LIVRO MATEMATICA APLICADA

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Edson Carlos Chenço
aplicada
matemática
Código Logístico
58558
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6480-9
9 7 8 8 5 3 8 7 6 4 8 0 9
M
atem
ática A
plicada
Edson C
arlos C
henço
Matemática aplicada
IESDE
2019
Edson Carlos Chenço
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
C447m
Chenço, Edson Carlos
Matemática aplicada / Edson Carlos Chenço. - 1. ed. - Curitiba [PR] : IESDE, 2019. 
230 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6480-9
1. Matemática. 2. Matemática - Estudo e ensino. I. Título.
19-59539 CDD: 510
CDU: 51
Edson Carlos Chenço
Doutorando em Negócios Internacionais pela Florida Christian University (FCU). Mestre 
em Metrologia pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Especialista 
em Gestão de Negócios pela MUST University. Professor de programas de pós-graduação e 
corporativos. Consultor de finanças e projetos empresariais. 
Sumário
Apresentação 7
1 Fundamentos de matemática básica 9
1.1 Números inteiros e racionais 9
1.2 Potenciação 10
1.3 Radiciação 12
1.4 Razão e proporção 13
1.5 Regra de três 16
1.6 Equações do primeiro grau 18
1.7 Equações do segundo grau 22
2 Estudo dos conjuntos 31
2.1 Conceitos fundamentais 31
2.2 Tipos especiais de conjuntos 34
2.3 Produto cartesiano 37
2.4 Intervalos 40
2.5 Exercícios resolvidos 41
3 Funções: gráficos e aplicações 47
3.1 Conceito de função 47
3.2 Função de primeiro grau 48
3.3 Tipos de funções de primeiro grau 49
3.4 Aplicação especial para funções de primeiro grau 54
3.5 Exercícios resolvidos 58
4 Funções: outros modelos 65
4.1 Função quadrática ou polinomial 65
4.2 Função exponencial 69
4.3 Função logarítmica 73
4.4 Função inversa 76
5 Sequências e progressões 83
5.1 Sequências 83
5.2 Progressões aritméticas 87
5.3 Progressões geométricas 92
6 Análise combinatória e probabilidades 97
6.1 Conceitos introdutórios 98
6.2 Princípio fundamental da contagem 99
6.3 Probabilidade 106
7 Probabilidades – Distribuições 115
7.1 Variáveis aleatórias discretas ou contínuas 115
7.2 Distribuições discretas 117
7.3 Relação entre valor esperado e medidas de dispersão 118
7.4 Distribuições binomiais 122
7.5 Distribuição de Poisson 125
7.6 Esperança matemática 126
8 Matrizes 133
8.1 Matrizes m x n 133
8.2 Operações envolvendo matrizes 136
8.3 Determinantes de uma matriz 139
9 Sistemas lineares 143
9.1 Complemento algébrico e menor complementar 143
9.2 Sistemas lineares 145
9.3 Sistemas normais 147
9.4 Sistemas equivalentes 148
9.5 Sistemas escalonados 149
10 Funções polinomiais, limites e derivadas 159
10.1 Funções polinomiais 159
10.2 Multiplicidade de uma raiz 161
10.3 Princípio da indução finita 163
10.4 Limites 168
10.5 Derivadas 178
10.6 Aplicações das derivadas às atividades econômicas 192
Gabarito 197
Referências 229
Apresentação
Atualmente, cada vez mais se exige a capacidade de trabalhar e interpretar informações. 
Essa habilidade, essencial ao avanço da ciência, desenvolve-se rapidamente com os novos modelos 
matemáticos que se apresentam, além dos muitos que já conhecemos e são utilizados. Por meio 
deles, emergem novos conhecimentos, habilidades e competências, os quais serão facilitadores e 
decisivos para alinhar teorias e práticas nas diversas áreas de atuação.
Ter uma base sólida em matemática aplicada, portanto, possibilitará uma formação científica 
de qualidade. Melhores decisões são tomadas quando se tem acesso a informações precisas, 
ampliando o olhar sobre os problemas que se manifestam no cotidiano. 
Hoje, utilizamos a matemática aplicada em modelagens que vão da medicina à astronomia, 
das comunicações ao desenvolvimento de equipamentos de precisão, enfim, em importantes 
tarefas do dia a dia. Ao digitarmos senhas em caixas eletrônicos, ao pensarmos em nossa chance 
probabilística de ganhar na loteria, ao avaliarmos riscos de um investimento, ao elaborarmos nossa 
planilha orçamentária, estamos “matematizando”, isto é, avaliando tudo que nos cerca do ponto de 
vista matemático.
Neste livro, houve a preocupação de mostrar a versatilidade dos conceitos de matemática 
aplicada e sua utilidade. Estruturado em dez capítulos, partindo dos conceitos iniciais de 
potenciação e radiciação, passamos pelas equações e problemas de primeiro e segundo grau, 
pelas progressões, matrizes e determinantes, até finalizarmos com as funções polinomiais, 
limites e funções derivadas. Em todos os capítulos há dezenas de exercícios resolvidos, 
exemplos solucionados, aplicações à área de gestão e, ainda, sugestões de outros materiais que 
venham a enriquecer seus conhecimentos. 
Bons estudos!
1
Fundamentos de matemática básica
Neste primeiro capítulo, apresentaremos de maneira objetiva os principais conceitos da 
matemática básica e suas aplicações. Em princípio, esses conteúdos parecem muito simples, mas 
conhecê-los e saber aplicá-los é fundamental para avançar nas seções propostas neste livro.
Os pontos mais importantes deste capítulo são: potenciação, radiciação, expressões, equações 
e sistemas do primeiro grau. Ainda, abordaremos razão, proporção e regra de três, números reais e 
aplicações para equações e sistemas do segundo grau.
1.1 Números inteiros e racionais
As frações e os números decimais são de conhecimento geral, principalmente 
nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Esses números têm em comum o fato de 
pertencerem a um mesmo conjunto numérico chamado de conjunto dos números 
racionais, sempre representado pela letra Q.
Todo número escrito na forma a/b é racional, sendo que a e b são, cada um, 
números inteiros, desde que b seja diferente de zero.
Importante relembrar: números inteiros são aqueles que 
não possuem casas decimais, mas podem ser positivos e 
negativos.
Podemos dizer também que os números decimais estão entre os números 
racionais, pois, se dividirmos uma fração, teremos como resultado um valor decimal. 
Vejamos os exemplos:
4
5
0 80= , � � �15
2
7 5, 4
1
4=
Os números naturais também podem ser incluídos no conjunto Q, pois são 
expressos na forma de fração, resultando em valor natural. O mesmo acontece 
com números inteiros. Nesses casos, as frações são chamadas de frações aparentes. 
Vejamos os exemplos:
15
3
5= � � �49
7
7
Praticamente em todas as situações que envolvam medidas e contagem, 
os números inteiros e racionais estão presentes. São necessários nos cálculos de 
engenharia, da matemática financeira, na resolução de problemas de física, química 
e biologia, entre outras áreas. Como exemplo, podemos observar o cálculo da média 
harmônica que envolve números inteiros, decimais e fracionários ao mesmo tempo, 
demonstrando uma medida de velocidade média.
Vídeo
Matemática aplicada10
• Velocidade de ida: 80 km/h.
• Velocidade de volta: 30 km/h.
• Percursos: 2 (ida e volta).
Portanto:
2
1
80
1
30
2
0 0125 0 033
43 9
�
�
�
�
, ,
, /km h
1.2 Potenciação
A potenciação, também chamada de exponenciação, é uma das principais 
operações desenvolvidas com os números reais, que englobam todos os conjuntos 
numéricos (naturais, inteiros, racionais e irracionais). Quando desenvolvemos uma 
potência, um número é multiplicado uma, duas ou inúmeras vezes por ele mesmo.
an = a . a . a . …
n vezes
O estudo da potenciação permite percebê-la como uma ferramenta 
fundamental para que se possa avançar no pensamento matemático. Além de 
ajudar na resolução e solução de operações, facilita a representação de números 
muito grandes ou muito pequenos de maneira mais objetiva. Conhecer as regras de 
potenciação é, nesse sentido,pré-requisito para avançar no estudo de conceitos e 
operações matemáticas, além de outras áreas do conhecimento.
Na multiplicação 3 . 3 . 3, você observa que todos os fatores são iguais. Essa 
mesma representação pode ser abreviada:
3 . 3 . 3 = 33 = 27
Logo:
33 = 27
expoente
potência
base
Encontra-se a aplicação desse conceito em relatórios de pesquisas científicas 
e estudos especializados. Observe estes exemplos:
a) 5.820.000 podemos representar com a notação: 5,82 . 106.
b) 0,00019 pode ser representado do seguinte modo: 1,9 . 10–4.
É possível utilizar a ideia de potenciação também no cálculo de juros em 
operações financeiras, nas quais o tempo avaliado é sempre representado por uma 
potência na fórmula.
Vídeo
Fundamentos de matemática básica 11
1.2.1 Propriedades da potenciação
A potenciação tem um conjunto de propriedades que devem ser utilizadas para a resolução 
das operações. As propriedades tornam mais simples algumas operações que envolvem as potências.
O filósofo Arquimedes, que viveu no século III a.C., já lançava mão dos conceitos de 
exponenciação para especular sobre medidas relativas ao universo. Os estudos evoluíram durante 
séculos e, hoje, as propriedades da potenciação são aplicadas em estudos avançados. Por meio do 
estudo de um ramo da geometria chamado fractal, por exemplo, foi possível descrever a retina em 
minúsculas partes associadas e, com base nesses desenhos precisos, instrumentalizar a medicina 
para fazer cirurgias utilizando raios laser e elevando a possibilidade de recuperação parcial ou total 
da visão.
A seguir, apresentamos as propriedades da potenciação:
a) Um número natural elevado ao expoente 1 será sempre igual a ele mesmo. Exemplo: 
51 = 5
b) Um número natural não nulo elevado ao expoente zero será sempre igual a 1. Exemplo: 
80 = 1
c) Potência de base 1 será sempre igual a 1. Exemplo: 14 = 1
d) Toda vez que o expoente for negativo, significa que haverá uma troca de posição entre o 
numerador e o denominador.
 Exemplo: 5 1
5
1
125
3
3
� � �
e) Potência negativa no denominador se transformará em numerador quando trocar o sinal 
dessa potência.
 Exemplos: 1
7
73
3
�
� 
3
5
3 53
3
�
� �
f) Base 10: resulta no numeral formado pelo algarismo 1 mais o total de zeros de acordo 
com as unidades do expoente.
 Exemplo: 104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10.000
g) Quadrado perfeito: quando o produto é formado por dois fatores iguais.
