APOSTILA DE MATEMÁTICA_CURSO SENA_NÍVEL MÉDIO

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Katia 
 
[Escolha a data] 
O caminho mais curto entre você e a 
Carreira Militar 
AFA – EEAer – ITA – EsPCEx 
EsSA – IME – EAM – CFN 
E.NAVAL – EFOMM – ASOM/N 
CAP – EAGS – CIAAR – EsFCEx 
POLÍCIAS E CORPO DE BOMBEIRO 
 
 
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S U M Á R I O 
 
ASSUNTOS PÁGINA 
 
Apresentação 02 
 
ÁLGEBRA 
Teoria dos Conjuntos 04 
Polinômios 39 
Equações Algébricas 46 
Análise Combinatória e Probabilidade 55 
Matrizes e Determinantes 70 
Funções 88 
Função Afim e Quadrática 95 
Função Exponencial 108 
Função Logaritmica 115 
Estatística Descritiva 
Questões de Concursos Anteriores (EEAer/EsPCEx/EsSA/ AFA/EFOMM/E. NAVAL/ITA/IME) 135 
 
GEOMETRIA 
Geometria Plana 160 
Geometria Espacial 176 
Geometria Analítica 189 
Trigonometria 199 
Questões de Concursos Anteriores (EEAer/EsPCEx/EsSA/ AFA/EFOMM/E. NAVAL/ITA/IME) 
 
GABARITO 213 
 
 
 
 
SENA Curso e Concursos 
A maior Organização de Ensino Preparatório aos 
Concursos Públicos Militares 
Brasília/DF 
 
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DICAS SOBRE COMO ESTUDAR MATEMÁTICA 
PARA CONCURSOS PÚBLICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quem deseja conquistar um espaço no mercado 
profissional, através de concursos públicos, sejam 
eles de âmbito Municipal, Estadual, Federal ou Militar, 
antes deve ter a consciência de que o empenho, a 
dedicação e a real vontade de conquistar o que 
deseja, serão atitudes que abrirão frente para que o 
objetivo seja alcançado. 
Ao resolverem se preparar para um concurso público, 
muitas pessoas se deparam com dificuldades em 
estudar Matemática. Mesmo aqueles estudantes que 
conseguiram excelentes notas durante o ensino 
fundamental e médio, além de outros cursos, 
encontram algum tipo de dificuldade quando se 
deparam com determinadas questões de matemática 
em concursos públicos. Esse problema está 
relacionado principalmente às deficiências do ensino 
escolar, uma vez que os conteúdos do ensino 
fundamental e médio são fundamentais para a 
compreensão de questões mais elaboradas. 
Isso acontece exatamente porque as bancas querem 
aferir do candidato, não apenas o conhecimento 
básico do assunto, como acontece nos exames 
escolares, mas a capacidade de raciocínio, controle 
emocional, atenção, senso de orientação diante de 
situações difíceis e estressantes, entre outros. Por 
esse motivo, utilizam diversas estratégias para forçar 
o candidato (mesmo aquele mais preparado) a ter 
dúvida sobre determinada questão, como as famosas 
“pegadinhas”, por exemplo. 
Resumindo: as provas de concursos públicos visam 
selecionar os melhores servidores para ocupar 
determinados cargos públicos, pois para o órgão 
contratante é prova suficiente que os aprovados em 
um teste de alto grau de dificuldade (entre milhares de 
candidatos) são pessoas disciplinadas, organizadas, 
determinadas em alcançar seus objetivos e, portanto, 
capacitadas para exercer todas as funções que o 
cargo exigir. 
Voltando ao estudo da matemática, com um bom 
planejamento é possível conquistar o aprendizado 
necessário para a participação nas provas e a chance 
da aprovação. 
 
Segundo o Blogueiro Charles Dias, um dos piores 
problemas que um concurseiro pode ter, quando está 
se preparando, é começar a semana sem saber direito 
o que estudar ao longo dos próximos cinco dias. Isso 
pode acontecer tanto com quem tem concurso com 
data marcada, bem como com quem está estudando 
sem edital na mão. De qualquer forma, isso é culpa da 
nossa velha conhecida falta de planejamento que é 
essencial para o concurseiro que se dispõe a estudar 
sério, uma vez que sem esse guia do quê, quando e 
como iremos estudar, tudo fica muito mais difícil sem 
contar o tempo que se perde estudando o que não se 
precisa estudar enquanto o que deveria receber muita 
atenção é deixado de lado. 
. 
Crie seu projeto de Administração. 
 
Aqui apresentaremos algumas dicas que poderão lhe 
ajudar a criar um programa de estudo. 
 
1. Sempre leia o programa do concurso em questão, 
para saber que parte da matemática você tem de 
estudar. Feito isso, organize-se e crie seu 
cronograma de estudo de acordo com os 
conteúdos exigidos. 
2. Faça um levantamento dos assuntos básicos que 
você precisa saber para começar a estudar. Por 
exemplo, estudar geometria requer conhecimento 
de como resolver raízes quadradas e 
potencialização. 
3. Crie um quadro com os dias da semana e os 
turnos de estudo dispondo as matérias que irá 
estudar em cada bloco de estudo. Pronto, você 
já tem um planejamento básico para guiá-lo ao 
longo da semana, que não somente poderá 
como deverá ser refinado ao longo dos dias de 
acordo como você avançará nos estudos. 
4. Menos teoria e mais prática. Não que o estudo da 
teoria e suas regras não seja necessário, mas ao 
aprendê-las exercite bastante. Quanto mais 
exercícios você fizer maior será a memorização do 
desenvolvimento das questões. Procure, também, 
meios de memorizar as fórmulas de resolução de 
exercícios. 
5. Estudar através de questões resolvidas e 
comentadas também é muito importante para 
memorizar e estudar, não apenas por 
apresentarem a resposta correta para o comando 
da questão, como também, explica como se dá a 
resolução, ensinando para o concurseiro o 
processo de desenvolvimento na resolução dos 
exercícios. Nesta apostila você terá acesso a 
vários exercícios resolvidos sobre todos os 
assuntos exigidos. 
6. Como diz um velho ditado popular. “Sem treino 
não há talento que faça milagre.“ Portanto treine 
bastante. Ao final da apostila você terá acesso ao 
gabrito das questões propostas. Só veja o gabarito 
quando resolver as questões para verificar seu 
nível de aprendizado. 
 
Boa Sorte! 
 
 
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I - TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
1.1 – INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS 
 
Formulada no fim do século XIX pelo matemático russo 
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, a Teoria dos 
Conjuntos, fala sobre Conjunto que é um conceito que não 
podem ser definido, mas, pode sim, entender-se 
como uma lista, agrupamentos de objetos, símbolos que 
sejam bem definidos. Assim pense em conjunto como uma 
coleção de objetos. 
 
 
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns 
conceitos primitivos, que devem ser entendidos e 
aceitos sem definição. Para um estudo mais 
aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se 
ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set 
Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para 
o português sob o título (nada ingênuo de): 
Teoria Ingênua dos Conjuntos. 
Estudando os Conjuntos 
Ao obter coleções de elementos classificados a partir 
de certa característica, estamos formando conjuntos. 
Os animais vertebrados, por exemplo, podem ser 
divididos em cinco classes: peixes, répteis, anfíbios, 
mamíferos e aves. Cada uma dessas classes de 
animais forma um conjunto. 
 
Na matemática, a ideia de conjunto é fundamental e 
está presente em diversos outros conceitos. 
Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de 
objetos chamados elementos e que cada elemento é 
um dos componentes do conjunto. 
 
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos 
uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os 
elementos por letras minúsculas. Para representação 
de um conjunto, utilizaremos uma das três formas 
seguintes: 
 
1. Listagem dos elementos: Nesta representação, 
todos os elementos do conjunto são apresentados 
numa lista, envolvidos por um par de chaves e 
separados por ponto e vírgula ou por vírgula. Ex: 
Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8} 
2. Propriedade doselementos: Quando, pela 
quantidade, não for conveniente escrever todos os 
elementos que formam o conjunto, o descreveremos 
por uma propriedade possuída por todos os seus 
elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par menor 
que 9 } Lê-se: O conjunto A é formado pelos 
elementos x, tal que x é um algarismo par menor que 
9. 
3. Diagrama de Euler – Venn: Representamos o 
conjunto por um recinto plano limitado por uma curva 
fechada. Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.1- Relação de Pertinência 
 
A relação de pertinência indica se um determinado 
elemento pertence ou não a um determinado 
conjunto. 
 
Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim: 
 
SIMBOLOGIA INTERPRETAÇÃO 
 
 
O elemento 2 pertence ao conjunto A 
 
 
 
O elemento 3 não pertence ao conjunto A 
 
 
Quando fazemos uso da relação de pertinência, 
estamos, necessariamente, relacionando um elemento 
a um conjunto, nesta ordem. 
 
“elemento” “conjunto” 
Ou 
“elemento” “conjunto 
 
Observação: Um elemento pertence a um conjunto se 
ele é “visível” ou listado no conjunto. 
 
1.1.2 - Relação de Inclusão 
 
A relação de inclusão indica se um determinado 
conjunto está contido ou não em um outro conjunto. 
 
Se todos os elementos de um conjunto pertencem a 
outro, então o primeiro conjunto está contido no 
segundo. Basta um único elemento do primeiro 
conjunto não pertencer ao segundo para que o 
primeiro conjunto não esteja contido no segundo. 
 
 
SIMBOLOGIA INTERPRETAÇÃO 
 
O conjunto A está contido no conjunto B 
 
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O conjunto D não esta contido no 
conjunto E 
 
 
O conjunto B contém o conjunto A 
 
O conjunto E não contém o conjunto D 
 
Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, 
necessariamente, relacionando um conjunto a outro 
conjunto. 
 
 
 
Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos 
que A é um subconjunto de B. 
 
1.1.3 - Definições Especiais de Conjuntos 
 
Conjunto Vazio - é o conjunto que não possui 
elementos. Para representarmos o conjunto vazio 
usaremos os símbolos: { } ou . 
 
Atenção: Quando os símbolos { } ou , aparecerem 
listados ou visíveis, dentro de um conjunto, o conjunto 
vazio deverá ser tratado como elemento desse 
conjunto especificado. 
 
Ex. : Seja o conjunto A={ ; 1; 2; 3}, é correto afirmar 
para o conjunto A listado, que A , pois é um 
elemento do conjunto A. 
 
Também sempre será verdade que: 
 
1. A para qualquer que seja o conjunto A. 
2. A A para qualquer que seja o conjunto A. 
 
Conjunto Unitário - É o conjunto que possui apenas 
um elemento. 
 
Conjunto Universo - É um conjunto que contém 
todos os elementos do contexto no qual estamos 
trabalhando e também contém todos os conjuntos 
desse contexto. O conjunto universo é representado 
por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o 
conjunto universo. 
 
1.1.4 – Subconjuntos 
 
O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado 
por P(A), é o conjunto formado por todos os 
subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das 
partes é o conjunto dos subconjuntos. 
 
Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de 
um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o próprio 
conjunto. Ex.: Seja X = {a, e, i} , encontre P( A ). 
1.1.5 - Numero de elementos do conjunto das 
partes 
 
Para indicarmos o número de elementos de um 
conjunto A, usaremos a notação n(A). E o número de 
elementos do conjunto das partes será indicado por 
n[P(A)]. 
 
Daí : 
 
Assim, um conjunto com 4 elementos, terá 2
4 
elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o 
conjunto A terá no total 16 subconjuntos. 
 
1.1.6 - Igualdade de Conjuntos 
 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam 
os mesmos elementos, em qualquer ordem, sendo 
que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão 
considerados uma única vez. Daí, podemos afirmar 
que é verdadeira a igualdade dada por: A= { a; b; c} = 
{ c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c} 
 
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica 
definida como: 
 
 
 
1.2 – PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS 
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e 
B, a reunião de A e B, denotada por A B e a 
interseção de A e B, denotada por A B, ainda são 
conjuntos no universo. 
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se 
que: A A = A e A A = A 
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, 
tem-se que: 
A A B, B A B, A B A, A B B 
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A e B, tem-se que: 
A B equivale a A B = B 
 
A B equivale a A B = A 
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B 
e C, tem-se que: 
A (B C) = (A B) C 
 
A (B C) = (A B) C 
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e 
B, tem-se que: 
 
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A B = B A 
A B = B A 
Elemento neutro para a reunião: O conjunto 
vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de 
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A Ø = A 
Elemento "nulo" para a interseção: A interseção 
do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, 
fornece o próprio conjunto vazio. A Ø = Ø 
Elemento neutro para a interseção: O conjunto 
universo U é o elemento neutro para a interseção de 
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A U = A 
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B 
e C, tem-se que: 
A (B C ) = (A B) (A C) 
 
A (B C) = (A B) (A C) 
Os gráficos abaixo mostram a distributividade. 
. 
 
 
 
 
 
1.3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1.3.1 – Reunião de Conjuntos 
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos 
os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao 
conjunto B. 
A B = { x: x A ou x B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então: 
A B={a,e,i,o,3,4}. 
1.3.2 – Interseção de Conjuntos 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao 
conjunto B. 
A B = { x: x A e x B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então: 
A B=Ø 
 
 
 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o 
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos 
são disjuntos. 
1.3.3 – Diferença de Conjuntos 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
e não pertencem ao conjunto B. 
A-B = {x: x A e x B} 
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.4 – Conjunto Complementar 
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, 
denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A 
e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto 
B. 
CAB = A-B = {x: x A e x B} 
Graficamente, o complemento do conjunto B no 
conjunto A, é dado por: 
 
 
 
Quando não há dúvida sobre o universo U em que 
estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a 
letra c posta como expoente no conjunto, para indicar 
o complemento deste conjunto. 
Muitas vezes usamos a palavra complementar no 
lugar de complemento. 
 
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Exemplos: Ø
c
=U e U
c
=Ø. 
Ao complementar de A em relação a U usaremos a 
notação: 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
O diagrama abaixo é a região hachuriada: 
 
 
 
Ex: Seja U={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e A={ 1, 3, 5, 7} 
daí 
 
 
 
1.3.5 – Leis de Augustus De Morgan 
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é 
a interseção dos complementares desses conjuntos. 
(A B)c = Ac Bc 
O complementar da reunião de uma coleção finita de 
conjuntos é a interseção dos complementares desses 
conjuntos. 
(A1 A2 ... An)
c
 = A1
c
 A2
c
 ... An
c
 
O complementar da interseção de dois conjuntos A e 
B é a reunião dos complementares desses conjuntos. 
(A B)
c
 = A
c
 B
c
 
O complementar da interseção de uma coleção finita 
de conjuntos é a reunião dos complementares desses 
conjuntos. 
(A1 A2 ... An)
c
 = A1
c
 A2
c
 ... An
c
 
1.3.6 – Diferença Simétrica 
 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e Bé o 
conjunto de todos os elementos que pertencem à 
reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à 
interseção dos conjuntos A e B. 
A B = { x: x A B e x A B } 
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica 
é: 
 
 
 
 
1.3.7 - Número de elementos da união de 
conjuntos: 
 
O número de elementos da união de : 
 
- dois conjuntos A e B será: 
 
 
Dedução: 
 
 
 
1.4 - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que 
foi se tornando necessário apresentar resultados para 
algumas operações matemáticas. 
 
Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o 
conjunto dos números naturais. 
 
1.4.1 - Conjunto dos números naturais (N): 
 
É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto 
importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = 
N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a 
multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois 
números naturais resultam sempre em um número 
natural. 
 
Já a divisão ou subtração entre dois números naturais 
nem sempre é um número natural; a subtração 2 -3, 
por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade 
de ampliar o conjunto N introduzindo os números 
negativos. 
 
1.4.2 - Conjunto dos números inteiros (Z): 
 
Ou conjunto dos números relativos, é o conjunto 
 
Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , 
 
Podemos destacar os seguintes subconjuntos de Z: 
 
 
 
 
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Geometricamente temos: 
 
 
 
Observe que há uma simetria em relação ao zero. O 
oposto ou simétrico de 3 é –3, oposto ou simétrico de 
–3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0. 
 
Quando os números têm o mesmo sinal basta 
conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais 
são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal 
que prevalece é o deste último. É bom lembrar 
também que o sinal mais (+) antes de um parêntese 
não vai alterar o sinal do número que está entre 
parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes 
do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal 
antes do parêntese estará implícito que o sinal será o 
de mais (+). 
 
Para as operações de multiplicação e divisão que 
virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de 
mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto 
que os de sinais contrários conduzem sempre à 
resultados negativos”. 
 
No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a 
multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o 
produto e a diferença de dois números inteiros 
resultam sempre um número inteiro. E todas as 
propriedades das operações em N continuam válidas 
em Z. 
 
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre 
resulta um número inteiro: 
 
 
 
Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z. 
 
Múltiplo e divisor em Z 
 
1) Considere a e b como dois números inteiros. 
Sabemos que b é divisor de a e que a 
é múltiplo de b apenas quando existe c inteiro onde a 
=b.c. 
 
Portanto, sendo a, b e c números inteiros, temos: 
 
 
 
 
 
2) Sendo o conjunto dos múltiplos do número inteiro a 
representado por D(a), temos: 
 
3) Sendo o conjunto de múltiplos do número inteiro a 
representado por M(a), temos: 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
Propriedade de D(a) 
 
 
 
Propriedades de M(a) 
 
 
 
Número par e número impar 
 
1) Um número inteiro a será par somente quando este 
for múltiplo de 2. 
2) Um número inteiro a será ímpar somente quando 
este não for múltiplo de 2. 
3) No caso de, logo: 
 
 
 
Número primo e numero composto 
 
1) Um número inteiro p, sendo p ≠ 0, p ≠ 1 e p ≠ -1, 
será um número primo quando os números únicos 
divisores forem 1, -1, p e –p. 
 
2) Um número inteiro a, sendo a ≠ 0, a ≠ 1 e a ≠ -1, 
será um número composto quando haver mais de 4 
divisores. 
 
 
Veja a representação: 
 
 
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Teorema fundamental da aritmética 
 
Qualquer número composto pode sofrer 
uma decomposição e uma fatoração num produto de 
fatores primos. Com exceção da ordem dos fatores e 
do sinal dos fatores, essa decomposição será única. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Número de elementos da D(a) 
 
Sendo a o número do elemento de D(a) será 
finito. 
 
Sendo em que 
números inteiros são os divisores 
primos naturais de a e os naturais 
são seus expoentes respectivamente, logo: 
 
 
 
 
 
 
Máximo divisor comum (mdc) 
 
1) Considere a e b como dois números inteiros não 
simultaneamente nulos. O máximo divisor comum 
(m.d.c.) de a e b é o número máx. [D(a)∩D(b)]. 
 
Representado por mdc(a,b) 
 
Veja a representação: 
 
 
 
 
Mínimo múltiplo comum (mmc) 
 
 
 
 
Mínimo Múltiplo Comum (mmc) 
 
 
 
1) Considere a e b como dois números inteiros não 
nulos. O Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) de a e b é 
representado por m.m.c.(a,b) 
 
 
 
 
 
 
 
Números primos entre si 
 
1) Os números inteiros a e b serão considerados de 
primos entre si apenas quando seus únicos divisores 
comuns forem 1 e -1. 
 
Veja a representação: 
 
a e b primos entre si mdc(a,b) = 
 
2) Dois números inteiros consecutivos são primos 
entre si pois mdc(n, n + 1) = 1. 
 
3) Dois números primos, distintos e não-simétricos 
são primos entre si. 
 
4) Sendo , logo: 
 
a e b primos entre si mdc(a,b) = mmc(a,b) = ab 
 
 
 
 
 
01 - Um auxiliar de enfermagem pretende usar a 
menor quantidade possível de gavetas para acomodar 
120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos 
de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. 
 
Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em 
todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo 
em cada uma delas, quantas gavetas deveá usar? 
 
Solução: 
 
Observe que o auxiliar deseja usar a menor 
quantidade de gavetas possível, neste caso ele deve 
colocar a maior quantidade possível de frascos nas 
gavetas, certo? Mas, também terá que ser na mesma 
quantidade para todas as gavetas, veja que 
novamente o conceito de mdc entra na resolução 
deste problema. Ao pensar em usar a menor 
quantidade de gavetas possível, tens que colocar a 
maior quantidade de frascos e que ainda seja na 
mesma quantidade em cada gaveta! 
 
Calculando o mdc (120,150,225). Fatorando, temos: 
 
120 = 2
3
 x 3 x 5 
150 = 2 x 3 x 5
2
 
225 = 3
2
 x 5
2 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Logo, o mdc (120,150,225) = 3 x 5 = 15. 
 
Veja, 15 é o maior número que divide 120, 150 e 225, 
portanto cada gaveta terá 15 frascos, isto é, o maior 
número possível para que a quantidade de gavetas 
seja mínima. 
 
Calculando a quantidade de gavetas. 
 
120/15 = 8; 150/15 = 10 e 225/15 =15. 
 
Para o medicamento com 120 frascos será necessário 
8 gavetas, para o medicamento com 150 frascos, 10 
gavetas e para o terceiro tipo com 225 frascos, 15 
gavetas. 
 
Totalizando uma quantidade mínima de 33 gavetas. 
 
02- Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 
de copaíba para plantar em uma região de sua 
fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas 
tenham sido repartidas entre os empregados da 
fazenda, de forma que todos os empregados tenham 
recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a 
mesma quantidade de mudas de copaíba e que 
nenhuma muda tenha sobrado. 
 
Afirmação: nessa situação, é correto afirmar que o 
número máximo de empregados da fazenda é 4. 
Julgue a afirmação acima em certa ou errada. 
Para este problema devemos julgar a afirmação em 
certa ou errada e para isso precisamos fazer alguns 
cálculos. A afirmação é a de que o número máximo de 
empregados é 4, percebe-se que o número de 
funcionários deve ser um divisor de 180 e 84, pois os 
funcionários receberam a mesma quantidade de 
ambas as mudas. 
O que esse problema tem haver com mdc? 
É o seguinte: descobrindo o maior número que divide 
180 e 84, estamos descobrindo a quantidade máxima 
de funcionários para os quais as mudam podem ser 
repartidas igualmente. Veja como! 
Calculando o mdc(84,180).180 = 2
2
 x 3
2
 x 5 
84 = 2
2
 x 3 x 7 
mdc(84,180) = 2
2
 x 3 = 12. 
Logo, 12 é o maior número que divide 180 e 84, então 
o número máximo de funcionários pode ser 12 (180/12 
= 15 e 84/12 = 7), não que 4 não seja um divisor, mas 
ele, não é o máximo. Veja na divisão acima que cada 
funcionário receberia 15 e 7 mudas, só 
exemplificando! Portanto, a afirmação está ERRADA. 
03 - Seu Flávio, o marceneiro, dispõe de três ripas de 
madeira que medem 60cm, 80cm e 100 cm de 
comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las 
em pedaços iguais de maior comprimento possível. 
Qual é a medida procurada? 
 
Solução: 
 
Para dividir em pedaços iguais como maior 
comprimento possível, precisamos calcular p M.D.C. 
entre 60, 80 e 100. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá ter comprimento de 20 
cm 
 
04 - Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de 
mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se 
uma delas tem 196 centímetros e a outra 140 
centímetros, quanto deve medir cada pedaço? 
 
Solução: Para cortar em pedaços iguais com o maior 
comprimento possível, precisamos calcular o M.D.C. 
entre 196 e 140. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá medir 28 cm 
 
05 - Três peças de tecido medem respectivamente, 
180cm, 252cm e 324cm. Pretende-se dividir em 
retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse 
comprimento de modo que o número de retalhos seja 
o menor possível? 
 
Em quantos pedaços cada peça será divida e qual o 
total de retalhos obtidos? 
 
Solução: Para dividir em retalhos de igual 
comprimento de modo que o número de retalhos seja 
o menor possível, devemos calcular o M.D.C. entre 
180, 252 e 324. 
 
Observação: para ter o menor número de retalhos 
deve-se ter o maior comprimento possível. 
 
 
 
 
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Cada retalho deverá medir 36cm 
Teremos um total de 21 retalhos 
 
06 - Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: 
 
(A) 18 e 60 
(B) 210 e 462 
 
(A) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo 
Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição 
simultânea dos dois números. Sempre dividindo os 
números pelo menor número primo possível: 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
1, 1 | 
 
Vamos multiplicar todos os números que ficaram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) 
= 180. 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
 1, 1 | 
 
Mas desses números à direita, os únicos que dividem 
o 18 e o 60, simultaneamente, são os números 
destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o 
resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6. 
(B) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da 
decomposição simultânea dos dois números: 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
Basta multiplicar todos os números que ficaram à 
direita: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC 
(210, 462) = 2.310. 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
 
Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os 
números que dividiram o 210 e o 462 
simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, 
encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42. 
 
07 - Nas últimas eleições, três partidos políticos 
tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo 
gratuito de propaganda na televisão, com diferentes 
números de aparições. 
 
O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi 
sempre o mesmo e o maior possível. A soma do 
número das aparições diárias dos partidos na TV foi 
de: 
 
Para resolver essa questão, precisamos recorrer à 
ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o 
tempo de cada aparição seja o maior possível. 
 
Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de 
aparição de cada político: 
 
 
90, 108, 144 | 2 
 45, 54, 72 | 2 
 45, 27, 36 | 2 
 45, 27, 18 | 2 
 45, 27, 9 | 3 
 15, 9, 3 | 3 
 5, 3, 1 | 3 
 5, 1, 1 | 5 
 1, 1, 1 | 
 
 
Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar 
aqueles números que dividiram os três números ao 
mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, 
temos: 2 x 3 x 3 = 18. 
 
Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 
segundos. Precisamos agora descobrir quantas 
aparições cada um deles realizou. Vejamos: 
 
90: 18 = 5 aparições 
108/18 = 6 aparições 
144 : 18 = 8 aparições 
 
 
Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 
6 + 8 = 19 aparições. 
 
 
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08 - José possui um supermercado e pretende 
organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas 
distintas, na prateleira de produtos de limpeza, 
agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 
20, mas sempre restando um. Quantos detergentes 
José tem em seu supermercado? 
 
Se José arruma os detergentes em grupos de 
múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então 
encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses 
números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos: 
 
 12, 15, 20 | 2 
6 , 15 , 10 | 2 
 3 , 15 , 5 | 3 
 1 , 5 , 5 | 5 
 1 , 1 , 1 | 
 
Temos que multiplicar os números que apareceram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 
serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. 
Vejamos os múltiplos de 60: 
 
M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...} 
 
Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 
que se encaixa na quantidade de detergentes do 
supermercado de José é o 120. Mas falta ainda 
acrescentarmos aquele detergente que sempre 
restava, portanto, podemos concluir que no 
supermercado de José havia 121 detergentes. 
 
09 - Um auxiliar de enfermagem pretende usar a 
menor quantidade possível de gavetas para acomodar 
120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos 
de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele 
colocar a mesma quantidade de frascos em todas as 
gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada 
uma delas, quantas gavetas deverá usar? 
 
Solução: 
 
Observe que o auxiliar deseja usar a menor 
quantidade de gavetas possível, neste caso ele deve 
colocar a maior quantidade possível de frascos nas 
gavetas, certo? Mas, também terá que ser na mesma 
quantidade para todas as gavetas, veja que 
novamente o conceito de mdc entra na resolução 
deste problema. 
 
Ao pensar em usar a menor quantidade de gavetas 
possível, tens que colocar a maior quantidade de 
frascos e que ainda seja na mesma quantidade em 
cada gaveta! 
Calculando o mdc (120,150,225). Fatorando, temos: 
 
120 = 2
3
 x 3 x 5 
150 = 2 x 3 x 5
2
 
225 = 3
2
 x 5
2 
 
Logo, o mdc(120,150,225) = 3 x 5 = 15. 
 
Veja, 15 é o maior número que divide 120, 150 e 225, 
portanto cada gaveta terá 15 frascos, isto é, o maior 
número possível para que a quantidade de gavetas 
seja mínima. 
 
Calculando a quantidade de gavetas. 
 
120/15 = 8; 150/15 = 10 e 225/15 =15. 
 
Para o medicamento com 120 frascos será necessário 
8 gavetas, para o medicamento com 150 frascos, 10 
gavetas e para o terceiro tipo com 225 frascos, 15 
gavetas. 
 
Totalizando uma quantidade mínima de 33 gavetas. 
 
10 - Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 
de copaíba para plantar em uma região de sua 
fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas 
tenham sido repartidas entre os empregados da 
fazenda, de forma que todos os empregados tenham 
recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a 
mesma quantidade de mudas de copaíba e que 
nenhuma muda tenha sobrado. 
 
Afirmação: nessa situação, é correto afirmar que o 
número máximo de empregados da fazenda é 4. 
Julgue a afirmação acima em certa ou errada. 
Para este problema devemos julgar a afirmação em 
certa ou errada e para isso precisamos fazer alguns 
cálculos. A afirmação é a de que o número máximo de 
empregados é 4, percebe-se que o número de 
funcionários deve ser um divisor de 180 e 84, pois os 
funcionários receberam a mesma quantidade de 
ambas as mudas. 
O que esse problema tem haver com mdc? 
É o seguinte: descobrindo o maior número que divide 
180 e 84, estamosdescobrindo a quantidade máxima 
de funcionários para os quais as mudam podem ser 
repartidas igualmente. Veja como! 
Calculando o mdc(84,180). 
180 = 2
2
 x 3
2
 x 5 
84 = 2
2
 x 3 x 7 
m.d.c.(84,180) = 2
2
 x 3 = 12. 
Logo, 12 é o maior número que divide 180 e 84, então 
o número máximo de funcionários pode ser 12 (180/12 
= 15 e 84/12 = 7), não que 4 não seja um divisor, mas 
ele, não é o máximo. Veja na divisão acima que cada 
funcionário receberia 15 e 7 mudas, só 
exemplificando! 
Portanto, a afirmação está ERRADA. 
11 - Seu Flávio, o marceneiro, dispõe de três ripas de 
madeira que medem 60cm, 80cm e 100 cm de 
comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las 
 
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em pedaços iguais de maior comprimento possível. 
Qual é a medida procurada? 
 
Solução: 
 
Para dividir em pedaços iguais como maior 
comprimento possível, precisamos calcular p M.D.C. 
entre 60, 80 e 100. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá ter comprimento de 20 
cm 
 
12 - Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de 
mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se 
uma delas tem 196 centímetros e a outra 140 
centímetros, quanto deve medir cada pedaço? 
 
Solução: Para cortar em pedaços iguais com o maior 
comprimento possível, precisamos calcular o M.D.C. 
entre 196 e 140. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto cada pedaço deverá medir 28 cm 
 
 
13 - Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: 
 
(A) 18 e 60 
(B) 210 e 462 
 
(A) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo 
Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição 
simultânea dos dois números. Sempre dividindo os 
números pelo menor número primo possível: 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
1, 1 | 
Vamos multiplicar todos os números que ficaram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) 
= 180. 
18, 60 | 2 
 9, 30 | 2 
 9, 15 | 3 
 3, 5 | 3 
 1, 5 | 5 
 1, 1 | 
 
Mas desses números à direita, os únicos que dividem 
o 18 e o 60, simultaneamente, são os números 
destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o 
resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6. 
(B) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da 
decomposição simultânea dos dois números: 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
 
Basta multiplicar todos os números que ficaram à 
direita : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC 
(210, 462) = 2.310. 
210, 462 | 2 
105, 231 | 3 
 35, 77 | 5 
 7, 77 | 7 
 1, 11 | 11 
 1, 1 | 
 
Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os 
números que dividiram o 210 e o 462 
simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, 
encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42. 
 
14 - Nas últimas eleições, três partidos políticos 
tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo 
gratuito de propaganda na televisão, com diferentes 
números de aparições. O tempo de cada aparição, 
para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior 
possível. A soma do número das aparições diárias dos 
partidos na TV foi de: 
 
Para resolver essa questão, precisamos recorrer à 
ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o 
tempo de cada aparição seja o maior possível. 
 
Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de 
aparição de cada político: 
 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 14 
 
90, 108, 144 | 2 
 45, 54, 72 | 2 
 45, 27, 36 | 2 
 45, 27, 18 | 2 
 45, 27, 9 | 3 
 15, 9, 3 | 3 
 5, 3, 1 | 3 
 5, 1, 1 | 5 
 1, 1, 1 | 
 
Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar 
aqueles números que dividiram os três números ao 
mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, 
temos: 2 x 3 x 3 = 18. 
 
Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 
segundos. Precisamos agora descobrir quantas 
aparições cada um deles realizou. Vejamos: 
 
90: 18 = 5 aparições 
108/18 = 6 aparições 
144 : 18 = 8 aparições 
 
Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 
6 + 8 = 19 aparições. 
 
15 - José possui um supermercado e pretende 
organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas 
distintas, na prateleira de produtos de limpeza, 
agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 
20, mas sempre restando um. Quantos detergentes 
José tem em seu supermercado? 
 
Se José arruma os detergentes em grupos de 
múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então 
encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses 
números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos: 
 
 12, 15, 20 | 2 
6 , 15 , 10 | 2 
 3 , 15 , 5 | 3 
 1 , 5 , 5 | 5 
 1 , 1 , 1 | 
 
Temos que multiplicar os números que apareceram à 
direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 
serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. 
Vejamos os múltiplos de 60: 
 
M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...} 
 
Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 
que se encaixa na quantidade de detergentes do 
supermercado de José é o 120. Mas falta ainda 
acrescentarmos aquele detergente que sempre 
restava, portanto, podemos concluir que no 
supermercado de José havia 121 detergentes. 
 
Critérios de divisibilidade 
 
Divisibilidade por 2 - Um número é divisível por 2 se 
ele for par, ou seja, se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
 
Divisibilidade por 3 - Um número é divisível por 3 se 
a soma de seus algarismos for divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 5 - Um número é divisível por 5 se 
o algarismo das unidades for 0 ou 5. 
 
Divisibilidade por 7 - Para saber se um determinado 
número é divisível por 7, deve-se seguir os seguintes 
passos: 
 
Considerar o último algarismo do número e o dobro 
deste algarismo deve ser subtraído dos outros 
números. Se o número obtido for divisível por 7, 
sabemos que o número inicial também é divisível por 
7. 
 
Exemplo: 
 
315 
5 x 2 = 10 
10 – 31 =21 
21 é divisível por 7, então 315 também é divisível por 
7. 
 
Divisibilidade por 11 - Um número é divisível por 11 
se a soma dos algarismos de ordem par subtraída da 
soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 
11. 
 
Exemplo: 
 
Ordem par: 554829 –> 5 + 8 + 9 =22 
Ordem ímpar: 554829 –> 5 + 4 + 2 =11 
22 – 11 =11 
 
11 é divisível por 11, então 554829 também é divisível 
por 11. 
 
1.4.3 - Conjuntos dos números racionais(Q): 
 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas 
e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos 
números racionais Q. Assim, por exemplo, são 
números racionais: Ao acrescentarmos as frações não 
aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, 
obtemos o conjunto dos números racionais Q. Assim, 
por exemplo, são números racionais: 
 
 
 
Observe que todo número racional pode ser escrito na 
forma 
𝑎
𝑏
 , com *. 
Assim, escreveremos: 
 
 
 
Perceba que a restrição *, nos obriga a termos 
 
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 pois 
𝑎
𝑏
 , a divisão de a por b, só tem significado 
com . A designação racional, surgiu porque 
𝑎
𝑏
 
pode ser vista como uma razão entre os inteiro a e b. 
 
A letra Q, que representa o conjunto dos números 
racionais, é a primeira letra da palavra quociente. Os 
números racionais podem ser encontrados de três 
maneiras: 
 
- Número inteiro: Se b = 1, temos a , o 
 
O que implica que Z é subconjunto de Q. Assim: 
 
 
- Número decimal exato: Dado um número racional 
𝑎
𝑏
 
a representação decimal desse número é obtida 
dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma 
quantidade finita de casas decimais após a vírgula, 
este resultado é um número decimal exato. Exemplos: 
 
 
 
- Número decimal periódico ou dízima periódica: É 
o resultado da divisão 
𝑎
𝑏
, que possui uma quantidade 
infinita e periódica de casas decimais após a vírgula. 
Este resultado é chamado dedízima periódica, e a 
fração 
𝑎
𝑏
 que gera a dízima, é a fração geratriz. 
Exemplos: 
 
 
 
No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são 
possíveis e valem todas as propriedades que valem 
para os inteiros.Certamente devemos nos lembrar de 
que a divisão por zero é impossível! 
 
Geometricamente temos: 
 
 
 
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro 
número inteiro. Entre dois racionais sempre existe 
outro racional. 
Por exemplo, entre os racionais 
1
2
 = 0,5 
Podemos encontrar infinitos racionais; entre eles 
 
 
5 
8
= 0,625. 
Mas isso não significa que os racionais 
preenchem toda a reta. Os números racionais são 
insuficientes para medir todos os segmentos de reta. 
Por exemplo a medida da hipotenusa, de um triângulo 
retângulo, de catetos medindo uma unidade, é um 
número não racional. Embora as quatro operações 
fundamentais (adição, subtração, multiplicação e 
divisão por um número diferente de zero) sejam 
sempre definidas em Q, uma equação como 𝑥2 = 2 
não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional 
 
𝑎
𝑏
 tal que . 
 
Surge então a necessidade de outro tipo de número, o 
número não racional ou irracional. 
 
1.4.4 - Conjunto dos números irracionais(I): 
 
São os números que não podem ser escrito na forma 
fracionária, com numerador inteiro e denominador 
inteiro ( diferente de zero). São as decimais infinitas e 
não periódicas. Exemplos: 
 
 
 
Representação de alguns irracionais na reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.5 = Conjunto dos números reais(R): 
 
Da união do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto 
dos números reais R. Simbolicamente: 
 
 
 
Os números racionais não eram suficientes para 
esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os pontos da 
reta correspondente aos números não 
eram preenchidos com os números racionais. 
 
Agora, os números reais esgotam todos os pontos da 
reta, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um 
único número real e, reciprocamente, a cada número 
real corresponde um único ponto da reta. 
 
Por isso dizemos que existe uma correspondência 
biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. 
Temos assim a reta real, que é construída desta 
forma: numa reta, escolhemos uma origem (e 
associamos a ela o zero), um sentido de percurso e 
uma unidade de escala. 
 
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O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos 
vistos até aqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim com os números reais toda equação do tipo x 
a 2 com aN , pode ser resolvida e todos os 
segmentos de reta podem ser medidos. Existem 
outros números além dos reais, a raiz de índice par e 
radicando negativo é impossível em R, pois, por 
exemplo, não existe número real que, elevado ao 
quadrado, dê um número negativo. Assim, 4 não é 
um número real; é um número complexo ou 
imaginário. Podemos usar as seguintes notações 
para alguns subconjuntos de R: 
 
R+ real positivo ou nulo 
R*+ real positivo 
R_real negativo ou nulo 
R*_ real negativo 
 
O mesmo pode ser feito com Z e Q. 
 
1.4.6 - Relação de ordem em R: 
 
Sejam dois números reais quaisquer a e b,entre a e b 
poderá ocorrer uma, e somente uma, das relações: 
 
a = b ou a > b ou a < b. 
 
A desigualdade representada por a < b significa que o 
número real a é menor que o número real 
b.Geometricamente se a < b, então a está situado à 
esquerda de b na reta real. 
 
 
 
A desigualdade representada por a > b significa que o 
número real a é maior que o número real b. 
Geometricamente , se a > b, então a está situado à 
direita de b na reta real. 
 
 
 
Também usaremos a notação: 
 
 
Será muito útil percebermos que se tivermos x R, e 
escrevermos: 
 
x > 0 x é positivo 
x < 0 x é negativo 
x 0 x é não positivo 
x 0 x é não negativo 
 
Algumas propriedades importantes das 
desigualdades: 
 
As simbologias <, >, chamaremos de sentido da 
desigualdade. Vejamos algumas propriedades muito 
úteis: 
 
1ª) Podemos adicionar membro a membro, 
desigualdades de mesmo sentido: 
 
-2<x<3 e 1<y<5 -2+1 < x+y < 3+5 
 
2ª) Podemos somar ou subtrair um número real a 
ambos os membros de uma desigualdade sem alterá-
la ou transpor um termo de um membro para o outro, 
trocando o sinal deste termo. 
 
x+7 < 9 x > 9-7 x > 2 que é o mesmo que fazer 
x+7 < 9 x +7-7 > 9-7 x > 2 
 
3ª) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros 
de uma desigualdade por um real diferente de zero, 
mas com o seguinte cuidado: 
 
-Se o número for positivo, conservamos o sinal da 
desigualdade; 
 
-Se o número for negativo invertemos o sinal da 
desigualdade. 
 
Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a 
desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 
15 > -10 . 
 
1.5 - INTERVALOS REAIS 
 
Certos subconjuntos de R, determinados por 
desigualdades, tem grande importância na 
Matemática; são os intervalos reais. 
 
 
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Intervalos “infinitos” 
 
 
 
Considera-se como intervalo ] , [ = R. 
 
Observações: 
 
1) A “bolinha fechada” ( ) indica que o extremo do 
intervalo pertence a ele. A “bolinha aberta” ( ) indica 
que o extremo do intervalo não pertence a ele. 
 
2)  e , simbolizam apenas a ausência de 
extremidades pela esquerda ou pela direita no 
intervalo, sendo sempre abertos. Portanto e 
não são números reais! 
 
3)Como definimos, intervalos são subconjuntos dos 
números reais. Assim os seguintes exemplos não são 
intervalos: 
 
 
 
1.5.1 - Operações com intervalos 
 
Estudamos em tópicos anteriores que algumas 
operações podem ser realizadas com conjuntos. 
 
Como os intervalos reais são subconjuntos de R, 
também podemos realizar operações com intervalos. 
 
Exemplo: 
 
Dados os conjuntos 
 
A = { x R | 3 x 2 } e B = { x R | 0x 8}, 
para efetuar as operações representamos cada 
conjunto em retas reais paralelas. 
 
Vamos exemplificar as operações de união e 
interseção, mas as operações de diferença (A – B ou 
B – A) e de complementar também podem ser 
efetuadas desta maneira. 
 
 
 
 
 
1.6 – NUMEROS COMPLEXOS 
 
O conjunto dos números complexos é o conjunto que 
possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os 
outros conjuntos. 
 
É necessário, pois, compreender os processos das 
operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) 
envolvendo elementos desse conjunto, assim como a 
representação geométrica dos números complexos. 
 
1.6.1 – Na Forma Trigonométrica 
 
Na representação trigonométrica, um número 
complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do 
vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o 
semi-eixo positivo das abscissas. 
 
 
 
 
Vetor é uma entidade matemática que define 
grandezas que se caracterizam por módulo, direção e 
sentido, como por exemplo, velocidade e força. Um 
vetor é representado por um segmento de reta 
orientado. 
 
O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, 
a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a 
horizontal, o sentido é dado pela seta. 
 
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Quando z = a+bi: 
 
1) Argumento de z é o ângulo 
2) Módulo de z é o comprimento 
 
O argumento geral de z, é ou ; 
O argumento principal é o valor de no intervalo
 ou 
 
A partir das relações trigonométricas
1
 obtêm-se: 
 
 
 
Portanto: 
Para o complexo z = a + bi 
 
 
A representação trigonométrica
2
 de um complexo z é 
 
 
Com o argumento principal 
 
 
Ou é 
 
 
Com o argumento geral 
 
Esta última expressão é importante para o cálculo das 
raízes de z. 
 
Da relação consegue-se o valor de 
 
Exemplos: 
 
1. Se z é um número real, o ponto P pertence à reta 
das abscissas (horizontal) e |z| = 1 
 
 
Isto é: 
 
z = 1 na forma trigonométrica é z = cos k360°_+ i 
sen k360°, com k inteiro. 
 
Isto quer dizer que existem muitas representações 
trigonométricas para z, correspondentes a giros dados 
em torno da origem. 
 
Neste caso, z = 1 pode ser representado por: 
 
z = cos 0_+ i sen 0 
z = cos 360°_+ i sen 360° 
z = cos 720°_+ i sen 720° 
z = cos 1080°_+ i sen 1080°2. Se z é um número imaginário, o ponto P pertence à 
reta das ordenadas (vertical) e |z| = 1 
 
Isto é: 
z = i na forma trigonométrica é: 
z = (cos (90°+k360°)_+ i sen (90° +k360°)) 
com k inteiro. 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, OP representa um vetor e pode ser 
identificado com um número complexo z. 
 
 
 
 
 
 
 
4. O complexo z = 1 + i é representado na figura 
 
abaixo com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então 
 
De uma forma geral 
 
onde k é qualquer número inteiro (positivo, negativo 
ou nulo) ou seja, o mesmo ângulo é obtido a partir de 
um número inteiro de voltas em torno da origem O. 
 
Cada volta corresponde a 360°. 
 
O módulo 
 
 
Esta forma corresponde à menor determinação para 
 
 
 
 
 
 
16 -– Colocar o número complexo z = 1 + i na forma 
trigonométrica. 
Exercícios Resolvidos 
 
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17– Escreva na forma trigonométrica z = - 2i 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 – Escreva na forma trigonométrica z = - 4 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i 
Determine x e y de modo que z1 +z2 = 0 
 
Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 
logo, é preciso que: 
 
2x+1 - y =0 e y+2 = 0 
 
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2 
 
20 - Determine o módulo e o argumento dos seguintes 
complexos: 
 
(A) 4+3i B) 2-2i (C) 3+i (D) 3 (E)2i (F) a+bi 
Solução. Aplicando a fórmula do módulo e 
identificando os valores de cosseno e seno, temos: 
(A) 
 
 
 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
 
(F) 
 
1.6.2 – Na Forma Algébrica 
 
 
Número complexo é um par ordenado de números 
reais (a, b). Assim, o conjunto dos números complexos 
é uma extensão do conjunto dos números reais. Todo 
 
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número complexo pode ser escrito na forma a + bi, 
chamada de forma algébrica ou forma normal, onde a 
é chamado de parte real e bi, de parte imaginária. 
 
As operações de adição, subtração, multiplicação e 
divisão estão bem definidas para o conjunto dos 
complexos, assim como para os números reais. 
 
Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c 
+ di. Vamos analisar como se dá cada uma das 
operações citadas para os elementos desse conjunto. 
 
1. Adição 
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
Observe que basta somar a parte real de um com a 
parte real do outro e proceder da mesma forma com a 
parte imaginária. 
Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, 
z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule: 
a) z1 + z2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 
10i 
b) z2 + z3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i 
 
2. Subtração 
A subtração é feita de forma análoga. Observe: 
 
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i 
Exemplo: 
 
a) (5 + 8i) – (1 + 2i) = (5 – 1) + (8 – 2)i = 4 + 6i 
 
b) (1 + 2i) – (2 – 3i) = (1 – 2) + [2 – (– 3)]i = – 1 + 5i 
3. Multiplicação 
Como sabemos, i2 = – 1. 
Logo, 
Z1.Z2=(a+bi).(c+di) = adi+cbi+bdi
2
=ac+adi+cbi-bd 
Agrupando os termos semelhantes, obtemos: 
Z1.Z2=(a+bi).(c+di) = (ac – bd) + (ad + bc) i 
Exemplo: 
 
a) (5+8i)∙(1+2i) = (5∙1-8∙2)+(5∙2+1∙8)i 
(5+8i)∙(1+2i) = (5-16) + (10+8)i = -11+18i 
 
b) (1+2i)∙(2-3i) = [1∙2 - 2∙(-3)] + [1∙(-3) + 2∙2]i 
(1+2i)∙(2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i 
 
4. Divisão 
Para realizar a divisão de dois números complexos 
precisamos introduzir o conceito de conjugado de um 
número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é 
z̅ = a - bi. Agora podemos definir a operação de 
divisão para números complexos. 
 
 
 
Exemplo: 
 a) 
Vamos fazer os cálculos do numerador e do 
denominador separadamente: 
(5 + 8i)(1 - 2i) = [5∙1 - 8(-2)] + [5∙(-2) + 1∙8]i = 21 - 2i 
Na multiplicação dos denominadores basta aplicar a 
seguinte propriedade: 
z ∙ z̅ = (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 
Assim, (1 + 2i)(1 - 2i) = 12 + 22 = 5 
Logo, 
 
b) 
 
1.6.3 – Representação no Plano 
 
Por volta do século XV, os matemáticos tinham um 
único pensamento: "O quadrado de um número 
positivo, bem como o de um número negativo, é 
positivo. Um número negativo não é quadrado de 
nenhum número, pois não existe raiz quadrada de um 
número negativo”. 
 
Raízes quadradas de números negativos continuavam 
aparecendo, e o que mais preocupava os matemáticos 
da época era que essas raízes, sendo desenvolvidas 
de acordo com as regras algébricas, forneciam 
resultados satisfatórios, que não podiam ser obtidos 
de outra forma. 
 
Foi através de estudos relacionados aos matemáticos 
Wessel, Argand e Gauss, que muitos resolveram 
associar os números a e b de um complexo a 
coordenadas de um ponto no plano, criando assim 
uma representação geométrica para um complexo. 
 
 
 
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A criação dos números complexos revolucionou, de 
certa forma, a Matemática, pois se criava mecanismos 
para obtenção de resultados envolvendo a raiz 
quadrada de um número negativo, até então um 
mistério. 
 
Os complexos são formados por uma parte real (x) e 
outra imaginária (y), assumindo a seguinte forma 
algébrica: z = x + yi. O número complexo pode ser 
representado no plano através de um ponto Q de 
coordenadas (x, y), sobre o eixo x marcamos a parte 
real e sobre o eixo y a parte imaginária de z. O ponto 
Q deve receber o nome de afixo ou imagem 
geométrica de z. 
 
