 1 – escolher o algarismo das unidades de milhar 
Etapa 2 – escolher o algarismo das centenas simples 
Etapa 3 – escolher o algarismo das dezenas simples 
Etapa 4 – escolher o algarismo das unidades simples 
 
Seja pi , 1 ≤ i ≤ 4, o número de maneiras de se realizar a etapa i. 
 
Como são 10 algarismos distintos (0, 1, 2, ..., 9) e não podemos repeti-los então 
 
p1 = 9 (não podemos usar o 0 como algarismo das unidades de milhar); 
p2 = 9 (não podemos usar o algarismo das unidades de milhar), 
p3 = 8 (não podemos usar os algarismos das centenas simples nem das unidades de 
milhar); 
p4 = 7 (não podemos usar os algarismos das unidades de milhar, centenas e dezenas 
simples). 
 
_ _ _ _ 
↑ ↑ ↑ ↑ 
9 9 8 7 
 
Pelo princípio multiplicativo obtemos 9.9.8.7 = 4536 números inteiros entre 1000 e 
9999 que não apresentam algarismos repetidos. 
 
Quase todos os livros de Matemática do Ensino Médio trazem esse exemplo como 
exercício proposto ou resolvido desse modo. Mas, e se durante a aula um aluno 
perguntar ao professor se é possível resolver o problema começando pelas unidades 
simples? 
 
A maioria dos alunos certamente afirmará que p4 = 10, p3 = 9, p2 = 8 e p1 = ?. 
 
_ _ _ _ 
↑ ↑ ↑ ↑ 
? 8 9 10 
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 7
 
 
 
 
Temos que p1 seria 7 se o algarismo 0 já tiver sido usado em uma das outras 3 
ordens, e, caso contrário, p1 seria 6, pois não poderíamos usar o 0 nem os outros três 
algarismos. Logo, o princípio multiplicativo não pode ser aplicado, pois p1 está 
dependendo das escolhas feitas anteriormente e não tem um único valor. 
 
 Devemos sempre procurar outras soluções antes da aula para evitarmos sermos 
surpreendidos pelos nossos alunos. Só continue a leitura após pensar em como 
resolver a questão formulada pelo aluno. 
 
Eis outras soluções. 
 
 
2ª solução 
 
Encontrar quantos números têm o algarismo 0 nas unidades simples ou nas 
dezenas simples ou nas centenas simples e quantos números não têm o algarismo 0 em 
nenhuma ordem; ou seja, dividir o problema em 4 partes, calculando o número de 
possibilidades em cada uma e a seguir somar os resultados obtidos. Estaremos neste 
caso usando os princípios aditivo e multiplicativo. 
 
_ _ _ 0 _ _ 0 _ _ 0 _ _ _ _ _ _ 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ 
 7 8 9 7 8 9 7 8 9 6 7 8 9 
 
 
Total = 3.7.8.9 + 6.7.8.9 = 4536 números 
 
 
3ª solução 
 
 Não levar em conta que o algarismo 0 não pode ocupar a casa das unidades demilhar e depois deste total retirar a quantidade de números que “começariam” por 0. 
 
_ _ _ _ 0 _ _ _ 
 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 
 7 8 9 10 1 7 8 9 
 
Há 7.8.9.10 - 7.8.9 = 4536 números 
 
 Os alunos podem ser levados a concluir que, ao resolver um problema onde existe 
uma restrição aumentando a dificuldade para solucioná-lo, a solução geralmente mais 
simples é a que satisfaz logo de início à restrição. 
 
 
 
Observação 
 Em todos os problemas deste texto os números estão na base 10, salvo 
informação em contrário. 
 
