APOSTILA DE MATEMÁTICA_CURSO SENA_NÍVEL MÉDIO

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Katia 
 
[Escolha a data] 
O caminho mais curto entre você e a 
Carreira Militar 
AFA – EEAer – ITA – EsPCEx 
EsSA – IME – EAM – CFN 
E.NAVAL – EFOMM – ASOM/N 
CAP – EAGS – CIAAR – EsFCEx 
POLÍCIAS E CORPO DE BOMBEIRO 
 
 
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S U M Á R I O 
 
ASSUNTOS PÁGINA 
 
Apresentação 02 
 
ÁLGEBRA 
Teoria dos Conjuntos 04 
Polinômios 39 
Equações Algébricas 46 
Análise Combinatória e Probabilidade 55 
Matrizes e Determinantes 70 
Funções 88 
Função Afim e Quadrática 95 
Função Exponencial 108 
Função Logaritmica 115 
Estatística Descritiva 
Questões de Concursos Anteriores (EEAer/EsPCEx/EsSA/ AFA/EFOMM/E. NAVAL/ITA/IME) 135 
 
GEOMETRIA 
Geometria Plana 160 
Geometria Espacial 176 
Geometria Analítica 189 
Trigonometria 199 
Questões de Concursos Anteriores (EEAer/EsPCEx/EsSA/ AFA/EFOMM/E. NAVAL/ITA/IME) 
 
GABARITO 213 
 
 
 
 
SENA Curso e Concursos 
A maior Organização de Ensino Preparatório aos 
Concursos Públicos Militares 
Brasília/DF 
 
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DICAS SOBRE COMO ESTUDAR MATEMÁTICA 
PARA CONCURSOS PÚBLICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quem deseja conquistar um espaço no mercado 
profissional, através de concursos públicos, sejam 
eles de âmbito Municipal, Estadual, Federal ou Militar, 
antes deve ter a consciência de que o empenho, a 
dedicação e a real vontade de conquistar o que 
deseja, serão atitudes que abrirão frente para que o 
objetivo seja alcançado. 
Ao resolverem se preparar para um concurso público, 
muitas pessoas se deparam com dificuldades em 
estudar Matemática. Mesmo aqueles estudantes que 
conseguiram excelentes notas durante o ensino 
fundamental e médio, além de outros cursos, 
encontram algum tipo de dificuldade quando se 
deparam com determinadas questões de matemática 
em concursos públicos. Esse problema está 
relacionado principalmente às deficiências do ensino 
escolar, uma vez que os conteúdos do ensino 
fundamental e médio são fundamentais para a 
compreensão de questões mais elaboradas. 
Isso acontece exatamente porque as bancas querem 
aferir do candidato, não apenas o conhecimento 
básico do assunto, como acontece nos exames 
escolares, mas a capacidade de raciocínio, controle 
emocional, atenção, senso de orientação diante de 
situações difíceis e estressantes, entre outros. Por 
esse motivo, utilizam diversas estratégias para forçar 
o candidato (mesmo aquele mais preparado) a ter 
dúvida sobre determinada questão, como as famosas 
“pegadinhas”, por exemplo. 
Resumindo: as provas de concursos públicos visam 
selecionar os melhores servidores para ocupar 
determinados cargos públicos, pois para o órgão 
contratante é prova suficiente que os aprovados em 
um teste de alto grau de dificuldade (entre milhares de 
candidatos) são pessoas disciplinadas, organizadas, 
determinadas em alcançar seus objetivos e, portanto, 
capacitadas para exercer todas as funções que o 
cargo exigir. 
Voltando ao estudo da matemática, com um bom 
planejamento é possível conquistar o aprendizado 
necessário para a participação nas provas e a chance 
da aprovação. 
 
Segundo o Blogueiro Charles Dias, um dos piores 
problemas que um concurseiro pode ter, quando está 
se preparando, é começar a semana sem saber direito 
o que estudar ao longo dos próximos cinco dias. Isso 
pode acontecer tanto com quem tem concurso com 
data marcada, bem como com quem está estudando 
sem edital na mão. De qualquer forma, isso é culpa da 
nossa velha conhecida falta de planejamento que é 
essencial para o concurseiro que se dispõe a estudar 
sério, uma vez que sem esse guia do quê, quando e 
como iremos estudar, tudo fica muito mais difícil sem 
contar o tempo que se perde estudando o que não se 
precisa estudar enquanto o que deveria receber muita 
atenção é deixado de lado. 
. 
Crie seu projeto de Administração. 
 
Aqui apresentaremos algumas dicas que poderão lhe 
ajudar a criar um programa de estudo. 
 
1. Sempre leia o programa do concurso em questão, 
para saber que parte da matemática você tem de 
estudar. Feito isso, organize-se e crie seu 
cronograma de estudo de acordo com os 
conteúdos exigidos. 
2. Faça um levantamento dos assuntos básicos que 
você precisa saber para começar a estudar. Por 
exemplo, estudar geometria requer conhecimento 
de como resolver raízes quadradas e 
potencialização. 
3. Crie um quadro com os dias da semana e os 
turnos de estudo dispondo as matérias que irá 
estudar em cada bloco de estudo. Pronto, você 
já tem um planejamento básico para guiá-lo ao 
longo da semana, que não somente poderá 
como deverá ser refinado ao longo dos dias de 
acordo como você avançará nos estudos. 
4. Menos teoria e mais prática. Não que o estudo da 
teoria e suas regras não seja necessário, mas ao 
aprendê-las exercite bastante. Quanto mais 
exercícios você fizer maior será a memorização do 
desenvolvimento das questões. Procure, também, 
meios de memorizar as fórmulas de resolução de 
exercícios. 
5. Estudar através de questões resolvidas e 
comentadas também é muito importante para 
memorizar e estudar, não apenas por 
apresentarem a resposta correta para o comando 
da questão, como também, explica como se dá a 
resolução, ensinando para o concurseiro o 
processo de desenvolvimento na resolução dos 
exercícios. Nesta apostila você terá acesso a 
vários exercícios resolvidos sobre todos os 
assuntos exigidos. 
6. Como diz um velho ditado popular. “Sem treino 
não há talento que faça milagre.“ Portanto treine 
bastante. Ao final da apostila você terá acesso ao 
gabrito das questões propostas. Só veja o gabarito 
quando resolver as questões para verificar seu 
nível de aprendizado. 
 
Boa Sorte! 
 
 
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I - TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
1.1 – INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS 
 
Formulada no fim do século XIX pelo matemático russo 
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, a Teoria dos 
Conjuntos, fala sobre Conjunto que é um conceito que não 
podem ser definido, mas, pode sim, entender-se 
como uma lista, agrupamentos de objetos, símbolos que 
sejam bem definidos. Assim pense em conjunto como uma 
coleção de objetos. 
 
 
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns 
conceitos primitivos, que devem ser entendidos e 
aceitos sem definição. Para um estudo mais 
aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se 
ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set 
Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para 
o português sob o título (nada ingênuo de): 
Teoria Ingênua dos Conjuntos. 
Estudando os Conjuntos 
Ao obter coleções de elementos classificados a partir 
de certa característica, estamos formando conjuntos. 
Os animais vertebrados, por exemplo, podem ser 
divididos em cinco classes: peixes, répteis, anfíbios, 
mamíferos e aves. Cada uma dessas classes de 
animais forma um conjunto. 
 
Na matemática, a ideia de conjunto é fundamental e 
está presente em diversos outros conceitos. 
Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de 
objetos chamados elementos e que cada elemento é 
um dos componentes do conjunto. 
 
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos 
uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os 
elementos por letras minúsculas. Para representação 
de um conjunto, utilizaremos uma das três formas 
seguintes: 
 
1. Listagem dos elementos: Nesta representação, 
todos os elementos do conjunto são apresentados 
numa lista, envolvidos por um par de chaves e 
separados por ponto e vírgula ou por vírgula. Ex: 
Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8} 
2. Propriedade doselementos: Quando, pela 
quantidade, não for conveniente escrever todos os 
elementos que formam o conjunto, o descreveremos 
por uma propriedade possuída por todos os seus 
elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par menor 
que 9 } Lê-se: O conjunto A é formado pelos 
elementos x, tal que x é um algarismo par menor que 
9. 
3. Diagrama de Euler – Venn: Representamos o 
conjunto por um recinto plano limitado por uma curva 
fechada. Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.1- Relação de Pertinência 
 
A relação de pertinência indica se um determinado 
elemento pertence ou não a um determinado 
conjunto. 
 
Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim: 
 
SIMBOLOGIA INTERPRETAÇÃO 
 
 
O elemento 2 pertence ao conjunto A 
 
 
 
O elemento 3 não pertence ao conjunto A 
 
 
Quando fazemos uso da relação de pertinência, 
estamos, necessariamente, relacionando um elemento 
a um conjunto, nesta ordem. 
 
“elemento” “conjunto” 
Ou 
“elemento” “conjunto 
 
Observação: Um elemento pertence a um conjunto se 
ele é “visível” ou listado no conjunto. 
 
1.1.2 - Relação de Inclusão 
 
A relação de inclusão indica se um determinado 
conjunto está contido ou não em um outro conjunto. 
 
Se todos os elementos de um conjunto pertencem a 
outro, então o primeiro conjunto está contido no 
segundo. Basta um único elemento do primeiro 
conjunto não pertencer ao segundo para que o 
primeiro conjunto não esteja contido no segundo. 
 
