Física e Mecânica Experimental

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2019
Física e Mecânica 
experiMental
Profa. Dra. Maryah Elisa Morastoni Haertel
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Profa. Dra. Maryah Elisa Morastoni Haertel
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
H136f
 Haertel, Maryah Elisa Morastoni
 Física e mecânica experimental. / Maryah Elisa Morastoni Haertel. – 
Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 149 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0284-6
1. Física - Experiências. - Brasil. 2. Mecânica. – Brasil. II. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 531
III
apresentação
Caro acadêmico! Sou a professora conteudista Dra. Maryah Elisa 
Morastoni Haertel e vou ajudá-lo a percorrer o caminho na análise de 
sistemas de medição nesse livro de estudos. 
Atualmente, sou professora da Universidade do Sul de Santa Catarina 
(UNISUL) e pesquisadora do Laboratório de Metrologia e Automatização da 
Universidade Federal de Santa Catarina (Labmetro/UFSC). Já atuei também 
no Instituto Federal de Santa Catarina, na disciplina da Física dos Cursos 
Técnicos Integrados em Química, Vestuário e Informática (IFSC/Campus 
Gaspar). Minha vida acadêmica começou no Bacharelado em Física, na UFSC, 
prosseguiu no Mestrado em Metrologia Científica e Industrial (PósMCI/
UFSC), Licenciatura em Física e Doutorado em Engenharia Mecânica, dentro 
da área de Concentração Metrologia e Instrumentação – Metrologia Óptica. 
Em 2012, auxiliei na fundação do UFSC Chapter da SPIE (International Society 
for Optics and Photonics), sendo sua primeira presidente. Atuo, atualmente, em 
pesquisa, com projetos e artigos, na área de metrologia óptica, reconstrução 
geométrica tridimensional e pocket laboratories, desenvolvendo e avaliando 
sistemas de medição e princípios físicos.
Nesse livro, separei materiais didáticos experimentais para fortalecer 
os conceitos vistos nas matérias teóricas de física. O principal objetivo é 
vivenciar os conhecimentos, dando forma às grandezas físicas e métodos 
matemáticos.
Na Unidade 1 será realizada uma breve revisão sobre conceitos de 
experimentação, tratamento de dados e erros de medição. Revisitaremos os 
cálculos importantes e como determinar o erro de uma medida em relação ao 
sistema de medição, assim como em relação à repetição das medidas. A partir 
do Tópico 2, serão abordados conceitos e experimentos da cinemática com o 
uso do pêndulo balístico, pêndulo simples, pêndulo físico e as condições de 
equilíbrio da estática.
A Unidade 2 ilustra os conceitos de ondulatória a partir do estudo 
de ondas mecânicas e de ondas eletromagnéticas. No experimento de ondas 
mecânicas, estudamos a ressonância de ondas sonoras. Quanto às ondas 
eletromagnéticas, abordamos a luz, na forma de óptica geométrica, com 
lentes e espelhos, assim como de fenômenos importantes como a refração. 
No final da unidade há uma leitura e experimento complementar com a 
construção de uma câmera fotográfica arcaica chamada câmera pinhole.
A teoria eletromagnética é o pilar da Unidade 3. Nesta etapa 
abordaremos a carga e descarga de capacitores, o funcionamento de LEDs e 
diodos, variações na resistividade a partir da variação da temperatura, leis 
de Kirchhoff e mediremos o campo magnético da Terra.
Bons estudos!
Profa. Dra. Maryah Elisa Morastoni Haertel
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 - MECÂNICA ................................................................................................................. 1
TÓPICO 1 - CONCEITOS BÁSICOS ................................................................................................ 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3
2 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ............................................................................................... 3
3 FERRAMENTAS PARA ANÁLISE MATEMÁTICA DOS DADOS ........................................ 5
3.1 MÉDIA ............................................................................................................................................ 5
3.2 DESVIO PADRÃO ........................................................................................................................ 6
4 DESVIO PADRÃO DA MÉDIA ..................................................................................................... 6
5 ERRO .................................................................................................................................................... 7
6 GRÁFICOS E A EQUAÇÃO DA RETA ......................................................................................... 9
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 10
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 11
TÓPICO 2 - PÊNDULO BALÍSTICO ................................................................................................ 15
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 15
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 19
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 20
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 21
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 22
TÓPICO 3 - PÊNDULO SIMPLES ..................................................................................................... 23
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 23
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1 ........................................................................................ 25
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 26
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 2 ......................................................................................... 26
5 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO................................................................................................ 28
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 30
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 31
TÓPICO 4 - PÊNDULO FÍSICO ......................................................................................................... 33
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 33
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ............................................................................................ 36
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 37
RESUMO DO TÓPICO 4..................................................................................................................... 38
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 39
TÓPICO 5 - ESTÁTICA ....................................................................................................................... 41
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 41
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1 ......................................................................................... 44
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 1 ............................................................................................. 46
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 2 ......................................................................................... 46
5 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 2 ............................................................................................. 48
RESUMO DO TÓPICO 5..................................................................................................................... 49
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 50
suMário
VIII
UNIDADE 2 - ONDAS ........................................................................................................................ 51
TÓPICO 1 - ONDAS MECÂNICAS .................................................................................................. 53
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 53
2 ONDULATÓRIA E ONDAS SONORAS ...................................................................................... 53
3 PARÂMETROS DE INTERESSE EM UMA ONDA SONORA ................................................ 55
4 FENÔMENOS CARACTERÍSTICOS DE ONDAS SONORAS ............................................... 57
5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 60
6 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 62
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 64
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 65
TÓPICO 2 - ONDAS ELETROMAGNÉTICAS: ÓPTICA GEOMÉTRICA ............................... 67
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67
2 ESPELHOS PLANO ........................................................................................................................... 69
2.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1 ..................................................................................... 70
2.2 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 1 .......................................................................................... 71
3 ESPELHO ESFÉRICO ........................................................................................................................ 71
3.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 2 ..................................................................................... 72
3.2 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 2 .......................................................................................... 74
4 LENTES ................................................................................................................................................ 74
4.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 3 ..................................................................................... 76
4.2 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 3 .......................................................................................... 79
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 80
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 81
TÓPICO 3 - ONDAS ELETROMAGNÉTICAS: ÓPTICA FÍSICA .............................................. 83
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 83
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1 ......................................................................................... 85
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 1 ............................................................................................. 86
4 DIFRAÇÃO POR FENDA DUPLA ................................................................................................. 86
5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 2 ......................................................................................... 87
6 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 2 ............................................................................................. 88
7 DIFRAÇÃO POR OBSTÁCULO ..................................................................................................... 88
8 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 3 ......................................................................................... 89
9 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 3 ............................................................................................. 91
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 92
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 96
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 97
UNIDADE 3 - ELETROMAGNETISMO .......................................................................................... 99
TÓPICO 1 - CAPACITORES............................................................................................................... 101
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 101
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 103
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 106
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 107
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 108
TÓPICO 2 - LEDS E DIODOS ............................................................................................................ 109
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................109
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 110
IX
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 112
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 113
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 114
TÓPICO 3 - MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA ........................................................ 115
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 115
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 116
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 118
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 119
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 120
TÓPICO 4 - VARIAÇÃO DA RESISTIVIDADE COM A TEMPERATURA............................. 121
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 121
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 122
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 123
RESUMO DO TÓPICO 4..................................................................................................................... 124
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 125
TÓPICO 5 - LEIS DOS NÓS DE KIRCHHOFF .............................................................................. 127
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 127
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 128
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 131
RESUMO DO TÓPICO 5..................................................................................................................... 132
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 133
TÓPICO 6 - CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA .......................................................................... 135
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 135
2 DEMONSTRAÇÃO EXPERIMENTAL ......................................................................................... 136
3 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................... 137
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO ................................................................................................ 140
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 141
RESUMO DO TÓPICO 6..................................................................................................................... 144
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 145
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 146
X
1
UNIDADE 1
MECÂNICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir dos estudos desta unidade, você será capaz de:
• relembrar os conceitos básicos de experimentação;
• utilizar ferramentas matemáticas para analisar os dados obtidos no expe-
rimento;
• utilizar dos conceitos de movimento para análise dos experimentos;
• observar experimental dos conceitos de mecânica vistos na disciplina teó-
rica.
Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS BÁSICOS
TÓPICO 2 – PÊNDULO BALÍSTICO
TÓPICO 3 – PÊNDULO SIMPLES
TÓPICO 4 – PÊNDULO FÍSICO
TÓPICO 5 – ESTÁTICA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITOS BÁSICOS
1 INTRODUÇÃO
A experimentação faz parte do desenvolvimento das ciências, porém, 
devem-se ter alguns cuidados para que o experimento reflita as condições 
necessárias para o estudo de determinado fenômeno. No caso do estudo da física, 
a execução correta do procedimento experimental garante que os resultados 
obtidos sejam os mais fidedignos possíveis, mostrando a relação entre as 
grandezas desejadas. 
O trabalho experimental é regido por dois requisitos básicos:
Num laboratório de Física Instrumental, aplicamos o método 
experimental, que obedece a dois requisitos básicos. Primeiramente, 
os experimentos são sempre reprodutíveis por qualquer pessoa e 
em qualquer lugar, respeitadas as condições e métodos empregados. 
Segundo, toda proposição científica deve admitir experimentos 
que, caso não forneçam os resultados esperados, permitem refutar a 
hipótese levantada (FROEHLICH, 2008, p. 7).