 Exemplos: 52 = 5 . 5 = 25 92 = 9 . 9 = 81
 Produto de potências de mesma base: devemos conservar a base e somar os expoentes. 
Exemplo: 52 . 54 = 52 + 4 = 56 = 15.625
Para dividir potências de mesma base, não nula, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes. Exemplo: 56 : 54 = 56 – 4 = 52 = 25
Para elevar uma potência a um novo expoente, o que chamamos de “potência da potência”: 
conserve a base e multiplique os expoentes. Exemplo: (64)3 = 64 . 64 . 64 = 612 = 2176782336
Matemática aplicada12
As propriedades da potenciação, como vimos, simplificam muito as operações numéricas 
e facilitam o avanço nos estudos das expressões e equações em temas como a radiciação, que será 
nosso próximo assunto.
1.3 Radiciação
A operação inversa à potenciação se chama radiciação. Por meio das principais 
propriedades da radiciação é possível resolver com mais facilidade exercícios que 
envolvem raízes.
Exemplo: 72 = 49 ∴ 49 = 7
a bn = n = índice a = radicando b = raiz
Como a raiz é quadrada, não precisamos colocar o algarismo 2 no radical.
A radiciação é uma operação matemática para definir o valor de um número 
que, ao ser multiplicado por ele mesmo uma ou inúmeras vezes, se transformará 
em outro número. Sabemos, por exemplo, que a raiz quadrada de 16 é 4, pois se 
multiplicarmos o número 4 por ele mesmo, seu resultado será 16. Nesse caso, temos 
um quadrado exato ou perfeito. Caso a intenção seja extrair a raiz de um número não 
inteiro, como 16,7, teremos como resultado um número decimal.
1.3.1 Propriedades da radiciação
Como vimos nas operações de potência, nas operações de radiciação 
também temos propriedades importantes que facilitarão cálculos mais complexos, 
principalmente quando é necessário simplificar radicais.
As primeiras propriedades da radiciação aparecem em estudos antigos, do 
século IV a.C., e muitos acreditam que o símbolo original era r, letra inicial da 
palavra radix, em latim. Vejamos essas propriedades:
a) Índice par: quando o radicando é positivo resulta em número positivo. 
Para radicandos negativos, não existe raiz real.
 Exemplos: 16 4= −16
 Temos resultado Não existe
Não há nenhum quadrado perfeito que resulte –4, por isso não é possível 
extrair a raiz.
b) Índice ímpar de uma raiz: para radicando positivo, a raiz também é positiva. 
Exemplo: 64 43 =
 Para radicando negativo, o resultado mantém o sinal do radicando. Exemplo: 
� � �64 43
c) Expoente fracionário: quando há uma fração no expoente, transforma-se 
em raiz, na qual o numerador é o índice do radical e o denominador é a 
potência do radicando.
Vídeo
Fundamentos de matemática básica 13
 Exemplos: 5 5 6 6 6 6 6
3
5 35
1
2 0 5
1
2= = = =,
d) Exemplos de propriedades especiais: 6 0 0 1 1 4 45 33� � � �
e) Exemplos de radical de um produto e radical do quociente: basta fazer o produto ou a 
divisão, mantendo-se o mesmo radical.
4 5 4 5
3
5
3
5
8 8 8
3 3 3
3
3
3
612 6 612 6
� � �
�
� �:
:
f) Exemplos de simplificação, adição e subtração de radicais semelhantes: basta fazer a 
decomposição para simplificar ao máximo a operação.
576 2 3 2 3 24
5 2 5 1 2 5 3 5
6 5 3 5 6 3 5 3 5
6 2 3
3 3 3 3
3 3 3 3
� � � � �
� � �� �� �
� � �� �� �
g) Exemplo de potência de um radical: 5 6 5 6 25 363
2
2 23 3� � � � �
h) Exemplo de radical de radical: 7 7 72 2 2 8� �� �
i) Exemplo de racionalização de denominadores de índice 2: 5
3
5 3
3 3
5 3
9
5 3
3
�
�
�
� �
De todas as propriedades apresentadas, duas são mais complexas e muito importantes. A 
primeira é a propriedade radical de radical e a segunda, a de racionalização de denominadores de índice 
2. Essas propriedades permitem simplificar as expressões e tornar suas resoluções mais eficientes.
1.4 Razão e proporção
Para que exista uma razão, se faz necessário associar pelo menos dois números. 
E é importante que sejam diferentes de zero. A razão ocorre quando comparamos 
essas duas ou mais medidas e simplificamos ao máximo os valores dessas relações. 
Os resultados podem ser expressos em porcentagem ou em números decimais.
As razões e proporções podem ser grandezas diretas, inversas ou recíprocas. 
Significa que podem representar grandezas equivalentes, grandezas de mesma 
espécie ou grandezas de espécies diferentes. Na matemática aplicada, os conceitos 
de razão e proporção são utilizados em operações que envolvam finanças, 
proporcionalidade, muitas variáveis ou áreas mais especializadas, como a estatística.
Vídeo
Matemática aplicada14
1.4.1 Razão
Razão, do latim ratio, significa divisão. São várias as situações na matemática em que se 
utiliza o conceito de razão. Exemplos:
a) Para cada 180 passageiros, 90 eram mulheres. Logo: 90 : 180, um para dois.
b) De 1.600 ingressos, 400 eram para a plateia VIP. Logo, 400 : 1.600, um para quatro.
Então, 400 : 1.600, o antecedente é 400 e o consequente é 1600.
• Razões inversas
Observamos que, ao multiplicarmos uma razão e o seu inverso, sempre resultará em 1.
4
5
5
4
1� �
• Razões equivalentes
As razões equivalentes podem ser obtidas por produto ou divisão.
 ...×2...
2
4
4
8
=
 ... ×2 ...
... :2 ...
2
4
1
2
=
... :2 ...
• Grandezas de mesma espécie
Vemos que é possível relacionar grandezas representadas na mesma unidade.
Altura do armário 1 → 180 cm, logo, 1,8 m → 1
Altura do armário 2 → 540 cm, logo, 5,4 m → 3
• Grandezas de espécies diferentes
As grandezas se apresentam em unidades de medidas diferentes, mas mantêm correlação.
Distância → 180 km
Gasolina gasta → 18 litros
180
18
10= km/l
Logo, a razão será 10 quilômetros por litro.
Vejamosoutro exemplo: a distância de 750 km é percorrida por um avião em 5 horas. Qual 
a razão entre essas grandezas?
750
5
150km
h
km h= /
Fundamentos de matemática básica 15
1.4.2 Proporção
É uma igualdade entre duas razões. Quando observamos quatro números racionais a, b, c 
e d, não nulos, é certo que formam uma proporção quando a razão do primeiro pelo segundo for 
igual à razão do terceiro pelo quarto.
Logo, a : b = c : d, onde se lê a está para b, assim como c está para d.
Observe a proporção a seguir, na qual a segunda fração equivale ao dobro do valor da 
primeira.
5
50
10
100
=
Produto dos meios: 50 . 10 = 500
Produto dos extremos: 5 . 100 = 500
• Termo desconhecido na proporção
Normalmente o termo desconhecido é chamado de x.
4
8
20
=
x
4 . x = 8 . 20
4x = 160, logo, x = 40
• Terceira proporcional
Na terceira proporcional, repetimos no terceiro termo o valor do denominador do 
segundo termo e assim completamos a proporção.
10
20
=
20
x
10 . x = 20 . 20
10x = 400
Logo, x = 400 : 10
x = 40
• Quarta proporcional
Em a : b, assim como c : x, indicamos por x a quarta proporcional. Dados os valores 10, 20 
e 12, por exemplo, determinamos a quarta proporcional do seguinte modo:
10
20
20
=
x
10x = 20 . 12
10x = 240, portanto, x = 24 
Grandezas proporcionais
Matemática aplicada16
Grandeza é aquilo que pode ser contado e medido. Superfície, volume, comprimento e 
custo, por exemplo, são grandezas cujas medidas podem ser aumentadas ou diminuídas 
de acordo com a situação apresentada. Diferenciamos as grandezas em diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais, dependendo da relação entre elas. Vejamos 
os exemplos:
a) 10 operários fazem 50 metros de obra, logo, 20 operários farão 100 metros da mesma 
obra.
10 : 50, assim como 20 : 100 (diretamente proporcional)
b) Para fazer uma obra, 10 operários trabalham 8 horas por dia. Se colocarmos 20 operários, 
farão a mesma obra trabalhando 4 horas por dia.
10 : 8, assim como 20 : 4 (inversamente proporcional)
Os cálculos de proporção, como vimos, simplificam e facilitam análises e conclusões sobre 
grandezas. São, também, pré-requisitos para o entendimento da próxima seção.
1.5 Regra de três
As referências a regra de três são muito antigas, as primeiras menções a 
esses estudos apareceram na China e no Egito há mais de 3.000 anos. Em 1203, 
o matemático italiano Leonardo Fibonacci apresentou os primeiros estudos 
estruturados a respeito do uso e da importância da regra de três como decorrentes 
do conteúdo apresentado sobre razão e proporção.
A regra de três é um processo matemático que permite resolver problemas, 
no qual duas ou mais grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, 
considerando definir um valor por meio de valores conhecidos (regra de três 
simples) ou, no caso da regra de três composta, um valor por meio de inúmeros 
valores e variáveis conhecidas.
• Regra de três simples
Essa regra de três, temos quatro valores e conhecemos três. O quarto valor, 
portanto, será determinado a partir de três já conhecidos. Exemplos:
1. Em 5 casas de mesma metragem gastam-se R$ 100,00 de energia 
elétrica. Aumentando o número de casas para 8, quanto será gasto 
aproximadamente?
5
100
8
=
x
5x = 100 . 8 ∴ 5x = 800
x = 800
5
x = R$ 160,00
Vídeo
Fundamentos de matemática básica 17
2. Considere que 8 operários constroem um barracão em 20 dias. Diminuindo-se o número 
de operários para 4, quantos dias eles levarão para fazer o trabalho, considerando o 
mesmo ritmo?
8 operários gastam 20
4 gastam x
Na tabela a seguir, observe que se diminuirmos o número de operários, teremos de aumentar 
os dias de trabalho, resultando em uma relação inversa.
Tabela 1 – Relação entre operários e dias
Operários Dias
8 20
4 X
Fonte: Elaborada pelo autor.
Logo, 4x = 20 . 8
4x = 160
x = 40 dias
• Regra de três composta
É chamada de composta quando envolve mais de duas grandezas direta ou inversamente 
proporcionais. Pode ter um grande número de variáveis para serem observadas. Vejamos um 
exemplo.
