01 Aula BIM 02

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▪ VIBRAÇÕES LIVRES EM SISTEMAS DE TRANSLAÇÃO
▪ VIBRAÇÕES LIVRES EM SISTEMAS TORCIONAIS
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▪ Com o sistema modelado, o primeiro passo é obter as equações que
descrevem o sistema, que pode ser utilizando um dos seguintes métodos.
✓ Segunda Lei de Newton.
✓ Princípio dos Deslocamentos Virtuais.
✓ Princípio da Conservação de Energia.
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▪ SEGUNDA LEI DE NEWTON
✓Considerando o sistema:
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▪ DESLOCAMENTO VIRTUAL
✓ “Se um sistema que está em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças
for submetido a um deslocamento virtual, então o trabalho virtual total
realizado pelas forças será zero”
✓Considerando o sistema:
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▪ CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
✓ “Se o sistema for conservativo, ou seja, nenhuma energia for perdida devido
a atrito ou forças que dissipem energia, então a energia total do sistema
permanece constante”.
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✓Considerando a equação:
✓a solução geral para esta EDO é dada por:
✓onde C e s são constantes que podem ser encontradas substituindo na EDO.
Além disso, C não pode ser nulo, então:
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✓ Isolando a constantes:
✓com a constante complexa sendo:
✓e a frequência natural:
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✓A solução da EDO fica:
✓Devemos determinar as constantes C1 e C2.
✓Utilizando a identidade de Euller
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✓Utilizando os valores iniciais
✓A solução da equação de movimento
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✓A solução x(t) é uma função harmônica, assim ela pode ser escrita de maneira
diferente, fazendo:
✓Elevando ao quadrado e somando A1 e A2:
✓Calculando o ângulo de fase:
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✓Sendo assim, a solução pode ser expressa como:
✓Para obter a solução como uma função senóide, faz:
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✓Velocidade
✓Aceleração
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1) Sistema massa-mola na posição vertical
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2) Algumas condições iniciais
✓Deslocamento nulo
✓Velocidade inicial nula
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Resolução exemplo 2.1 – Livro Vibrações Mecânicas – RAO 4ª Ed.
17Resolução exemplo 2.2 – Livro Vibrações Mecânicas – RAO 4ª Ed.
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▪ A MODELAGEM E A SOLUÇÃO SÃO SEMELHANTES DO
SISTEMA ANTERIOR FAZENDO A SUBSTITUIÇÃO DAS
VARIÁVEIS:
✓ x (deslocamento linear) por θ (deslocamento angular);
✓ m (massa) por J (Momento Polar de inércia de massa);
✓ k (constante elástica linear) por kt (constante elástica
torsional).
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▪ Equação do movimento
✓Solução:
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▪ Adicionando um amortecedor a um sistema massa mola, temos o modelo da 
figura.
✓ A força do amortecedor:
✓ A equação do movimento:
✓ A solução geral desta EDO é dada por:
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✓A equação auxiliar da EDO:
✓com raízes:
✓Substituindo na solução geral:
✓na qual C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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✓Podemos definir a constante de amortecimento crítico:
✓e o fator de amortecimento:
✓Com estas grandezas, as raízes da equação auxiliar fica:
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✓A solução da equação pode ser escrita da seguinte forma:
✓É possível definir 3 tipos de amortecimento avaliando o valor do fator de
amortecimento.
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▪ 1º Caso – SISTEMA SUBAMORTECIDO
✓O movimento é oscilatório com amplitude diminuido ao longo do tempo de
forma exponencial.
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✓As raízes da equação auxiliar são:
✓Reescrevendo a solução, temos:
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✓Aplicando relações matemáticas:
✓As constantes podem ser calculadas a partir das condições iniciais:
✓Obtendo:
✓Então:
✓A solução pode ser escrita na forma harmônica:
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✓nas quais as constante são dadas por:
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✓Pode-se definir a freqüência de vibração amortecida:
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▪ 2º Caso – SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO
✓O movimento resultante deste tipo de amortecimento, é retorno ao repouso
após a perturbação, não gerando um movimento oscilatório e sendo o caso
em que a oscilação cessa mais rapidamente.
✓As raízes da equação auxiliar são:
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✓A solução geral fica:
✓Aplicando as condições iniciais,
✓A solução da EDO é dada por:
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▪ 3º Caso – SISTEMA SUPERAMORTECIDO
✓Este movimento aperiódico independe das condições iniciais impostas ao
sistema. O movimento diminui exponencialmente com o tempo.
✓As raízes da equação auxiliar são:
35
✓A solução geral fica:
✓Aplicando as condições iniciais,
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▪ Comportamento dos sistemas anteriores
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▪ O decremento logarítmico (δ) representa a taxa de redução de uma
vibração livre amortecida. É definido como o logarítmo natural da razão
entre duas amplitudes consecutivas.