Para garantir a reprodutibilidade dos experimentos, alguns cuidados 
são extremamente necessários. Em primeiro lugar, a atenção ao que está sendo 
proposto e ao que se está fazendo – estar presente no experimento (FROEHLICH, 
2008). Em tempos de celulares e redes sociais, a atenção é uma característica cada 
vez mais importante. Em segundo lugar, ler e entender o procedimento antes 
da execução, cuidado que evita erros e retrabalho. Em terceiro lugar, termos 
o reconhecimento dos equipamentos e a sua utilização cuidadosa, para ter 
resultados confiáveis e equipamentos funcionais.
Além desses cuidados, esse tópico é destinado a recuperar alguns conceitos 
básicos necessários para a execução dos experimentos, como os algarismos 
significativos, ferramentas para análise matemática dos dados, e gráficos e a 
equação da reta.
2 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Na aquisição de dados dos experimentos, são utilizados sensores e sistemas 
de medição com mostradores digitais ou analógicos. Um sistema de medição 
com mostrador analógico é aquele que possui uma escala que será lida pelo 
operador do experimento (no caso você, acadêmico). Um sistema com mostrador 
digital possui um mostrador com os algarismos da medição já apresentados nele. 
Podemos ver a diferença entre os mostradores na figura a seguir.
UNIDADE 1 | MECÂNICA
4
FIGURA 1 – EXEMPLO DE UM SISTEMA DE MEDIÇÃO COM MOSTRADORES ANALÓGICO E UM DIGITAL
FONTE: <https://goo.gl/1utoKh>. Acesso em: 
18 jul. 2018.
FONTE: <https://goo.gl/PPFGqf>. Acesso em: 
18 jul. 2018.
Mas, por que essa diferença é tão importante na hora de aquisição das 
medidas? Porque a leitura errada de uma escala, por exemplo, pode interferir na 
interpretação dos resultados finais!
A utilização correta dos algarismos significativos deverá auxiliar nessa 
interpretação.
“Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, 
contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita, caso não 
haja vírgula decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja uma vírgula decimal” 
(FROEHLICH, 2008, p. 21). 
IMPORTANT
E
Na medição, os algarismos significativos são aqueles que remetem ao real 
valor medido, compreendendo todos os dígitosdisponibilizados pelo mostrador 
do sistema de medição. Lembrando que o último algarismo é considerado sempre 
duvidoso. Na leitura de instrumentos, deve seguir algumas regras:
TÓPICO 1 | CONCEITOS BÁSICOS
5
• Se o instrumento for com mostrador digital:
o Os algarismos do mostrador constituem o resultado da medição, e, portanto, 
são todos algarismos significativos. O algarismo duvidoso é o último digito 
da tela.
• Se o instrumento for com mostrado analógico:
o Os algarismos corretos são definidos pela escala e suas divisões.
o O algarismo duvidoso é definido a partir da menor divisão da escala. Por 
exemplo, na figura a seguir, temos uma trena, cuja a menor divisão é 1 
mm. Dessa forma, a medida tomada com essa trena deverá ter três dígitos, 
por exemplo 21,5 mm; sendo o 2 e o 1 algarismos corretos, e o 5, algarismo 
interpretado a partir da posição do objeto em relação à trena, ou seja, o 
algarismo duvidoso. 
FIGURA 2 – EXEMPLO DE SISTEMA DE MEDIÇÃO COM ESCALA: UMA TRENA
FONTE: <https://goo.gl/tK1ATn>. Acesso em: 18 jul. 2018.
3 FERRAMENTAS PARA ANÁLISE MATEMÁTICA DOS DADOS
Após concluir o levantamento de dados para os experimentos, pode ser 
necessário realizar algumas conclusões sobre o experimento e as leis físicas que o 
regem. Dessa forma, vamos incluir nesse tópico algumas ferramentas matemáticas 
para análise dos dados como média, desvio padrão, variância, correlação e erros.
Os dados colhidos durante o experimento representam uma amostra da 
população a ser estudada, ou seja, alguns indivíduos que são retirados do todo 
para representá-lo (LIMA; ZAPPA, 2014). A amostra é uma pequena quantidade 
de dados que deve representar a população. Porém, podemos perceber que, nem 
sempre a amostra retrata fielmente o comportamento da população, por isso, 
devemos ter cuidados no procedimento de medição, de forma a manter a amostra 
estatisticamente relevante.
O retrato fiel da população é o motivo de sempre fazermos várias medições 
de um mesmo parâmetro: o comportamento médio da grandeza é normalmente 
mais relevante que o valores pontuais. Por isso, a seguir encontram-se alguns 
parâmetros matemáticos para avaliar a amostra colhida e seu comportamento.
3.1 MÉDIA
A média é definida como a soma de todos as medições realizadas 
dividido pelo número de medições. A média expressa o comportamento médio 
das medidas.
UNIDADE 1 | MECÂNICA
6
A média ( )x é definida como:
0
n
i
i=
xx =
n∑ (1)
0 1 2 3 nx + x + x + x + + xx =
n
…
(2)
Onde:
i é a ordem da medição.
xi é a i-ésima medição de x.
n é o número de medições realizadas.
3.2 DESVIO PADRÃO
O desvio padrão (σ) mostra o quão diferentes as medidas obtidas foram 
da média. No caso, para medir a incerteza da medição, usamos o desvio padrão 
dos desvios das medidas (PIACENTINI et al., 2013).
O desvio padrão (σ) é calculado pela equação (3) a seguir:
( )
0
²
1
n
i
i=
x x
ó =
n
−
−
∑ (3)
( ) ( ) ( )0 1² ² ²
1
nx x + x x + + x xó =
n
− − −
−
 (4)
Onde:
σ é o desvio padrão dos desvios das medidas.
i é a ordem da medição.
xi é a i-ésima medição de x.
( )x é a média das medições de x.
n é o número de medições realizadas.
4 DESVIO PADRÃO DA MÉDIA 
Considerando que foram realizados m amostras com n medidas, então 
o desvio padrão da média (σm) indica “a tendência do conjunto de M médias 
de n medidas se distribuir em torno do seu valor médio” (PIACENTINI et al., 
2013, p. 24).
TÓPICO 1 | CONCEITOS BÁSICOS
7
O desvio padrão da média é calculado a partir do desvio padrão, conforme 
a equação (5):
m
óó =
n
(5)
Onde:
σm é o desvio padrão da média dos desvios das medidas.
σ é o desvio padrão dos desvios das medidas.
n é o número de medições realizadas.
5 ERRO
Todas as medições possuem um erro associado (LIMA; ZAPPA, 2014; 
PIACENTINI et al., 2013).
Segundo Lima e Zappa (2014, p. 13), “na prática, o erro ϵ é o resultado da 
medição menos o valor verdadeiro da grandeza física, ou mensurando”. Claro 
que no laboratório, muitas vezes, não temos o valor verdadeiro da grandeza 
analisada, por isso utilizamos um valor convencional (LIMA; ZAPPA, 2014). “Uma 
vez que é impossível a determinação de como cada fator influi no processo, o erro 
“verdadeiro” da medida permanece desconhecido, sendo possível somente uma 
estimativa do erro máximo aceitável para o processo em questão” (PIACENTINI 
et al., 2013, p. 21).
Piacentini et al. (2013) classifica os erros em três tipos básicos, que juntos 
determinam o erro máximo da medição.
escala sistemático aleatórioE = E + E + E (6)
• Erro de escala: erro produzido pela leitura do valor de medição no mostrador 
do sistema de medição. Para instrumentos com mostrado analógico, o erro de 
escala é estimado como a metade da menor divisão da escala (MDE):
2escala
±MDEE = (7)
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | MECÂNICA
8
Isso significa que para a trena da Figura 2, onde o MDE é 1 mm, o erro de 
escala é 0,5 mm. Para instrumentos com mostrador digital, o erro de escala é a 
própria menor divisão de escala (MDE):
escalaE = ±MDE (8)
• Erro sistemático: erro constante incluído em todas as medições realizadas por 
um mesmo aparelho.
• Erro aleatório: erro fruto de perturbações imprevisíveis durante a medição. 
Seu valor oscila em cada medição. O seu valor é obtido pela expressão a seguir:
aleatório mE = ±tó (9)
Onde: 
t é o coeficiente t de Student. 
σm é o desvio padrão da média dos desvios das medidas. 
O valor do coeficiente t de Student é determinado pelo número n de medições 
feitas junto com a porcentagem da confiabilidade necessária à medida, que pode 
variar até 99,99%. Neste livro de estudos, adotaremos o padrão de Piacentini et al. 
(2013) e considerá-lo igual a 1 para as atividades experimentais aqui propostas. 
Dessa forma, apenas para esse livro, o erro aleatório é calculado como:
aleatório mE = ±ó (10)
Dessa forma, os resultados de uma medição devem ser expressos na forma:
( ) .Medida = x ± E u (11)
Onde: 
( )x é a média das medições.
E é o erro máximo admitido (equação 6).
u. é a unidade de medida da grandeza.
Além dessa forma, é comum expressar o erro da medição como uma 
porcentagem do valor considerado padrão (PIACENTINI et al., 2013). Nesse 
caso, utilizamos o erro porcentual (EP):
100p
x xE =
x
−
⋅ (12)
TÓPICO 1 | CONCEITOS BÁSICOS
9
Onde: 
( )x é a média das medições;
x é valor padrão da medida
Como muitas vezes devemos fazer operações aritméticas com resultados 
de medição, as equações a seguir estão relacionadas a como lidar com as incertezas. 