Considere que 10 operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem 1.000 metros de asfalto em 5 
dias. Aumentando-se o número de operários em 20%, trabalhando 6 horas por dia, durante 8 dias, 
quantos metros de asfalto, aproximadamente, os operários farão?
Para a resolução, observe que temos quatro grandezas – operários, horas, metragem e dias –, 
conforme tabela a seguir.
Tabela 2 – Relação entre quatro variáveis
Operários Horas Metragem Dias
10 8 1.000 5
12 6 x 8
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como a incógnita x está na unidade de medida metro, todas as observações serão feitas com 
base nessa medida.
• Se fazem 1.000 metros de asfalto em 5 dias, em 8 dias farão mais (direta).
• Se fazem 1.000 metros de asfalto em 8 horas, em 6 horas farão menos (direta).
• Se fazem 1.000 metros de asfalto com 10 operários, com 12 operários farão mais (direta).
Matemática aplicada18
Dessa forma, podemos estabelecer a seguinte relação:
1 000 10
12
8
6
5
8
.
x
� � �
Portanto,
1 000 400
576
1 440
.
.
x
x metros
=
=
Os estudos de regra de três simples e composta foram essenciais para compreendermos que 
na maioria das operações matemáticas há um elemento desconhecido, geralmente denominado 
x. É a incógnita do problema. À medida que encontrávamos essa incógnita x na regra de três, o 
problema estava solucionado.
Nos próximos temas abordados neste livro, as incógnitas estarão muito presentes. São elas que 
permitem equacionar as situações-problema e estabelecer relações de igualdade. Os conhecimentos 
obtidos no estudo da regra de três, então, permitem aprofundar conceitos matemáticos.
1.6 Equações do primeiro grau
Por que estudar equações do primeiro grau? As equações fazem parte não 
só da matemática, mas de muitas outras áreas do conhecimento – engenharia, 
economia, ciências ambientais, biologia, química e até mesmo arte. São importantes, 
então, para a construção do saber.
Toda sentença matemática aberta que revela uma relação de igualdade é uma 
equação. No latim, o prefixo equa significa igual. Para ser uma equação do primeiro 
grau é necessário que a sentença tenha também pelo menos uma incógnita, e que 
essa incógnita esteja elevada ao expoente 1, isso é, que seja de grau 1 ou primeiro 
grau.
Por essa razão, são equações muito simples e de fácil resolução. Na equação 
a seguir, a incógnita é definida pela letra x. Exemplo: 8x + 7 = 10. Vale ressaltar que 
não importa a letra utilizada para representar a incógnita, e sim que ela indica um 
valor desconhecido.
Outro ponto importante é que, por ser uma igualdade, as incógnitas deverão 
ser separadas dos valores numéricos pelo sinal de igual. É necessário, então, o 
cuidado de lembrar que o sinal de igualdade representa uma balança em equilíbrio: 
toda operação realizada de um dos lados da equação deverá ser realizada do outro, 
para não afetar o equilíbrio e o resultado. Exemplo:
2x + 7 = x + 10
Todos os termos x ou acompanhados por x (incógnitas) ficarão agrupados de 
um lado. O sinal de igual os manterá ligados ao outro lado.
2x + 7 (–7) = x + 10 (–7)
Vídeo
Fundamentos de matemática básica 19
2x = x + 10 – 7
2x (–x) = x +10 – 7 + (–x)
2x – x = 10 – 7
Perceba que, ao ajustar alguns termos como +7 e x, os termos com incógnitas ficaram à 
esquerda e os termos numéricos, à direita. Os sinais desses termos também se inverteram, pois 
realizamos as operações inversas de cada um.
Resolver uma equação significa fazer uma série de operações. Essas operações tornam-se 
cada vez mais simples e possibilitam definir os elementos ou as raízes da equação. Vejamos alguns 
exemplos de resolução de equações do primeiro grau com uma incógnita:
a) 8x – 6 = 3x – 1
 8x – 3x = 6 – 1
 5x = 5
 x = 1
b) 5
3
2 2
3
x x� � �
 
5 6 3 2
3
x x� � �
 2x = 8
 x = 4
Agora, observemos a equação:
2x + 8 = 3y – 4
Essa é uma equação de primeiro grau com duas incógnitas, x e y. Esse modelo de equação 
pode ser representado na forma de ax + by = c, sendoque os números a e b são diferentes de zero. 
Nessa equação, temos:
x e y = incógnitas b = coeficiente de y
a = coeficiente de x c = termo independente
Para resolver uma equação com duas incógnitas, x e y, é necessário que uma das incógnitas 
tenha seu valor atribuído.
Por exemplo: dada a equação do primeiro grau com duas incógnitas 5x + 3y = 13, encontre 
o valor de y quando x assumir valor igual a 2.
5x + 3y = 13
5 . 2 + 3y = 13
10 + 3y = 13
3y = 13 – 10
Portanto, 3y = 3 = 1
Matemática aplicada20
1.6.1 Sistemas do primeiro grau
Quando correlacionamos duas equações do primeiro grau e suas incógnitas são estudadas 
ao mesmo tempo, temos um sistema. São chamados sistemas, pois as equações não podem ser 
estudadas individualmente e, para revelar essa dependência entre elas, usamos sempre uma chave. 
Os sistemas são muito utilizados em engenharia, nas ciências agrárias, nos problemas de pesquisas 
operacionais em administração e em outras áreas do conhecimento.
A fim de resolver um sistema do primeiro grau, é necessário encontrar valores para as 
incógnitas que satisfaçam ao mesmo tempo todas as equações. Existem alguns modelos para 
solucionar sistemas do primeiro grau; os mais comuns são os métodos da adição e da substituição. 
Vamos conhecê-los por meio do exemplo a seguir.
Em um concurso público, um candidato acertou inúmeras questões que 
valiam dois pontos e outras que valiam três pontos. No total, acertou 26 
questões e marcou 58 pontos. Esse candidato acertou quantas questões 
de valor três pontos?
x + y = 26 → questões certas
2x + 3y = 58 – pontos de acertos
Sempre indicamos o sistema por meio de uma chave:
x + y = 26
2x + 3y = 58
• Resolução pelo método da substituição:
 Determinamos o valor de x → x = 26 – y
 Agora substituímos na segunda equação:
 2 . (26 – y) + 3y = 58
 52 – 2y + 3y = 58
 y = 6
Substituindo o valor de y, é possível saber quantas questões de dois 
pontos foram acertadas:
 x + y = 26
 x + 6 = 26
 x = 26 – 6
 Logo, x = 20 questões.
• Resolução pelo método da adição:
x + y = 26
2x + 3y = 58
Fundamentos de matemática básica 21
Escolhemos o valor –2 para multiplicar a primeira equação, pois nesse 
método se faz necessário que uma das duas incógnitas tenha o mesmo 
valor numérico, porém com sinal oposto:
–2x – 2y = –52
2x + 3y = 58
+ 
 _________________
 –2y + 3y = –52 + 58
 y = 6
 –2y e +3y resultam em y e –52 + 58 resultam em 6.
 Logo, y = 6 e, substituindo em uma das equações, temos x = 20.
 Vamos observar:
 x + y = 26
 x + 6 = 26
 x = 26 – 6
 x = 20
É possível também resolver sistemas do primeiro grau nos quais alguns valores são 
representados na forma de frações ou na forma decimal. A resolução é semelhante aos exemplos 
apresentados.
1.6.2 Inequações do primeiro grau
Toda sentença matemática aberta por uma desigualdade é chamada de inequação. As 
inequações do primeiro grau com uma variável podem ser representadas das seguintes formas:
ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0
Os números a e b devem ser reais e diferentes de zero. Os símbolos utilizados são: maior >, 
menor <, maior ou igual ≥ e menor ou igual ≤. Importa compreender que, enquanto as equações 
são igualdades, as inequações fazem exatamente o papel inverso. Exemplos:
 5x – 4 > 0 3x – 9 ≤ 0
5
3
8 0x � �
Vamos observar uma aplicação:
Pedro tem duas vezes a idade que Marcelo terá daqui a 8 anos, mas a idade de Pedro não 
supera o triplo da idade de Marcelo. Quantos anos Pedro tem?
Matemática aplicada22
Resolução:
x é a idade de Marcelo
2(x + 8) é a idade de Pedro
Temos ainda que a idade de Pedro não supera o triplo da idade de Marcelo:
3x ≥ 2(x + 8)
3x ≥ 2x + 16
3x – 2x ≥ 16
x ≥ 16
A idade de Pedro é 16 anos ou mais.
1.7 Equações do segundo grau
A diferença fundamental entre uma equação do primeiro grau e uma do 
segundo grau é o expoente. Toda equação do segundo grau terá um termo ao 
quadrado, ou seja, o expoente 2. Pode ser chamada também de equação polinomial 
do segundo grau ou equação quadrática.
As equações do segundo grau têm muitas aplicabilidades. Foram e são 
fundamentais nos estudos da geometria, das progressões matemáticas, da 
engenharia e navegação. Em física, por exemplo, são muito utilizadas nos cálculos 
para lançamento de projéteis. Bháskara, Sridhara e Bramagupta, na Índia, criaram 
a fórmula matemática, e o francês François Viète criou o método resolutivo, com 
símbolos e letras.
Uma equação na forma ax2 + bx + c = 0, sendo a ≠ 0, é denominada equação 
de segundo grau. Vejamos alguns exemplos:
2x2 + 7x – 5 = 0 (forma completa ou normal)
Onde:
a = 2
b = 7
c = –5
5x2 – x = 0 (forma reduzida)
Onde:
a = 5
b = –1
c = 0
2x2 – 48 = 0 (forma reduzida)
Onde:
Vídeo
Fundamentos de matemática básica 23
a = 2
b = 0
c = –48
Uma equação completa apresenta sempre três termos:
a = coeficiente x2
b = coeficiente x
c = termo independente
Nas equações incompletas, há os termos a e b ou os termos a e c. Nesses casos, a resolução 
será muito mais simples, como veremos a seguir.
• Raízes da equação do segundo grau completa
Quando resolvemos uma equação do segundo grau, estamos de fato buscando suas raízes. As 
raízes são os números reais que substituirão as incógnitas de uma equação, chamadas de conjunto 
verdade ou conjunto solução.
Para solucionar equações completas do segundo grau podemos utilizar a Fórmula de 
Bháskara, que é dada por:
x b
a
�
� � � �
2
Sendo que ∆ = b2 – 4ac
Como exemplo, vamos resolver a equação: x2 + 3x – 10 = 0. Consideremos a = 1, b = 3 e 
c = –10.
∆ = b² – 4ac
3² – 4 . 1 . (–10) = 9 + 40 = 49
x � � � � �3 49
2
49
x ’� � � �3 7
2
2   x " �
� �
� �
3 7
2
5
Agora vamos observar outras resoluções possíveis para equações incompletas.