 
 
Representando geometricamente um número complexo 
 
 
a) z = 1 + i, A(1,1) 
b) z = 3 + 2i, B(3,2) 
c) z = -2 + 4i, C(-2,4) 
d) z = -3 -4i, D(-3,-4) 
e) z = 2 + 2i, E(2,2) 
f) z = 4i, F(0,4) 
g) z = -5, G(-5,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 - Represente os seguintes números no plano: 
(A) P1 = 2+3i (B) P2 = 4-i (C) P3 = -3-4i 
(D) P4 = -1+2i (E) P5 = -2i 
Solução. Representando cada número complexo 
como pontos no plano Argand-Gauss, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.4 - Igualdade de números complexos 
 
Dados dois complexos z = a + i b e w = c + i d tem-se: 
Na forma trigonométrica com argumento geral, sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a igualdade exige que r = r’ mas não 
exige que , mas, sim, que os vetores coincidam, na 
mesma direção, módulo e sentido. 
 
1.6.5 - Simétrico de um Número Complexo 
 
O simétrico do número complexo z = a + ib é o 
número -z = - (a + ib), ou seja -z = (-a) + i(-b). 
 
Corresponde a uma rotação de 180º do afixo de z em 
torno da origem. 
 
Em notação trigonométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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1.6.6 - Conjugado de um número complexo 
 
O conjugado do complexo z = a + ib é o número 
complexo denotado por z = a - ib. 
 
 
 
 
 
Corresponde a uma reflexão do afixo de z na reta das 
abcissas. 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
1.6.7 - Inverso de um número complexo 
 
Já vimos que, sendo o seu inverso 
 
é 
 
onde: 
 
 
Observe que: 
 
1) o argumento de z -1 é o mesmo argumento de: 
 
 
2) o módulo é o inverso do módulo de z, pois como 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
1.6.8 - Produto de complexos 
 
Seja 
 
Vejamos a interpretação geométrica do produto de 
dois complexos, 
 
Caso 1: O produto de um complexo z por um número 
real K 
 
 
 
Se K > 1, então esta operação corresponde a uma 
ampliação vetor z . 
 
Se 0 < K < 1, esta operação corresponde a uma 
contração do vetor z. 
 
Se K < 0, esta operação corresponde a uma 
ampliação ou contração, seguida de uma rotação de 
180º, pois z passará para a semirreta oposta, que 
contém (-z). 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Caso 2: O produto de um complexo z = a + bi por um 
imaginário puro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
É preciso, neste momento, relembrar a expressão 
trigonométrica para seno e cosseno da soma de arcos 
(ou ângulos)
3
: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
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Voltando: 
 
O produto do complexo z por um imaginário puro 
corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, 
seguido de uma rotação de 90º no sentido anti-horário 
em torno da origem do vetor obtido. Estas operações 
podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 3: O produto de um complexo genérico z por 
outro complexo w 
 
 
 
 
 
 
 
 
O produto do complexo z por outro complexo w 
corresponde a u seguido de uma rotação de ângulo 
igual ao argumento de w (no sentido anti-horário em 
torno da origem do vetor obtido. 
 
 
 
 
Observe, na figura a seguir: o vetor tem módulo r e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao ser multiplicado por outro vetor com ângulo ele 
gira, sofre uma rotação de ângulo : 
 
 
 
 
 
 
 
22 – Ache o produto dos números complexos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.9 - Potenciação com expoente inteiro 
 
Vamos nos restringir à potências com expoente 
inteiro, embora, nos complexos seja possível definir 
potência com base e expoente complexo. 
 
Chamamos potenciação a uma potência de expoente 
inteiro. 
 
Tem-se: zn = z . z . ... . z (n vezes), n natural. 
 
Como o produto de dois complexos corresponde à 
soma dos argumentos, temos: 
 
 
 
Demonstra-se, por indução que: 
 
 
 
 
Esta é a chamada Fórmula de Moivre. 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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1.6.10 - Radiciação 
 
Definição: Dado z, complexo, chamamos raiz 
enésima de z, a todo w complexo tal que w
n
 = z . 
Exemplo: 
 
1. 1. 2, -2, 2i, -2i são as raízes quartas do número 
complexo 
 
 
 
2. i, -i são as raízes quadradas do número complexo –
 
 
Perguntamos: quantas são as raízes enésimas de 
um número complexo e como podemos determiná-las 
? 
 
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, a equação 
complexa wn = z com z e w complexos, tem n raízes. 
 
Isto significa que a raiz enésima de um complexo, tem 
n raízes. 
 
Sendo as raízes índice n de z 
são dadas pela fórmula de Moivre. 
 
Na apresentação da Fórmula de Moivre para 
Radiciação, você encontra a demonstração: 
 
z tem n raízes diferentes, obtidas pela fórmula de 
Moivre para a radiciação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 - Os módulos de z1 = x + 20
1/2
i e z2= (x-2) + 6i são 
iguais, qual o valor de x? 
 
Então, |z1= (x
2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)
2 + 36}1/2 
 
Em decorrência, 
x
2
 + 20 = x
2
 - 4x + 4 + 36 
20 = -4x + 40 
4x = 20, logo x=5 
 
24 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = 
(1+i) / i 
 
Efetuando-se a divisão, temos: 
 
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 – i 
 
Para a forma trigonométrica, temos que: 
 
r = (1 + 1)
1/2
 = 2
1/2
 
sen t = -1/2
1/2
 = - 2
1/2
 / 2 
cos t = 1 / 2
1/2
 = 2
1/2
 / 2 
 
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que 
t = 315 
 
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: 
 
z = r(cos t + i sen t), temos que: 
z = 2
1/2
 ( cos 315 + i sen 315 ) 
 
25 - Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i. 
 
Resolução 
 
Devemos encontrar um número complexo z3 = a + bi 
 
tal que . 
 
 
 
Assim: = a + bi 
 
 
2 – 3i = (a + bi) · (1 + 2i) 
2 – 3i = a + 2ai + bi + 2bi
2
 
2 – 3i = a + 2ai +
 
bi – 2b 
2 – 3i = (a – 2b) +
 
(2a + b)i 
 
Substituindo em a – 2b = 2, temos: 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
Então 
 
 
 
26 - Escrevendo o complexo 
31
1
i
i
z


 , calcule os 
valores do módulo e do argumento. 
 
Solução. Escrevendo o numerador e o denominador 
na forma complexa e dividindo, temos: 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Logo,
 
.1.7 SEQUÊNCIAS 
1.7.1 - Progressão aritmética 
 
Chamamos de progressão aritmética, ou 
simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada 
número, somado a um número fixo, resulta no próximo 
número da seqüência. O número fixo é chamado de 
razão da progressão e os números da seqüência são 
chamados de termos da progressão. 
 
Observe os exemplos: 
 
50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10. 
3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2. 
-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3. 
156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4. 
100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20. 
6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 
0. 
 
Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o 
segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA. 
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 
 
Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o 
penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA. 
145, 159, 173, 187, 201 
 
Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. 
 
Escreva todos os termos dessa PA. 32, 29, 26, 23, 20, 
17, 14, 11 
 
*Símbolos usados nas progressões 
 
Em qualquer seqüência, costumamos indicar o 
primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o 
terceiro termo por a3, e assim por diante. 
Generalizando, o termo da seqüência que está na 
posição n é indicado por an. 
 
Veja alguns exemplos 
 
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e 
a4 = 32 
Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se 
a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a 
posição que o termo ocupa na seqüência. 
 
No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o 
símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º 
posição. No caso o valor do quinto termo é 7. 
 
A razão de uma PA é indicada por r, pois ela 
representa a diferença entre qualquer termo da PA e 
o termo anterior. 
 
Observe os exemplos: 
 
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, 
pois: 
 
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7 
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7 
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7 
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7 
 
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois: 
 
a2 – a1 = 15 – 20 = -5 
a3 – a2 = 10 – 15 = -5 
a4 – a3 = 5 – 10 = -5 
 
*Classificação das progressões aritméticas 
 
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do 
segundo, é maior que o termo que o antecede. Para 
que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua 
razão seja positiva. 
 
Exemplo: 
 
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua 
razão é positiva, r = 4 
 
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do 
segundo, é menor que o termo que o antecede. Para 
que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua 
razão seja negativa. 
 
Exemplo: 
 
(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que 
sua razão é negativa, r = -10. Uma PA é constante 
quando todos os seus termos são iguais. Para que 
isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão 
seja igual a zero. 
Exemplo: 
 
 
 
 
27 - Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 
11) seja PA. 
 
 
 
 
Exercícios Resolvido 
 
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5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x 
5x – 3 – x = 2x +11 – 5x 
5x – x – 2x + 5x = 11 + 3 
7x = 14 
x = 14/7 = 2 
 
Fórmula do termo geral da PA 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
28 - Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...) 
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ? 
 
a61 = 9 + (61 – 1).4 
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249 
 
29 - Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que 
a1 = 2 e a8 = 3 
 
an = a1 + ( n – 1 ).r 
a8 = a1 + (8 – 1 ).r 
a8 = a1 + 7r 
 
3 = 2 + 7r 
7r = 3 – 2 
7r = 1 
r = 1/7 
 
30 - Determinar o número de termos da 
PA (4,7,10,...,136) 
 
a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3 
an = a1 + (n – 1).r 
136 = 4 + (n – 1).3 
136 = 4 + 3n – 3 
3n = 136 – 4 + 3 
3n = 135 
n = 135/3 = 45 termos 
 
31 - Determinar a razão da PA tal que: 
a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18 
 
a4 = a1 + (4 – 1).r a3 = a1 + (3 – 1).r 
a5 = a1 + 4r 
a4 = a1 + 3r a3 = a1 + 2r 
 
a1 + a1 + 3r = 12 
a1 + 2r + a1 + 4r = 18 
2a1 + 3r = 12 
2a1 + 6r = 18 
3r = 6 
r = 6/3 = 2 
 
32 - Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 
e 25, nessa ordem . 
 
Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 
25, nessa ordem, significadeterminar a PA de 
primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25. 
(1,_,_,_,_,_,25) 
a7 = a1 + 6r 
25 = 1 + 6r 
6r = 24 
r = 24/6 
r = 4 
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) 
 
Representação genérica de uma PA 
 
PA de três termos: 
(x, x + r, x + 2r) 
ou 
(x – r, x , x + r), em que a razão é r 
 
PA de quatro termos: 
 
(x, x + r, x + 2r, x + 3r) 
ou 
(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r 
 
*Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma 
PA 
 
Em uma pequena escola do principado de 
Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor 
Buttner propôs a seus alunos que somassem os 
números naturais de 1 a 100. 
 
Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos 
de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, 
mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí. 
 “. 
O professor, assombrado, constatou que o resultado 
estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos 
maiores matemáticos de todos os tempos: Karl 
Friedrich Gauss (1777-1855). 
 
O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o 
menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, 
com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo 
número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; 
também a soma do terceiro número, 3 , com o 
antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a 
soma de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual a soma dos extremos. 
 
 
1 2 3 4..................................97 98 99 100 
 
4 + 97 = 101 
3 + 98 = 101 
2 + 99 = 101 
1 + 100 = 101 
 
Como são possíveis cinquenta somas iguais a 101, 
Gauss concluiu que: 
 
1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 
= 50.101 = 5050 
 
Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da 
soma dos n primeiros termos de uma progressão 
aritmética qualquer: 
 
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Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 
9, 14, 19,...). 
 
a30 = a1 + (30 – 1).r 
a30 = a1 + 29r 
a30 = 4 + 29.5 = 149 
 
Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 
18, 26,...). 
 
an = 2 + (n – 1).8 
an = 2 + 8n – 8 
an = 8n – 6 
 
Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 
134). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos 
entre 100 e 300. 
 
Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...). 
 
O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 
300 é o 105. 
 
O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 
é o 294. 
 
294 = 105 + (n – 1).7 
294 = 105 + 7n – 7 
7n = 294 – 105 + 7 
7n = 196 
n = 196/7 = 28 
 
 1.7.2 - Progressão geométrica 
 
Denominamos de progressão geométrica, ou 
simplesmente PG, a toda seqüência de números não 
nulos em que cada um deles, multiplicado por um 
número fixo, resulta no próximo número da seqüência. 
 
Esse número fixo é chamado de razão da progressão 
e os números da seqüência recebem o nome de 
termos da progressão. 
 
Observe estes exemplos: 
 
 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 
termos, com razão 2. 
 5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3. 
 3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com 
razão 1/10 
 Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo 
é 12. Escreva os termos dessa PG. 
 2, 12, 72, 432, 2592 
 Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o 
penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG. 
 4,20,100,500 
 Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 
10. Qual o 6º termo dessa PG. 
 3,30,300,3000,30000,300000 
 a6 = 300000 
 Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a 
razão é -3. Escreva os termos dessa PG. 
 -90,270,-810,2430,-7290 
 Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. 
Qual a razão dessa PG. 
 q = 30/180 = 3/18 = 1/6 
 A razão é 1/6 
 
Fórmula do termo geral de uma progressão 
geométrica. 
 
 
 
 
 
33 - Determinar o 15º termo da progressão geométrica 
(256, 128, 64,...). 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 - Determinar a razão da PG tal que: 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 - Determinar o número de termos da PG (128, 64, 
32,......, 1/256). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 - Determinar a razão da PG tal que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação genérica de uma PG: 
 
a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é 
q; (x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0. 
 
b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com 
razão q;(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se 
q ≠ 0. 
 
37 - Determinar a PG de três termos, sabendo que o 
produto desses termos é 8 e que a soma do segundo 
com o terceiro termo é 10. 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PG: 
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG 
(a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos: 
 
Se q = 1, então Sn = n.a1 
 
 
38 - Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG 
(3, 6, 12,....). 
 
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01 - Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais 
que e 
 
Se o conjunto é igual a: 
 
(A) {1, 4, 5} 
(B) {0, 2, 3, 5} 
(C) {1, 2, 3, 4} 
(D) {1, 2, 3, 4, 5} 
(E) {0, 2, 4, 5, 6} 
 
02 (UFRN) - Se A, B e C são conjuntos tais que: 
 
 e então, C é igual 
 
(A) {4,5} 
(B) {6, 7} 
(C) {4, 5, 6} 
(D) {5, 6, 7} 
(E) {4, 5, 6, 7} 
 
03 (U.UBERABA) - No diagrama, a parte hachurada 
representa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
04 - Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 
usam óculos e 8 usam relógio. O número de 
estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e 
relógio é? 
 
(A) exatamente 6. 
(B) exatamente 2. 
(C) no mínimo 6. 
(D) no máximo 5. 
(E) no mínimo 4. 
 
05 (PUC-SP) - Dentre os inscritos em um concurso 
público, 60% são homens e 40% são mulheres. Já 
têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. 
Qual a porcentagem dos candidatos que já tem 
emprego? 
 
(A) 60% 
(B) 40% 
(C) 30% 
(D) 24% 
(E) 12% 
 
06 (CESESP) - Numa universidade são lidos apenas 
dois jornais X e Y, 80% dos alunos leem o jornal X e 
60 % leem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é 
leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a 
alternativa que corresponde ao percentual de alunos 
que leem ambos. 
 
(A) 80% 
(B) 14% 
(C) 40% 
(D) 60% 
(E) 48% 
 
07 (USP) - Depois de n dias de férias, um estudante 
observa que: 
 
A – Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
B – Quando chove de manhã não chove à tarde; 
C – Houve 5 tardes sem chuva; 
D - Houve 6 manhãs sem chuva. 
 
Então n é igual a: 
 
(A) 7 
(B) 9 
(C) 10 
(D) 11 
(E) 12 
 
08 (CESGRANRIO) - Ordenando os números 
racionais , e , obtemos: 
 
(A) p < r < q 
(B) p < q < r 
(C) r < p < q 
(D) q < r < p 
(E) r < q < p 
 
09 (UFJF) - Na figura abaixo estão representados 
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
Aposição do número real x.y é: 
 
(A) à esquerda do zero 
(B) entre zero e x 
(C) entre x e y 
(D) entre y e 1 
(E) à direita de 1 
 
10 (PUCCAMP) - Numa escola de música, 65% das 
pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes 
Exercícios Propostos 
 
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estudam violão. Sabe-se que 60% das pessoas 
matriculadas são do sexo masculino e que as do sexo 
feminino que estudam violão são apenas 5% do total. 
Nessas condições, escolhendo-se uma matrícula ao 
acaso qual é a probabilidade de ser a de uma pessoa 
do sexo masculino e estudante de teclado? 
 
(A) 2/5 
(B) 3/10 
(C) ¼ 
(D) 1/5 
(E) 1/10 
 
11 - Uma indústria lançou um novo modelo de carro 
que não teve a repercussão esperada. Os técnicos 
identificaram 3 possíveis problemas: design pouco 
inovador (D), acabamento pouco luxuoso (A) e o preço 
mais elevado em relação aos modelos similares do 
mercado (P). Feita a pesquisa, obtiveram o resultado: 
 
 
 
 
Qual conclusão é verdadeira: 
 
(A) Como a quantidadede pessoas que não 
encontraram problemas é maior do que a daquelas 
que encontraram os 3 problemas, a maioria dos 
entrevistados gostou do modelo. 
(B) Mais da metade dos pesquisados achou o preço 
elevado. 
(C) Foram entrevistadas mais de 250 pessoas. 
(D) Necessariamente, quem encontrou problema em A 
também encontrou problema em D. 
 
12 (PUCMG) - Em uma empresa, 60% dos 
funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e 
todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas 
revistas. O percentual de funcionários que lêem as 
duas revistas é: 
 
(A) 20 % 
(B) 40 % 
(C) 60 % 
(D) 75 % 
(E) 140 % 
 
13 (UNIRIO) - Tendo sido feito o levantamento 
estatístico dos resultados do CENSO 
POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se, sobre 
a população, que: 
 
I - 44% têm idade superior a 30 anos; 
II - 68% são homens; 
III - 37% são homens com mais de 30 anos; 
IV - 25% são homens solteiros; 
V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; 
VI - 45% são indivíduos solteiros; 
VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. 
 
Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que 
a porcentagem da população desta cidade que 
representa as mulheres casadas com idade igual ou 
inferior a 30 anos é de: 
 
(A) 6% 
(B) 7% 
(C) 8% 
(D) 9% 
(E) 10% 
 
14 (UNIRIO) - Um engenheiro, ao fazer o 
levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, 
obteve os seguintes dados: 
 
- 28% dos funcionários são mulheres; 
- 1/6 dos homens são menores de idade; 
- 85% dos funcionários são maiores de idade. 
 
Qual é a porcentagem dos menores de idade que são 
mulheres? 
 
(A) 30% 
(B) 28% 
(C) 25% 
(D) 23% 
(E) 20% 
 
15 (UERJ) - um posto de saúde foram atendidas, em 
determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, 
apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre 
ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos 
dados registrados nas fichas de atendimento dessas 
pessoas, foi elaborada a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que 
apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. 
Pode-se concluir que X é igual a: 
 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
 
16 UFSM) - Numa prova de vestibular, ao qual 
concorreram 20000 candidatos, uma questão 
 
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apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato 
devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao 
analisar os resultados da prova, observou-se que 
10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 
6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C. 
 
Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram 
V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B e C; 
500, nas afirmativas A e C; 200, nas afirmativas A, B e 
C. Quantos candidatos consideraram falsas as três 
afirmativas? 
 
(A) 360 
(B) 490 
(C) 720 
(D) 810 
(E) 1080 
 
17 (UERJ) - Três candidatos, A, B e C, concorrem a 
um mesmo cargo público de uma determinada 
comunidade. 
 
A tabela a seguir resume o resultado de um 
levantamento sobre a intenção de voto dos eleitores 
dessa comunidade. 
 
 
Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a 
percentagem de eleitores consultados que não 
votariam no candidato B é: 
 
(A) 66,0% 
(B) 70,0% 
(C) 94,5% 
(D) 97,2% 
 
18 (UFG) - A afirmação "Todo jovem que gosta de 
matemática adora esportes e festas" pode ser 
representada segundo o diagrama: 
 
M = { jovens que gostam de matemática }; 
E = { jovens que adoram esportes }; 
F = { jovens que adoram festas } 
 
 
19 (UFRN) - Uma pesquisa de opinião, realizada num 
bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% 
dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta 
Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não 
iam à praia. De acordo com essa pesquisa, o 
percentual dos entrevistados que frequentavam 
ambas as praias era de: 
 
(A) 20% 
(B) 35% 
(C) 40% 
(D) 25% 
 
20 (EN) - Considere os conjuntos A = {x} e B = {x, {A}} 
e as proposições: 
 
I. {A}  B 
II. {x} A
III. AB
IV. B  A 
V. {x, A}  B 
 
As proposições falsas são: 
(A) I,III e V 
(B) II, IV e V 
(C) II, III, IV e V 
(D) I, III, IV e V 
(E) I, III e IV 
 
21 (CN) - Considere o diagrama onde A, B, C e U são 
conjuntos. A região hachuriada pode ser representada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) (A B)  (A C) - (B C) 
(B) (A B)  (A C) - (B C) 
(C) (A B)  (A C)  (B C) 
(D) (A B) - (A C)  ( B C) 
(E) (A - B)  (A - C)  (B - C) 
 
22 (PUC) - Se A =  e B = {}, então: 
(A) A 
(B) A B = 
(C) A = B 
(D) A B = B 
(E) B  A 
 
23 (CN) - Numa cidade constatou-se que as famílias 
que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-
se que: 40% consomem arroz, 30% consomem 
macarrão, 15% consomem feijão e arroz, 20% 
consomem feijão e macarrão, 60% consomem feijão. 
 
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O percentual correspondente às famílias que não 
consomem esses três produtos, é: 
(A) 10% (B) 3% (C) 15% (D) 5% (E) 12% 
24 - Antes da realização de uma campanha de 
conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de 
Saúde de um município fez algumas observações de 
campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 
eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham 
esses dois vícios. Após a campanha, o número de 
pessoas que apresentaram, pelo menos, um dos dois 
vícios sofreu uma redução de 20%. Com base nessas 
informações, com essa redução, qual o número de 
pessoas sem qualquer um desses vícios? 
 
(A) 102 (B) 104 (C) 106 (D) 108 (E) 110 
 
25 - Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem 
pai professor, 130 alunos não tem a mãe professora e 
5 alunos tem pai e mãe professores. Qual é o número 
de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos 
possuem pelo menos um dos pais professor e que não 
existem alunos irmãos. 
 
(A) 125 (B)135 (C) 145 (D) 155 (E) 165 
26 - Seja R o conjunto dos números reais, N o 
conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos 
números racionais. Qual a afirmativa falsa? 
 
(A) RNQ  
(B) RNQ  
(C) RNQ  
(D) QNQ  
(E) }{RQ  
 
27 (PUC) - Um número racional qualquer: 
 
(A) tem sempre um numero finito de ordens (casas) 
decimais. 
(B) tem sempre um numero infinito de ordens (casas) 
decimais. 
(C) não pode expressar-se em forma decimal exata. 
(D) nunca se expressa em forma de uma decimal 
inexata. 
(E) nenhuma das anteriores. 
 
28 - Resolva: 
(A) 
15
1
33
)30(...333,08
3
5,1
2
1
13
1

 
 
29 - Desenvolva utilizando produtos notáveis: 
(A)  213  (B)  213  
30 - Escreva os intervalos reais, utilizando colchetes, 
formados pelos números. 
(A) maiores que 3 
(B) menores que – 1 
(C) maiores ou iguais a 
2
1
 
31 - Represente, na reta real, os intervalos. 
(A) [2, 8] 
(B) [– 6, – 1[ 
(C) {x є IR / 2 < x < 5} 
(D) c) {x є IR / 3 < x  7} 
(E) [0, +∞[ 
(F) {x є IR / x ≥ – 1} 
(G) {x є IR / – 2  x  2} 
 
32 - Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8,12,14}; 
B = {5,10,15, 20, 25} e C = {1, 2, 3,18, 20} e ∅ o 
conjunto vazio. É correto afirmar que: 
 
(A) B∩C = ∅ 
(B) A - C = {-6,1, 2, 4, 5} 
(C) A∩C = {1, 2, 3, 4, 8,12,14, 20 } 
(D) (A - C) ∩ (B - C) = ∅ 
(E) A∪C = {3, 6,11, 20, 34 } 
 
33 - Da operação (A – B) ∪ (B – A): 
 
 
 
 
 
(A) {2} 
(B) Ø 
(C) {1, 4} 
(D) {1, 4, 0} 
(E) Nenhuma das anteriores 
 
34 - Dado que A = {2,4,6} e B = {2,3,5}. Obter n(A⋃B), 
ou seja, o número de elementos da união entre A e B. 
 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
35 - Uma escola realizou uma pesquisa sobre os 
hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados 
dessa pesquisa foram: 
 
• 82% do total de entrevistados gostamde chocolate; 
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e 
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. 
 
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos 
entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao 
mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita 
é, pelo menos, de: 
 
(A) 25%. 
(B) 30%. 
 
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(C) 35%. 
(D) 40%. 
 
36 - Oitenta alunos de uma sala de aula responderam 
às duas questões de uma prova, verificando-se os 
seguintes resultados: 
 
I - 30 alunos acertaram as duas questões. 
II - 52 alunos acertaram a 1ª questão. 
III - 44 alunos acertaram a 2ª questão. 
 
Nessas condições, conclui-se que: 
 
(A) Nenhum aluno errou as duas questões. 
(B) 36 alunos acertaram somente uma questão. 
(C) 72 alunos acertaram pelo menos uma questão. 
(D) 16 alunos erraram as duas questões. 
(E) Não é possível determinar o número de alunos que 
erraram as duas questões. 
 
37 - Se A ⊄ B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A pode 
ser: 
 
(A) {10} 
(B) {1} 
(C) {10, 23, 12} 
(D) {15, 12}∩{13,12} 
(E) {10, 23, 12, {1,2}} 
 
38 - Seja n um número natural, que possui 
exatamente três divisores positivos, e seja X o 
conjunto de todos os divisores positivos de n³
 
. O 
número de elementos do conjunto das partes de X é: 
 
(A) 64 
(B) 128 
(C) 256 
(D) 512 
 
39 - Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino 
médio, acerca das disciplinas português, geografia e 
história, constatou-se que 65 gostam de português, 60 
gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 
gostam de português e geografia, 30 gostam de 
geografia e história, 20 gostam de história e português 
e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de 
alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas 
é: 
 
(A) 0 
(B) 5 
(C) 10 
(D) 15 
(E) 20 
 
40 - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 
visitaram Manaus, 16, São Paulo e 11, Salvador. 
 
Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e 
desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número 
de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo 
foi: 
 
(A) 29 
(B) 24 
(C) 11 
(D) 8 
(E) 5 
 
41 - As marcas de cerveja mais consumidas em um 
bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons 
constataram que o consumo se deu de acordo com a 
tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? 
(B) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos 
beberam apenas duas dessas marcas? 
(C) Quantos não consumiram a cerveja S? 
(D) Quantos não consumiram a marca B nem a marca 
S? 
 
42 - Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, 
sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são 
fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos 
candidatos masculinos não fumam? 
 
43 - Considere os seguintes subconjuntos de números 
naturais: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4,...} P = { x  IN / 6 ≤ x ≤ 20 } 
A = { x  P / x é par } 
B = { 6, 8, 12, 16 } C = { x  P / x é múltiplo de 5 } 
 
O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é: 
 
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 
 
44 - Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) 
= 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 8, n(B ∩ C) = 9, 
n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Assim sendo, o valor 
de n((A U B) ∩ C) é: 
 
(A) 3 (B) 10 (C) 20 (D) 21 
 
45 - A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 
elementos, A ∩ B tem 10 elementos e AUB tem 48 
elementos. Então o número de elementos de B – A é: 
 
 (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 18 
 
46 - Num grupo de 61 pessoas 18 gostam de 
seriados, mas não gostam de telenovelas; 5 pessoas 
não gostam de telenovelas e nem de seriados; 25% 
das pessoas que gostam de seriados também gostam 
de telenovelas. O total de pessoas do grupo que 
 
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gostam de telenovelas, mas não gostam de seriados 
é: 
 
(A) 30 (B)32 (C)34 (D) 36 
 
 
47- Considere os conjuntos representados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Represente, enumerando seus elementos, os 
conjuntos: 
 
(A) P, Q e R 
(B) (P ∩ Q) – R 
(C) (P U Q) ∩ R 
(D) (P U R) – P 
(E) (Q ∩ R) U P 
 
48 (FATEC) - Se x e y são números reais tais que x = 
(0,25)0,25 e y=16–0,125, é verdade que: 
 
(A) x = y 
(B) x > y 
(C) x·y = 2 
(D) x - y é um número irracional. 
(E) x + y é um número racional não inteiro. 
 
49 (EXTRA) - Dado que r é um número racional e Y 
um número irracional, é verdade que: 
 
(A) x·Y é racional 
(B) Y2 é racional 
(C) x·Y pode ser racional 
(D) x·Y é irracional 
(E) x + Y é racional 
 
50 (PUC-RIO) - Num colégio de 100 alunos, 80 
gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete 
de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não 
gostam de nenhum dos dois sabores? 
(A) 0 (B)10 (C) 20 (D) 30 (E) 40 
 
51 (UFF) - Segundo o matemático Leopold Kronecker 
(1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é 
trabalho do homem.” 
Os conjuntos numéricos são, como afirma o 
matemático, uma das grandes invenções humanas. 
Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é 
correto afirmar que: 
(A) O produto de dois números irracionais é sempre 
um número irracional. 
(B) A soma de dois números irracionais é sempre um 
número irracional. 
(C) Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um 
número irracional. 
(D) Entre dois números racionais distintos existe pelo 
menos um número racional. 
(E) A diferença entre dois números inteiros negativos 
é sempre um número inteiro negativo. 
 
52 - Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida 
que certas operações aritméticas não eram fechadas 
dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, 
por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu 
como extensão do conjunto dos números naturais. 
Embora a adição de dois números naturais resulte 
sempre em um número natural (a adição é fechada no 
conjunto dos números naturais), a subtração não é (a 
subtração de dois números naturais nem sempre 
resulta em um número natural). Assinale a afirmação 
verdadeira: 
 
(A) Os números naturais são fechados em relação à 
divisão. 
(B) Os números inteiros são fechados em relação à 
adição. 
(C) Os números inteiros são fechados em relação à 
divisão. 
(D) A adição de dois números irracionais sempre 
resulta em um número irracional. 
(E) A subtração de dois números irracionais sempre 
resulta em um número irracional. 
 
53 - Na semana cultural de um colégio serão exibidas 
sete peças teatrais distintas, uma em cada dia. Sabe-
se que três dessas peças são do gênero comédia, 
duas do gênero tragédia e duas do gênero drama. De 
quantas maneiras é possível organizar a programação 
teatral de forma que as peças de mesmo gênero 
sejam exibidas em dias consecutivos? 
 
(A) 5 040 
(B) 2 520 
(C) 120 
(D) 144 
(E) 600 
 
54 - Numa prova de matemática de duas questões, 35 
alunos acertaram somente uma questão, 31 acertaram 
a primeira, 8 acertaram as duas e 40 erraram a 
segunda questão. Então, o número de alunos que 
fizeram essa prova foi: 
 
(A) 43 
(B) 48 
(C) 52 
(D) 56 
(E) 60 
 
55 - Num laboratório foi feito um estudo sobre a 
evolução de uma população de vírus. 
 
 
 
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Ao final de um minuto do início das observações, a 
população era formada por 1 elemento; ao final de 2 
minutos, existiam 4 novos elementos; ao final de 3 
minutos, existiam mais 4 novos elementos; e assim 
por diante. Nesse ritmo, o número médio de vírus no 
período de 1 hora foi de: 
 
(A) 117,5 
(B) 118 
(C) 118,5 
(D) 119 
(E) 237 
 
56 (EEAer/CFS B) – Dado x ∈ ℜ, para que o número z 
= ( 2 – xi )( x + 2i ) seja real, o valor de x pode ser: 
 
(A) 4. 
(B) 0. 
(C) –1. 
(D) –2. 
57 (USP-SP) - Depois de n dias de férias, um 
estudante observa que: 
A. choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
B. chove de manhã não chove à tarde; 
C. houve 5 tardes sem chuva; 
D.houve 6 manhãs sem chuva. 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
(A) 7 
(B) 8 
(C) 9 
(D)10 
(E)11 
58 - 52 pessoas discutem a preferência por dois 
produtos A e B, entre outros e conclui-se que onúmero 
de pessoas que gostavam de B era: 
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam 
de A e B; 
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de 
A; 
III - A metade do número de pessoas que não 
gostavam de A nem de B. 
Nestas condições, o número de pessoas que não 
gostavam dos dois produtos é igual a: 
(A) 48 
(B) 35 
(C) 36 
(D) 47 
(E) 37 
59 UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao 
Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 
11,Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus 
e Salvador e , desses5, 3 visitaram também São 
Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus 
ou São Paulo foi: 
(A) 29 
(B) 24 
(C) 11 
(D) 8 
(E) 5 
60 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X 
e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 
comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y 
e 3 comeram as duas. Quantas não comeram 
nenhuma ? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 0 
61 (PUC-SP) - Se A = e B = { }, então: 
(A) A 0 B 
(B) A c B = i 
(C) A = B 
(D) A 1 B = B 
(E) B d A 
62 (FGV-SP) - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O 
número de elementos de A 1B é 30, o número de 
elementos de A 1 C é 20 e o número de elementos de 
A 1 B 1 C é 15. Então o número de elementos de A 1 
(B c C) é igual a: 
(A) 35 
(B) 15 
(C) 50 
(D) 45 
(E) 20 
63 - Sendo a e b números reais quaisquer, os 
números possíveis de elementos do conjunto 
A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: 
(A) 2 ou 5 
(B) 3 ou 6 
(C) 1 ou 5 
(D) 2 ou 6 
(E) 4 ou 5 
64 - De acordo com os dados abaixo informe na 
sequência o que é verdadeiro (V) ou Falso (F) 
 
a) 24 é múltiplo de 2? 
b) 52 é múltiplo de 4? 
c) 50 é múltiplo de 8? 
d) 1995 é múltiplo de 133? 
 
(A) FVVF 
(B) VVFV 
(C) FFVV 
(D) VFVF 
(E) FFFV 
 
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65 - O número 152 489 476 250 é divisível por 6? 
 
66 - O número 678 426 258 132 é divisível por 9? 
 
67 (EsPCEx) - No número 34n27, qual é o algarismo 
que substitui n para que ele seja divisível por 9? 
 
68 (CFS) - É divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente o 
número: 
 
(A) 235 
(B) 520 
(C) 230 
(D) 510 
(E) 532 
 
69 - Três fios que medem respectivamente 24m, 84m 
e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior 
tamanho possível. Então cada pedaço deve medir: 
 
(A) 4m 
(B) 6m 
(C) 14m 
(D) 15m 
 
70 - Dispomos de 7 varas de ferro de 6 m de 
comprimento; 12 varas de ferro de 9,6 m de 
comprimento e 13 varas de ferro de 12 m de 
comprimento. Desejando-se fabricar vigotas para laje 
pré-moldada, deve-se cortar as varas em “pedaços” 
de mesmo tamanho e maior possível, sabendo 
também que para a construção de cada vigota são 
necessários 3 “pedaços” . Nessas condições, quantas 
vigotas obteríamos? 
 
(A) 96 
(B) 32 
(C) 87 
(D) 56 
 
71 - O MDC de dois números A e B é 2
x
.3
3
.5
4
.7. 
Sendo A = 2
x
.3
4
.5
z
.7 e B = 2
6
.3
y
.5
5
.7, então o valor do 
produto x.y.z é 
 
(A) 20 
(B) 80 
(C) 60 
(D) 40 
(E) 11 
 
72 (CORREIOS) – Para a confecção de sacolas serão 
usados dois rolos de fio de nylon. Esses rolos, 
medindo 450cm e 756cm serão divididos em pedaços 
iguais e do maior tamanho possível. Sabendo que não 
deve haver sobras, quantos pedaços serão obtidos? 
 
(A) 25 
(B) 42 
(C) 67 
(D) 35 
(E) 18 
 
73 (NCNB/001) – Em um colégio de São Paulo, há 
120 alunos na 1.ª série do Ensino Médio, 144, na 2.ª e 
60, na 3.ª. Na semana cultural, todos esses alunos 
serão organizados em equipes com o mesmo número 
de elementos, sem que se misturem alunos de séries 
diferentes. O número máximo de alunos que pode 
haver em cada equipe é igual a: 
 
(A) 7. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 28. 
(E) 30. 
 
74 (PMSC1) – Um escritório comprou os seguintes 
itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 
blocos de rascunho e dividiu esse material em 
pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de 
material, porém todos com o mesmo número de itens 
e na maior quantidade possível. 
 
Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então 
o número total de pacotinhos feitos foi: 
 
(A) 74. 
(B) 88. 
(C) 96. 
(D) 102. 
(E) 112. 
 
75 (SPTR/001) – No almoço de confraternização de 
uma empresa estavam presentes 250 homens, 300 
mulheres e 400 crianças. 
 
Em uma brincadeira foram formadas equipes 
compostas apenas de crianças, equipes apenas de 
mulheres e equipes somente de homens. Todas as 
equipes tinham o mesmo número de pessoas e foi 
feito de maneira que fosse o maior número possível. 
 
Em cada equipe havia um total de: 
 
(A) 10 pessoas. 
(B) 20 pessoas. 
(C) 30 pessoas. 
(D) 40 pessoas. 
(E) 50 pessoas. 
 
76 (UEL) - Três ciclistas percorrem um circuito saindo 
todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o 
mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o 
segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base 
nessas informações, depois de quanto tempo os três 
ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de 
partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado 
o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, 
respectivamente? 
 
(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas. 
(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas. 
(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas. 
(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas. 
(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas. 
 
77 (PUC) - “A Dengue é uma doença causada por um 
vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma 
 
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pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes 
aegypti. 
 
Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, 
dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não 
existem vacinas específicas para o seu tratamento, a 
forma de prevenção é a única arma para combater a 
doença”. 
 
Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 
homens inscreveram-se como voluntários para 
percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de 
orientar a população sobre os procedimentos a serem 
usados no combate à Dengue. 
 
Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão 
divididas em grupos, segundo o seguinte critério: 
todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de 
pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um 
mesmo sexo. 
 
Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar 
bairros distintos, o menor número de bairros a serem 
visitados é: 
 
(A) 25 
(B) 29 
(C) 37 
(D) 41 
(E) 45 
 
78 - Obtenha o produto w = z z z1 2 3. . onde: 
 
(A) 
z i
z i
z i
1
2
3
16 160 160
5 325 325
308 308
 
 
 
(cos sen )
(cos sen )
cos sen
 
 
 
 
 (B) 
)4343(cos6
)3131(cos4
)1414(cos3
3
2
1



isenz
isenz
isenz



 
79 - Qual é a forma algébrica do número complexo z 
representado na figura . 
 
80 - A figura abaixo representa um octógono regular 
inscrito numa circunferência. Sabendo-se que 
8BF , determine as formas algébricas e 
trigonométrica dos números complexos cujos afixos 
são os pontos B e D . 
 
 
 
 
81. Determine a P. G. (an) em que\; 
a1 = 3 e an + 1 = 2 . na 
82 - Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 
12, …). 
83 - Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta 
ordem. 
 
84 - O lado de um triângulo equilátero mede 3m. 
Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se 
um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos 
médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo 
equilátero e, assim sucessivamente. Determine a 
soma dos perímetros de todos os triângulos 
construídos. 
 
85 (PUC) - Se a razão de uma P. G. é maior que 1 e o 
primeiro termo é negativo, a P. G. é chamada: 
 
(A) decrescente 
(B) crescente 
(C) constante 
(D) alternante 
(E) singular 
 
86 - Na P. G. estritamente crescente (a1, a2, a3, …) 
tem-se a1 + a6 = 1025 e a3 . a4 = 1024. Determine a 
razão da progressão geométrica. 
 
87 - O segundo termo de uma P. G. crescente tal que 
a1 = 8 e a3 = 18 é igual a: 
 
(A) 10 
(B) 11 
(C)12 
(D) 14 
(E) 15 
 
88 - As medidas do lado, do perímetro e da área de 
um quadrado estão em progressão geométrica, nessa 
ordem. A área do quadrado será: 
 
 
(A) 256 
(B) 64 
(C) 16 
(D) 243 
(E) 729 
 
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89 (FIA) - Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 
40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é: 
 
(A) -1700 
(B) -850 
(C) 850 
(D) 1700 
(E) 750 
 
90 - O valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 
3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA é 
 
(A) 1 
(B) 0 
(C) -1 
(D) –2 
 
91 - O centésimo número natural par não negativo é 
 
(A) 200 
(B) 210 
(C) 198 
(D) 196 
 
92 - Quantos números ímpares há entre 18 e 272? 
 
(A) 100 
(B) 115 
(C) 127 
(D) 135 
 
93 - Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira 
hora. A partir da segunda hora, os preços caem em 
progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 
4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o 
proprietário de um automóvel estacionado 5 horas 
nesse local? 
 
(A) R$ 17,80 
(B) R$ 20,00 
(C) R$ 18,00 
(D) R$ 18,70 
 
94 - Um doente toma duas pílulas de certo remédio no 
primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro 
dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo 
do vidro.Em quantos dias terá tomado todo o 
conteúdo, que é de 72 pílulas? 
 
A) 6 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
 
95 - Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, 
qual o número de coelhas da 7ª geração que serão 
descendentes de uma única coelha? 
 
(A) 3000 
(B) 1840 
(C) 2187 
(D) 3216 
 
96 - Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 
prestações crescentes, de modo que a primeira 
prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes 
seja o dobro da anterior. Qual é o preço do 
automóvel? 
 
(A) R$ 12 700,00 
(B) R$ 13 000,00 
(C) R$ 11 800,00 
(D) R$ 13 200,00 
 
97 (UFMG) - Uma criação de coelhos foi iniciada há 
exatamente um ano e, durante esse período, o 
número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, 
parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar 
com a quantidade inicial de coelhos. 
 
Para que isso ocorra, a porcentagem da população 
atual dessa criação de coelhos a ser vendida é 
 
(A) 75% 
(B) 80% 
(C) 83,33% 
(D) 87,5% 
 
98 - Um professor de educação física organizou seus 
210 alunos para formar um triângulo. Colocou um 
aluno na primeira linha, dois na segunda, três na 
terceira, e assim por diante. O número de linhas é 
 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 30 
(E) NRA 
 
99 - (IBMEC – SP) Um número triangular é um inteiro 
da forma , sendo n um inteiro positivo. Considere a 
tabela: 
 
Posição 1 2 3 ... X ... 
Triangular 1 3 6 ... 3486 ... 
 
A soma dos algarismos de X é: 
 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
 
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100 - (Puc – RS) Tales, um aluno do Curso de 
Matemática, depois de terminar o semestre com êxito, 
resolveu viajar para a Europa. O portão de 
Brandeburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada 
uma com 11 metros de comprimento. Tales passou 
uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda 
e assim sucessivamente, até passar cinco vezes pela 
quinta. Então ele percorreu ____ metros. 
 
(A) 55 
(B) 66 
(C) 165 
(D) 275 
(E) 330 
101 (UF – CE) - A soma dos 15 primeiros termos de 
uma progressão aritmética é 150. O 8° termo dessa 
PA é: 
 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 25 
(E) 30 
 
102 (OSEC/SP) - Um jardim tem uma torneira e dez 
roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista50 
m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da 
seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche 
um balde na torneira e despeja seu conteúdo na 
primeira. Volta à torneira e repete a operação para 
cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e 
voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado: 
 
(A) 1200 m. 
(B) 1180 m. 
(C) 1130 m. 
(D) 1110 m. 
(E) 1000 m. 
 
II - POLINÔMIOS 
 
Um polinômio é uma expressão algébrica formada 
por monômios e operadores aritméticos. O monômio é 
estruturado por números (coeficientes) e variáveis 
(parte literal) em um produto, e os operadores 
aritméticos são: soma, subtração, divisão, 
multiplicação e potenciação. Cada monômio é 
caracterizado por: 
 
1. um coeficiente, que na equação acima é 
representado por a; 
2. uma variável, que na equação é representada 
por x; e 
3. um expoente natural, que na equação é 
representado por n. No caso particular n = 0, 
considera-se que e o termo torna-se 
simplesmente a. 
 
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, 
devidamente normalizados. A expressão mais correta 
é função polinomial, mas o uso de polinômio é 
consagrado. A função polinomial ou polinômio assume 
a forma: 
 
 
 
 
A função constante, é um exemplo de 
função polinomial, bem como a função linear
 
Como podemos notar, polinômios são compostos 
pelas várias expressões algébricas, desde aquelas 
que envolvem apenas números, até as que 
apresentam diversas letras, potências, coeficientes, 
entre outros elementos dos polinômios. 
 
Os polinômios se encontram em um âmbito da 
matemática denominado álgebra, contudo a álgebra 
correlaciona o uso de letras, representativas de um 
número qualquer, com operações aritméticas. 
Portanto, podemos, assim, efetuar as operações 
aritméticas nos polinômios, que são: adição, 
subtração, divisão, multiplicação, potenciação e 
radiciação. 
 
2.1 – Graus do Polinômio 
 
O grau de um termo de uma variável em 
um polinômio é o expoente dessa variável nesse 
termo. Por exemplo, em 2x³ + 4x² + x + 7, o termo de 
maior grau é 2x³; esse termo, e portanto todo 
o polinômio, é dito ser de grau 3. 
 
Um polinômio é formado por vários monômios 
separados por operações, então o grau de um 
polinômio corresponde ao monômio de maior grau. 
Assim, O grau de um monômio é a soma dos 
expoentes da sua parte literal; O único polinômio que 
não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por 
exemplo: 
- P(x) = x
3
 - x
2
 + 2x -3 → temos 3 monômios que 
possuem grau, o que tem maior grau é x
3
, então o 
polinômio tem o mesmo grau que ele. 
- P(x) = x
3
 - x
2
 + 2x -3 é do 3º grau. 
- P(x) = 5x
0
 = 5 → grau zero. 
Exemplos: 
 
9x
5
 possui apenas um expoente, então o monômio é 
do 5º grau. 
 
8x
2
 y
4
 possui dois expoentes, então devemos somá-
los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau. 
 
19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 
+ 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau. 
 
Num polinômio que possui mais de 2 monômios, para 
encontrarmos o seu grau é preciso observar se ele 
está com os termos semelhantes reduzidos se estiver 
escrito na forma reduzida, o grau que ele irá assumir é 
o do monômio que tiver o grau maior. 
 
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5x
4 
+ 3x
2 
– 5 está escrito na forma reduzida e o 
monômio de maior grau é o 5x
4
, então o polinômio 
será do 4º grau. 
 
x
2
 + 4x – x
2
 + 10, possui termo semelhante (x2), então 
a sua forma reduzida ficará 
4x + 10, o monômio de maior grau é 4x, portanto o 
grau do polinômio será de 1º grau. 
 
2.2 - Operações com polinômios 
 
Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de 
extrema importância a aplicação de regras nas 
operações entre os monômios. As situações a serem 
apresentadas abordarão a adição, a subtração e a 
multiplicação de polinômios. 
 
2.2.1 - Adição e Subtração 
Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 
1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles. 
 
Adição 
 
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os 
parênteses realizando o jogo de sinal 
 
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos 
semelhantes 
 
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente 
de acordo com a potência 
 
–3x³ – 2x² + 7x – 3 
 
Subtração 
 
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os 
parênteses realizando o jogo de sinal–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos 
semelhantes 
 
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente 
de acordo com a potência 
 
3x³ – 2x² + 3x – 1 
 
2.2.2 - Multiplicação de polinômio por monômio 
 
Para entendermos melhor, observe o exemplo: 
 
(3x
2
) * (5x
3
 + 8x
2
 – x) → aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação 
 
15x
5
 + 24x
4
 – 3x
3 
 
2.2.3 - Multiplicação de polinômio por polinômio 
 
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por 
polinômio também devemos utilizar a propriedade 
distributiva. Veja o exemplo: 
 
(x – 1) * (x
2
 + 2x - 6) 
x
2
 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1) 
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6) 
 
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos 
semelhantes. 
 
x³ + x² – 8x + 6 
 
Portanto, nas multiplicações entre monômios e 
polinômios aplicamos a propriedade distributiva da 
multiplicação. 
 
Polinômio é uma expressão algébrica composta por 
dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, 
utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: 
realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e 
divisão de potências de mesma base (conservar a 
base e subtrair os expoentes). Quando trabalhamos 
com divisão, utilizamos também a multiplicação no 
processo. Observe o seguinte esquema: 
 
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o 
intuito de entendermos o processo operatório. 
Observe: 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
Caso queira verificar se a divisão está correta, basta 
multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter 
o dividendo como resultado. 
Verificando → quociente * divisor + resto 
= dividendo 
4x * (3x² + x – 2) + 0 
12x³ + 4x² – 8x 
 
Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a 
seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja: 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
Verificando → quociente * divisor + resto = 
dividendo 
http://www.brasilescola.com/matematica/divisao-de-polinomios.htm
 
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(2x – 5) * (5x – 9) + (–5) 
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5) 
10x² – 43x + 45 – 5 
10x² – 43x + 40 
 
Exemplo 3 
 
 
 
 
 
Verificando → quociente * divisor + resto = 
dividendo 
 
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0 
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5 
 
 
Exemplo 4: 
 
 
 
 
 
 
Verificando → quociente * divisor + resto = 
dividendo 
 
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7) 
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) 
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 
12x³ – 19x² + 15x – 3 
 
2.2.4 – Divisibilidade por “x” – “a” 
 
O teorema de D’Alembert é uma consequência 
imediata do teorema do resto, que são voltados para a 
divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O 
teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido 
por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para 
x = a. 
 
O matemático francês D’Alembert provou, levando em 
consideração o teorema citado acima, que um 
polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou 
seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se 
P(a) = 0. 
 
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de 
polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo 
preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é 
igual ou diferente de zero. 
 