 
SIMBOLOGIA INTERPRETAÇÃO 
 
O conjunto A está contido no conjunto B 
 
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O conjunto D não esta contido no 
conjunto E 
 
 
O conjunto B contém o conjunto A 
 
O conjunto E não contém o conjunto D 
 
Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, 
necessariamente, relacionando um conjunto a outro 
conjunto. 
 
 
 
Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos 
que A é um subconjunto de B. 
 
1.1.3 - Definições Especiais de Conjuntos 
 
Conjunto Vazio - é o conjunto que não possui 
elementos. Para representarmos o conjunto vazio 
usaremos os símbolos: { } ou . 
 
Atenção: Quando os símbolos { } ou , aparecerem 
listados ou visíveis, dentro de um conjunto, o conjunto 
vazio deverá ser tratado como elemento desse 
conjunto especificado. 
 
Ex. : Seja o conjunto A={ ; 1; 2; 3}, é correto afirmar 
para o conjunto A listado, que A , pois é um 
elemento do conjunto A. 
 
Também sempre será verdade que: 
 
1. A para qualquer que seja o conjunto A. 
2. A A para qualquer que seja o conjunto A. 
 
Conjunto Unitário - É o conjunto que possui apenas 
um elemento. 
 
Conjunto Universo - É um conjunto que contém 
todos os elementos do contexto no qual estamos 
trabalhando e também contém todos os conjuntos 
desse contexto. O conjunto universo é representado 
por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o 
conjunto universo. 
 
1.1.4 – Subconjuntos 
 
O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado 
por P(A), é o conjunto formado por todos os 
subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das 
partes é o conjunto dos subconjuntos. 
 
Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de 
um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o próprio 
conjunto. Ex.: Seja X = {a, e, i} , encontre P( A ). 
1.1.5 - Numero de elementos do conjunto das 
partes 
 
Para indicarmos o número de elementos de um 
conjunto A, usaremos a notação n(A). E o número de 
elementos do conjunto das partes será indicado por 
n[P(A)]. 
 
Daí : 
 
Assim, um conjunto com 4 elementos, terá 2
4 
elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o 
conjunto A terá no total 16 subconjuntos. 
 
1.1.6 - Igualdade de Conjuntos 
 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam 
os mesmos elementos, em qualquer ordem, sendo 
que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão 
considerados uma única vez. Daí, podemos afirmar 
que é verdadeira a igualdade dada por: A= { a; b; c} = 
{ c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c} 
 
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica 
definida como: 
 
 
 
1.2 – PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS 
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e 
B, a reunião de A e B, denotada por A B e a 
interseção de A e B, denotada por A B, ainda são 
conjuntos no universo. 
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se 
que: A A = A e A A = A 
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, 
tem-se que: 
A A B, B A B, A B A, A B B 
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A e B, tem-se que: 
A B equivale a A B = B 
 
A B equivale a A B = A 
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B 
e C, tem-se que: 
A (B C) = (A B) C 
 
A (B C) = (A B) C 
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e 
B, tem-se que: 
 
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A B = B A 
A B = B A 
Elemento neutro para a reunião: O conjunto 
vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de 
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A Ø = A 
Elemento "nulo" para a interseção: A interseção 
do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, 
fornece o próprio conjunto vazio. A Ø = Ø 
Elemento neutro para a interseção: O conjunto 
universo U é o elemento neutro para a interseção de 
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A U = A 
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B 
e C, tem-se que: 
A (B C ) = (A B) (A C) 
 
A (B C) = (A B) (A C) 
Os gráficos abaixo mostram a distributividade. 
. 
 
 
 
 
 
1.3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1.3.1 – Reunião de Conjuntos 
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos 
os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao 
conjunto B. 
A B = { x: x A ou x B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então: 
A B={a,e,i,o,3,4}. 
1.3.2 – Interseção de Conjuntos 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao 
conjunto B. 
A B = { x: x A e x B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então: 
A B=Ø 
 
 
 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o 
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos 
são disjuntos. 
1.3.3 – Diferença de Conjuntos 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
e não pertencem ao conjunto B. 
A-B = {x: x A e x B} 
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.4 – Conjunto Complementar 
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, 
denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A 
e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto 
B. 
CAB = A-B = {x: x A e x B} 
Graficamente, o complemento do conjunto B no 
conjunto A, é dado por: 
 
 
 
Quando não há dúvida sobre o universo U em que 
estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a 
letra c posta como expoente no conjunto, para indicar 
o complemento deste conjunto. 
Muitas vezes usamos a palavra complementar no 
lugar de complemento. 
 
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Exemplos: Ø
c
=U e U
c
=Ø. 
Ao complementar de A em relação a U usaremos a 
notação: 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
O diagrama abaixo é a região hachuriada: 
 
 
 
Ex: Seja U={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e A={ 1, 3, 5, 7} 
daí 
 
 
 
1.3.5 – Leis de Augustus De Morgan 
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é 
a interseção dos complementares desses conjuntos. 
(A B)c = Ac Bc 
O complementar da reunião de uma coleção finita de 
conjuntos é a interseção dos complementares desses 
conjuntos. 
(A1 A2 ... An)
c
 = A1
c
 A2
c
 ... An
c
 
O complementar da interseção de dois conjuntos A e 
B é a reunião dos complementares desses conjuntos. 
(A B)
c
 = A
c
 B
c
 
O complementar da interseção de uma coleção finita 
de conjuntos é a reunião dos complementares desses 
conjuntos. 
(A1 A2 ... An)
c
 = A1
c
 A2
c
 ... An
c
 
1.3.6 – Diferença Simétrica 
 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e Bé o 
conjunto de todos os elementos que pertencem à 
reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à 
interseção dos conjuntos A e B. 
A B = { x: x A B e x A B } 
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica 
é: 
 
 
 
 
1.3.7 - Número de elementos da união de 
conjuntos: 
 
O número de elementos da união de : 
 
- dois conjuntos A e B será: 
 
 
Dedução: 
 
 
 
1.4 - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que 
foi se tornando necessário apresentar resultados para 
algumas operações matemáticas. 
 
Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o 
conjunto dos números naturais. 
 
1.4.1 - Conjunto dos números naturais (N): 
 
É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto 
importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = 
N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a 
multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois 
números naturais resultam sempre em um número 
natural. 
 
Já a divisão ou subtração entre dois números naturais 
nem sempre é um número natural; a subtração 2 -3, 
por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade 
de ampliar o conjunto N introduzindo os números 
negativos. 
 
1.4.2 - Conjunto dos números inteiros (Z): 
 
Ou conjunto dos números relativos, é o conjunto 
 
Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , 
 
Podemos destacar os seguintes subconjuntos de Z: 
 
 
 
 
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Geometricamente temos: 
 
 
 
Observe que há uma simetria em relação ao zero. O 
oposto ou simétrico de 3 é –3, oposto ou simétrico de 
–3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0. 
 
Quando os números têm o mesmo sinal basta 
conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais 
são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal 
que prevalece é o deste último. É bom lembrar 
também que o sinal mais (+) antes de um parêntese 
não vai alterar o sinal do número que está entre 
parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes 
do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal 
antes do parêntese estará implícito que o sinal será o 
de mais (+). 
 
Para as operações de multiplicação e divisão que 
virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de 
mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto 
que os de sinais contrários conduzem sempre à 
resultados negativos”. 
 
No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a 
multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o 
produto e a diferença de dois números inteiros 
resultam sempre um número inteiro. E todas as 
propriedades das operações em N continuam válidas 
em Z. 
 
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre 
resulta um número inteiro: 
 
 
 
Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z. 
 
Múltiplo e divisor em Z 
 
1) Considere a e b como dois números inteiros. 
Sabemos que b é divisor de a e que a 
é múltiplo de b apenas quando existe c inteiro onde a 
=b.c. 
 
Portanto, sendo a, b e c números inteiros, temos: 
 
 
 
 
 
2) Sendo o conjunto dos múltiplos do número inteiro a 
representado por D(a), temos: 
 
3) Sendo o conjunto de múltiplos do número inteiro a 
representado por M(a), temos: 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
Propriedade de D(a) 
 
 
 
Propriedades de M(a) 
 
 
 
Número par e número impar 
 
1) Um número inteiro a será par somente quando este 
for múltiplo de 2. 
2) Um número inteiro a será ímpar somente quando 
este não for múltiplo de 2. 
3) No caso de, logo: 
 
 
 
Número primo e numero composto 
 
1) Um número inteiro p, sendo p ≠ 0, p ≠ 1 e p ≠ -1, 
será um número primo quando os números únicos 
divisores forem 1, -1, p e –p. 
 
2) Um número inteiro a, sendo a ≠ 0, a ≠ 1 e a ≠ -1, 
será um número composto quando haver mais de 4 
divisores. 
 
 
Veja a representação: 
 
 
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Teorema fundamental da aritmética 
 
Qualquer número composto pode sofrer 
uma decomposição e uma fatoração num produto de 
fatores primos. Com exceção da ordem dos fatores e 
do sinal dos fatores, essa decomposição será única. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Número de elementos da D(a) 
 
Sendo a o número do elemento de D(a) será 
finito. 
 
Sendo em que 
números inteiros são os divisores 
primos naturais de a e os naturais 
são seus expoentes respectivamente, logo: 
 
 
 
 
 
 
Máximo divisor comum (mdc) 
 
1) Considere a e b como dois números inteiros não 
simultaneamente nulos. O máximo divisor comum 
(m.d.c.) de a e b é o número máx. [D(a)∩D(b)]. 
 