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▪ Para pequenos amortecimentos, a seguinte aproximação é válida:
▪ Se o decremento for conhecido é possível determinar o fator de
amortecimento.
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▪ Os resultados obtidos para sistemas lineares podem ser utilizados,
apenas realizando a substituição das variáveis análogas.
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Projétil
Cano do Canhão
Mecanismo de 
Recuo
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▪ Em um caso particular, o cano de canhão e o mecanismo de recuo têm
massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10000 N/m. O
recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (a) o coeficiente
de amortecimento crítico, (b) a velocidade inicial de recuo do canhão e
(c) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1m de
sua posição inicial.
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▪ É o amortecimento ocasionado pelo atrito entre as superfícies de
contato.
▪ A força de atrito é dada por:
▪ Considerando o sistema,
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▪ Há necessidade de dividir o movimento em duas partes:
✓Quando 𝑥 é positivo e 𝑑𝑥/𝑑𝑡 é positivo ou quando 𝑥 é negativo e 𝑑𝑥/𝑑𝑡 é
positivo. Ocorre quando a massa se desloca da esquerda para a direita.
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✓Quando x é positivo e dx/dt é negativo ou quando x é negativo e dx/dt é
negativo. Ocorre quando a massa se desloca da direita para a esquerda.
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▪ O próximo passo é calcular as constantes das soluções. Considerando
que o movimento inicie da direita para a esquerda com 𝑑𝑥/𝑑𝑡 =
0 (velocidade inicial) e que toda vez ao inverter o sentido do
movimento, 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 0, para o primeiro meio ciclo (0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏/2),
temos:
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▪ Substituindo:
▪ A solução para o primeiro meio ciclo fica:
▪ As condições inicias para o segundo meio pode ser encontradas
utilizando o resultado anterior no tempo 𝑡 = 𝜏/2.
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▪ Assim:
▪ Conhecendo as condições iniciais e fazendo a substituição,
encontramos as constantes.
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▪ A solução para o segundo meio ciclo fica:
▪ Para o terceiro meio ciclo é necessário calcular as constantes A3 e A4
novamente com as condições iniciais obtidas pelo resultado anterior e
assim sucessivamente.
✓Observações
O número de meio ciclos dados antes do movimento se encerrar é dado 
pela seguinte equação:
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▪ A amplitude é reduzida linearmente para o amortecimento de Coulomb.
▪ Para cada ciclo, a amplitude se reduz ao valor de:
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▪ Ao final de quaisquer dois ciclos consecutivos, as amplitudes destes
estão relacionadas por:
▪ O coeficiente angular das retas envelope da redução de amplitude é
dada por:
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▪ Comportamento do movimento:
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▪ Analogia para o sistema torcional:
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▪ Um bloco de metal colocado sobre uma superfície irregular está ligado
a uma mola e recebe um deslocamento inicial de 10 cm em relação a
sua posição de equilíbrio. Após cinco ciclos de oscilação em 2s,
constata-se que a posição final do bloco de metal é 1 cm em relação a
sua posição de equilíbrio. Determine o coeficiente de atrito entre o
bloco de metal e a superfície.
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▪ É um tipo de amortecimento ocasionado pelo próprio material, pois este
dissipa energia quando se deforma.
▪ O movimento relacionado a este amortecimento pode ser aproximado por um
movimento harmônico. Através do cálculo de um amortecedor viscoso
equivalente é possível usar as mesmas equações do sistema viscoso.
▪ Pode-se determinar uma medida adimensional de amortecimento em função
da constante de amortecimento por histerese (h):
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▪ Equações complementares:
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▪ Uma estrutura de ponte é modelada como um sistema de um grau de
liberdade com uma massa equivalente de 5 ∗ 105 Kg e uma rigidez
equivalente de 25 ∗ 106 N/m. Durante um teste de vibração livre,
constatou-se que a razão entre amplitudes sucessivas era 1,04. Estime
a constante de amortecimento estrutural (β) e a resposta livre devibração aproximada da ponte.
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▪ EXERCÍCIOS (RAO – 4ª Ed):
✓Sistemas de Translação não amortecidos: 2.5; 2.6; 2.7; 2.10; 2.15; 2.16;
2.39
✓Sistemas Torcionais não amortecidos : 2.64
✓Sistemas com amortecimento Viscoso: 2.84; 2.89; 2.90; 2.10; 2.108;
2.109; 2.110
✓Sistemas com amortecimento por Histerese: 2.124; 2.125
Prof. Me. Cássio Aveiro