Exemplo 1 
 
Calcule o resto da divisão (x
2
 + 3x – 10) : (x – 3). 
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa 
divisão será igual a: 
 
P(3) = R 
3
2
 + 3 * 3 – 10 = R 
9 + 9 – 10 = R 
18 – 10 = R 
R = 8 
 
Portanto, o resto dessa divisão será 8. 
 
Exemplo 2 
 
Verifique se x
5
 – 2x
4
 + x
3
 + x – 2 é divisível por x – 1. 
 
Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um 
binômio se P(a) = 0. 
P(1) = (1)
5
 – 2*(1)
4
 + (1)
3
 + (1) – 2 
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2 
P(1) = 3 – 4 
P(1) = – 1 
 
Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será 
divisível pelo binômio x – 1. 
 
Exemplo 3 
 
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão 
do polinômio 
 
P(x) = x
4
 – mx
3
 + 5x
2
 + x – 3 por x – 2 seja 6. 
 
Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6 
 
P(2) = 2
4
 – m*2
3
 + 5*2
2
 + 2 – 3 
2
4
 – m*2
3
 + 5*2
2
 + 2 – 3 = 6 
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6 
– 8m = 6 – 38 + 3 
– 8m = 9 – 38 
– 8m = – 29 
m = 29/8 
 
Exemplo 4 
 
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x
3
 + x
2
 – 6x + 
7 por 2x + 1. 
 
R = P(x) → R = P(– 1/2) 
 
R = 3*(–1/2)
3
 + (–1/2)
2
 – 6*(–1/2) + 7 
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7 
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc) 
R = –3/8 + 2/8 + 80/8 
R = 79/8 
 
2.2.5 - Dispositivo Prático de Briot-Ruffini 
 
O dispositivo prático de Briot-Ruffini é uma ótima 
ferramenta para realizar a divisão de um polinômio 
qualquer por polinômios do tipo a + x ou a – x. 
 
O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para 
fazer a divisão de polinômios. Para fazer a divisão 
de um polinômio P(x) por outro polinômio Q(x), 
utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, é 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao-polinomio-por-polinomio.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/polinomios-1.htm
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 42 
 
fundamental que o polinômio Q(x) seja da forma x + 
u ou x – u, isto é, deve ser um binômio de 1° grau. 
Através desse dispositivo, podemos identificar 
facilmente o quociente e o resto da divisão. 
 
Para utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, 
precisamos primeiramente analisar o polinômio do 
divisor e encontrar sua raiz. Em seguida, devemos 
identificar todos os coeficientes numéricos do 
polinômio do dividendo. 
 
Vamos considerar a divisão entre os 
polinômios P(x) e Q(x), em que P(x) = a1x
n
 + a2x
n-1
 + 
a3x
n-2
 +... + an-1x
1 
+ a
n
 e Q(x) = x – u. A raiz do 
polinômio Q(x) é dada quando ele é igualado a zero. 
 
 
Portanto, a raiz de Q(x) é: 
 
Q(x) = 0 
x – u = 0 
x = u 
 
Os coeficientes de P(x) são a1, a2, a3, …, an-1, an. A 
montagem do dispositivo de Briot-Ruffini a partir da 
raiz de Q(x) e dos coeficientes de P(x) é dada da 
seguinte forma: 
 
 
 
Para montar o dispositivo de Briot-Ruffini, colocamos a 
raiz de Q(x) à esquerda e os coeficientes de P(x) à 
direita, além de reescrever o primeiro coeficiente na 
linha de baixo. Esse número será multiplicado por u e 
somado com o segundo coeficiente. 
 
O resultado será colocado abaixo do segundo 
coeficiente como vemos na imagem acima. Em 
seguida, esse valor encontrado será multiplicado por u 
e somado com o terceiro coeficiente, e o resultado 
será colocado abaixo do terceiro coeficiente. 
Repetimos esse procedimento até que se acabem os 
coeficientes. 
 
O último valor encontrado será o resto da divisão. Os 
demais valores encontrados na linha inferior serão os 
coeficientes do polinômio encontrado, lembrando que 
o último desses valores sempre acompanhará variável 
cujo expoente é zero. 
 
Vejamos como fazer a divisão de polinômios P(x) por 
Q(x) quando P(x) = 5x
3
 – 2x
2
 + 3x – 1 e Q(x) = x – 2. 
 
Primeiramente, vamos verificar a raiz de Q(x): 
 
Q(x) = 0 
x – 2 = 0 
x = 2 
Vamos montar o dispositivo de Briot-Ruffini através da 
raiz de Q(x) e dos coeficientes de P(x): 
 
 
 
 
O primeiro coeficiente de P(x) é o 5. Nós podemos 
reescrevê-lo na linha inferior: 
 
 
 
 
Agora nós multiplicamos o 5 por 2 e somamos o 
resultado com o segundo coeficiente de P(x), o 
número – 2, isto é, fazemos 5.2 + (– 2) = 8. O 
resultado 8 deve ser escrito embaixo do coeficiente – 
2. 
 
 
 
Repetimos o processo, multiplicamos 8 por 2 e 
somamos com o terceiro coeficiente de P(x), o 
número 3. O cálculo é dado por 8.2 + 3 = 19. 
Escrevemos o resultado embaixo do coeficiente 3. 
 
 
 
Repetimos o procedimento pela última vez. Agora 
multiplicamos o 19 por 2 e somamos o resultado 
com – 1, ou seja, nós fazemos 19.2 + (– 1) = 37. O 
resultado 37 é colocado embaixo de –1 e é o resto de 
nossa divisão. 
 
 
 
O polinômio resultante dessa divisão é determinado 
pelos números 5, 8 e 19. Estes são coeficientes desse 
polinômio. 
 
Como fora dito anteriormente, o último número (19) é 
acompanhado de x
0
, o 8 é acompanhadode x
1
, e 
o 5 é acompanhado de x
2
. Portanto, o polinômio 
resultante da divisão de 5x
3
 – 2x
2
 + 3x – 1 por x – 
2 é 5x
2
 + 8x + 19, e o resto da divisão é r = 37. 
 
Vejamos outro caso, vamos dividir o polinômio P(x) = 
3x
4
 + 5x
3
 – 11x
2
 + 2x – 3 por Q(x) = x + 3. Aplicando a 
explicação do método, temos: 
 
 
 
 
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A divisão de P(x) = 3x
4
 + 5x
3
 – 11x
2
 + 2x – 3 por Q(x) 
= x + 3 resulta no polinômio 3x
3
 – 4x
2
 + x – 1, e o 
resto é 0. 
 
 
 
 
 
 
39 - Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para 
que valores de k temos p(2) = 4? 
 
p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k 
p(2) = 4 
2 * 2³ – k * 2² + 3 * 2 – 2k = 4 
16 – 4k + 6 – 2k = 4 
– 4k – 2k = – 16 – 6 + 4 
– 6k = –18 *(–1) 
6k = 18 
k = 3 
 
Temos que o valor de k é igual a 3. 
 
40 - Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ 
+ ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do 
polinômio e p(2) = 25. 
 
p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1 
Sabendo que 1 é raiz temos: 
p(1) = 0 
1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0 
1 + a + b – 18 + 1 = 0 
a + b = 16 
 
Fazendo p(2) = 25 
2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25 
8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25 
4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1 
4a + 2b = 52 :(2) 
2a + b = 26 
 
a + b = 16 
2a + b = 26 
 
a = 16 – b 
2 * (16 – b) + b = 26 
32 – 2b + b = 26 
– b = 26 – 32 
– b = – 6 
 
b = 6 
a = 16 – b 
a = 16 – 6 
a = 10 
 
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6. 
 
41 - Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 
é igual a 6. Calcule o valor de m. 
p(x) = x² – mx + 6 
p(6) = 0 
6² – m * 6 + 6 = 0 
36 – 6m + 6 = 0 
– 6m = – 42 *(–1) 
6m = 42 
m = 42/6 
m = 7 
42 (FEI/SP) - Determine A, B e C na decomposição 
 
Os valores de A, B e C são respectivamente iguais a 
1/3, –1/3 e –2/3. 
43 (FAAP/SP) - Calcule os valores de a, b e c para 
que o polinômio p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja 
idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14. 
a(x + c)³ + b(x + d) = x³ + 6x² + 15x + 14 
a(x³ + 3x²c + 3xc² + c³) + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14 
ax³ + 3x²ac + 3axc² + ac³ + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 
14 
ax³ + 3x²ac + x(3ac² + b) + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x 
+ 14 
a = 1 
3ac = 6 
3ac² + b = 15 
ac³ + bd = 14 
Exercícios Resolvidos 
 
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Dessa forma: 
3ac = 6 
3 * 1 * c = 6 
3c = 6 
c = 2 
3ac² + b = 15 
3 * 1 * 2² + b = 15 
12 + b = 15 
b = 3 
ac³ + bd = 14 
1 * 2³ + 3 * d = 14 
8 + 3d = 14 
3d = 14 – 8 
3d = 6 
d = 2 
 
Os números a, b e c são respectivamente 1, 3 e 2. 
44 (MACK/SP) - Determine m Є R para que o 
polinômio p(x) = (m − 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x +4 
seja de grau 2. 
 
P(x) tenha grau 2, devemos respeitar as seguintes 
condições: 
m – 4 = 0 
m = 4 
m² – 16 ≠ 0 
m² ≠ 16 
m ≠ + 4 e – 4 
Para m = 4, temos: 
(4 – 4)x³ + (4² – 16)x² + (4 + 4)x + 4 
0x³ + 0x² + 8x + 4 
8x +4 
Para m = – 4, temos 
(–4 –4)x³ + [(–4)² – 16]x² + (–4 + 4)x + 4 
–8x³ + 0x² + 0x + 4 
–8x³ + 4 
Não existe valor para m de modo que o polinômio p(x) 
seja de grau 2. 
45 (MACK/SP) - Calcule os valores de m, n e l para os 
quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 
2l) é nulo. 
 
2m – 1 = 0 
2m = 1 
m = 1/2 
5n – 2 = 0 
5n = 2 
n = 2/5 
3 – 2l = 0 
–2l = –3 
2l = 3 
l = 3/2 
46 (FEI/SP) - Sendo p(x) = ax
4
 + bx³ + c e q(x) = ax³ 
– bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo 
que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2. 
 
 
p(0) = 0 → a * 0
4
 + b * 0
3
 + c = 0 → c = 0 
p(1) = 0 → a * 1
4
 + b * 1
3
 + 0 = 0 → a + b = 0 
q(1) = 2 → a * 1
3
 – b * 1 – 0 = 2 → a – b = 2 
 
Temos que a = 1, b = – 1 e c = 0 
47 - Quais são os valores de a e b considerando p(x) 
= – 4x³ + ax² + bx –18, onde 2 é raiz de p(x) e p(–1) = 
–18. 
 
p(2) = –4 * (2)³ + a * 2² + b * 2 – 18 
0 = –4 * 8 + a * 4 + 2b – 18 
0 = –32 + 4a + 2b – 18 
4a + 2b = 50 
p(–1) = –18 
–4 * (–1)³ + a * (–1)² + b * (–1) – 18 = – 18 
–4 *(–1) + a * (1) – b – 18 = – 18 
4 + a – b – 18 = – 18 
a – b = – 18 + 18 – 4 
a – b = – 4 
 
 
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Os valores de a e b são respectivamente 7 e 11. 
 
 
 
 
 
103 (UESB) - Se P(x) = x
n
 – x
n-1
 + x
n-2
 – … + x
2
 – x + 
1 e P(-1) = 19, então n é igual a: 
 
(A) 10 
(B) 12s 
(C) 14 
(D) 16 
(E) 18 
 
104 (UBERL) - Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + 
x
2
 P(x – 1) ≡ x
3
 + 2x + 2, então P(1) é igual a: 
 
(A) 0 
(B) -1 
(C) 1 
(D) -2 
(E) 2 
 
105 - As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) 
é o quociente do polinômio x
4
 – 10x
3 
+ 24x
2 
+ 10x – 24 
por x
2
 – 6x + 5, são: 
 
(A) -1 e 5 
(B) -1 e -5 
(C) 1 e -5 
(D) 1 e 5 
(E) 0 e 1 
 
106 (UESP) - Se o polinômio P(x) = x
3
 + mx
2
 – 1 é 
divisível por x
2
 + x – 1, então m é igual a: 
 
(A) -3 
(B) -2 
(C) -1 
(D) 1 
(E) 2 
 
107 (UEL) - Se o resto da divisão do polinômio p = 
x
4
 – 4x
3
 – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é: 
 
(A) -5 
(B) -4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 8 
 
108 - Sejam m e n determinados de tal modo que o 
polinômio x
4
 – 12x
3
 + 47x
2
 + mx + n seja divisível por 
x
2
 – 7x + 6. Então m + n é igual a: 
 
(A) 72 
(B) 0 
(C) -36 
(D) 36 
(E) 58 
 
109 - Para que o polinômio 2x
4
 – x
3
 + mx
2
 – nx + 2 
seja divisível por x
2
 – x – 2, devemos ter: 
 
(A) m = 1 e n = 6 
(B) m = -6 e n = -1 
(C) m = 6 e n = 1 
(D) m = -6 e n = 1 
(E) m = 6 e n = -1 
 
110 (UFSM) - Considere os polinômios, de 
coeficientes reais: 
 
A(x) = x3 + ax2 + bx + c 
B(x) = bx3 + 2x2 + cx + 2 
 
(A) a = c = 2 e b = 1 
(B) b = c = 1 e a = 2 
(C) a = b = c = 1 
(D) a = b = c = 2 
(E) nunca 
 
111 (FGV) - Um polinômio P (x) do 4o grau é divisível 
por (x – 3)3. Sendo P (0) = 27 e P (2) = –1, então o 
valor de P (5) é: 
 
(A) 48 (B) 32 (C) 27 (D) 16 (E) 12 
 
112 - Calcule o valor numérico de P(x) = 2x4 – x3 – 
3x2 + x + 5 para x = i. 01. Calcule o valor numérico de 
P(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + x + 5 para x = i. 
 
113 - Dado o polinômio P(x) = x3 + kx2 – 2x + 5, 
determine k sendo P(2) = P(0). 
 
114 - Dado o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, 
calcule P(1) 
 
115 - Determine a soma dos coeficientes do polinômio 
P(x) = (6x2 – 4x + 1)2 . 
 
116 - Determine o grau do polinômio P(x) = (a – 1) x3 
+ (a + 1)x2 – ax + a. 
 
117 - Determine o grau do polinômio P(x) = ax3 – ax2 
– (a + 2)x – a + 1. 
 
118 - Determine a, b, c, d que tornam identicamente 
nulo o polinômio P(x) = (a – 3) x3 + (b + 2)x2 + (c – 
4)x + d 
 
119 - Determine a, b, c, d para que sejam idênticos os 
polinômios P(x) = (a + 2)x3 + (b – 1)x2 + cx + 3 e Q(x) 
= ax2 + 2x – d + 1. 
 
120 - Dado o polinômio P(x) = 3x3 + mx2 + nx + 2, 
determine m e n, sendo P(0) = P(i). 
 
121 - Determine a soma dos coeficientes do polinômio 
P(x) = (4x2 – 3)5 . 
 
122 - Determine a, b, c, d, e que tornam 
identicamente nulo o polinômio P(x) = (a + 7) x4 – bx3 
– cx2 – (d + 2) x + e – 6. 
Exercícios Propostos 
 
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123 - Determine a, b, c, d, e para que sejam idênticos 
os polinômios: P(x) = Q(x) a = 0 P(x) = ax4 + 2x3 + (b 
+ 1) x2 – 5x + c – 1 e 2 = b – 1 b = 3 Q(x) = (b – 
1)x3 + (d – 3)x2 + ex 
 
124 - Divida P(x) = –5x4 + 3x3 – 2x – 3 por D(x) = x 
– 2 pelos métodos: a) da chave b) de Briot-Ruffini 
 
125 - O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x + 
1) é 7 e o resto da divisão de P(x) por (x – 2) é 3. 
Determine o resto da divisão de P(x) por (x + 1) (x – 
2). 
 
126 - Divida P(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 por D(x) = x + 1 
pelos métodos: a) da chave b) de Briot-Ruffini 
127 - Determine o resto da divisão de P(x) = x3 – 5x2 – 
9x + 8 por D(x) = x + 3. 
 
128 -. Divida P(x) = –2x3 + 8x2 + 4 por D(x) = –2x2 – 
119. Divida P(x) = –2x3 + 8x2 + 4 por D(x) = –2x2 – 1 
 
129 - Determine o resto da divisão de P(x) = x4 – 2x3 
+ 3x2 – x + 1 por D(x) = x – i. 
 
130 - Determinar P(x), sabendo que P(x + 1) = x2 – 7x 
+ 6. 
 
131 (FUVEST) - Dados os polinômios P(x) = x2, Q(x) 
= x4 + x2 e R(x) = 5x4 + 3x2, determine os números 
“a” e “b” reaistais que R(x) = a . P(x) + b . Q(x). 
 
III – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação 
algébrica à igualdade P(x) = 0 . Portanto, as raízes da 
equação algébrica , são as mesmas do polinômio 
P(x). 
O grau do polinômio , será também o grau da equação 
. 
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º 
grau . 
 
3.1 - Propriedades das Equações 
 
P1 - Toda equação algébrica de grau n possui 
exatamente n raízes . 
Exemplo: a equação x
3
 - x = 0 possui 3 raízes, pois 
essa equação tem grau 3. 
 
P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível 
por x - b . 
Esta propriedade é muito importante para abaixar o 
grau de uma equação , o que se consegue dividindo 
P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini. 
 
P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 
, então o conjugado a - bi também será raiz . 
Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, 
sabendo-se que três de suas raízes são os 
números 5,3 + 2i e 4 - 3i. Ora, pela propriedade P3, os 
complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também 
raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo 
de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 
raízes. 
 
P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m 
então dizemos que m é uma raiz de grau de 
multiplicidade k . 
Exemplo: a equação (x - 4)
10
 = 0 possui 10 raízes 
iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de 
multiplicidade 10 . 
 
Outro exemplo: a equação x
3
 = 0, possui três raízes 
iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de 
multiplicidade 3 (raízes triplas). 
 
A equação do segundo grau x
2
 - 8x + 16 = 0, possui 
duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos 
então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de 
multiplicidade dois. 
 
P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação 
algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz 
da equação (1 é raiz). 
 
Exemplo: 1 é raiz de 40x
5
 -10x
3
 + 10x - 40 = 0 , pois a 
soma dos coeficientes é igual a zero. 
 
P6 - Toda equação de termo independente nulo , 
admite um número de raízes nulas igual ao menor 
expoente da variável . 
 
Exemplo: a equação 3x
5
 + 4x
2
 = 0 possui duas raízes 
nulas . 
 
A equação x
100
 + x
12
 = 0, possui 100 raízes, das quais 
12 são nulas! 
 
P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação 
aox
n
 + a1x
n-1
 + a2x
n-2
 + ... + an = 0 , então ela pode 
ser escrita na forma fatorada : ao (x - x1) . (x - x2) . 
(x - x3) . ... . (x - xn) = 0 
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma 
equação do 3º grau , então podemos escrever: 
(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x
3
 - 
54x
2
 + 51x + 106 = 0 . (verifique!). 
 
3.2 - Relações de Girard - Albert Girard (1590-
1633). 
São as relações existentes entre os coeficientes e as 
raízes de uma equação algébrica . 
Para uma equação do 2º grau , da forma ax
2
 + bx + c 
= 0 , já conhecemos as seguintes relações entre os 
coeficientes e as raízes x1 e x2 : 
x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a . 
 
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3.3 - Teorema fundamental da álgebra (T.F.A.). 
 
Qualquer equação algébrica, de grau restritamente 
positivo, aceita no campo complexo pelo menos 
uma raiz. 
 
Em relação a este teorema vamos considerar apenas 
as observações e exemplos abaixo: 
 
a) O teorema fundamental da álgebra apenas 
garante a existência de pelo menos uma raiz, ele não 
demonstra qual o número de raízes de uma equação 
algébrica nem como resolver tais raízes. 
b) O T.F.A. somente tem valor para C, já para R este 
teorema não é válido. Isso quer dizer que em uma 
equação algébrica a condição de existência de raiz R 
é incerta, já em R é certeza que sempre terá pelo 
menos uma raiz. 
 
c) Exemplo: A equação x2 + 1 = 0 não possui raiz 
real, porém aceita no campo complexo os números i e 
– i como raízes. 
 
3.4 – Equação de 1º Grau 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação 
que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b 
números racionais, com a diferente de zero. ax+b = 0 
 
Onde a e b são números conhecidos e a diferente de 
0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos 
dois lados, obtemos: ax = -b 
 
Dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10 
 
A letra é a incógnita da equação. A 
palavra incógnita significa " desconhecida". Na 
equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o 
sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que 
sucede, 2ºmembro. 
 
 
 
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo 
da equação. 
 
 
 
3.5 - Equação do 2º Grau 
 
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números 
reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e 
podem ter no máximo um resultado. 
 
Os modelos de expressões que satisfazem a 
condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais 
e a ≠ 0 se enquadram na condição de equações do 2º 
grau, sendo possível a sua resolução através do 
Teorema de Bhaskara. 
 
A utilização desse teorema requer conhecimento dos 
valores dos coeficientes a, b e c, por exemplo, na 
equação 2x² + 4x – 12 = 0 os coeficientes são: a = 2, 
b = 4 e c = –12. 
 
Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas 
raízes (soluções) reais, a condição de existência das 
raízes dependerá do valor do discriminante (?). De 
acordo com o seu valor podemos ter as seguintes 
situações: 
 
? < 0, não possui raízes reais. 
? = 0, possui duas raízes reais idênticas. 
? > 0, possui duas raízes reais e distintas. 
 
As equações do 2º grau poderão ser resolvidas 
utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
 
Resolução de uma equação do 2º grau 
 
Exemplo 1 
 
Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas 
raízes, se existirem. 
 
 
 
a = 1, b = 3 e c = –10 
 
? = b² – 4ac 
? = 3² – 4 * 1 * (–10) 
?= 9 + 40 
? = 49 
 
 
As raízes da equação são x’ = 2 e x” = – 5 
 
Exemplo 2 
 
Determine as soluções reais da seguinte equação: 
 
2x² + 12x + 18 = 0 
 
a = 2, b = 12 e c = 18 
 
? = b² – 4ac 
? = 12² – 4 * 2 * 18 
?= 144 – 144 
? = 0 
 
A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3. 
 
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Exemplo 3 
 
Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0 
a = 4, b = 6 e c = 50 
 
? = b² – 4ac 
? = 6² – 4 * 4 * 50 
?= 36 – 800 
? = – 764 
 
Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor 
do discriminante é menor que zero. 
 
3.6 - Equação do 3.º grau (ou cúbica) 
 
Em Matemática, uma equação cúbica ou equação 
do terceiro grau é uma equação polinomial de grau 
três. Um exemplo é a equação 
 
 
 
Doravante usaremos a seguinte notação para a 
equação do terceiro grau: 
 
 
sendo coeficientes reais ou complexos. 
 
 
Suponhamos sempre que é diferente de zero, pois 
caso contrário não seria uma equação cúbica. 
Observe que, como sempre é possível dividir a 
equação por a3
 
pode-se supor que o coeficiente x3 
de é igual a 1. 
 
As soluções podem ser encontradas usando o 
seguinte método desenvolvido por Scipione del 
Ferro e Tartaglia, publicado por Girolamo Cardano 
Começamos por dividir a equação por α3 para 
chegarmos a uma equação da forma 
 
A substituição elimina o termo quadrático 
e, em consequência de tal, obtemos a equação: 
 
Esta é chamada a cúbica reduzida. 
Suponhamos agora que podemos encontrar 
números u e v tais que: 
 
Nesse caso t = v - u é uma solução da equação, como 
pode ser confirmado substituindo o valor de t em (2) 
graças à seguinte identidade: 
 
 
 
Resolvendo a segunda equação do sistema (3) em 
 
ordem a v, temos: 
 
A substituição de v na primeira equação de (3) dá 
 
 
 
 
Mas esta pode ser vista como uma equação 
quadrática para a incógnita u
3
. Resolvendo esta 
equação obtemos 
 
 
 
Visto que t = v − u e t = x + a/3, temos 
 
 
 
Note-se que existem seis possibilidades para o cálculo 
de u da equação (4), pois existem duas raízes 
quadradas e três raízes cúbicas complexas (a raiz 
principal e a raiz principal multiplicada por 
 
3.7 – Equação do 4º GrauEm matemática, uma equação do quarto grau é 
uma equação polinomial monovariável de grau quarto. 
A forma geral de uma equação do quarto grau é dada 
por: 
 
 
Com pois no contrário o polinômio seria de 
grau menor ou igual a três. 
 
Exemplos: 
 
 
 
Uma equação bi quadrática é uma equação do 
quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
Esta equação pode ser reduzida a uma equação do 
segundo grau através seguinte mudança de variável 
 
Cujas raízes em y são descobertas pela Fórmula de 
Bhaskara: 
 
 
 
 
https://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/13/resolucao-da-equacao-do-3-%c2%ba-grau-ou-cubica/
 
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Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida 
 
 
Apresente coeficientes nulos, será um produto notável 
com as raízes em 
 
Exemplo: 
 
 quando reduzido fica na 
forma 
 
 
As soluções podem ser encontradas usando 
o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático 
italiano Ludovico Ferrari. 
 
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem 
moderna, pode ser escrita como: 
 
 
 
Nota-se que a equação geral 
pode ser reduzida a este caso através da transformação 
 e dividindo a equação resultante por a 
 
A partir daqui, o método consiste em transformar a 
equação em uma diferença de quadrados tal qual 
 cuja solução pode ser 
obtida através dos métodos de resolução 
de equações do segundo grau. 
 
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é 
 transformado no quadrado baseado em 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, somam-se termos em uma nova 
variável , porém de forma a que o primeiro membro 
não deixe de ser um quadrado. 
 
Para isto, além de somar y
2
 devemos somar também
 
 
 
 
Reescrevendo 
 
 
 
 
O segundo membro da equação pode ser reescrito 
 
como 
 
onde são soluções da equação quadrática 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
Para que a equação se torne uma diferença de 
quadrados, é necessário que 
seja um quadrado, então escreveremos que 
que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja 
nula. 
 
Em outras palavras, isto requer: 
 
 
 
que, expandido, gera a equação do terceiro 
grau auxiliar: 
onde apenas uma raiz y1 é necessária (recomenda-se 
utilizar uma raiz real). 
 
Retomando o cálculo da incógnita x temos que: 
 
 
Com isso a equação 
 
pode ser reescrita como 
 
ou 
 
 
que resulta em uma diferença de dois quadrados: 
 
 
 
 
 
 
Que gera duas equações quadráticas que podem ser 
resolvidas pelos métodos de resolução de equações 
de segundo grau nas equações seguintes: 
 
 
 
 
47 - Achar as raízes das equações: 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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(A) x
2
 - x - 20 = 0 
(B) x
2
 - 3x -4 = 0 
(C) x
2
 - 8x + 7 = 0 
 
Equação (A) 
 
 
(1 ) / 2= (1 9) / 2 
1+9 / 2 = 5 
1-9 / 2 = - 4 
x' = 5 e x'' = -4 
Equação (B) 
 
(3 ) / 2 = (3 5) / 2 
3 + 5 / 2 = 4 
3 - 5 / 2 = -1 
x' = 4 e x'' = -1 
Equação (C) 
 
(8 ) / 2 = (8 6) / 2 
8 + 6 / 2 = 7 
2 / 2 = 1 
x' = 7 e x'' = 1 
48 - Resolva a equação: 4x2 + 8x + 6 = 0 
Solução: Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 
8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de 
Bhaskara, temos: 
 
 
Δ = 8² – 4.4.6 
Δ = 64 – 96 
Δ = – 32 
 
Como Δ < 0, a equação não possui raiz real. 
 
49 - Encontre as raízes da equação: x
2
 – 4x – 5 = 0 
 
Solução: Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b 
= – 4, c = – 5. Agora basta aplicar esses valores na 
fórmula de Bhaskara: 
 
 
Δ = (– 4)² – 4.1.(– 5) 
Δ = 16 + 20 
Δ = 36 
x = – (– 4) ± √36 
 2.1 
x = 4 ± 6 
 2 
x' = 10 = 5 
 2 
x'' = – 2 = – 1 
 2 
Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: – 1 e 5. 
 
50 (PUCCAMP) - Se v e w são as raízes da 
equação x
2 
+ ax + b = 0, em que a e b são 
coeficientes reais, então v
2 
+ w
2 
é igual a: 
 
(A) a
2 
- 2b 
(B) a
2 
+ 2b 
(C) a
2 
– 2b
2
 
(D) a
2 
+ 2b
2
 
(E) a
2
 – b
2
 
 
Solução: Ao identificar os coeficientes da equação, 
encontramos: A = 1, B = a e C = b. Agora basta 
aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara. Para 
não nos confundirmos, neste exercício utilizaremos 
letras maiúsculas na fórmula de Bhaskara. Ao 
substituir os coeficientes, utilizaremos letras 
minúsculas como de costume: 
 
 
Δ= a
2
 – 4.1.b 
Δ= a
2
 – 4.b 
 
 
Essa equação terá duas raízes, o que as diferenciará 
será o sinal ± que antecede a raiz quadrada. Então, 
iremos considerar como v o resultado com a raiz 
quadrada positiva e como w o resultado com a raiz 
quadrada negativa. 
 
A soma dos quadrados de v e w é dada por: 
v
2
 + w
2 
 
 
 
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Como possuem sinais opostos, os dois termos com 
raiz serão cancelados, restando apenas: 
 
a² + a² – 4b + a² + a² – 4b 
4 
4a² – 8b 
4 
a² – 2b 
Portanto, a alternativa correta é a letra a. 
 
51 - (UEL) A soma de um número racional não 
inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo 
é33/4. Esse número está compreendido entre: 
 
(A) 5 e 6 
(B) 1 e 5 
(C) 1/2 e 1 
(D) 3/10 e 1/2 
(E) 0 e 3/10 
 
Rersolução: Chamaremos por x o número que 
estamos procurando, seu inverso multiplicativo é 1/x. 
Se a soma de x com o dobro de seu inverso 
multiplicativo é 33/4, teremos: 
x + 2. 1 = 33 
 x 4 
4x² + 8 = 33x 
4x 
4x² – 33x + 8 = 0 
 
Para resolver essa equação do 2° grau, utilizaremos a 
fórmula de Bhaskara: 
 
 
Δ = (– 33)² – 4.4.8 
Δ= 1089 – 128 
Δ= 961 
x = – (– 33) ± √961 
 2.4 
x = 33 ± 31 
 8 
 
 
x' = 64 = 8 
 8 
x'' = 2 = 1 
 8 4 
Encontramos duas raízes para a equação, mas 
observe que o exercício refere-se apenas à raiz que é 
um número racional não inteiro, portanto, o primeiro 
resultado não é interessante, pois 8 é um número 
inteiro. Sendo assim, utilizaremos o valor de x'', uma 
vez que ¼ = 0,25. 
 
A alternativa correta é a letra e, pois ¼ é maior que 
zero e é menor que 3/10, que equivale a 0,3. 
 
52 (PM/SP) - Ao somar todos os gastos da semana, 
Maria somou, por engano, duas vezes o valor da 
conta do supermercado, o que resultou num gasto 
total de R$ 832,00. Porém, se ela não tivesse somado 
nenhuma vez a conta do supermercado, o valor 
encontrado seria R$ 586,00. O valor correto dos 
gastos de Maria durante essa semana foi: 
 
(A) R$ 573,00. 
(B) R$ 684,00. 
(C) R$ 709,00. 
(D) R$ 765,00. 
(E) R$ 825,00. 
 
Resolução: Sendo x o gasto com o supermercado, 
podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: 
 
586 + 2x = 832 
2x = 832 – 586 
2x = 246 
x = 246/2 
x = 123 
 
Logo, 586 + 123 = 709 
 
53 - Qual é o valor de x que poderá satisfazer a 
equação do primeiro grau: 3x + 4(1+x)+2= 5x-x-6? 
 
(A) 4 
(B) -4 
(C) 2 
(D) 3 
 
Resolução: 
 
3x + 4(1+x)+2= 5x-x-6 
3x + 4 + 4x + 2 = 4x – 6 
7x + 6 = 4x – 6 
7x – 4x = -6 – 6 
3x = -12 
x = -12/3 
x = -4 
 
54 - Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam 
ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência 
do Banco do Brasil, foi observado que a fila de 
pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 
pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê 
que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 
pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, 
esta última ficaria com o dobro do número de pessoas 
da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas era: 
 
(A) 24. 
(B) 26. 
(C) 30. 
(D) 32. 
(E) 36. 
 
Resolução: 
 
Vamos considerar que no início haviam x pessoas na 
fila de Iná e x+4 pessoas na fila de Ari. 
Após passarem 8 pessoas da fila de Ari para Iná 
passamos a ter: x+8 pessoas na fila de Iná e x-4 na 
fila de Ari. Veja que a questão fala que neste momento 
Iná fica com o dobro de Ari. 
 
Podemos montar a seguinte equação do primeiro 
grau: 
 
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2(x – 4) = x + 8 
2x – 8 = x + 8 
2x – x = 8 + 8 
x = 16 
 
Logo, existiam x + x + 4 = 16 + 16 + 4 = 36 pessoas 
 
55 - O valor de x na equação 2x/3 – x/5 = 6(x – 2) é: 
 
(A) 160/73 
(B) 120/53 
(C) 180/83 
(D) 140/63 
(E) 100/43 
 
Resolução: 
 
2x/3 – x/5 = 6(x – 2) 
(5.2x – 3.x)/15 = 6(x – 2) 
10x – 3x = 90(x – 2) 
7x = 90x – 180 
180 = 90x – 7x 
83 x = 180 
x = 180/83 
 
56 - Existe um número que somado com seu triplo é 
igual ao dobro desse número somado com doze. O 
valor desse número é: 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Resolução: 
 
Como não sabemos qual é esse número, vamos 
chamá-lo de x, assim podemos montar a seguinte 
equação do primeiro grau: 
 
x + 3x = 2x + 12 
4x = 2x + 12 
4x – 2x = 12 
2x = 12 
x = 12/2 
x = 6 
 
57 - João tem 5 filhos, sendo que dois deles são 
gêmeos. A média das idades deles é 8,6 anos. Porém, 
se não forem contadas as idades dos gêmeos, a 
média dos demais passa a ser de 9 anos. Pode-se 
concluir que a idade dos gêmeos, em anos, é: 
 
(A) 6,5. 
(B) 7,0. 
(C) 7,5. 
(D) 8,0. 
(E) 8,5. 
 
Resolução: 
 
Seja x a idade de cada um dos gêmeos. Como a 
média das idades dos 3 filhos que não são gêmeos é 
9, a soma das idades dos 3 é 27 anos. 
Sabendo que a média dos 5 filhos é 8,6, podemos 
montar a seguinte equação do primeiro grau: 
 
(27 + 2x)/5 = 8,6 
27 + 2x = 8,6.5 
2x = 43 – 27 
2x = 16 
x = 16/2 
x = 8 anos 
 
58 - Resolva: 
 
Vemos que 
 
Calculamos os coeficientes da equação reduzida 
 
 
 
obtida pela substituição : 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
A equação cúbica auxiliar é, pois: 
 
 
 
 
 
131 (UERJ) - Uma calculadora apresenta, entre suas 
teclas, uma tecla D, que duplica o número digitado, e 
uma outra T, que adiciona uma unidade ao número 
que está no visor. Assim, ao digitar 123 e apertar D, 
obtém-se 246. Apertando-se, em seguida, a tecla T, 
obtém-se 247. 1. Uma pessoa digita um número N e, 
após apertar, em seqüência, D, T, D e T, obtém como 
resultado 243. Determine N. 
 
132 (UFMG) - A média das notas na prova de 
Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 
pontos. Nenhum dos alunos obteve nota inferior a 60 
pontos. O número máximo de alunos que podem ter 
obtido nota igual a 90 pontos é 
 
(A) 16 
(B) 13 
Exercícios Propostos 
 
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(C) 23 
(D) 10 
 
133 (FUVEST) - Um casal tem filhos e filhas. Cada 
filhote o número de irmãos igual ao número de irmãs. 
Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do 
número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do 
casal? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
134(UNESP) - Duas empreiteiras farão conjuntamente 
a pavimentação de uma estrada, cada uma 
trabalhando a partir de uma das extremidades. Se 
uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 
81km restantes, a extensão dessa estrada é de: 
 
(A) 125 km. 
(B) 135 km. 
(C) 142 km. 
(D) 145 km. 
(E) 160 km. 
 
135 (PUCSP) - Um feirante compra maçãs ao preço 
de R$0,75 para cada duas unidades e as vende ao 
preço de R$3,00 para cada seis unidades. O número 
de maçãs que deverá vender para obter um lucro de 
R$50,00 é: 
 
(A) 40. 
(B) 52. 
(C) 400. 
(D) 520. 
(E) 600. 
 
136 (UNITAU) - A equação [x - 5]/[x - 10]=[x - 3]/[x - 8]: 
 
(A) admite uma única raiz. 
(B) não admite raiz. 
(C) admite várias raízes reais. 
(D) admite várias raízes complexas. 
(E) admite três raízes reais. 
 
137 (PUCSP) - No esquema abaixo, o número 14 é o 
resultado que se pretende obter para a expressão final 
encontrada ao efetuar-se, passo a passo, a seqüência 
de operações indicadas, a partir de um dado número 
x. 
 
 
O número x que satisfaz as condições do problema é: 
 
(A) divisível por 6. 
(B) múltiplo de 4. 
(C) um quadrado perfeito. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
 
138 (UFC) - O valor de x que é solução, nos números 
reais, da equação (1/2) + (1/3) + (1/4) = x/48 é igual a: 
 
(A) 36 
(B) 44 
(C) 52 
(D) 60 
(E) 68 
 
139 (UERJ) - "há mais truques entre o peixe e 
a balança do que imagina o consumidor..." 
 
Com balanças mais antigas (aquelas que utilizam 
duas bandejas), muitas vezes o peso é oco, ou seja, 
marca 500g, mas pode pesar somente 300g, por 
exemplo. 
 
 
 
 
 
(Adaptado de O Dia, 28/08/98) 
 
Uma balança de dois pratos é usada para medir 2,5kg 
de peixe, da seguinte forma: em um prato está o 
peixe, no outro um peso de 2kg e mais um peso de 
500g. O peixe contém, em suas vísceras, um pedaço 
de chumbo de 200g. O peso de 500g, por ser oco, tem 
na verdade 300g. 
 
Se 1kg desse peixe custa R$12,60, o consumidor 
pagará, na realidade, por kg, o preço de: 
 
(A) R$ 14,60 
(B) R$ 15,00 
(C) R$ 15,50 
(D) R$ 16,00 
 
140 (FATEC) - Seja a equação x£ + 4 = 0 no conjunto 
Universo U=C, onde C é o conjunto dos números 
complexos. 
 
Sobre as sentenças: 
 
I. A soma das raízes dessa equação é zero. 
II. O produto das raízes dessa equação é 4. 
III. O conjunto solução dessa equação é {-2,2} 
 
É verdade que: 
 
(A) somente a I é falsa. 
(B) somente a II é falsa. 
(C) somente a III é falsa. 
(D) todas são verdadeiras. 
(E) todas são falsas. 
 
141 (PUCPR) - Sejam "x1" e "x2‚" números reais, 
zeros da equação (2 - k)x£ + 4kx + k + 1 = 0. 
 
Se x• > 0 e x‚ < 0, deve-se ter: 
 
(A) k > 0 
 
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(B) 0 < k < 3 
(C) k < -1 ou k > 2 
(D) -1 < k < 2 
(E) k > 2 
 
142 (PUCSP) - Se x e y são números reais tais que 
2x+y=8, o valor máximo do produto x.y é: 
 
(A) 24 
(B) 20 
(C) 16 
(D) 12 
(E) 8 
 
143 (UNB) - Para fazer o percurso de 195km de 
Brasília a Goiânia, dois ciclistas partem 
simultaneamente do mesmo local em Brasília. Um 
deles, mantendo uma velocidade média superior em 
4km/h à velocidade média do outro, chega ao destino 
exatamente 1 hora antes deste. Calcule, em km/h, o 
valor absoluto da soma das velocidades médias dos 
dois ciclistas durante esse percurso, desprezando a 
parte fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
144 (PUCMG) - Os números m e n são as raízes da 
equação x2-2rx+r2-1=0. O valor de m2+n2 é: 
 
(A) 2r + 1 
(B) 2 + r 
(C) r
2
 + 1 
(D) 2 (r
2
 + 1) 
 
145 (UFPEL) - Se y é uma constante e x1 e x2‚ são 
raízes da equação x
2
+6x.cosy+9=0 em U=C 
(Conjunto dos Números Complexos), o módulo de 
(x�+x‚) é: 
 
(A) 3 (sen y + cos y) 
(B) 18 
(C) 6 sen y 
(D) 3 cos y 
(E) 6 cos y 
 
146 (UFPI) - Seja f: IR ë IR a função definida por: 
 
 
 
A equação f(x) = 0 possui: 
 
(A) 1 solução 
(B) 2 soluções 
(C) 3 soluções 
(D) 4 soluções 
(E) nenhuma solução 
 
147 (PUCCAMP) - Considere as seguintes equações: 
 
I. x
2 
+ 4 = 0 
II. 
x2
 - 2 = 0 
III. 0,3x = 0,1 
Sobre as soluções dessas equações é verdade que 
em: 
 
(A) II são números irracionais. 
(B) III é número irracional. 
(C) I e II são números reais. 
(D) I e III são números não reais. 
(E) II e III são números racionais. 
 
148 (UEL) - Sabe-se que os números reais α e β são 
raízes da equação x
2
-kx+6=0, na qual k ϵ IR. A 
equação do 2° grau que admite as raízes α+1 e β+1 
é: 
 
(A) x
2
 + (k+2)x + (k+7) = 0 
(B) x
2
 - (k+2)x + (k+7) = 0 
(C) x
2
 + (k+2)x - (k+7) = 0 
(D) x
2
 - (k+1)x + 7 = 0 
(E) x
2 
+ (k+1)x + 7 = 0 
 
149 (UNESP) - Com elementos obtidos a partir do 
gráfico adiante, determine aproximadamente as raízes 
das equações: 
 
(A) f(x) = 0 
(B) f(x) -2x = 0 
 
 
 
 
150 (FUVEST) - Encontre todos os conjuntos de três 
números inteiros consecutivos cuja soma é igual ao 
seu produto. 
 
 
151 (FUVEST) - Se a equação 6x
3
 + kx
2
 - 18x + 9 = 0 
tem raízes reais a e -a, então o valor de k é: 
 
(A) 9/4 
(B) 2 
(C) 9/8 
(D) - 2 
(E) - 4 
 
152 (FATEC) - Foi apresentado a um exímio 
calculista, conhecido como o "homem que calculava", 
o sistema de equações: 
 
 
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e ele rapidamente respondeu: 
 
- Uma solução do sistema é: 
 
 
 
Em seguida perguntaram-lhe: qual a soma dos 
quadrados das raízes da equação 
 
30x3-37x2+15x-2= 0? 
 
De pronto, ele respondeu corretamente.A sua resposta foi: 
 
(A) 7/300 
(B) 47/450 
(C) 101/600 
(D) 437/750 
(E) 469/900 
 
153. (UFSM ) - Se -1 e 5 são duas raízes da equação 
x3+ax2+3x+b=0, então a e b valem, respectivamente, 
_____ e _____, e a outra raiz da equação é _____. 
 
Assinale a alternativa que completa corretamente as 
lacunas. 
 
(A) - 6; - 10; 2 
(B) - 6; - 10; - 2 
(C) 6; - 10; - 2 
(D) 6; 10; - 2 
(E) - 6; 10; 2 
 
154 (UFPI) - Assinale a alternativa que corresponde à 
equação cujas raízes são as recíprocas (inversas) das 
raízes da equação 5x3-x2-85x+17=0. 
 
(A) x
3
 - 5x
2
- 17x + 85 = 0 
(B) 5x
3
 - 85x
2
 - x + 17 = 0 
(C) 85x
3
 - 5x
2
 - 17x + 1 = 0 
(D) 17x
3
 - 85x
2
 - x + 5 = 0 
(E) x
3
 - 17x
2
 - 5x + 85 = 0 
 
155 (UFAL) - Se os conjuntos A e B são tais que 
A={xϵIR | (x
2
-25)
3
=0} e B={xϵIN | 4/3<x<20/3}, então 
é verdade que: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
156 (UEL) - Sabendo-se que as raízes da equação 
x3-3x2-6x+8=0 formam uma progressão aritmética, 
é correto concluir que a: 
(A) menor delas é -2. 
(B) menor delas é -1. 
(C) maior delas é 1. 
(D) maior delas é 2. 
(E) maior delas é 3. 
 
157 (ITA) - Seja k ϵ IR tal que a equação 2x
3
 + 7x
2
 + 
4x + k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x e uma 
raiz x2, distinta de x1•. Então, (k + x1)x2‚ é igual a: 
 
(A) - 6 
(B) - 3 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 8 
 
158 (FGV) - A equação x
3
 - 3x
2
 + 4x + 28 = 0 admite - 
2 como raiz. 
 