Dada a equação x2 – 49 = 0, em que a = 1 e c = 49, temos:
x2 = 49
x = 49
x = +– 7
Matemática aplicada24
Dada a equação x2 – 12x = 0 , em que a = 1 e b = 12. Coloque x em evidência, pois é o fator 
comum a todos os termos:
x (x – 12) = 0
Logo, x' = 0 ou x – 12 = 0
x" = 12
Quando os coeficientes não são dados pelos tradicionais a, b e c, mas usadas outras letras 
ou símbolos, as equações são chamadas de literais. Suas raízes serão calculadas em função de outra 
letra, que poderá assumir diferentes valores. Exemplo:
4x2 – 16j2 = 0
x2 = 4j2
x j= 4 2
x = +– 2j
Hoje, temos programas computacionais que resolvem em segundos equações complexas 
do segundo grau. Geralmente são suplementos em programas de administração, engenharia, 
aeronáutica e astronomia. A evolução dos estudos que envolvem as equações, em especial aquelas 
do segundo grau, permitiram maior precisão nos cálculos e melhora nos resultados de estudos 
científicos.
1.7.1 Equações irracionais
Dentre os principais tipos de equações, a irracional é a mais complexa, porque aliamos todos 
os conceitos já utilizados em equações com os conceitos de potenciação e radiciação, o que torna a 
resolução mais trabalhosa. Toda equação irracional apresenta sempre um radicando e, dentro dele, 
uma incógnita que necessita ser resolvida.
A solução das equações irracionais permitirão resolver problemas que envolvam geometria 
espacial, como cálculos de volumes, geometria descritiva, geometria analítica, diferencial e estudos 
de engenharia.
Para resolver uma equação irracional, o primeiro passo é tentar transformá-la em uma 
equação racional. Isso acontece quando elevamos todos os elementos da equação a uma potência 
viável. Transformada em uma equação racional, é hora de obter as raízes da equação e ver se podem 
ser aceitas ou não, ou seja, verificar as igualdades. Exemplos:
a) x � �19 9
Solução:
x �� � �19 92 2
x + 19 = 81
x = 81 – 19
x = 62
Verificação: 
62 19 81 9� � �
Logo, V = (62)
Fundamentos de matemática básica 25
Observe que, à esquerda, temos a solução da equação obtendo o valor de x. À direita, 
fazemos a prova real e vemos que o número que realmente satisfaz a equação é 62. A verificação 
tem o objetivo de validar ou não os resultados.b) 6 0� � �x x
Solução:
6
6
2 2
� � �
�� � � �� �
x x
x x
6 – x = –x2
x2 + x – 6 = o
x' = 2 x" = –3
Verificação:
6 2 2 0
4 0
4 2 0 2 2 0
6 3 3 0
9 3 0 3 3 0
� � �� � �
� � �
� � � � �
� �� � � �� � �
� � � � � � �
F
V
Logo, V = {–3}; note que 2 é uma raiz que não satisfaz essa equação irracional. Isso porque, 
quando fazemos a verificação dos resultados à direita, observamos que os valores não representam 
os resultados das raízes da equação.
1.7.2 Sistemas do segundo grau
Vimos nesse capítulo como são estruturados e resolvidos os sistemas do primeiro grau, 
formados apenas por equações do primeiro grau ou de grau 1. Agora vamos resolver os sistemas 
do segundo grau.
Na matemática aplicada, os sistemas do segundo grau são utilizados para a resolução de 
problemas que envolvam duas ou mais incógnitas. Podem ser aplicados na solução de exercícios 
de raciocínio lógico quantitativo, progressões geométricas e aritméticas, correlações lineares e 
quadráticas, entre outras necessidades.
Os sistemas do segundo grau podem envolver não apenas equações do segundo grau, mas 
também do primeiro grau. Quando representados graficamente, se envolverem somente equações 
do segundo grau, teremos parábolas. Se houver uma equação do primeiro grau, teremos parábola 
e reta.
Exemplo:
x2 + y2 = 10 → equação do segundo grau
x + y = 4 → equação do primeiro grau
Para a solução, o primeiro passo é isolar x ou y em uma das equações. Escolhemos a segunda 
equação pela simplicidade, pois teremos que usá-la em um processo de substituição.
x = 4 – y
Matemática aplicada26
Substituindo na primeira:
x2 + y2 = 10
(4 – y)2 + y2 = 10
(4)2 – 2 . 4 . y + (y)2 + y2 = 10
16 – 8y + 2y2 – 10 = 0
6 – 8y + 2y2 = 0
Podemos dividir toda a equação por 2, tendo:
y2 – 4y + 3 = 0
Agora devemos resolver normalmente a equação do segundo grau:
y = 4 4
2
� �
y' = 3 e y" = 1
Para determinar o valor de x, substituímos na outra equação:
Para y = 3
x = 4 – y
x' = 4 – 3
x' = 1
Para y = 1
x = 4 – y
x" = 4 – 1
x" = 3
Logo, teremos como solução os pares ordenados: {(3; 1) e (1; 3)}.
Como exemplo, vamos determinar dois números cuja soma é igual a 1 e o produto é igual 
a –12:
x + y = 1 e x . y = –12
Substituindo: x = 1 – y
Logo, (1 – y) . y = –12
y – y2 + 12 = 0
Multiplicamos por –1:
y2 – y – 12 = 0
y’ = 4 e y’’ = –3
Para y = 4
x = 1 – y
x’ = 1 – 4
x’ = –3
Fundamentos de matemática básica 27
Para y = –3
x = 1 – y
x’’ = 1 – (–3)
x’’ = 1 + 3
x’’ = 4
Solução = {(–3; 4) e (4; –3)}
Para saber um pouco mais
Boyer e Merzbach (2012), em sua obra História da matemática, descreve 
que Bháskara contribuiu muito para a matemática e a astronomia. Foi 
um dos mais importantes cientistas do século XVII, inclusive chefiou 
um laboratório de astronomia na Índia. Bháskara teria criado inúmeras 
fórmulas que envolviam conhecimentos de matemática e física, sendo 
uma das mais conhecidas a utilizada para encontrar as raízes de uma 
equação quadrática. Em alguns países como França, Inglaterra e Grécia, 
contudo, há controvérsias que apontam outros matemáticos como 
responsáveis pelo desenvolvimento dessa teoria, como François Viète e 
René Descartes. Vale a pena, a quem atua na área, conhecer a história da 
matemática e suas referências.
Considerações finais
Todos os conceitos apresentados nesse capítulo compõem os fundamentos necessários 
para o início dos estudos de matemática aplicada. Além de conhecê-los e entender suas 
aplicabilidades, é importante exercitá-los. Os exercícios ajudarão a diferenciar e fixar os 
diversos modelos, identificar as propriedades, os casos especiais e formar, assim, uma boa 
base matemática.
Ampliando seus conhecimentos
Cada vez mais o acesso aos conteúdos de matemática é facilitado com a entrada de 
novos autores, novas metodologias e recursos visuais. A internet é uma fonte excelente 
de pesquisa, com textos e vídeos preparados pelos professores para facilitar a ampliar 
a aprendizagem. A seguir, algumas dicas relacionadas aos assuntos abordados para seu 
aprofundamento.
• SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/. Acesso em: 22 
ago. 2019.
Matemática aplicada28
Nesse site você encontrará um conjunto de vídeos sobre potenciação e radiciação, com 
conceitos, aplicações e muitos exercícios resolvidos. É recomendável explorar os materiais 
disponibilizados.
• FUNDAMENTOS da matemática elementar. São Paulo: Editora Saraiva. (Coleção)
Coleção interessante para pesquisa, sempre atualizado e enriquecido com conceitos e 
novos exercícios.
• BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. Trad. de Helena Castro. 
São Paulo: Editora Blucher, 2012. (Tradução da 3. ed. Americana).
Obra de referência para conhecer os matemáticos citados nesse capítulo e suas 
contribuições, em especial para o estudo das equações.
Atividades
1. Faça a redução a uma potência:
a) [(–53)4]
b) 2
7
2 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2. Resolva as expressões a seguir:
a) [42 + (6 – 3)2] : (10 – 5)2
b) [(–32)2]
c) 43 : 4 . 44 : 4 . 45 : 4 : 46 – 4
d) 4 4 2 4−
e) 1
6
6
4
2⋅
f) 1 493 +
g) 16 54
125
33
3
+
h) 10 6
5 3
3. Resolva as equações do primeiro grau a seguir:
a) 1
5
2 3
2
7x x� � � �
Fundamentos de matemática básica 29
b) 16
5
7 7
4
3x x� � �
c) 20 4 20y x� � , sendo y = 8
4. Ao fazer a soma das despesas do mês, Pedro somou duas vezes algumas contas da padaria, 
apresentando um gasto de R$ 634,00. Se ele não tivesse cometido esse engano, o valor 
encontrado seria de R$ 498,00. Portanto, qual é o valor correto dos gastos?
5. A soma das idades de Pedro e João é de 64 anos. Sabendo que a idade de João é o triplo da 
idade de Pedro, qual é a idade de cada um deles?
6. Resolva os sistemas e inequações do primeiro grau:
a) x + y = 14 e 2x + 3y = 48
b) 3x + 4y = 51 e x – y = 10
c) 3(1 – 2x) < 2(x + 1) + x – 7
7. Resolva os exercícios de proporção e regra de três simples e composta.
a) Considere que 10 operários, trabalhando 7 horas por dia durante 15 dias, constroem 
300 metros de um muro com nível de dificuldade 2. Se aumentarmos o nível de 
dificuldade para 3, com 12 operários trabalhando 8 horas por dia, durante 12 dias, 
quantos metros de muro aproximadamente serão feitos?
b) Uma fábrica produz lotes de 500 aparelhos de ar-condicionado por mês, trabalhando 
com 20 operários durante 30 dias, 7 horas por dia. Se a fábrica aumentar a produção para 
600 aparelhos e diminuir o prazo para 20 dias, 35 operários teriam de trabalhar quantas 
horas?
8. Resolva as equações irracionais e os sistemas do segundo grau:
a) 9 14 2x � �
Determine o valor de x.
b) 2 3 5x x� � �
Determine o valor de x.
c) x y2 2 20� �
 x + y = 6
2
Estudo dos conjuntos
Começamos este capítulo com a seguinte indagação: por que estudar a teoria dos conjuntos?
O estudo da teoria dos conjuntos é um dos primeiros conteúdos apresentados no ensino 
médio. Apesar de parecer simples, sua compreensão formará a base para o entendimento dos 
conteúdos seguintes, como as funções.
A maioria dos temas da matemática evoluiu a partir dos estudos de muitos pesquisadores. 
