RELATÓRIO PENDULO SIMPLES - PARTE 1 (2UNB)

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Verificação da relação entre período e comprimento no pêndulo simples – PARTE I 
Ana Beatriz Machado Silva (n° 02110240), Eduardo Pinheiro do Prado Machado 
(02110211), Maria Clara Ferreira de Melo (n° 02110159), Thiago Alexandre (n° 02110041). 
2 UNB 
Física Experimental II 
 
Resumo. No presente relatório será exposta a teoria acerca do tema, a realização 
do experimento e os resultados obtidos. No experimento descrito, o experimentador 
constrói cinco pêndulos caseiros, regulando entre as medições, o comprimento l da 
base até o centro de massa, para oscilar 5 períodos T. O objetivo do experimento 
é entender por meio do pêndulo simples, a relação entre o período e seu 
comprimento, através do uso do software Tracker que faz a construção de gráficos 
de velocidade, posição, aceleração, entre outros. 
 
Palavras chave: pêndulo simples, tempo de oscilação, período, comprimento. 
 
 
1. Introdução 
Na própria natureza, observa-se muitos fenômenos que ocorrem de maneira periódica, como 
por exemplo as ondas sonoras, as radiações eletromagnéticas, a rotação e translação da Terra, 
entre outros. Desta forma, se iniciou o estudo sobre tal fenômeno, a partir do pêndulo simples. 
Galileu propôs que o período de um pêndulo simples é independente de sua amplitude. Huygens 
mostrou que a ideia de Galileu seria válida somente para pêndulo em trajetória cicloidal. Além de 
fazer o estudo do pêndulo em meios que oferecem resistência, Newton propôs que se construirmos 
um pêndulo com comprimento igual a metade do comprimento de uma coluna de água em um tubo 
em forma de “U”, os dois sistemas terão o mesmo período de oscilação, ou seja, a água vai subir 
e descer no tubo com a mesma rapidez do pêndulo simples [1]. 
O movimento será considerado vibratório ou oscilatório, à medida que a partícula está em 
movimento periódico se movendo para diante e para trás na mesma trajetória. 
 
 
 
 
 
1.1 Oscilações 
Como foi apresentado, os movimentos periódicos como o MHS, se repetem a intervalos de 
tempos iguais, sendo o intervalo mínimo para a repetição do movimento denominado período 
(T). Assim, se ocorrerem n repetições do movimento num intervalo de tempo ∆t, o período do 
movimento será: 
𝑇 = 
∆𝑡
𝑛
 (1) 
A frequência (f), é então definida como o número de oscilações por unidade de tempo: 
𝑓 = 
𝑛
∆𝑡
 (2) 
Desta forma, conclui-se que a frequência é o inverso do período, e vice-versa. 
𝑓 = 
1
𝑇
 (3) 
No que diz respeito às unidades de medida, de acordo com o Sistema Internacional de 
Medidas (S.I), a unidade de período (T) é expressa em segundos (s), já a frequência (f) tem sua 
expressão em Hertz (Hz). Ademais, tais movimentos periódicos também são descritos em 
termos de seno e cosseno, por isso, também são denominados movimentos harmônicos. 
 
1.2 Pêndulo Simples 
Um sistema bastante usado que realiza o movimento harmônico simples é o pêndulo simples, 
que consiste em uma massa puntiforme (m), presa a um fio com comprimento l de massa 
desprezível e inextensível, capaz de oscilar em torno de uma posição fixa. 
Quando a massa é solta, sai de sua posição de equilíbrio ( = 0°) e movimenta-se por ação 
da aceleração da gravidade, através de oscilações, sendo tal movimento periódico e oscilatório. 
 
Figura 1: Representação de um Pêndulo Simples. 
 