As outras raízes satisfazem a equação: 
 
(A) x
2
 - 4x + 14 = 0 
(B) x
2
 - 5x + 14 = 0 
(C) x
2
 - 6x + 14 = 0 
(D) x
2
 - 7x + 14 = 0 
(E) x
2
- 8x + 14 = 0 
 
159 (ITA) - Sendo 1 e 1+2i raízes da equação 
x
3
+ax
2
+bx+c=0, em que a, b e c são números reais, 
então: 
 
(A) b + c = 4 
(B) b + c = 3. 
(C) b + c = 2. 
(D) b + c = 1. 
(E) b + c = 0. 
IV – ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos 
que possibilita a construção de grupos diferentes 
formados por um número finito de elementos de um 
conjunto sob certas circunstâncias. 
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z 
com m elementos e os grupos formados com 
elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a 
taxa do agrupamento, com p<m. 
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três 
tipos principais de agrupamentos, sendo que eles 
podem ser simples, com repetição ou circulares. 
Observação: É comum encontrarmos na literatura 
termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas 
todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às 
vezes são utilizados em concursos em uma forma 
dúbia! 
4.1 - ARRANJOS 
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) 
de forma que os p elementos sejam distintos entre sí 
 
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pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser 
simples ou com repetição. 
4.1.1 - Arranjo simples: Não ocorre a repetição de 
qualquer elemento em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)! 
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12. 
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos 
simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 
grupos que não podem ter a repetição de qualquer 
elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. 
Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} 
4.1.2 - Arranjo com repetição: Todos os 
elementos podem aparecer repetidos em cada grupo 
de p elementos. 
Fórmula: Ar(m,p) = m
p
. 
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 4
2
=16. 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos 
com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 
16 grupos que onde aparecem elementos repetidos 
em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no 
conjunto: 
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,D
B,DC,DD} 
4.1.3 - Arranjo condicional: Todos os elementos 
aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe 
uma condição que deve ser satisfeita acerca de 
alguns elementos. 
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) 
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-
2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72. 
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do 
conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras 
escolhidas no subconjunto {A,B,C}? 
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o 
subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa 
que este subconjunto será formado é p1=2. Com as 
letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que 
estão no conjunto: 
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB} 
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 
grupos que estão no conjunto: 
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF} 
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades 
obtidas pela junção de um elemento do conjunto 
PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico 
arranjo para esta situação é CAFG. 
4.1.4 - Número de Arranjos Simples 
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas 
maneiras diferentes poderemos escolher p elementos 
(p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas 
será chamada um arranjo de m elementos tomados p 
a p. Construiremos uma sequência com os m 
elementos de C. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos 
esta operação com a mudança da cor do elemento 
para a cor vermelha. Para escolher o primeiro 
elemento do conjunto C que possui m elementos, 
temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha 
tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Para escolher o segundo elemento, devemos observar 
o que sobrou no conjunto e constatamos que agora 
existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que 
tenha sido retirado o último elemento dentre os que 
sobraram no conjunto C. O elemento retirado na 
segunda fase é o (m-1)-ésimo. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades 
para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos 
o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), 
teremos algo que pode ser visualizado como: 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez 
teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. 
Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 
possibilidades de escolha. 
Para saber o número total de arranjos possíveis de m 
elementos tomados p a p, basta multiplicar os 
números que aparecem na segunda coluna da tabela 
abaixo: 
Retirada Número de possibilidades 
1 m 
2 m-1 
3 m-2 
... ... 
p m-p+1 
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 
 
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Denotaremos o número de arranjos de m elementos 
tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu 
cálculo será dada por: 
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso 
alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de 
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos 
diferentes? O conjunto solução é: 
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, 
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO} 
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20. 
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso 
alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de 
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não 
necessariamente diferentes)? 
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra 
reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra 
do produto para concluir que há 5x5=25 
possibilidades. 
O conjunto solução é: 
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, 
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU} 
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no 
atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras 
iniciais e 4 algarismos no final? 
XYZ-1234 
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso 
alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 
algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em 
seguida utilize a regra do produto. 
4.1.5 – Número de Arranjos com Repetição 
Seja C um conjunto com m elementos distintos e 
considere p elementos escolhidos neste conjunto em 
uma ordem determinada. 
Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo 
com repetição de m elementos tomados p a p. 
Acontece que existem m possibilidadespara a 
colocação de cada elemento, logo, o número total de 
arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a 
p é dado por m
p
. Indicamos isto por: 
Arep(m,p) = m
p
 
 
4.2 - PERMUTAÇÕES 
 
Quando formamos agrupamentos com m elementos, 
de forma que os m elementos sejam distintos entre sí 
pela ordem. 
As permutações podem ser simples, com repetição ou 
circulares. 
4.2.1 - Permutação simples: São agrupamentos com 
todos os m elementos distintos. 
Fórmula: Ps(m) = m!. 
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6. 
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações 
simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que 
não podem ter a repetição de qualquer elemento em 
cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. 
Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
4.2.2 - Permutação com repetição: Dentre os m 
elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a 
suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, 
m3iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que 
m1+m2+m3+...+mn=m. 
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então 
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... 
C(mn,mn) 
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra 
construída com as mesmas letras da palavra original 
trocadas de posição. Cálculo para o exemplo: m1=4, 
m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-
4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15. 
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com 
as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 
vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 
vez. As permutações com repetição desses 3 
elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos 
de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição 
de todos os elementos de C aparecendo também na 
ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no 
conjunto: 
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, 
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, 
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR} 
4.2.3 - Permutação circular: Situação que ocorre 
quando temos grupos com m elementos distintos 
formando uma circunferência de círculo. 
Fórmula: Pc(m)=(m-1)! 
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6 
 
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Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas 
K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas 
pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular 
(pode ser retangular) para realizar o jantar sem que 
haja repetição das posições? 
Se considerássemos todas as permutações simples 
possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, 
apresentados no conjunto: 
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, 
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, 
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA} 
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que: 
ABCD=BCDA=CDAB=DABC 
ABDC=BDCA=DCAB=CABD 
ACBD=CBDA=BDAC=DACB 
ACDB=CDBA=DBAC=BACD 
ADBC=DBCA=BCAD=CADB 
ADCB=DCBA=CBAD=BADC 
Existem somente 6 grupos distintos, dados por: 
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB} 
 
4.2.4 - Número de Permutações Simples 
 
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. 
Para obter o número de permutações com m 
elementos distintos de um conjunto C, basta escolher 
os m elementos em uma determinada ordem. A tabela 
de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, 
permitirá obter o número de permutações de m 
elementos: 
Retirada Número de possibilidades 
1 m 
2 m-1 
... ... 
p m-p+1 
... ... 
m-2 3 
m-1 2 
m 1 
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1 
Denotaremos o número de permutações de m 
elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo 
será dada por: 
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1 
Em função da forma como construímos o processo, 
podemos escrever: 
A(m,m) = P(m) 
Como o uso de permutações é muito intenso em 
Matemática e nas ciências em geral, costuma-se 
simplificar a permutação de m elementos e escrever 
simplesmente: 
P(m) = m! 
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m 
é lido como: fatorial de m, onde m é um número 
natural. 
Embora zero não seja um número natural no sentido 
que tenha tido origem nas coisas da natureza, 
procura-se dar sentido para a definição de fatorial de 
m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto 
podemos escrever: 
0!=1 
Em contextos mais avançados, existe a função gama 
que generaliza o conceito de fatorial de um número 
real, excluindo os inteiros negativos e com estas 
informações pode-se demonstrar que 0!=1. 
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser 
definido de uma forma recursiva através da função 
P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: 
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1 
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 
3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O 
número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é: 
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as 
letras da palavra AMOR? O número de arranjos é 
P(4)=24 e o conjunto solução é: 
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO
,MAOR, 
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,O
RAM, 
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,R
OMA} 
 
4.2.5 – Número de Permutações com 
Repetição 
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 
bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem 
determinada. Iremos obter o número de permutações 
com repetição dessas bolas. Tomemos 10 
compartimentos numerados onde serão colocadas as 
bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 
compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. 
Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos 
restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e 
 
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finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As 
possibilidades são C(10-3-2,5). 
O número total de possibilidades pode ser calculado 
como: 
 
 
Tal metodologia pode ser generalizada. 
4.3 – COMBINAÇÕES 
Quando formamos agrupamentos com p elementos, 
(p<m) de forma que os p elementos sejam distintos 
entre sí apenas pela espécie. 
4.3.1 - Combinação simples: Não ocorre a repetição 
de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] 
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As 
combinações simples desses 4 elementos tomados 2 
a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de 
qualquer elemento nem podem aparecer na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} 
4.3.2 - Combinação com repetição: Todos os 
elementos podem aparecer repetidos em cada grupo 
até p vezes. 
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p) 
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-
1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As 
combinações com repetição desses 4 elementos 
tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as 
repetições possíveis de elementos em grupos de 2 
elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com 
a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos 
os agrupamentos com 2 elementos formam um 
conjunto com 16 elementos: 
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 
mas para obter as combinações com repetição, 
deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já 
apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, 
BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações 
com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, 
são: 
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} 
 
4.3.3 – Número de Combinações Simples 
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No 
estudo de arranjos, já vimos antes que é possível 
escolher p elementos de A, mas quando realizamos 
tais escolhas pode acontecer que duas coleções com 
p elementos tenham os mesmos elementos em ordens 
trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal 
(H,M). 
Quando se fala casal, não tem importância a ordem da 
posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade 
de escolher duas vezes as mesmas pessoas para 
formar o referido casal. Para evitar a repetição de 
elementos em grupos com a mesma quantidade p de 
elementos, introduziremos o conceito de combinação. 
Diremos que uma coleção de p elementos de um 
conjunto C com m elementos é uma combinação de m 
elementos tomados p a p, seas coleções com p 
elementos não tem os mesmos elementos que já 
apareceram em outras coleções com o mesmo 
número p de elementos. 
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas 
não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de 
elementos em uma ordem diferente. 
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com 
p elementos, existem p! desses arranjos com 
os mesmos elementos, assim, para obter a 
combinação de m elementos tomados p a p, 
deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter 
apenas o número de arranjos que contem conjuntos 
distintos, ou seja: 
C(m,p) = A(m,p) / p! 
Como 
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1) 
então: 
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p! 
que pode ser reescrito 
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p] 
Multiplicando o numerador e o denominador desta 
fração por 
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o 
numerador da fração ficará: 
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m! 
 
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e o denominador ficará: 
p! (m-p)! 
Assim, a expressão simplificada para a combinação 
de m elementos tomados p a p, será uma das 
seguintes: 
 
 
4.3.4 – Número de Combinações com 
Repetição 
Considere m elementos distintos e ordenados. 
Escolha p elementos um após o outro e ordene estes 
elementos na mesma ordem que os elementos dados. 
O resultado é chamado uma combinação com 
repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos 
o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a 
taxa p poderá ser maior do que o número m de 
elementos. 
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções 
(a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos 
de combinações com repetição de 5 elementos 
escolhidos 6 a 6. 
Podemos representar tais combinações por meio de 
símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e 
colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece 
uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø 
serve para separar os objetos em função das suas 
diferenças 
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø 
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# 
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ 
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 
4Ø. Para cada combinação existe uma 
correspondência biunívoca com um símbolo e 
reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo 
exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os 
espaços vazios são preenchidos com barras. Isto 
pode ser feito de C(10,6) modos. Assim: 
Crep(5,6) = C(5+6-1,6) 
Generalizando isto, podemos mostrar que: 
Crep(m,p) = C(m+p-1,p) 
 
4.4 – Regras gerais sobre Análise Combinatória 
Problemas de Análise Combinatória normalmente são 
muito difíceis, mas eles podem ser resolvidos através 
de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do 
produto. 
4.4.1 - Regra da soma: A regra da soma nos diz que 
se um elemento pode ser escolhido de m formas e um 
outro elemento pode ser escolhido de n formas, então 
a escolha de um ou outro elemento se realizará de 
m+n formas, desde que tais escolhas sejam 
independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um 
elemento pode coincidir com uma escolha do outro. 
4.4.2 - Regra do Produto: A regra do produto diz que 
se um elemento H pode ser escolhido de m formas 
diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, 
um outro elemento M pode ser escolhido de n formas 
diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá 
ser realizada de m.n formas. 
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou 
concorrentes sem que os pontos sob análise estejam 
em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos 
distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a 
segunda s contem n outros pontos distintos marcados 
por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos 
traçar segmentos de retas com uma extremidade 
numa reta e a outra extremidade na outra reta? 
 
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e 
assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos 
os pontos de s e assim teremos n segmentos, e 
continuamos até o último ponto para obter também n 
segmentos. 
Como existem m pontos em r e n pontos em s, 
teremos m.n segmentos possíveis. 
4.5 – Propriedades das Combinações 
O segundo número, indicado logo acima por p é 
conhecido como a taxa que define a quantidade de 
elementos de cada escolha. 
4.5.1 - Taxas complementares 
C(m,p)=C(m,m-p) 
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66. 
4.5.2 - Relação do triângulo de Pascal 
 
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1) 
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605 
 
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4.6 – Número Binomial 
O número de combinações de m elementos tomados p 
a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente 
Binomial ou número binomial, denotado na literatura 
científica como: 
 
Exemplo: C(8,2)=28. 
Extensão: Existe uma importante extensão do 
conceito de número binomial ao conjunto dos números 
reais e podemos calcular o número binomial de 
qualquer número real r que seja diferente de um 
número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, 
somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a 
notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem 
sentido quando m e p são números inteiros não 
negativos. Como Pi=3,1415926535..., então: 
 
A função envolvida com este contexto é a 
função gama. Tais cálculos são úteis em 
Probabilidade e Estatística. 
4.6.1 – Teorema Binomial 
Se m é um número natural, para simplificar um pouco 
as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). 
Então: 
(a+b)
m
 = a
m
+m1a
m-1
b+m2a
m-2
b
2
+m3a
m-3
b
3
+...+mmb
m
 
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são: 
(a+b)
2
 = a
2
 + 2ab + b
2
 
(a+b)
3
 = a
3
 + 3 a
2
b + 3 ab
2
 + b
3
 
(a+b)
4
 = a
4
 + 4 a
3
b + 6 a
2
b
2
 + 4 ab
3
 + b
4
 
(a+b)
5
 = a
5
 + 5 a
4
b + 10 a
3
b
2
 + 10 a
2
b
3
 + 5 ab
4
 + b
5
 
A demonstração segue pelo Princípio da Indução 
Matemática. 
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, 
dada por: 
P(m):(a+b)
m
=a
m
+m1a
m-1
b+m2a
m-2
b
2
+m3a
m3 
b
3
+...+mmb
m
 
P(1) é verdadeira pois (a+b)
1
 = a + b 
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com 
k>1: 
P(k): (a+b)
k
=a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kkb
k
 
para provar a propriedade P(k+1). 
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, 
deveremos chegar à conclusão que: 
(a+b)
k+1
=a
k+1
+(k+1)1a
k
b+(k+1)2a
k-1
b
2
+...+(k+1)(k+1)b
k+1 
(a+b)
k+1
= (a+b).(a+b)
k
 
= (a+b).[a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kkb
k
] 
= 
a.[a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
 b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kkb
k
] 
+b.[a
k
+k1a
k-1
b+k2a
k-2
b
2
+k3a
k-3
b
3
+...+kk b
k
] 
= 
a
k+1
+k1a
k
b+k2a
k-1
b
2
+k3a
k-2
b
3
+...+kkab
k
 
+a
k
b+k1a
k-1
b
2
+k2a
k-2
 b
3
+k3a
k-3
b
4
+...+kkb
k+1
 
= 
a
k+1
+[k1+1]a
k
b+[k2+k1]a
k-1
b
2
+[k3+k2]a
k-2
b
3
 
+[k4+k3] a
k-3
b
4
+...+[kk-1+kk-2]a
2
b
k-1
+[kk+kk-
1]ab
k
+kkb
k+1
 
= 
a
k+1
+[k1+k0] a
k
b+[k2+k1]a
k-1
b
2
+[k3+k2]a
k-2
b
3
 
+[k4+k3]a
k-3
b
4
+...+[kk-1+kk-2]a
2
b
k-1
+[kk+kk-
1]ab
k
+kkb
k+1
 
Pelas propriedades das combinações, temos: 
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1 
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2 
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3 
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4 
... ... ... ... 
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1 
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k 
E assim podemos escrever: 
(a+b)
k+1
= 
a
k+1
+(k+1)1a
k
b + (k+1)2a
k-1
b
2
 + 
(k+1)3a
k-2
b
3
 
+(k+1)4a
k-3
b
4
 +...+ (k+1)k-1a
2
b
k-1
 + 
(k+1)kab
k
 + kkb
k+1
 
que é o resultado desejado. 
 
4.7 PROBABILIDADE 
 
A história da teoria das probabilidades, teve início com 
os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo 
da grande existência de exemplos de jogos de azar no 
estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade 
permite que se calcule a chance de ocorrência de um 
número em um experimento aleatório. 
 
4.7.1 - Conceito de probabilidade 
 
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são 
igualmenteprováveis, então a probabilidade de 
ocorrer um evento A é: 
 
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Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número 
par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 
igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% 
 
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é 
equiprovável quando seus eventos elementares têm 
probabilidades iguais de ocorrência.Num espaço 
amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de 
ocorrência de um evento A é sempre: 
 
 
 
4.7.2 Experimento Aleatório 
 
É aquele experimento que quando repetido em iguais 
condições, podem fornecer resultados diferentes, ou 
seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se 
fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a 
abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. 
 
4.7.3 - Espaço Amostral 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. A letra que representa o 
espaço amostral, é S. 
 
Exemplo: 
 
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, 
sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 
elementos: 
 
 S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 
Escreva explicitamente os seguintes eventos: 
A={caras e m número par aparece}, B={um número 
primo aparece}, C={coroas e um número ímpar 
aparecem}. 
Idem, o evento em que: 
a) A ou B ocorrem; 
b) B e C ocorrem; 
c) Somente B ocorre. 
Quais dos eventos A,B e C são mutuamente 
exclusivos 
Resolução: 
Para obter A, escolhemos os elementos de S 
constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, 
K6}; 
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos 
de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} 
 
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos 
de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 
 
(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} 
(b) B e C = B C = {R3,R5} 
 
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em 
A ou C; 
 
B A
c 
C
c 
= {K3,K5,R2} 
A e C são mutuamente exclusivos, porque A C= 
 
4.7.4 - Propriedades Importantes: 
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: 
 
P( A ) + P( A' ) = 1 
 
2. A probabilidade de um evento é sempre um número 
entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 
(probabilidade do evento certo). 
 
 
 
4.7.5 - Condicional 
 
Antes da realização de um experimento, é necessário 
que já tenha alguma informação sobre o evento que 
se deseja observar. 
 
Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento 
tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. 
 
Fórmula de Probabilidade Condicional 
 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual 
a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). 
 
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, 
condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; 
 
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, 
condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; 
 
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, 
condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. 
 
 
 
 
 
 
 
59 - Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 
azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada 
vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a 
primeira ser vermelha e a segunda ser azul? 
 
Resolução: 
 
Exercício Resolvido 
 
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Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos 
os seguintes eventos: 
 
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 
Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 
 
4.7.6 - Eventos independentes 
 
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos 
independentes quando a probabilidade de ocorrer um 
deles não depende do fato de os outros terem ou não 
terem ocorrido. 
 
Fórmula da probabilidade dos eventos 
independentes: 
 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = 
P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) 
 
 
 
 
 
60 - Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 
azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e 
repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade 
de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? 
 
Resolução: 
 
Como os eventos são independentes, a probabilidade 
de sair vermelha na primeira retirada e azul na 
segunda retirada é igual ao produto das 
probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = 
P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na 
primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda 
retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 
10/30.20/30=2/9. 
 
Observe que na segunda retirada forma consideradas 
todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) 
=P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira 
retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela 
foi reposta na urna. 
 
4.7.6 - Probabilidade de ocorrer a união de 
eventos 
 
1. Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de 
eventos: P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2) 
 
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, 
estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) 
e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, 
subtraímos P(E1 e E2). 
 
2. Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de 
eventos mutuamente exclusivos: 
 
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + 
P(En) 
 
 
 
 
 
61 - Se dois dados, azul e branco, forem lançados, 
qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? 
 
Considerando os eventos: 
 
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 
 
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis 
resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, 
temos: P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 
 
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de 
baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 
8 ou um Rei? 
 
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados 
possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os 
eventos: 
 
A: sair 8 e P(A) = 4/52 
B: sair um rei e P(B) = 4/52 
 
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note 
que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei 
ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os 
eventos A e B são mutuamente exclusivos. 
 
 
 
 
62 - Cálculo das probabilidades de se escolher um 
grupo de atletas entre um grupo de equipes 
 
Uma competição esportiva envolveu 20 equipes 
com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização 
dizia que um dos atletas havia utilizado substância 
proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um 
exame antidoping. Foram propostos três modos 
diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo: 
 
I) sortear três atletas dentre todos os participantes; 
II) sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear 
três atletas; 
III) sortear primeiro três equipes e, então, sortear um 
atleta de cada uma dessas três equipes. 
 
Considere que todos os atletas têm igual 
probabilidade de serem sorteados e que: , e 
 sejam as probabilidades de o atleta que utilizou 
a substância proibida seja um dos escolhidos para o 
exame no caso do sorteio ser feito pelo modo  ,  ou 
 . Comparando-se essas probabilidades, obtém-se: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
Exercícios Resolvidos 
Exercício Resolvido 
Exercício Resolvido 
 
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Resolução: 
 
Passo 01 - Seja  um evento e U o conjuntos com 
todos os eventos possíveis num experimento. A 
probabilidade de  ocorrer é: 
 
Passo 02 - Vamos considerar em cada um dos modos 
de sorteio que a ordem de escolha importa, ou seja, o 
jogador (ou equipe) pode ser escolhido 1ª 
na 2ª ou 3ª retirada 
 
Passo 03 - Sortear três atletas dentre todos os 
participantes. 
 
Passo 03 - Com a ordem de escolha dos atletas 
importa, a quantidade de possibilidades de escolher 3 
atletas, entre 200 é: 
 
Passo 05 - A quantidade total de possibilidades de o 
atleta dopado ser escolhido na 1ª retirada é: 
 
Passo 06 - Ou seja, ele sai na 1ª retirada e 
há 199 atletas diferentes na 2ª retirada e 190 atletas 
diferentes na 3ª 
 
Passo 07 - Analogamente, a probabilidade de o atleta 
ser retirado na 2ª e 3ª retirada sãorespectivamente: 
 
 
Passo 08 - Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo 09 - Sortear primeiro uma das equipes e, 
desta, sortear três atletas. 
 
Passo 10 - Dado que uma equipe foi escolhida, a 
quantidade total de possibilidades de se 
escolher 3 atletas em 10 (lembrando que a ordem 
importa) é: 
 
Passo 11 - Assim a quantidade total de possibilidades 
ao se escolher uma equipe e sortear 3 atletas é: 
 
 
Passo 12 - A quantidade total de possibilidades de o 
atleta dopado ser escolhido na 1ª retirada é: 
 
Passo 13 - Ou seja, a equipe dele é escolhida, ele sai 
na 1ª retirada e há 9 atletas diferentes na 2ª retirada 
e 8 atletas diferentes na 3ª. 
 
Passo 14 - Analogamente, a probabilidade de o atleta 
ser retirado na 2ª e 3ª retirada são respectivamente: 
 
 
Passo 15 - Assim: 
 
 
 
Passo 16 - Sortear primeiro três equipes e, então, 
sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. 
 
Passo 17 - Dado que 3 equipes foram escolhidas, a 
quantidade total de possibilidades de se escolher 1 
atleta de cada equipe é: 
 
Passo 18 - Assim a quantidade total de possibilidades 
ao se escolher 3 equipes e sortear 1 atleta de cada 
uma delas: 
 
Passo 19 - A quantidade total de possibilidades de o 
atleta dopado ser escolhido na 1ª retirada é: 
 
 
Passo 20 - Ou seja, a equipe dele é escolhida 
na 1ª retirada e há 19 equipes diferentes na 2ª retirada 
e 18 equipes diferentes na 3ª. 
 
 
Passo 21 - Como a equipe dele saiu na 1ª retirada, 
ele sai no primeiro sorteio e há 10 atletas diferentes 
na 2ª retirada e 10 atletas diferentes na 3ª retirada. 
 
 
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Passo 22 - Analogamente, a probabilidade de a 
equipe do atleta ser retirada na 2ª e 3ª retirada são 
respectivamente: 
Passo 23 
 
Assim: 
Passo 24 Continuando: 
 
Passo 25 - Assim: 
 
A Resposta é a Letra E. 
 
63 - Cálculo da quantidade total de maneiras de 
uma família se acomodar num voo. 
 
Uma família composta por sete pessoas adultas, 
após decidir o itinerário de sua viagem, consultou 
o site de uma empresa aérea e constatou que o voo 
para a data escolhida estava quase lotado. Na Figura 
do Enunciado disponibilizada pelo site, as poltronas 
ocupadas estão marcadas com X e as únicas 
poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
O número de formas distintas de se acomodar a 
família nesse voo é calculado por: 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
 
Resolução 
 
Passo 01 - Há 9 lugares para as 7 pessoas da família, 
logo a quantidade de grupos que se pode formar é: 
 
 
Passo 02 - Como são 7 pessoas (logicamente elas 
são diferentes entre si), da família, elas podem se 
permutar nos lugares, logo a quantidade total de 
maneiras que as pessoas podem ocupar os lugares 
vazios no avião é: 
 
 
Alternativa correta: A 
 
64- Numa cidade, cinco escolas de samba (), 
(),(), (IV) e (V) participam do desfile de Carnaval. 
Quatro quesitos são julgados, cada um por dois 
jurados, que podem atribuir somente uma dentre as 
notas 06, 07, 08, 09, ou .10. 
 
A campeã será a escola que obtiver maior pontuação 
na soma de todas as notas emitidas. Em caso de 
empate, a campeã será a que alcançar a maior soma 
das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo 
e Harmonia. 
 
A Figura do Enunciado mostra as notas do desfile 
desse ano no momento em que faltava somente a 
divulgação das notas do jurado B 
no quesito Bateria. 
 
Quantas configurações distintas das notas a serem 
atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam 
campeã a Escola II? 
 
(A) 21. 
(B) 90. 
(C) 750. 
(D) 1250. 
(E) 3125. 
 
Resolução 
 
Passo 01 - Segundo a Figura do Enunciado, as 
Escolas , e não podem ser campeões, pois 
se o jurado der nota no último quesito, elas 
ficarão com no máximo , e . 
 
Passo 02 - A única escola que pode ganhar da é 
a . Logo as Escolas , e tem 
possibilidades de notas. 
 
Passo 03 - Se as Escolas e empatarem, 
a ganha, pois no quesito Enredo e Harmonia ela 
possui 10 + 10 = 20 pontos e 
a possui pontos. 
 
Passo 04 - Assim a última nota a ser dada pelo 
jurado para a Escola devem ser até unidades 
a menos que a dada para a Escola . 
 
Passo 05 - Nas tabelas a seguir, temos as 
possibilidades que fazem a Escola ser campeã. 
 
 
 
 
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São 6 possibilidades ao total. Portanto a quantidade 
de configurações possíveis que o jurado pode dar 
para as escolas é : 
65 - Verificação do jogador que tem mais chance 
num jogo de dados 
 
José, Paulo e Antônio estão jogando dados não 
viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há 
um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois 
dados simultaneamente. José acredita que, após jogar 
seus dados, os números das faces voltadas para cima 
lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que 
sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua 
soma será igual a 8. 
 
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade 
de acertar sua respectiva soma é: 
 
(A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as 
escolhidas. 
(B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto 
para a escolha de José quanto para a escolha de 
Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha 
de Paulo. 
(C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto 
para a escolha de José quanto para a escolha de 
Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha 
de Paulo. 
(D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua 
soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio 
e apenas 3possibilidades para formar a soma de 
Paulo. 
(E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. 
 
Resolução 
 
Passo 01 - Como a probabilidade de sair cada uma 
das 6 faces é igual (pois o dado não é viciado), temos 
que jogar o dado duas vezes tem a mesma 
probabilidade para cada um dos participantes. 
 
Passo 02 - Assim o participante que terá a maior 
probabilidade de ganhar será o que tiver o maior 
número de jogadas a seu favor. Vamos analisar cada 
aposta separadamente. 
Passo 03 - José - Apostou na soma 7: As 
possibilidades são (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) - 6 
Chances. 
Passo 04 - Paulo - Apostou na soma 4: As 
possibilidades são: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 Chances. 
Passo 05 - Antônio - Apostou na soma 8: As 
possibilidades são (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) – 5 
Chances - 
Passo 06 - Assim José terá mais chance. 
Resposta correta: D 
 
66 - Dos 12 jogadores levados para uma partida de 
vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. 
Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, 
como escolher 1 levantador e 5 atacantes? 
 
Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 
atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem 
não faz diferença, temos: 
 
Resolução: 
 
 
Escolhas do levantador. 
 
 
 
 
escolhas dos 5 atacantes. 
 
Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o 
time. 
 
 
 
160 (FUVEST) - Considere todas as trinta e duas 
sequências, com cinco elementos cada uma, que 
podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. 
 
Quantas dessas sequências possuem pelo menos três 
zeros em posições consecutivas? 
 
(A) 3 
(B) 5 
(C) 8 
(D) 12 
(E) 16 
 
161 (VUNESP) - De uma urna contendo 10 bolas 
coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 
verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são 
os casos possíveis em que aparecem exatamente 
uma bola de cada cor? 
 
(A) 120 
(B) 72 
(C) 24 
(D) 18 
(E) 12 
 
162 (MACK) - Cada um dos círculos da figura ao lado 
deverá ser pintado com uma única cor, escolhida 
dentre quatro disponíveis. 
 
Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca 
serão pintados com a mesma cor, então o número de 
formas de se pintar os círculos é: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
http://lh3.ggpht.com/_j5kbeGgXcbo/SpK3hRFnHEI/AAAAAAAAB0A/dPnj26jbA-M/[UNSET].jpg?imgmax=800
http://lh4.ggpht.com/_j5kbeGgXcbo/SpK4SJW5vpI/AAAAAAAAB0E/kqqzoDciYYc/[UNSET].jpg?imgmax=800
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 67 
 
(A) 100 
(B) 240 
(C) 729 
(D)2916 
(E) 5040 
 
163 (UEL) - Um professor de Matemática comprou 
dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 
42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos 
modos distintos pode ocorrer a premiação? 
 
(A) 861 
(B) 1722 
(C) 1764 
(D) 3444 
(E) 242 
 
164 - O número de equipes de trabalho que poderão 
ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo 
cada equipe ser constituída por um coordenador, um 
secretário e um digitador, é: 
 
(A) 240 
(B) 360 
(C) 480 
(D) 600 
(E) 720 
 
165 MACK) - Os polígonos de k lados (k múltiplos de 
3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da 
figura, são em número de: 
 
 
(A) 83 
(B) 84 
(C) 85 
(D) 168 
(E) 169 
 
166 (MACK) - Um juiz dispõe de 10 pessoas, das 
quais somente 4 são advogados, para formar um 
único júri com 7 jurados. O número de formas de 
compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é: 
 
(A) 120 
(B) 108 
(C) 160 
(D) 140 
(E) 128 
 
167 - Do cardápio de uma festa constavam dez 
diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro 
seriam servidos quentes. O garçom encarregado de 
arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a 
mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de 
salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. 
 
De quantos modos diferentes, teve o garçom a 
liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a 
travessa, respeitando as instruções? 
 
(A) 90 
(B) 21 
(C) 240 
(D) 38 
(E) 80 
 
168 (ITA) - O número de soluções inteiras, maiores ou 
iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é: 
 
(A) 36 
(B) 48 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
 
169 (MACK) - Dentre os anagramas distintos que 
podemos formar com n letras, das quais duas são 
iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. 
O valor de n é: 
 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 122 
 
170 (UFF) - Niterói é uma excelente opção para quem 
gosta de fazer turismo ecológico. Segundo dados da 
prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos dessa 
natureza. 
 
Certo hotel da região oferece de brinde a cada 
hóspede a possibilidade de escolher três dos oito 
pontos turísticos ecológicos para visitar durante sua 
estada. 
 
O número de modos diferentes com que um hóspede 
pode escolher, aleatoriamente, três destes locais, 
independentemente da ordem escolhida, é: 
 
(A) 8 
(B) 24 
(C) 56 
(D) 112 
(E) 336 
 
171 - Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, 
bolsa e chapéu. O organizador do desfile afirma que 
três modelos de saia, três de blusa, cinco de bolsa e 
certo número de chapéus permitem mais de duzentas 
possibilidades de diferentes escolhas deste traje. 
 
Assinale a alternativa que apresenta o número mínimo 
de chapéus que torna verdadeira a afirmação do 
organizador. 
 
(A) 189 
(B) 30 
(C) 11 
 
 
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(D) 5 
(E) 4 
 
172 (FUVEST) - Em uma certa comunidade, dois 
homens sempre se cumprimentam (na chegada) com 
um aperto de mão e se despedem (na saída) com 
outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se 
cumprimentam com um aperto de mão, mas se 
despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam 
acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se 
despedirem. 
 
Em uma comemoração, na qual 37 pessoas 
almoçaram juntos, todos se cumprimentaram e se 
despediram na forma descrita acima. Quantos dos 
presentes eram mulheres, sabendo que foram 
trocados 720 apertos de mão? 
 
(A) 16 
(B) 17 
(C) 18 
(D) 19 
(E) 20 
 
173 (UERJ) - Numa cidade, os números telefônicos 
não podem começar por zero e têm oito algarismos, 
dos quais os quatro primeiros constituem o prefixo. 
Considere que os quatro últimos dígitos de todas as 
farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia 
VIVAVIDA é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não 
repetidos e não necessariamente nesta ordem. 
 
O número máximo de tentativas a serem feitas para 
identificar o número telefônico completo dessa 
farmácia equivale a: 
 
(A) 6 
(B) 24 
(C) 64 
(D) 168 
(E) NDA 
 
174 - Ana dispunha de papéis com cores diferentes. 
Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e 
embalou 30 caixinhas de modo a não usar a mesma 
cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 
embalagens. A menor quantidade de cores diferentes 
que ela necessitou utilizar para a confecção de todas 
as embalagens foi igual a: 
 
(A) 30 
(B) 18 
(C) 6 
(D) 3 
(E) NDA 
 
175 - Um clube resolve fazer uma Semana de 
Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete 
filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao 
elaborar a programação, eles decidem que três 
desses filmes, que são de ficção científica, devem ser 
exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número 
de maneiras diferentes que se pode fazer a 
programação dessa semana é: 
 
(A) 144 
(B) 576 
(C) 720 
(D) 1040 
(E) NDA 
 
176 (UNESP) - Um certo tipo de código usa apenas 
dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, 
considerando esses símbolos como letras, podem-se 
formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 
são algumas palavras de uma, duas e três letras 
desse código. O número máximo de palavras, com 
cinco letras ou menos, que podem ser formadas com 
esse código é: 
 
(A) 120 
(B) 62 
(C) 60 
(D) 20 
(E) 10 
 
177 - As n pessoas que entraram em um banco para 
pagar suas contas podem formar uma fila indiana de 
5040 maneiras diferentes. Determine n. 
 
178 - De quantos modos distintos podemos colocar 3 
livros juntos em uma estante de biblioteca? 
 
179 - Quantos números com cinco algarismos 
podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9 
 
180 (FGV/SP) - Um restaurante oferece no cardápio 
duas saladas distintas, quatro tipos de pratos de 
carne, cinco variedades de bebidas e três sobremesas 
diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato 
de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas 
maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? 
 
(A )90 (B)100 (C) 110 (D)130 (E)120 
 
181 (ITA/SP) - Quantos números de três algarismos 
distintos podemos formar empregando os caracteres 
1, 3, 5, 6, 8 e 9? 
 
(A) 60 (B)120 (C) 240 (D) 40 (E) 80 
182 (PUC) - Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 
pontos sobre outra reta paralela a r. O número de 
triângulos que existem, com vértices nesses pontos, é 
 
(A) 60 (B) 35 (C) 30 (D) 9 (E) 7 
 
183 (FATEC/SP) – Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, a quantidade 
de números formados por dois algarismos não 
repetidos e tomados de A é: 
 
184 (FAAP/SP) - Num hospital existem 3 portas de 
entrada que dão para um amplo saguão no qual 
existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 
6º andar utilizando-se de um dos elevadores. De 
quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 
 
185 (UFGO) - No sistema de emplacamento de 
veículos que seria implantado em 1984, as placas 
deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. 
 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 69 
 
Caso o sistema fosse implantado, o número máximo 
possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria: 
 
(A) 20 (B) 60 (C)120 (D)125 (E)243 
 
186 (CEFET/PR) - Os números dos telefones da 
Região Metropolitana de Curitiba têm 7 algarismos, 
cujo primeiro dígito é 2. 
 
O número máximo de telefones que podem ser 
instalados é: 
 
(A) 1000000 
(B) 2000000 
(C) 3000000 
(D) 6000000 
(E) 7000000 
 
187 (UEPG/PR) - Quantos números pares, distintos, 
de quatro algarismos, podemos formar com os 
algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir? 
 
(A)156 (B) 60 (C)6 (D)12 (E)216 
 
188 (UEL/PR) - Para responder a certo questionário, 
preenche-se o cartão apresentado abaixo, colocando-
se um "x" em uma só resposta para cada questão. 
 
 
 
 
De quantas maneiras distintas pode-se responder a 
esse questionário? 
 
(A) 3125 (B)120 (C)32 (D)25 (E)10 
 
189 (FUVEST/SP) - Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = 
{a
b
; a , b ∈ A, a ≠ b}, o número de elementos de B que 
são pares é: 
 
(A) 5 (B)8 (C)10 (D)12 (E)13 
 
190 (FGV)- Aconteceu um acidente: a chuva molhou 
o papel onde Teodoro marcou o telefone de Aninha e 
apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas 
os dígitos 58347. Observador, Teodoro lembrou que o 
número do telefone da linda garota era um número 
par, não divisível por 5 e que não havia algarismos 
repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as 
combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava 
apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os 
créditos do seu telefone celular. Até então, Teodoro 
havia feito: 
 
(A) 23 ligações 
(B) 59 ligações 
(C) 39 ligações 
(D) 35 ligações 
(E) 29 ligações 
191 (FUVEST) - Três empresas devem ser 
contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em 
um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma 
única empresa e todas elas devem ser contratadas. 
De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos 
os trabalhos? 
 
(A)12 (B) 18 (C) 36 (D) 72 (E) 108 
 
192 (FATEC/SP) - Quantos números distintos entre si 
e menores de 30000 têm exatamente 5 algarismos 
não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 
6}? 
 
(A) 90 (B) 120 C)180 (D) 240 (E) 300 
 
193 (FUVEST/SP) - Quantos são os números inteiros 
positivos de 5 algarismos que não têm algarismos 
adjacentes iguais? 
 
(A) 59 (B) 9.84 C) 8.94 (D) 85 (E) 95 
 
194 (UBA) - Num determinado país, todo rádio 
amador possui um prefixo formado por 5 símbolos 
assim dispostos: um par de letras, um algarismo 
diferente de zero, outro par de letras; por exemplo: PY 
– 6 - CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou 
PV; o segundo par só pode ser constituído das 10 
primeiras letras do alfabeto, não havendo letras 
repetidas. Nesse país o número de prefixos 
disponíveis é: 
 
(A) 270 (B) 1230 (C) 2430 (D) 2700 (E) 1200 
 
195 (UFSM/RS) - Considerando o número de 5 
algarismos distintos 2 4 o número de formas possíveis 
para preencher as lacunas, de modo a obter um 
múltiplo de 5, é: 
 
196 (CEFET/PR) - Um marinheiro dispõe de 3 
bandeiras coloridas para enviar mensagens 
sinalizadas: uma vermelha, uma branca e uma preta. 
 
Qual o número de diferentes mensagens que pode 
enviar podendo usar qualquer número de bandeiras e 
considerando o posicionamento das mesmas? 
 
(A) 90 (B) 20 (C) 25 (D) 40 (E) 15 
 
197 (UFPR) - Dentre todos os números de quatro 
algarismos distintos formados com algarismos 
pertencentes ao conjunto {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, quantos 
são divisíveis por 2? 
 
198 (GAMA FILHO/RJ) - Quantos são os inteiros 
positivos, menores que 1000, que têm seus dígitos 
pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}? 
 
(A)15 (B) 23 (C) 28 (D) 39 (E) 42 
 
199 (UECE) - A quantidade de números inteiros 
compreendidos entre os números 1000 e 4500 que 
podemos formar utilizando os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, 
de modo que não figurem algarismos repetidos, é: 
 
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(A) 48 (B)54 (C) 60 (D) 72 (E) 144 
 
200 (MACK/SP) - Se um quarto tem 5 portas, o 
número de maneiras distintas de se entrar nele e sair 
dele por uma porta diferente é: 
 
(A) 5 (B)10 (C) 15 (D) 20 (E) 25 
 
201 (UEM) - Quinze garotas estão posicionadas numa 
quadra esportiva para uma apresentação de ginástica, 
de modo que não se encontram três em uma linha 
reta, com exceção das garotas que trazem uma letra 
estampada na camiseta e que estão alinhadas 
formando a palavra AERÓBICA. O número de retas 
determinadas pelas posições das quinze garotas é... 
 
202 (FGV) - De quantas formas podemos permutar as 
letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e 
R fiquem juntas em qualquer ordem? 
 
(A) 360 
(B) 720 
(C) 1080 
(D) 1440 
(E) 1800 
 
203 (UEL) - Considere o conjunto A={1, 2, 3, 4}. 
Sendo m o número de todas as permutações simples 
que podem ser feitas com os elementos de A e sendo 
n o número de todos os subconjuntos de A, então: 
 
(A) m < n 
(B) m > n 
(C) m = n + 1 
(D) m = n + 2 
(E) m = n + 3 
 
204 (UNIOESTE) - Quatro amigos vão ao cinema e 
escolhem, para sentar-se, uma fila em que há seis 
lugares disponíveis. Sendo n o número de maneiras 
como poderá sentar-se, o valor de n/5 é igual a: 
 
205 (MACK/SP) - A quantidade de números de três 
algarismos que tem pelo menos 2 algarismos 
repetidos é: 
 
(A) 30 (B) 252 (C) 300 (D) 414 (E) 454 
 
206 (CESGRANRIO) - Em um computador digital, um 
bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma 
sucessão de bits. O número de palavras distintas de 
32 bits é: 
 
(A) 2(232 – 1) 
(B) 232 
(C) 32 31 2 
(D) 322 
(E) 2.32 
 
207 (FGV-SP) - Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 
9, existem x números de 4 algarismos, de modo que 
pelo menos 2 algarismos sejam iguais. O valor de x é: 
 
(A) 505 (B) 427 (C) 120 (D) 625 (E) 384 
V – MATRIZES E DETERMINANTES 
Para compreendermos a conceituação de matriz, 
precisamos aderir à convenção dos matemáticos em 
que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada 
de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da 
esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e 
perceba a prática desta convenção. 
 
Vejamos mais detalhadamente o resultado desta 
convenção. 
 
Em termos gerais: uma matriz m x n, com m e n 
números naturais não nulos, é toda tabela composta 
por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
Representando matrizes 
 
Uma matriz é, em geral, representa por uma letra 
maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C,...Z), enquanto 
os seus termos são representados pela mesma letra, 
desta vez minúscula, acompanhada de dois índices 
(a11 a12 a13 ... amn), onde o primeiro representa a linha 
e o segundo a coluna em que o elemento está 
localizado. 
Uma representação genérica de matriz é mostrada em 
seguida: 
 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matrizes1.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matrizes2.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matrizes3.jpg
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 71 
 
Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou 
seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o 
elemento aij, onde i representa a linha e j a coluna. 
Tomemos como exemplo o elemento a32 → i = 3 e j = 
2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª 
coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = 
(aij)m x n. 
5.1 - TIPOS DE MATRIZES 
 
5.1.1- Matriz quadrada 
 
Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é 
quadrada, quando m = n. Isso significa que o número 
de linhas será igual ao número de colunas. Podemos 
representar este tipo de matriz por An. 
 
Exemplos: 
 
5.1.2 - Matriz triangular 
Uma matriz de ordem n (quadrada) é triangular 
quando todos os elementos acima ou abaixo da 
diagonal principal são nulos (iguais à zero). 
Exemplos: 
 
 
Lembrete: O enunciado diz que os elementos acima 
OU abaixo da diagonal principal, na matriz quadrada, 
são nulos, ou seja, somente uma dessas partes 
(acima ou abaixo) deverá estar nula para caracterizar 
uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são 
nulas, temos outro tipo de matriz, a diagonal, como 
veremos em seguida. 
5.1.3 - Matriz diagonal 
 
A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela 
em que todos os elementos acima e baixo da diagonal 
principal são nulos. 
 
 
5.1.4 - Matriz identidade 
Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n 
cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e 
os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos 
(iguais a zero). Podemos representar esta matriz por 
In. 
 
 
5.1.5 - Matriz nula 
 
Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à 
zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 
0m x n; caso ela seja quadrada, indica-se por 0n. 
 
 
5.1.6 - Matriz linha 
 
É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa 
matriz linha m x n, m = 1. 
 
 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matrizes4.jpgSENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 72 
 
 
5.1.7 - Matriz coluna 
 
É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa 
matriz coluna m x n, n = 1. 
 
 
 
5.2 – IGUALDADE DE MATRIZES 
 
Dizemos que duas matrizes A e B de mesma ordem 
são iguais quando os seus elementos 
correspondentes são iguais (A = B). Da mesma forma, 
se essas duas matrizes A e B não têm a mesma 
ordem ou se seus elementos correspondentes são 
diferentes, dizemos que elas são matrizes diferentes 
(A ≠ B). 
 
Exemplo 
 
As matrizes são iguais. 
 
 
Veja que, pois... 
 
 
a11 = 4 = 3+1 = b11 → a11 = b11 
a12 = 3² = 9 = b12 → a12 = b12 
a21 = = 3 = b21 → a21 = b21 
a22 = -2 = 1-3 = b22 → a22 = b22 
 
5.2.1- Aplicando os conceitos 
 
Sabendo os conceitos sobre a igualdade de matrizes 
vamos resolver uma questão um pouco mais 
complexa envolvendo esta compreensão. 
 
Sempre que for necessário recorra aos exemplos 
dados anteriormente, como forma de esclarecimento e 
amenização das dificuldades que surgirem ao longo 
do caminho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 – OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
5.3.1 – Operação Transposta 
Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-
se transposta de A e indica-se por A
t
 a matriz que se 
obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas 
colunas de A. 
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A operação de obtenção de uma matriz transposta de 
A é denominada transposição da matriz. Observe o 
exemplo: 
 
 
Note que A é do tipo 3 x 2 e A
t
 é do tipo 2 x 3 e que, a 
matriz transposta , a primeira linha corresponde à 
primeira coluna da matriz original e a segunda linha à 
segunda coluna, também da matriz original. 
5.3.2 - Adição de matrizes 
 
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, 
denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida 
adicionando-se os elementos correspondentes de A e 
B. 
 
 
Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 Propriedades da adição 
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo 
tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades: 
- Comutativa: A+B = B+A 
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C 
- Elemento neutro: A+O = O+A = A 
 Matriz oposta 
Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma 
com A resulta na matriz nula. Exemplo: 
Dada a matriz: 
 
 
A oposta de A será 
 
 
pois: 
 
 
5.3.3 - Subtração de matrizes 
Partindo de duas matrizes (A e B) de mesmo tipo, ou 
seja, A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, podemos encontrar 
a matriz diferença (A – B) subtraindo os seus 
elementos correspondentes entre si. As duas matrizes 
envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. 
E a diferença delas deverá dar como resposta outra 
matriz, mas de mesma ordem. 
Assim temos: 
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma 
ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de 
mesma ordem. 
E, para formarmos os elementos de C, subtrairemos 
os elementos de A com os elementos 
correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21 
 
 
 
67 - Dada a matriz: 
 
 A = 3 x 3 e B = 3 x 3 
 
Se subtrairmos A – B, teremos: 
 
 
Exercício Resolvido 
 
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Observe os elementos destacados: 
Quando subtraímos a13 – b13 = c13, 
-1 – (-5) = -1 + 5 =4 
 
Quando subtraímos a31 – b31 = c31, 
- 4 – (-1) = -4 + 1 = -3 
 
Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma 
ordem de A e B. 
 
 
67 - Determine a matriz diferença entre . 
 
 
Vamos procurar a matriz diferença (A – B)3x2 ... 
 
5.4 – MATRIZ INVERSA 
 
Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é 
um processo que envolve multiplicação e igualdade de 
matrizes, envolvendo diversos conceitos da 
matemática, desde operações básicas até a resolução 
de sistemas com duas incógnitas. 
 
Vejamos como ocorre este processo partindo da 
definição de uma matriz inversa. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma 
matriz tal que A.X = In e X.A = In (onde In é a matriz 
identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz 
X de matriz inversa de A, tendo como notação A
(-1)
. 
 
Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz 
dada, deveremos resolver a igualdade de matrizes 
(A.X = In). No caso em que sejam dadas duas 
matrizes e que seja pedido para verificar se uma 
matriz é a inversa da outra, basta efetuar a 
multiplicação destas duas matrizes. Se o resultado 
desta operação for a matriz identidade, afirmaremos 
que se trata de uma matriz inversa. 
 
Para aqueles que já sabem calcular o determinante, 
existe um modo prático para descobrir se uma matriz 
possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o 
determinante da matriz: caso o determinante dê igual 
a zero, não existe matriz inversa para ela. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Com isso a matriz A não possui inversa 
 
A parte principal para matriz inversa é a parte onde se 
deve encontrá-la tendo como base uma matriz dada. 
Vejamos como proceder. 
 
Exemplo: Encontre a matriz inversa da matriz A. 
 
 
 
Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada 
de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com 
elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras 
para representar estes elementos. 
 
 
 
 
Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, 
obteremos a matriz identidade . 
 
 
Por fim, teremos a seguinte igualdade: 
 
 
 
 
Para tanto, deveremos compreender o processo de 
multiplicação de matrizes para realizarmos estes 
cálculos. 
 
 
 
Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 
igualdades muito importantes para os nossos cálculos. 
 
Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com 
mesmas incógnitas fiquem juntas. 
 
 
 
 
 
Em situações como estas devemos resolver estes 
sistemas de equações com duas incógnitas. 
 
Resolvendo o sistema 1) pelo método da adição. 
 
 
Exercício Resolvido 
 
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Substituindo o valor de c, obteremos o valor de a. 
 
 
 
Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obteremos 
os seguintes valores para as incógnitas: 
 
 
 
 
Como encontramos os valores para os elementos da 
matriz inversa, vamos esboçá-la: 
 
 
 
 
Neste primeiro momento verificaremos se de fato esta 
matriz corresponde à matriz inversa: 
 
 
 
De fato, a matriz obtida corresponde à matriz inversa, 
pois o produto das duas matrizes resultou na matriz 
identidade. 
 
5.5 – DETERMINANTES 
 
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo 
número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). 
A toda matriz quadrada está associado um número ao 
qual damos o nome de determinante. 
 
Dentre as várias aplicações dos determinantes na 
Matemática, temos: 
 
 A resolução de alguns tipos de sistemas de 
equações lineares; 
 O cálculo da área de um triângulo situado no 
plano cartesiano, quando são conhecidas as 
coordenadas dos seus vértices; 
 
5.5.1 - Determinante de 1ª ordem 
 
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu 
determinante é o número real a11: 
 
det M =Ia11I = a11 
 
Observação: Representamos o determinante de uma 
matriz entre duas barras verticais, que não têm o 
significado de módulo. 
 
Exemplos: 
 
 M= [5] det M = 
5 ou I 5 I = 5 
 M = [-3] det M= -3 ou I -3 I = -3 
 
 5.5.2 - Determinante de 2ª ordem 
 
Dada a matriz , de ordem 2, por 
 
 
definição o determinante associado a M, determinante 
de 2ª ordem, é dado por: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é 
dado pela diferença entre o produto dos elementos da 
diagonal principal e o produto dos elementos da 
diagonal secundária. 
 
Veja o exemplo a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5.3 - Menor complementar 
 
Chamamos de menor complementar relativo a um 
elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem 
n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à 
matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a 
coluna que passam por aij . 
 
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: 
 
 
a) Dada a matriz, de ordem 2, para 
 
 
determinar o menor complementar relativo ao 
elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1: 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao 
elemento a12 é 
 
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b) Sendo, de ordem 3, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5.4 – Cofator 
 
Chamamos: 
 
De cofator ou complemento algébrico relativo a um 
elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o 
número Aij tal que Aij = (-1)
i+j . MCij . 
 
Veja: 
 
a) Dada, os cofatores relativos aos 
 
 
elementos a11 e a12 da matriz M são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sendo, vamos calcular os 
 
 
 
cofatores A22, A23 e A31: 
 
 
 
 
 
5.5.5 - Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada 
M = [aij]mxn 
 
pode ser obtido pela soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da 
matriz M pelos respectivos cofatores. 
 
 
 Assim, fixando , temos: 
 
 
 
em que é o somatório de todos os termos de 
 
índice i, variando de 1 até m, . 
 
5.5.6 - Regra de Sarrus 
 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito 
por meio de um dispositivo prático, denominado regra 
de Sarrus. 
 
Acompanhe como aplicamos essa regra para: 
 
 
 
 
 
 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao 
lado da terceira: 
 
 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos 
elementos da diagonal principal com os dois produtos 
obtidos pela multiplicação dos elementos das 
paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida 
do sinal positivo): 
 
 
 
 
 
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3º passo: Encontramos a soma do produto dos 
elementos da diagonal secundária com os dois 
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das 
paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida 
do sinal negativo): 
 
 
Assim: 
 
 
Observação: Se desenvolvermos esse determinante 
de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, 
encontraremos o mesmo número real. 
 
5.5.7 - Determinante de ordem n > 3 
 
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo 
do determinante de uma matriz de ordem 3. 
 
Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos 
empregar o Teorema de Laplace para chegar a 
determinantes de ordem 3 e depois aplicar a Regra de 
Sarrus. 
 
5.5.8 - Propriedades dos determinantes 
 
Os demais associados a matrizes quadradas de 
ordem n apresentam as seguintes propriedades: 
 
P1) 
 
 Se In é a matriz identidade, então: det(In) 
 Quando todos os elementos de uma fila (linha ou 
coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é 
nulo. 
Exemplo: 
 
 
 
 
P2) 
 
 Se N é uma matriz nula, então: det(N) = 0 
 Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu 
determinante é nulo. 
 
Exemplo: 
 
 
 
P3) 
 
 Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, 
então: det(A) = 0 
 Se duas filas paralelas de uma matriz são 
proporcionais, então seu determinante é nulo. 
 
Exemplo: 
 
 
P4) 
 A matriz A bem como a sua transposta A
t
, 
possuem o mesmo determinante de A, isto é: 
det(At) = det(A) 
 Se os elementos de uma fila de uma matriz são 
combinações lineares dos elementos 
correspondentes de filas paralelas, então seu 
determinante é nulo. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P5) 
 Se B é a matriz obtida pela multiplicação de 
uma linha (ou coluna) da matriz A por um 
escalar k, então: det(B) = k det(A) 
 Teorema de Jacobi: o determinante de uma 
matriz não se altera quando somamos aos 
elementos de uma fila uma combinação linear 
dos elementos correspondentes de filas 
paralelas. 
 
Exemplo: 
 
 
 
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Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma 
coluna com o dobro da 2ª, temos: 
 
 
 
P6) 
 Se B=kA, onde k é um escalar, então: 
det(B) = kn det(A) 
 O determinante de uma matriz e o de sua 
transposta são iguais. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
P7) 
 
 Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas 
(ou colunas) de A, então: det(B) = - det(A) 
 Multiplicando por um número real todos os 
elementos de uma fila em uma matriz, o 
determinante dessa matriz fica multiplicado por 
esse número. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando 
 
 
 
 
 
P8) 
 
 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: 
det(A) = 0 
 Quando trocamos as posições de duas filas 
paralelas, o determinante de uma matriz muda de 
sinal. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Trocando as posições de 
 
 
P9) 
 
 Se a diferença entre os elementos de duas linhas 
(ou colunas) de uma matriz A é uma mesma 
constante, então: det(A) = 0 
 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou 
abaixo da diagonal principal são todos nulos, o 
determinante é igual ao produto dos elementos 
dessa diagonal. 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
P10) 
 
 Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma 
outra linha (ou coluna) de A, então: det(A) = 0 
 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou 
abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o 
determinante é igual ao produto dos elementos 
dessa diagonal multiplicado por . 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
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P11) 
 
 Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma 
matriz exceto uma delas, o determinante de A 
será uma função linear da linha (ou coluna) não 
fixada da matriz: 
 Para A e B matrizes quadradas de mesma 
ordem n, 
 
 
 
 
 
Como: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
P12) 
 Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de 
uma matriz por um número real k, o determinante 
da matriz será multiplicado (ou dividido) por k. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
6 – SISTEMAS LINEARES 
 
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto 
ou uma coleção de equações com as quais é possível 
lidar de uma única vez. Sistemas Lineares são úteis 
para todos os campos da matemática aplicada, em 
particular, quando se trata de modelar e resolver 
numericamente problemas de diversas áreas. Nas 
engenharias, na física, na biologia, na química e na 
economia, por exemplo, é muito comum a modelagem 
de situações por meio de sistemas lineares. 
 
De maneira geral, um Sistema de Equações 
Lineares pode ser definido como um conjunto 
de m equações, sendo m ≥ 1, com n incógnitas x1, 
 
x2, x3, … xn, de forma que: 
 
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 
… 
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm 
Sendo que: a1, …, an e b são números reais. Os 
números aij são os coeficientes angulares e bi é o 
termo independente e quando este é nulo a equação 
linear é chamada homogênea. 
Exemplo: 
 
O sistema linear acima possui três equações, três 
incógnitas (x, y, z) e os termos independentes, que 
são – 7, 3 e 0. Além disso, no sistema acima há 
uma equação homogênea (4x + y + z = 0). 
 
Um sistema linear também pode ser escrito em forma 
matricial. A seguir, a função apresentada no exemplo 
anterior será exposta em forma de matriz: 
 
 
 
Percebe-se que a forma matricial de um sistema linear 
é igual ao produtomatricial entre a matriz formada 
pelos coeficientes angulares e a matriz formada 
pelas incógnitas, cujo resultado é matriz formada 
pelos termos independentes. 
5.6.1 - Solução de um Sistema Linear 
A solução de um sistema linear é um conjunto de 
valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as 
equações de um sistema linear, ou seja, a ênupla 
ordenada (sequência ordenada de n elementos) é 
solução de um sistema linear S, se for solução de 
todas as equações de S. 
Exemplo: 
 
Os valores que satisfazem as duas equações são x = 
2 e y = 1, logo, a solução do sistema é o par ordenado 
 
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(2,1), como mostra a representação gráfica do sistema 
linear apresentado como exemplo. 
Quando um ocorre um Sistema Linear Homogêneo, 
aquele que possui todas as equações com termos 
independentes nulos, ele admite uma solução nula (0, 
0, …, 0) chamada de solução trivial. Mas, um 
sistema linear homogêneo pode ter outras soluções 
além da trivial. 
 
 
 
 
O sistema linear acima é homogêneo, portanto, a 
priori, já temos a solução trivial dada pelo conjunto (0, 
0, 0). Contudo, também se admite como solução 
desse sistema o conjunto (0, 1, – 1).A partir de agora, 
serão apresentados dois métodos para a obtenção do 
conjunto verdade de um sistema: a Regra de 
Cramer e o Escalonamento. 
5.6.2 - Regra de Cramer 
É aplicável na resolução de um sistema n x n 
incógnitas, no qual o determinante diferente de zero 
(D ≠ 0). Ou seja: (x1 = D1 / D, x2 = D2 / D, … , xn = Dn / 
D). Sendo que, ao considerar o sistema: 
 
 
 
Percebe-se que os coeficientes a1 e a2se relacionam 
com a incógnita x, enquanto b1 e b2 e se relacionam 
com a incógnita y. Agora, a partir da matriz 
incompleta: 
 
 
É possível obter o determinante (D) desta matriz e 
substituindo os coeficientes de x e y que o compõe 
pelos termos independentes c1e c2 é possível 
encontrar os determinantes Dx e Dy para que se 
aplique a Regra de Cramer. Abaixo estão os referidos 
determinantes: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
Então: x = Dx/D = -10/-5 = 2 e y = Dy/D = -5/-5 = 1, 
portanto, como foi mostrado anteriormente, inclusive 
graficamente, o par ordenado (2,1) é o resultado do 
sistema linear acima. 
5.6.3 - Escalonamento 
Um sistema está escalonado quando de equação 
para equação, no sentido de cima para baixo, houver 
aumento dos coeficientes nulos situados antes dos 
coeficientes não nulos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
O sistema acima está escalonado e substituindo as 
incógnitas das equações pelos seus respectivos é 
possível encontrarmos o conjunto solução (1,1,1). 
Para escalonar um sistema é necessário que se 
coloque como primeira equação aquela que tenha o 
coeficiente de valor 1 na primeira incógnita. Caso não 
haja nenhuma equação assim, será necessário dividir 
membro a membro aquela que está como primeira 
equação pelo coeficiente da primeira incógnita. 
Nas demais equações, é necessário que se obtenha 
zero como coeficiente da primeira incógnita, somando 
cada uma delas com o produto da primeira equação 
pelo oposto do coeficiente dessa incógnita, até que se 
possam verificar os valores de cada uma das 
incógnitas e, por fim, encontrar o conjunto solução. 
 
 
67 - Sabemos que os sistemas possuem uma 
representação matricial formada pelos coeficientes 
numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema 
de equações 
 , 
 possui a seguinte representação matricial: 
Exercícios Resolvidos 
 
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O sistema também pode ser representado pela matriz 
incompleta formada somente pelos coeficientes 
numéricos das incógnitas. 
 
Essa representação de sistemas na forma de matrizes 
permite a utilização da Regra de Cramer no cálculo 
das incógnitas do sistema. 
Com base nas informações, calcule os valores de x, y 
e z do sistema de equações: 
 
 utilizando a Regra de Cramer. 
 BATE-PAPO 
Resolução 
No cálculo do determinante das matrizes indicadas 
utilizaremos o método de Sarrus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = Dx / D 
x = –8/–8 
x = 1 
y = Dy/D 
y = –16/–8 
y = 2 
z = Dz/D 
z = 8/–8 = –1 
Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1. 
68 - Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor 
da incógnita y no seguinte sistema de equações 
lineares: 
 
Resolução 
No cálculo do determinante das matrizes indicadas 
utilizaremos o método de Sarrus. 
 
 
 
 
y = Dy / D 
y = 62/31 
y = 2 
O valor da incógnita y no sistema de equações é 2. 
No cálculo do determinante das matrizes indicadas 
utilizaremos o método de Sarrus. 
 
 
 
 
y = Dy / D 
y = 62/31 
y = 2 
O valor da incógnita y no sistema de equações é 2. 
 
 69 (FUVEST/SP) - Carlos e sua irmã Andreia foram 
com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá 
encontraram uma velha balança com defeito, que só 
indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. 
 
 Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as 
seguintes marcas: 
 
http://click.uol.com.br/?rf=barraparceiro&u=http://batepapo.uol.com.br/
 
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 Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; 
Carlos e Andreia pesam 123 kg; 
Andreia e Bidu pesam 66 kg. 
Determine o peso de cada uma deles: 
 
Resolução 
Andreia: a 
Bidu: b 
Carlos: c 
 
 
 
 
 
 
b = Db / D 
b = 30 / 2 
b = 15 
b + c = 87 
15 + c = 87 
c = 87 – 15 
c = 72 
a + b = 66 
a = 66 – 15 
a = 51 
Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
70 (VUNESP/SP) - Um clube promoveu um show de 
música popular brasileira ao qual compareceram 200 
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor 
arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas 
pagaram ingresso. 
Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que 
cada sócio pagou metade desse valor, determine o 
número de sócios e não sócios que compareceram ao 
show. 
Resolução 
x: sócios 
y: não sócios 
 
Por Cramer 
 
x = Dx / D 
x = 600 / 5 
x = 120 
y = Dy / D 
y = 400 / 5 
y = 80 
Por substituição: 
 
 
Isolando x na 1ª equação: 
 
x + y = 200 
x = 200 – y 
Substituindo x na 2ª equação: 
 
5x + 10y = 1400 
5 * (200 – y) + 10y = 1400 
1000 – 5y + 10y = 1400 
–5y + 10y = 1400 – 1000 
5y = 400 
y = 400/5 
y = 80 
 
Substituindo y na 1ª equação: 
x + y = 200 
x = 200 – y 
x = 200 – 80 
x = 120 
No show estavam presentes 120 sócios e 80 não 
sócios. 
71 - Seja A = (aij)3x3, com aij = i + j, e B = (bij)3x3, 
com bij = j – i, determine a matriz C, tal que C = A.B. 
 
Resolução 
 
Primeiramente, vamos determinar os elementos das 
matrizes A e B: 
 
 
 
 
 
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Agora que já conhecemos A e B, podemos realizar o 
produto entre essas matrizes para determinar a 
matriz C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, multiplicando as matrizes A e B, obtemos a 
 
 
matriz . 
 
 
 
72 - Considerando as matrizes abaixo verifique se é 
válida a propriedade comutativa na multiplicação de 
matrizes. 
 
 e , 
 
Resolução 
 
Se queremos verificar a validade da propriedade 
comutativa na multiplicação das matrizes A eB, isso 
implica mostrar se é verdadeira a igualdade A.B = 
B.A. Vamos fazer primeiro o produto A.B: 
 
 
 
Vamos agora fazer o produto B.A: 
 
 
 
Após fazer as multiplicações das matrizes A e B, 
podemos constar que A.B ≠ B.A, portanto, a 
propriedade comutativa não se aplica à multiplicação 
de matrizes. 
 
 
73 (PUC/RS) - O elemento c22 da matriz C = AB, 
 
 
 
onde 
 
 
A = e B = : 
 
 
Determine o elemento C 
 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 6 
(D) 11 
(E) 22 
 
Resolução 
 
Para determinar um elemento de C, não é necessário 
realizar toda a multiplicação entre as matrizes A e B. 
O elemento C22, por exemplo, é formado pela soma 
dos produtos dos elementos da 2ª linha da 
matriz A com os elementos da 2ª coluna da matriz B, 
isto é: 
 
C22 = A21 . B12 + A22 . B22 + A23 . B32 + A24 . B42 
C22 = 5 . 1 + 6 . 1 + 7 . 0 + 8 . 0 
C22 = 5 + 6 
C22 = 11 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra d.74 - Dadas as matrizes a seguir, determine a matriz D 
resultante da operação A + B 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 - Os elementos de uma matriz M quadrada de 
ordem 3 x 3 são dados por aij, onde: 
i + j, se i ≠ j 
0, se i = j 
Determine M + M. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
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76 (PUC/SP) - São dadas as matrizes A = (aij) e B = 
(bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 
4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C. 
 
 
77 - Determine a matriz C, resultado da soma das 
matrizes A e B. 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 - Determine a matriz resultante da subtração das 
seguintes matrizes: 
 
 
Resolução 
 
 
79 - Adicione as matrizes e determine os valores das 
incógnitas. 
 
 
Resolução 
x + x = 10 
2x = 10 
x = 5 
y + 3 = – 1 
y = – 1 – 3 
y = – 4 
3 + t = 4 
t = 4 – 3 
t = 1 
2z + z = 18 
3z = 18 
z = 18/3 
z = 6 
80 - Considerando as matrizes: 
 
 
 
 
 
Determine: 
a) A + B – C 
b) A – B – C 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
209 (UESP) - Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do 
sistema abaixo, então 3×0 + 5y0 + 4z0 é igual a: 
 
Exercícios Propostos 
 
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(A) - 8 
(B) - 7 
(C) - 6 
(D) - 5 
(E) - 4 
 
210 - Calcular a característica da matriz abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
211 - O sistema abaixo: 
 
 
 
(A) Só apresenta a solução trivial; 
(B) É possível e determinado não tendo solução 
trivial; 
(C) É possível e indeterminado; 
(D) É impossível; 
(E) Admite a solução (1; 2; 1) 
 
212 - Resolver o sistema abaixo pela Regra de 
Cramer. 
 
 
 
213 - Resolver o sistema abaixo pela Regra de 
Cramer. 
 
 
 
214 - O sistema abaixo: 
 
 
 
(A) É impossível 
(B) É possível e determinado 
(C) É possível e indeterminado 
(D) Admite apenas a solução (1; 2; 3); 
(E) Admite a solução (2; 0; 0) 
 
 
215 (UEL) - O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é: 
 
 
 
(A) Impossível, para todo k real diferente de -21; 
(B) Possível e indeterminado, para todo k real 
diferente de -63; 
(C) Possível e determinado, para todo k real diferente 
de -21; 
(D) Possível e indeterminado, para todo k real 
diferente de -3; 
(E) Possível e determinado, para todo k real diferente 
de -1 e -63. 
 
216 - Considere o seguinte sistema de equações de 
incógnitas x e y: 
 
 
 
Esse sistema tem uma única solução para certo 
número real k que é um: 
 
(A) Quadrado perfeito 
(B) Número primo 
(C) Número racional não inteiro 
(D) Número negativo 
(E) Múltiplo de 5 
 
217 - Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + 
t é igual a: 
 
 
 
(A) -1 
(B) 7 
(C) 5 
(D) 4 
(E) 5/9 
 
218 - Determinar m para que o sistema abaixo tenha 
apenas a solução trivial. 
 
 
 
219 - Na confecção de três modelos de camisas (A, B 
e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). 
O número de botões por modelos é: 
 
 
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- Camisa A - Botões P: 3; Botões G: 6 
- Camisa B - Botões P: 1; Botões G: 5 
- Camisa C - Botões P: 3; Botões G:5 
 
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, 
nos meses de maio e junho, é: 
 
- Camisa A - Maio: 100; Junho: 50 
- Camisa B - Maio: 50; Junho: 100 
- Camisa C - Maio: 50; Junho: 50 
 
Nestas condições, obter o total de botões usados em 
maio e junho. 
(A) Botões P - Maio: 400; Junho: 600 e Botões G - 
Maio: 1.200; Junho: 1.250 
(B) Botões P - Maio: 500; Junho: 400 e Botões G - 
Maio: 1.100; Junho: 1.050 
(C) Botões P - Maio: 500; Junho: 600 e Botões G - 
Maio: 1.200; Junho: 1.110 
(D) Botões P - Maio: 500; Junho: 600 e Botões G - 
Maio: 1.200; Junho: 1.110 
(E) Botões P - Maio: 400; Junho: 500 e Botões G - 
Maio: 1.010; Junho: 1.500 
220 - Sejam as matrizes 
 
(A) 3 
(B) 39 
(C) 84 
(D) 14 
(E) 15 
221 - Se 
Então necessariamente: 
(A) x = y e m = n 
(B) y = -2x e n = -2m 
(C) x = y = 0 
(D) x = -2y e m = -2n 
(E) x = y = m = n = 0 
222 (MACK) - Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz 
n x m, então: 
(A) Existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3 
(B) Existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3 
(C) Existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B 
(D) Existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3 
(E) Existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A 
= B 
 
223 - Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j. 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
224 - Sobre as sentenças: 
I - O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma 
matriz 3 x 1. 
II - O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma 
matriz 4 x 2. 
III - O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma 
matriz quadrada 2 x 2 
É verdade que: 
(A) somente I e III são falsas 
(B) somente I é falsa 
(C) somente II é falsa 
(D) somente III é falsa 
(E) I, II e III são falsas 
225 (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) - Uma matriz 
quadrada A é dita simétrica se A = A
T
 e é dita 
antissimétrica se A
T
 = -A, onde A
T
 é a matriz 
transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, 
classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações: 
(01) A + A
T
 é uma matriz simétrica 
(02) A - A
T
 é uma matriz antissimétrica 
(A) Verdadeira, Falsa 
(B) Falsa, Falsa 
(C) Verdadeira, Verdadeira 
(D) Falsa, Verdadeira 
226 (PUC) - Se A, B e C são matrizes quadradas e A
t
, 
B
t
 e C
t
 são suas matrizes transpostas, e igualdade 
falsa entre essas matrizes é: 
(A) (A
t
)
t
 = A 
(B) (A - B)C = AC – BC 
(C) (A + B)
t
 = A
t
 + B
t 
(D) (A = B) . C = A . C + B . C 
(E) (A . B)
t
 = A
t
 . B
t 
 
 
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227 - Se uma matriz quadrada A é tal que A
t
 = -A, ela 
é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é 
antissimétrica e: 
 
 
 
 
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente: 
(A) 2, 2 e 4 
(B) 2, -4 e 2 
(C) 4, -2 e 4 
(D) 4, 2 e -4 
(E) 4, -2 e -4 
228 - Se A é uma matriz quadrada de 
ordem 2 e A
t
 sua transposta, determine A, tal que A = 
2 . A
t
. 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
229 - Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua 
transposta, possui: 
 
(A) Pelo menos dois elementos iguais 
(B) Os elementos da diagonal principal iguais a zero 
(C) Determinante nulo 
(D) Linhas proporcionais 
(E) Todos os elementos iguais a zero 
 
230 - Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa 
utilizando materiais diferentes. Considere a matriz 
 
onde representa quantas unidades do material j 
serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i. 
 
 
 
Quantas unidades do material 1 serão empregadas 
para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do 
tipo 2 e duas roupas do tipo 3 ? 
 
(A) 30 
(B) 31 
(C) 32 
(D) 33 
(E) 34 
 
231 - UERJ) Observe a matriz a seguir: 
 
 
 
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte 
resultado: 
 
(A) 1 
(B) Sen x 
(C) Sen² x 
(D) Sen³ x 
(E) NDA 
232 - Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos 
de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para 
guarda-roupas em mogno e cerejeira nos modelos 
básicos, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção 
durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a 
quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de 
armário no mesmo mês. 
 
 
 
 
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do 
modelo requinte nesse mês foi de: 
 
(A) 170 
(B) 192 
(C) 120 
(D) 218 
(E) 188 
 
233 (UNICAP/(PE) - Calcule o valor de x, a fim de que 
o determinante da matriz A seja nulo. 
 
 
234 - U.F. Ouro Preto – MG 
 
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Considere a matriz: 
 
 
235 - Determine o valor de x para que o determinante 
da matriz A seja igual a 8. 
 
VI - FUNÇÕES 
6.1 - Definição 
 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f 
de A em B é uma relação que associa a cada 
elemento x∈A, um único elemento y∈B. Assim, uma 
função liga um elemento do domínio (conjunto A de 
valores de entrada) com um segundo conjunto, o 
contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal 
forma que a cadaelemento do domínio está associado 
exatamente a um, e somente um, elemento do 
contradomínio. O conjunto dos elementos do 
contradomínio que são relacionados pela f a algum x 
do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im(f). 
 
 
 
Vejamos um exemplo através da representação por 
diagramas, onde podemos observar a definição 
descrita: 
 
 
6.2 - Representação por diagramas: 
 
Cada elemento do conjunto A (domínio da função) 
está relacionado a um, e somente um, elemento do 
conjunto B (contradomínio da função). Todos os 
elementos do conjunto B que receberam flechas de A 
são imagens dos elementos de A, ou seja, a imagem 
de -3 é 9, imagem de -2 é 4, imagem de -1 é 1 e 
imagem de 0 é 0. Podemos perceber, nesse caso, que 
a imagem de cada elemento do conjunto A equivale 
ao quadrado do seu valor. Logo, podemos concluir 
que a lei de formação dessa função pode ser definida 
por f(x) = x². 
 
 Dom (f) = {-3,-2,-1,0} 
 CD (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
 IM (f) = {0,1,4,9} 
 
 
Exemplo: Quais dos seguintes diagramas representam 
uma função de A em B? 
 
 
 
 
(A) 
 
 
 
 
 
 
 
(B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a definição de função apresentada 
anteriormente, os gráficos que representam funções 
são as letras: a e c. Consequentemente, os que não 
representam são as letras b e d, pois no item b o 
elemento 0 do conjunto A não se relacionou com 
nenhum elemento do conjunto B, contrariando a 
definição de função. Já na letra D, o elemento 4 do 
conjunto A se conectou com dois elementos do 
conjunto B, o que também não pode. 
Observação: o que podemos concluir, caros alunos? 
Que cada elemento do conjunto A deve mandar uma e 
somente uma flecha para o conjunto B para a relação 
se tornar uma função. Jamais um elemento do 
 
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conjunto A pode mandar 2 flechas ou deixar de 
mandar. 
 
Exemplo: vamos entender melhor o que significa o 
domínio D e a imagem Im observando o gráfico 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com que falamos acima, quando queremos 
saber sobre o domínio, devemos olhar para o eixo x e, 
quando falamos em imagem, devemos olhar pata o 
eixo y. Desse modo todos os valores utilizados sobre 
o eixo x representam o maior domínio dessa função, 
ou seja, D=[0,4] e todos ou valores utilizados sobre o 
eixo y representam a imagem, o que podemos concluir 
Im=[0,2] 
 
Exemplo: vamos determinar o maior domínio das 
funções abaixo: 
 
1º) f(x) = 
3
𝑥
 
 
Sabemos que o denominador de uma fração tem que 
ser diferente de zero, pois não existe divisão por zero. 
Nesse caso, temos que ter x≠0 para que 2x seja 
possível em IR 
 
Logo o domínio são os reais não nulos. 
 
2º) f(x) = √𝑥 − 4 
 
Sabemos que no conjunto dos números reais não 
existe raiz quadrada de número negativo. 
 
Portanto, temos que ter x−4≥0 para que seja possível 
em IR 
Daí, x−4≥0⟺x≥4 
 
Logo, D(f) = [4, + ∞[ 
 
3º) 
 
Nesse caso, devemos ter: 
 
 
 
 
 
Ou seja, x∈ ]2, 7]. Para cada x∈ ]2, 7], f(x) existe e é 
único. 
 
Logo, D(f) = ]2, 7]. 
 
Vamos observar agora mais um exemplo cotidiano 
onde a função se faz presente: 
 
Uma barraca de praia, em Salvador, vende picolés ao 
preço de R$ 1,75 a unidade. Para não precisar fazer 
contas a todo momento, o proprietário da barraca 
montou a seguinte tabela: 
 
Número de Picolés Preço (R$) 
1 1,75 
2 3,50 
3 5,25 
4 7,00 
5 8,75 
6 10,50 
7 12,25 
8 14,00 
 
 14,00 
Note que o número de picolés é o domínio da função, 
e o preço correspondente à quantidade de picolés, o 
contradomínio. Logo, podemos observar que: 
 
 
 
Como todos os elementos do contradomínio são 
imagens, podemos concluir que o conjunto imagem é 
igual ao conjunto contradomínio. Sendo assim, é 
possível observar facilmente a lei de formação dessa 
função. O total (y) a ser pago será R$ 1,75 
multiplicado pela quantidade (x) de picolés. Logo, 
podemos concluir que y = 1,75.x. 
 
Observação: Seja f : R → R uma função. Tal 
representação pode ser descrita por D → CD onde D 
são os elementos do domínio e CD elementos do 
contradomínio. Sendo I o conjunto imagem, podemos 
dizer que I é subconjunto de CD, ou seja, I⊂CD. 
 
6.3 - Classificação de uma função: 
 
As funções podem ser classificadas em injetora ou 
injetiva, sobrejetora ou sobrejetiva e bijetora ou 
bijetiva. Uma função é: 
 
1 - Injetora ou injetiva quando, para quaisquer 
elementos x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2); 
Exemplo: 
 
 
 
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2 - Sobrejetora ou sobrejetiva quando o conjunto 
imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou 
seja, possuem os mesmos elementos; 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Bijetora ou bijetiva quando ela for injetora e 
sobrejetora simultaneamente. 
 
Exemplo: 
 
 
 
6.5 - Funções crescentes, decrescente e 
constantes 
 
As funções que são expressas pela lei de formação y 
= ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b pertencem ao 
conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são 
consideradas funções do 1º grau. 
 
Esse tipo de função pode ser classificada de acordo 
com o valor do coeficiente a, se a > 0, a função é 
crescente, caso a < 0, a função se torna 
decrescente. 
 
Vamos analisar as seguintes funções f(x) = 3x e f(x) = 
–3x, com domínio no conjunto dos números reais, na 
medida em que os valores de x aumentam. 
 
Exemplo 1 
 
f(x) = 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que à medida que os valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) também aumentam, nesse caso 
dizemos que a função é crescente e a taxa de 
variação da função é igual a 3. 
 
 
Exemplo 2 
 
f(x) = –3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa situação, à medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem, então a 
função passa a ser decrescente e a taxa de variação 
tem valor igual a –3. 
 
Outro fato importante para designar uma função é o 
seu gráfico, note que quando a função é crescente o 
ângulo formado entre a reta da função e o eixo x 
(horizontal) é agudo (< 90º) e na função decrescente o 
ângulo formado é obtuso (> 90º). Então, a função é 
crescente no conjunto dos números reais (R), quando 
os valores de x1 e x2, sendo x1 < x2 resultar em f(x1) 
< f(x2). No caso da função decrescente no conjunto 
dos reais, teremos x1 < x2 resultando em f(x1) > f(x2). 
 
Uma função constante é caracterizada por 
apresentar uma lei de formação f(x) = c, na qual c é 
um número real. A função constante diferencia-se 
das funções do 1° grau por não poder ser 
caracterizada como crescente ou decrescente, sendo, 
por isso, constante. Podemos afirmar que uma função 
constante é definida pela seguinte fórmula: 
 
f(x) = c, c 
 
A representação da relação estabelecida por uma 
função constante por meio do diagrama de flechas 
assemelha-se com a representação da imagem a 
seguir, pois, independentemente dos valores 
pertences ao domínio, a imagem é sempre composta 
por um único elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação da função constante 
através do diagrama de flechas 
 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacao.htm
 
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O gráfico da função constante também apresenta uma 
particularidade em relação às demais funções. 
 
Ele é sempre uma reta paralela ou coincidente ao 
eixo x. Vejamos alguns exemplos de funções 
constantes e seus respectivos gráficos: 
 
Exemplo 1: f(x) = 2 
 
O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta paralela ao 
eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2). 
 
 
Representação da função constante f(x) = 2 
 
Exemplo 2: f(x) = 0 
 
O gráfico da função f(x) = 0 é uma reta coincidente ao 
eixo x que intercepta o eixo y na origem. 
 
 
Representação da função constante f(x) = 0 
 
Exemplo 3: f(x) = – 2x – 8x + 4 
 
Colocando o –2 em evidência no numerador da 
função, podemos simplificar a função da seguinte 
forma: 
 
f(x) = – 2x – 8 
 x + 4 
f(x) = – 2.(x + 4) 
 x + 4 
f(x) = – 2 
Portanto, f(x) é uma função constante cujo gráfico é 
uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no 
ponto (0, – 2). 
 
 
 
Representação da função constante f(x) = (– 2x – 8)/(x + 4) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
Apesar de o gráfico dessa função ser formado por 
retas paralelas ao eixo x, essa NÃO é uma função 
constante, pois f(x) apresenta três valores distintos. 
 
 
 
Nesse caso, temos uma função que NÃO é constante 
 
6.6 - Funções Compostas e Inversas 
 
1. Função Composta 
 
Observando as funções f : x →y | y = x + 1 e 
g : y →z | z = y2, representadas por diagramas de 
setas, notamos que, em f, x leva a y e, em g, y leva 
a z: 
 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/definicao-funcao.htm
 
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Mas há uma função que permite “ir direto” de X para 
Z, sem passar por Y. 
 
Assim, se z = g(y) e y = f(x), então z = g(f(x)) . 
 
Como f(x) = x + 1 e g(y) = y
2
, temos: 
z= g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)
2 = x2 + 2x + 1.
 
 
Logo, g(f(x)) = x
2
 + 2x + 1 é a função que transforma 
os elementos de X nos elementos de Z. 
 
Conclusão: A função g(f(x)), que estabelece uma 
correspondência direta entre X e Z, sem passar por Y, 
é a composta de f(x) e g(y). 
 
Aplicação 
 
Dados f(x) = 3x e g(x) = 3x+2, calcular g(f(x)) e fog 
 
Solução: 
 
1) g(f(x)) 
g(3x) = 3.(3x) + 2 
g(3x) = 9x + 2 
 
2) fog = f(g(x)) 
f(3x + 2) = 3. (3x + 2) 
f(3x + 2) = 9x + 6 
 
2. Função Inversa 
 
Observe, no diagrama de setas abaixo, a função f: A 
→B | f(x) = x – 5, que transforma os elementos de A 
nos de B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: A condição necessária e suficiente para 
que uma função tenha inversa é que seja sobrejetora 
e injetora, ou seja, bijetora. No caso, temos que g é a 
função inversa de f. 
 
 
 
 
 
 
81 - Determine os zeros das funções a seguir: 
 
(A) y = 5x + 2 
(B) y = – 2x 
(C) c) f(x) = x + 4 
 2 
 
Resolução 
(A) y = 5x + 2 
 
Primeiramente, façamos y = 0, então: 
 
5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal 
também será mudado. 
 
5x = – 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma 
divisão. 
 
x = – 2 
 5 
 
O zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = – 2 
 5 
(B) y = – 2x 
 
Façamos y = 0, então: 
 
– 2x = 0, o número – 2 mudará de lado e realizará 
uma divisão. Mas como o número zero dividido por 
qualquer número resulta em zero, x = 0. 
 
O zero da função y = – 2x é x = 0. 
 
(C) f(x) = x + 4 
 2 
 
Façamos f(x) = 0, então: 
 
𝒙
𝟐
 + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal 
também será mudado. 
 
𝒙
𝟐
 = . 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma 
multiplicação. 
 
x = (– 4) . 2 
x = – 8 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Portanto, o zero da função f 
(𝐱)
𝟐
 = x + 4 é dado por: 
 x = – 8. 
 
82 - Classifique cada uma das funções seguintes em 
crescente ou decrescente: 
(A) y = 4x + 6 
(B) f(x) = – x + 10 
(C) y = (x + 2)
2
 – (x – 1)
2
 
 
Resolução 
 
Em uma função do tipo y = ax + b, o 
coeficiente a de x indica se a função é crescente ou 
decrescente. 
 
(A) y = 4x + 6 
Nessa função, a = 4 > 0, portanto, y é uma função 
crescente. 
 
(B) f(x) = – x + 10 
Como a = – 1 < 0, f(x) é uma função decrescente. 
 
(C) y = (x + 2)
2
 – (x – 1)
2 
 
Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses 
através dos produtos notáveis. 
 
x
2
 + 4x + 4 – (x – 1)
2
 
x
2
 + 4x + 4 – (x
2
 – 2x + 1) 
x
2
 + 4x + 4 – x
2
 + 2x – 1 
6x + 3 
 
y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente. 
 
83 (UFPI) - A função real de variável real, definida 
por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando: 
 
(A) a > 0 
(B) a < 3/2 
(C) a = 3/2 
(D) a > 3/2 
(E) a < 3 
 
Resolução: Para que a função seja crescente, é 
necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo: 
 
3 – 2a > 0 
– 2a > 0 – 3 
(– 1). (– 2a) > (– 3). (– 1) 
2a < 3 
a < 3 
 2 
Portanto, a alternativa correta é a letra b. 
 
84 (FGV) - O gráfico da função f (x) = mx + n passa 
pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é: 
 
(A) 5/3 
(B) 4/3 
(C) 1 
(D) 3/4 
(E) 3/5 
 
85 - O primeiro ponto que é dado é o (– 1, 3), em que 
o valor de x é – 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo 
esses valores na função, temos: 
 
f (x) = mx + n 
3 = m.(– 1) + n 
n = 3 + m 
Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na 
função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7: 
 
f (x) = mx + n 
7 = m.2 + n 
n = 7 – 2m 
 
Nas duas substituições feitas, encontramos dois 
valores para n. Se igualarmos essas duas equações, 
teremos: 
 
3 + m = 7 – 2m 
m + 2m = 7 – 3 
3m = 4 
m = 4 
 3 
 
A alternativa correta é a letra b. 
 
 
 
 
 
236 - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o 
conjunto dos números reais, dadas por: 
 
f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. 
 
Nestas condições, g(-1) é igual a: 
 
(A) -5 
(B) -4 
(C) 0 
(D) 4 
(E) 5 
 
237 – O maior valor assumido pela função y = 2 - ½ x - 
2½ é: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
238 – O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) 
= ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos 
pontos (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c 
- b - a é: 
 
(A) 4 
Exercícios Propostos 
 
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(B) -4 
(C) 5 
(D) -5 
(E) 0 
 
239 (UFBA) - Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , 
então g(x) é igual a: 
 
(A) x - 2 
(B) x - 6 
(C) x - 6/5 
(D) 5x - 2 
(E) 5x + 2 
 
240 (INFO) - Chama-se ponto fixo de uma função f a 
um número x tal que f(x) = x. Se o ponto fixo da função 
f(x) = mx + 5 é igual a 10, então podemos afirmar que 
o módulo do décuplo do ponto fixo da função g(x) = 2x 
- m é igual a: 
 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 3 
(D) 2 
(E) 1 
 
241 (INFO) - Seja f : R R , uma função tal que f ( x ) 
= k.x - 1. Se f [ f ( 2 ) ] = 0 e f é estritamente 
decrescente, o valor da k-ésima potência de 2 é igual 
aproximadamente a: 
 
(A) 0,500 
(B) 0,866 
(C) 0,125 
(D) 0,366 
(E) 0,707 
 
242 (INFO) - Seja f(x) = ax + b; se os pares ordenados 
(1,5) Î f e (2,9) Î f então podemos afirmar que o valor 
do produto (a + b) (10a + 5b) é igual a: 
 
(A) 225 
(B) 525 
(C) 255 
(D) 100 
(E) 1000 
 
243 (INFO) - A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. 
Nestas condições, f(3x + 2) é igual a: 
 
(A) 2x + 3 
(B) 3x + 2 
(C) (2x + 3) / 2 
(D) (9x + 1) /2 
(E) (9x - 1) / 3 
 
244 (INFO) - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = 
ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a 
igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se: 
 
(A) b(1 - c) = d(1 - a) 
(B) a(1 - b) = d(1 - c) 
(C) ab = cd 
(D) ad = bc 
(E) a = bc 
245 (INFO) - O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 
1) é o conjunto: 
 
(A) R - { 1 } 
(B) [0,2] 
(C) R - {0} 
(D) [0,2) 
(E) (-¥ ,2] 
 
246 (INFO) - Dadas as proposições: 
 
p: Existem funções que não são pares nem ímpares. 
q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica 
em relação ao eixo dos y. 
r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. 
s: A composição de funções é uma operação 
comutativa. 
t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta. 
 
Podemos afirmar que são falsas: 
 
(A) a)nenhuma 
(B) b) todas 
(C) c) p,q e r 
(D) d) s e t 
(E) e) r, s e t 
 
247 (INFO) - Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 
2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for 
igual a: 
 
(A) -1/3 
(B) 1/3 
(C) 0 
(D) 1 
(E) -1 
 
248 (INFO) - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) 
= 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é: 
 
(A) 2 - 2x 
(B) 3 - 3x 
(C) 2x - 5 
(D) 5 - 2x 
(E) uma função par. 
 
249 (PUC/RS) - Seja a função definida por f(x) = (2x - 
3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como 
imagemé: 
 
(A) 0 
(B) 2/5 
(C) -3 
(D) 3/4 
(E) 4/3 
 
250 (INFO) - A função f é definida por f(x) = ax + b. 
Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos 
afirmar que f(1) é igual a: 
 
(A) 2 
(B) -2 
(C) 0 
(D) 3 
(E) -3 
 
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251 (INFO) - A função f é definida por f(x) = ax + b. 
Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos 
afirmar que f(1) é igual a: 
 
(A) 2 
(B) -2 
(C) 0 
(D) 3 
(E) -3 
 
252 (INFO) - Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x 0 e x -1, então 
o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) é: 
 
(A) 100 
(B) 101 
(C) 100/101 
(D) 101/100 
(E) 1 
 
253 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função 
quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico 
dessa função, então: 
 
(A) o seu valor máximo é 1,25 
(B) o seu valor mínimo é 1,25 
(C) o seu valor máximo é 0,25 
(D) o seu valor mínimo é 12,5 
(E) o seu valor máximo é 12,5. 
 
254 (INFO) - Que número excede o seu quadrado o 
máximo possível? 
 
(A) 1/2 
(B) 2 
(C) 1 
(D) 4 
(E) -1/2 
 
255 (INFO) - A diferença entre dois números é 8. Para 
que o produto seja o menor possível, um deles deve 
ser: 
 
(A) 16 
(B) 8 
(C) 4 
(D) -4 
(E) -16 
 
256 (INFO) - A diferença entre dois números é 8. O 
menor valor que se pode obter para o produto é: 
 
(A) 16 
(B) 8 
(C) 4 
(D) -4 
(E) -16 
 
257 (UEFS) - Se x1 e x2 são os zeros da função y = 
3x2 + 4x - 2 , então o valor de 1/x1 + 1/x2 é igual a: 
 
(A) 1/8 
(B) 8/3 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
VII – FUNÇÃO AFIM E QUADRÁTICA 
 
7.1 - Função de 1º grau ou Afim 
 
7.1.1 - Definição 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função 
afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma 
lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números 
reais dados e a 0. 
 
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de 
coeficiente de x e o número b é chamado termo 
constante. 
 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º 
grau: 
 
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
7.1.2 – Gráfico 
 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = 
ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e 
Oy. 
 
Exemplo: 
 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus 
pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: 
 
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, 
um ponto é (0, -1). 
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, 
 
 
e outro ponto é . 
 
Marcamos os pontos (0, -1) e 
 
no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é 
uma reta. O coeficiente de x, a, é 
chamado coeficiente angular da reta e, como 
veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em 
relação ao eixo Ox. 
 
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da 
reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o 
coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta 
corta o eixo Oy. 
 
7.1.3 - Zero e Equação do 1º Grau 
 
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º 
grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 
0. 
 
Temos: 
 f(x) = 0 ax + b = 0 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: 
 f(x) = 0 2x - 5 = 
0 
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 
 g(x) = 0 3x + 6 = 
0 x = -2 
 
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de 
h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abcissas: 
 
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele 
em que h(x) = 0; então: 
 
 h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 
 
7.1.4 - Crescimento e decrescimento 
 
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos 
atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que 
ocorre com y: 
 
 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
y -10 -7 -4 -1 2 5 8 
 
 
 
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os 
correspondentes valores de y também aumentam. 
 
Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. 
 
Observamos novamente seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é 
crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); 
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente 
quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); 
 
Justificativa: 
1. Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b 
< ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). 
2. Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b 
> ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
7.1.5 – Sinal 
 
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar 
os valor de x para os quais y é positivo, os valores de 
x para os quais y é zero e os valores de x para os 
quais y é negativo. 
 
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b 
vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se 
anula pra raiz . Há dois casos possíveis: 
 
1º) a > 0 (a função é crescente) 
 
 
y > 0 ax + b > 0 x > 
 
 
y < 0 ax + b < 0 x < 
 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores 
que a raiz; y é negativo para valores de x menores 
que a raiz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2º) a < 0 (a função é decrescente) 
 
 
y > 0 ax + b > 0 x < 
 
 
y < 0 ax + b < 0 x > 
 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores 
que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que 
a raiz. 
 
 
 
 
7.2 - Função Quadrática 
 
7.2.1 - Definição 
 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 
2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma 
lei da forma f(x) = ax
2
 + bx + c, onde a, b e c são 
números reais e a 0. 
 
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
1. f(x) = 3x
2
 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
2. f(x) = x
2
 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
3. f(x) = 2x
2
 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
4. f(x) = - x
2
 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 
5. f(x) = -4x
2
, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
 7.2.2 – Gráfico 
 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = 
ax
2
 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada 
parábola. 
 
Exemplo: 
 
Vamos construir o gráfico da função y = x
2
 + x: 
 
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois 
calculamos o valor correspondente de y e, em 
seguida, ligamos os pontos assim obtidos. 
 
x y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
 
0 0 
1 2 
2 6 
 
 
 
Observação: 
 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = 
ax
2
 + bx + c, notaremos sempre que: 
 
 Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para cima; 
 Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo; 
 
 
7.2.3 - Zero e Equação do 2º Grau 
 
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º 
grau f(x) = ax
2
 + bx + c , a 0, os números reais x tais 
que f(x) = 0. 
 
Então as raízes da função f(x) = ax
2
 + bx + c são as 
soluções da equação do 2º grau ax
2
 + bx + c = 0, as 
quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
Observação 
 
A quantidade de raízes reais de uma função 
quadrática depende do valor obtido para o 
radicando, chamado discriminante, a 
saber: 
 
 Quando é positivo, há duas raízes reais e 
distintas; 
 Quando é zero, há só uma raiz real (para ser 
mais preciso, há duas raízes iguais); 
 Quando é negativo, não há raiz real. 
 
 
 
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7.2.4 - Coordenadas do vértice da parábola 
 
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada 
para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a 
parábola tem concavidade voltada para baixo e 
um ponto de máximo V. 
 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . 
 
 
 
 
 
 
Veja os gráficos: 
 
 
 
7.2.5 – Imagem 
 
O conjunto-imagem Im da função y = ax
2
 + bx + 
c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode 
assumir. Há duas possibilidades: 
 
1ª- quando a > 0, 
 
 
 
a > 0 
 
 
2ª quando a < 0, 
 
a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2.6 - Construção da Parábola 
 
É possível construir o gráfico de uma função do 2º 
grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas 
seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 
 
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da 
parábola; 
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola 
intercepta o eixo dos x; 
 
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), 
 
ou máximo (se a< 0); 
 
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y 
é o eixo de simetria da parábola; 
5. Para x = 0 , temos y = a · 0
2
 + b · 0 + c = c; 
então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o 
eixo dos y. 
 
7.2.7 – Sinal 
 
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax
2
 + 
bx + c e determinemos os valores de x para os quais y 
é negativo e os valores de x para os quais y é 
positivos. 
 
 
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Conforme o sinal do discriminante = b
2
 - 4ac, 
podemos ocorrer os seguintes casos: 
1º - > 0 
 
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros 
reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo 
Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado 
nos gráficos abaixo: 
 
quando a > 0 
 
y > 0 (x < x1 ou x > x2) 
y < 0 x1 < x < x2 
 
 
quando a < 0 
y > 0 x1 < x < x2 
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
quando a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
quando a < 0 
 
 
 
 
 
 2º - = 0 
 
quando a > 0 
 
 
 
 
3º - < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
quando a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
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quando a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
86 (PM/ES) - Em linguagem matemática, sempre que 
relacionamentos duas grandezas variáveis estamos 
empregando o conceito de função. A função y = -x + 5 
é chamada função polinomial do 1º grau. Represente 
seu gráfico. 
 
Resolução: 
 
Basta sabermos que o gráfico de uma função do 
primeiro grau é uma reta e que o valor de “a” indica se 
é crescente ou decrescente, neste caso a é menor 
que zero, então a função é decrescente, e também 
que o valor de “b” indica onde a reta corta o eixo y, no 
caso b = 5. 
 
 
87 (PM/SC 2011) - Duas empresas A e B têm ônibus 
com 50 assentos. Em uma excursão para Balneário 
Camboriú, as duas empresas adotam os seguintes 
critérios de pagamento: 
 
A empresa A cobra $25,00 por passageiro mais uma 
taxa fixa de $400,00. 
A empresa B cobra $29,00 por passageiro mais uma 
taxa fixa de $250,00. 
Pergunta-se: Qual é o número mínimo de 
excursionistas para que o contrato com a empresa A 
fique mais barato do que o contrato da empresa B? 
 
(A) 37 
(B) 38 
(C) 35 
(D) 40 
 
Resolução: 
 
Note que em ambas as empresas, é cobrado um valor 
fixo mais uma quantidade por passageiro. 
 
Sendo x a quantidade de passageiros: 
 
A função que representa o valor cobrado pela 
empresa A em função da quantidade de passageiros 
é: 
f(x) = 25x + 400 
 
A função que representa o valor cobrado pela 
empresa B em função da quantidade de passageiros 
é: 
f(x) = 29x + 250 
 
Para que a empresa A fique mais barata que a 
empresa B devemos ter: 
 
29x + 250 > 25x + 400 
29x – 25x > 400 – 250 
4x > 150 
x > 150/4 
x > 37,5 
 
Logo, devemos ter pelo menos 38 excursionistas. 
 
88 (SEJU/ES). Considerando uma função real f: R -> 
R que satisfaça à condição f(x+1) = 1/f(x), para cada 
x∈R, julgue o seguinte item: 
“Se, em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais xOy, o gráfico de f for uma reta, então essa 
reta é paralela ao eixo Ox.” 
 
CORRETO 
 
Pelo exercício anterior, temos f(2) = f(0) = f(-2). 
 
Veja que se o gráfico for uma reta, ela deve passar 
obrigatoriamente pelos 3 pontos que são colineares. 
 
89 (INSS/CESPE) - Um dos indicadores de saúde 
comumente utilizados no Brasil é a esperança de vida 
ao nascer, que corresponde ao número de anos que 
um indivíduo vai viver, considerando-se a duração 
média da vida dos membros da população. O valor 
desse índice tem sofrido modificações substanciais no 
decorrer do tempo, à medida que as condições sociais 
melhoram e as conquistas da ciência e da tecnologia 
são colocadas a serviço do homem. 
 
A julgar por estudos procedidos em achados fósseis e 
em sítios arqueológicos, a esperança de vida do 
homem pré-histórico ao nascer seria extremamente 
baixa, em torno de 18 anos; na Grécia e na Roma 
Exercícios Resolvidos 
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/3.jpg
 
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antigas, estaria entre 20 e 30 anos, pouco tendo se 
modificado na Idade Média e na Renascença. Mais 
recentemente, têm sido registrados valores 
progressivamente mais elevados para a esperança de 
vida ao nascer. Essa situação está ilustrada no gráfico 
abaixo, que mostra a evolução da esperança de vida 
do brasileiro ao nascer, de 1940 a 2000. 
 
 
 
Com base nas informações do texto e considerando 
os temas a que ele se reporta, julgue o item seguinte. 
 
“Se E representa a esperança de vida do brasileiro ao 
nascer e x representa o tempo, em anos, transcorrido 
desde 1940, infere-se das informações apresentadas 
que, para 0 ≤ x ≤ 60, E(x) = 42x + 70,5.” 
 
Resolução: 
 
Observe que temos 60 anos entre 1940 e 2000, 
assim, x=0 representa o ano 1940 e x=60 representa o 
ano 2000. 
 
Dada a função E(x) = 42x + 70,5, vamos considerar 
x=0. 
 
E(0) = 42.0 + 70,5 = 70,5 
 
Veja que x=0 representa o ano de 1940, logo, E(0) 
deveria ser 42 e não 70,5. 
 
Resposta: Errado 
 
90 (PRF/CESPE). Considere que um cilindro circular 
reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da 
base igual a 10 centímetros e a altura igual a 25 
centímetros, de forma que a base do cilindro esteja no 
mesmo plano da base do cone. Em face dessas 
informações e, considerando, ainda, que h e r 
correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, 
respectivamente, assinale a opção correta. 
 
1. A função afim que descreve h como função de r é 
crescente. 
2. O volume do cilindro como uma função de r é uma 
função quadrática. 
3. Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, 
então A(r) = 50 π r (1 – r/10) 
4. É possível encontrar um cilindro de raio da base 
igual a 2 centímetros e altura igual a 19 
centímetros que esteja inscrito no referido cone. 
5. O cilindro de maior área lateral que pode ser 
inscrito no referido cone tem raio da base superior 
a 6 centímetros. 
 
