TRABALHO VIBRACOES 3 BIMESTRE - FURG

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE-FURG 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LUCAS TREVISO 117718 
 
 
 
 
 
Séries de Fourier, Integral de Duhamel e Transformada 
de Laplace 
 
 
 
 
 
 
lucastreviso@outlook.com 
 
RIO GRANDE, RS 
2021 
 
 
 
1. Séries de Fourier 
 
 De acordo com os dados disponibilizados pelo professor, o problema indicado 
para resolução das séries de Fourier foi o processo número 30. 
 
 O exercício proposto na disciplina de mecânica das vibrações que envolve 
séries de Fourier consiste no seguinte enunciado: 
a) Determinar a resposta de regime permanente do sistema massa-mola-
amortecedor, com k = 20 kN/m, c = 100 N.s/m e m = 10 kg, submetido a uma 
força periódica dada pela função abaixo, com a = 10 N, b = 10 N/s, d = 10 N/s2 
e = 10 N/s3 e T = 1 s. 
Função: 
 
 
 
 Solução: O processo de resolução desse exercício foi feito no software MAPLE 
2021, onde foram inseridos os dados de entrada de acordo com o enunciado e as 
características da função. 
 
Figura 1- Dados de Entrada no Maple
 
Fonte: Autor. 
 
Após os dados de entrada no sistema, foram calculados pelo MAPLE os valores 
que fazem parte da função final da série de Fourier que descreve a função número 
30. 
 
11 
 
Figura 2- Cálculo de Wn 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 3- Cálculo Fator de Amortecimento 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 4- Cálculo da Frequência Angular 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 5- Cálculo do “r” 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 6- Cálculo do Ângulo 
 
Fonte: Autor. 
12 
 
 A função foi inserida no MAPLE com os valores substituídos e ficou da seguinte 
forma: 
Figura 7- Função 30 
 
Fonte: Autor. 
 
 Plotando a função no software MAPLE, teremos: 
 
Figura 8- Grafico da função 𝑓 
 
 
Fonte: Autor. 
 
 Para o cálculo da série de Fourier, os valores foram obtidos seguido a equação 
abaixo demonstrado nos vídeos disponibilizados pelo professor no canal do Youtube: 
 
13 
 
 Onde: 
 
 
 Os valores obtidos nas seguintes equações demonstradas acima, foram: 
Figura 9- Cálculo de “a0” no MAPLE 
 
Fonte: Autor. 
 
 Para encontrar as equações de “aj” e “bj”, foi utilizado o software MATLAB, e 
apos a mesmas foram inseridas no software MAPLE. O código inserido no MATLAB 
para resolver as integrais coeficientes Fourier é apresentado na Figura 10 a seguir. 
 
Figura 10- Código MATLAB para resolver as integrais coeficientes Fourier. 
 
Fonte: Autor. 
14 
 
 As equações encontradas no MATLAB para “aj” e “bj” foram inseridas no 
MAPLE e são apresentadas na Figura 10 a seguir. 
 
Figura 11- Equações “a” e “b” no MAPLE 
 
 
Fonte: Autor. 
 
 A seguir na Figura 12 temos a função que descreve força aplicada no sistema 
simplificada pela série de Fourier. 
 
Figura 12- Função da Força. 
 
Fonte: Autor. 
 
 Plotando o gráfico referente os valores encontrados anteriormente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Figura 13- Gráfico função da Força “F”. 
 
 
Fonte: Autor. 
 
 Analisando a equação em função de “x”, e seguindo os mesmos procedimentos 
analisados anteriormente, teremos a seguinte função como resposta: 
 
Figura 14- Equação Princípio da Série de Fourier para “X”. 
 
Fonte: Autor. 
 
 Plotando o gráfico para a equação da Figura 14 acima apresentada, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Figura 15- Gráfico Equação Princípio da Série de Fourier para “X” 
 
Fonte: Autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
2. Integral de Duhamel 
 
Para esta parte do trabalho, foram realizados os cálculos referentes a função 
33 disponibilizada pelo professor. O enunciado apresentava o seguinte: 
 
b) Determinar a resposta de regime permanente do sistema massa-mola-
amortecedor, com k = 10 kN/m, c = 100 N.s/m e m = 20 kg, submetido a uma 
força com variação mostrada na figura, utilizando a Integral de Duhamel. 
 