No caso específico da teoria dos conjuntos, seu início, em meados de 1850, envolveu pesquisas de 
vários matemáticos na Inglaterra, França e Índia principalmente, culminando na publicação de um 
artigo por Georg Cantor, que se tornou referência na área. Segundo Cantor (1874), um conjunto “é 
uma coleção de objetos claramente distinguíveis uns dos outros, chamados elementos, e que pode 
ser pensada como um todo”. Por sua relevância, esse artigo influenciou outros estudiosos em toda 
a Europa.
Em seus estudos, Cantor provou, por exemplo, que uma coleção de números reais e uma 
coleção de números inteiros positivos não são contáveis, mas ordenáveis1. Assim, a partir dessas 
novas ideias, os conceitos de progressões aritméticas e geométricas foram revistos. Neste capítulo, 
portanto, veremos a definição e importância da teoria dos conjuntos.
2.1 Conceitos fundamentais
Por volta de 1900, a teoria dosconjuntos de Georg Contor evoluiu para uma 
série de estudos paralelos cheios de paradoxos e contradições estudados até hoje. 
Por paradoxo compreendemos um pensamento que reavalia o senso comum, as 
definições e expectativas. Tornam-se, por isso, argumentos críticos interessantes que 
impulsionam os estudos de lógica e filosofia, incluindo a matemática.
Em 1901, o filósofo e matemático Bertrand Russel demonstrou um paradoxo 
que expôs diretamente uma falha nos fundamentos da teoria dos conjuntos. 
Enquanto esse fundamento indicava que um conjunto pode conter sempre outros 
conjuntos, inclusive a si mesmo, Russel provou que essa não era uma verdade para 
todos os conjuntos, o que levou os cientistas a repensarem a lógica moderna.
Para melhor compreender o que são conjuntos, podemos pensar em 
exemplos como o conjunto de aviões de uma companhia aérea ou o 
conjunto das árvores de uma floresta tropical.
1 John O’Connor e Edmund Robertson (1998) descrevem detalhadamente esse período histórico, entre outros da 
matemática, em seu projeto MacTutor History of Mathematics Archive, que reúne informações de pesquisadores 
relevantes na área. Disponível em: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/. Acesso em: 2 set. 2019.
Vídeo
Matemática aplicada32
2.1.1 Relações entre elemento, pertinência, inclusão e simbologia
Para avaliar se um elemento também pertence ou não a um conjunto que se compõe de 
outros elementos com as mesmas características, são úteis as relações de pertinência e inclusão em 
conjuntos. A seguir, apresentamos ambas as relações.
Relação de pertinência
Segundo Iezzi e Murakami (2013), a noção de pertinência entre elemento e conjunto é 
chamada de conceito primitivo e não necessita de definição. Para demonstrar que um elemento 
pertence a um conjunto, usamos o símbolo (pertence). Se esse elemento não pertencer a um 
conjunto, no entanto, indicamos pelo símbolo (não pertence). Ainda nas relações de pertinência, 
encontram-se as definições de (existe) e (não existe).
Resumindo, podemos dizer que elemento é um dos itens que compõem o conjunto – 
peroba, por exemplo, é um elemento do conjunto de árvores de uma floresta – e pertinência é a 
característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Vejamos:
• José Pedro pertence ao conjunto dos alunos de um curso.
• Dentre os ossos do corpo humano, existe um de nome esterno.
Relação de inclusão
A relação entre conjuntos é chamada de inclusão. Utilizamos a relação de inclusão para 
demonstrar quando todos os elementos de determinado conjunto pertencem ou não a outro 
conjunto. Para isso, existem os símbolos de inclusão:
 : está contido
 : não está contido
 : contém
: não contém
É válido observar que as relações de pertinência só ocorrem entre um elemento e um 
conjunto, e as relações de inclusão só ocorrem entre conjuntos.
Há uma simbologia bastante ampla no estudo da teoria dos conjuntos, sendo importante 
conhecê-la. Existem também os elementos de complementação que simplificam frases, palavras ou 
expressões, a saber:
 : para todo ou qualquer que seja
|: tal que
É interessante observar o volume de símbolos que compõem a teoria dos conjuntos. Isso 
talvez torne o entendimento de toda a teoria e aplicabilidade um pouco mais complexo. Além dos 
símbolos de pertinência, inclusão e complementares, temos os símbolos operacionais e os símbolos 
que definem cada conjunto. Vejamos, a seguir, os símbolos das operações com conjuntos.
Estudo dos conjuntos 33
Figura 1 – A B: A união B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 2 – A B : A intersecção B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 3 – A – B: Diferença de A com B*
A
B
*A figura também pode ilustrar a diferença de B com A (B – A).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Esses símbolos são utilizados na comparação entre quantidades de elementos de diferentes 
conjuntos observados ao mesmo tempo. São também chamados de elementos lógicos. A seguir, 
dada a sua relevância, apresentamos os símbolos comparativos de elementos entre conjuntos. 
a < b: a menor que b
a ≤: a menor ou igual a b
a > b: a maior que b
a ≥ b: a maior ou igual a b
Para complementar o estudo e aplicações dos símbolos na teoria dos conjuntos, vamos 
identificar cada tipo de conjunto numérico e suas características principais.
Matemática aplicada34
Quadro 1 – Conjuntos numéricos e características
Símbolo Característica
N
Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
O número zero é o primeiro elemento desse conjunto. O sucessor de cada número nesse conjunto é 
igual à soma dele mesmo com uma unidade, ou seja, o sucessor de 3 será 4, pois 3 + 1 = 4.
Para representar o conjunto dos números naturais não nulos (ou seja, diferentes de zero), deve-se 
colocar um * ao lado do símbolo: N*.
Z
Conjunto dos números inteiros: {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}
Os números negativos, junto com os números naturais, formam o conjunto dos números inteiros.
Q
Conjunto dos números racionais: { ..., –1, –1, 2, 0, 1, 5/4…}
Dividindo um número inteiro por outro número inteiro, tem-se um número racional. Um número 
racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária.
A letra Q vem da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um 
quociente de dois números inteiros.
Q’= I
Conjunto dos números irracionais: { ..., v2, v3, 3,1416...}
Não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais, mas 
não racionais. Esses números possuem  infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem 
periodicamente. O número irracional mais conhecido é o pi (π).
R
Conjunto dos números reais: N Z Q I
O conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais e irracionais, e indicado 
por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R* é usado para 
representar o conjunto dos números reais não nulos:
R* = R – {0}
Fonte: Iezzi; Murakami, 2013, p. 172-179.
2.2 Tipos especiais de conjuntos
Além dos conjuntos numéricos, encontram-se nomenclaturas específicas 
para tipos especiais de conjuntos, como os destacados a seguir.
Conjunto vazio
É o conjunto representado por Ø ou {}, e não possui elementos.
O conjunto vazio também pode ser chamado de conjunto nulo. Deve-se usar 
uma representação simbólica ou outra, nunca as duas juntas.
Subconjuntos
O subconjunto também é um conjunto, entretanto uma característica 
fundamental dele é estar totalmente incluído em outro conjunto qualquer.
De um conjunto podemos obter um ou muitos subconjuntos. Há uma 
maneira simples de calcular o número de subconjuntos presente em um conjunto. 
Imagine que deseja saber quantos subconjuntos de duas cores distintas pode-se 
formar com oito cores; basta calcular: 28, que é igual a 256.
Um método rápido para calcular o número de subconjuntos de um conjunto 
é aplicar 2n, em que n é o número de elementos do conjunto. Se todos os elementos 
Vídeo
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/subconjuntos-numericos.htm
Estudo dos conjuntos 35
de um conjunto que podemos chamar de D pertencerem a outro conjunto que podemos chamar 
de E, então D é um subconjunto do conjunto E, logo, D E. O conjunto vazio, por convenção, é 
subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, Ø D.
Conjunto universo
É o conjunto que possui todos os elementos, de modo que os conjuntos considerados em 
determinado exemplo ou exercício serão subconjuntos de um conjunto maior, chamado conjunto 
universo.
Considere o conjunto A = {2, 6, 7, 8} e o conjunto B = {1, 3, 4, 5, 9}. Nesse caso, temos o 
conjunto universo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se operarmos com as representações, vemos: A 
B – união de conjuntos.
Definimos como união dos conjuntos A e B se os elementos pertencentes a A também 
pertencem a B, isto é, A B = {x / x A ou x B}. Por exemplo:
• Dados dois conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8, 9}, a união será juntar todos os 
elementos de A e B em somente um conjunto (não é necessáriorepetir os elementos 
comuns).
• O conjunto que representará essa união ficará do seguinte modo: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo , então A B = {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9}.
Figura 4 – Representação A B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Outros exemplos:
• Dados os conjuntos B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {1, 3, 5, 7,9} e D = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:
a) B C.
b) B C D.
Solução:
a) B C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.
b) B C D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Para uma representação A B – intersecção de conjuntos –, por sua vez, como intersecção 
dos conjuntos A e B, definimos o conjunto representado por todos os elementos que pertencem a 
A e B simultaneamente, isto é:
A B = { x / x A e x B}
Matemática aplicada36
A intersecção de dois conjuntos equivale a representar somente os elementos que são comuns 
a ambos os conjuntos.
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, podemos concluir que a 
intersecção, representada por A B, será o conjunto {5, 6}, que se compõe de elementos que 
aparecem nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Caso dois conjuntos ou mais não tenham elementos comuns, a intersecção entre eles será 
um conjunto vazio.
Figura 5 – Representação A B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
• Dados os conjuntos A = {0, 1, 5, 7, 9}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos 
definir:
a) A B
b) A C
c) A B D
Solução:
a) A B = {0, 5, 7}
b) A C = {7, 9}
c) A B D = {0}
Definimos como diferença entre A e B (seguindo-se essa ordem) o conjunto representado 
por A – B, formado por todos os elementos de A, mas que não pertencem a B, isto é: A – B = 
{x / x A ou x B}.
Figura 6 – Representação A – B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Estudo dos conjuntos 37
Vejamos um exemplo:
• Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 4, 6}, obtenha:
a) A – B
b) B – A
Solução:
a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5, 7}
b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = { Ø }
Nesse contexto, é importante conhecer o princípio da inclusão e exclusão (para dois 
conjuntos). Esse princípio estabelece a propriedade para calcular o número de elementos da união 
de dois conjuntos A e B, em função do número de elementos de A e de B.
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Definindo:
n(A) = número de elementos do conjunto A;
n(B) = número de elementos do conjunto B;
n(A B) = número de elementos da intersecção;
n(A B) = número de elementos da união.