Resolução: 
 
Veja na figura que o cilindro está dentro do cone. 
 
 
Vamos agora analisar cada uma das alternativas. 
 
(A) A função afim que descreve h como função de r é 
crescente. 
 
Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, 
ou seja, a função é decrescente. 
 
Para encontrar a equação de h, vamos usar o método 
dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, 
ABC, e o triângulo menor CDE. Veja: 
 
 
 
(o fato de -25/10 ser negativo nos prova que a função 
afim é decrescente) 
 
(B) O volume do cilindro como uma função de r é uma 
função quadrática. 
 
V = π.r².h = π.r².(25 – 25r/10) = 25π.r² – 25π.r³/10 
Veja que a função é cúbica e não quadrática. 
 
(C) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, 
então A(r) = 50 r. 
 
A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 – 25r/10) = 
50π.r (1 – r/10) 
 
(D) É possível encontrar um cilindro de raio da base 
igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros 
que esteja inscrito no referido cone. 
 
(Bh = 25 – 25r/10 = 25 – 25.2/10 = 25 – 5 = 20 
 
 
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-inss-2008-1.jpg
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-prf-2008-8.jpg
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/03/prova-resolvida-prf-prf-2008.jpg
 
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(E) O cilindro de maior área lateral que pode ser 
inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 
centímetros.A(r) = 50π.r (1 – r/10) = 50π.r – 5π.r². (função 
quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o 
vértice) 
 
xv = -b/2a – -50π/2(-5π) = 5 
 
91 (CAIXA/CESPE) - A CAIXA criou as Cestas de 
Serviços com o compromisso de valorizar o 
relacionamento com seus clientes e oferecer cada vez 
mais vantagens. Você paga apenas uma tarifa mensal 
e tem acesso aos produtos e serviços bancários que 
mais se adequarem ao seu relacionamento com a 
CAIXA. Alguns dos itens disponíveis têm seu uso 
limitado. 
 
Caso você exceda as quantidades especificadas ou 
utilize um item não incluso na sua cesta, será cobrado 
o valor daquele 10 produto ou serviço discriminado na 
Tabela de Tarifas vigente. 
 
A janela do PowerPoint 2003 a seguir apresenta, no 
slide em edição, outras informações acerca das 
Cestas de Serviços da CAIXA. 
 
 
 
Com base nas informações do texto e sabendo que, a 
cada R$ 100,00 de saldo médio no trimestre em 
aplicação na poupança, o cliente acumula 1 ponto 
para o cálculo do desconto na tarifa mensal de 
serviços, julgue os seguintes itens. 
 
(A) Suponha que se deseje representar os percentuais 
de descontos concedidos em função dos pontos 
adquiridos — que são elementos do conjunto dos 
números naturais N = {0, 1, 2, …} —, de acordo com o 
que está estabelecido na tabela apresentada na janela 
do PowerPoint. 
 
Para isso, se, para cada n Є N, for representado por 
d(n) o desconto correspondente, então a função d 
pode ser corretamente descrita pela seguinte 
expressão: 
 
 
 
CORRETO 
 
Perceba que a função d(n) está de acordo com os 
intervalos de n representados na figura. 
 
(B) De acordo com as informações apresentadas, há 
possibilidade de o cliente obter isenção total da tarifa 
mensal de serviços. 
 
CORRETO 
 
92 (PETROBRÁS) - A função g(x) 
 = 84. x representa o 
gasto médio, em reais, com a compra de água mineral 
de uma família de 4 pessoas em x meses. 
 
Essa família pretende deixar de comprar água mineral 
e instalar em sua residência um purificador de 
água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro 
economizado ao deixar de comprar água mineral, o 
tempo para recuperar o valor investido na compra do 
purificador ficará entre: 
 
(A) dois e três meses. 
(B) três e quatro meses 
(C) quatro e cinco meses. 
(D) cinco e seis meses. 
(E) seis e sete meses. 
 
Resolução: 
 
Como a função afim g(x) representa o gasto médio e 
queremos saber quando o investimento de 299,90 
será recuperado, basta igualarmos: 
 
84.x = 299,90 
x = 299,90 / 84 
x = 3,57 
 
Logo, entre 3 e 4 meses. 
 
 
 
 
258 (PC/MG) - O número de ocorrências registradas 
das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em 
uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por 
f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora 
desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de 
ocorrências nesse período do dia foi: 
 
(A) 0 
(B) 9 
(C) 15 
(D) 18 
 
Exercícios Propostos 
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259 (PM/ES) - Assinale a alternativa correta: 
 
(A) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o 
eixo y. 
(B) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui 
concavidade para baixo. 
(C) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente. 
(D) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e 
diferentes. 
(E) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é 
igual a 3. 
 
260 (PM/ES) - Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 
4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da 
parábola definida por f(x), é: 
 
(A) V = (-7; 1) 
(B) V = (1; -7) 
(C) V = (0; 1) 
(D) V = (-7; 0) 
(E) V = (0; 0) 
 
261 (PM/ES) - Uma festa no pátio de uma escola 
reuniu um público de 2.800 pessoas numa área 
retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de 
, em metros, de modo que o público tenha sido de, 
aproximadamente, quatro pessoas por metro 
quadrado, é: 
 
(A) 5 m 
(B) 6 m 
(C) 8 m 
(D) 10 m 
(E) 12 m 
 
262 (PM/ACRE) - Determine o valor de x que provoca 
o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10. 
 
(A) 3,5 
(B) – 2 
(C) 0 
(D) 10 
(E) – 1,5 
 
263 (PM/FUNCAB) - Sabendo que uma função 
quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu 
valor máximo quando x = 5 determine o valor da outra 
raiz dessa função. 
 
(A) 3 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
264 (PM/PA) - Uma empresa criou o modelo 
matemático L(x)=-100x²+1000×-1900 para representar 
o lucro diário obtido pela venda de certo produto, na 
qual x representa as unidades vendidas. O lucro 
máximo diário obtido por essa empresa é igual a: 
 
(A) R$600,00 
(B) R$700,00 
(C) R$800,00 
(D) R$900,00 
(E) R$1.000,00 
 
265 - Seja f a função afim definida por f(x) = – 4x + 1 e 
cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja 
reta correspondente passa por (1,– 1) e é paralela à 
reta r. 
 
266 - Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, 
calcule a e b de modo que os gráficos das funções se 
interceptem no ponto (1, 6). 
 
267 - Dada a função f(x) = –2x + 3, determine f(1). 
268 - Dada a função f(x) = 4x + 5, determine x tal que 
f(x) = 7. 
TEXTO PARA RESPONDER A QUESTÃO 269 
Recomendações 
 
Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas 
recomendações. Transformadas em políticas públicas, 
poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da 
tragédia urbana do trânsito. A primeira é a adoção de 
práticas que possam reduzir a gravidade dos 
acidentes. 
 
A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja 
frota equivale a 10% do total, mas cujos custos 
correspondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por 
entrega, a empresa, R$8. 
 
É um exército de garotos em disparada. O pedestre 
forma o contingente mais vulnerável no trânsito e 
necessita de maior proteção, diz a terceira 
recomendação da pesquisa. Entre a 0h e as 18h da 
quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do Resgate 
recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo. 
Fonte: "Folha de São Paulo", 1Ž.06.03, p. C1 
(adaptado) 
 
269 - Conforme o texto, num dia de trabalho, são 
necessárias 12 entregas para um motoboy receber 
R$24,00. Por medida de segurança, a empresa 
limitará a 10 a quantidade de entregas por dia. Como 
compensação, pagará um adicional fixo de p reais ao 
dia a quem atingir esse limite, porém reduzirá para 
R$1,80 o valor pago por cada entrega. O valor de p 
que manterá inalterada a quantia diária recebida pelo 
motoboy, ou seja, R$24,00, será 
 
(A) R$ 5,40 
(B) R$ 5,60 
(C) R$ 5,80 
(D) R$ 6,00 
(E) R$ 6,20 
 
TEXTO PARA RESPONDER AS QUESTÕES 270 E 271 
 
270 (FAAP) - Medições realizadas mostram que a 
temperatura no interior da terra aumenta, 
aproximadamente, 3°C a cada 100m de profundidade. 
 
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Num certo local, a 100m de profundidade, a 
temperatura é de 25°C. Nessas condições, podemos 
afirmar que: 2. 
 
A temperatura a 1.500m de profundidade é: 
 
(A) 70°C 
(B) 45°C 
(C) 42°C 
(D) 60°C 
(E) 67°C 3. 
 
271 - Encontrando-se uma fonte de água mineral a 
46°C, a profundidade dela será igual a: 
 
(A) 700 m 
(B) 600 m 
(C) 800 m 
(D) 900 m 
(E) 500 m 
 
TEXTO PARA RESPONDER A QUESTÃO 272 
(ENEM) 
 
José e Antônio viajarão em seus carros com as 
respectivas famílias para a cidade de Serra 
Branca.Com a intenção de seguir viagem juntos, 
combinam um encontro no marco inicial da rodovia, 
onde chegarão, de modo independente, ente meio-dia 
e 1 hora da tarde. 
 
Entretanto, como não querem ficar muito tempo 
esperando um pelo outro, combinam que o primeiro 
que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no 
máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem 
sozinho. 
 
Chamando de x o horário de chegada de José e de y 
o horário de chegada de Antônio, e representando os 
pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a 
região OPQR a seguir indicada corresponde ao 
conjunto de todas as possibilidades para o par(x; y): 
 
272 – Veja a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na região indicada, o conjunto de pontos que 
representa o evento "José e Antônio chegam ao 
marco inicial exatamente no mesmo horário" 
corresponde: 
(A) À diagonal OQ 
(B) À diagonal PR 
(C) Ao lado PQ 
(D) Ao lado QR 
(E) Ao lado OR 
 
273 (FAAP) - A variação de temperatura y=f(x) num 
intervalo de tempo x é dada pela função 
 
f(x)=(m2-9)x2+(m+3)x+m-3; 
 
Calcule "m" de modo que o gráfico da função seja 
uma reta e f(x) seja crescente: 
 
(A) -3 
(B) 9 
(C) 3 
(D) -9 
(E) 0 
 
274 (MACKENZIE) 
 
 
 
Na figura temos os gráficos das funções f e g. Se 
f(x)=2x
2 
então g(3) vale: 
 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 14 
 
275 (FUVEST) - A função que representa o valor a ser 
pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma 
mercadoria é: 
 
(A) f(x) = x - 3 
(B) f(x) = 0,97x 
(C) f(x) = 1,3x 
(D) f(x) = -3x 
(E) f(x) = 1,03x 
 
276 (CESGRANRIO) - O valor de um carro novo é de 
R$9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$4.000,00. 
Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma 
linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é: 
 
(A) R$8.250,00 
(B) R$8.000,00 
(C) R$7.750,00 
(D) R$7.500,00 
(E) R$7.000,00 
 
 
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277 (UFES) - Uma produtora pretende lançar um filme 
em fita de vídeo e prevê uma venda de 20.000 cópias. 
O custo fixo de produção do filme foi R$150.000,00 e 
o custo por unidade foi de R$20,00 (fita virgem, 
processo de copiar e embalagem). Qual o preço 
mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não 
haver prejuízo? 
 
(A) R$ 20,00 
(B) R$ 22,50 
(C) R$ 25,00 
(D) R$ 27,50 
(E) R$ 35,00 
 
278 (FATEC) - Na figura a seguir tem-se o gráfico da 
função f, onde f(x) representa o preço pago em reais 
por x cópias de um mesmo original, na Copiadora 
Reprodux. 
 
 
 
De acordo com o gráfico, é verdade que o preço pago 
nessa Copiadora por: 
 
(A) 228 cópias de um mesmo original é R$22,50. 
(B) 193 cópias de um mesmo original é R$9,65. 
(C) 120 cópias de um mesmo original é R$7,50. 
(D) 100 cópias de um mesmo original é R$5,00 
(E) 75 cópias de um mesmo original é R$8,00. 
 
279 (FATEC) - Uma pessoa, pesando atualmente 
70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha 
que uma dieta alimentar resulte em um 
emagrecimento de exatamente 200g por semana. 
Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo 
ao fim de: 
 
(A) 67 semanas. 
(B) 68 semanas. 
(C) 69 semanas. 
(D) 70 semanas. 
(E) 71 semanas. 
 
280 (UFPE) - A planta a seguir ilustra as 
dependências de um apartamento colocado à venda, 
onde cada quadrícula mede 0,5cm×0,5cm. Se o preço 
do m
2
 de área construída deste apartamento é 
R$650,00, calcule o preço do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) R$ 41.600,00 
(B) R$ 52.650,00 
(C) R$ 46.800,00 
(D) R$ 47.125,00 
(E) R$ 40.950,00 
 
281 (PUCCAMP) - Para produzir um número n de 
peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir 
R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar 
R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, 
o custo C, em reais, da produção de n peças é uma 
função de n dada por: 
 
(A) C(n) = 200 000 + 0,50 
(B) C(n) = 200 000n 
(C) C(n) = n/2 + 200 000 
(D) C(n) = 200 000 - 0,50n 
(E) C(n) = (200 000 + n)/2 
 
282 (UEL) - Seja N = {0, 1, 2, 3, ...}. Se n Æ |N, qual 
das regras de associação a seguir define uma função 
de |N em |N? 
 
(A) n é associado a sua metade. 
(B) n é associado a seu antecessor. 
(C) n é associado ao resto de sua divisão por 7. 
(D) n é associado a p tal que p é primo e p < n. 
(E) n é associado a m tal que m é múltiplo de n. 
 
283 (UNIRIO) - A função linear f(x) = ax + b é 
representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) 
e que passa pelo vértice da parábola y=4x-2x
2
. A 
função é: 
 
(A) f(x) = -3x + 5 
(B) f(x) = 3x - 7 
(C) f(x) = 2x - 5 
(D) f(x) = x – 3 
(E) f(x) = x/3 - 7/3 
 
284 (FAAP) - A taxa de inscrição num clube de 
natação é de R$150,00 para o curso de 12 semanas. 
Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a 
taxa é reduzida linearmente. Expresse a taxa de 
inscrição em função do número de semanas 
transcorridas desde o início do curso: 
 
(A) T = 12,50 (12 - x) 
(B) T = 12,50x 
(C) T = 12,50x -12 
(D) T = 12,50 (x + 12) 
(E) T = 12,50x + 12 
 
285 (FAAP) - A taxa de inscrição num clube de 
natação é de R$150,00 para o curso de 12 semanas. 
Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a 
taxa é reduzida linearmente. Calcule quanto uma 
pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas após o 
início do curso 
 
(A) R$ 62,50 
(B) R$ 50,50 
(C) R$ 74,50 
(D) R$ 78,50 
 
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(E) R$ 87,50 
 
286 (UNESP) - 0 gráfico mostra o resultado de uma 
Experiência relativa à absorção de potássio pelo 
tecido da folha de um certo vegetal, em função do 
tempo e em condições diferentes de luminosidade. 
 
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se 
razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m 
como taxa de absorção (geralmente medida em  
moles por unidade de peso por hora). 
 
Com base no gráfico, se m1• é a taxa de absorção no 
claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação 
entre essas duas taxas é: 
 
(A) m1 = m2 
(B) m2 = 2m1•. 
(C) m1 . m2 = 1. 
(D) m1 . m2 = -1. 
(E) m1 = 2m2 
 
287 (PUCCAMP) - Durante um percurso de x km, um 
veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. 
 
Se a velocidade média desse veículo em movimento é 
de 60 km/h, a expressão que permite calcular o 
tempo, em horas, que ele leva para percorrer os x km 
é: 
 
(A) (6x + 5)/6 
(B) (x + 50)/60 
(C) (6x + 5)/120 
(D) (x/60) + 50 
(E) x + (50/6) 
 
 
288 (PUCCAMP) - A seguir vê-se parte de um gráfico 
que mostra o valor y a ser pago (em reais), pelo uso 
de um estacionamento por um período de x horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que o padrão observado no gráfico não se 
altere quando x cresce. Nessas condições, uma 
pessoa que estacionar o seu carro das 22 horas de 
certo dia até as 8 horas e 30 minutos do dia seguinte 
deverá pagar 
 
(A) R$ 12,50 
(B) R$ 14,00 
(C) R$ 15,50 
(D) R$ 17,00 
(E) R$ 18,50 
289 (PUC/MG) - O gráfico a seguir representa a 
função f. Uma das possíveis leis de definição de f é: 
 
 
 
(A) f(x) = (1 + x
2
) / (x + 1) 
(B) f(x) = (1 – x
2
) / (x + 1) 
(C) f(x) = x / (x + 1 ) 
(D) f(x) = (1 - x) / (x + 1) 
(E) f(x) = x
2
 / (x + 1) 
 
290 (UNIRIO) - Numa caminhada, os participantes A e 
B desenvolveram os seguintes ritmos: 
 
 
Sabendo-se que A e B iniciaram a caminhada juntos e 
de um mesmo ponto, e que as sequências 
estabelecidas foram mantidas, por ambos, até o final 
do passeio, a distância, em metros, entre o 
participante A e o B, no exato momento em que B 
parou de caminhar é: 
 
(A) 3330 
(B) 3610 
(C) 3900 
(D) 4200 
(E) 4510 
 
291 (UNIRIO) - O gráfico da função y=mx+n, onde m e 
n são constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(3,2). 
A taxa de variação média da função é: 
 
(A) -2 
(B) -1/2 
(C) 1/2 
(D) 2 
(E) 4 
 
292 (UFRS) - Considerando A = {x ϵ z / -1 < x ≤10}, e 
sendo R a relação em A formada pelos pares (x,y) tais 
que y=2x-1, o domínio e a imagem dessa relação 
correspondem, respectivamente, a: 
 
 
 
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(A) {0, 1, 2, 3} e {1, 3, 5, 7} 
(B) {1, 2, 3, 4} e {3, 5, 7, 9} 
(C) {0, 1, 2, 3, 4} e {0, 2, 4, 6, 8} 
(D) {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 3, 5, 7, 9} 
(E) {1, 2, 3, 4, 5} e {0, 2, 4, 6, 8} 
 
293 (CESGRANRIO) - Uma barra de ferro com 
temperatura inicial de -10°C foi aquecida até 30°C. O 
gráfico anterior representa a variação da temperatura 
da barra em função do tempo gasto nessa 
experiência. Calcule em quanto tempo, após o início 
da experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C. 
 
 
 
 
(A) 1 min 
(B) 1 min 5 seg 
(C) 1 min e 10 seg 
(D) 1 min e 15 seg 
(E) 1 min e 20 seg 
 
294 (UEL) - Se uma função f, do primeiro grau, é tal 
que f(1)=190 e f(50)=2.052, então f(20) é igual a: 
 
(A) 901 
(B) 909 
(C) 912 
(D) 937 
(E) 981 
 
295 (UFRS) - O ônibus X parte da cidade A com 
velocidade constante de80 km/h, à zero hora de certo 
dia. Às 2 horas da madrugada, o ônibus Y parte da 
mesma cidade, na direção e sentido do ônibus X, com 
velocidade constante de 100 km/h. O ônibus Y vai 
cruzar com o ônibus X, pela manhã, às: 
 
(A) 6 horas. 
(B) 8 horas. 
(C) 10 horas. 
(D) 11 horas. 
(E) 12 horas. 
 
296 (FATEC) - O dono de uma rede hoteleira verificou 
que em certa região tem havido um decréscimo no 
número de hóspedes em seus pacotes promocionais, 
e esse decréscimo tem sido linear em relação ao 
tempo. Em 1982, a média foi de 600 pessoas por 
semana, enquanto que em 1990 a média semanal foi 
de 432. 
 
Dessa forma, o número médio de hóspedes por 
semana, 
 
(A) em 1995, foi de 322. 
(B) em 1994, foi de 345. 
(C) em 1993, foi de 370. 
(D) em 1992, foi de 392. 
(E) em 1991, foi de 411. 
 
297 (UNIRIO) – 
 
 
Considere a figura anterior, onde um dos lados do 
trapézio retângulo se encontra apoiado sobre o gráfico 
de uma função f. Sabendo-se que a área da região 
sombreada é 9cm
2
, a lei que define f é: 
 
(A) y= (7x/6) - 2 
(B) y= (3x/4) - 1 
(C) y= (2x/5) + 1 
(D) y= (5x/2) - 1 
(E) y= (4x/3) + 1 
 
298 (PUC/MG) - A tabela mostra a expectativa de vida 
ao nascer de pessoas de um certo país: Supondo-se 
que a expectativa de vida aumente de forma linear, 
pode-se afirmar que uma pessoa nascida nesse país, 
no ano de 2010, deverá viver: 
 
Considere 1 ano como tendo 365 dias. 
 
(A) 77 anos e 6 meses. 
(B) 79 anos e 8 meses. 
(C) 77 anos, 7 meses e 9 dias. 
(D) 79 anos, 9 meses e 21 dias. 
 
299 (PUC/MG) - Em certa cidade, durante os dez 
primeiros dias do mês de julho de 2003, a 
temperatura, em graus Celsius, foi decrescendo de 
forma linear de acordo com a função T(t) = -2t + 18, 
em que t é o tempo medido em dias. Nessas 
condições, pode-se afirmar que, no dia 8 de julho de 
2003, a temperatura nessa cidade foi: 
 
(A) 0°C 
(B) 2°C 
(C) 3°C 
(D) 4°C 
 
300 (UERJ) - O balanço de cálcio é a diferença entre 
a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade 
excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo 
durante o crescimento e a gravidez e negativo na 
menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma 
doença caracterizada pela diminuição da absorção de 
cálcio pelo organismo. 
 
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A baixa concentração de íon cálcio (Ca
++
 no sangue 
estimula as glândulas paratireoides a produzirem 
hormônio paratireóide (HP). Nesta situação, o 
hormônio pode promover a remoção de cálcio dos 
ossos, aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir 
sua excreção pelos rins. (Adaptado de ALBERTS, B. et al., 
"Urologia Molecular da Célula." Porto Alegre: Artes Médicas,1997.) 
 
Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da 
massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra 
o gráfico abaixo. 
 
 
(Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.) 
 
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, 
respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que 
tinham aos 30 anos. 
 
O percentual de massa óssea que as mulheres já 
perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 
anos, é igual a: 
 
(A) 14 
(B) 18 
(C) 22 
(D) 26 
 
VIII – FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
8.1 - Definição 
 
Toda relação de dependência, em que uma incógnita 
depende do valor da outra, é denominada função. A 
função denominada como exponencial possui essa 
relação de dependência e sua principal característica 
é que a parte variável representada por x se encontra 
no expoente. Observe: 
 
y = 2 
x
 
y = 3 
x + 4
 
y = 0,5 
x
 
y = 4
 x
 
 
A lei de formação de uma função exponencial indica 
que a base elevada ao expoente x precisa ser maior 
que zero e diferente de um, conforme a seguinte 
notação: 
 
f: R→R tal que y = a 
x
, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. 
 
8.2 – Gráfico 
 
Uma função pode ser representada através de um 
gráfico, e no caso da exponencial, temos duas 
situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos 
são constituídos respeitando as condições propostas: 
Existem dois tipos de curvas para o gráfico de uma 
função exponencial: crescente e decrescente. 
Este é o gráfico de uma função exponencial 
decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este é o gráfico de uma 
função exponencial crescente 
 
Uma função exponencial é utilizada na representação 
de situações em que a taxa de variação é considerada 
grande, por exemplo, em rendimentos financeiros 
capitalizados por juros compostos, no decaimento 
radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento 
de bactérias e micro-organismos, crescimento 
populacional entre outras situações. 
As funções exponenciais devem ser resolvidas 
utilizando, se necessário, as regras envolvendo 
potenciação. 
 
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso 
de funções exponenciais. 
 
Exemplo 1 
 
Uma determinada máquina industrial se deprecia de 
tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é 
dado por v(t) = v0 * 2 
–0,2t
, em que v0 é uma constante 
real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 
12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. 
 
Temos que v(10) = 12 000, então: 
 
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v(10) = v0 * 2 
–0,2*10
 
 
12 000 = v0 * 2 
–2
 
 
12 000 = v0 * 1/4 
 
12 000 : 1/ 4 = v0 
 
v0 = 12 000 * 4 
 
v0 = 48 000 
 
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00. 
 
Exemplo 2 
 
Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) 
de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB 
crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o 
PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? 
Use 1,03
20
 = 1,80. 
Temos a seguinte função exponencial 
 
P(x) = P0 * (1 + i)
t
 
 
P(x) = 500 * (1 + 0,03)
20
 
 
P(x) = 500 * 1,03
20
 
 
P(x) = 500 * 1,80 
 
P(x) = 900 
 
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 
bilhões. 
 
8.3 – Equações Exponenciais 
 
As equações exponenciais são aquelas que 
apresentam a incógnita no expoente. Observe os 
exemplos: 
 
2
x
 = 256 
3
x+1
 = 9 
4
x
 = 1024 
2
x+2
 = 512 
 
As equações exponenciais possuem um método de 
resolução diferenciado, precisamos igualar as bases 
para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os 
expoentes. 
 
Observe a resolução da seguinte equação: 
 
5
x
 = 625 (fatorando 625 temos: 5
4
) 
5
x
 = 5
4
 
x = 4 
 
A solução da equação exponencial será x = 4. 
 
Observação: fatorar significa decompor o número em 
fatores primos, isto é, escrever o número através de 
uma multiplicação de fatores iguais utilizando as 
regras de potenciação. 
Exemplo 1 
 
Vamos determinar a solução da equação 2
x + 8
 = 512. 
 
Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 2
9
. 
 
Então: 
 
2
x + 8
 = 2
9
 
x + 8 = 9 
x = 9 – 8 
x = 1 
 
A solução da equação exponencial 2
x + 8
 = 512 é x = 
1. 
 
Exemplo 2 
 
 
Resolva a equação . 
 
Transforme a raiz quinta em potência: 
 
2
x
 = 128
1/5
 
 
Pela fatoração do número 128 temos 27, então: 
 
2
x
 = (2
7
)
1/5
 
x = 7 . 1/5 
x = 7/5 
 
Portanto, a solução da equação exponencial 
é x = 7/5. 
 
Exemplo 3 
 
Encontre o valor de x que satisfaça a equação 
exponencial 2
x² - 7x + 12
 = 1. 
 
Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da 
potenciação que diz o seguinte: “todo número 
diferente de zero elevado a zero é igual a 1.” 
Com base na regra, podemos dizer que 1 = 2
0
, então: 
 
2
x² - 7x + 12
 = 2
0
 
 
x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º 
grau que deverá ser resolvida pelo teorema de 
Bhaskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos 
os seguintes valores: 
 
x’ = 3 e x” = 4. 
 
Portanto, os valores que satisfazem a equação 
exponencial 2
x² - 7x + 12
 = 1 é x = 3 e x = 4. 
 
8.4 – Inequações Exponenciais 
 
Assim como as equações exponenciais, as 
inequações exponenciais são aquelas que 
apresentam a incógnita no expoente. 
 
Confira alguns exemplos: 
 
 
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8.4.1 - Resolução de inequações exponenciais 
 
A resolução de uma inequação exponencial poderá 
ser dada através das propriedadesda potenciação. 
Mas lembre-se de que f(x) = a
x
 somente é crescente 
quanto a > 1. Caso 0 < a < 1, f(x)= a
x
 é decrescente. 
 
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-
se observar a situação das bases nos dois membros, 
caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma 
mesma base e, em seguida, forme uma inequação 
com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais: 
 
 Caso a > 1, mantenha o sinal original. 
 Caso 0 < a < 1, inverta o sinal. 
 
Essas regras serão mais bem visualizadas nas 
resoluções que se seguem. Vamos resolver os 
exemplos das inequações anteriores. 
 
2
x
 ≥ 128 
 
Por fatoração, 128 = 2
7
. Portanto: 
 
2
x
 ≥ 2
7
 → como as bases são iguais e a > 1, basta 
formar uma inequação com os expoentes. 
 
x ≥ 7 
S = {x ∈ R | x ≥ 7} 
 
 
Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é 
necessário observar que 0 < a < 1. Diante dessa 
condição, inverte-se o sinal. 
 
x > 2. 
S = {x ∈ R | x > 2} 
4
x
 + 4 > 5 . 2
x
 
 
Perceba que, por fatoração, 4
x
 = 2
2x 
e 2
2x
 é o mesmo 
que (2
x
)². Reescrevendo a inequação, temos: 
 
(2x)² + 4 > 5 . 2x 
 
 
Chamando 2
x
 de t, para facilitar a resolução, ficamos 
com: 
 
t
2 
+ 4 > 5t 
t
2
 – 5t + 4 > 0 
 
Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser 
feito o estudo dos sinais. Não vamos mostrar o 
processo de resolução da inequação de 2º grau, visto 
que o texto trata das exponenciais. Fica como 
sugestão de exercícios para os leitores. 
 
Ao resolver, você encontrará D = 9, t1 = 1 e t2 = 4. 
 
Como a > 0, a concavidade da parábola ficará para 
cima. Isso significa que, como estamos procurando 
valores que tornem a inequação positiva, ficamos 
com: 
 
t < 1 ou t > 4. 
 
Retornando à variável inicial: 
 
t = 2
x
 
 
2
x
 < 1 → x < 0 → lembre-se 
que todo número elevado a 1 é igual ao próprio 
número, e que todo número elevado a zero é igual a 1. 
 
2
x 
> 4 → 2
x
 > 2
2
 → x > 2. 
 
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2} 
 
 
 
2
x
 ≤ 8 → 2
x
 ≤ 2
3
 → x ≤ 3 (S1) 
3x – 6 > 0 → 3x > 6 → x > 2 (S2) 
 
A solução final é dada pela interseção das duas 
soluções encontradas. 
 
 
S = S1 ∩ S2 
S = {x ∈ R | 2 < x ≤ 3} 
 
 
 
 
 
 
93 - Se x é um número real, resolva a equação 
exponencial 3
2x
 + 3
x + 1
 = 18: 
 
Resolução 
 
Para resolver a equação exponencial 3
2x
 + 3
x + 1
 = 18, 
reescreveremos como produto de potências aquelas 
potências cujo expoente possui somas. 
 
y
2
 + y · 3
1
= 18 
y
2
 + 3y – 18 = 0 
Tome y = 3
x
. Temos a seguinte equação em função 
de y: 
 
y
2
 + y · 3
1
= 18 
y
2
 + 3y – 18 = 0 
Exercícios Resolvidos 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacoes-exponenciais.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacoes-exponenciais2.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacoes-exponenciais3.jpg
 
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Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela 
fórmula de Bhaskara: 
 
 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = 3² – 4.1.(– 18) 
Δ = 9 + 72 
Δ = 81 
y = – b ± √Δ 
 2.a 
y = – 3 ± √81 
 2.1 
y = – 3 ± 9 
 2 
 
Voltando à equação y = 3
x
, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Há, portanto, um único valor real para x. A solução da 
equação é x = 1 
94 - Resolva a equação exponencial: 
– 5
x – 1
 – 5
x
 + 5
x + 2
 = 119 
 
Resolução 
 
Como temos na equação a adição e a subtração de 
potências, não podemos escrever o primeiro membro 
como uma só potência, mas podemos desmembrar as 
potências na maior quantidade possível. Isso 
corresponde a escrever a equação da seguinte forma: 
 
– 5
x – 1
 – 5
x
 + 5
x + 2
 = 
– 5
x
 · 5
– 1 
– 5
x
 + 5
x
 · 5
2
 = 
 
Colocando o termo 5
x
 em evidência, temos: 
 
5
x
 · (– 5
– 1 
– 1 + 5
2
) = 
5
x
 · (
– 1
/5
 
– 1 + 25) = 
 
 
 
5
x
 = 5 
x = 1 
 
Portanto, a solução da equação exponencial. 
 
– 5
x – 1
 – 5
x
 + 5
x + 2
 = 119 é x = 1 
 
95 (UFJF) - Dada a equação 2
3x – 2 
· 8
x + 1
 = 4
x – 1
, 
podemos afirmar que sua solução é um número: 
 
(A) natural. 
(B) maior do que 1. 
(C) de módulo maior do que 1. 
(D) par. 
(E) de módulo menor do que 1. 
 
Resolução 
 
A fim de facilitar a resolução da equação 
exponencial 2
3x – 2 
· 8
x + 1
 = 4
x – 1
, vamos reescrever 
todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 
2
2
 e 8 = 2
3
. Substituindo na equação: 
 
2
3x – 2 
· 8
x + 1
 = 4
x – 1
 
2
3x – 2 
· (2
3
)
x + 1
 = (2
2
)
x – 1
 
2
3x – 2 
· 2
3(x + 1)
 = 2
2(x – 1)
 
2
3x – 2 
· 2
3x + 3
 = 2
2x – 2
 
2
(3x – 2 ) + (3x + 3)
 = 2
2x – 2
 
 
Como temos uma equação exponencial que apresenta 
potências de mesma base nos dois lados da equação, 
podemos igualar os expoentes: 
 
(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2 
6x + 1 = 2x – 2 
6x – 2x = – 2 – 1 
4x = – 3 
x = – 3 
 4 
|x| = ¾ 
 
Portanto, a alternativa que classifica corretamente o 
resultado da equação é a letra E, que afirma que x é 
um número de módulo menor do que 1. 
 
96 (MACKENZIE/SP) - A soma das raízes da 
equação 2
2x + 1 
– 2
x + 4
 = 2
x + 2 
– 32 é: 
 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 7 
 
Resolução 
 
Para resolver a equação exponencial 2
2x + 1 
– 2
x + 4
 = 2
x 
+ 2 
– 32, começaremos separando as potências que 
 
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apresentam somas no expoente, escrevendo-as como 
produto de potências. 
 
2
2x + 1 
– 2
x + 4
 = 2
x + 2 
– 32 
2
x
 · 2
x
 · 2
1 
– 2
x
 · 2
4
 = 2
x
 · 2
2 
– 32 
 
Façamos 2
x
 = y: 
 
y · y · 2
1 
– y · 2
4
 = y · 2
2 
– 32 
y
2
 · 2
1 
– y · 16 = y · 4
 
– 32 
2y
2 
– 16y – 4y + 32 = 0 
2y
2 
– 20y + 32 = 0 
 
Chegamos a uma equação do 2° grau, que pode ser 
resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com 
números menores, podemos dividir toda a equação 
por 2, sem prejuízo no resultado final. 
 
y
2 
– 10y + 16 = 0 
 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = (– 10)² – 4.1.16 
Δ = 100 – 64 
Δ = 36 
y = – b ± √Δ 
 2.a 
y = – (– 10) ± √36 
2.1 
y = 10 ± 6 
 2 
 
 
 
Agora que encontramos os possíveis valores 
de y, podemos resolver a equação exponencial que 
criamos no início do exercício: 
 
 
 
O enunciado pediu a soma das raízes da equação 
exponencial. Como as raízes são x1 = 3 e x2= 1, então 
a soma é x1 + x2 = 3 + 1 = 4. Portanto, a alternativa 
correta é a letra C. 
 
97 - Se x é um número real, resolva a inequação 
exponencial (3
x
)
x – 1
 ≤ 729. 
Resolução 
 
Podemos reescrever essa inequação exponencial 
substituindo o número 729pela potência de base 3 e 
expoente 6. Feito isso, estabeleceremos a inequação 
apenas entre os expoentes: 
(3
x
)
x – 1
 ≤ 729 
(3
x
)
x – 1
 ≤ 3
6
 
x(x – 1) ≤ 6 
x² – x – 6 ≤ 0 
 
Agora utilizaremos a fórmula de Bhaskara: 
 
Δ = (– 1)² – 4.1.(– 6) 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
x = – (– 1) ± √25 
 2.1 
x = 1 ± 5 
 2 
x' = 1 + 5 = 6 = 3 
 2 2 
x'' = 1 – 5 = – 4 = – 2 
 2 2 
 
Portanto, a solução da inequação é dada por: 
S = {x R | – 2 ≤ x ≤ 3}. 
 
 
98 (VUNESP) - É dada a inequação: 
 
 
 
O conjunto verdade V, considerado o conjunto 
universo como sendo o dos reais, é dado por: 
 
(A) V = {x R | x ≤ – 3 ou x ≥ 2} 
(B) V = {x R | x ≤ – 3 e x ≥ 2} 
(C) V = {x R | – 3 ≤ x ≤ 2} 
(D) V = {x R | x ≤ – 3} 
(E) V = {x R | x ≥ 2} 
 
Resolução 
 
Para resolver a inequação exponencial proposta no 
exercício, simplificaremos a fração 
3
/9: 
 
 
 
Multiplicaremos agora o expoente que está dentro dos 
parênteses pelos que estão fora: 
 
 
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Podemos estabelecer a inequação apenas entre os 
expoentes: 
x² – x ≥ 3 – x 
2 2 
Multiplicaremos toda a inequação por dois: 
 
x² – x ≥ 6 – 2x 
x² + x – 6 ≥ 0 
 
Pela fórmula de Bhaskara, teremos: 
 
 
Δ = 1² – 4.1.(– 6) 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
x = – 1 ± √25 
 2.1 
x = – 1 ± 52 
 
 
x' = – 1 + 5 = 4 = 2 
 2 2 
x'' = – 1 – 5 = – 6 = – 3 
 2 2 
 
Portanto, a alternativa que corresponde à solução 
encontrada é a letra A. 
 
 
99 (UFRGS) - A solução da inequação 0,5
(1 – x)
 > 1 é o 
conjunto: 
 
(A) {x R | x > 1} 
(B) {x R | x < 1} 
(C) {x R | x > 0} 
(D) {x R | x < 0} 
(E) Reais 
 
Inicialmente podemos escrever o número 1 como a 
potência de base 0,5 e expoente 0: 
 
0,5
(1 – x)
 > 1 
0,5
(1 – x)
 > 0,5
0
 
 
Como as bases das potências são iguais, podemos 
estabelecer a inequação apenas entre os expoentes. 
Lembrando que, como a base é 0,5, um número 
menor do que 1, devemos inverter a desigualdade: 
 
1 – x < 0 
– x < – 1 
x > 1 
 
Portanto, a alternativa que apresenta a solução 
correta é a letra A 
 
 
 
 
 
 
 
301 - Determine o conjunto solução da seguinte 
equação exponencial: 
 
 
302 - Qual o valor de x na equação exponencial 
 
 
303 - Calcule o conjunto solução do seguinte sistema 
de equações exponenciais: 
 
 
304 - Determine o valor de x para que a expressão se 
torne verdadeira: 
 
 
305 - Resolva a seguinte equação exponencial: 
 
 
 
306 (UNIRIO) - Uma indústria fabrica 100 produtos 
diferentes, que já estão no mercado. Para facilitar a 
identificação de cada produto, via computador, será 
criado um código de barras especial, onde cada barra 
é [] ou [ ]. 
 
O número mínimo de barras necessárias para se criar 
um código de barras que identifique cada um dos 100 
produtos é igual a: (se necessário, use log 2 = 0,3) 
 
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 2) 
 
307 (UERJ) - Uma empresa acompanha a produção 
diária de um funcionário recém-admitido, utilizando 
uma função f(d), cujo valor corresponde ao número 
mínimo de peças que a empresa espera que ele 
produza em cada dia (d), a partir da data de sua 
admissão. Considere o gráfico auxiliar, que representa 
a função y = ex . 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
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Utilizando f(d) = 100 - 100.e-0,2d e o gráfico acima, a 
empresa pode prever que o funcionário alcançará a 
produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for 
igual a: 
 
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 
 
308 (UNIFESP) - Uma forma experimental de insulina 
está sendo injetada a cada 6 horas em um paciente 
com diabetes. O organismo usa ou elimina a cada 6 
horas 50% da droga presente no corpo. O gráfico que 
melhor representa a quantidade Y da droga no 
organismo como função do tempo t, em um período de 
24 horas, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
309 (FMTM) - Uma cultura bacteriana apresenta 
inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após 
t horas, sua população será de 10 000.(1,2)t bactérias. 
A população da cultura será de 30 000 bactérias após 
um número de horas igual a: 
 
(A) 2. (B) 3. C) 4. (D) 5. (E) 6. 
 
310 (UEL) - Um dos traços característicos dos 
achados arqueológicos da Mesopotâmia é a grande 
quantidade de textos, escritos em sua maioria sobre 
tabuinhas de argila crua. 
 
Em algumas dessas tabuinhas foram encontrados 
textos matemáticos datados de cerca de 2000 a.C. Em 
um desses textos, perguntava-se “por quanto tempo 
deve-se aplicar uma determinada quantia de dinheiro 
a juros compostos de 20% ao ano para que ela 
dobre?”. (Adaptado de: EVES, Howard. Introdução à 
História da Matemática. Campinas: Editora da 
Unicamp, 1995. p. 77.) 
 
Nos dias de hoje, qual equação seria utilizada para 
resolver tal problema? 
 
(A) (1,2)
t
 = 2 
(B) 2
t
 = 1,2 
(C) (1,2)t = 2 
(D) 2t = 1,2 
(E) t
2 
= 1,2 
311 (FGV/2005) - Um computador desvaloriza-se 
exponencialmente em função do tempo, de modo que 
seu valor y, daqui a x anos, será y = A k x , em que A 
e k são constantes positivas. Se hoje o computador 
vale R$ 5000,00 e valerá a metade desse valor daqui 
a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: 
 
(A) R$ 625,00 
(B) R$ 550,00 
(C) R$ 575,00 
(D) R$ 600,00 
(E) R$ 650,00 
 
312 (MACK) - Um aparelho celular tem seu preço “y” 
desvalorizado exponencialmente em função do tempo 
(em meses) ”t”, representado pela equação y = p⋅q t , 
com p e q constantes positivas. Se, na compra, o 
celular custou R$500,00 e, após 4 meses, o seu valor 
é 5 1 do preço pago, 8 meses após a compra, o seu 
valor será 
 
(A) R$25,00 
(B) R$24,00 
(C) R$22,00 
(D) R$28,00 
(E) R$20,00 
 
313 - Para estimar a área da figura ABDO (sombreada 
no desenho), onde a curva AB é parte da 
representação gráfica da função f(x) = 2
x
 , João 
demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um 
programa de computador que “plota” pontos 
aleatoriamente no interior desse retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que dos 1000 pontos “plotados”, apenas 540 
ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada 
dessa figura, em unidades de área, é igual a: 
 
(A) 4,32. 
(B) 4,26. 
(C) 3,92. 
(D) 3,84. 
(E) 3,52. 
 
314 (UFC) - A população de uma cidade X aumenta 
1500 habitantes por ano e a população de uma cidade 
Y aumenta 3% ao ano. Considere os seguintes 
gráficos: 
 
 
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Analisando os gráficos acima, assinale a opção que 
indica aqueles que melhor representam os 
crescimentos populacionais P das cidades X e Y, 
respectivamente, em função do tempo T. 
 
(A) 1 e 2 
(B) 2 e 3 
(C) 1 e 4 
(D) 2 e 4 
(E) 3 e 4 
 
315 (ENEM) - A duração do efeito de alguns fármacos 
está relacionada à sua meia vida, tempo necessário 
para que a quantidade original do fármaco no 
organismo se reduza à metade. A cada intervalo de 
tempo correspondente a uma meia vida, a quantidade 
de fármaco existente no organismo no final do 
intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse 
intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico acima representa, de forma genérica, o que 
acontece com a quantidade de fármaco no organismo 
humano ao longo do tempo. F. D. Fuchs e Cher l. 
Wannma. Farmacologia Clínica. Rio de Janeiro: 
Guanabara Koogan,1992, p. 40. A meia-vida do 
antibiótico amoxicilina é de 1 hora. 
 
Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 
12 h em um paciente, o percentual dessa dose que 
restará em seu organismo às 13 h 30 min será 
aproximadamente de 
 
(A) 10%. (B) 15%. (C) 25%. (D) 35%. (E) 50%. 
 
316 (UDESC) - A solução da equação exponencial 25
x
 
 26.5
x
 +25=0 é: 
 
(A) 0 e 2 
(B) 1 e 2 
(C) -1 e 2 
(D) 0 e -1 
(E) 0 e 1 
 
317(FGV) - Os números inteiros x e y satisfazem a 
equação. 
 
Então x - y é: 
 
(A) 8 (B) 5 (C) 9 (D) 6 (E) 7 
 
318 (MACK) - Na figura temos o esboço do gráfico de 
y = a
x
 + 1. O valor de 2
3a - 2
 é: 
 
 
 
(A) 16 (B) 8 (C) 2 (D) 32 (E) 64 
 
IX – FUNÇÃO LOGARITMICA 
 
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, 
com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de 
base a. Nesse tipo de função o domínio é 
representado pelo conjunto dos números reais 
maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos 
reais. 
 
Exemplos de funções logarítmicas: 
 
f(x) = log2x 
f(x) = log3x 
f(x) = log1/2x 
f(x) = log10x 
f(x) = log1/3x 
f(x) = log4x 
f(x) = log2(x – 1) 
f(x) = log0,5x 
 
9.1 - Determinando o domínio da função 
logarítmica 
 
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Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as 
seguintes restrições: 
 
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4 
2) x – 2 > 0 → x > 2 
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3 
 
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3,temos 
o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. 
 
Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} 
 
9.2 - Gráfico de uma função logarítmica 
 
Para a construção do gráfico da função logarítmica 
devemos estar atentos a duas situações: 
 
? a > 1 
 
? 0 < a < 1 
 
Paraa > 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
 
 
Função crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
 
Função decrescente 
 
 
9.3 - Características do gráfico da função 
logarítmica y = logax 
 
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é 
definida para x > 0. 
 
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a 
raiz da função é x = 1. 
 
Note que y assume todos as soluções reais, por isso 
dizemos que a Im(imagem) = R. 
 
Através dos estudos das funções logarítmicas, 
chegamos à conclusão de que ela é uma função 
inversa da exponencial. Observe o gráfico 
comparativo a seguir: 
 
Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função 
logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função 
exponencial de mesma base. 
 
 
 
 
 
100 - Estabeleça o domínio das funções a seguir: 
 
a) y = log3 (x – ½) 
b) y = log(x – 1) (3x + 6) 
c) y = log(x + 2) (x² – 4) 
 
Resolução 
(A) Para a função y = log3 (x – ½), temos apenas uma 
restrição: 
 
x – ½ > 0 → x > ½ 
 
Então, o domínio da função logarítmica é D = 
{x | x > ½}. 
 
(B) Para a função y = log(x – 1) (– 3x + 9), temos as 
restrições: 
 
– 3x + 9 > 0 → – 3x > – 9 → x < 3 
x – 1 > 0 → x > 1 
x – 1 ≠ 1 → x ≠ 2 
 
Portanto, o domínio da função logarítmica y é D = 
{x | 1 < x < 2 ou 2 < x < 3} 
(C) Para a função y = log(x + 2) (x² – 4), temos as 
restrições: 
Exercícios Resolvidos 
 
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x² – 4 > 0 → – √4 > x > √4 → – 2 > x > 2 
x + 2 > 0 → x > – 2 
x + 2 ≠ 1 → x ≠ – 1 
 
O domínio da função logarítmica y é D = {x | – 2 
< x < – 1 ou – 1 < x < 2} 
 
101 - Construa o gráfico das funções: 
 
a) y = log2 x 
b) y = log1/2 x 
 
Resolução 
 
(A) Como a = 2 > 1, já sabemos que se trata de uma 
função crescente. Vamos escolher alguns valores de x 
para calcular os valores de y e montar o gráfico da 
função logarítmica: 
 
Gráfico da função y = log2 x 
 
(B) Como a = ½ < 1, estamos trabalhando com uma 
função decrescente. Vamos escolher alguns valores 
de x para calcular os valores de y e montar o gráfico 
da função logarítmica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 - O anúncio de certo produto aparece diariamente 
num certo horário na televisão. Após t dias do início 
da exposição (t exposições diárias), o número de 
pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado 
por y = 3 – 3.(0,95)
t
, em que y é dado em milhões de 
pessoas. 
 
(A) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 
milhões de pessoas conhecendo o produto? 
(B) Faça o gráfico de y em função de t. 
 
Resolução 
 
(A) Queremos encontrar o valor de t para y ≥ 1,2. 
Vamos então substituir esse valor de y na função: 
 
3 – 3.(0,95)
t
 = y 
3 – 3.(0,95)
t
 ≥ 1,2 
– 3.(0,95)
t
 ≥ 1,2 – 3 
3.(0,95)
t
 ≤ 1,8 
(0,95)
t
 ≤ 1,8 
 3 
(0,95)
t
 ≤ 0,6 
Para resolver essa inequação, vamos aplicar o 
logaritmo em ambos os lados da equação: 
 
log (0,95)
t
 ≤ log 0,6 
t . log (0,95) ≤ log 0,6 
t ≤ log 0,6 
 log 0,95 
t ≤ 9,95 
 
Portanto, em até 10 dias, 1,2 milhões de pessoas 
terão visto o anúncio do produto. 
 
(B) y = 3 – 3.(0,95)
t
 é uma função crescente e o 
gráfico da função logarítmica é: 
 
Gráfico da função y = 3 – 3.(0,95)
t 
 
 
103 - Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma 
taxa anual de 8%, com juros capitalizados 
anualmente. Considerando que não foram feitas novas 
aplicações ou retiradas, encontre: 
 
(A) O capital acumulado após dois anos. 
(B) O número inteiro mínimo de anos necessários 
para que o capital acumulado seja maior que o dobro 
do capital inicial. 
 
(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 1,08 = 0,033). 
 