A função dada é a presentada a seguir na Figura 16. 
 
Figura 16- Função para o Exercício de Duhamel 
 
Fonte: Material disponível no AVA. 
 
 Para a resolução desse problema, foi montado um diagrama de blocos no 
Scilab apresentado na Figura 17 abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Figura 17- Diagrama de Blocos Scilab 
 
Fonte: Autor. 
 
 
Analisando cada intervalo de acordo com as entradas degrau, teremos o 
seguinte: 
Intervalo: 0<t<1 [s] Intervalo: 1<t<2 [s]
 
 
 Intervalo: 2<t<3 [s] Intervalo: 3<t<4 [s]
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 Intervalo: 4<t<5 [s] 
 
 
 Parâmetros 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 Após foi executada a programação e o gráfico gerado apresenta-se na Figura 
18 abaixo. 
Figura 18- Gráfico Duhamel Scilab 
 
Fonte: Autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
3. Transformada de Laplace 
 
 Foram realizados os cálculos referentes a função 40 disponibilizada pelo 
professor. O enunciado apresentava o seguinte: 
c) Determinar a resposta de regime permanente do sistema massamola-
amortecedor, com k = 10 kN/m, c = 10 N.s/m e m = 10 kg, submetido a uma 
força com variação mostrada na figura, utilizando a Integral de Duhamel. 
 
 Solução: Para o cálculo do processo da inversa de Laplace para a resolução 
do problema, também foi utilizado o software MAPLE 2020. Abaixo estará 
demonstrado passo a passo de todo o processo para obtenção da função final. Assim 
como na função da série de Fourier, nesse processo foi inserido todos os dados 
fornecidos pelo problema. 
Figura 19- Dados de Entrada no Maple 
 
Fonte: Autor. 
 
Após os dados de entrada no sistema, foram calculados pelo MAPLE os valores 
que fazem parte da função final da série de Fourier que descreve a função número 
30. 
 
Figura 20- Cálculo de Wn 
 
Fonte: Autor. 
 
22 
 
Figura 21- Cálculo Fator de Amortecimento 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 22- Cálculo de wd 
 
Fonte: Autor. 
 
 A função foi inserida no MAPLE com os valores substituídos e ficou da seguinte 
forma: 
Figura 23- Função 40 
 
Fonte: Autor. 
 
 Plotando a função no software MAPLE, teremos: 
 
23 
 
Figura 24- Grafico da função 𝑓 
 
 
Fonte: Autor. 
 
 Aplicando Laplace na função que descreve a Força no tempo “t”, obteve – se 
os seguintes dados: 
Figura 25- Função no domínio de Laplace – F(s) 
 
Fonte: Autor. 
 
 Para o deslocamento, foi realizado o mesmo processo. Para o domínio de 
Laplace, teremos os seguintes resultados: 
 
 
 
 
 
24 
 
Figura 26- Função no domínio de Laplace – X(s) 
 
Fonte: Autor. 
 
 Através dos valores obtidos, foi atribuído uma nova variável “Xr”, onde a mesma 
é a transformada inversa de Laplace (para o domínio do tempo). Feito esse passo, foi 
plotado o gráfico do comportamento da força em relação ao tempo nos intervalos 
descritos pela função (Como já foi demonstrado acima), vejamos: 
 
Figura 27- Gráfico Inversa de Laplace
 
Fonte: Autor. 
 
25 
 
4. Referências Bibliográficas 
 
MAPLE. 0DSOH 9 5HDOHDVH, Waterloo Maple Inc, USA. 2021. 
 
MATLAB. © 1994-2021 The MathWorks, Inc. 
 
Mecânica das Vibrações - Turma A; https://ava.furg.br/course/view.php?id=545 
 
Rao; Singerisu; Vibrações Mecânicas. 4ª Ed. Pearson Pretice Hall, São Paulo, 2009 
 
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