Representado por mdc(a,b) 
 
Veja a representação: 
 
 
 
 
Mínimo múltiplo comum (mmc) 
 
 
 
 
Mínimo Múltiplo Comum (mmc) 
 
 
 
1) Considere a e b como dois números inteiros não 
nulos. O Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) de a e b é 
representado por m.m.c.(a,b) 
 
 
 
 
 
 
 
Números primos entre si 
 
1) Os números inteiros a e b serão considerados de 
primos entre si apenas quando seus únicos divisores 
comuns forem 1 e -1. 
 
Veja a representação: 
 
a e b primos entre si mdc(a,b) = 
 
2) Dois números inteiros consecutivos são primos 
entre si pois mdc(n, n + 1) = 1. 
 
3) Dois números primos, distintos e não-simétricos 
são primos entre si. 
 
4) Sendo , logo: 
 
a e b primos entre si mdc(a,b) = mmc(a,b) = ab 
 
 
 
 
 
01 - Um auxiliar de enfermagem pretende usar a 
menor quantidade possível de gavetas para acomodar 
120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos 
de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. 
 
Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em 
todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo 
em cada uma delas, quantas gavetas deveá usar? 
 
Solução: 
 
Observe que o auxiliar deseja usar a menor 
quantidade de gavetas possível, neste caso ele deve 
colocar a maior quantidade possível de frascos nas 
gavetas, certo? Mas, também terá que ser na mesma 
quantidade para todas as gavetas, veja que 
novamente o conceito de mdc entra na resolução 
deste problema. Ao pensar em usar a menor 
quantidade de gavetas possível, tens que colocar a 
maior quantidade de frascos e que ainda seja na 
mesma quantidade em cada gaveta! 
 
Calculando o mdc (120,150,225). Fatorando, temos: 
 
120 = 2
3
 x 3 x 5 
150 = 2 x 3 x 5
2
 
225 = 3
2
 x 5
2 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Logo, o mdc (120,150,225) = 3 x 5 = 15. 
 
Veja, 15 é o maior número que divide 120, 150 e 225, 
portanto cada gaveta terá 15 frascos, isto é, o maior 
número possível para que a quantidade de gavetas 
seja mínima. 
 
Calculando a quantidade de gavetas. 
 
120/15 = 8; 150/15 = 10 e 225/15 =15. 
 
Para o medicamento com 120 frascos será necessário 
8 gavetas, para o medicamento com 150 frascos, 10 
gavetas e para o terceiro tipo com 225 frascos, 15 
gavetas. 
 
Totalizando uma quantidade mínima de 33 gavetas. 
 
02- Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 
de copaíba para plantar em uma região de sua 
fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas 
tenham sido repartidas entre os empregados da 
fazenda, de forma que todos os empregados tenham 
recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a 
mesma quantidade de mudas de copaíba e que 
nenhuma muda tenha sobrado. 
 
Afirmação: nessa situação, é correto afirmar que o 
número máximo de empregados da fazenda é 4. 
Julgue a afirmação acima em certa ou errada. 
Para este problema devemos julgar a afirmação em 
certa ou errada e para isso precisamos fazer alguns 
cálculos. A afirmação é a de que o número máximo de 
empregados é 4, percebe-se que o número de 
funcionários deve ser um divisor de 180 e 84, pois os 
funcionários receberam a mesma quantidade de 
ambas as mudas. 
O que esse problema tem haver com mdc? 
É o seguinte: descobrindo o maior número que divide 
180 e 84, estamos descobrindo a quantidade máxima 
de funcionários para os quais as mudam podem ser 
repartidas igualmente. Veja como! 
Calculando o mdc(84,180).180 = 2
2
 x 3
2
 x 5 
84 = 2
2
 x 3 x 7 
mdc(84,180) = 2
2
 x 3 = 12. 
Logo, 12 é o maior número que divide 180 e 84, então 
o número máximo de funcionários pode ser 12 (180/12 
= 15 e 84/12 = 7), não que 4 não seja um divisor, mas 
ele, não é o máximo. Veja na divisão acima que cada 
funcionário receberia 15 e 7 mudas, só 
exemplificando! Portanto, a afirmação está ERRADA. 
03 - Seu Flávio, o marceneiro, dispõe de três ripas de 
madeira que medem 60cm, 80cm e 100 cm de 
comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las 
em pedaços iguais de maior comprimento possível. 
Qual é a medida procurada? 
 
Solução: 
 
Para dividir em pedaços iguais como maior 
comprimento possível, precisamos calcular p M.D.C. 
entre 60, 80 e 100. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá ter comprimento de 20 
cm 
 
04 - Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de 
mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se 
uma delas tem 196 centímetros e a outra 140 
centímetros, quanto deve medir cada pedaço? 
 
Solução: Para cortar em pedaços iguais com o maior 
comprimento possível, precisamos calcular o M.D.C. 
entre 196 e 140. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá medir 28 cm 
 
05 - Três peças de tecido medem respectivamente, 
180cm, 252cm e 324cm. Pretende-se dividir em 
retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse 
comprimento de modo que o número de retalhos seja 
o menor possível? 
 
Em quantos pedaços cada peça será divida e qual o 
total de retalhos obtidos? 
 
Solução: Para dividir em retalhos de igual 
comprimento de modo que o número de retalhos seja 
o menor possível, devemos calcular o M.D.C. entre 
180, 252 e 324. 
 
Observação: para ter o menor número de retalhos 
deve-se ter o maior comprimento possível. 
 
 
 
 
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Cada retalho deverá medir 36cm 
Teremos um total de 21 retalhos 
 
06 - Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: 
 
(A) 18 e 60 
(B) 210 e 462 
 
(A) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo 
Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição 
simultânea dos dois números. Sempre dividindo os 
números pelo menor número primo possível: 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
1, 1 | 
 
Vamos multiplicar todos os números que ficaram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) 
= 180. 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
 1, 1 | 
 
Mas desses números à direita, os únicos que dividem 
o 18 e o 60, simultaneamente, são os números 
destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o 
resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6. 
(B) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da 
decomposição simultânea dos dois números: 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
Basta multiplicar todos os números que ficaram à 
direita: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC 
(210, 462) = 2.310. 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
 
Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os 
números que dividiram o 210 e o 462 
simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, 
encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42. 
 
07 - Nas últimas eleições, três partidos políticos 
tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo 
gratuito de propaganda na televisão, com diferentes 
números de aparições. 
 
O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi 
sempre o mesmo e o maior possível. A soma do 
número das aparições diárias dos partidos na TV foi 
de: 
 
Para resolver essa questão, precisamos recorrer à 
ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o 
tempo de cada aparição seja o maior possível. 
 
Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de 
aparição de cada político: 
 
 
90, 108, 144 | 2 
 45, 54, 72 | 2 
 45, 27, 36 | 2 
 45, 27, 18 | 2 
 45, 27, 9 | 3 
 15, 9, 3 | 3 
 5, 3, 1 | 3 
 5, 1, 1 | 5 
 1, 1, 1 | 
 
 
Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar 
aqueles números que dividiram os três números ao 
mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, 
temos: 2 x 3 x 3 = 18. 
 
Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 
segundos. Precisamos agora descobrir quantas 
aparições cada um deles realizou. Vejamos: 
 
90: 18 = 5 aparições 
108/18 = 6 aparições 
144 : 18 = 8 aparições 
 
 
Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 
6 + 8 = 19 aparições. 
 
 
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08 - José possui um supermercado e pretende 
organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas 
distintas, na prateleira de produtos de limpeza, 
agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 
20, mas sempre restando um. Quantos detergentes 
José tem em seu supermercado? 
 
Se José arruma os detergentes em grupos de 
múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então 
encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses 
números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos: 
 
 12, 15, 20 | 2 
6 , 15 , 10 | 2 
 3 , 15 , 5 | 3 
 1 , 5 , 5 | 5 
 1 , 1 , 1 | 
 
Temos que multiplicar os números que apareceram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 
serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. 
Vejamos os múltiplos de 60: 
 
M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...} 
 
Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 
que se encaixa na quantidade de detergentes do 
supermercado de José é o 120. Mas falta ainda 
acrescentarmos aquele detergente que sempre 
restava, portanto, podemos concluir que no 
supermercado de José havia 121 detergentes. 
 
09 - Um auxiliar de enfermagem pretende usar a 
menor quantidade possível de gavetas para acomodar 
120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos 
de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele 
colocar a mesma quantidade de frascos em todas as 
gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada 
uma delas, quantas gavetas deverá usar? 
 
Solução: 
 
Observe que o auxiliar deseja usar a menor 
quantidade de gavetas possível, neste caso ele deve 
colocar a maior quantidade possível de frascos nas 
gavetas, certo? Mas, também terá que ser na mesma 
quantidade para todas as gavetas, veja que 
novamente o conceito de mdc entra na resolução 
deste problema. 
 
Ao pensar em usar a menor quantidade de gavetas 
possível, tens que colocar a maior quantidade de 
frascos e que ainda seja na mesma quantidade em 
cada gaveta! 
Calculando o mdc (120,150,225). Fatorando, temos: 
 
120 = 2
3
 x 3 x 5 
150 = 2 x 3 x 5
2
 
225 = 3
2
 x 5
2 
 
Logo, o mdc(120,150,225) = 3 x 5 = 15. 
 
Veja, 15 é o maior número que divide 120, 150 e 225, 
portanto cada gaveta terá 15 frascos, isto é, o maior 
número possível para que a quantidade de gavetas 
seja mínima. 
 