Resolução 
(A) O capital acumulado após um ano pode ser 
calculado através da fórmula de juros compostos: 
 
M = C . (1 + i)
t
 
 
Sendo C o capital de R$ 12.000,00, i a taxa de juros 
de 0,08 e t o tempo de 2 anos, temos: 
 
M = C . (1 + i)
t
 
M = 12000 . (1 + 0,08)
2
 
M = 12000 . 1,08
2
 
M = 13996,8 
 
Então, após dois anos, o capital acumulado foi de R$ 
13.996,80. 
 
(B) Considere x como o número de anos, i como a 
taxa de juros de 0,08, Como o capital inicial e M como 
o montante que deverá ser maior que o dobro do 
capital inicial, sendo assim, teremos: 
 
C . (1 + i)
t
 > M 
C . (1 + i)
t
 > 2C 
(1 + i)
t
 > 2 
(1 + 0,08)
t
 > 2 
1,08
t
 > 2 
 
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Aplicando o logaritmo em ambos os lados da 
inequação, teremos: 
 
log 1,08
t
 > log 2 
t . log 1,08 > log 2 
t > log 2 
log 1,08 
t > 0,301 
 0,033 
t > 9,121 
 
Portanto, será necessário o mínimo de 10 anos para 
que o capital acumulado seja o dobro do capital inicial. 
 
 
 
319 - O produto das soluções da equação (4
3 – x
)
2 – x
 = 
1 é: 
 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
320 (PUCCAMP) - Considere a sentença a
2x + 3
 > a
8
, 
na qual x é uma variável real e a é uma constante real 
positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo: 
 
(A) x = 3 e a = 1 
(B) x = -3 e a > 1 
(C) x = 3 e a < 1 
(D) x = -2 e a < 1 
(E) x = 2 e a > 1 
 
321 - As funções y = a
x
 e y = b
x
 com a > 0 e b > 0 e a 
b têm gráficos que se interceptam em: 
 
(A) nenhum ponto; 
(B) 2 pontos; 
(C) 4 pontos; 
(D) 1 ponto; 
(E) infinitos pontos. 
 
322 - O gráfico da função real f(x) = x
2
 – 2: 
 
(A) Intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0); 
(B) Intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1); 
(C) Intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0); 
(D) Intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2) 
(E) Não intercepta o eixo dos x. 
 
323 (FIC / FACEM) - A produção de uma indústria 
vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela 
produziu mil unidades de seu principal produto. 
 
A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 
1000 . (0,9)
x
. O número de unidades produzidas no 
segundo ano desse período recessivo foi de: 
 
(A) 900 
(B) 1000 
(C) 180 
(D) 810 
(E) 90 
 
324 - Supondo que exista, o logaritmo de a na base b 
é: 
 
(A) O número ao qual se eleva a para se obter 
(B) O número ao qual se eleva b para se obter a 
(C) A potência de base b e expoente a. 
(D) A potência de base a e expoente b. 
(E) A potência de base 10 e expoente a. 
 
325 (PUC) - Assinale a propriedade válida sempre: 
 
(A) log (a . b) = log a . log b 
(B) log (a + b) = log a + log b 
(C) log m . a = m . log a 
(D) log a
m
 = log m . a 
(E) log a
m
 = m . log a 
 
Supor válidas as condições de existências dos 
logaritmos) 
326 (CESGRANRIO) - Se log10123 = 2,09, o valor de 
log101, 23 é: 
 
(A) 0,0209 
(B) 0,09 
(C) 0,209 
(D) 1,09 
(E) 1,209 
 
327 (UFSM) - Considerando f(x) = a
x
 a função 
exponencial de base a e g(x) = logx a função 
logarítmica de base a, numere a 1• coluna de acordo 
com a 2•. 
 
1ª Coluna 
( ) Domínio de f 
( ) Imagem de g 
( ) f(0) 
( ) g(1) 
 
2ª Coluna 
 
1. Domínio de f 
2. Domínio de g 
3. 0 
4. a 
5. Imagem de g 
6. Imagem de f 
7. IR -{a} 
8. g(a) 
 
A seqüência correta é: 
 
(A) 2 - 5 - 8 - 3. 
(B) 2 - 1 - 4 - 3. 
(C) 5 - 7 - 8 - 4. 
(D) 5 - 1 - 8 - 3. 
(E) 7 - 1 - 6 – 4 
 
328 (UFSM) - Se x > 0 e x · 1, então a expressão 
 
Exercícios Propostos 
 
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(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
329 (UFF) - A figura representa o gráfico da função f 
definida por f(x)=log2x. A medida do segmento PQ é 
igual a: 
 
 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
330 (PUCRS) - Um aluno do Ensino Médio deve 
resolver a equação 2
x
 = 3 com o uso da calculadora. 
Para que seu resultado seja obtido em um único 
passo, e aproxime-se o mais possível do valor 
procurado, sua calculadora deverá possuir a tecla que 
indique a aplicação da função f definida por: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
331 (PUCPR) - A solução da equação -log y = log [y + 
(3/2)] está no intervalo: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
 
332 (UNIRIO) - O gráfico que melhor representa a 
função real definida por f(x)=In(|x|-1) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
333 (PUCPR) - Se log(3x+23) - log(2x-3) = log4, 
encontrar x.(A) 4 (B) 3 (C) 7 (D) 6 (E) 5 
 
334 (PUCMG) - Se logn3 > logn5, então: 
 
(A) a < -1 
(B) a > 3 
(C) -1 < a < 0 
(D) 0 < a < 1 
 
X – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
10.1 – DEFINIÇÃO 
 
A estatística descritiva é a etapa inicial da análise 
utilizada para descrever e resumir os dados. A 
disponibilidade de uma grande quantidade de dados e 
de métodos computacionais muito eficientes revigorou 
está área da estatística. Deste modo, podemos então 
definir estatística como sendo a ciência que se 
preocupa com a coleta, organização, apresentação, 
análise e interpretação de dados. Didaticamente 
podemos dividir a estatística em duas partes: a 
estatística descritiva e a inferência estatística. 
 
A estatística descritiva se refere à maneira de 
apresentar um conjunto de dados em tabelas e 
gráficos, e ao modo de resumir as informações 
contidas nestes dados a algumas medidas. Já a 
inferência estatística baseia-se na teoria das 
probabilidades para estabelecer conclusões sobre 
todo um grupo (chamado população), quando se 
observou apenas uma parte (amostra) desta 
população. 
 
 
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10.1.1 - Conceitos Fundamentais 
 
A estatística trabalha com dados, os quais podem ser 
obtidos por meio de uma população ou de uma 
amostra, definida como: 
 
População: conjunto de elementos que tem pelo 
menos uma característica em comum. Esta 
característica deve delimitar corretamente quais são 
os elementos da população que podem ser animados 
ou inanimados. 
 
Amostra: subconjunto de elementos de uma 
população. Este subconjunto deve ter dimensão 
menor que o da população e seus elementos devem 
ser representativos da população. 
 
A seleção dos elementos que irão compor a amostra 
pode ser feita de várias maneiras e irá depender do 
conhecimento que se tem da população e da 
quantidade de recursos disponíveis. A estatística 
inferencial é a área que trata e apresenta a 
metodologia de amostragem. 
 
Parâmetro: é uma característica numérica 
estabelecida para toda uma população. 
Estimador: é uma característica numérica 
estabelecida para uma amostra. 
 
Dentre os modelos estatísticos podemos destacar os 
seguintes: 
 
Censo é um levantamento estatístico (pesquisa) que 
abrange todos os elementos de uma população. 
Amostragem é o processo de obter as amostras, com 
a finalidade de fazer generalizações sobre a 
população sem precisar examinar cada um de seus 
elementos. Em se tratando de conjuntos-
subconjuntos, estes podem ser: 
 
 Finitos: possuem um número limitado de 
elementos. 
 Infinitos: possuem um número ilimitado de 
elementos. Segundo Medronho (2003), elemento 
significa cada uma das unidades observadas no 
estudo. 
 
Após a determinação dos elementos pergunta-se: o 
que fazer com estes? Pode-se medi-los, observá-los e 
contá-los surgindo um conjunto de respostas que 
receberá a denominação de variável que pode ser 
observada, medida ou contada nos elementos da 
população ou da amostra e que pode variar, ou seja, 
assumir um valor diferente de um elemento para outro. 
 
Não basta identificar a variável a ser trabalhada, é 
necessário fazer-se distinção entre os tipos de 
variáveis: 
 
 
 
10.2 - ORGANIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO 
DOS DADOS 
 
Uma das formas de organizar e resumir a informação 
contida em dados observados é por meio de tabela de 
frequências e gráficos. 
 
Tabela de frequência: relaciona categorias (ou 
classes) de valores, juntamente com contagem (ou 
frequências) do número de valores que se enquadram 
em cada categoria ou classe. 
 
10.2.1 - Variáveis Quantitativas 
 
Medidas de posição: 
 
1. Moda (mo): É o valor (ou atributo) que ocorre com 
maior frequência, Ex: 4,5,4,6,5,8,4,4 - Mo = 4 
A moda (Mo) é o valor que apresenta a maior 
frequência da variável entre os valores observados. 
Para o caso de valores individuais, a moda pode ser 
determinada imediatamente observando-se o rol ou a 
frequência absoluta dos dados. 
 
Por outro lado, em se tratando de uma distribuição de 
frequência de valores agrupados em classes, 
primeiramente é necessário identificar a classe modal, 
aquela que apresenta a maior frequência, e a seguir a 
moda é calculada aplicando-se a fórmula: 
 
2. Média – 
 
 
 
 
 
Ex: 2,5,3,7,8 
Média = [(2+5+3+7+8)/5]=5 
 
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 Média aritmética - é a soma de todos os valores 
observados da variável dividida pelo número total 
de observações. Sob uma visão geométrica a 
média de uma distribuição é o centro de 
gravidade, representa o ponto de equilíbrio de um 
conjunto de dados. É a medida de tendência 
central mais utilizada para representar a massa de 
dados, para dados populacionais ou amostrais, 
respectivamente. Caso os dados estejam 
apresentados segundo uma distribuição de 
frequência, tem-se: para dados populacionais ou 
amostrais, respectivamente. Observe que no caso 
de dados agrupados a média é obtida a partir de 
uma ponderação, onde os pesos são as 
frequências absolutas de cada classe e xi é o 
ponto médio da classe i. 
 Média Geométrica – Este tipo de média é 
calculada multiplicando-se todos os valores e 
extraindo-se a raiz de índice n deste produto. 
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para 
obtermos o valor médio aritmético deste conjunto, 
multiplicamos os elementos e obtemos o 
produto 216. Pegamos então este produto e 
extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor 
médio 6. Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto 
é composto de 3 elementos. Se 
fossem n elementos, extrairíamos a raiz de 
índice n. 
 
3. Meridiana é o valor da variável que ocupa a 
posição central de um conjunto de n dados ordenados. 
 
Posição da mediana: (n+1)/2 
Ex: 2,5,3,7,8 
 
Dados ordenados: 2,3,5,7,8 => (5+1)/2=3 
=> Md = 5 
 
Ex: 3,5,2,1,8,6 
Dados ordenados:1,2,3,5,6,8 => (6+1)/2=3,5 => 
Md=(3+5)/2=4 
 
4. Percentis - O percentil de ordem px100 (0<p<1), 
em um conjunto de dados de tamanho n, é o valor da 
variável que ocupa a posição px(n+1) do conjunto de 
dados ordenados. O percentil de ordem p (ou p-
quantil) deixa px100% das observações abaixo dele 
na amostra ordenada. 
 
Casos Particulares: 
 
 Percentil 50=mediana, segundo 
quartil(md,Q2,q(0,5)) 
 Percentil 25= primeiro quartil (Q1), q(0,25) 
 Percentil 75= terceiro quartil (Q3) , q(0,75) 
 
Exemplos 
 
Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12 =>n=9 
=> ordenamos: 2<3<5<7<8<10<11<12<15 
P1=1/18; p2=3/18; p3=5/18; p4=7/18; p5=1/2; 
p6=11/18; p7=13/18; p8=15/18; p9=17/18 
 
Posição Md : q(0.5)=8 
Posição de Q1: q(0.25)=4,5 
Posição de Q3: q(0.75)=11,25 
 
Ex. 2: Considere as notas de um teste de 3 grupos de 
alunos: 
 
Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; 
Grupo 2: 1, 3, 5, 7,9; e 
Grupo 3: 5,5,5,5,5. 
 
 
 
 
 
O p-quantil, 0<p<1, pode ser calculado como: O p-
quantil, 0<p<1, pode ser calculado como: 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão: 
 
Finalidade: encontrar um valor que resuma a 
variabilidade de um conjunto de dados 
 
1. Amplitude (A): A=máx.-min 
 
Para os grupos anteriores, temos: 
 
Grupo 1, A=4 
Grupo 2, A=8 
Grupo 3, A=0 
 
2. -Interquartil (d) - É a diferença entre o terceiro 
quartil e o primeiro quartil, ou seja, d= Q3-Q1 
 
Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12 
Q1=4,5 e Q3=11,25 
d =Q3-Q1=4,9-2,05=2,85 
 
Max, Min, Q1,Q3,Q2: importantes para se ter uma boa 
ideia da forma dos dados (simétrica ou assimétrica) e 
construir box-plots 
 
3. Variância 
 
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4. Desvio Padrão, S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Coeficiente de Variação. 
 
 É uma medida de dispersão relativa; 
 Elimina o efeito da magnitude 
dos dados; 
 Exprime a variabilidade em 
relação a média 
 Útil Comparar duas ou 
mais variáveis 
 
 
 
Exemplo: Altura e peso de alunos 
 
 
 
 
 
Conclusão: Com relação as médias, os alunos são, 
aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto 
ao peso do que quanto a altura. 
 
10.2.1 – Organização de Variáveis QualitativasPodemos construir tabela de frequência que os 
quantificam por categoria de classificação e sua 
representação gráfica é mediante gráfico de barras, 
gráfico setorial ou em forma de pizza. 
 
Exemplo 1: Considere ao variável grau de Instrução 
dos dados da tabela 1. (Variável qualitativa) 
 
 
Frequência absoluta da categoria i (número de 
indivíduos que pertencem à categoria i 
 
Frequência relativa da categoria i 
 
Frequência relativa percentual da categoria i 
 
10.2.2 – Organização de Variáveis 
Quantitativas 
 
1. Quantitativas discretas: Organizam-se mediante 
tabelas de frequências e a representação gráfica é 
mediante gráfico de barras 
 
Exemplo: Considere a variável número de filhos dos 
dados da tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2.1: Distribuição de frequências de 
funcionários da empresa, segundo o número de filhos. 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 1: A partir da tabela 2.1 podemos 
recuperar as 20 observação da tabela 1.1, ou seja, 
 
aqui não temos perda de informação dos dados 
originais. 
 
Representação gráfica: Diagrama de Barras 
 
 
 
 
Determinação das medidas de posição e medidas de 
dispersão para variáveis quantitativas discretas 
agrupadas em tabela de frequências: 
 
 
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Média 
 
 
Exemplo: Considere a tabela 2.1 e determine a média 
de filhos dos funcionários. 
 
 
Mediana: 
 
 
 
Variância 
 
 
Cálculo da variância para os dados da tabela 2.1 
 
 
 
Desvio Padrão 
 
 
 
2. Quantitativas contínuas: Os seus valores podem 
ser qualquer número real e ainda geralmente existe 
um grande número de valores diferentes. Como 
proceder a construir uma tabela de frequência nestes 
casos? 
 
A alternativa consiste em construir classes ou faixas 
de valores e contar o número de ocorrências em cada 
faixa. No caso da variável salario podemos considerar 
as seguintes faixas de valores: [4,0; 7,0); 
[7,0;10,0);...... 
 
NOTAÇÃO: 4,0|----7,0 
 
Procedimento de construção de tabelas de 
frequência para variáveis contínuas: 
 
1. Escolha o número de intervalos de classe (k) 
2. Identifique o menor valor (MIN) e o valor máximo 
(MAX) dos dados. 
3. Calcule a amplitude dos dados (A): A=MAX –MIN 
4. Calcule o comprimento de cada intervalo de classe 
(h): 
 
 
5. Arredonde o valor de h de forma que seja obtido um 
número conveniente. 
6. Obtenha os limites de cada intervalo de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Construa uma tabela de frequências, constituída 
pelas seguintes colunas: 
 
 Número de ordem de cada intervalo (i) 
 Limites de cada intervalo. Os intervalos são 
fechados á esquerda e aberta à direita: 
 Ponto médio (ou marca de classe) de cada 
intervalo de classe: 
 
 
 
 
 
 Contagem dos dados pertencentes a cada 
intervalo. 
 Frequências absolutas de cada intervalo de 
classe. 
 Frequências relativas de cada intervalo de classe. 
 Frequências acumuladas absolutas de cada 
intervalo de classe. 
 Frequências acumuladas relativa de cada intervalo 
de classe. 
 
 
 
 
 Frequências acumuladas relativa de cada intervalo 
de classe. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Considere a variável salário da empresa 
comercializadora de produtos de informática. 
 
Procedimento: 
 
1. Considere k=5. 
2. MIN=4; MAX=23,30. 
3. A=MAX-MIN=23,30-4=19,30 
4. h=19,3/5=3,86 
5. h≈3,9 
6. Cálculo dos limites de cada intervalo: 
 
 
 
 
 
 
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Os demais limites dos intervalos foram gerados 
seguindo o procedimento anterior. 
 
Ponto Médio 
 
 
 
De forma similar obtêm-se os outros pontos médios. 
 
Tabela 2.2: Distribuição de frequências da variável 
salário. 
 
 
Nesta organização de dados, temos perda de 
informação dos dados originais. 
 
Representação gráfica: 
 
• A seguir, Histograma de frequências relativas (em %) 
para a variável salário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.3 – GRÁFICOS 
 
Vamos agora fazer um estudo mais aprofundado dos 
Gráficos que são recursos visuais da Estatística 
utilizados para representar um fenômeno. 
 
Sua utilização em larga escala nos meios de 
comunicação social, técnica e científica, devem-se 
tanto à sua capacidade de refletir padrões gerais e 
particulares do conjunto de dados em observação, 
como à facilidade de interpretação e a eficiência com 
que resume informações dos mesmos. 
 
Embora os gráficos forneçam menor grau de detalhes 
que as tabelas, colocam em evidência as tendências, 
as ocorrências ocasionais, os valores mínimos e 
máximos e também as ordens de grandezas dos 
fenômenos que estão sendo observados. 
 
Ao incluir um gráfico em um trabalho, sua identificação 
deve aparecer na parte inferior, precedido pela palavra 
Gráfico seguida de seu número de ordem de 
ocorrência no texto (algarismos arábicos), de seu 
respectivo título e/ou legenda explicativa de maneira 
breve e clara (dispensando a leitura do texto) e da 
fonte de onde se extraiu os dados. 
 
Uma regra básica para a elaboração adequada do 
título de qualquer gráfico é verificar se o mesmo 
responde a três exigências: o quê, onde e quando. 
 
10.3.1 - Gráficos para Variáveis Qualitativas 
 
1. Gráfico de barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação trabalho e curso dos alunos da disciplina Inferência 
Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: 
Tabela 01. 
 
É um gráfico formado por retângulos horizontais de 
larguras iguais, onde cada um deles representa a 
intensidade de uma modalidade ou atributo. 
 
É recomendável que cada coluna conserve uma 
distância entre si de aproximadamente 2/3 da largura 
da base de cada barra, evidenciando deste modo, a 
não continuidade na seqüência dos dados. 
 
O objetivo deste gráfico é de comparar grandezas e é 
recomendável para variáveis cujas categorias tenham 
designações extensas. 
 
2. Gráfico de colunas 
 
É o gráfico mais utilizado para representar variáveis 
qualitativas. Difere do gráfico de barras por serem 
seus retângulos dispostos verticalmente ao eixo das 
abscissas sendo mais indicado quando as 
designações das categorias são breves. Também para 
este tipo de gráfico deve ser preservada a distância 
entre cada retângulo de, aproximadamente, 2/3 da 
largura da base de cada coluna. 
 
O número de colunas ou barras do gráfico não deve 
ser superior a 12 (doze). 
 
 
Meios de informação utilizados pelos alunos da disciplina 
Inferência Estatística, curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. 
Fonte: Tabela 01. 
 
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Ao se descrever simultaneamente duas ou mais 
categorias para uma variável, é conveniente fazer uso 
dos gráficos de barras ou colunas justapostas (ou 
sobrepostas), chamados de gráficos comparativos. De 
acordo com as normas contidas em Gráficos (UFPR, 
2001), este tipo de gráfico só deve ser utilizado 
quando apresentar até três elementos para uma série 
de no máximo quatro valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Gráfico de setores 
 
Tipo de gráfico onde a variável em estudo é projetada 
num círculo, de raio arbitrário, dividido em setores com 
áreas proporcionais às frequências das suas 
categorias. São indicados quando se deseja comparar 
cada valor da série com o total. Recomenda-se seu 
uso para o caso em que o número de categorias não é 
grande e não obedece a alguma ordem específica. 
 
A Figura mostra um gráfico de setores para a variável 
município de procedência que constam na Tabela 01. 
O procedimento para o cálculo do ângulo 
correspondente a cada categoria é feito por meio de 
simples proporções: 360º que corresponde a um 
círculo completo está para o total de alunos 
entrevistados, 22, assim como xº está para o total de 
alunos que pertencem à categoria desejada. 
 
 
Município de procedência dos alunos da disciplina 
Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 
21/03/2005. Fonte: Tabela 01. 
 
4. Gráfico de linhas 
 
Sua aplicação é mais indicada para representações de 
séries temporais sendo por tal razão, conhecidos 
também como gráficos de séries cronológicas.Sua 
construção é feita colocando-se no eixo vertical (y) a 
mensuração da variável em estudo e na abscissa (x), 
as unidades da variável numa ordem crescente. 
Este tipo de gráfico permite representar séries longas, 
o que auxilia detectar suas flutuações tanto quanto 
analisar tendências. Também podem ser 
representadas várias séries em um mesmo gráfico. 
 
 
 
10.3.2 - Gráficos Para Variáveis Quantitativas 
Discretas 
 
1. Gráfico de bastões 
 
Este gráfico é formado por segmentos de retas 
perpendiculares ao eixo horizontal (eixo da variável), 
cujo comprimento corresponde à frequência absoluta 
ou relativa de cada elemento da distribuição. Suas 
coordenadas não podem ser unidas porque a leitura 
do gráfico deve tornar claro que não há continuidade 
entre os valores individuais assumidos pela variável 
em estudo. 
 
 
Número de irmãos dos alunos da disciplina Inferência 
Estatística do curso de Estatística da UEM, 
21/03/2005. Fonte: Tabela 01. 
 
2. Gráfico da frequência acumulada 
 
A Figura 08 mostra o gráfico para frequência 
acumulada de uma variável quantitativa discreta. Na 
abscissa são alocados os valores assumidos pela 
variável número de irmãos e no eixo das ordenadas 
suas frequências acumuladas. Observa-se que a 
leitura do gráfico exige alguns cuidados básicos: caso 
o valor da variável esteja ou não incluído, sua 
frequência acumulada difere. Se for de interesse saber 
quantos alunos tem dois ou menos irmãos (inclui-se 
dois irmão), a frequência acumulada é de 19 alunos. 
 
Caso se queira apenas saber quantos alunos têm 
menos de dois irmãos (portanto o número dois não 
 
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está incluso), sua frequência acumulada é de 7 
alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número acumulado de irmãos dos alunos da disciplina Inferência 
Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: 
Tabela 01. 
 
 
10.3.3 - Gráficos para Variáveis Quantitativas 
Contínuas 
 
 
1. Histograma 
 
É um gráfico de colunas justapostas que representa 
uma distribuição de frequência para dados contínuos 
ou uma variável discreta quando esta apresentar 
muitos valores distintos. 
 
No eixo horizontal são dispostos os limites das classes 
segundo as quais os dados foram agrupados 
enquanto que o eixo vertical corresponde às 
frequências absolutas ou relativas das mesmas. 
 
Quando os dados são distribuídos em classes de 
mesma amplitude, Figura 09 (a), todas as colunas 
apresentam bases iguais com alturas variando em 
função das suas frequências absolutas ou relativas. 
 
Neste caso, tem-se que a área de cada retângulo 
depende apenas da sua altura enquanto que no caso 
de dados agrupados em classes de dimensões 
diferentes, a área de cada coluna já não é mais 
proporcional à sua altura. 
 
Como a altura de cada classe precisa variar 
simultaneamente com sua largura, é necessário que a 
área de cada uma das colunas permaneça em 
proporção conveniente, o que pode ser obtido 
dividindo-se as frequências das classes pelas 
respectivas amplitudes e construindo-se o histograma 
a partir destas frequências. 
 
Portanto, pode-se dizer que no primeiro caso, o eixo 
dos valores informa sobre a frequência relativa de 
cada classe, no segundo caso, tal procedimento perde 
todo significado, e é necessário comparar as áreas 
para interpretar as informações que são expostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Idade dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de 
Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela 01. 
 
2. Polígono de frequência 
 
É um gráfico de linha cuja construção é feita unindo-se 
os pontos de coordenadas de abscissas 
correspondentes aos pontos médios de cada classe e 
as ordenadas, às frequências absolutas ou relativas 
dessas mesmas classes. 
 
Uma das vantagens da aplicação de polígonos de 
frequências é que, por serem gráficos de linhas, 
permitem a comparação entre dois ou mais conjuntos 
de dados por meio da superposição dos mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Idade dos alunos da disciplina Inferência Estatística do 
curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela 01. 
 
3. Gráfico da frequência acumulada ou Ogiva 
 
É um gráfico que permite descrever dados 
quantitativos por meio da frequência acumulada. 
 
A ogiva é um gráfico de linha que une os pontos cujas 
abscissas são os limites superiores das classes, e, 
ordenadas suas respectivas frequências acumuladas. 
 
 
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Convém observa-se que o ponto inicial desse gráfico é 
o limite inferior do primeiro intervalo, com frequência 
acumulada zero, pois não existe qualquer valor inferior 
a ele. Quando os dados contidos em cada classe são 
distribuídos uniformemente, pode-se estimar, a partir 
da ogiva, o número de elementos pertencentes a 
qualquer uma das classes que compõe a distribuição 
de frequência dos dados e a quantidade ou 
porcentagem de elementos que estão abaixo de certo 
valor pertencente ao conjunto de dados. 
 
Pela Figura abaixo, nota-se que não existem alunos 
com idade inferior a 18 anos enquanto que abaixo de 
34 anos existem vinte alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Idade acumulada dos alunos da disciplina Inferência Estatística do 
curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela 01 
 
4. Ramo-e-Folhas 
 
O diagrama Ramo-e-Folhas, criado por John Tukey, é 
um procedimento utilizado para armazenar os dados 
sem perda de informação. É utilizado para se ter uma 
idéia visual da distribuição dos dados. Cada valor 
observado, xi, da variável X, deve consistir de no 
mínimo dois dígitos e a variável pode ser tanto 
quantitativa discreta como contínua. Para construí-lo, 
divide-se cada número em duas partes. 
 
A primeira é denominada ramo e a segunda, folhas. O 
ramo consistirá de um ou mais dígitos iniciais se o 
valor da variável for um número inteiro e do número 
inteiro, se o valor da variável for um número com 
decimais. Nas folhas, colocam-se os dígitos restantes 
se o valor observado for número inteiro, ou os 
decimais, caso contrário. A Figura a seguir apresenta 
o ramo-e-folhas correspondente a variável idade de 
alunos. 
 
Idade dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de 
Estatística da Universidade Estadual de Maringá, 21/03/2005. 
Fonte: Tabela 01. 
 
104 - Em um grupo de pessoas, as idades são: 10, 12, 
15 e 17 anos. Caso uma pessoa de 16 anos junte-se 
ao grupo, o que acontece com a média das idades do 
grupo? 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 - A distribuição de salários de uma empresa é 
fornecido pela tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Calcule a média salarial dessa empresa 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 (UNICAMP/SP) - Para votar, cinco eleitores 
demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 
2min 46s, 2min 57s e 3min 26s. Qual foi a média do 
tempo de votação (em minutos e segundos) desses 
eleitores? 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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107(UNIFOR/CE) - Em certa eleição municipal foram 
obtidos os seguintes resultados: 
 
 
O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi: 
(A) 178 
(B) 182 
(C) 184 
(D) 188 
(E) 191 
Resolução 
 
Calcular o índice percentual de votos nulos e brancos: 
 
x + 26% + 24% + 22% = 100% 
x = 100% – 72% 
x = 28% 
 
Calcular o total de votos com base nos votos nulos e 
brancos: 
 
28% de x = 196 
0,28x = 196 
x = 196/0,28 
x = 700 
 
O total de votos é igual a 700, e o candidato vencedor 
teve 26% desses votos, então: 
 
26% de 700 → 0,26 * 700 → 182 votos 
 
Resposta correta item B. 
 
108 (FGV/SP) - A tabela abaixo representa a 
distribuição de frequência dos salários de um grupo de 
50 empregados de uma empresa, em certo mês. 
 
O salário médio desses empregados, nesse mês, foi 
de: 
 
(A) R$ 2 637,00 
(B) R$ 2 520,00 
(C) R$ 2 500,00 
(D) R$ 2 420,00 
(E) R$ 2 400,00 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
109 - O quadro seguinte mostra o desempenho de um 
time de futebol no últimocampeonato. A coluna da 
esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna 
da direita informa em quantos jogos o time marcou 
aquele número de gols. 
 
Gols marcados Quantidade de partidas 
0 5 
1 3 
2 4 
3 3 
4 2 
5 2 
7 1 
 
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a moda, 
então: 
(A) X = Y < Z. 
(B) Z < X = Y. 
(C) Y < Z < X. 
(D) Z < X < Y. 
(E) Z < Y < X. 
Resolução 
Primeiramente, vamos calcular a média (X). Nesse 
caso, utilizaremos a média ponderada, que nada mais é 
do que uma especificação da média aritmética. Se 
houve cinco partidas com nenhum gol, deveríamos 
somar 0 + 0 + 0 + 0 + 0; três partidas com um gol: 1 + 1 
+ 1 e assim por diante. Através do cálculo da média 
ponderada, temos: 
X = 0.5 + 1.3 + 2.4 + 3.3 + 4.2 + 5.2 + 7.1 
5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 
X = 0 + 3 + 8 + 9 + 8 + 10 + 7 
 5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 
X = 45 
 20 
X = 2,25 
 
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Vamos calcular a mediana (Y). Para isso, basta 
organizar os gols marcados em ordem crescente: 
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7 
Ao organizarmos os gols marcados em ordem 
crescente, podemos observar que há dois valores 
centrais. Vamos então fazer o cálculo da média 
aritmética entre eles: 
Y = 2 + 2 
 2 
Y = 2 
Resta-nos encontrar a moda (Z). Para isso, basta olhar 
na tabela e verificar qual é a maior quantidade de 
partidas com o mesmo número de gols marcados. 
Facilmente podemos constatar que houve cinco partidas 
sem nenhum gol marcado. Ao olharmos a sequência 
montada para verificar a mediana, também podemos ver 
que o número zero é o que mais se repete. Portanto, a 
moda é zero. 
Se Z = 0, Y = 2 e X = 2,25, então a alternativa correta é 
a letra E, que apresenta Z < Y < X. 
110 - Uma equipe de especialistas do centro 
meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do 
ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias 
intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse 
tipo de procedimento é frequente, uma vez que os 
dados coletados servem de referência para estudos e 
verificação de tendências climáticas ao longo dos meses 
e anos. As medições ocorridas nesse período estão 
indicadas no quadro. 
Dia do mês Temperatura (em ºC) 
1 15,5 
3 14 
5 13,5 
7 18 
9 19,5 
11 20 
13 13,5 
15 13,5 
17 18 
19 20 
21 18,5 
23 13,5 
25 21,5 
27 20 
29 16 
 
Em relação à temperatura, os valores da média, 
mediana e moda são, respectivamente, iguais a: 
(A) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C. 
(B) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C. 
(C) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C. 
(D) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C. 
(E) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C 
Resolução - Vamos procurar o valor da média 
aritmética somando todos os valores de temperatura 
encontrados e dividindo a soma pela quantidade de dias 
analisados: 
M.A. 
= 15,5+14+13,5+18+19,5+20+13,5+13,5+18+20+18,5+1
3,5+21,5+20+16 
15 
M.A. = 255 
 15 
M.A. = 17 
A média das temperaturas é de 17° C. 
Para calcular a mediana, vamos organizar os valores 
em ordem crescente: 
13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 
20; 20; 21,5; 20 
O valor central é o 18, então, sem que seja necessário 
fazer qualquer cálculo, podemos afirmar que a mediana 
é 18°C. 
A moda é o valor mais frequente entre as informações 
apontadas. A temperatura de 13,5°C aparece quatro 
vezes na tabela, sendo a mais frequente. Portanto, a 
moda é 13,5°C. 
Sendo assim, a alternativa correta é a letra b, que 
aponta que a média, a mediana e a moda são, 
respectivamente, 17°C, 18°C e 13,5°C. 
 
 
 
335 (VUNESP/2009) - A Amazônia Legal, com área de 
aproximadamente 5 215 000 Km2 , compreende os 
estados do Acre, Amapá, Amazonas, km Mato 
Grosso, Pará, Rondônia, Roraima e Tocantins, e parte 
do estado do Maranhão. Um sistema de 
monitoramento e controle mensal do desmatamento 
da Amazônia utilizado pelo INPE (Instituto Nacional de 
Pesquisas Espaciais) é o Deter (Detecção de 
Exercícios Propostos 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 130 
 
Desmatamento em Tempo Real). O gráfico apresenta 
dados apontados pelo Deter referentes ao 
desmatamento na Amazônia Legal, por estado, no 
período de 1.º de julho de 2007 a 30 de junho de 
2008, totalizando 8 848 km2 de área desmatada. 
 
 
 
Com base nos dados apresentados, podemos afirmar: 
 
 
(A) O estado onde ocorreu a maior quantidade de 
km2 
Desmatados foi o do Pará. 
(B) A área total de desmatamento corresponde a 
menos de 0,1% da área da amazônia legal. 
(C) Somando-se a quantidade de áreas desmatadas 
nos estados de Roraima e Tocantins, obtemos um 
terço da quantidade de área desmatada em 
Rondônia. 
(D) O estado do mato grosso foi responsável por mais 
de 50% do desmatamento total detectado nesse 
período. 
(E) As quantidades de áreas desmatadas no acre, 
maranhão e amazonas formam, nessa ordem, 
uma progressão geométrica. 
 
 
336 (FUVEST/1999) - A distribuição das idades dos 
alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual das alternativas representa melhor a média de 
idades dos alunos? 
 
 
(A) 16 anos e 10 meses. 
(B) 17 anos e 1 mês. 
(C) 17 anos e 5 meses. 
(D) 18 anos e 6 meses. 
(E) 19 anos e 2 meses. 
 
337 (ENEM/2003) - A eficiência do fogão de cozinha 
pode ser analisada em relação ao tipo de energia que 
ele utiliza. O gráfico abaixo mostra a eficiência de 
diferentes tipos de fogão. 
 
Pode-se verificar que a eficiência dos fogões aumenta: 
 
 
 
 
(A) À medida que diminui o custo dos combustíveis. 
(B) À medida que passam a empregar combustíveis 
renováveis. 
(C) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a 
lenha por fogão a gás. 
(D) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a 
gás por fogão elétrico. 
(E) Quando são utilizados combustíveis sólidos. 
 
338 (ENEM/2005 - A escolaridade dos jogadores de 
futebol nos grandes centros é maior do que se 
imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada 
com os jogadores profissionais dos quatro principais 
clubes de futebol do Rio de Janeiro. 
 
De acordo com esses dados, o percentual dos 
jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino 
Médio é de aproximadamente: 
 
(A) 14%. 
(B) 48%. 
(C) 54%. 
(D) 60%. 
(E) 68%. 
 
339 (ENEM/2005) - A escolaridade dos jogadores de 
futebol nos grandes centros é maior do que se 
imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada 
com os jogadores profissionais dos quatro principais 
clubes de futebol do Rio de Janeiro. 
 
 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 131 
 
De acordo com esses dados, o percentual dos 
jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino 
Médio é de aproximadamente: 
 
(A) 14%. 
(B) 48%. 
(C) 54%. 
(D) 60%. 
(E) 68%. 
 
340 (UFC/2003) - A média aritmética das notas dos 
alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 
meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas 
dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas 
das meninas é igual a: 
 
(A) 6,5 
(B) 7,2 
(C) 7,4 
(D) 7,8 
(E) 8,0 
 
341 (PUC-SP/1998) - A média aritmética de 100 
números é igual a 40,19. Retirando-se um desses 
números, a média aritmética dos 99 números 
restantes passará a ser 40,5. O número retirado 
equivale a: 
 
(A) 9,5% 
(B) 75% 
(C) 95% 
(D) 750% 
(E) 950% 
342 (FGV/2005) - A média das alturas dos 6 jogadores 
em quadra de um time de vôlei é 1,92m. Após 
substituir 3 jogadores por outros, a média das alturas 
do time passou para 1,90m. Nessas condições, a 
média, em metros, das alturas dos jogadores que 
saíram supera a dos que entraram em: 
 
(A) 0,03. 
(B) 0,04. 
(C) 0,06. 
(D) 0,09. 
(E) 0,12. 
 
343 (MACK/2003) - A média das notas de todos os 
alunos de uma turma é 5,8. Se a média dos rapazes é 
6,3 e a das moças é 4,3, a porcentagem de rapazes 
na turma é: 
 
(A) 60% 
(B) 65% 
(C) 70% 
(D) 75% 
(E) 80% 
 
344 (UFMG/1998) - A média das notas na prova de 
Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 
pontos. Nenhum dos alunos obteve nota inferior a 60 
pontos. O número máximo de alunos que podem ter 
obtido nota iguala 90 pontos é: 
 
(A) 13 
(B) 10 
(C) 23 
(D) 16 
 
345 (UERJ-1998) - A promoção de uma mercadoria 
em um supermercado está representada, no gráfico, 
por 6 pontos de uma mesma reta. 
 
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na 
promoção, pagará por unidade, em reais, o 
equivalente a: 
 
 
 
(A) 4,50 
(B) 5,00 
(C) 5,50 
(D) 6,00 
 
346 (FGV/2003) - A seqüência definida abaixo por 
recorrência: 
 
 
 
é chamada seqüência de Fibonacci. A média 
aritmética dos 5 primeiros termos desta seqüência 
vale: 
 
(A) 2,1 
(B) 2,2 
(C) 2,3 
(D) 2,4 
(E) 2,5 
 
347 (UFPB/2006) - A tabela abaixo apresenta o 
percentual de candidatos por faixa de pontuação, na 
prova discursiva de Matemática do PSS-2005/UFPB. 
 
 
 
 
 
Fonte: COPERVE/UFPB 
 
Com base nesses dados, é correto afirmar: 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 132 
 
(A) Mais de 10% obtiveram, no mínimo, 13 pontos. 
(B) No máximo, 40% obtiveram até 4 pontos. 
(C) Mais de 70% obtiveram, no máximo, 8 pontos. 
(D) Mais de 3% obtiveram de 17 a, no máximo, 20 
pontos. 
(E) Mais de 4% obtiveram de 17 a 24 pontos. 
 
348 (UNIFESP/2006) - André aplicou parte de seus R$ 
10.000,00 a 1,6% ao mês, e o restante a 2% ao mês. 
 
No final de um mês, recebeu um total de R$ 194,00 de 
juros das duas aplicações. O valor absoluto da 
diferença entre os valores aplicados a 1,6% e a 2% é: 
 
(A) R$4.000,00. 
(B) R$5.000,00. 
(C) R$6.000,00. 
(D) R$7.000,00. 
(E) R$8.000,00. 
 
349 (ENEM-2007) - A tabela abaixo representa, nas 
diversas regiões do Brasil, a porcentagem de mães 
que, em 2005, amamentavam seus filhos nos 
primeiros meses de vida. 
 
 
 
Ao ingerir leite materno, a criança adquire anticorpos 
importantes que a defendem de doenças típicas da 
primeira infância. Nesse sentido, a tabela mostra que, 
em 2005, percentualmente, as crianças brasileiras que 
estavam mais protegidas dessas doenças eram as da 
região: 
 
(A) Norte. 
(B) Nordeste. 
(C) Sudeste. 
(D) Sul. 
(E) Centro-Oeste. 
 
350 (ENEM/2004) - Antes de uma eleição para 
prefeito, certo instituto realizou uma pesquisa em que 
foi consultado um número significativo de eleitores, 
dos quais 36% responderam que iriam votar no 
candidato X; 33%, no candidato Y e 31%, no 
candidato Z. 
 
A margem de erro estimada para cada um desses 
valores é de 3% para mais ou para menos. Os 
técnicos do instituto concluíram que, se confirmado o 
resultado da pesquisa, 
 
(A) Apenas o candidato X poderia vencer e, nesse 
caso, teria 39% do total de votos. 
(B) Apenas os candidatos X e Y teriam chances de 
vencer. 
(C) O candidato Y poderia vencer com uma diferença 
de até 5% sobre X. 
(D) O candidato Z poderia vencer com uma diferença 
de, no máximo, 1% sobre X. 
(E) O candidato Z poderia vencer com uma diferença 
de até 5% sobre o candidato Y. 
 
351 (ENEM/2002) - A tabela mostra a evolução da 
frota de veículos leves, e o gráfico, a emissão média 
do poluente monóxido de carbono (em g/km) por 
veículo da frota, na região metropolitana de São 
Paulo, no período de 1992 a 2000. 
 
 
 
 
 
Comparando-se a emissão média de monóxido de 
carbono dos veículos a gasolina e a álcool, pode-se 
afirmar que: 
 
I. No transcorrer do período 1992-2000, a frota a 
álcool emitiu menos monóxido de carbono. 
II. Em meados de 1997, o veículo a gasolina passou a 
poluir menos que o veículo a álcool. 
III. O veículo a álcool passou por um aprimoramento 
tecnológico. 
 
É correto o que se afirma apenas em: 
 
(A) I. 
(B) I e II. 
(C) II. 
(D) III. 
(E) II e III. 
 
 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 133 
 
352 (ENEM/2002) - As áreas numeradas no gráfico 
mostram a composição em volume, aproximada, dos 
gases na atmosfera terrestre, desde a sua formação 
até os dias atuais. 
 
 
No que se refere à composição em volume da 
atmosfera terrestre há 2,5 bilhões de anos, pode-se 
afirmar que o volume de oxigênio, em valores 
percentuais, era de, aproximadamente, 
 
(A) 95%. 
(B) 77%. 
(C) 45%. 
(D) 21%. 
(E) 5%. 
 
353 (ENEM/2006) - As características dos vinhos 
dependem do grau de maturação das uvas nas 
parreiras porque as concentrações de diversas 
substâncias da composição das uvas variam à medida 
que as uvas vão amadurecendo. 
 
O gráfico a seguir mostra a variação da concentração 
de três substâncias presentes em uvas, em função do 
tempo. 
 
 
 
O teor alcoólico do vinho deve-se à fermentação dos 
açúcares do suco da uva. Por sua a acidez do vinho 
produzido é proporcional à concentração dos ácidos 
tartárico e málico. Considerando-se as diferentes 
características desejadas, as uvas podem ser 
colhidas: 
 
(A) Mais cedo, para a obtenção de vinhos menos 
ácidos e menos alcoólicos. 
(B) Mais cedo, para a obtenção de vinhos mais ácidos 
e mais alcoólicos. 
(C) Mais tarde, para a obtenção de vinhos mais 
alcoólicos e menos ácidos. 
(D) Mais cedo e ser fermentadas por mais tempo, 
para obtenção de vinhos mais alcoólicos. 
(E) Mais tarde e ser fermentadas por menos tempo, 
para a obtenção de vinhos menos alcoólicos. 
 
354 (ENEM/2004) - As empresas querem a metade 
das pessoas trabalhando o dobro para produzir o 
triplo. (Revista Você S/A, 2004) 
 
Preocupado em otimizar seus ganhos, um empresário 
encomendou um estudo sobre a produtividade de 
seus funcionários nos últimos quatro anos, entendida 
por ele, de forma simplificada, como a relação direta 
entre seu lucro anual (L) e o número de operários 
envolvidos na produção (n).Do estudo, resultou o 
gráfico abaixo. 
 
 
Ao procurar, no gráfico, uma relação entre seu lucro, 
produtividade e número de operários, o empresário 
concluiu que a maior produtividade ocorreu em 2002, 
e o maior lucro: 
 
(A) Em 2000, indicando que, quanto maior o número 
de operários trabalhando, maior é o seu lucro. 
(B) Em 2001, indicando que a redução do número de 
operários não significa necessariamente o 
aumento dos lucros. 
(C) Também em 2002, indicando que lucro e 
produtividade mantêm uma relação direta que 
independe do número de operários. 
(D) Em 2003, devido à significativa redução de 
despesas com, salários e encargos trabalhistas de 
seus operários. 
(E) Tanto em 2001, como em 2003, o que indica não 
haver relação significativa entre lucro, 
produtividade e número de operários. 
 
355 (ENEM/2004) - As Olimpíadas são uma 
oportunidade para o congraçamento de um grande 
número de países, sem discriminação política ou 
racial, ainda que seus resultados possam refletir 
características culturais, socioeconômicas e étnicas. 
 
Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de 
300 medalhas de ouro conquistadas apresentou a 
seguinte distribuição entre os 196 países participantes 
como mostra o gráfico. 
 
 
 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 134 
 
Esses resultados mostram que, na distribuição das 
medalhas de ouro em 2000, 
 
(A) Cada país participante conquistou pelo menos 
uma. 
(B) Cerca de um terço foi conquistado por apenas três 
países. 
(C) Os cinco países mais populosos obtiveram os 
melhores resultados. 
(D) Os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os 
melhores resultados. 
(E) Cerca de um quarto foi conquistado pelos estados 
unidos. 
 
356 (FMTM/2002) - Chama-se de inverso de um 
número real x diferente de zero, o número 1/x. Sejam 
a e b dois números reais positivos diferentes entre si e 
diferentes de zero. Nessas condições, o inverso da 
média aritmética dos inversos de a e b será: 
 
(A) Igual a zero. 
(B) Menor que a média aritmética de a e b. 
(C) Maior que a média aritmética de a e b. 
(D) Igual à média aritmética de a e b. 
(E) Menor que zero. 
 
357 (NOVO ENEM/2009) - Brasil e França têm 
relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a 
França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 
10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. 
 
No entanto, devido a uma série de restrições, o 
comércio entre esses dois países ainda não é 
adequadamente explorado, como mostra a tabela 
seguinte, referente ao período 2003-2007. 
 
Investimentos Bilaterais (emmilhões de dólares) 
 
 
Os dados da tabela mostram que, no período 
considerado, os valores médios dos investimentos da 
França no Brasil foram maiores que os investimentos 
do Brasil na França em um valor. 
 
(A) Inferior a 300 milhões de dólares. 
(B) Superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 
400 milhões de dólares. 
(C) Superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 
500 milhões de dólares. 
(D) Superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 
600 milhões de dólares. 
(E) Superior a 600 milhões de dólares. 
 
358 (IBMEC/2005) - Chama-se mediana de um 
conjunto de 50 dados ordenados em ordem crescente 
o número x dado pela média aritmética entre os 25º- e 
o 26º- dado. Observe no gráfico a seguir uma 
representação para as notas de 50 alunos do primeiro 
semestre de Ciências Econômicas numa determinada 
prova. 
 
A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências 
Econômicas nesta prova é igual a: 
 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
359 (NOVO ENEM/2009) - Dados da Associação 
Nacional de Empresas de Transportes Urbanos 
(ANTU) mostram que o número de passageiros 
transportados mensalmente nas principais regiões 
metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. 
Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse 
número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. 
 
Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou 
pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo 
tamanho que tinha em 2001. 
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade 
utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre 
o total de passageiros transportados por dia e o 
tamanho da frota de veículos. 
 
 
Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 
(adaptado). 
 
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas 
regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro 
de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do 
gráfico permitem inferir que o total de passageiros 
transportados no mês de outubro de 2008 foi 
aproximadamente igual a: 
 
(A) 355 milhões. 
(B) 400 milhões. 
(C) 426 milhões. 
(D) 441 milhões. 
(E) 477 milhões. 
 
360 (VUNESP/2009) - Durante o ano letivo, um 
professor de matemática aplicou cinco provas para 
seus alunos. 
 
A tabela apresenta as notas obtidas por um 
determinado aluno em quatro das cinco provas 
realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor 
para cada prova. 
 
SENA Cursos e Concursos (www.cursosena.com.br) Página 135 
 
 
 
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada 
igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota 
obtida por esse aluno na prova IV foi: 
 
(A) 9,0. 
(B) 8,5. 
(C) 8,3. 
(D) 8,0. 
(E) 7,5. 
 
361 (ENEM/2005) - Em uma área observa-se o 
seguinte regime pluviométrico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os anfíbios são seres que podem ocupar tanto 
ambientes aquáticos quanto terrestres. Entretanto, há 
espécies de anfíbios que passam todo o tempo na 
terra ou então na água. Apesar disso, a maioria das 
espécies terrestres depende de água para se 
reproduzir e o faz quando essa existe em abundância. 
Os meses do ano em que, nessa área, esses anfíbios 
terrestres poderiam se reproduzir mais eficientemente 
são de: 
 
(A) Setembro a dezembro. 
(B) Novembro a fevereiro. 
(C) Janeiro a abril. 
(D) Março a julho. 
(E) Maio a agosto. 
 