Fonte: [2] 
 
 
 
Como visto na Figura 2, existem forças atuando na massa, como a força de tração no fio (�⃗� ) 
e a força da gravidade (𝑚. 𝑔 ), que serão consideradas neste caso, mas, é certo que outras forças 
desprezíveis também atuam no sistema, como a resistência do ar. 
Percebe-se que é formada uma resultante centrípeta entre os vetores das forças, o que faz 
com que o sistema mantenha uma trajetória circular. Nesse sistema, a resultante tangencial, 
expressa por 𝑚.𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 , encontra-se desacelerando a partícula quando ela se afasta da posição 
de equilíbrio, em outro caso, está acelerando a partícula no sentido da posição de equilíbrio. 
Sendo assim, a força é restauradora, o que significa que ela atuará com a finalidade de retornar 
a massa ao ponto de equilíbrio. Sendo: 
𝐹 = −𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 (4) 
Quando o ângulo  que o fio do pêndulo faz com a vertical não é muito grande, o movimento 
do pêndulo é harmônico simples, assim como concluiu Galileu. 
O fato de o período ser independente da amplitude de oscilação (desde que permaneça pequena) 
constitui o isocronismo das pequenas oscilações do pêndulo, descoberto por Galileu. Galileu 
também menciona em "duas novas ciências" que "os tempos de vibração de corpos suspensos por 
fios de comprimentos diferentes estão entre si como as raízes quadradas dos comprimentos dos 
fios [3]. 
Sabe-se que para qualquer MHS: 
𝑇 = 2𝜋 √
𝑚
𝑘
 (5) 
Assim, obtemos a seguinte equação através de estudos e cálculos: 
𝑇 = 2𝜋 √
𝐿
𝑔
 (6) 
Onde através de uma reorganização da Eq. 6, podemos obter o cálculo da aceleração da 
gravidade (g): 
𝑔 = 4𝜋2
𝐿
𝑇²
 (7) 
Portanto, a partir da Eq. 7 será possível o cálculo da aceleração da gravidade (g) através dos 
dados coletados no experimento. 
Reorganizando novamente, chegaremos em uma relação linear entre T² e l, onde o gráfico será 
uma linha reta: 
𝑇2 = 
(2𝜋)²
𝑔
𝑙 (8) 
 
 
 
Assim, a Eq. 2 que poderá ser comparada a 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , onde l corresponde a x, T² corresponde 
a y, enquanto que 
(2𝜋)²
𝑔
 corresponde ao coeficiente angular a, da reta. O coeficiente linear b é 
zero (não aparece na relação). 
 
1.3 Movimento Harmônico Simples 
Dentre todos os movimentos oscilatórios, o mais importante é o movimento harmônico simples 
(MHS), porque além de ser o movimento mais simples de se descrever matematicamente, constitui 
uma descrição bastante precisa de muitas oscilações encontradas na natureza [4]. 
O Movimento Harmônico Simples (MHS) é um modelo físico que pode ser utilizado para 
investigar sistemas mais complexos onde há forças restauradoras, e representa um dos melhores 
exemplos da aplicação das leis mecânicas. 
Trata-se de um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas 
conservativos, em que um corpo oscila de uma posição de equilíbrio devido à ação de uma força 
restauradora, que pode ser elétrica, elástica, gravitacional, entre outras, mas sempre se orienta 
para a posição de equilíbrio e de intensidade proporcional à distância da partícula à essa posição 
de equilíbrio. 
Nesse movimento a energia mecânica total do sistema é conservada, ou seja, não há forças 
dissipativas, e a energia mecânica do corpo é sempre mantida constante, mas suas energia 
cinética e potencial intercambiam-se: quando a energia cinética é máxima, a energia potencial 
é mínima e vice-versa. 
O corpo em MHS varia a posição x de seu corpo em função do tempo através da Função 
Horária dada por: 
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝜓0)(9) 
Onde x é a posição, A a amplitude, w a pulsação também denominada frequência angular, t 
é o instante, e a constante 𝜓0 a fase inicial, descrevendo a situação do sistema quando o instante 
é zero. 
A frequência angular, ou pulsação, é dada em radianos por segundo (rad/s) de acordo com o 
Sistema Internacional de Unidades (S. I.), sendo encontrada através da seguinte equação: 
𝑤 = 2𝜋𝑓 = 
2𝜋
𝑇
 (10) 
Já a fase inicial é dada em radianos (rad), sendo uma constante. 
 