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Exemplo 4 
 
 Uma moeda equilibrada é jogada 4 vezes e, em cada lançamento, o que 
aparece na face superior é anotado. 
a) Qual o número de resultados possíveis? 
b) Encontre o número de maneiras distintas nas quais cara aparece em seguida, 
exatamente, 2 vezes. 
 
a) Em cada jogada (etapa) temos 2 possibilidades: cara ou coroa. Como jogaremos 4 
vezes temos, pelo princípio multiplicativo, 2.2.2.2 = 16 resultados possíveis. 
 
b) Cara aparece em seguida exatamente duas vezes nas 3 situações 
 (I) cara cara coroa ____ (II) coroa cara cara coroa 
 ↑ ↑ ↑ ↑ 
 1 2 1 1 
 (III) ___ coroa cara cara 
 ↑ ↑ 
 2 1 
 
 Em (I), nas duas primeiras jogadas aparece cara, na terceira tem que ser coroa e 
na 4ª etapa pode ser cara ou coroa. Em (II) há apenas uma maneira e em (III) na 
primeira jogada pode ser cara ou coroa, na segunda apenas coroa e nas demais cara. 
 
Pelo princípio aditivo temos 2 +1 + 2 = 5 possibilidades. 
 
 
Exemplo 5 
Escrevendo-se os números inteiros de 1 a 2000, inclusive, quantas vezes o 
algarismo 1 é escrito? 
 
 Vamos fazer a contagem dividindo em 4 casos e observando que não é exigido 
que os algarismos sejam diferentes. 
 
 
Caso 1 – contar o número de vezes em que o algarismo 1 aparece na ordem das 
unidades de milhar. 
 
Para a ordem das centenas temos 10 possibilidades (de 0 a 9), para a ordem das 
dezenas temos 10 possibilidades (de 0 a 9) e para a ordem das unidades simples temos 
também 10 possibilidades. 
1 _ _ _ 
↑ ↑ ↑ 
 10 10 10 
 
Pelo princípio multiplicativo o algarismo 1 é escrito na ordem das unidades de 
milhar 10 x 10 x 10 = 1000 vezes. 
 
 
 
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Caso 2 – contar o número de vezes em que o algarismo 1 aparece na ordem das 
centenas. 
_ 1 _ _ 
 ↑ ↑ ↑ 
 2 10 10 
 
Para a ordem das unidades de milhar temos 2 possibilidades 0 ou 1, para a ordem 
das dezenas temos 10 possibilidades e para a ordem das unidades simples 10 
possibilidades. Usando o princípio multiplicativo concluímos que o algarismo 1 é escrito 
na ordem das centenas 2.10.10 = 200 vezes. 
 
 
Caso 3 – contar o número de vezes em que o algarismo 1 aparece na ordem das dezenas 
_ _ 1 _ 
 ↑ ↑ ↑ 
 2 10 10 
 
Usando o mesmo raciocínio anterior temos 2 .10.10 = 200 vezes 
Caso 4 – contar o número de vezes que o algarismo 1 aparece na ordem das unidades 
simples. 
_ _ _ 1 
 ↑ ↑ ↑ 
 2 10 10 
 
 Pelo princípio multiplicativo temos 2.10.10 = 200 vezes. 
 
Pelo princípio aditivo escrevemos o algarismo 1, de 1 a 2000, 
1000 +200 + 200 + 200 = 1600 vezes 
 
 
 
Exemplo 6 
 
 Quantos são os divisores positivos de 178200? 
 
Fatorando o número dado encontramos 178200 = 23.34.52.11. 
 
Seja d um divisor de 178200, então d é da forma d = lkji 11.5.3.2 , onde o expoente i 
pode variar de 0 a 3, j de 0 a 4, k de 0 a 2 e l pode ser 0 ou 1. 
 
 Apenas para ilustrar, 1 e 88 são divisores de 178200 e são da forma 
1 = 0000 11.5.3.2 e 88 = 1003 11.5.3.2 
 
Para encontrar o número de divisores de 178200 vamos dividir esta tarefa em 4 
etapas: 
1ª etapa – escolher o expoente de 2. Isto pode ser feito de 4 maneiras (0, 1, 2 e 3) 
2ª etapa – escolher o expoente de 3. Isto pode ser feito de 5 maneiras (0, 1, 2, 3 e 4) 
3ª etapa – escolher o expoente de 5. Isto pode ser feito de 3 maneiras (0, 1 e 2) 
4ª etapa – escolher o expoente de 11. Isto pode ser feito de 2 maneiras (0 e 1) 
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Pelo princípio multiplicativo, o número dado possui 4.5.3.2 = 120 divisores. 
 
