Provas-eletromagnetismo I e II

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Eletromagnetismo I - 1634 - Antonio Medina Neto -1ª Avaliação - 29/1 0/2009
Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de
r, distância ao centro da distribuição, em outras palavras p = p(r). Considere três distribuições
esféricas de cargas dadas por: -
{
AI r , para O ~ r s R , sendo A uma constante
a) p= .
O , parar> R
{
Po (constante), para O ~ r ~ R
b) p=
O , para r> R
.c) p = CY6 (r-R) , sendo a uma constante
~(1,5) Determine o campo elétrico (E) em função de r para as três distribuições de carga. .
(1,5) Determine o potencial eletrostático (V) em função de r para as três distribuições de carga
considerando V(00) = O.
~ (0,5) Considerando que a carga total de cada distribuição é Q, determine as constante A, po e rr .
em função de Q e R.
4 I (0,5) Esboce os gráficos de E e V em função de r para as três distribuições de carga.
d) (1,0) A partir da análise dos gráficos acima (item 4) e lembrando que W = &0 f E2dr,
. :2 lodo
espaço
determine qual das 'configurações apresenta a menor energia potencial eletrostática. Justifique sua
resposta.
" ~1,5) - Determine:
~Vxr
Obs.: Resultados sem demonstração não serão aceitos.
7- (2,0) Dois fios coaxiais infinitos de raios a e d/2 (com a « d/2)
encontram-se carregados com cargas +Q e -Q, como mostra a figura 1.
Considere que o fio interno tem uma densidade de carga linear uniforme e
constante Â. e o fio externo é um cilindro oco com densidade de carga
superficial uniforme e constante c (negativa).
~ Calcule o campo elétrico em função da distancia ao centro dos fios. ;~3
4!*-
b) Cheque se o resultado é consistente com a condição de "fronteira" para
o campo elétrico, ou seja, verifique o que acontece com o campo E ao
"atravessar" fio externo -) -). é~-~~Z e.
e (1,5) Prove que:
;a.).. V.(VxÃ) = O
O) Vx(Vq»=O
~1 L«f>V2i:p +V<p· V\P}ir = ~(I)Vq.r. dã
s
a dI:!
.- ::::::>
~~
+Q\-
~~ ~
-Q
j.
. figura 1
Eletromagnetisrno 1- 1634 - Antonio Medina Neto - dezembro/2009 - 2ª Avaliação
Obs.: Todas as respostas devem ser justificadas,
(2,0) Uma partícula de carga q e massa m é colocada próximo à superfície da Terra, abaixo de uma
placa metálica muito longa (infinita) aterrada,
como mostra a figura 1.
~ Determine a posição em que esta partícula
ficará em equilíbrio estático.
)\5) Determine a expressão para a densidade de
carga induzi da na placa.
l'-
I
I
y
1ll zfigura 1
q
) (3,0) Considere uma caixa condutora cúbica, de lado a, formada
de cinco (5) placas unidas e aterradas A tampa superior é separada
das demais e mantida a um potencial constante Vo , como mostra a
figura 2. Determine o potencial no interior da caixa.
íl)'- ...v
figura 2. x
~ (3,0) O potencial na superfície de uma esfera de raiá R é dado por:
Va = kcos3(}
Na qual k é uma constante. Usando a equação de Laplace determine o potencial dentro e fora da
esfera. (Considere que não existem outras cargas nem dentro e nem fora da esfera.)
]B-(2,0) Considere uma esfera de raio R com uma densidade de carga superficial (J = k cose. Calcule o
momento de dipolo e o potencial associado a esté termo na expansão em multipolos desta distribuição
de carga.
Dados:
cos3a= -l cos' a-3cosa
e" + e-a
cosha::::---
2
Pa(x)
~(x)
~(x)
~(x)
~(x)
1
x
(3x2-1)/2
(Sx3 -3x)/2
(3Sx4 -30x2 +3)/8
ea _e-a
senha=---
2
V(r,e)= t,( A/ + ~1 };(cose)
1 {O se l' = /J~(x)~, (x)dx = _2_ se l' = I
-1 2/ +1
.'-------------------
Eletromagnetismo 1- 1634 - Antonio Medina Neto - janeiro/20 1O- 3ª Avaliação
Obs.: Todas as respostas devem ser justificadas.
~ (2,5) Considere dois solenóides coaxiais longos percorridos pela mesma corrente estacionária I, mas
em sentidos opostos como mostrado na figura 1. O solenóide
\ interno de raio a, tem n1 espiras por unidade de comprimento e o
\ externo, de raio b, tem n2 espiras por unidade de comprimento.
r- Calcule o campo magnético B, nas três regiões:~-no interior do solenóide interno. ~
~) entre os dois solenóides.
I ~na região externa a ambos os solenóides. -'
I
I
Figura 1.
~ (2,5) Considere uma espira circular de rio R, localizada no plano xy e
centrada na origem, a qual é percorrida por uma corrente I no sentido
anti-horário, como ilustrado na figura 2.
-à9 Calcule o momento de dipolo magnético deste sistema.