As equações foram retiradas de Piacentini et al. (2013, p.35).
( ) ( ) ( ) ( )x x y y x y x y± ∆ + ± ∆ = + ± ∆ + ∆ (13)
( ) ( ) ( ) ( )- -x x y y x y x y± ∆ ± ∆ = ± ∆ + ∆ (14)
( ) ( ) ( ) ( )x x y y x y y x x y± ∆ × ± ∆ = × ± ×∆ + ×∆ (15)
( ) ( ) ( ) ( ) ²x x y y x y y x x y y± ∆ ÷ ± ∆ = ÷ ± ×∆ + ×∆ ÷ (16)
( ) -1n n nx x x n x x± ∆ = ± × ×∆ (17)
( ) ( )ln lnx x x x x± ∆ = ± ∆ ÷ (18)
( ) ( )log log 0,4343x x x x x± ∆ = ± × ∆ ÷ (19)
6 GRÁFICOS E A EQUAÇÃO DA RETA
Muitas vezes, as relações entre as variáveis medidas são lineares ou 
linearizáveis. Dessa forma, a construção de gráficos auxilia no olhar sobre o 
comportamento da amostra e parâmetros do gráfico, como o coeficiente angular, 
são características importantes do fenômeno físico analisado. 
10
Neste tópico, você aprendeu que: 
• Deve-se ter o cuidado ao realizar experimentos para que seus resultados 
realmente espelhem o fenômeno físico analisado.
• É importante respeitar os algarismos significativos pertinentes a cada medição.
• Toda medição tem um erro embutido.
• O erro máximo é a soma dos erros de escala, aleatório e sistemático.
• A propagação do erro deve levar em conta as operações aritméticas a serem 
realizadas e respeitar regras bem definidas.
RESUMO DO TÓPICO 1
11
1 Os algarismos significativos são parte importante do processo de medição. 
Considerando o contexto de mostradores analógicos e digitais, comente como 
determinar o número correto de algarismos significativos em cada situação.
2 Determine o erro deescala das medições a seguir:
a) Manômetro
FIGURA 3 – MANÔMETRO
AUTOATIVIDADE
FONTE: <https://goo.gl/zPev65>. Acesso em: 20 jul. 2018.
b) Termômetro – observe que tem duas escalas 
FIGURA 4 – TERMÔMETRO
FONTE: <https://goo.gl/rPLmaB>. Acesso em: 20 jul. 2018.
12
c) Voltímetro
FIGURA 5 – VOLTÍMETRO
FONTE: <https://goo.gl/GTGLnQ>. Acesso em: 20 jul. 2018.
d) Paquímetro
FIGURA 6 – PAQUÍMETRO
FONTE: <https://goo.gl/GDMdNc>. Acesso em: 27 nov. 2018.
e) Relógio Analógico
13
FIGURA 7 – RELÓGIO ANALÓGICO
FONTE: <https://goo.gl/ZZVHYB>. Acesso em: 27 nov. 2018.
3 Considerando a medição de distância, cujos dados estão no quadro a seguir:
a) Calcule os parâmetros matemáticos média, desvio padrão e desvio padrão 
da média. 
b) Também estime o erro máximo sabendo que o erro de escala é ±0,5 mm. 
c) Expresse o resultado final da medição.
QUADRO 1 – MEDIÇÕES DE DISTÂNCIA EM MILÍMETROS REALIZADA EM 3 GRUPOS DE 
MEDIÇÕES COM 10 REPETIÇÕES CADA
FONTE: A autora (2018)
Medição/Repetições 01 (mm) 02 (mm) 03 (mm)
01 20,2 19,9 20,0
02 19,7 20,2 19,7
03 20,1 19,7 19,9
04 19,8 20,0 20,1
05 20,2 19,8 19,8
06 19,6 19,9 20,2
07 20,1 19,9 20,3
08 20,0 20,2 20,2
09 19,8 20,1 20,3
10 20,1 19,9 20,1
Média
Desvio Padrão
14
15
TÓPICO 2
PÊNDULO BALÍSTICO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Segundo Bianchi e Pinho Alves (1985, p. 82):
O pêndulo balístico foi inventado em 1742, com o objetivo de medir 
velocidades de projéteis por meio de colisões inelásticas com um 
corpo de massa muito maior. Sua maior aplicação foi em indústrias 
de armamentos, onde era medida a velocidade com que os projéteis 
lançados atingiam o alvo.
O pêndulo balístico é um artefato que funciona com a transformação de 
energia cinética em energia potencial gravitacional após uma colisão.
FIGURA 8 – ESQUEMA ILUSTRATIVO DO FUNCIONAMENTO DO PÊNDULO BALÍSTICO
FONTE: A autora (2018)
LEGENDA: em (A) temos a condição inicial, onde o pêndulo está parado e 
uma bala com velocidade v o atinge e, em (B) temos a condição final onde temos 
a bala incrustada no pêndulo e o mesmo deslocado na vertical por uma altura h.
A energia cinética (K) é relacionada à velocidade de um objeto, na forma 
da equação:
UNIDADE 1 | MECÂNICA
16
1 ²
2
K = mv (20)
Onde:
m é a massa do objeto.
v é a velocidade do objeto.
A energia potencial gravitacional (Ug) é relacionada com a posição 
vertical de um objeto, ou seja, com a altura em que ele se encontra em relação a 
um referencial. Matematicamente:
gU = mgh (21)
Onde:
m é a massa do objeto.
g é a aceleração da gravidade.
h é a altura em relação a um referencial.
Além da energia, a colisão do pêndulo balístico também pode ser descrita 
em termos do momento linear dos objetos. O momento linear p é uma grandeza 
vetorial relacionada à velocidade do objeto na forma:
v
p = m 


(22)
O momento linear é uma das grandezas mais importantes no estudo 
da mecânica, junto com a energia. Ambas grandezas possuem o princípio da 
conservação, desde que não haja forças não conservativas no fenômeno que está 
sendo analisado.
No caso da energia, temos o Princípio da Conservação da Energia 
Mecânica que descreve que a energia mecânica total se conserva em todos os 
momentos do fenômeno, desde que não haja forças dissipativas. Dessa forma, 
podemos escrever, relacionando a energia mecânica (E) apenas com a energia 
cinética e energia potencial gravitacional:
ANTES DEPOIS
ANTES ANTES DEPOIS DEPOIS
E = E
K +U = K +U
(23)
Um dos exemplos mais icônicos da conservação de energia mecânica 
é o movimento da montanha russa. Considerando um modelo no qual não há 
atrito entre os carrinhos e o trilho, assim como não há resistência do ar, a energia 
mecânica no movimento se conserva. Imagine o seguinte cenário: um carrinho 
TÓPICO 2 | PÊNDULO BALÍSTICO
17
de montanha russa encontra-se no alto do pico A, que está a 50 m do chão, com 
velocidade nula, conforme a figura a seguir. Após o movimento até o próximo 
pico B, que está a 10 m do chão, qual é a sua velocidade?
FIGURA 9 – MONTANHA RUSSA: UM EXEMPLO ICÔNICO DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
FONTE: <https://goo.gl/sXNtvr>. Acesso em: 3 nov. 2018.
Para a solução, sabemos que a energia mecânica no pico A é igual a energia 
mecânica no pico B. Dessa forma:
A BE = E
A A B BK +U = K +U
1 ²
2A B B
mgh = mv +mgh
1 ²
2A B B
gh = v + gh
( ) 1 ²
2A B B
g h h = v−
( )2 ²A B Bg h h = v−
( )2 A B Bg h h = v−
( )2 9,8 50 10 Bx x = v−
784 B= v
/28Bv = m s
(24)
UNIDADE 1 | MECÂNICA
18
O melhor exemplo para a conservação do momento linear são as colisões. 
Segundo Metz (2018, s.p.): 
As colisões são divididas em dois grupos: as Elásticas e as Inelásticas 
(essa subdivida em colisões inelásticas e perfeitamente inelásticas). A 
colisão inelástica tem como característica o fato do momento linear do 
sistema se conservar, mas a energia cinética do sistema não. A colisão 
elástica tem como propriedade o fato de tanto o momento linear como 
a energia cinética do sistema se conservarem.
Considerando as colisões elásticas, podemos citar o seguinte exemplo: 
dois carros estão seguindo na mesma direção. Um carro para bruscamente, porém 
um segundo carro não vê e continua com a velocidade de 10 m/s até colidir com 
o primeiro carro. Após a colisão, os carros formam uma única massa, conforme 
a figura a seguir. Considerando que as massas dos carros são iguais, qual é a 
velocidade final da massa formada pelos dois carros?
FIGURA 10 – MASSA FORMADA PELOS DOIS CARROS APÓS A COLISÃO
FONTE: <https://goo.gl/zBBtQh>. Acesso em: 3 nov. 2018.
Usando a conservação do momento linear antes e depois da colisão, temos:
A Dp = p
 
( )1 2 fmv +mv = m+m v
( )1 22 fm v +v = mv
1 22 fv +v = v
10 0 2 f+ = v
/5fv = m s
(25)
TÓPICO 2 | PÊNDULO BALÍSTICO
19
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
No experimento envolvendo o pêndulo balístico, exploraremos a 
conservação da energia mecânica e do momento linear para descobrir a velocidade 
do projétil antes da colisão com o pêndulo.
Material necessário:
• Conjunto lançamento de projéteis – pêndulo balístico.
• Bolinha de aço.
• Trena.
• Balança analítica.