Por exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, temos:
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A B = {4, 5, 6, 7}
Pelo princípio da inclusão e exclusão, podemos comprovar que:
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
10 = 7 + 7 – 4 (verdadeiro)
2.3 Produto cartesiano
Chamamos de produto cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados 
(x, y), em que x pertence a A e y pertence a B, formando A . B. Podemos representar 
também da seguinte forma: A . B = {(x, y) / x A e y B}.
Consideremos os conjuntos A = {1, 4} e B = {3, 5, 9}. Temos, então, os pares: 
A . B = {(1,3), (1,5), (1,9), (4,3), (4,5), (4,9)}.
Vídeo
Matemática aplicada38
2.3.1 Gráfico cartesiano
O gráfico é uma forma de representarmos os elementos do produto cartesiano, em que os 
elementos de A pertencerão ao eixo x e os elementos de B, ao eixo y. O gráfico será formado pelos 
pontos que pertencem ao produto A . B.
Considerando, ainda, os conjuntos expostos anteriormente e o produto cartesiano A . B = 
{(1,3), (1,5), (1,9), (4,3), (4,5), (4,9)}, a representação no plano cartesiano será:
Gráfico 1 – Representação A . B
12
10
8
6
4
2
0 2 4
C
B
A
F
E
D
6 8 10 12
Fonte: Elaborado pelo autor.
Ainda, considerando os conjuntos A e B, são possíveis as relações:
B . A = (3,1), (5,1), (9,1), (3,4), (5,4), (9,4)
A . A = (1,1), (1,4), (4,4), (4,1)
B . B = (3,3), (3,5), (3,9), (5,5), (5,3), (5,9), (9,9), (9.3), (9,5)
Vejamos alguns exemplos:
• Considerando os conjuntos A = {1 , 2 , 3} e B = {1, 5}, construa um novo conjunto indicado 
por A . B cujos elementos são pares ordenados formados pelos elementos de A e de B.
Solução:
A . B = {(1,1) , (1,5), (2,1), (2,5), (3,1), (3,5)}
• Dados os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4} e do conjunto B = {2, 3}, como ficam 
A . B e B . A?
Solução:
A . B = {(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3)}
B . A = {(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)}
Estudo dos conjuntos 39
2.3.2 Relações binárias
A relação binária é definida como um subconjunto do produto cartesiano existente entre os 
conjuntos A e B. É sempre um conjunto de pares ordenados, por essa razão chamada binária.
Toda relação binária é um conjunto de pares ordenados, em que o primeiro elemento pertence 
ao conjunto de partida e o segundo elemento pertence ao conjunto de chegada. Por exemplo:
Figura 7 – Relação binária
A
a
b
c
d
A B
a a
b b
c c
d d
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vamos supor o conjunto A = {1, 2} e o conjunto B = {3, 4, 5}, com A, B N. O produto 
cartesiano A . B, nesse caso, será dado por:
A . B = {(1,3); (1,4); (1,5); (2,3); (2,4); (2,5)}
Se representarmos cada ponto de A . B geometricamente no plano cartesiano, também 
chamado de plano (x, y), observamos que essa definição fica mais clara. Isso porque todos os 
pontos desse exemplo serão indicados da seguinte forma:
Gráfico 2 – Relação Binária A = {1, 2} . B = {3, 4, 5}
5
y
x
4
3
2
1
0 1 2
Fonte: Elaborado pelo autor.
Vimos, portanto, que uma relação binária é um conjunto em que todos os pares ordenados 
são pertencentes ao conjunto cartesiano. Importa reforçar ainda que o produto cartesiano é o 
resultado de pares ordenados, nos quais a abscissa deve pertencer ao conjunto A e a ordenada, ao 
conjunto B.
Matemática aplicada40
2.4 Intervalos
Segundo Dante (2013), outra representação dos conjuntos pode ser feita 
com o uso de intervalos, que são subconjuntos do conjunto R, determinados por 
desigualdades. Os intervalos são classificados em abertos e fechados, podendo 
serem representados da seguinte forma:
• Intervalo aberto: ]a,b[ ou {x Є R / a < x < b}
• Intervalo fechado: [a,b] ou {x Є R / a ≤ x ≤ b}
• Intervalo fechado em a e aberto em b: [a,b[ ou {x Є R / a ≤ x < b}
• Intervalo aberto em a e fechado em b: ]a,b] ou {x Є R / a < x ≤ b}
• Semirreta esquerda aberta ou fechada em a: ]– ∞, a[ ou ] – ∞, a]
• Podendo ser representado {x Є R / x < a} ou {x Є R / x ≤ a}
• Semirreta direita aberta ou fechada em a: ]a, + ∞[ ou [a, + ∞[
• Podendo ser representado {x Є R / x > a} ou {x Є R / x ≥ a}
Observe as representações na reta real:
Figura 8 – Representação gráfica de reta real
]a, b[ 
a b
[a, b] 
a b
[a, b[ 
a b
]a, b] 
a b
]–∞, a] 
a
]a, + ∞[ 
a
Fonte: Iezzi; Murakami, 2013.
A seguir, apresentamos um exemplo da representação gráfica do intervalo {x Є 
R / –3 < x ≤ 3}.
Figura 9 – Representação gráfica de intervalo
–3 3
Fonte: Iezzi; Murakami, 2013.
Vamos facilitar a compreensão por meio de exemplos:
1. Determine a diferença entre os intervalos reais A – B: 
A = {x R / –3 < x ≤ 4}
B = {x R / 1 ≤ x < 7}
Logo, A – B ?
Vídeo
Estudo dos conjuntos 41
–3 4
1 7
Portanto, A – B é:
–3 4
Então, –3 < x < 1, isto é, A – B = {x R / –3 < x < 1}.
2. Represente na reta real os intervalos:
a) ]–∞, 2]
2
b) ]1, 5[
51
c) {x R / 3 < x ≤ 7}
73
Os intervalos na reta real também são muito utilizados para representar os resultados das 
inequações. Vimos, portanto, que uma reta na qual cada um dos infinitos números reais pode ser 
representado é chamada de reta real. Vimos também que em toda reta real os números são sempre 
organizados de maneira crescente, do menor para o maior.
2.5 Exercícios resolvidos
Para compreendermos melhor os conceitos apresentados neste capítulo, 
vamos observar a seguir alguns exercícios resolvidos.
1. Uma docente de estatística aplicou em uma turma uma enquete rápida de 
modelo quantitativo para saber por quais clubesos alunos torciam e chegou 
ao seguinte resultado:
23 alunos torcem para o São Paulo.
23 alunos torcem para o Palmeiras.
15 torcem para o Athletico Paranaense.
6 torcem para o São Paulo e Athletico Paranaense.
5 torcem para o Athletico Paranaense e Palmeiras.
Vamos chamar de A o conjunto dos torcedores do São Paulo, de B o conjunto 
dos torcedores do Palmeiras e de C o conjunto dos torcedores do Atlético 
Paranaense, logo, A B C = Ø. Quantos alunos participaram da pesquisa?
Solução:
Vídeo
Matemática aplicada42
A = São Paulo
B = Palmeiras
C = Athletico Paranaense
18 + 5 + 6 + 4 + 17 = 50, logo, 50 alunos participaram da pesquisa.
Figura 10 – Torcedores do São Paulo, Palmeiras e/ou Athletico Paranaense.
17 180
0
56
4
Fonte: Elaborada pelo autor.
2. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} e C = {4, 5, 6, 8}, descubra o resultado 
de: (A – C) (B – C).
Solução:
A – C = {0, 1, 2, 3} → Esse é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B.
B – C = {7} → Esse é o conjunto de todos os elementos que pertencem a B e não pertencem 
a C.
Logo, a intersecção entre (A – C) (B – C) é vazia, visto que nenhum número se repete 
nesses dois conjuntos.
3. Seja A = {1, {3}, {1,3}}, considere as afirmações e avalie se são verdadeiras ou falsas.
(I) 1 A
(II) 3 A
(III) Ø A
(IV) {1,3} A
Solução:
Para chegar à resposta correta dessa questão, lembre-se das relações de pertinência e das 
relações entre subconjunto e conjunto.
Relação de pertinência: somente para relacionar o elemento e seu 
conjunto. Relação de subconjunto e conjunto, usamos o símbolo 
(lê-se: está contido).
Estudo dos conjuntos 43
Analisaremos item a item com muita atenção:
(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, 
então o item I é verdadeiro.
(II) Note que 3 não é elemento do conjunto A, portanto, não pertence ao conjunto A. Logo, 
o item II não está correto. Observe que {3} é elemento de A. Há uma diferença entre 3 e 
{3} – enquanto 3 indica que o elemento 3 não pertence ao conjunto A, {3} indica o conjunto 
composto pelo elemento 3, e este conjunto pertence a A. O item IV é semelhante.
(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o Ø 
(vazio) está contido em qualquer conjunto, portanto o item III está correto.
(IV) Aqui vemos que {1,3} é um elemento de A e não um subconjunto, logo, a afirmação 
não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Nesse caso, o símbolo estaria 
correto se, em vez de {1,3}, tivéssemos {{1,3}} – observe que uma chave a mais indica o 
subconjunto composto pelo elemento {1,3}.
4. Sabendo que x = {1, 2, 3, 4}, y = {4, 5, 6} e z = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar que o conjunto 
(x y) z é dado por?
Solução:
O exercício pede o conjunto (x y) z, “x intersecção, y união z”.
A relação de intersecção antecede a união e está dentro de parênteses; por isso é a operação 
realizada primeiro.
(x y), “x intersecção y” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a x e também 
a y, que são comuns aos dois conjuntos.
x = {1, 2, 3, 4}, y = {4, 5, 6}
(x y) = {4}
Todos os elementos dos conjuntos fazem parte do conjunto união e não há necessidade de 
se repetir o mesmo elemento.
(x y) = {4} e z = {1, 6, 7, 8, 9}
(x y) z = {1, 4, 6, 7, 8, 9}
5. Felipe e Márcia têm uma filha chamada Mariana. Eles se programam para viajar sempre no 
mês de janeiro. Felipe sai de férias do escritório nos dias 2 a 28, e Márcia, 5 a 30. As férias 
de Mariana na faculdade ocorrem nos dias 1º a 25. Como eles poderão viajar de modo que 
possam otimizar os três calendários?
Solução:
Observamos a necessidade de fazer uma intersecção:
Felipe = {2, 3, 4, 5, …, 25, 26, 27, 28}
Márcia = {5, 6, 7, …, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
Mariana = {1, 2, 3, 4, 5, …, 25}
Matemática aplicada44
Note que Márcia só pode viajar a partir do dia 5, assim como podem Felipe e Mariana. 
