Prova2BCalc3-05-09

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Prova 2 de Ca´lculo III SMA-0333 - 16-05-2009
Professor Marcelo Jose´ Saia
QUESTO˜ES NOTAS
1.a
2.a
NOME: 3.a
4.a
N.o USP: Total
Sejam f(x) = −x2, com −pi ≤ x ≤ pi, g(x) = |x|, com −pi ≤ x ≤ pi, ambas perio´dicas de
per´ıodo 2pi e h(x) = x− 1, com |x| ≤ 1 e perio´dica de per´ıodo 2.
1. a) Determine as se´ries de Fourier de f(x) e de g(x).
b) Verifique para quais pontos de f e de g a sua se´rie de Fourier e´ convergente.
2. a) Escreva a func¸a˜o h(x) como uma se´rie de senos.
b) Escreva a func¸a˜o h(x) como uma se´rie de cossenos.
3. Use a forma complexa para obter a se´rie de Fourier da func¸a˜o: g(x).
4. Considerando que
u(x, t) =
∞∑
n=1
[An sen(nx)cos(nct) +Bn sen(nx)sen(nct)]
e´ soluc¸a˜o geral do PVIF: utt = c
2uxx em I, com u(0, t) = u(pi, t) = 0, para t ≥ 0 e
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), para 0 ≤ x ≤ pi e I = {(x, t) ∈ R2 : 0 < x < pi, t > 0,
determine os coeficientes An e Bn.
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