Procedimento:
1. Meça a massa da bolinha de aço na balança analítica e anote no quadro a 
seguir.
2. Meça a distância entre a extremidade superior do pêndulo e seu centro de 
massa e anote no quadro a seguir.
3. Coloque a bolinha de aço no conjunto de lançamento.
4. Observe se a saída do lançador está alinhada com o pêndulo.
5. Coloque o marcador do ângulo máximo atingido pelo pêndulo em zero.
6. Faça o lançamento.
7. Observe o fenômeno envolvido.
8. Anote o ângulo máximo atingido pelo pêndulo no quadro a seguir.
9. Repita o procedimento 2–7 mais quatro vezes.
QUADRO 2 – DADOS DO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL PÊNDULO BALÍSTICO
Massa da bola (g)
Distância pêndulo (m)
Lançamento Ângulo (º) Altura (m)
01
02
03
04
05
Médio
Desvio Padrão
FONTE: A autora (2018)
UNIDADE 1 | MECÂNICA
20
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO
1 A partir do ângulo máximo de alcance do pêndulo, calcule a altura máxima em 
que o pêndulo chegou. Anote no Quadro 2.
2 Calcule o ângulo máximo médio e a altura máxima média do pêndulo.
3 Calcule o desvio padrão das medidas do ângulo e a altura.
4 Calcule o erro de escala e aleatório da medição do ângulo. Estime o erro máximo.
5 Descreva o cálculo para obter a velocidade inicial da bolinha de aço antes da 
colisão.
6 Calcule a velocidade inicial da bolinha. Não se esqueça do erro máximo 
propagado.
7 Calcule o erro percentual da velocidade inicial da bolinha.
21
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que: 
• A energia mecânica e o momento linear são grandezas de grande utilização na 
Física e apresentam a propriedade da conservação no caso de fenômenos sem 
forças dissipativas.
• O pêndulo balístico é um dispositivo com mais de 200 anos, usado para estimar 
a velocidade da saída de projéteis em armas.
• É possível estimar, de maneira indireta, a velocidade do disparo de um projétil.
• O procedimento para calcular o erro propagado tem regras quedevem ser 
respeitadas.
22
1 Considere um sistema de pêndulo balístico no qual a velocidade inicial do 
projétil é de 300 m/s, a massa do projétil é de 20g e a massa do pêndulo é 1 kg. 
Calcule a altura final do pêndulo.
2 Considere um sistema de pêndulo balístico no qual a massa do projétil é de 
20g, a massa do pêndulo é 500 g e a altura máxima final é de 5 m. Calcule a 
velocidade inicial do projétil.
AUTOATIVIDADE
23
TÓPICO 3
PÊNDULO SIMPLES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O modelo mais simples e ideal de pêndulo é o pêndulo simples. Segundo 
Tipler e Mosca (2009), o pêndulo simples é composto por um fio simples, de 
comprimento L, com uma esfera de massa m em sua extremidade. A extremidade 
superior é presa e não se considera o atrito relativo a essa parte do pêndulo. 
Também se considera que toda a massa m está em um ponto, no centro da esfera. 
Um rascunho do modelo pode ser observado na figura a seguir.
FIGURA 11 – ESQUEMA MOSTRANDO O MODELO DO PÊNDULO SIMPLES
FONTE: A autora (2018)
No movimento do pêndulo, observa-se que quando afastado de sua posição 
de equilíbrio (linha pontilhada na Figura 11) e solto, o pêndulo movimenta-se ao 
redor da posição equilíbrio. O movimento a seguir é periódico, pois desconsidera 
qualquer tipo de atrito e resistência do ar. 
O movimento do pêndulo simples é descrito a partir dos seguintes 
parâmetros:
UNIDADE 1 | MECÂNICA
24
• Período (T): tempo de uma oscilação completa do pêndulo.
• Frequência (f): quantidade de oscilações que o pêndulo completa em 1s.
• Frequência angular (ω): oscilações (em radianos) completadas em um período.
• Amplitude angular (θ0): ângulo máximo alcançado pelo pêndulo durante o 
seu movimento.
• Fase (δ): item matemático que indica em que ângulo começa o movimento.
O movimento do pêndulo é descrito a partir da equação:
( ) ( )0 cost tθ θ ω δ= + (26)
Os parâmetros característicos do pêndulo simples são relacionados 
conforme as equações a seguir:
g
L
ω = (27)
2T π
ω
= (28)
2 LT
g
π= (29)
1f =
T
(30)
Onde:
L é o comprimento do pêndulo simples.
g é a aceleração da gravidade.
Duas características importantes do pêndulo simples são o fato do período 
não depender da massa da esfera, e o modelo funcionar apenas para pequenas 
oscilações, em que θ < 15º. 
Como curiosidade, o pêndulo é utilizado em muitos relógios para manter 
o movimento, havendo uma relação entre o período do pêndulo e o movimento 
do ponteiro dos segundos do relógio.
TÓPICO 3 | PÊNDULO SIMPLES
25
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1
 
No experimento 1, exploraremos os parâmetros característicos do pêndulo 
simples.
Material necessário:
• Haste de suporte.
• 2 bolinhas com massas distintas.
• Trena.
• Balança analítica.
• Fio de nylon.
• Cronômetro (pode ser o do seu celular).
• Transferidor.
Procedimento:
1. Meça as massas das bolinhas B1 e B2 e coloque no quadro a seguir. 
2. Use dois fios de nylon para amarrar as bolinhas B1 e B2 e reserve-as.
3. Use a haste para pendurar o fio com a bolinha B1, de forma que o comprimento 
do fio do pêndulo seja de 50 cm (desde a haste até o meio da bolinha).
4. Use o transferidor para iniciar o movimento do pêndulo, de forma que a 
bolinha (B1) seja solta a 15º da posição de equilíbrio.
5. Use o cronômetro para marcar o tempo de cinco períodos consecutivos, e anote 
no quadro a seguir em 5xT.
6. Meça 5xT por mais quatro vezes.
7. Repita o procedimento 3-6 para a bolinha B2 e anote no quadro a seguir.
QUADRO 3 – DADOS DO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL PÊNDULO SIMPLES
FONTE: A autora (2018)
Experimento pêndulo simples 1
m1 (g)
m2 (g)
L (m) 0,50
B1 B2
Lançamento 5xT (s) 5xT (s)
01
02
03
04
05
Médio
Desvio padrão
T (s) T (s)
Médio
UNIDADE 1 | MECÂNICA
26
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO
1 A partir dos lançamentos do pêndulo simples e cronometragem de cinco 
períodos 5xT, calcule o valor médio de 5xT para cada bolinha, assim como seu 
desvio padrão, e anote no Quadro 3.
2 Calcule o período médio T dividindo o valor de 5xT por cinco e anote no Quadro 
3. 
3 A diferentes massas fizeram diferença no valor do período? Comente.
4 Calcule o erro de escala e aleatório da medição do período. Estime o erro 
máximo.
5 Calcule a frequência e frequência angular para cada bolinha.
6 Defina as equações dos movimentos das bolinhas, com os parâmetros calculados 
no experimento. Lembre-se de usar as unidades do S.I. – no caso do ângulo, 
use radianos.
7 O erro máximo encontrado nas medições do período está de acordo com as 
condições do experimento? Comente.
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 2
 
No experimento 2, estimaremos o valor da aceleração da gravidade no 
laboratório. Sabemos que a aceleração da gravidade (g) possui valores distintos 
conforme a posição que estamos no planeta Terra. De acordo com Soares (2018, s.p.):
Se a Terra fosse uma esfera perfeita, a aceleração da gravidade seria a 
mesma em todos os lugares sobre a sua superfície. Como ela não é 
perfeita, isto é, não é homogênea e possui a forma de um geoide, que é mais 
ou menos como uma pera achatada, o valor da aceleração da gravidade 
varia de local para local. Por exemplo, no Rio de Janeiro, no Observatório 
Nacional, a aceleração da gravidade vale 9,787899 m/s2, conforme 
registrado no livro das Efemérides Astronômicas, de 1999, publicado pelo 
próprio Observatório. A aceleração da gravidade em Belo Horizonte, no 
Departamento de Física, da UFMG, vale 9,7838163 m/s2.
Como o período do pêndulo simples depende apenas do comprimento 
dele e da aceleração da gravidade, vamos utilizá-lo para calcular o valor de g no 
laboratório em que estivermos.
Material necessário:
• Haste de suporte.
• 1 bolinha. 
TÓPICO 3 | PÊNDULO SIMPLES
27
• Trena.
• Balança analítica.
• Fio de nylon.
• Cronômetro (pode ser o do seu celular).
• Transferidor.
Procedimento:
1. Use 1,20 m do fio de nylon e amarre uma de suas extremidades na bolinha.
2. Use a haste para pendurar o fio com a bolinha, deixando o pêndulo com 
comprimento de 20 cm (Lembre-se de que esse comprimento irá variar durante 
o experimento, portanto, prenda o fio de forma que seja fácil retirá-lo depois).
3. Use o transferidor para iniciar o movimento do pêndulo, de forma que a 
bolinha seja solta a 15º da posição de equilíbrio.
4. Use o cronômetro para marcar o tempo de 5 períodos consecutivos, e anote no 
Quadro 4 em 5xT, medição 1.