Calculando a quantidade de gavetas. 
 
120/15 = 8; 150/15 = 10 e 225/15 =15. 
 
Para o medicamento com 120 frascos será necessário 
8 gavetas, para o medicamento com 150 frascos, 10 
gavetas e para o terceiro tipo com 225 frascos, 15 
gavetas. 
 
Totalizando uma quantidade mínima de 33 gavetas. 
 
10 - Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 
de copaíba para plantar em uma região de sua 
fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas 
tenham sido repartidas entre os empregados da 
fazenda, de forma que todos os empregados tenham 
recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a 
mesma quantidade de mudas de copaíba e que 
nenhuma muda tenha sobrado. 
 
Afirmação: nessa situação, é correto afirmar que o 
número máximo de empregados da fazenda é 4. 
Julgue a afirmação acima em certa ou errada. 
Para este problema devemos julgar a afirmação em 
certa ou errada e para isso precisamos fazer alguns 
cálculos. A afirmação é a de que o número máximo de 
empregados é 4, percebe-se que o número de 
funcionários deve ser um divisor de 180 e 84, pois os 
funcionários receberam a mesma quantidade de 
ambas as mudas. 
O que esse problema tem haver com mdc? 
É o seguinte: descobrindo o maior número que divide 
180 e 84, estamosdescobrindo a quantidade máxima 
de funcionários para os quais as mudam podem ser 
repartidas igualmente. Veja como! 
Calculando o mdc(84,180). 
180 = 2
2
 x 3
2
 x 5 
84 = 2
2
 x 3 x 7 
m.d.c.(84,180) = 2
2
 x 3 = 12. 
Logo, 12 é o maior número que divide 180 e 84, então 
o número máximo de funcionários pode ser 12 (180/12 
= 15 e 84/12 = 7), não que 4 não seja um divisor, mas 
ele, não é o máximo. Veja na divisão acima que cada 
funcionário receberia 15 e 7 mudas, só 
exemplificando! 
Portanto, a afirmação está ERRADA. 
11 - Seu Flávio, o marceneiro, dispõe de três ripas de 
madeira que medem 60cm, 80cm e 100 cm de 
comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las 
 
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em pedaços iguais de maior comprimento possível. 
Qual é a medida procurada? 
 
Solução: 
 
Para dividir em pedaços iguais como maior 
comprimento possível, precisamos calcular p M.D.C. 
entre 60, 80 e 100. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá ter comprimento de 20 
cm 
 
12 - Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de 
mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se 
uma delas tem 196 centímetros e a outra 140 
centímetros, quanto deve medir cada pedaço? 
 
Solução: Para cortar em pedaços iguais com o maior 
comprimento possível, precisamos calcular o M.D.C. 
entre 196 e 140. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá medir 28 cm 
 
 
13 - Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: 
 
(A) 18 e 60 
(B) 210 e 462 
 
(A) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo 
Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição 
simultânea dos dois números. Sempre dividindo os 
números pelo menor número primo possível: 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
1, 1 | 
Vamos multiplicar todos os números que ficaram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) 
= 180. 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
 1, 1 | 
 
Mas desses números à direita, os únicos que dividem 
o 18 e o 60, simultaneamente, são os números 
destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o 
resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6. 
(B) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da 
decomposição simultânea dos dois números: 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
 
Basta multiplicar todos os números que ficaram à 
direita : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC 
(210, 462) = 2.310. 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
 
Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os 
números que dividiram o 210 e o 462 
simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, 
encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42. 
 
14 - Nas últimas eleições, três partidos políticos 
tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo 
gratuito de propaganda na televisão, com diferentes 
números de aparições. O tempo de cada aparição, 
para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior 
possível. A soma do número das aparições diárias dos 
partidos na TV foi de: 
 
Para resolver essa questão, precisamos recorrer à 
ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o 
tempo de cada aparição seja o maior possível. 
 
Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de 
aparição de cada político: 
 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 14 
 
90, 108, 144 | 2 
 45, 54, 72 | 2 
 45, 27, 36 | 2 
 45, 27, 18 | 2 
 45, 27, 9 | 3 
 15, 9, 3 | 3 
 5, 3, 1 | 3 
 5, 1, 1 | 5 
 1, 1, 1 | 
 
Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar 
aqueles números que dividiram os três números ao 
mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, 
temos: 2 x 3 x 3 = 18. 
 
Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 
segundos. Precisamos agora descobrir quantas 
aparições cada um deles realizou. Vejamos: 
 
90: 18 = 5 aparições 
108/18 = 6 aparições 
144 : 18 = 8 aparições 
 
Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 
6 + 8 = 19 aparições. 
 
15 - José possui um supermercado e pretende 
organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas 
distintas, na prateleira de produtos de limpeza, 
agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 
20, mas sempre restando um. Quantos detergentes 
José tem em seu supermercado? 
 
Se José arruma os detergentes em grupos de 
múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então 
encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses 
números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos: 
 
 12, 15, 20 | 2 
6 , 15 , 10 | 2 
 3 , 15 , 5 | 3 
 1 , 5 , 5 | 5 
 1 , 1 , 1 | 
 
Temos que multiplicar os números que apareceram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 
serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. 
Vejamos os múltiplos de 60: 
 
M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...} 
 
Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 
que se encaixa na quantidade de detergentes do 
supermercado de José é o 120. Mas falta ainda 
acrescentarmos aquele detergente que sempre 
restava, portanto, podemos concluir que no 
supermercado de José havia 121 detergentes. 
 
Critérios de divisibilidade 
 
Divisibilidade por 2 - Um número é divisível por 2 se 
ele for par, ou seja, se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
 
Divisibilidade por 3 - Um número é divisível por 3 se 
a soma de seus algarismos for divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 5 - Um número é divisível por 5 se 
o algarismo das unidades for 0 ou 5. 
 
Divisibilidade por 7 - Para saber se um determinado 
número é divisível por 7, deve-se seguir os seguintes 
passos: 
 
Considerar o último algarismo do número e o dobro 
deste algarismo deve ser subtraído dos outros 
números. Se o número obtido for divisível por 7, 
sabemos que o número inicial também é divisível por 
7. 
 
Exemplo: 
 
315 
5 x 2 = 10 
10 – 31 =21 
21 é divisível por 7, então 315 também é divisível por 
7. 
 
Divisibilidade por 11 - Um número é divisível por 11 
se a soma dos algarismos de ordem par subtraída da 
soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 
11. 
 
Exemplo: 
 
Ordem par: 554829 –> 5 + 8 + 9 =22 
Ordem ímpar: 554829 –> 5 + 4 + 2 =11 
22 – 11 =11 
 
11 é divisível por 11, então 554829 também é divisível 
por 11. 
 
1.4.3 - Conjuntos dos números racionais(Q): 
 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas 
e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos 
números racionais Q. Assim, por exemplo, são 
números racionais: Ao acrescentarmos as frações não 
aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, 
obtemos o conjunto dos números racionais Q. Assim, 
por exemplo, são números racionais: 
 
 
 
Observe que todo número racional pode ser escrito na 
forma 
𝑎
𝑏
 , com *. 
Assim, escreveremos: 
 
 
 
Perceba que a restrição *, nos obriga a termos 
 
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 pois 
𝑎
𝑏
 , a divisão de a por b, só tem significado 
com . A designação racional, surgiu porque 
𝑎
𝑏
 
pode ser vista como uma razão entre os inteiro a e b. 
 
A letra Q, que representa o conjunto dos números 
racionais, é a primeira letra da palavra quociente. Os 
números racionais podem ser encontrados de três 
maneiras: 
 
- Número inteiro: Se b = 1, temos a , o 
 
O que implica que Z é subconjunto de Q. Assim: 
 
 
- Número decimal exato: Dado um número racional 
𝑎
𝑏
 
a representação decimal desse número é obtida 
dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma 
quantidade finita de casas decimais após a vírgula, 
este resultado é um número decimal exato. Exemplos: 
 
 
 
- Número decimal periódico ou dízima periódica: É 
o resultado da divisão 
𝑎
𝑏
, que possui uma quantidade 
infinita e periódica de casas decimais após a vírgula. 
Este resultado é chamado dedízima periódica, e a 
fração 
𝑎
𝑏
 que gera a dízima, é a fração geratriz. 
Exemplos: 
 
 
 
No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são 
possíveis e valem todas as propriedades que valem 
para os inteiros.Certamente devemos nos lembrar de 
que a divisão por zero é impossível! 
 
Geometricamente temos: 
 
 
 
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro 
número inteiro. Entre dois racionais sempre existe 
outro racional. 
Por exemplo, entre os racionais 
1
2
 = 0,5 
Podemos encontrar infinitos racionais; entre eles 
 
 
5 
8
= 0,625. 
Mas isso não significa que os racionais 
preenchem toda a reta. Os números racionais são 
insuficientes para medir todos os segmentos de reta. 
Por exemplo a medida da hipotenusa, de um triângulo 
retângulo, de catetos medindo uma unidade, é um 
número não racional. Embora as quatro operações 
fundamentais (adição, subtração, multiplicação e 
divisão por um número diferente de zero) sejam 
sempre definidas em Q, uma equação como 𝑥2 = 2 
não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional 
 
𝑎
𝑏
 tal que . 
 
Surge então a necessidade de outro tipo de número, o 
número não racional ou irracional. 
 