Observação: 
Quando estudamos Aritmética no ensino fundamental nos foi dito que para 
encontrar a quantidade de divisores de um número, bastava fatorá-lo e multiplicar os 
expoentes somados a uma unidade, isto é, (3 + 1).(4 + 1).(2 + 1). (1 + 1) = 120. Vimos 
que este fato é demonstrado usando o princípio multiplicativo. 
 
 
Exemplo 7 
 
 Mostre que qualquer conjunto que possua n elementos possui 2n 
subconjuntos distintos. 
 
 Seja A = {a1, a2,..., an} um conjunto qualquer com n elementos. 
 
 Encontrar o número de subconjuntos de A equivale a decidir se cada um dos 
elementos de A vai pertencer ou não a um subconjunto. Podemos dividir a tarefa de 
encontrar o número de subconjuntos de A em n etapas sucessivas. 
 
Etapa 1 – decidir se o elemento a1 vai pertencer ao subconjunto. Só há duas respostas 
possíveis: pertence ou não pertence. 
Etapa 2 - decidir se o elemento a2 vai pertencer ao subconjunto. Só há duas respostas 
possíveis: pertence ou não pertence. 
 
Como são n elementos, continuamos, sucessivamente, até a etapa n, que também 
tem 2 respostas possíveis (o elemento an pertence ou não ao subconjunto). 
 
Pelo princípio multiplicativo, temos n
vezesn
22.....2.2 =43421 subconjuntos de A. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
Atenção: NÃO resolva os exercícios exibindo as possibilidades. Use o princípio aditivo 
e/ou o princípio multiplicativo. 
 
 
1- De quantas maneiras distintas três carros podem ser estacionados ao mesmo tempo 
numa garagem com sete vagas vazias? R.: 210 
 
2 – (FATEC) Quantos números naturais e menores que 30000 têm exatamente 5 
algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? R.: 240 
 
3 - Uma mulher que tenha 10 blusas, 3 calças compridas e 4 pares de sapatos pode se 
vestir de quantos modos distintos se usar sempre uma blusa, uma calça comprida e um 
par de sapatos? R.: 120 
 
4 – (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm 
algarismos adjacentes iguais? R.:59049 
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5- Quantos números inteiros de 3 algarismos distintos podem ser formados de modo que 
os dois primeiros algarismos sejam números primos e o último algarismo (o das unidades 
simples) seja divisível por 3? R.: 84 
 
6 – a) Quantos divisores inteiros positivos possui o número 99000? R.: 96 
b) Quantos desses divisores são ímpares? R.: 24 
c) Quantos são pares? R.: 72 
d) Quantos são quadrados perfeitos? R.: 8 
e) Quantos são cubosperfeitos? R.: 4 
 
7 – (UF) Quantos números inteiros compreendidos entre 30000 e 65000 que podemos 
formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem 
algarismos repetidos? R.: 66 
 
8 – Um teste consta de 10 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas 
diferentes um aluno poderá responder às dez questões? R.:210 
 
9 - Quatro cartas são escolhidas sucessivamente de um baralho que tem 52 cartas. 
Quantas são as seqüências de resultados possíveis se 
a) em nenhum momento houver reposição de carta? R.: 6497400 
b) sempre houver reposição de carta? R.: 7311616 
 
10 - Um salão tem 5 portas e estão todas fechadas. De quantas maneiras diferentes ele 
poderá ser aberto? R.: 31 
 
11 – Quantos números inteiros múltiplos de 5 existem de 10000 a 60000? R.: 10001