5. Meça 5xT por mais quatro vezes.
6. Altere o comprimento do fio para 40 cm e faça novamente os passos 3-5.
7. Repita o procedimento 2-5 para os comprimentos 60 cm, 80 cm e 100 cm.
QUADRO 4 – DADOS DO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL PÊNDULO SIMPLES 2
Experimento pêndulo simples 2
5xT (s)
L 1 2 3 4 5 5xTmédio T(s)
20 cm
40 cm
60 cm
80 cm
100 cm
Cálculos do procedimento pêndulo simples 2
L (m) T(s) T²(s²)
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
FONTE: A autora (2018)
QUADRO 5 – CÁLCULOS DO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL PÊNDULO SIMPLES 2
FONTE: A autora (2018)
UNIDADE 1 | MECÂNICA
28
5 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO
1 A partir dos lançamentos do pêndulo simples e cronometragem de cinco 
períodos 5xT, calcule o valor médio de 5xT para cada comprimento, assim 
como seu desvio padrão, e anote no Quadro 4. 
2 Calcule o período médio T dividindo o valor de 5xT por cinco e anote nos 
quadros 4 e 5. 
3 Calcule o quadrado do período e anote no Quadro 5.
4 Calcule o erro de escala e aleatório da medição do período. Estime o erro 
máximo.
5 Faça o gráfico T x L no software origin. Como os pontos se comportaram no 
gráfico? Comente.
6 Faça o gráfico T² x L no software origin. Como os pontos se comportaram no 
gráfico? Comente.
7 Calcule o coeficiente angular da reta interpolada no gráfico T² x L. Linearize a 
equação 29 e encontre a aceleração da gravidade.
8 Calcule a aceleração da gravidade usando cada período médio calculado 
para cada comprimento a partir da equação 29. A seguir, encontre o valor da 
aceleração da gravidade médio por esse método. Além disso, calcule o desvio 
padrão do valor.
9 Compare os valores das acelerações da gravidade calculados nos exercícios 6e 
7. Há diferenças? Por quê?
10 Os valores encontrados como acelerações da gravidade são próximos ao valor 
considerado padrão (g=9,81 m/s²)? Comente.
TÓPICO 3 | PÊNDULO SIMPLES
29
30
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que: 
• O modelo mais simples de pêndulo ideal é o pêndulo simples.
• O pêndulo é caracterizado por período, frequência, frequência angular, 
amplitude angular e fase.
• O movimento de um pêndulo simples pode ser descrito pela equação 
( ) ( )0 cost tθ θ ω δ= + .
• O pêndulo simples pode ser usado para calcular o valor da gravidade. 
31
1 Considere um pêndulo simples com comprimento de 1 m. Qual é o período 
desse pêndulo?
2 Considere um pêndulo simples com comprimento de 2 m na superfície da 
Lua (g = 1,6 m/s²). Qual é a sua frequência?
3 Considere um pêndulo simples com comprimento de 1 m na superfície da 
Lua (g = 1,6 m/s²). Qual é a sua frequência angular?
AUTOATIVIDADE
32
33
TÓPICO 4
PÊNDULO FÍSICO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O modelo físico matemático do pêndulo físico é aquele cujas 
propriedades mais se assemelham aos pêndulos que vemos no cotidiano. 
Dessa forma, no modelo de pêndulo físico encaixam-se desde os pêndulos de 
relógio antigos (figura a seguir) até mesmo o balanço em pêndulo invertido 
de prédios com o vento.
FIGURA 12 – PÊNDULOS DIVERSOS EM UM RELÓGIO ANTIGO
FONTE: <https://goo.gl/ZJECgp>. Acesso em: 26 nov. 2018.
34
UNIDADE 1 | MECÂNICA
Esse modelo leva em consideração além do comprimento, a distribuição 
de massa do pêndulo e a sua forma. O modelo também consiste na oscilação em 
torno de um ponto fixo sem atrito e no movimento sem a resistência do ar.
Segundo UFJF (2018, p. 6):
O pêndulo físico é um objeto extenso posto para oscilar em torno 
de um ponto P, por onde passa o eixo de suspensão. Além do ponto 
de suspensão, distinguimos dois outros pontos no pêndulo físico: o 
centro de gravidade G e o ponto O, denominado centro de oscilação, 
que determina o comprimento L do pêndulo simples equivalente, ou 
seja, de mesmo período do pêndulo físico considerado. O centro de 
gravidade G é o ponto onde a resultante das forças gravitacionais atua. 
Se o eixo de suspensão passar por esse ponto, o corpo não oscila: ele 
gira em torno do ponto de suspensão. 
O período de oscilação de um pêndulo físico é calculado usando a equação 
a seguir:
2f
IT
mgh
π= (31)
Onde:
I é o momento de inércia de massa do objeto em relação ao ponto de 
oscilação O.
m é a massa do pêndulo.
g é a aceleração da gravidade no local de oscilação.
h é a distância entre o centro de massa e o centro de rotação.
Podemos fazer uma equivalência entre o pêndulo simples e o pêndulo 
físico, de forma a ter um pêndulo simples com comprimento tal qual o período 
seja o mesmo de um pêndulo simples:
Simples FísicoT T= (32)
2 2L I
g mgh
π π= (33)
L I
g mgh
= (34)
IL
mh
= (35)
Vamos considerar como exemplo que o pêndulo físico em questão é uma 
barra, como na figura a seguir:
TÓPICO 4 | PÊNDULO FÍSICO
35
FIGURA 13 – MODELO DE PÊNDULO FÍSICO DE UMA BARRA COM CENTRO DE OSCILAÇÃO 
NA PONTA DA BARRA
FONTE: A autora (2018)
O momento de inércia de massa para uma barra homogênea com 
comprimento a, largura b e espessura uniforme, em relação a um eixo de rotação 
perpendicular passando pelo centro de massa da barra (como a barra é uniforme, 
o centro de massa é o centro geométrico), é dado por 
( )1 ² ²
12CG
I M a b= + (36)
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (equação 38), obtemos o momento 
de inércia da barra em relação a um eixo de rotação que passa pela extremidade 
da barra a uma distância 
2
ah = do centro: 
²E CGI I Mh= + (37)
( )
21 ² ²
12 2E
aI M a b M  = + +  
 
(38)
( )1 4 ² ²
12E
I M a b= + (39)
Se considerarmos que a >> b, reescrevemos (39) como 
36
UNIDADE 1 | MECÂNICA
1 ²
3E
I Ma= (40)
Para calcular o comprimento do pêndulo simples cujo período é igual ao 
pêndulo em barra da Figura 13, usamos o resultado (40) na equação (32):
EIL
mh
= (41)
1 ²
3
2
Ma
L aM
= (42)
2
3
L a= (43)
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Procedimento:
1. Use a trena para medir o comprimento da barra e anote em L no Quadro 6.
2. Monte o experimento de forma que a barra possua seu eixo de rotação na parte 
superior da barra. Confira se a barra oscila de forma contínua – sabemos que é 
impossível desconsiderar o efeito do atrito, mas podemos tentar minimizá-lo 
na montagem.
3. Meça o tempo de 10 oscilações completas e anote no Quadro 6.
4. Repita o item três por mais 4 vezes.
5. Agora, desencaixe a barra e monte-a novamente, porém com seu eixo de 
rotação coincidindo com o centro geométrico da barra.
6. Meça o tempo de 10 oscilações completas e anote no Quadro 7.
7. Repita o item três por mais 4 vezes.
QUADRO 6 – DADOS EXPERIMENTAIS DO EXPERIMENTO DO PÊNDULO FÍSICO COM APOIO 
NA EXTREMIDADE DA BARRA
Comprimento da barra (m)
Repetição 10 T [s] T [s]
1
2
3
4
5
Média
Desvio Padrão
FONTE: A autora (2018)
TÓPICO 4 | PÊNDULO FÍSICO
37
QUADRO 7 – DADOS EXPERIMENTAIS DO EXPERIMENTO DO PÊNDULO FÍSICO COM APOIO 
NO CENTRO GEOMÉTRICO DA BARRA
Comprimento da barra (m)
Repetição 10 T [s] T [s]
1
2
3
4
5
Média
Desvio Padrão
FONTE: A autora (2018)
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO
1 Calcule o período, período médio e desvio padrão para as medidas dos 
quadros 6 e 7.
2 Calcule o erro aleatório e de escala das medições. Estime o erro máximo.
3 Calcule o comprimento do pêndulo simples correspondente a cada eixo de 
rotação. O que mudou entre eles?
4 Existe alguma relação entre os períodos calculados entre os eixos de rotação? 
É possível matematizar essa relação? Comente.
38
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você aprendeu que: 
• O modelo de pêndulo físico é o que mais se aproxima ao movimento no 
cotidiano.
• O pêndulo físico leva em consideração a distribuição de massa do pêndulo, 
assim como a localização de seu eixo de rotação.
• O período de um pêndulo físico é influenciado pela distribuição de massa, 
massa total, aceleração da gravidade e distância do eixo de rotação.
• É possível calcular um pêndulo simples com comprimento equivalente ao 
pêndulo físico.
39
AUTOATIVIDADE
1 Pesquise o momento de inércia de uma peça retangular que gira em torno 
de seu centro de massa. Considere que a peça retangular tenha lados iguais 
a 1 cm e 2 cm com a massa de 400 g, qual é o valor do momento de inércia?
2 Considere que a peça retangular esteja com 2 cm de altura. Qual é o período 
de oscilação?
40
41
TÓPICO 5
ESTÁTICA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O conjunto de leis mais importantes da Física são as Leis de Newton. Da 
mesma forma que toda a parte da dinâmica é regida por elas, a estática, parte da 
Física que trata de corpos parados, também é baseada nelas.