1.4.4 - Conjunto dos números irracionais(I): 
 
São os números que não podem ser escrito na forma 
fracionária, com numerador inteiro e denominador 
inteiro ( diferente de zero). São as decimais infinitas e 
não periódicas. Exemplos: 
 
 
 
Representação de alguns irracionais na reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.5 = Conjunto dos números reais(R): 
 
Da união do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto 
dos números reais R. Simbolicamente: 
 
 
 
Os números racionais não eram suficientes para 
esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os pontos da 
reta correspondente aos números não 
eram preenchidos com os números racionais. 
 
Agora, os números reais esgotam todos os pontos da 
reta, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um 
único número real e, reciprocamente, a cada número 
real corresponde um único ponto da reta. 
 
Por isso dizemos que existe uma correspondência 
biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. 
Temos assim a reta real, que é construída desta 
forma: numa reta, escolhemos uma origem (e 
associamos a ela o zero), um sentido de percurso e 
uma unidade de escala. 
 
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O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos 
vistos até aqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim com os números reais toda equação do tipo x 
a 2 com aN , pode ser resolvida e todos os 
segmentos de reta podem ser medidos. Existem 
outros números além dos reais, a raiz de índice par e 
radicando negativo é impossível em R, pois, por 
exemplo, não existe número real que, elevado ao 
quadrado, dê um número negativo. Assim, 4 não é 
um número real; é um número complexo ou 
imaginário. Podemos usar as seguintes notações 
para alguns subconjuntos de R: 
 
R+ real positivo ou nulo 
R*+ real positivo 
R_real negativo ou nulo 
R*_ real negativo 
 
O mesmo pode ser feito com Z e Q. 
 
1.4.6 - Relação de ordem em R: 
 
Sejam dois números reais quaisquer a e b,entre a e b 
poderá ocorrer uma, e somente uma, das relações: 
 
a = b ou a > b ou a < b. 
 
A desigualdade representada por a < b significa que o 
número real a é menor que o número real 
b.Geometricamente se a < b, então a está situado à 
esquerda de b na reta real. 
 
 
 
A desigualdade representada por a > b significa que o 
número real a é maior que o número real b. 
Geometricamente , se a > b, então a está situado à 
direita de b na reta real. 
 
 
 
Também usaremos a notação: 
 
 
Será muito útil percebermos que se tivermos x R, e 
escrevermos: 
 
x > 0 x é positivo 
x < 0 x é negativo 
x 0 x é não positivo 
x 0 x é não negativo 
 
Algumas propriedades importantes das 
desigualdades: 
 
As simbologias <, >, chamaremos de sentido da 
desigualdade. Vejamos algumas propriedades muito 
úteis: 
 
1ª) Podemos adicionar membro a membro, 
desigualdades de mesmo sentido: 
 
-2<x<3 e 1<y<5 -2+1 < x+y < 3+5 
 
2ª) Podemos somar ou subtrair um número real a 
ambos os membros de uma desigualdade sem alterá-
la ou transpor um termo de um membro para o outro, 
trocando o sinal deste termo. 
 
x+7 < 9 x > 9-7 x > 2 que é o mesmo que fazer 
x+7 < 9 x +7-7 > 9-7 x > 2 
 
3ª) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros 
de uma desigualdade por um real diferente de zero, 
mas com o seguinte cuidado: 
 
-Se o número for positivo, conservamos o sinal da 
desigualdade; 
 
-Se o número for negativo invertemos o sinal da 
desigualdade. 
 
Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a 
desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 
15 > -10 . 
 
1.5 - INTERVALOS REAIS 
 
Certos subconjuntos de R, determinados por 
desigualdades, tem grande importância na 
Matemática; são os intervalos reais. 
 
 
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Intervalos “infinitos” 
 
 
 
Considera-se como intervalo ] , [ = R. 
 
Observações: 
 
1) A “bolinha fechada” ( ) indica que o extremo do 
intervalo pertence a ele. A “bolinha aberta” ( ) indica 
que o extremo do intervalo não pertence a ele. 
 
2)  e , simbolizam apenas a ausência de 
extremidades pela esquerda ou pela direita no 
intervalo, sendo sempre abertos. Portanto e 
não são números reais! 
 
3)Como definimos, intervalos são subconjuntos dos 
números reais. Assim os seguintes exemplos não são 
intervalos: 
 
 
 
1.5.1 - Operações com intervalos 
 
Estudamos em tópicos anteriores que algumas 
operações podem ser realizadas com conjuntos. 
 
Como os intervalos reais são subconjuntos de R, 
também podemos realizar operações com intervalos. 
 
Exemplo: 
 
Dados os conjuntos 
 
A = { x R | 3 x 2 } e B = { x R | 0x 8}, 
para efetuar as operações representamos cada 
conjunto em retas reais paralelas. 
 
Vamos exemplificar as operações de união e 
interseção, mas as operações de diferença (A – B ou 
B – A) e de complementar também podem ser 
efetuadas desta maneira. 
 
 
 
 
 
1.6 – NUMEROS COMPLEXOS 
 
O conjunto dos números complexos é o conjunto que 
possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os 
outros conjuntos. 
 
É necessário, pois, compreender os processos das 
operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) 
envolvendo elementos desse conjunto, assim como a 
representação geométrica dos números complexos. 
 
1.6.1 – Na Forma Trigonométrica 
 
Na representação trigonométrica, um número 
complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do 
vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o 
semi-eixo positivo das abscissas. 
 
 
 
 
Vetor é uma entidade matemática que define 
grandezas que se caracterizam por módulo, direção e 
sentido, como por exemplo, velocidade e força. Um 
vetor é representado por um segmento de reta 
orientado. 
 
O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, 
a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a 
horizontal, o sentido é dado pela seta. 
 
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Quando z = a+bi: 
 
1) Argumento de z é o ângulo 
2) Módulo de z é o comprimento 
 
O argumento geral de z, é ou ; 
O argumento principal é o valor de no intervalo
 ou 
 
A partir das relações trigonométricas
1
 obtêm-se: 
 
 
 
Portanto: 
Para o complexo z = a + bi 
 
 
A representação trigonométrica
2
 de um complexo z é 
 
 
Com o argumento principal 
 
 
Ou é 
 
 
Com o argumento geral 
 
Esta última expressão é importante para o cálculo das 
raízes de z. 
 
Da relação consegue-se o valor de 
 
Exemplos: 
 
1. Se z é um número real, o ponto P pertence à reta 
das abscissas (horizontal) e |z| = 1 
 
 
Isto é: 
 
z = 1 na forma trigonométrica é z = cos k360°_+ i 
sen k360°, com k inteiro. 
 
Isto quer dizer que existem muitas representações 
trigonométricas para z, correspondentes a giros dados 
em torno da origem. 
 
Neste caso, z = 1 pode ser representado por: 
 
z = cos 0_+ i sen 0 
z = cos 360°_+ i sen 360° 
z = cos 720°_+ i sen 720° 
z = cos 1080°_+ i sen 1080°2. Se z é um número imaginário, o ponto P pertence à 
reta das ordenadas (vertical) e |z| = 1 
 
Isto é: 
z = i na forma trigonométrica é: 
z = (cos (90°+k360°)_+ i sen (90° +k360°)) 
com k inteiro. 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, OP representa um vetor e pode ser 
identificado com um número complexo z. 
 
 
 
 
 
 
 
4. O complexo z = 1 + i é representado na figura 
 
abaixo com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então 
 
De uma forma geral 
 
onde k é qualquer número inteiro (positivo, negativo 
ou nulo) ou seja, o mesmo ângulo é obtido a partir de 
um número inteiro de voltas em torno da origem O. 
 
Cada volta corresponde a 360°. 
 
O módulo 
 
 
Esta forma corresponde à menor determinação para 
 
 
 
 
 
 
16 -– Colocar o número complexo z = 1 + i na forma 
trigonométrica. 
Exercícios Resolvidos 
 
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17– Escreva na forma trigonométrica z = - 2i 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 – Escreva na forma trigonométrica z = - 4 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i 
Determine x e y de modo que z1 +z2 = 0 
 
Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 
logo, é preciso que: 
 
2x+1 - y =0 e y+2 = 0 
 
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2 
 
20 - Determine o módulo e o argumento dos seguintes 
complexos: 
 
(A) 4+3i B) 2-2i (C) 3+i (D) 3 (E)2i (F) a+bi 
Solução. Aplicando a fórmula do módulo e 
identificando os valores de cosseno e seno, temos: 
(A) 
 
 
 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
 
(F) 
 
1.6.2 – Na Forma Algébrica 
 
 
Número complexo é um par ordenado de números 
reais (a, b). Assim, o conjunto dos números complexos 
é uma extensão do conjunto dos números reais. Todo 
 
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número complexo pode ser escrito na forma a + bi, 
chamada de forma algébrica ou forma normal, onde a 
é chamado de parte real e bi, de parte imaginária. 
 
As operações de adição, subtração, multiplicação e 
divisão estão bem definidas para o conjunto dos 
complexos, assim como para os números reais. 
 
Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c 
+ di. Vamos analisar como se dá cada uma das 
operações citadas para os elementos desse conjunto. 
 