~ Calcule o potencial vetar devido a este dipolo no ponto P, ilustrado na
figura.
~ Determine o campo magnético no ponto P.
JX2,5) Uma espira quadrada de lados, eneentra-se a uma distância: de
passa uma corrente i, conforme a figura 3.
~ Encontre o fluxo do campo magnético no interior da espira.
~ Se a espira é puxada afastando-se do fio com velocidade v, qual a força
eletromotriz (f.e.m.) gerada? Qual o sentido (horário ou anti-horário) da
corrente induzida?
~ Se a espira é puxada com velocidade v para a direita (paralelamente ao
fio) qual a (f.e.m.) gerada?
Figura 2.
longo fio reto pelo qual
a
~}
s
* I
Figura 3
~Ç2,5) Um fio de raio a, é percorrido por uma corrente constante I, uniformemente distribuída sobre a
secção transversal do fio. Uma pequena fenda com largura w «a, forma um capacitor de placas
paralelas, como mostrado na figura 4. Determine o campo magnético no interior da fenda, à distancia s
do eixo do fio. Considere s < a.
Figura 4.
p
y
 (2,5) Um cabo coaxial formado por dois tubos cilíndricos muito longos, separados
por um material isolante linear de susceptibilidade magnética Xm. Considere uma
corrente elétrica I que percorre o condutor interno e retoma pelo condutor externo, a
qual é distribuída uniformemente nas superfícies
como indicado na figura 1.
($etermine o campo magnético B e a
magnetização M na região entre os tubos,
utilizando a lei de Ampêre para o campo H.
~alcule as densidades de corrente ligada (J, e
Kb) e calcule o campo magnético B diretamente
utilizando a lei de Ampêre para B.
Eletromagnetismo II - 1644
1a Avaliação - 20/05/2010 - Antonio Medina Neto
1-=- (2,5) Considere uma esfera de raio R com polarização dada por:
P(1) = kr
Na qual k é uma constante e r é o vetor posição com relação ao centro.
(~ Determine as densidades de carga ligadas (jb e Pb.
(B1 Determine o campo elétrico no interior e fora da esfera.
1\ li \
LD.)
v )
Figura 1
1~(2,5) Um capacitor de placas paralelas carregado (com campo elétrico uniforme
.E = E2) é colocado em um campo magnético l3 = Bx , como ilustra a figura 2.
~ Determine o momento eletromagnético z
no espaço entre as placas.
Considere que um fio resistivo é
conectado entre as placas do capacitor, ao
longo da direção z, tal que o capacitor é
lentamente descarregado. A corrente que
percorre o fio estará sujeita a uma força
magnética. Qual o impulso total entregue ao
sistema durante a descarga?
~)'Compare os resultados dos itens (a) e (b)
e explique a correlação existente entre eles.
Figura Z
y
4- (0,5) éf)Escreva a relação entre os campos t; jj e P e entre os campos l3, fI eM.
(0,5) (41JEscreva a relação entre os campos t; jj e P e entre os campos l3, fI e M para
meios lineares.
".,(0,5) (c) Escreva as equações de Maxwell para meios materiais.
1"'(1,0) (d) Usando as equações de Maxwell para meios materiais mostre as condições de
- - - -borda (interface) para os campos D, E, H e B
••).. c.. ···:to
l'E;"--' ~
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B·· ::"0
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D)~S. r;' t ~
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~ = 13 _~
Mo
(.
Eletromagnetismo II - 1644
~a Avaliação - 08/07/2010 - Antonio Medina Neto
(l~(2,5) A partir das Equações de Maxwell, mostre que os campos eletromagnéticos que
se propagam no vácuo e em meios dielétricos lineares obedecem a equação de onda, e
que o índice de refração para meios não magnéticos é dado pela relação de Maxwell
(n=(Er)Jl2) .
(2) (2,5) Considere uma onda plana incidindo em uma superfície de separação entre dois
meios dielétricos.
XL para a incidência normal determine os coeficiente de Reflexão (R) e Transmissão (T),
e mostre que R+T= 1
h) Para incidência obliqua, explique o que é o ângulo de Brewster. Qual a condição para
o campoelétrico incidente para que o "ângulo de Brewster" seja observado. De exemplo
de aplicações referentes a esta condição de reflexão.
3 (2,0) Suponha V = O e A = Ao sentkx-oitjy; na qual Ao, co e k são constantes.
Encontre os campos E e B, e verifique se eles satisfazem as equações de Maxwell no
vácuo. Qual a condição imposta para co e k?
. .
4- (1,5) Um modelo simples para tratar a interação da radiação eletromagnética com os
elétrons em um meio dielétrico, é tratar este elétron como um oscilador harmônico
amortecido submetido a uma força elétrica devido à presença do campo elétrico
oscilante. Considerando este modelo, mostre que a constante dielétrica é uma grandeza
complexa.
C2) (1.5) Um 'pedaço de fio formando um loop com ilustrado na figura abaixo, conduz
uma corrente elétrica que varia no tempo da forma: I (t) = kt.
Calcule o potencial vetor retardado A e o campo elétrico o centro (P).
x