Observe que a família só poderá estar unida no período de {5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, ou seja, 
durante 21 dias. Lembre-se de não excluir o dia 5, pois está incluso no período de férias.
6. Em uma turma de 30 alunos do ensino médio, 16 gostam de Língua Portuguesa e 20 gostam 
de Geografia. O número de alunos dessa turma que gostam de Língua Portuguesa e Geografia 
é igual a quanto?
Solução:
Sejam Língua Portuguesa (LP) e Geografia (G), podemos calcular:
n(LP G) = soma dos alunos que gostam de ambas as disciplinas; isso é uma união.
n(LP G) = número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e Geografia (intersecção).
Assim, temos: n(LP) = 16, n(G) = 20 e n(LP U G) = 30.
n(LP G) = n(LP) + n(G) – n(LP G), fazendo a substituição dos valores.
30 = 16 + 20 – n(LP G) ↔ n(LP G) = 36 – 30 ↔ n(LP G) = 6.
Nos nossos cálculos, consideramos que todos os alunos (30) gostam de pelo menos uma 
disciplina, certo? Em momento algum, no entanto, o enunciado afirma isso. Você está de 
acordo?
Podemos ter alguns alunos que não gostam de nenhuma dessas disciplinas, o que aumentaria 
o número de alunos que gostam de ambas.
Exemplos:
Suponha que 1 aluno não goste de Língua Portuguesa nem de Geografia:
30 – 1 = 29. Isso quer dizer que 29 alunos gostam de Língua Portuguesa ou Geografia.
Refazendo os cálculos para o valor 29, teremos: 36 – 29 = 7 alunos gostam de Língua 
Portuguesa e Geografia. Portanto, o número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e 
Geografia é menor ou igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas.
n(LP G) ≤ 30.
n(LP) + n(G) – n(LP G) ≤ 30.
16 + 20 – n(LP G) ≤ 30 ↔ 36 – 30 ≤ n(LP G) ↔ 6 ≤ n(LP G) ou n(LP G) ≥ 6.
Por essa razão, o número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e Geografia será no 
mínimo 6.
7. Em uma pesquisa de mercado para um cliente, observa-se que 15 consumidores utilizam 
pelo menos um dos produtos: shampoo ou condicionador. Sabendo que 10 dessas pessoas 
não usam condicionador e que 2 não usam shampoo, qual é o número de consumidores que 
utilizam ambos os produtos?
Estudo dos conjuntos 45
Solução:
Se 15 consumidores utilizam pelo menos um dos produtos, podemos ter:
10 consumidores não usam condicionador, então usam shampoo.
Total de pessoas que usam só shampoo = 10
2 consumidores não usam shampoo, então usam condicionador.
Total de consumidores que usam só condicionador = 2
Vamos chamar de x o número de consumidores que usam os dois produtos:
(consumidores que usam só shampoo) + (consumidores que usam 
só condicionador) + x(ambos) = 15
10 + 2 + x = 15 ↔ x = 3 consumidores
Considerações finais
É pertinente e interessante observar como a teoria dos conjuntos revolucionou a matemática 
moderna. Os conceitos de funções, de progressões aritméticas, geométricas e muitos outros de 
estatística, como seleção e organização de informações, representações gráficas e correlações, têm 
como base fundamental a teoria dos conjuntos. Além de Cantor, outros matemáticos foram 
importantes nessa teoria, como o inglês John Venn, que, para facilitar o entendimento das relações 
de união e intersecção entre conjuntos e seus elementos, criou os chamados Diagramas de Venn2.
Ampliando seus conhecimentos
Para aprofundar seus estudos da teoria dos conjuntos, seguem algumas indicações para 
complementá-los.
• Matematiques. Disponível em: http://www.matematiques.com.br/. Acesso em: 19 set. 
2019.
A teoria dos conjuntos foi fundamental nos cálculos das indústrias para a produção, por 
exemplo, de automóveis, DVDs e computadores. Fórmulas e mais fórmulas utilizando 
essa teoria foram desenvolvidas até se chegar a um modelo de ampla aplicabilidade. Nesse 
site, você pode conhecer um pouco mais sobre a teoria dos conjuntos e outros assuntos 
relacionados à matemática na prática.
2 “Diagrama de Venn é um sistema de organização de conjuntos numéricos, onde os elementos são agrupados em 
figuras geométricas, facilitando a visualização da divisão feita entre os diferentes grupos” (SIGNIFICADOS, 2018).
Matemática aplicada46
• O HOMEM que viu o infinito(The man who knew infinity). Direção: Matt Brown. Reino 
Unido: Diamond Films, 2015. 1 filme (108 min.).
O filme apresenta a história real de Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920), um dos 
maiores gênios e mais influentes matemáticos do século XX. De origem humilde e sem 
formação acadêmica, Ramanujan contribuiu para a matemática com diversos trabalhos, 
entre eles a teoria dos conjuntos, números e séries infinitas.
Atividades
1. Durante cinco anos, um cavalo deve tomar pelo menos duas vacinas para se manter saudável. 
Então, um haras vacinou todos os seus cavalos, 80% contra a raiva e 60% contra o tétano. 
Determine o percentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças equinas.
2. Os candidatos L, M e N disputaram na sede do partido a liderança em 2019. Cada membro 
votou apenas em sua preferência. Houve 100 votos para L e M, 80 votos para M e N, e 20 
votos para L e N. Qual foi o resultado dessa eleição?
3. Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4} e C = {4, 5}, 
determine (U – A) (B C).
4. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5}, determine o conjunto A – B. É possível que 
seja um conjunto vazio ou não?
5. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, então o número de elementos de A B é 
igual a?
3
Funções: gráficos e aplicações
Podemos dizer que função é um caso particular de relação entre os elementos de dois 
conjuntos A e B, em que cada elemento do conjunto A se relaciona com somente um elemento do 
conjunto B. Dizemos que é um caso particular porque nem todas as relações são funções, apenas 
aquelas que se enquadram nessa definição.
Se em um barzinho para um happy hour, por exemplo, o garçom explica que uma tulipa 
custa R$ 3,00, porém 10 custarão R$ 25,00, entenderemos que o valor de y a ser pago para o garçom 
vai depender da quantidade x de tulipas que as pessoas beberem.
Logo, o valor y será obtido de acordo com a quantidade x consumida. Podemos dizer que 
y = 3,00 . x, ou ainda, y = f (x). Assim, acabamos de criar uma função.
Da mesma forma, à medida que o preço do carro sobe, o valor do consórcio também sobe – 
portanto, o valor do consórcio sobe em função do valor do carro, de modo que podemos dizer que 
y se modifica em função de x.
Observe que o estudo das funções será relevante para a resolução de situações-problema 
presentes na matemática aplicada. Por isso, um dos objetivos do estudo deste capítulo em relação 
às funções é partir de informações que já sabemos para aquelas a conhecer.
3.1 Conceito de função
As funções matemáticas são conceitos muito presentes em nosso cotidiano. 
Quando analisamos, por exemplo, fenômenos econômicos, muitas vezes utilizamos 
essas funções para interpretá-los e descrevê-los. As funções são usadas como 
ferramentas que ajudam na resolução de problemas.
Vejamos a seguir, na Tabela 1, o resumo dos preços médios de um produto 
em Curitiba durante seis bimestres, no decorrer de um ano.
Tabela 1 – Preço do produto “X” em Curitiba
Bimestre (t) Bim. 1 Bim. 2 Bim. 3 Bim. 4 Bim. 5 Bim. 6
Preço (p) R$ 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01
Fonte: Elaborada pelo autor.
A cada bimestre, observamos um preço para o produto “X”. Logo, podemos 
afirmar que cada preço (p) está associado a um bimestre (t). O preço, portanto, vai 
depender do bimestre escolhido.
Nesse caso, podemos também substituir cada bimestre por um número, 
como uma associação entre duas variáveis numéricas. Vejamos a Tabela 2 a seguir.
Vídeo
Matemática aplicada48
Tabela 2 – Preço do produto “X” em Curitiba com variáveis numéricas
Bimestre (t) 1 2 3 4 5 6
Preço (p) R$ 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que cada valor da variável “bimestre” está associado a um único valor da variável 
“preço”; é isso que caracteriza uma função matemática.
A variável t, nesse caso, é chamada de independente, e a variável p é chamada de dependente. 
A variável t independente é o domínio, e a variável p dependente é a imagem. Vamos ver essas 
informações no Gráfico 1, a seguir.
Gráfico 1 – Representação do preço do produto “X” em Curitiba
7,01
6,98
6,85
6,73
6,07
6,75
6,08
6,88
6,95
6,06
Pr
eç
o
Bimestre
1 2 4 5 6
7,01
Fonte: Elaborado pelo autor.
Observamos, então, que o eixo y representa a imagem (variável preços) e o eixo x representa 
o domínio (bimestres). O resultado gráfico é uma correlação ou função linear. Podemos dizer 
também que trata de uma série temporal, pois a variável independente x está representando 
um período expresso em bimestres. Ainda, vemos uma evolução de preços na série histórica de 
bimestres, por isso avaliamos ser um gráfico bastante positivo.
3.2 Função de primeiro grau
Uma função de primeiro grau é definida por y = f(x) = ax + b, com a ≠ 0, em 
que: a é chamado de coeficiente angular e b, de coeficiente linear. Essas funções 
são modelos lineares, isto é, são representadas no plano cartesiano por uma reta e 
definem um dos tipos mais comuns, o qual possui aplicações corriqueiras.
Sendo x e y duas variáveis, uma será dependente da outra: cada valor 
atribuído para a variável x irá corresponder apenas a um valor para a variável y. 
Portanto, nesse caso, a variável y está em função de x, e essa dependência é definida 
como uma função.
Vídeo
Funções: gráficos e aplicações 49
Os valores atribuídos à variável x são definidos como de domínio da função, e os valores de 
y espelhados a partir de x são a imagem da função. Logo, na prática atribuímos valores para x e 
definimos o valor correspondente para cada elemento da variável y.
Na função de primeiro grau existe uma lei de formação que define a estrutura dela. Nesse 
caso, a lei de formação é dada por: y = ax + b, sendo que a e b são sempre números reais e diferentes 
de zero.
Exemplos de funções de primeiro grau:
y = 8x + 4, onde a = 8 e b = 4
y = –15x – 7, onde a = –15 e b = –7
y = 10x, então a = 10 e b = 0
Vamos ver, nas próximas seções, que todos os tipos de função têm uma lei de formação 
exclusiva.
3.3 Tipos de funções de primeiro grau
Nesta seção, conheceremos as funções de primeiro grau: crescente, descrescente 
e afim. Podem ser chamadas também de funções lineares, pois apresentam uma 
tendência de linha, normalmente uma reta.