1. Adição 
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
Observe que basta somar a parte real de um com a 
parte real do outro e proceder da mesma forma com a 
parte imaginária. 
Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, 
z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule: 
a) z1 + z2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 
10i 
b) z2 + z3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i 
 
2. Subtração 
A subtração é feita de forma análoga. Observe: 
 
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i 
Exemplo: 
 
a) (5 + 8i) – (1 + 2i) = (5 – 1) + (8 – 2)i = 4 + 6i 
 
b) (1 + 2i) – (2 – 3i) = (1 – 2) + [2 – (– 3)]i = – 1 + 5i 
3. Multiplicação 
Como sabemos, i2 = – 1. 
Logo, 
Z1.Z2=(a+bi).(c+di) = adi+cbi+bdi
2
=ac+adi+cbi-bd 
Agrupando os termos semelhantes, obtemos: 
Z1.Z2=(a+bi).(c+di) = (ac – bd) + (ad + bc) i 
Exemplo: 
 
a) (5+8i)∙(1+2i) = (5∙1-8∙2)+(5∙2+1∙8)i 
(5+8i)∙(1+2i) = (5-16) + (10+8)i = -11+18i 
 
b) (1+2i)∙(2-3i) = [1∙2 - 2∙(-3)] + [1∙(-3) + 2∙2]i 
(1+2i)∙(2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i 
 
4. Divisão 
Para realizar a divisão de dois números complexos 
precisamos introduzir o conceito de conjugado de um 
número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é 
z̅ = a - bi. Agora podemos definir a operação de 
divisão para números complexos. 
 
 
 
Exemplo: 
 a) 
Vamos fazer os cálculos do numerador e do 
denominador separadamente: 
(5 + 8i)(1 - 2i) = [5∙1 - 8(-2)] + [5∙(-2) + 1∙8]i = 21 - 2i 
Na multiplicação dos denominadores basta aplicar a 
seguinte propriedade: 
z ∙ z̅ = (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 
Assim, (1 + 2i)(1 - 2i) = 12 + 22 = 5 
Logo, 
 
b) 
 
1.6.3 – Representação no Plano 
 
Por volta do século XV, os matemáticos tinham um 
único pensamento: "O quadrado de um número 
positivo, bem como o de um número negativo, é 
positivo. Um número negativo não é quadrado de 
nenhum número, pois não existe raiz quadrada de um 
número negativo”. 
 
Raízes quadradas de números negativos continuavam 
aparecendo, e o que mais preocupava os matemáticos 
da época era que essas raízes, sendo desenvolvidas 
de acordo com as regras algébricas, forneciam 
resultados satisfatórios, que não podiam ser obtidos 
de outra forma. 
 
Foi através de estudos relacionados aos matemáticos 
Wessel, Argand e Gauss, que muitos resolveram 
associar os números a e b de um complexo a 
coordenadas de um ponto no plano, criando assim 
uma representação geométrica para um complexo. 
 
 
 
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A criação dos números complexos revolucionou, de 
certa forma, a Matemática, pois se criava mecanismos 
para obtenção de resultados envolvendo a raiz 
quadrada de um número negativo, até então um 
mistério. 
 
Os complexos são formados por uma parte real (x) e 
outra imaginária (y), assumindo a seguinte forma 
algébrica: z = x + yi. O número complexo pode ser 
representado no plano através de um ponto Q de 
coordenadas (x, y), sobre o eixo x marcamos a parte 
real e sobre o eixo y a parte imaginária de z. O ponto 
Q deve receber o nome de afixo ou imagem 
geométrica de z. 
 
 
 
Representando geometricamente um número complexo 
 
 
a) z = 1 + i, A(1,1) 
b) z = 3 + 2i, B(3,2) 
c) z = -2 + 4i, C(-2,4) 
d) z = -3 -4i, D(-3,-4) 
e) z = 2 + 2i, E(2,2) 
f) z = 4i, F(0,4) 
g) z = -5, G(-5,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 - Represente os seguintes números no plano: 
(A) P1 = 2+3i (B) P2 = 4-i (C) P3 = -3-4i 
(D) P4 = -1+2i (E) P5 = -2i 
Solução. Representando cada número complexo 
como pontos no plano Argand-Gauss, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.4 - Igualdade de números complexos 
 
Dados dois complexos z = a + i b e w = c + i d tem-se: 
Na forma trigonométrica com argumento geral, sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a igualdade exige que r = r’ mas não 
exige que , mas, sim, que os vetores coincidam, na 
mesma direção, módulo e sentido. 
 
1.6.5 - Simétrico de um Número Complexo 
 
O simétrico do número complexo z = a + ib é o 
número -z = - (a + ib), ou seja -z = (-a) + i(-b). 
 
Corresponde a uma rotação de 180º do afixo de z em 
torno da origem. 
 
Em notação trigonométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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1.6.6 - Conjugado de um número complexo 
 
O conjugado do complexo z = a + ib é o número 
complexo denotado por z = a - ib. 
 
 
 
 
 
Corresponde a uma reflexão do afixo de z na reta das 
abcissas. 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
1.6.7 - Inverso de um número complexo 
 
Já vimos que, sendo o seu inverso 
 
é 
 
onde: 
 
 
Observe que: 
 
1) o argumento de z -1 é o mesmo argumento de: 
 
 
2) o módulo é o inverso do módulo de z, pois como 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
1.6.8 - Produto de complexos 
 
Seja 
 
Vejamos a interpretação geométrica do produto de 
dois complexos, 
 
Caso 1: O produto de um complexo z por um número 
real K 
 
 
 
Se K > 1, então esta operação corresponde a uma 
ampliação vetor z . 
 
Se 0 < K < 1, esta operação corresponde a uma 
contração do vetor z. 
 
Se K < 0, esta operação corresponde a uma 
ampliação ou contração, seguida de uma rotação de 
180º, pois z passará para a semirreta oposta, que 
contém (-z). 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Caso 2: O produto de um complexo z = a + bi por um 
imaginário puro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
É preciso, neste momento, relembrar a expressão 
trigonométrica para seno e cosseno da soma de arcos 
(ou ângulos)
3
: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
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Voltando: 
 
O produto do complexo z por um imaginário puro 
corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, 
seguido de uma rotação de 90º no sentido anti-horário 
em torno da origem do vetor obtido. Estas operações 
podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 3: O produto de um complexo genérico z por 
outro complexo w 
 
 
 
 
 
 
 
 
O produto do complexo z por outro complexo w 
corresponde a u seguido de uma rotação de ângulo 
igual ao argumento de w (no sentido anti-horário em 
torno da origem do vetor obtido. 
 
 
 
 
Observe, na figura a seguir: o vetor tem módulo r e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao ser multiplicado por outro vetor com ângulo ele 
gira, sofre uma rotação de ângulo : 
 
 
 
 
 
 
 
22 – Ache o produto dos números complexos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.9 - Potenciação com expoente inteiro 
 
Vamos nos restringir à potências com expoente 
inteiro, embora, nos complexos seja possível definir 
potência com base e expoente complexo. 
 
Chamamos potenciação a uma potência de expoente 
inteiro. 
 
Tem-se: zn = z . z . ... . z (n vezes), n natural. 
 
Como o produto de dois complexos corresponde à 
soma dos argumentos, temos: 
 
 
 
Demonstra-se, por indução que: 
 
 
 
 
Esta é a chamada Fórmula de Moivre. 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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1.6.10 - Radiciação 
 
Definição: Dado z, complexo, chamamos raiz 
enésima de z, a todo w complexo tal que w
n
 = z . 
Exemplo: 
 
1. 1. 2, -2, 2i, -2i são as raízes quartas do número 
complexo 
 
 
 
2. i, -i são as raízes quadradas do número complexo –
 
 
Perguntamos: quantas são as raízes enésimas de 
um número complexo e como podemos determiná-las 
? 
 
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, a equação 
complexa wn = z com z e w complexos, tem n raízes. 
 
Isto significa que a raiz enésima de um complexo, tem 
n raízes. 
 
Sendo as raízes índice n de z 
são dadas pela fórmula de Moivre. 
 
Na apresentação da Fórmula de Moivre para 
Radiciação, você encontra a demonstração: 
 
z tem n raízes diferentes, obtidas pela fórmula de 
Moivre para a radiciação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 - Os módulos de z1 = x + 20
1/2
i e z2= (x-2) + 6i são 
iguais, qual o valor de x? 
 
Então, |z1= (x
2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)
2 + 36}1/2 
 
Em decorrência, 
x
2
 + 20 = x
2
 - 4x + 4 + 36 
20 = -4x + 40 
4x = 20, logo x=5 
 
24 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = 
(1+i) / i 
 
Efetuando-se a divisão, temos: 
 
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 – i 
 
Para a forma trigonométrica, temos que: 
 
r = (1 + 1)
1/2
 = 2
1/2
 
sen t = -1/2
1/2
 = - 2
1/2
 / 2 
cos t = 1 / 2
1/2
 = 2
1/2
 / 2 
 
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que 
t = 315 
 
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: 
 
z = r(cos t + i sen t), temos que: 
z = 2
1/2
 ( cos 315 + i sen 315 ) 
 
25 - Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i. 
 
Resolução 
 
Devemos encontrar um número complexo z3 = a + bi 
 
tal que . 
 
 
 
Assim: = a + bi 
 
 
2 – 3i = (a + bi) · (1 + 2i) 
2 – 3i = a + 2ai + bi + 2bi
2
 
2 – 3i = a + 2ai +
 
bi – 2b 
2 – 3i = (a – 2b) +
 
(2a + b)i 
 
Substituindo em a – 2b = 2, temos: 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
Então 
 
 
 
26 - Escrevendo o complexo 
31
1
i
i
z


 , calcule os 
valores do módulo e do argumento. 
 