362 (ENEM/2002) - Em reportagem sobre crescimento 
da população brasileira, uma revista de divulgação 
científica publicou tabela com a participação relativa 
de grupos etários na população brasileira, no período 
de 1970 a 2050 (projeção), em três faixas de idade: 
abaixo de 15 anos; entre 15 e 65 anos; e acima de 65 
anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) “O Brasil de fraldas” 
(B) “Brasil: ainda um país de adolescentes” 
(C) “O Brasil chega à idade adulta” 
(D) “O Brasil troca a escola pela fábrica” 
(E) “O Brasil de cabelos brancos” 
 
363 (MACK/2007) - Em um concurso foi aplicada uma 
prova a 1000 candidatos, distribuídos em cinco 
grupos, A, B, C, D e 
 
E, conforme tabela abaixo. 
 
 
 
A média aritmética final das notas da prova é: 
 
(A) 4,8 
(B) 5,2 
(C) 3,6 
(D) 3,2 
(E) 2,9 
 
364 (UNIFESP/2003) - Uma empresa brasileira tem 
30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em 
euros. Admitindo-se uma valorização de 10% do dólar 
e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em 
relação ao real, pode-se afirmar que o total da dívida 
dessa empresa, em reais: 
 
(A) Aumenta 8%. 
(B) Aumenta 4,4%. 
(C) Aumenta 1,6%. 
(D) Diminui 1,4%. 
(E) Diminui 7,6%. 
 
 
 
 
 
A seguir das questões 365 a 540 você terá acesso às 
questões aplicadas nos últimos Concursos Públicos 
Militares realizados pelas Forças Armadas e Auxiliares 
 
365 (CFS B/EEAer – 2014/15) - A solução da 
inequação 2(x + 2) + 5x ≤ 4(x + 3) é um intervalo real. 
Pode-se afirmar que pertence a esse intervalo o 
número 
 
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5 
 
366 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Se a distância entre 
A(2√𝟑, 𝒚) e B (4√𝟑, 𝟏) é 4, o valor y pode ser: 
 
(A) 1. (B) 0. (C) – 1 (D) – 2 
 
Questões Aplicadas em Concursos 
 
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367 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Se i é a unidade 
imaginária, pode-se afirmar que i
7
 é igual a: 
 
 (A) i. (B) i 2 (C) i 3 . (D) i 4 
. 
 
368 (CFS B/EEAer – 2014/15) - A equação: 
 
(x2 + 3)(x – 2)(x + 1) = 0 
 
tem ____ raízes reais. 
 
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 
 
369 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Se C(a, b) e r são, 
respectivamente, o centro e o raio da circunferência 
de equação (x – 2)
2
 + (y + 1)
2 
= 16, o valor de a + b + r 
é 
 
(A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. 
 
370 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Sejam f1 e f2 as 
frequências da 1ª e da 2ª classes da Distribuição 
representada no polígono de frequências. Assim, f1 + 
f2 é igual a: 
 
(A) 15. 
(B) 20. 
(C) 25. 
(D) 30. 
 
371 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Seja a função f: IR → 
IR definida por f(x) = 4x – 3. Se 1f − é a função inversa 
de f , então ) 5(f −1) é: 
 
(A) 17 
 
(B) 
17
1
 
 
(C) 2 . 
 
(D) . 
1
2
 
 
372 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Sejam os pontos A(x, 
1), M(1, 2) e B(3, y). Se M é ponto médio de AB, então 
x.y é igual a: 
 
(A) –3. (B) –1. (C) 1. (D) 3. 
 
373 (CFS B/EEAer – 2014/15) - O ponto de 
intersecção dos gráficos das funções f(x) = x + 2 e g(x) 
= 2x – 1 pertence ao ____ quadrante. 
 
(A) 1º (B) 2º (C) 3º (D) 4º 
 
374 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Um determinado 
brinquedo possui uma haste onde devem ser 
colocadas 4 peças de formatos diferentes. O número 
de maneiras diferentes de se montar esse brinquedo 
é: 
 
(A) 4. 
(B) 12. 
(C) 24. 
(D) 36. 
 
375 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Se f(x) = log x e a . b 
= 1, então f(a) + f(b) é igual a: 
 
(A) 0. 
(B) 1. 
(C) 10. 
(D) 100. 
 
376 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Em uma PG de razão 
6, o quarto termo é 48. Assim, o primeiro termo é: 
 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 
1
6
 
 
(D) 
2
9
 
 
377 (CFS B/EEAer – 2014/15) - Seja: 
 
 
 A matriz: 
 
 
A Matriz tem como soma de seus 
 
 
elementos o valor: 
 
(A) 7. (B) 5. (C) 4. (D) 1. 
 
.378 (CFS B/EEAer – 2014/15) - A distribuição 
apresenta os resultados de um levantamento feito com 
os alunos e funcionários de uma determinada escola, 
sobre o tempo diário gasto com a leitura de jornais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa distribuição, o percentual de pessoas cujo 
tempo de leitura é maior ou igual a 20 min é: 
 
(A) 12%. 
 
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(B) 16%. 
(C) 20%. 
(D) 25%. 
 
379 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Quatro números 
estão dispostos de forma tal que constituem uma PG 
finita. O terceiro termo é igual a 50 e a razão é igual a 
5. Desta maneira,o produto de a1.a4 vale: 
 
(A) 10 
(B) 250 
(C) 500 
(D) 1250 
 
380 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Dado o polinômio: 
 
ax3 + (2a + b)x2 + cx + d – 4 = 0, 
 
os valores de a e b para que ele seja um polinômio de 
2º grau são: 
 
(A) a = 0 e b = 0 
(B) a = 1 e b 0 
(C) a = 0 e b 0 
(D) a = -1 e b = 0 
 
381 (CFSB / EEAer – 2015/16) – A equação reduzida 
da reta que passa pelos pontos A(0, 1) e B(6, 8) é 
dada por: 
 
(A) y = 7x + 1 
 
(B) y = 6x + 1 
 
(C) y = 
7
6
 x + 1 
 
(D) y = 
6
7
 x + 1 
 
382 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Se 
 
são matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são 
respectivamente: 
 
(A) 1, -1, 1, 1 
(B) 1, 1, -1, -1 
(C) 1, -1, 1, -1 
(D) -1, -1, -2, -2 
 
383 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Considere os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6. A partir deles, podem ser 
criados _____ números pares de quatro algarismos 
distintos. 
 
(A) 60 
(B) 120 
(C) 180 
(D) 360 
 
384 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Sabe-se que os 
números complexos 
 
são iguais. 
 
Então, os valores de m e n são, respectivamente: 
 
(A) 3 e 1 
(B) 2 e 1 
(C) 2 e -1 
(D) 3 e -1 
 
385 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Ao calcular a média 
aritmética das notas dos Testes Físicos (TF) de suas 
três turmas, um professor de Educação Física anotou 
os seguintes valores: 
 
 
 
A média aritmética das notas do TF dos 90 alunos das 
turmas A, B e C é: 
 
(A) 8,0 
(B) 8,1 
(C) 8,2 
(D) 8,3 
 
386 (CFSB / EEAer – 2015/16) – A distribuição dos 
salários dos 20 funcionários de uma empresa está 
representada no quadro a seguir. 
 
 
 
Os valores que completam corretamente as lacunas 
do quadro são: 
 
(A) fi = 10; fia = 13; fr = 30 
(B) fi = 10; fia = 13; fr = 20 
(C) fi = 8; fia = 11; fr = 20 
(D) fi = 8; fia = 19; fr = 30 
 
387 (CFSB / EEAer – 2015/16) – A distribuição de 
frequência abaixo refere-se à exportação de soja 
realizada por uma Cooperativa no mês de abril. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Com base nos dados apresentados, a mediana da 
distribuição pertence à: 
 
(A) 2ª classe 
(B) 3ª classe 
(C) 4ª classe 
(D) 5ª classe 
 
388 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Sabe-se que os 
números complexos 
 
 
e 
 
 
são iguais. 
 
 
Então, os valores de m e n são respectivamente: 
 
(A) 3 e 1 
(B) 2 e 1 
(C) 2 e -1 
(D) 3 e -1 
 
389 (CFSB / EEAer/2015) – Na função 
 
 
 
Sabendo que, os valores de 
m e n são, respectivamente: 
 
(A) 1 e -1 
(B) -2 e 3 
(C) 6 e -1 
(D) 6 e 3 
 
390 (CFSB / EEAer – 2015/16) – Para que o 
 
determinante da matriz seja 3, o valor de b 
deve ser igual a: 
 
(A) 2 
(B) 0 
(C) -1 
(D) -2 
 
391 (CFSB / EEAer – 2015/16) – A progressão 
aritmética, cuja fórmula do termo geral é dada por an = 
5n -18 , tem razão igual a: 
 
(A) -5 
(B) -8 
(C) 5 
(D) 8 
 
392 (AFA – 2014/15) – Considere o polinômio 
 
 
 
e marque a alternativa FALSA. 
 
(A) 0 x = não é raiz do polinômio p (x) 
(B) Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 
ou x = −1 são raízes de p (x) 
(C) Se 0 a = e ,3 b = o resto da divisão de p por (x) 
3x
2 
– x = 1 é zero. 
(D) Se a = b = 0 tem-se que x = - 
1
2
𝑖 é uma raiz de 
p(x) considerando que i
2
 = - 1 
 
393 (AFA – 2014/15) – Considere os números 
complexos: 
 
 
 
 
 
E as relações 
 
 
 
O menor argumento de todos os complexos que 
satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é: 
 
 
 
 
 
 
 
394 (AFA – 2014/15) – Alex possui apenas moedas 
de 25 centavos, de 50 centavos e de 1 real, 
totalizando 36 moedas. 
 
Sabe-se que a soma do número de moedas de 25 
centavos com o dobro do número de moedas de 50 
centavos é igual à diferença entre 82 e 5 vezes o 
número de moedas de 1 real. Nessas condições é 
correto afirmar que: 
 
(A) Esse problema possui no máximo 7 soluções. 
(B) O número de moedas de 25 centavos nunca será 
igual ao número de moedas de 50 centavos. 
(C) O número de moedas de 50 centavos poderá ser 
igual à soma do número de moedas de 25 
centavos com as de 1 real. 
(D) O número de moedas de 1 real pode ser 3 
 
395 (AFA – 2014/15) – Considere as funções reais f e 
g definidas por: 
 
 
 
 
e marque a alternativa INCORRETA. 
 
 
 
 
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396 (AFA – 2014/15) – Nas expressões x, y e z, 
considere a simbologia: 
 
• log é o logaritmo decimal; 
• i é a unidade imaginária dos números complexos; 
• sen é o seno de um arco; e 
• n! é o fatorial de n. 
 
Se 
 
 
E 
 
então o valor de xy + z é: 
 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
 
397 (AFA – 2014/15) – Considere as seguintes 
simbologias em relação à matriz M: 
 
Mt é a matriz transposta de M 
M−1 é a matriz inversa de M 
det M é o determinante da matriz M 
 
Da equação X
t
 
1
 A B C, 
em que A e B C são matrizes quadradas de ordem 
n e imersíveis, afirma-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São corretas: 
 
(A) Apenas I e II 
(B) Apenas II e III 
(C) Apenas I e III 
(D) I, II e III 
 
398 (AFA – 2014/15) – Um turista queria conhecer 
três estádios da Copa do Mundo no Brasil não 
importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em 
relação às seguintes situações: 
 
I. Obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. 
II. Se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria 
que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não 
conheceria nenhum dos dois. 
 
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 
estádios brasileiros, a razão entre o número de modos 
distintos de escolher a situação I e o número de 
maneiras diferentes de escolha para a situação II, 
nessa ordem é: 
 
(A) 
11
26
 
 
(B) 
13
25
 
 
(C) 
13
24
 
 
(D) 
11
24
 
 
399 (AFA – 2014/15) – Um jogo é decidido com um 
único lançamento do dado cuja planificação está 
representada abaixo. 
 
 
 
Participam desse jogo quatro pessoas: Carlos, que 
vencerá o jogo se ocorrer face preta ou menor que 3; 
José vencerá se ocorrer face branca e número primo; 
Vicente vencerá caso ocorra face preta e número par; 
Antônio vencerá se ocorrer face branca ou número 
menor que 3. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que: 
 
(A) Vicente não tem chance de vencer. 
(B) Carlos tem, sozinho, a maior probabilidade de 
vencer. 
(C) A probabilidade de José vencer é o dobro da de 
Vicente. 
(D) A probabilidade de Antônio vencer é maior do que 
a de 
Carlos. 
 
400 (AFA – 2014/15) – Considere a função real 
 
 
definida por f xa
x
 b , em que 0 a 1 e b 1 
 
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Analise as alternativas abaixo e marque a FALSA. 
 
(A) Na função f, se x 0 , então b f x1b
(B) Im(f ) contém elementos menores que o número 
real b 
(C) A raiz da função f é um número negativo. 
(D) A função real h, definida por h xf x não 
possui raízes. 
 
401 (AFA – 2014/15) – No Atlas de Desenvolvimento 
Humano no Brasil 2013 constam valores do Índice de 
Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) de todas 
as cidades dos estados brasileiros. 
 
O IDHM é um número que varia entre 0 e 1. Quanto 
mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano 
de um município, conforme escala a seguir. 
 
 
 
 
Abaixo estão relacionados o IDHM de duas cidades de 
Minas Gerais em condições extremas, Monte Formoso 
e Uberlândia, e uma em situação intermediária, 
Barbacena. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando os dados acima, afirma-se que: 
 
I. O município de maior crescimento do IDHM, nos 
períodos considerados, é Monte Formoso. 
II. Na última década, Barbacena apresentou maior 
evolução do IDHM que Uberlândia. 
III. Uma tabela que relaciona cidade, época e faixa de 
IDHM pode ser representada corretamente como: 
 
 
 
 
 
 
São corretas: 
 
(A) Apenas I e II 
(B) Apenas I e III 
(C) Apenas II e III 
(D) I, II e III 
 
402 (AFA – 2015/16) – Considere o gráfico da função 
real g: A → A abaixo e marque (V)verdadeiro ou (F) 
falso. 
 
 
 
 
A Sequência correta é: 
 
(A) F-V-F-F-V 
(B) F-F-V-F-V 
(C) F-V-F-V-F 
(D) V-V-F-F-V 
 
403 (AFA – 2015/16) – Uma fábrica produz casacos 
de determinado modelo. O preço de venda de um 
desses casacos é de R$ 200,00, quando são vendidos 
200 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma 
pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$ 
2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos 
vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação possível 
com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica 
vender cada casaco por um valor, em reais, 
pertencente ao intervalo. 
 
(A) [105, 125 [ 
(B) [125, 145 [ 
(C) [145, 165 [ 
(D) [165, 185 [ 
 
404 (AFA – 2015/16) – Considere no Plano de 
Argand-Gauss os números complexos z = x + yi , onde 
i = √− 1 e cujos afixos são os pontos 
 
Dada a equação z 1i 4 1, sobre os elementos que 
compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que: 
 
(A) Apenas um deles é imaginário puro. 
(B) Todos podem ser escritos na forma trigonométrica. 
(C) O conjugado do que possui maior argumento é 12i 
(D) Nem todos são números imaginários. 
 
405 (AFA – 2015/16) – Considere as expressões 
 
 
 
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O valor de 
A
B
 é um número compreendido entre: 
 
(A) 117 e 120 
(B) 111 e 114 
(C) 114 e 117 
(D) 108 e 111 
 
406 (AFA – 2015/16) – Considere os polinômios 
 
 
sendo a e b números reais tais que a2 − b2 = −8 
 
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum 
que pertence ao eixo das abscissas, então é 
INCORRETO afirmar sobre as raízes de P(x) que: 
 
(A) Podem formar uma progressão aritmética. 
(B) São todas números naturais. 
(C) Duas são os números a e b 
(D) Duas são números simétricos. 
 
407 (AFA – 2015/16) – Uma caixa contém 10 bolas 
das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 
verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras 
cores todas distintas e sem numeração. 
 
A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 
10 bolas de modo que as bolas de mesmo número 
fiquem juntas é: 
 
(A) 8.7 ! 
(B) 7 ! 
(C) 5.4 ! 
(D) 10 ! 
 
408 (AFA – 2015/16) – Em uma mesa há dois vasos 
com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem 
espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que 
exatamente 6 não tem espinhos. 
 
Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e 
coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. 
A probabilidade de essa rosa retirada de B ter 
espinhos é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
409 (AFA - 2015/16) - Para fazer uma instalação 
elétrica em sua residência, Otávio contatou dois 
eletricistas. 
 
O Sr. Luiz, que cobra uma parte fixa pelo orçamento 
mais uma parte que depende da quantidade de metros 
de fio requerida pelo serviço. O valor total do seu 
serviço está descrito no seguinte gráfico: 
 
 
 
Já o Sr. José cobra, apenas, R$ 4,50 por metro de fio 
utilizado e não cobra a parte fixa pelo orçamento. Com 
relação às informações acima, é correto afirmar que: 
 
(A) O valor da parte fixa cobrada pelo Sr. Luiz é maior do 
que R$ 60,00 
(B) O Sr. Luiz cobra mais de R$ 2,50 por metro de fio 
instalado. 
(C) Sempre será mais vantajoso contratar o serviço do Sr. 
José. 
(D) Se forem gastos 20m de fio não haverá diferença de 
valor total cobrado entre os eletricistas. 
 
410 (AFA – 2015/16) – Seja A a matriz 
 
Sabe-se que 
 
 
Então, o determinante da matriz: 
 
 
é igual a: 
 
(A) 1 (B) 31 (C) 875 (D) 11 
 
 
411 (AFA – 2015/16) – Considere as funções reais 
 
 
 
Cujos gráficos estão representados abaixo. 
 
 
 
Sobre essas funções, é correto afirmar que: 
 
 
 
 
 
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412 (AFA – 2015/16) – Considere as funções reais f, g e 
h tais que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que a função composta hogof (x) tenha domínio, 
 
, , deve-se ter: 
 
 
 
 
 
 
 
413 (AFA - 2015/16) - Para fazer uma instalação 
elétrica em sua residência, Otávio contatou dois 
eletricistas. O Sr. Luiz, que cobra uma parte fixa pelo 
orçamento mais uma parte que depende da 
quantidade de metros de fio requerida pelo serviço. O 
valor total do seu serviço está descrito no seguinte 
gráfico: 
 
 
 
Já o Sr. José cobra, apenas, R$ 4,50 por metro de fio 
utilizado e não cobra a parte fixa pelo orçamento. Com 
relação às informações acima, é correto afirmar que: 
 
(A) O valor da parte fixa cobrada pelo Sr. Luiz é maior 
do que R$ 60,00 
(B) O Sr. Luiz cobra mais de R$ 2,50 por metro de fio 
instalado. 
(C) Sempre será mais vantajoso contratar o serviço do 
Sr. José. 
(D) Se forem gastos 20m de fio não haverá diferença 
de valor total cobrado entre os eletricistas. 
 
414 (AFA – 2015/16) – Considere a função real f 
definida por f (x) = ax com a ∈ ]0, 1[ 
 
Sobre a função real g definida por g(x) = − b − f (x) 
com b ∈ ]− ∞, −1[ , é correto afirmar que: 
 
(A) Possui raiz negativa e igual a loga(−b) 
(B) É crescente em todo o seu domínio. 
(C) Possui valor máximo. 
(D) É injetora. 
 
415 (AFA – 2015/16) – Considere a função real 
sobrejetora f: A → B definida por: 
 
 
 
Sobre f é FALSO afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
416 (AFA – 2015/16) – Um cursinho de inglês avaliou 
uma turma completa sendo que parte dos alunos fez a 
avaliação A, cujo resultado está indicado no gráfico 
abaixo. 
 
 
 
Os demais alunos fizeram a avaliação B e todos 
tiveram 4 acertos. Assim, o desvio padrão obtido a 
partir do gráfico acima ficou reduzido à metade ao ser 
apurado o resultado da turma inteira. Essa turma do 
cursinho de inglês tem: 
 
(A) Mais de 23 alunos. 
(B) Menos de 20 alunos. 
(C) 21 alunos. 
(D) 22 alunos. 
 
417 (EsSA – 2014/15) - Sendo o polinômio P(x) = x
3
 + 
3x
2
 + ax + b um cubo perfeito, então a diferença a - b 
vale: 
 
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) -1 
O polinômio é um cubo perfeito, então: 
 
418 (EsSA – 2014/15) - Em um treinamento de 
condicionamento físico, um soldado inicia seu primeiro 
dia correndo 800 m. 
 
 
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No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e 
assim sucessivamente até atingir a meta diária de 
2.200 m. Ao final de quantos dias, ele terá alcançado 
a meta? 
A) 31 B) 29 C) 27 D) 25 E) 23 
 
419 (EsSA – 2014/15) - O número de anagramas 
diferentes com as letras da palavra MILITAR que não 
possuem consoantes consecutivas que se pode obter 
é: 
 
(A) 60 
(B) 72 
(C) 120 
(D) 186 
(E) 224 
 
420 (EsSA – 2014/15) - Sabendo-se que uma matriz 
quadrada é invertível se, e somente se, seu 
determinante é não nulo e que, se A e B são duas 
matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A.B) 
= (det A).(det B), pode-se concluir que, sob essas 
condições 
 
(A) Se A é invertível, então A.B é invertível. 
(B) Se B não é invertível, então A é invertível. 
(C) Se A.B é invertível, então A é invertível e B não é 
invertível. 
(D) Se A.B não é invertível, então A ou B não é 
invertível. 
(E) Se A.B é invertível, então B é invertível e A não é 
invertível. 
 
421 (EsSA – 2014/15) - A probabilidade de um 
jogador de futebol marcar o gol ao cobrar um pênalti, é 
de 80%. Se esse jogador cobrar dois pênaltis 
consecutivos, a probabilidade dele fazer o gol, em 
ambas as cobranças, é igual a: 
 
A) 16% B) 20% C) 32% D) 64% E) 80% 
 
422 (EsSA – 2014/15) - Uma equação polinomial do 
3o grau que admite as raízes -1, - 
𝟏
𝟐
 e 2 é: 
 
(A) x3 - 2x2 - 5x - 2 = 0 . 
(B) 2x3 - x2 - 5x + 2 = 0 . 
(C) 2x3 - x2 + 5x - 2 = 0 . 
(D) 2x3 - x2 - 2x - 2 = 0 . 
(E) 2x3 - x2 - 5x - 2 = 0 
 
423 (EsSA – 2014/15) - O número complexo i
102
, onde 
i representa a unidade imaginária, 
 
(A) É positivo. 
(B) É imaginário puro. 
(C) É real. 
(D) Está na forma trigonométrica. 
(E) Está na forma algébrica. 
 
424 (EsSA – 2014/15) - O capital, em reais, que deve 
ser aplicado à taxa mensalde juros simples de 5%, 
por 4 meses, para se obter juros de R$ 400,00 é igual 
a: 
(A) 1.600,00 
(B) 1.800,00 
(C) 2.000,00 
(D) 2.400,00 
(E) 2.500,00 
 
425 (EsSA – 2015/16) - Sejam f a função dada por f 
(x) = 2x + 4 e g a função dada por g(x)=3x-2. A 
função deve ser dada por: 
 
(A) f(g(x))=6x 
(B) f (g(x))=6x + 4 
(C) f(g(x)) = 2x - 2 
(D) f(g(x)) = 3x + 4 
(E) f (g(x))= 3x + 2 
 
426 (EsSA – 2015/16) - Identifique a equação 
exponencial. 
 
(A) 2.X = 4 
(B) 2 + X = 4 
(C) X
2
 = 4 
(D) Logx 4=2 
(E) 2
X
 = 4 
 
427 (EsSA – 2015/16) - Um aluno da EsSA tem uma 
habilidade muito boa nas provas de tiro com pistola, 
possuindo um índice de acerto no alvo de quatro em 
cada cinco tiros. Se ele atirou duas vezes, a 
probabilidade de que ele tenha errado os dois tiros é: 
 
(A) 16/25 
(B) 8/25 
(C) 1/5 
(D) 2/5 
(E) 1/25 
 
428 (EsSA – 2015/16) - O exército realizou um 
concurso de seleção para contratar sargentos e 
cabos. A prova geral foi igual para ambos. 
Compareceram 500 candidatos para sargento e 100 
para cabo. 
 
Na prova, a média de todos os candidatos foi 4, 
porém, a média apenas entre os candidatos a 
sargento foi 3,8. Desse modo, qual foi a média entre 
os candidatos a cabo? 
 
A) 3,9 B) 1,0 C) 6,0 D) 4,8 E) 5 
 
429 (EsSA – 2015/16) - A parte real do número 
complexo 1/(2i)² é: 
 
(A) - 
1
4
 B) -2 (C) 0 (D) 
1
4
 (E) 2 
 
430 (EsSA – 2015/16) – 
 
Dados 
 
a solução de é: 
 
 
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(A) (2a+1)/b 
(B) (a+2)/b 
(C) (2b+1)/a 
(D) (a+1)/2b 
(E) (b+2)/a 
 
430 (EsSA – 2015/16) – As funções do 2º grau com 
uma variável: f ( x ) = a X 2 + b X + c terão valor 
máximo quando: 
 
(A) a < 0 
(B) b > 0 
(C) c < 0 
(D) Δ > 0 
(E) a > 0 
 
431 (EsSA – 2015/16) – O número de anagramas 
diferentes que podemos formar com a palavra 
RANCHO, de modo que se iniciem com vogal, é: 
 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 720 
(D) 1440 
(E) 24 
 
432 (EsPCEx – 2012/13) – A probabilidade de se 
obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso 
de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 
é: 
 
(A) 
1
5
 
 
(B) 
2
5 
 
 
(C) 
3
4 
 
 
(D) 
1
4 
 
 
(E) 
1
2 
 
 
433 (EsPCEx – 2012/13) – A figura a seguir apresenta 
o gráfico de um polinômio P(x) do 4º grau no intervalo 
] 0,5 [ 
 
 
434 (EsPCEx – 2012/13) – O número de raízes reais 
da equação P(x) +1 = 0 no intervalo ] 0,5 [ é: 
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 
 
435 (EsPCEx – 2012/13) – Em uma progressão 
aritmética, a soma Sn de seus n primeiros termos é 
dada pela expressão Sn = 5n
2
 - 12 n, com n N*. A 
razão dessa progressão é: 
 
(A) - 2 (B) 4 (C)8 (D) 10 (E] 12 
 
436 (EsPCEx – 2012/13) – Na figura abaixo está 
representado o gráfico de uma função real do 1º grau 
f(x). A expressão algébrica que define a função 
inversa de f(x) é: 
 
(A) y = 
𝑥
2
+ 1 
(B) b = x + 
1
2
 
(C) y=2x-2 
(D) y= - 2x+2 
(E) y= 2x+2 
 
 
437 (EsPCEx – 2012/13) – Sendo Z o conjugado do 
número complexo Z e i a unidade imaginária, o 
número complexo Z que satisfaz à condição Z+2 Z= 2-
Zi é: 
 
(A) z=0 + 1i 
(B) z=0 + 0i 
(C) z=1 + 0i 
(D) z= 1 + i 
(E) z= 1 – i 
 
438 (EsPCEx – 2012/13) – Considere as matrizes 
 
 
 
 
 
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da 
Inversa da matriz A, então o valor de x+y é: 
: 
(A) -1) (B) -2 (C) -3 (D) -4 (E) -5 
 
 
438 (EsPCEx – 2012/13) – Seja a função 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o valor de: 
 
 
 
em que i2 = -1 é: 
 
 
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(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 ( E) 4 
 
439 (EsPCEx – 2012/13) – Na figura abaixo estão 
representados os gráficos de três funções reais, sendo 
a>1 e b>0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As expressões algébricas que podem representar 
cada uma dessas funções são, respectivamente, 
 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
Um jogo pedagógico foi desenvolvido com as 
seguintes regras: 
440 (EsPCEx – 2012/13) – Os alunos iniciam a 
primeira rodada com 256 pontos; 
 
– Faz-se uma pergunta a um aluno. Se acertar, ele 
ganha a metade dos pontos que tem. Se, perde 
metade dos pontos que tem; 
– Ao final de 8 rodadas, cada aluno subtrai dos pontos 
que tem os 256 iniciais, para ver se“lucrou” ou “ficou 
devendo”. 
O desempenho de um aluno que, ao final dessas oito 
rodadas, ficou devendo 13 pontos foi de: 
 
(A) 6 acertos e 2 erros. 
(B) 5 acertos e 3 erros. 
(C) 4 acertos e 4 erros. 
(D) 3 acertos e 5 erros. 
(E) 2 acertos e 6 erros. 
 
441 (EsPCEx – 2012/13) – Sejam as funções reais 
 
 
O domínio da função f(g(x)) é: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
442 (EsPCEx – 2014/15) – De uma caixa contendo 50 
bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, 
sem reposição. A probabilidade do número da primeira 
bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola 
ser divisível por 5 é: 
 
(A) 
12
245
 
 
(B) 
14
245
 
 
(C) 
59
2450
 
 
(D) 
59
1225
 
 
(E) 
11
545
 
. 
. 
443 (EsPCEx – 2014/15) – O número de soluções da 
 
equação no conjunto ,é: 
 
(A) 1. (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 
 
444 (EsPCEx – 2014/15) – A população de peixes em 
uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da 
região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no 
 
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período de estiagem. Esta população é descrita pela 
expressão 
6 (cos( ) t-2P(t)=103 ( )π)+ 5 
 
em que o tempo t é medido em meses. É correto 
afirmar que: 
 
(A) O período chuvoso corresponde a dois trimestres 
do ano. 
(B) A população atinge seu máximo em t=6. 
(C) O período de seca corresponde a 4 meses do ano. 
(D) A população atinge seu mínimo em t=4 com 6.000 
animais. 
(E) A população média anual é de 6.000 animais. 
 
445 (EsPCEx – 2014/15) – Um fabricante de poltronas 
pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se 
cada uma for vendida por x reais, este fabricante 
venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ X ≤ 
600. 
 
Assinale a alternativa que representa o número de 
unidades vendidas mensalmente que corresponde ao 
lucro máximo. 
 
(A) 150 
(B) 250 
(C) 350 
(D) 450 
(E) 550 
 
446 (EsPCEx – 2014/15) – O termo independente de 
 
x no desenvolvimento de é igual a: 
 
 
(A) 110. 
(B) 210. 
(C) 310 
(D) 410. 
(E) 510. 
 
 
447 (EsPCEx – 2014/15) – Permutam-se de todas as 
formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, 
escrevem-se os números assim formados em ordem 
crescente. 
 
A soma de todos os números assim formados é igual 
a: 
 
 
(A) 1 000 000. 
(B) 1 111 100. 
(C) 6 000 000. 
(D) 6 666 000. 
(E) 6 666 600. 
 
448 (EsPCEx – 2014/15) – Seja 
 
O conjunto solução da desigualdade 
 
No intervalo [0, 2) é igual a: 
 
 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
 
449 (EsPCEx – 2014/15) – 
 
O polinômio f (x) = x 5 - x 3 + x 2 + 1,quando 
dividido por q (x) = x 3 - 3 x + 2 deixa resto r(x). 
Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é: 
 
(A) - 10. 
(B) - 4. 
(C) 0. 
(D) 4. 
(E) 10. 
 
450 (EsPCEx – 2014/15) – Assinale a alternativa que 
representa o conjunto de todos os números reais para 
os quais está definida a função 
 
 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
451 (EsPCEx – 2014/15) – Sabendo que “c” e “d” 
são números reais, o maior valor de “d” tal que a 
função f:  definida por: 
 
 
 
 
 
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seja injetora é: 
 
(A) 0. 
(B) 1. 
(C) 2. 
(D) 3. 
(E) 4. 
 
452 (EsPCEx – 2014/15) – 
 
A função f:  definida por 
 
f(x) = x4 - 5x3 + 5x2 + 5x - 6 
 
tem como algumas de suas raízes os números -1 e 1. 
Assinale a alternativa que representa o conjuntode 
todos os números reais para os quais a função f (x) é 
positiva. 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
453 (EsPCEx – 2014/15) – Considere a função 
 
bijetora , 
 
 
definida por e seja (a,b) 
 
o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor 
numérico da expressão a + b é: 
 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
454 (EsPCEx – 2014/15) – Seja x um número real, I a 
matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada 
de ordem 2, cujos elementos são definidos por 
ai j = i - j. 
 
Sobre a equação em x definida por det(A - xI) = x + det A 
é correto afirmar que: 
 
 
(A) As raízes são 0 e 
1
2
 
(B) Todo x real satisfaz a equação. 
(C) Uma raiz é nula e a outra negativa. 
(D) Apresenta apenas raízes inteiras. 
(E) Apresenta apenas raízes negativas. 
 
455 (EsPCEx – 2014/15) – O ponto simétrico do ponto 
(1,5) em relação à reta de equação 2x + 3y - 4 = 0 é o 
ponto. 
 
(A) (-3, -1). 
(B) (-1, -2). 
(C) (-4, 4). 
(D) (3, 8). 
(E) (3, 2). 
 
456 (EsPCEx – 2014/15) – A representação 
geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto 
de pontos que satisfazem a condição 
 
z + 2 -3i = z - 1 + 4i , 
 
com z = x + yi, sendo x e y números reais, é reta de 
equação: 
 
(A) 2x-3y+7=0. 
(B) 3x-7y-2=0. 
(C) 2x-3y+3=0. 
(D) 4x-3y+3=0. 
(E) 2x-y=0. 
 
457 (EsPCEx – 2014/15) – O valor de (cos 165
0
 + sen 
155
0
 + cos 145
0
 - sen 25
0
 + cos 35
0
 + cos 15
0
) é: 
 
(A) √2 
(B) - 1 
(C) 0 
(D) 1 
(E) 
1
2
 
 
457 (EsPCEx – 2014/15) – A soma de todas as 
soluções da equação 2 cos
3
(x) - cos
2
(x) - 2 cos(x)+ 
1=0, que estão contidas no intervalo [0, 2 π ], é igual 
a: 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
458 (EsPCEx – 2015/16) – Fazendo x=ln5 temos que 
a , y= ex - e-x = 
𝒂
𝒃
 , 𝒂 ∈ Z e b ∈ Z*, a e b primos 
entre si. Logo a+b é igual a: 
 
(A) 28 (B) 29 (C) 40 (D) 51 (E) 52 
 
 
459 (EsPCEx – 2015/16) – Para que o sistema linear , 
em que a e b são reais, seja 
 
 
 
 
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e indeterminado, o valor de a+b é igual a: 
 
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 
 
 
460 (EsPCEx – 2015/16) – Considere os polinômios 
p(x)=x
80
+3x
79
-x
2
-x-1 e b(x)=x
2
+2x-3. Sendo r(x) o 
resto da divisão de p(x) por b(x), o valor de r ( 
𝟏
𝟐
 ) é 
igual a: 
 
(A) 0 (B) 
1
2
 (C) 1 (D) 2 (E) 
5
2
 
 
461 (EsPCEx – 2015/16) – Considere as funções 
reais f e g, tais que f(x) =√𝒙 + 4 e f(g(x)) = x 
2-5
, 
onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a 
alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis 
valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
 
462 (EsPCEx – 2015/16) – 
 
Se em que i é a 
 
unidade imaginária e x e y são números reais, o valor 
 
de é: 
 
 
(A) √𝟔 
 
(B) √𝟑 
 
(C) 
√𝟐
𝟐
 
 
(D) 3 √𝟔 
 
(E) 
√𝟑
𝟐
 
 
463 (EsPCEx – 2015/16) – 
 
Considere o polinômio p(x)=x
6
-2x
5
+2x
4
-4x
3
+x
2-2x.
 
Sobre as raízes de p(x)=0, podemos afirmar que: 
 
(A) Quatro raízes são reais distintas. 
(B) Quatro raízes são reais, sendo duas iguais. 
(C) Apenas uma raiz é real. 
(D) Apenas duas raízes são reais e iguais. 
(E) Apenas duas raízes são reais distintas. 
 
464 (EsPCEx – 2015/16) – A solução da equação 
 
 
 
é um número natural 
 
(A) Maior que nove. 
(B) Ímpar. 
(C) Cubo perfeito. 
(D) Divisível por cinco. 
(E) Múltiplo de três. 
 
465 (EsPCEx – 2015/16) – João e Maria iniciam 
juntos uma corrida, partindo de um mesmo ponto. 
João corre uniformemente 8 km por hora e acelera o 
passo de modo a correr mais 
1
2
 km cada hora que se 
segue. Assinale a alternativa correspondente ao 
número de horas corridas para que Maria alcance 
João. 
 
(A) 3 (B) 5 (C) 9 (D) 10 (E) 11 
 
466 (EsPCEx – 2015/16) – Da análise combinatória, 
pode-se afirmar que: 
 
(A) O número de múltiplos inteiros e positivos de 11, 
formados por três algarismos, é igual a 80. 
(B) A quantidade de números ímpares de quatro 
algarismos distintos que podemos formar com os 
Dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. 
(C) O número de anagramas da palavra EsPCEx que 
têm as vogais juntas é igual a 60. 
(D) No cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira 
com dez cadeiras, todas vazias. O número de 
maneiras que poderão sentar-se em duas 
cadeiras vizinhas é igual a 90. 
(E) A quantidade de funções injetoras definidas em 
a={1, 3, 5} com valores em b={2, 4, 6, 8} é igual a 
24. 
 
467 (EsPCEx – 2015/16) – Considerando a função 
 
real definida por 
 
o valor de f(0)+f(4) é: 
 
(A) - 8 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 4 
 
468 (EsPCEx – 2015/16) – 
Sendo R a maior das raízes da equação 
𝟏𝟏𝒙+𝟔
𝒙−𝟒
 = x2 
então o valor de 2R-2 é: 
 
 
 
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(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E)10 
 
469 (EsPCEx – 2015/16) – O gráfico que melhor 
representa a função real definida por: 
 
 
É: 
 
 
(A) 
 
 
 
 
 
(B) 
 
 
 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 
 
(E) 
 
 
 
 
 
470 (ITA – 2014/15) – Das afirmações: 
 
I. Se x, y ∈ R \ Q, com y = −x, então x + y ∈ R \ Q; 
II. Se x ∈ Q e y ∈ R \ Q, então xy ∈ R \ Q; 
III. Sejam a, b, c ∈ R, com a < b < c. Se f:[a, c] → [a, b] 
é sobrejetora, então f não é injetora, é (são) 
verdadeira(s): 
 
(A) Apenas I e II. 
(B) Apenas I e III. 
(C) Apenas II e III. 
(D) Apenas III. 
(E) Nenhuma. 
 
471 (ITA – 2014/15) – Considere as funções f, g : Z → 
R, f(x) = ax + m , g(x) = bx + n, em que a, b, m e n 
são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e 
de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo: 
 
I. Se A = B, então a = b e m = n; 
II. Se A = Z, então a = 1; 
III. Se a, b, m, n ∈ Z, com a = b e m = −n, então A = B, 
 
é (são) verdadeira(s): 
 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas II. 
(C) Apenas III. 
(D) Apenas I e II. 
(E) Nenhuma. 
 
472 (ITA – 2014/15) – A soma 
é igual a: 
 
(A) 
8
9
 
 
(B) 
14
15
 
 
(C) 
15
16
 
 
(D) 
17
18
 
 
(E) 1 
 
473 (ITA – 2014/15) – Se z ∈ C, então 
 
z6 − 3 |z|4 (z2 − z 2) − z 6 é igual a: 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
474 (ITA – 2014/15) – Sejam z,w ∈ C. Das afirmações: 
 
 
 
 
 
 
É (são) verdadeira(s): 
 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas I e II. 
 
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(C) Apenas I e III. 
(D) Apenas II e III. 
(E) Todas. 
 
475 (ITA – 2014/15) – Considere os polinômios em x 
∈ R da forma p(x) = x5 + a3x3 + a2x2 + a1x. As 
raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão 
aritmética de razão 
1
2
 quando (a1, a2, a3) é igual a: 
(A) (
𝟏
𝟒
, 𝟎,
𝟓
𝟒
 ) 
 
(B) (
𝟏
𝟒
, 𝟏,
𝟓
𝟒
 ) 
 
(C) (
𝟏
𝟒
, 𝟎, −
𝟓
𝟒
 ) 
 
(D) (
𝟓
𝟒
, 𝟎,
𝟏
𝟒
 ) 
 
(E) (
𝟏
𝟒
, −𝟏, − 
𝟏
𝟒
 ) 
 
476 (ITA – 2014/15) – Para os inteiros positivos k e n, 
 
com k ≤ n, sabe-se que 
 
Então, o valor de: 
 
 
 
É igual a: 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
477 (ITA – 2014/15) – Considere as seguintes 
afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de 
ordem n, com A inversível e B antissimétrica: 
 
I. Se o produto AB for inversível, então n é par; 
II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar; 
III. Se B for inversível, então n é par. 
 
Destas afirmações, é (são) verdadeira(s): 
 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas I e II 
(C) Apenas I e III. 
(D) Apenas II e III. 
(E) Todas. 
 
478 (ITA – 2014/15) – Sejam: 
 
 
 
 
 
matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz 
antissimétrica. Das afirmações abaixo: 
 
I. BA é antissimétrica; 
II. BA não é inversível ; 
III. O sistema (BA)X = 0, com Xt = [x1 x2 x3], admite 
infinitas soluções, 
 
É (são) verdadeira(s): 
 
(A) ApenasI e II. 
(B) Apenas II e III. 
(C) Apenas I. 
(D) Apenas II. 
(E) Apenas III. 
 
479 (ITA – 2014/15) – Seja M uma matriz quadrada de 
ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade 
 
Então, um valor possível para o determinante da 
inversa de M é: 
 
(A) 
1
3
 
 
(B) 
1
2
 
 
(C) 
2
3
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
5
4
 
 
480 (ITA – 2014/15) – Considere a equação A(t)X = 
B(t), t ∈ R, em que 
 
 
 
 
 
 
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Sabendo que detA(t) = 1 e t = 0, os valores de x, y e z 
são, respectivamente, 
 
(A) 2√2, 0, - 3 
(B) − 2√2, 0, - 3 
(C) 0, 3√2, 2√2 
(D) 0, 2√3, √3 
(E) 2√3, − √3, 0 
 
 
481 (ITA – 2014/15) – Considere o polinômio 
complexo p(z) = z4+a z3+5 z2−i z−6, em que a é uma 
constante complexa. 
 
Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, as 
outras três raízes são: 
 
(A) 3i, −1, 1 
(B) – i , i, 1 
(C) – i , i, −1 
(D) – 2i , −1, 1 
(E) – 2i, − i, i. 
 
482 (IME – 2015/16) – Dados três conjuntos quaisquer 
F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto: 
 
(A) (G ∩ F) - (F – H) 
 
(B) (G ∪ H) − (H − F) 
 
(C) (G ∪ ( H − F ) ∩ H 
 
(D) G ∪ (H ∩ F ) 
 
(E) (H ∩ G) ∩ (G − F ) 
 
483 (IME – 2015/16) – O polinômio x3 + ax2 + bx + c 
tem raízes reais α, - α e 
𝟏
𝒂
. Portanto o valor da 
soma é: 
 
(A) −2 (B) −1 (C) 0 (D) 1 (E) 2 
 
484 (IME – 2015/16) – Sabendo-se que m e n são 
inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n 2 , 
determine o resto da divisão de m+n por 5. 
 
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 
 
 
485 (IME – 2015/16) – O valor do somatório abaixo é: 
 
 
 
 
 
 
Observação: Img(w) é a parte imaginária de w. 
 
 
 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
486 (IME – 2015/16) – Seja Px = x2 + ax + b. Sabe-
se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. 
Pode-se afirmar que para todo valor a e b 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
487 (IME – 2015/16) – Sabendo-se que os números 
reais positivos a, b e c formam uma progressão 
 
 
 
geométrica 
 
 
 
formam uma progressão aritmética, ambas nessa 
ordem, então pode-se afirmar que a, b e c 
 
(A) Formam os lados de um triângulo obtusângulo. 
(B) Formam os lados de um triângulo acutângulo não 
equilátero. 
(C) Formam os lados de um triângulo equilátero. 
(D) Formam os lados de um triângulo retângulo. 
(E) Não podem formar os lados de um triângulo. 
 
488 (IME – 2015/16) – O valor da soma abaixo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
489 (IME – 2015/16) – Os inteiros n e m são 
sorteados do conjunto {1,2,3,...,2016}, podendo haver 
repetição. Qual a probabilidade do produto n x m ser 
múltiplo de 12? 
 
(A) 
𝟓
𝟏𝟐
 
 
(B) 
𝟓
𝟏𝟖
 
 
(C) 
𝟓
𝟐𝟒
 
 
(D) 
𝟓
𝟑𝟔
 
 
(E) 
𝟓
𝟏𝟒𝟒
 
 
490 (IME – 2015/16) – Seja. . O maior 
 
valor de a, com a≠1, que satisfaz é: 
 
Observação: I é a matriz identidade 2x2. 
 
(A) 
𝟏
𝟐
 
 
(B) 
√𝟐
𝟐
 
 
(C) 
√𝟑
𝟐
 
 
(D) 
√𝟐
𝟒
(√𝟑 − 𝟏) 
 
(E) 
√𝟐
𝟒
(√𝟑 + 𝟏) 
 
491 (IME – 2015/16) – Quantos inteiros k satisfazem à 
desigualdade 
 
 
 
(A) 10 (B) 89 (C) 90 (D) 99 (E) 100 
 
492 (IME – 2015/16) – Seja a equação 
 
 
As soluções dessa equação para , 
 
 
formam um polígono no círculo trigonométrico de área. 
 
(A) 
√3
2
 
 
(B) √𝟑 
 
(C) 
5√3
8
 
 
(D) 
1
2
 
 
(E) 1 
 
493 (EFOMM/2015) – O conjunto de todos os 
números reais q > 1, para os quais a1, a2 e a3 a 
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de 
razão q , com primeiro termo 2 e representam as 
medidas dos lados de um triângulo, é: 
 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
 
494 (EFOMM/2015) – Considere o número complexo 
Z1 ≠ 1, tal que Z1 seja solução da equação z6 = 1, 
com menor argumento positivo. 
 
 
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A solução Z2 da mesma equação, cujo argumento é o 
triplo do argumento de Z1 , é igual a: 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
495 (EFOMM/2015) – Uma turma de alunos do 1º ano 
da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, 
de 8h40 às 10h20 e de 10h30 às 12h. As matérias são 
Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com 
duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos 
modos pode ser feito o horário dessa turma? 
 
(A) 9. 
(B) 18. 
(C) 36. 
(D) 48. 
(E) 54. 
 
496 (EFOMM/2015) – Sejam as funções: 
 
f : IR  IR e g : IR  IR . 
 
Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, considere 
as sentenças a seguir: 
 
I - g o f é injetora; 
II - f o g é bijetora; 
III- g o f é sobrejetora. 
 
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada 
sentença, obtém-se: 
 
(A) V-V-V 
(B) V-V-F 
(C) F-V-F 
(D) F-F-V 
(E) V-F-V 
 
497 (EFOMM/2015) – Sabendo-se que: 
 
 
 
calcule, em função de a , 
 
 
 
(A) 2a 
(B) - 2a 
(C) a 
(D) - a 
(E) 3a 
 
498 (EFOMM/2015) – Um juiz de futebol trapalhão tem 
no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um 
cartão com uma face amarela e uma outra face 
vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz 
mostra um cartão, retirado do bolso ao acaso, para um 
atleta. 
 
Se a face que o jogador vê é amarela, a probabilidade 
de a face voltada para o juiz ser vermelha será: 
 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
 
499 (EFOMM/2015) – O valor da expressão 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
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500 (EFOMM/2015) – Dada uma função F : IR  IR , 
 
Sabe-se que: 
 
i) F’(x) = sen(3x) cos(5x) , onde F’(x) é a derivada 
da função F, em relação à variável independente x; ii) 
F(0) 0. 
 
O valor de é: 
 
 
 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
501 (EFOMM/2015) – Os números reais positivos a1, 
a2 , an formam nessa ordem, uma progressão 
geométrica de razão q . 
 
Nesse caso, é correto afirmar que a sequência log a1, 
log a2 , log an forma: 
 
(A) uma progressão geométrica crescente, se 
q > 1. 
(B) uma progressão aritmética crescente, se 
q > 1 
(C) uma progressão geométrica decrescente, se 
0 < q < 1 
(D) uma progressão aritmética crescente, se 
0 < q < 1. 
(E) uma progressão aritmética crescente, desde que 
q > 0 . 
 
502 (EFOMM/2015) – O valor da integral 
é: 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
503 (EFOMM/2015) – Sabe-se que uma partícula 
move-se segundo a equação 
 
 
 
 
onde t é o tempo em segundos e S é a posição em 
metros. 
 
Pode-se afirmar que a aceleração da partícula, 
quando t = 2s , é 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
504 (EFOMM/2015) – Seja a uma 
 
matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo é dado 
pela lei 
 
 
 
Pode-se afirmar que o valor de det A é: 
 
(A) 0 
(B) - 12 
(C) 12 
(D) 4 
(E) - 4 
 
505 (E. NAVAL/2015) – A soma dos três primeiros 
termos de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos 
seus quadrados 91. Justapondo-se esses termos , 
obtém-se um número de três algarismos. Pode-se 
afirmar que o resto da divisão desse número pelo 
inteiro 23 vale: 
 
(A) 1 (B) 4 (C) 8 (D) 9 (E) 11 
 
 
506 (E.NAVAL/2015) – Sejam f e g funções reais 
definidas por 
 
 
 
E 
 
 
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Sendo assim pode-se dizer que (fog) (x) é definida 
por: 
 
 
(A) 
 
 
 
 
(B) 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
(E) 
 
 
507 (E.NAVAL/2015) – As curvas representantes dos 
gráficos de duas funções de variável real y = f (x) e y 
= g (x) interceptam-se em um ponto P0 (x0, yl real 
x0) sendo 
 
 
É possível definir o ângulo formado por essas duas 
curvas no Ponto P0 como sendo o menor ângulo 
formado pelas retas tangentes àquelas curvas no 
ponto P0. 
 
Se e 0 é o 
 
ângulo na interseção de abscissa