Na estática, temos três equações que determinam as condições de 
equilíbrio, que relacionam as forças que atuam na direção x, forças que atuam na 
direção y e momento das forças em relação a algum ponto de interesse.
0xF =∑

(44)
0yF =∑

(45)
0M =∑

(46)
A estática é a base de todas as estruturas que vemos no nosso dia a dia, 
desde prédios e pontes, a formações geológicas, como a da figura a seguir. Por 
isso é importante conhecer as relações matemáticas e suas aplicações.
FIGURA 14 – EXEMPLO DE ESTÁTICA NO COTIDIANO
FONTE: <https://goo.gl/AeFCXb>. Acesso em: 3 nov. 2018.
42
UNIDADE 1 | MECÂNICA
Uma das aplicações básicas da estática em exercícios é a relação entre 
blocos e cordas. Por exemplo: “Calcule a tensão nas cordas C1 e C2 na figura a 
seguir, considerando que o bloco possui massa igual a 100 kg”. Vamos lembrar 
alguns conceitos resolvendo essa questão.
FIGURA 15 – FIGURA QUE MOSTRA A RELAÇÃO ENTRE CORDAS E BLOCOS
FONTE: A autora (2018)
Primeiro, vamos fazer o diagrama de forças:
FIGURA 16 – DIAGRAMA DE FORÇAS DO PROBLEMA
FONTE: A autora (2018)
Com isso, podemos relacionar as forças com as equações de equilíbrio:
TÓPICO 5 | ESTÁTICA
43
0xF =∑

( ) ( )1 2cos 45º - cos 45º 0C CT T =
(47)
0yF =∑

( ) ( )1 245º 45º - 0C CT senT sen P+ =
(48)
Assim temos um sistema de equações definidos pelas equações (47) e (48). 
Para resolver, podemos, por exemplo, somar as equações, lembrando que seno e 
cosseno de 45º possuem o mesmo valor numérico. Então:
( ) ( )1 2cos 45º - cos 45º 0C CT T =
( ) ( )1 245º 45º - 0C CT sen T sen P+ =
_____________________________________________
( )12 45º - 0CxT sen P =
( )12 45ºCxT sen P=
( )1 2 45ºC
PT
sen
=
( )1 2 45ºC
mgT
sen
=
1
100 9,8
2 0,71C
xT
x
=
1 690CT N=
(49)
Substituindo o valor encontrado em TC1 na equação 47:
( ) ( )1 2cos 45º - cos 45º 0C CT T =
( )
( )
1
2
cos 45º
cos 45º
C
C
T
T =
2 1C CT T=
2 690CT N=
(50)
Assim, usando as equações de equilíbrio, chegamos as tensões das cordas 
dos problemas.
44
UNIDADE 1 | MECÂNICA
2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1
O primeiro experimento será realizado com base no modelo das antigas 
balanças, nas quais eram utilizados pesos conhecidos para aferir a massa de 
um objeto, conforme a figura a seguir. A diferença será que, no nosso caso, não 
teremos várias massas conhecidas e, desta forma, temos que usar o conceito de 
momento de uma força (M). Vamos lembrar que a conservação de momento é 
uma das equações fundamentais da estática.
FIGURA 17 – DIAGRAMA DE FORÇAS DO PROBLEMA
FONTE: <https://goo.gl/1v73Ux>. Acesso em: 3 nov. 2018.
Material necessário:
• Haste.
• 2 massas conhecidas.
• Régua de 30 cm.
• Nylon.
• Massa desconhecida.
• Balança analítica.
Procedimento:
1. Monte o aparato experimental conforme o esquema da figura a seguir, 
prendendo a régua na haste.
TÓPICO 5 | ESTÁTICA
45
FIGURA 18 – DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO DE ESTÁTICA 1
FONTE: A autora (2018)
2. Use o Nylon para prender a massa desconhecida em um lado da régua.
3. Use as massas conhecidas para nivelar a régua, prendendo uma (ou as duas) 
massas no outro lado da régua.
4. Observe se a régua fica estática e na horizontal.
5. Anote a posição da massa desconhecida e das massas conhecidas no Quadro 8.
FIGURA 19 – ESQUEMA DO EXPERIMENTO MOSTRANDO AS DISTÂNCIAS A SEREM MEDIDAS
FONTE: A autora (2018)
46
UNIDADE 1 | MECÂNICA
6. Retire as massas da régua.
7. Refaça os passos 1-5 mais 4 vezes e anote no Quadro 8.
QUADRO 8 – CÁLCULOS DO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ESTÁTICA 1
Experimento de Estática 1
Massa conhecida (kg)
Medição Distância massa desconhecida (m)
Distância massa 
conhecida (m)
01
02
03
04
05
Média
Desvio Padrão
FONTE: A autora (2018)
3 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 1
1 Calcule a posição média das massas conhecida e desconhecida na régua e 
coloque no Quadro 8.
2 Calcule o desvio padrão das medidas da posição das massas na régua e anote 
no quadro.
3 Calcule o erro aleatório e de escala das medições. Estime o erro máximo.
4 Use a conservação do momento da força peso para estimar a massa desconhecida 
em cada uma das cinco medições.
5 Calcule a massa desconhecida média e seu desvio padrão. Os valores estão de 
acordo com a realidade? O desvio padrão é aceitável? Por quê?
6 Meça a massa desconhecida na balança analítica e calcule o erro percentual em 
relação ao valor calculado. Comente os resultados obtidos.
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 2
O segundo experimento utilizará materiais comuns do cotidiano. É comum 
em festas e aniversários o uso da condição de equilíbrio para a diversão. Um dos 
truques realizados será explicado de maneira científica nesse experimento.
TÓPICO 5 | ESTÁTICA
47
Material necessário:
• 2 garfos.
• Palito de dente.
• Copo.
• Balança analítica.
• Transferidor.
Procedimento:
1. Meça as massas dos garfos e anote no Quadro 9.
2. Prenda os dois garfos em formato de V entrelaçando seus dentes.
3. Use o palito de dente para equilibrar os garfos na ponta do copo.
FIGURA 20 – ESQUEMA MOSTRANDO A VISTA SUPERIOR DA PROVÁVEL POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO
Experimento de Estática 2
Massa Garfo 1 (kg)
Massa Garfo 2 (kg)
Medição Ângulo medido entre os garfos (º)
01
02
03
04
05
FONTE: A autora (2018)
4. Aguarde o sistema entrar em equilíbrio.
5. Use o transferidor para medir o ângulo formado entre os garfos e anote no 
Quadro 9.
6. Desmonte o experimento e refaça os passos de 2-5 mais quatro vezes.
QUADRO 9 – CÁLCULOS DO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ESTÁTICA 2
48
UNIDADE 1 | MECÂNICA
FONTE: A autora (2018)
5 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO 2
1 Calcule o ângulo médio da posição de equilíbrio dos garfos e seu desvio padrão.
2 Calcule o erro aleatório e de escala das medições. Estime o erro máximo.
3 É possível estimar a força exercida pelos garfos no palito de dente? Como?
4 Calcule a força exercida pelos garfos no palito de dente.
Média
Desvio Padrão
49
RESUMO DO TÓPICO 5
Neste tópico, você aprendeu que: 
• A estática é a parte da mecânica que considera objetos que não estão em 
movimento.
• Existem três equações de equilíbrio, que relacionam a força na direção x, a 
força na direção y e o momento das forças em relação a algum ponto.
• A estática está presente na construção de prédios e pontes.
• É base do funcionamento das balanças mais antigas. 
50
1 Considere que é necessário um momento de 10 Nm para girar um cano, 
porém a força máxima disponível para essa operação é 20 N. A qual distância 
a força tem que ser aplicada?
2 Duas crianças estão em uma gangorra e querem equilibrar a prancha da 
gangorra horizontalmente. Uma criança tem 25 kg e está a 1,0 m do centro da 
prancha, a outra criança tem 30 kg. A que distância ela deve sentar?
AUTOATIVIDADE
51
UNIDADE 2
ONDAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• aprofundar seus conhecimentos em ondas mecânicas, em especial, nas on-
das sonoras;
• relembrar os princípios básicos de óptica geométrica;
• explicar e aplicar os fenômenos da óptica física;
• observar experimental dos conceitos de ondulatória vistos na disciplina 
teórica.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você en-
contrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – ONDAS MECÂNICAS
TÓPICO 2 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS: ÓPTICA GEOMÉTRICA
TÓPICO 3 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS: ÓPTICA FÍSICA
52
53
TÓPICO 1
ONDAS MECÂNICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
As ondas mecânicas são presença constante no nosso cotidiano: podemos 
vê-las em ação na nossa audição, que converte ondas mecânicas sonoras em sinais 
elétricos no cérebro, até mesmo no movimento das ondas no mar. Nesse tópico 
estudaremos a propagação das ondas mecânicas, no caso dos experimentos, 
utilizaremos as ondas sonoras; seus parâmetros característicos, como velocidade 
e amplitude; e alguns dos seus fenômenos, com foco na ressonância.
Os fenômenos associados a ondas mecânicas são de extrema importância 
no trabalho técnico: um terremoto pode causar ondas sísmicas, gerando por 
exemplo ressonância e danificando construções; a refração das ondas sonoras 
pode gerar poluição, visto que os ruídos gerados por linhas de produção, se não 
cuidados, podem ultrapassar a barreira da fábrica. Desta forma, compreender 
como são geradas as ondas sonoras e quais são suas principais características é 
essencial para a sociedade.