Solução. Escrevendo o numerador e o denominador 
na forma complexa e dividindo, temos: 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Logo,
 
.1.7 SEQUÊNCIAS 
1.7.1 - Progressão aritmética 
 
Chamamos de progressão aritmética, ou 
simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada 
número, somado a um número fixo, resulta no próximo 
número da seqüência. O número fixo é chamado de 
razão da progressão e os números da seqüência são 
chamados de termos da progressão. 
 
Observe os exemplos: 
 
50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10. 
3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2. 
-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3. 
156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4. 
100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20. 
6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 
0. 
 
Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o 
segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA. 
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 
 
Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o 
penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA. 
145, 159, 173, 187, 201 
 
Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. 
 
Escreva todos os termos dessa PA. 32, 29, 26, 23, 20, 
17, 14, 11 
 
*Símbolos usados nas progressões 
 
Em qualquer seqüência, costumamos indicar o 
primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o 
terceiro termo por a3, e assim por diante. 
Generalizando, o termo da seqüência que está na 
posição n é indicado por an. 
 
Veja alguns exemplos 
 
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e 
a4 = 32 
Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se 
a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a 
posição que o termo ocupa na seqüência. 
 
No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o 
símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º 
posição. No caso o valor do quinto termo é 7. 
 
A razão de uma PA é indicada por r, pois ela 
representa a diferença entre qualquer termo da PA e 
o termo anterior. 
 
Observe os exemplos: 
 
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, 
pois: 
 
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7 
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7 
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7 
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7 
 
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois: 
 
a2 – a1 = 15 – 20 = -5 
a3 – a2 = 10 – 15 = -5 
a4 – a3 = 5 – 10 = -5 
 
*Classificação das progressões aritméticas 
 
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do 
segundo, é maior que o termo que o antecede. Para 
que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua 
razão seja positiva. 
 
Exemplo: 
 
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua 
razão é positiva, r = 4 
 
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do 
segundo, é menor que o termo que o antecede. Para 
que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua 
razão seja negativa. 
 
Exemplo: 
 
(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que 
sua razão é negativa, r = -10. Uma PA é constante 
quando todos os seus termos são iguais. Para que 
isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão 
seja igual a zero. 
Exemplo: 
 
 
 
 
27 - Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 
11) seja PA. 
 
 
 
 
Exercícios Resolvido 
 
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5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x 
5x – 3 – x = 2x +11 – 5x 
5x – x – 2x + 5x = 11 + 3 
7x = 14 
x = 14/7 = 2 
 
Fórmula do termo geral da PA 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
28 - Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...) 
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ? 
 
a61 = 9 + (61 – 1).4 
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249 
 
29 - Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que 
a1 = 2 e a8 = 3 
 
an = a1 + ( n – 1 ).r 
a8 = a1 + (8 – 1 ).r 
a8 = a1 + 7r 
 
3 = 2 + 7r 
7r = 3 – 2 
7r = 1 
r = 1/7 
 
30 - Determinar o número de termos da 
PA (4,7,10,...,136) 
 
a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3 
an = a1 + (n – 1).r 
136 = 4 + (n – 1).3 
136 = 4 + 3n – 3 
3n = 136 – 4 + 3 
3n = 135 
n = 135/3 = 45 termos 
 
31 - Determinar a razão da PA tal que: 
a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18 
 
a4 = a1 + (4 – 1).r a3 = a1 + (3 – 1).r 
a5 = a1 + 4r 
a4 = a1 + 3r a3 = a1 + 2r 
 
a1 + a1 + 3r = 12 
a1 + 2r + a1 + 4r = 18 
2a1 + 3r = 12 
2a1 + 6r = 18 
3r = 6 
r = 6/3 = 2 
 
32 - Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 
e 25, nessa ordem . 
 
Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 
25, nessa ordem, significadeterminar a PA de 
primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25. 
(1,_,_,_,_,_,25) 
a7 = a1 + 6r 
25 = 1 + 6r 
6r = 24 
r = 24/6 
r = 4 
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) 
 
Representação genérica de uma PA 
 
PA de três termos: 
(x, x + r, x + 2r) 
ou 
(x – r, x , x + r), em que a razão é r 
 
PA de quatro termos: 
 
(x, x + r, x + 2r, x + 3r) 
ou 
(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r 
 
*Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma 
PA 
 
Em uma pequena escola do principado de 
Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor 
Buttner propôs a seus alunos que somassem os 
números naturais de 1 a 100. 
 
Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos 
de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, 
mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí. 
 “. 
O professor, assombrado, constatou que o resultado 
estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos 
maiores matemáticos de todos os tempos: Karl 
Friedrich Gauss (1777-1855). 
 
O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o 
menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, 
com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo 
número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; 
também a soma do terceiro número, 3 , com o 
antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a 
soma de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual a soma dos extremos. 
 
 
1 2 3 4..................................97 98 99 100 
 
4 + 97 = 101 
3 + 98 = 101 
2 + 99 = 101 
1 + 100 = 101 
 
Como são possíveis cinquenta somas iguais a 101, 
Gauss concluiu que: 
 
1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 
= 50.101 = 5050 
 
Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da 
soma dos n primeiros termos de uma progressão 
aritmética qualquer: 
 
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Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 
9, 14, 19,...). 
 
a30 = a1 + (30 – 1).r 
a30 = a1 + 29r 
a30 = 4 + 29.5 = 149 
 
Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 
18, 26,...). 
 
an = 2 + (n – 1).8 
an = 2 + 8n – 8 
an = 8n – 6 
 
Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 
134). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos 
entre 100 e 300. 
 
Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...). 
 
O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 
300 é o 105. 
 
O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 
é o 294. 
 
294 = 105 + (n – 1).7 
294 = 105 + 7n – 7 
7n = 294 – 105 + 7 
7n = 196 
n = 196/7 = 28 
 
 1.7.2 - Progressão geométrica 
 
Denominamos de progressão geométrica, ou 
simplesmente PG, a toda seqüência de números não 
nulos em que cada um deles, multiplicado por um 
número fixo, resulta no próximo número da seqüência. 
 
Esse número fixo é chamado de razão da progressão 
e os números da seqüência recebem o nome de 
termos da progressão. 
 
Observe estes exemplos: 
 
 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 
termos, com razão 2. 
 5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3. 
 3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com 
razão 1/10 
 Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo 
é 12. Escreva os termos dessa PG. 
 2, 12, 72, 432, 2592 
 Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o 
penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG. 
 4,20,100,500 
 Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 
10. Qual o 6º termo dessa PG. 
 3,30,300,3000,30000,300000 
 a6 = 300000 
 Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a 
razão é -3. Escreva os termos dessa PG. 
 -90,270,-810,2430,-7290 
 Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. 
Qual a razão dessa PG. 
 q = 30/180 = 3/18 = 1/6 
 A razão é 1/6 
 
Fórmula do termo geral de uma progressão 
geométrica. 
 
 
 
 
 
33 - Determinar o 15º termo da progressão geométrica 
(256, 128, 64,...). 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 - Determinar a razão da PG tal que: 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 - Determinar o número de termos da PG (128, 64, 
32,......, 1/256). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 - Determinar a razão da PG tal que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação genérica de uma PG: 
 
a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é 
q; (x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0. 
 
b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com 
razão q;(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se 
q ≠ 0. 
 
37 - Determinar a PG de três termos, sabendo que o 
produto desses termos é 8 e que a soma do segundo 
com o terceiro termo é 10. 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PG: 
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG 
(a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos: 
 
Se q = 1, então Sn = n.a1 
 
 
38 - Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG 
(3, 6, 12,....). 
 
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01 - Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais 
que e 
 
Se o conjunto é igual a: 
 
(A) {1, 4, 5} 
(B) {0, 2, 3, 5} 
(C) {1, 2, 3, 4} 
(D) {1, 2, 3, 4, 5} 
(E) {0, 2, 4, 5, 6} 
 
02 (UFRN) - Se A, B e C são conjuntos tais que: 
 
 e então, C é igual 
 
(A) {4,5} 
(B) {6, 7} 
(C) {4, 5, 6} 
(D) {5, 6, 7} 
(E) {4, 5, 6, 7} 
 
03 (U.UBERABA) - No diagrama, a parte hachurada 
representa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
04 - Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 
usam óculos e 8 usam relógio. O número de 
estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e 
relógio é? 
 
(A) exatamente 6. 
(B) exatamente 2. 
(C) no mínimo 6. 
(D) no máximo 5. 
(E) no mínimo 4. 
 
05 (PUC-SP) - Dentre os inscritos em um concurso 
público, 60% são homens e 40% são mulheres. Já 
têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. 
Qual a porcentagem dos candidatos que já tem 
emprego? 
 
(A) 60% 
(B) 40% 
(C) 30% 
(D) 24% 
(E) 12% 
 
06 (CESESP) - Numa universidade são lidos apenas 
dois jornais X e Y, 80% dos alunos leem o jornal X e 
60 % leem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é 
leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a 
alternativa que corresponde ao percentual de alunos 
que leem ambos. 
 
(A) 80% 
(B) 14% 
(C) 40% 
(D) 60% 
(E) 48% 
 
07 (USP) - Depois de n dias de férias, um estudante 
observa que: 
 
A – Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
B – Quando chove de manhã não chove à tarde; 
C – Houve 5 tardes sem chuva; 
D - Houve 6 manhãs sem chuva. 
 