3.3.1 Função crescente
Avaliemos o seguinte exemplo:
À medida que as vendas aumentam, as comissões dos colaboradores também 
tendem a aumentar. Observe que o crescimento de uma variável (vendas) fez crescer 
também a outra (comissões). Logo, como as variáveis estão correlacionadas, se 
construíssemos um gráfico, teríamos uma reta crescente – nesse caso, a > 0.
Gráfico 2 – Exemplo de função crescente entre vendas e comissões
R$ 600,00
R$ 500,00
R$ 400,00
R$ 300,00
R$ 200,00
R$ 100,00
R$ 1.000,00 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00 R$ 4.000,00 R$ 5.000,00 R$ 6.000,00
 x Vendas
y 
C
om
iss
õe
s
Fonte: Elaborado pelo autor.
Vídeo
Matemática aplicada50
A função crescente refere-se à relação observável de crescimento ou decrescimento entre 
variáveis. Logo, no Gráfico 2 observamos que à medida que as vendas (x) vão aumentando, as 
comissões (y) vão evoluindo positivamente. Se ambas fossem diminuindo, contudo, a função ainda 
seria crescente. O que torna uma função crescente é o fato de as variáveis se comportarem em um 
mesmo sentido. O gráfico permite observar o comportamento das variáveis de modo rápido e 
simplificado.
3.3.2 Função decrescente
Neste caso, as variáveis são inversamente proporcionais. Isto é, enquanto uma aumenta, a 
outra diminui. 
À medida que nossa idade aumenta, por exemplo, diminui nosso tempo restante de vida. 
Observe que a variável independente (ou domínio) é a idade e, enquanto ela aumentar, nosso tempo 
restante de vida, nossa variável dependente, tende a diminuir. O Gráfico 3, a seguir, representa essa 
função.
Vamos considerar, em hipótese, que a média de vida do brasileiro seja de 70 anos. Então, se 
temos 20 anos, há um tempo restante de 50 anos. Com 50 anos, nosso tempo restante estimado é 
de 20 anos. Vamosver isso graficamente.
Gráfico 3 – Exemplo de função decrescente entre idade e tempo restante de vida
50
38
25
13
0
0 15 30 45 60
Tempo restante de vida
Fonte: Elaborado pelo autor.
O valor do coeficiente a vai indicar se a função é crescente ou decrescente, 
determinando o grau de inclinação da reta. Já o coeficiente linear b, no 
plano cartesiano, vai definir o ponto de intersecção da função com o 
eixo y.
Funções: gráficos e aplicações 51
Gráfico 4a – Função crescente (a > 0)
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 4b – Função decrescente (a < 0)
Fonte: Elaborado pelo autor.
y
x
b
b
y
x
b
Em resumo:
• Função crescente: se os valores de x aumentam, os valores 
correspondentes a y também tendem a aumentar. Há uma observação 
importante: se os valores de x e y diminuírem, a função continuará 
sendo uma linha crescente.
• Função decrescente: os valores são inversamente proporcionais; se 
os valores de x aumentam, os valores correspondentes a y tendem a 
diminuir.
3.3.3 Função afim
A função de primeiro grau é também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função 
afim. A principal característica de uma função afim ao ser representada no plano cartesiano é o 
gráfico resultante sempre ser uma reta com inclinação dependente do coeficiente angular.
Vejamos um exemplo: um vendedor trabalha em regime salarial que inclui uma parte fixa e 
outra variável. Seu salário atual é de R$ 4.600,00 e a parte variável é formada por comissões de 7% 
sobre a venda. Portanto, a função será dada por f(x) = 0,07x + 4.600, podendo ser definida também 
como y = 0,07x + 4.600.
Se os produtos vendidos têm valor de R$ 18.000,00, é possível determinar, nesse caso, quanto 
corresponde ao salário mais comissões:
y = 0,07 . 18.000 + 4.600
y = 1.260 + 4.600
y = R$ 5.860,00
Existem, ainda, casos particulares da função afim. Apresentamos, a seguir, alguns deles.
Matemática aplicada52
Função identidade
• Definida por f(x) = x
• Condições: a = 1 e b = 0
Passará exatamente no cruzamento dos eixos x e y, no ponto (0,0). Ela intersecta a origem do 
plano cartesiano. Vejamos, no Gráfico 5 a seguir, um exemplo da função identidade y = 2x. 
Gráfico 5 – Representação da função identidade y = 2x
 
Eixo x
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4
Eixo y
Fonte: Elaborado pelo autor.
Função constante
• Definida por f(x) = b
• Condições: a = 0
Paralela ao eixo x, intersectando o eixo y em b. Eis um exemplo da função constante y = 1 
(Gráfico 6).
Gráfico 6 – Representação da função identidade y = 1
4 Eixo y
Eixo x
3
2
1
0
0 1 2 3 4
Fonte: Elaborado pelo autor.
Funções: gráficos e aplicações 53
Função linear
• Definida por f(x) = ax, com b = 0.
Sua característica principal é o gráfico sempre intersectar a origem do plano cartesiano e 
apenas a inclinação da reta variar, dependendo do valor de a. Vamos representar as funções lineares 
y = 1 / 2x, 2x e 4x, e observar os comportamentos.
Gráfico 7 – Representação da função linear
0
0 1
0,5
1,5
2
1
2
44
8
12
16
6
y = 2x
y = 0,5x
y = 4x
8
2 3 4
0,5
1
1,5
2,5
3
4
4,5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
15
15,5
16
eixo y
5
3,5
2
Fonte: Elaborado pelo autor.
O gráfico revela simultaneamente o comportamento de três funcões lineares. Logo, permite 
analisar múltiplas informações ao mesmo tempo, o que facilita a análise dos dados.
3.3.4 Raiz ou zero de uma função de primeiro grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função de primeiro grau, é preciso considerar y 
= 0. No instante em que o elemento y assume esse valor, a reta está intersectando o eixo x em 
determinado ponto. É o que chamamos de raiz ou o zero da função. Vamos ver alguns exemplos:
Considere a função: y = 4x + 8
Se tomarmos y = 0, temos:
4x + 8 = 0
4x = –8
x = –2
A reta representada pela função y = 4x + 8, portanto, intersecta o eixo x em –2.
Matemática aplicada54
Considere a função: y = –2x + 10
Sendo y = 0, a equação se apresenta como:
–2x + 10 = 0
–2x = –10 (–1)
x = 5
A reta representada pela função y = –2x + 10, portanto, intersecta o eixo x em 5.
3.4 Aplicação especial para funções de primeiro grau
Vamos agora estabelecer um estudo paralelo entre a função de primeiro grau 
definida pela expressão y = ax + b e um método para determinar essa função com 
base em dados obtidos em diversas áreas, das ciências econômicas e administração 
até biologia ou engenharia. É um método bastante interessante e eficaz que permite, 
por exemplo, por meio de séries históricas, fazer boas projeções.
Quando construímos o gráfico de uma função de primeiro grau, os pontos 
estão perfeitamente alinhados de modo crescente, se o coeficiente angular for 
positivo, ou decrescente, se for negativo. Nos fenômenos cujo comportamento se 
aproxima de uma função de primeiro grau, os pontos gráficos não se apresentam 
totalmente alinhados, e sim distribuídos aleatoriamente em torno do que chamamos 
de reta de regressão.
Relacionando duas variáveis, x e y, faz-se necessário um modelo matemático 
que consiga efetivamente relacionar as variáveis para estudo. Esse modelo, chamado 
de regressão linear simples, é uma técnica utilizada para pesquisar e modelar a 
relação existente entre essas variáveis com o comportamento próximo a uma função 
de primeiro grau. Observe o Gráfico 8 a seguir:
Gráfico 8 – Diagrama de dispersão de comportamento linear
9
6.8
4.5
2.3
0
0 2 4 6 8
Fonte: Elaborado pelo autor.
Vídeo
Funções: gráficos e aplicações 55
O diagrama de dispersão revela os pontos obtidos por meio da correlação das variáveis x e 
y. Perceba que eles estão ajustados na linha gráfica ou muito próximos dela. Isso indica que existe 
uma relação bastante forte entre as variáveis. Podemos, assim, ajustar um modelo que torne essa 
linha perfeita.
Para isso, cabe considerar que o ajuste do modelo de regressão linear simples é dado por:
y = α . x + β + ε
Em que:
• y é o valor observado (variável dependente);
• x é a variável explicativa (variável independente);
• α ou a é o coeficiente angular (inclinação da reta);
• β ou b é o intercepto (coeficiente linear).
Podemos também exprimir de uma forma mais conhecida como equação da reta:
y = ax + b
Vamos aplicar essas teorias a um exemplo e construir o modelo passo a passo. Observe a 
relação a seguir:
O valor de um carro é a variável independente em relação a um consórcio, pois os valores de 
um consórcio variam em função do preço do carro.
Tabela 3 – Relação entre as variáveis carro e consórcio
Carro (x) Consórcio (y)
20 2
30 3
40 4
50 5
60 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
Em um primeiro passo, vamos estabelecer as médias das variáveis x e y.
Média x = 
x
n
∑ Média y = y
n
∑
20 30 40 50 60
5
40� � � � � 2 3 4 5 6
5
4� � � � �
Agora, em um segundo passo, vamos fazer alguns cálculos auxiliares para encontrar o 
coeficiente angular:
Matemática aplicada56
Tabela 4 – Dados para encontrar o coeficiente angular
Σx Σy Σx² Σxy
20 2 400 40
30 3 900 90
40 4 1600 160
50 5 2500 250
60 6 3600 360
200 20 9000 900
Fonte: Elaborada pelo autor.
Calculando o coeficiente angular a Calculando o coeficiente linear b
a
x y x y
n
x
x
N
�
� �
� ��
� �
�� �2
2
b = média y – a . média x
b = 4 – 0,1 . 40
a
N
�
�
�
�
� �
900 200 20
5
9000
200 2
b = 4 – 4
b = 0
a � �
�
900 800
9000 8000
a = 0,1
O terceiro passo implica desenvolver a equação ajustante da reta:
y = a . x + b
y = 0,1 . x + 0, que é uma função de primeiro grau.
Ou y = 0,1 . x
Agora, já podemos fazer, por exemplo, uma projeção: quando x for igual a 65, qual será o 
valor de y?
y = 0,1 . x
y = 0,1 . 65
y = 6,5
Vamos para um exemplo prático:
Observe, na Tabela 5 a seguir, quantidades e preços praticados por uma empresa para 
determinado produto.
Funções: gráficos e aplicações 57
Tabela 5 – Quantidade e preços de determinado produto de uma empresa
Q (un.) P (R$)
80 120
95 110
100 92
115 84
125 79
130 75
Fonte: Elaborada pelo autor.
a) Determine o coeficiente