2 ONDULATÓRIA E ONDAS SONORAS
A ondulatória – o estudo das ondas – é um dos principais ramos da 
Física (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). As ondas são divididas em três 
tipos principais: ondas mecânicas, eletromagnéticas e de matéria. Na Unidade 2, 
exploraremos experimentos para entender os conceitos fundamentais das ondas 
mecânicas e eletromagnéticas. As ondas de matéria, segundo Halliday, Resnick e 
Walker (2016), são mais estudadas em laboratório e são associadas ao movimento 
de partículas elementares da matéria, como elétrons e prótons. 
No Tópico 1, abordaremos as ondas mecânicas, que são nada mais do 
que o transporte de uma perturbação por um meio. Ou seja, só existe uma 
onda mecânica se houver um meio por onde ela possa ser propagada. Dessa 
forma, precisamos, essencialmente, de três condições para que haja uma onda 
mecânica: uma fonte de perturbação, um meio (paraa perturbação se propagar), 
e um mecanismo físico (para que as partículas do meio consigam transmitir a 
perturbação). 
São exemplos de ondas mecânicas:
• Ondas sonoras.
• Ondas do mar.
UNIDADE 2 | ONDAS
54
• Ondas sísmicas.
• Ondas em uma corda de violão.
As ondas mecânicas estão divididas em dois outros subtipos: longitudinais 
e transversais. As ondas longitudinais são aquelas que “o movimento das 
moléculas [...] é paralelo à direção de propagação da onda” (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2016, p. 120). As ondas sonoras são consideradas ondas 
longitudinais. As ondas transversais são aquelas nas quais o movimento das 
moléculas é perpendicular a sua propagação. 
Considerando apenas as ondas sonoras, temos como características de 
sua propagação as frentes de onda (observe na figura a seguir), que são definidas 
como “superfícies nas quais as oscilações produzidas pelas ondas sonoras têm o 
mesmo valor” (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016, p. 154). Por outro lado, 
raios (observe na figura a seguir) são vetores perpendiculares às frentes de onda, 
que mostram a direção de propagação da onda. 
Halliday, Resnick e Walker (2016) comentam que perto de uma fonte 
pontual de ondas sonoras, as frentes de onda são sempre esféricas. Dessa forma 
percebemos que o som tem uma propagação tridimensional. Quanto mais longe 
da fonte, mais distorções são acrescentadas a essa frente de onda, de forma que, 
se considerarmos a fonte muito longe, as frentes de onda podem ser consideradas 
planas e paralelas. 
FIGURA 1 – ESQUEMA MOSTRANDO CARACTERÍSTICAS DE ONDAS SONORAS
FONTE: A autora (2018)
TÓPICO 1 | ONDAS MECÂNICAS
55
FIGURA 2 – GOTEJAMENTO EM ÁGUA
FONTE: <https://cdn.pixabay.com/photo/2014/04/11/17/44/water-321847_960_720.jpg/>. 
Acesso em: 22 nov. 2018.
OBS.: É possível observar o comprimento de onda e afastamento na onda gerada 
por um pingo de água, além de observar a interação entre várias ondas. 
3 PARÂMETROS DE INTERESSE EM UMA ONDA SONORA
• Velocidade de propagação do som: dentre os parâmetros característicos de uma 
onda sonora, a sua velocidade é importante, pois varia dependendo do meio 
em que se propaga, dependendo de características físicas como temperatura, 
densidade e pressão do meio. Podemos calcular a velocidade do som pela 
equação a seguir:
SOM
Bv
ρ
= (1)
Onde:
B é o módulo de elasticidade volumétrico do meio.
SOM
Bv
ρ
=
 é a massa específica do meio.
Especificamente, para a propagação do som no ar, Fernandes (2005) traz 
duas equações interessantes: a dependência da velocidade do som no ar da pressão 
atmosférica (P) e densidade (D) (equação 2); e a equação geral para velocidade de 
propagação do som no ar dependente da temperatura (T), considerando entre -30 
ºC e 30 ºC (equação 3).
UNIDADE 2 | ONDAS
56
1,4SOM
Pv
D
= (2)
331,4 0.607.SOMv T= + (3)
De maneira geral, consideramos a velocidade de propagação do som no ar 
igual a 344 m/s na temperatura ambiente (20 ºC). 
• Comprimento de onda (λ): é o tamanho do comprimento de um ciclo da 
onda sonora, ou seja, a distância entre dois pontos de oscilação que estão no 
mesmo ponto da onda. Ou seja, onde o padrão de compressões e expansões 
relacionados à onda sonora se repete. A figura a seguir auxilia o entendimento, 
mostrando o comprimento de onda em três situações diferentes:
FIGURA 3 – DEFINIÇÃO DE COMPRIMENTO DE ONDA DE UMA ONDA SONORA: A REPETIÇÃO 
DE PADRÕES DE COMPRESSÃO E EXPANSÃO DO MEIO DE PROPAGAÇÃO
FONTE: A autora (2018)
• Frequência (f): a frequência é a quantidade de ciclos que a onda sonora faz em um 
segundo. Esse parâmetro é comumente utilizado no cotidiano, principalmente 
quando se fala de som, pois ligamos sons agudos a altas frequências e sons 
graves, às baixas frequências. Podemos relacionar a velocidade, frequência e 
comprimento de onda com a equação a seguir:
TÓPICO 1 | ONDAS MECÂNICAS
57
SOMv fλ= ⋅ (4)
• Intensidade: também chamada de amplitude, essa característica está 
relacionada ao volume do som, ou seja, o quão intenso é a onda sonora. Na 
análise da forma da onda, a amplitude pode ser entendida como a maior 
diferença entre a posição da onda, é o eixo x, como pode ser observado na 
figura a seguir.
FIGURA 4 – ANÁLISE DA FORMA DE UMA ONDA SONORA, CONSIDERANDO O SEU PERFIL EM 
UM INSTANTE ESPECÍFICO
FONTE: A autora (2018)
• Análise espectral: muito utilizada no estudo da acústica, a análise espectral 
apresenta a onda sonora captada a partir das frequências encontradas. 
• Ruído: perturbações indesejadas acrescentadas a onda sonora, entre a sua 
emissão e sua captação. Há vários métodos matemáticos desenvolvidos para 
tentar minimizar o efeito do ruído. É considerado uma forma de incerteza.
• Período (T): é o tempo que leva para uma onda fazer o seu ciclo completo. 
Ou seja, é o tempo que leva para que haja o deslocamento referente a um 
comprimento de onda. Matematicamente, o período é o inverso da frequência.
4 FENÔMENOS CARACTERÍSTICOS DE ONDAS SONORAS
Uma parte interessante do estudo da ondulatória são os efeitos 
característicos das ondas. No caso das ondas mecânicas, no nosso caso 
especialmente das ondas sonoras, temos pelo menos quatro efeitos importantes:
UNIDADE 2 | ONDAS
58
• Reflexão: o fenômeno da reflexão é mais conhecido na óptica geométrica com 
a presença de espelhos. Porém também é possível observar tal fenômeno com 
ondas mecânicas, como as ondas sonoras. O efeito acontece quando a onda 
incide em uma superfície refletora, o que faz com que a onda mude de sentido. 
A figura a seguir ilustra esse princípio. 
FIGURA 5 – REFLEXÃO DE ONDAS SONORAS
FONTE: A autora (2018)
• Refração: o fenômeno da refração é caracterizado pela alteração da direção 
da onda quando essa passa entre meios com características diferentes. É o 
caso por exemplo da alteração do som ao passar por uma parede. Durante a 
refração apenas a frequência da onda é mantida constante e alterações também 
na sua velocidade de deslocamento e comprimento de onda são comuns, como 
podemos observar na figura a seguir. Na passagem entre meios diferentes 
também pode ocorrer a atenuação da amplitude da onda, princípio base 
utilizado no planejamento isolação sonora de ambientes.
FIGURA 6 – REFRAÇÃO DE ONDAS SONORAS
FONTE: A autora (2018)
TÓPICO 1 | ONDAS MECÂNICAS
59
• Ressonância: segundo Donoso (2018, p. 14) “Todas as estruturas mecânicas 
têm uma ou mais frequências naturais de oscilação”. Quando a estrutura 
recebe uma onda sonora com frequência igual a uma das frequências natu-
rais de oscilação, a amplitude aumenta consideravelmente. Há casos, como 
o da famosa ponte de Tacoma, nos Estados Unidos, que em 1940 foi colap-
sada por causa da ressonância da estrutura com o vento (DONOSO, 1940; 
TIPLER; MOSCA, 2009). Esse efeito ocorre em todas as ondas mecânicas.
DICAS
A ponte de Tacoma é um exemplo clássico de colapso de estrutura por 
ressonância. No link a seguir, é possível ver um curta metragem de cerca de 4 min sobre 
o colapso da ponte, com imagens da época. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=dvRHK4yA8rc>. Acesso em: 11 jan. 2019. 
• Ondas estacionárias: quando temos uma onda mecânica viajando dentro 
de um espaço confinado, como um tubo, com ambas as extremidades 
fechadas, ocorre o fenômeno da reflexão da onda nas extremidades. Com 
isso, é gerado uma onda que é a soma das ondas incidente e refletida, e 
em algumas frequências geram as chamadas ondas estacionárias (TIPLER; 
MOSCA, 2009). As ondas estacionárias são a base de funcionamento de 
vários instrumentos musicais, como instrumentos de corda (violão e violino, 
entre outros) e instrumentos de sopro (como flautas e oboés, por exemplo).