Então n é igual a: 
 
(A) 7 
(B) 9 
(C) 10 
(D) 11 
(E) 12 
 
08 (CESGRANRIO) - Ordenando os números 
racionais , e , obtemos: 
 
(A) p < r < q 
(B) p < q < r 
(C) r < p < q 
(D) q < r < p 
(E) r < q < p 
 
09 (UFJF) - Na figura abaixo estão representados 
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
Aposição do número real x.y é: 
 
(A) à esquerda do zero 
(B) entre zero e x 
(C) entre x e y 
(D) entre y e 1 
(E) à direita de 1 
 
10 (PUCCAMP) - Numa escola de música, 65% das 
pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes 
Exercícios Propostos 
 
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estudam violão. Sabe-se que 60% das pessoas 
matriculadas são do sexo masculino e que as do sexo 
feminino que estudam violão são apenas 5% do total. 
Nessas condições, escolhendo-se uma matrícula ao 
acaso qual é a probabilidade de ser a de uma pessoa 
do sexo masculino e estudante de teclado? 
 
(A) 2/5 
(B) 3/10 
(C) ¼ 
(D) 1/5 
(E) 1/10 
 
11 - Uma indústria lançou um novo modelo de carro 
que não teve a repercussão esperada. Os técnicos 
identificaram 3 possíveis problemas: design pouco 
inovador (D), acabamento pouco luxuoso (A) e o preço 
mais elevado em relação aos modelos similares do 
mercado (P). Feita a pesquisa, obtiveram o resultado: 
 
 
 
 
Qual conclusão é verdadeira: 
 
(A) Como a quantidadede pessoas que não 
encontraram problemas é maior do que a daquelas 
que encontraram os 3 problemas, a maioria dos 
entrevistados gostou do modelo. 
(B) Mais da metade dos pesquisados achou o preço 
elevado. 
(C) Foram entrevistadas mais de 250 pessoas. 
(D) Necessariamente, quem encontrou problema em A 
também encontrou problema em D. 
 
12 (PUCMG) - Em uma empresa, 60% dos 
funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e 
todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas 
revistas. O percentual de funcionários que lêem as 
duas revistas é: 
 
(A) 20 % 
(B) 40 % 
(C) 60 % 
(D) 75 % 
(E) 140 % 
 
13 (UNIRIO) - Tendo sido feito o levantamento 
estatístico dos resultados do CENSO 
POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se, sobre 
a população, que: 
 
I - 44% têm idade superior a 30 anos; 
II - 68% são homens; 
III - 37% são homens com mais de 30 anos; 
IV - 25% são homens solteiros; 
V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; 
VI - 45% são indivíduos solteiros; 
VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. 
 
Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que 
a porcentagem da população desta cidade que 
representa as mulheres casadas com idade igual ou 
inferior a 30 anos é de: 
 
(A) 6% 
(B) 7% 
(C) 8% 
(D) 9% 
(E) 10% 
 
14 (UNIRIO) - Um engenheiro, ao fazer o 
levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, 
obteve os seguintes dados: 
 
- 28% dos funcionários são mulheres; 
- 1/6 dos homens são menores de idade; 
- 85% dos funcionários são maiores de idade. 
 
Qual é a porcentagem dos menores de idade que são 
mulheres? 
 
(A) 30% 
(B) 28% 
(C) 25% 
(D) 23% 
(E) 20% 
 
15 (UERJ) - um posto de saúde foram atendidas, em 
determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, 
apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre 
ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos 
dados registrados nas fichas de atendimento dessas 
pessoas, foi elaborada a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que 
apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. 
Pode-se concluir que X é igual a: 
 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
 
16 UFSM) - Numa prova de vestibular, ao qual 
concorreram 20000 candidatos, uma questão 
 
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apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato 
devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao 
analisar os resultados da prova, observou-se que 
10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 
6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C. 
 
Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram 
V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B e C; 
500, nas afirmativas A e C; 200, nas afirmativas A, B e 
C. Quantos candidatos consideraram falsas as três 
afirmativas? 
 
(A) 360 
(B) 490 
(C) 720 
(D) 810 
(E) 1080 
 
17 (UERJ) - Três candidatos, A, B e C, concorrem a 
um mesmo cargo público de uma determinada 
comunidade. 
 
A tabela a seguir resume o resultado de um 
levantamento sobre a intenção de voto dos eleitores 
dessa comunidade. 
 
 
Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a 
percentagem de eleitores consultados que não 
votariam no candidato B é: 
 
(A) 66,0% 
(B) 70,0% 
(C) 94,5% 
(D) 97,2% 
 
18 (UFG) - A afirmação "Todo jovem que gosta de 
matemática adora esportes e festas" pode ser 
representada segundo o diagrama: 
 
M = { jovens que gostam de matemática }; 
E = { jovens que adoram esportes }; 
F = { jovens que adoram festas } 
 
 
19 (UFRN) - Uma pesquisa de opinião, realizada num 
bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% 
dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta 
Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não 
iam à praia. De acordo com essa pesquisa, o 
percentual dos entrevistados que frequentavam 
ambas as praias era de: 
 
(A) 20% 
(B) 35% 
(C) 40% 
(D) 25% 
 
20 (EN) - Considere os conjuntos A = {x} e B = {x, {A}} 
e as proposições: 
 
I. {A}  B 
II. {x} A
III. AB
IV. B  A 
V. {x, A}  B 
 
As proposições falsas são: 
(A) I,III e V 
(B) II, IV e V 
(C) II, III, IV e V 
(D) I, III, IV e V 
(E) I, III e IV 
 
21 (CN) - Considere o diagrama onde A, B, C e U são 
conjuntos. A região hachuriada pode ser representada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) (A B)  (A C) - (B C) 
(B) (A B)  (A C) - (B C) 
(C) (A B)  (A C)  (B C) 
(D) (A B) - (A C)  ( B C) 
(E) (A - B)  (A - C)  (B - C) 
 
22 (PUC) - Se A =  e B = {}, então: 
(A) A 
(B) A B = 
(C) A = B 
(D) A B = B 
(E) B  A 
 
23 (CN) - Numa cidade constatou-se que as famílias 
que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-
se que: 40% consomem arroz, 30% consomem 
macarrão, 15% consomem feijão e arroz, 20% 
consomem feijão e macarrão, 60% consomem feijão. 
 
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O percentual correspondente às famílias que não 
consomem esses três produtos, é: 
(A) 10% (B) 3% (C) 15% (D) 5% (E) 12% 
24 - Antes da realização de uma campanha de 
conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de 
Saúde de um município fez algumas observações de 
campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 
eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham 
esses dois vícios. Após a campanha, o número de 
pessoas que apresentaram, pelo menos, um dos dois 
vícios sofreu uma redução de 20%. Com base nessas 
informações, com essa redução, qual o número de 
pessoas sem qualquer um desses vícios? 
 
(A) 102 (B) 104 (C) 106 (D) 108 (E) 110 
 
25 - Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem 
pai professor, 130 alunos não tem a mãe professora e 
5 alunos tem pai e mãe professores. Qual é o número 
de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos 
possuem pelo menos um dos pais professor e que não 
existem alunos irmãos. 
 
(A) 125 (B)135 (C) 145 (D) 155 (E) 165 
26 - Seja R o conjunto dos números reais, N o 
conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos 
números racionais. Qual a afirmativa falsa? 
 
(A) RNQ  
(B) RNQ  
(C) RNQ  
(D) QNQ  
(E) }{RQ  
 
27 (PUC) - Um número racional qualquer: 
 
(A) tem sempre um numero finito de ordens (casas) 
decimais. 
(B) tem sempre um numero infinito de ordens (casas) 
decimais. 
(C) não pode expressar-se em forma decimal exata. 
(D) nunca se expressa em forma de uma decimal 
inexata. 
(E) nenhuma das anteriores. 
 
28 - Resolva: 
(A) 
15
1
33
)30(...333,08
3
5,1
2
1
13
1

 
 
29 - Desenvolva utilizando produtos notáveis: 
(A)  213  (B)  213  
30 - Escreva os intervalos reais, utilizando colchetes, 
formados pelos números. 
(A) maiores que 3 
(B) menores que – 1 
(C) maiores ou iguais a 
2
1
 
31 - Represente, na reta real, os intervalos. 
(A) [2, 8] 
(B) [– 6, – 1[ 
(C) {x є IR / 2 < x < 5} 
(D) c) {x є IR / 3 < x  7} 
(E) [0, +∞[ 
(F) {x є IR / x ≥ – 1} 
(G) {x є IR / – 2  x  2} 
 
32 - Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8,12,14}; 
B = {5,10,15, 20, 25} e C = {1, 2, 3,18, 20} e ∅ o 
conjunto vazio. É correto afirmar que: 
 
(A) B∩C = ∅ 
(B) A - C = {-6,1, 2, 4, 5} 
(C) A∩C = {1, 2, 3, 4, 8,12,14, 20 } 
(D) (A - C) ∩ (B - C) = ∅ 
(E) A∪C = {3, 6,11, 20, 34 } 
 
33 - Da operação (A – B) ∪ (B – A): 
 
 
 
 
 
(A) {2} 
(B) Ø 
(C) {1, 4} 
(D) {1, 4, 0} 
(E) Nenhuma das anteriores 
 
34 - Dado que A = {2,4,6} e B = {2,3,5}. Obter n(A⋃B), 
ou seja, o número de elementos da união entre A e B. 
 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
35 - Uma escola realizou uma pesquisa sobre os 
hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados 
dessa pesquisa foram: 
 
• 82% do total de entrevistados gostam