As frequências que geram essas ondas estacionárias são chamadas 
frequências de ressonância. A menor frequência em que o fenômeno ocorre é 
chamada de frequência fundamental. As outras frequências de ressonância que 
são múltiplas da frequência fundamental são chamadas de harmônicas – termo 
que vem da música. Podem haver também frequências de ressonância fora dessaregra, que são chamadas de sobretom – outro termo musical.
Matematicamente, para uma onda com as duas extremidades fixas, a equação a 
seguir relaciona a frequência de ressonância n com a velocidade da onda:
n
n
vf
λ
= (5)
Ou,
2n
vf L
n
=
(6)
UNIDADE 2 | ONDAS
60
Onde:
fn é a frequência do harmônico n.
L é o comprimento do tubo.
n é o índice da frequência, onde .
v é a velocidade da onda.
5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Uma das características mais marcantes do som é a sua velocidade, vamos 
usar o kit de acústica master para medir a sua velocidade dentro do laboratório, 
utilizando o roteiro de USP (s.d.b). Nesse experimento, usamos a ressonância de 
uma onda sonora para calcular a velocidade dela.
Material necessário:
• Tubo de acrílico com êmbolo móvel.
• Gerador de sinal. 
• Alto-falante fixo na extremidade do tubo.
• Microfone para captação do som amplificador fixo na extremidade do tubo.
• Fone de ouvido.
• Termômetro.
• Trena.
• Giz para quadro negro ou canetinha de retroprojetor (um instrumento que 
faça marca no tubo e que possa ser facilmente apagada).
Procedimento:
1. Monte o experimento com os materiais do kit de óptica e segundo suas 
instruções.
2. Deixe o êmbolo posicionado no início do tubo (próximo ao microfone). 
3. Meça a temperatura ambiente e anote em Temperatura 0 no quadro.
4. Use o gerador de sinal para obter uma onda com frequência de 300 Hz.
5. Usando o fone de ouvido, desloque o embolo lentamente e identifique o 
primeiro máximo de intensidade sonora (A1).
6. Marque a posição do embolo no tubo usando o giz de quadro ou canetinha, 
conforme a figura a seguir.
FIGURA 7 – ESBOÇO MOSTRANDO A MONTAGEM EXPERIMENTAL E O LOCAL DE MARCAÇÃO
A
 e
qu
aç
ão
 e
st
á 
co
rr
om
pi
da
. V
er
 co
m
 re
sp
on
sá
ve
l c
om
o 
é 
a 
eq
ua
çã
o.
FONTE: A autora (2018)
TÓPICO 1 | ONDAS MECÂNICAS
61
7. Continue deslocando o êmbolo e identifique todas as posições de máxima 
intensidade sonora possíveis (A2, ..., An) ao longo do tubo. 
8. Marque essas posições no tubo com o giz e, com o uso de uma trena, registro 
esses comprimentos (A0A1, A1A2 etc.), conforme a figura a seguir, e sua 
frequência correspondente no gerador no Quadro 1.
FIGURA 8 – ESBOÇO MOSTRANDO A MONTAGEM EXPERIMENTAL E MOSTRANDO AS 
DISTÂNCIAS A SEREM MEDIDAS
Temperatura 0 (ºC)
Temperatura 1 (ºC)
Frequência (Hz) A0A1 A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 A5A6 A6A7
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
FONTE: A autora (2018)
9. Considere a posição A0 a extremidade do tubo. 
10. Repita o procedimento 2-8 para as frequências de 400 até 1200 Hz.
11. Meça a temperatura do ar no ambiente e anote em temperatura 1 no quadro.
QUADRO 1 – DISTÂNCIAS MEDIDAS NO EXPERIMENTO DE CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ
FONTE: a autora (2018)
OBS.: Preencha apenas as distâncias referentes aos máximos que foram obtidos.
 
UNIDADE 2 | ONDAS
62
6 ATIVIDADES E QUESTIONÁRIO
1 Explique com as suas palavras o que são os pontos de máxima intensidade 
sonora e por que eles são importantes.
2 Como podemos utilizar as distâncias medidas para calcular o comprimento de 
onda emitido pelo gerador de sinais?
3 Calcule o comprimento de onda para cada distância entre máximos de cada 
frequência e anote no quadro 2. Também calcule o comprimento de onda mé-
dio e anote em λm.
QUADRO 2 – COMPRIMENTOS DE ONDA CALCULADOS A PARTIR DO EXPERIMENTO
Frequência (Hz) λ01 λ12 λ23 λ34 λ45 λ56 λ67 λm
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
FONTE: A autora (2018)
OBS.: Preencha apenas os comprimentos de onda referentes aos máximos que 
foram obtidos.
4 Em relação ao Quadro 2, algum dos comprimentos de onda teve valor muito 
diferente da média? Qual e por quê? Exclua esse valor do cálculo da média do 
comprimento de onda.
5 A partir dos comprimentos de onda e frequências, calcule a velocidade do som 
para cada linha do quadro e anote no Quadro 3. Da mesma forma, calcule a 
velocidade média e seu desvio padrão.
TÓPICO 1 | ONDAS MECÂNICAS
63
Frequência (Hz) VS
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
Média
Desvio Padrão
QUADRO 3 – VELOCIDADE DO SOM CALCULADA PARA CADA FREQUÊNCIA A PARTIR DO 
COMPRIMENTO DE ONDA MÉDIO E FREQUÊNCIA NOMINAL
FONTE: A autora (2018)
6 Como se comportou o valor da velocidade do som calculado? Houve alguma 
discrepância? O desvio padrão calculado é aceitável?
7 Faça no Origin um gráfico relacionando as 10 frequências e comprimentos 
de onda do Quadro 2. Interpole linearmente e use o coeficiente angular para 
calcular a velocidade do som. Os resultados obtidos no gráfico e na questão 5 
diferem muito?
8 Usando a Equação 3, calcule o valor teórico da velocidade do som para a 
temperatura média do ambiente onde foi realizado o experimento. Os valores 
teóricos e experimentais têm grande divergência? Comente.
64
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que: 
• As ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais.
• Ondas sonoras possuem parâmetros característicos como amplitude, 
frequência, período e ruído.
• Há três efeitos característicos nas ondas mecânicas: reflexão, refração e 
ressonância.
• Ondas estacionárias em um tubo parcialmente fechado podem estar em 
ressonância.
• A velocidade do som é uma constante, porém depende da temperatura do 
ambiente.
65
AUTOATIVIDADE
1 Calcule a velocidade do som no ar nas temperaturas de 20ºC e 30ºC.
2 O que é uma onda estacionária? Onde podemos percebê-las?
3 O que é a frequência fundamental de uma onda estacionária?
66
67
TÓPICO 2
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS: 
ÓPTICA GEOMÉTRICA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Ondas eletromagnéticas, ao contrário das ondas mecânicas, são ondas que 
não precisam de um meio para se propagar. Segundo Halliday, Resnick e Walker 
(2016), uma pequena parcela das ondas eletromagnéticas é visível, formando o 
que chamamos de luz visível.
James Clerk Maxwell, em meados do século XIX, mostrou que a luz visível 
nada mais é que a propagação de campos magnéticos e elétricos. Logo depois 
foram descobertas outras ondas que possuem o mesmo comportamento como 
ondas de raio, micro-ondas, entre outras (HALLIDAY; RESNICK; WALCKER, 
2016). A figura a seguir mostra o espectro das ondas eletromagnéticas, com 
comprimento de onda entre 10-15 m (raios cósmicos) até 107 m. 
FIGURA 9 – ESPECTRO DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS COM ÊNFASE NAS ONDAS DO 
ESPECTRO VISÍVEL
FONTE: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_vis%C3%ADvel#/media/File:Electroma gnetic_
spectrum_-pt.svg>. Acesso em: 24 nov. 2018.
A visão humana é adequada às ondas eletromagnéticas visíveis, cujo 
comprimento de onda variam entre 400 nm (violeta) a 750 nm (vermelho). Para que 
o olho humano forme as imagens que vemos, é necessário que os raios luminosos 
refletidos ou gerados pelos objetos cheguem aos nossos olhos (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2016). O cérebro processa toda a luz que chega aos olhos e 
forma as imagens que vemos. Existem basicamente dois tipos de imagens:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_visível#/media/File:Electroma
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_visível#/media/File:Electromagnetic
UNIDADE 2 | ONDAS
68
• Imagens virtuais: aquelas que o cérebro processa, porém não existem de 
maneira real. Um exemplo comum é a imagem que vemos no espelho. Sabemos 
que aquela imagem que está no espelho não faz parte do mundo real, porém é 
uma cópia virtual dos objetos refletidos. Na figura a seguir, a lâmina de água 
acaba se comportando como um espelho e formando uma imagem virtual do 
cavalo e cavaleiro.
FIGURA 10 – EXEMPLO DE IMAGEM VIRTUAL
FONTE: <https://cdn.pixabay.com/photo/2018/05/04/00/15/reiter-3372907_960_720.jpg>. 
Acesso em: 27 nov. 2018.
• Imagens reais: imagens formadas no mundo real. Um exemplo são as dos 
projetores multimídia, que projetam imagens nas paredes. Aquela imagem é 
parte do mundo real, formada pela luz e deformada conforme os objetos em 
que ela incide.
Para auxiliar no nosso cotidiano, existem muitos instrumentos baseados 
nos princípios ópticos. Eles funcionam baseados em alguns componentes ópticos 
importantes,