 
Com tais conhecimentos, será possível a elaboração da Parte I, onde será construído um 
gráfico que descreve a relação funcional entre o comprimento e período de um pêndulo simples, 
e usar esse gráfico para calcular a constante de proporcionalidade na relação entre o 
comprimento de um pêndulo e o quadrado do seu período. 
 
2. Material e Métodos 
Nesta seção serão descritos os métodos experimentais e os materiais utilizados para a 
construção do gráfico através do pêndulo simples, que é um fio inextensível que oscila em torno 
de um ponto fixo que pode movimentar-se livremente. 
Para a realização do experimento, foi necessária a utilização de alguns materiais presentes 
em casa, como ilustrado na Figura 2, sendo eles: 
• Fio de nylon; 
• Pote pequeno de vitamina; 
• Caneta preta; 
• Câmera do celular; 
• Aplicativo Angle Meter; 
• Régua; 
• Tesoura. 
 O procedimento experimental utilizado para a coleta de dados consistiu dos seguintes passos: 
I. A base do pêndulo é um gancho armador de rede, onde uma linha de nylon (100cm) foi 
amarrada em sua base. 
II. Após a base, uma régua foi centralizada e colada no ângulo de 90° para a demarcação das 
medidas utilizadas. 
III. As medidas 20 cm, 40 cm, 60 cm, 80 cm e 100 cm foram marcadas com o auxílio de 
uma caneta preta para demarcar a medida da oscilação. 
IV. Um pote pequeno foi utilizado como o ponto de partida do pêndulo. 
V. Colocou-se uma linda de nylon no ponto zero e o pote ficou situado no ponto final do 
nylon, na altura das medidas mencionadas. Para melhor visualização, foi necessário marcar o 
pote com alguma cor que se destacasse e desse contraste entre os demais objetos. 
VI. Foi utilizado o aplicativo Angle meter para obter um ângulo inicial de 10°, como 
ilustrado na Figura 3. 
 
 
VII. O experimentador segurou o pote no ângulo de 180° (como ilustrado na Figura 2) e o 
soltou, dessa forma foi possível obter a aceleração da gravidade em um plano vertical, a partir 
de um pêndulo, com o auxílio de cálculos e análises. 
VIII. Os vídeos ao serem transportados podem ficar borradas, interferindo na obtenção de 
valores de posição em função do tempo, recomenda-se o uso de câmeras com melhor resolução 
para a garantia de um melhor resultado. 
 
Figura 2: Imagens do experimento realizado. (A) exposição e posicionamento dos materiais. (B) Ângulo do 
pendulo simples. 
 
Foi utilizado também o programa Tracker, que possibilita a análise de vídeos, produzidos com 
o auxílio de uma câmera filmadora, para diferentes movimentos de corpos. 
3. Resultados e Discussão 
Nesta seção analisaremos os resultados experimentais obtidos mediante o procedimento 
experimental descrito na seção precedente. Abaixo, são expostas as tabelas e gráficos obtidos 
partir do software Tracker, bem como os resultados procedentes dos cálculos realizados. 
 
A 
B 
 
 
COMPRIMENTO l (m) PERÍODO T (s) QUADRADO DO 
PERÍODO T² (s²) 
0,2 1,028 1,057 
0,4 1,281 1,641 
0,6 1,545 2,387 
0,8 1,825 3,331 
1 2,061 4,248 
 
Veja a seguir os gráficos obtidos com o software Tracker: 
Para L = 0,2 m 
 
 
Para L = 0,4 m 
 
 
 
Para L = 0,6 m 
 
 
Para L = 0,8 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para L = 1 m 
 
 
Assim, foi possível descrever o seguinte gráfico como l no eixo x e T² no eixo y: 
 
Usando o método dos mínimos quadrados, chegamos a Equação da reta, sendo: 
𝑦 = 4,036𝑥 + 0,111 (11) 
Com os valores dados na Tabela abaixo. 
L (m) T² (s²) M.M.Q. 
0,2 1,057 0,9184 
0,4 1,641 1,7256 
0,6 2,387 2,5328 
0,8 3,331 3,34 
1 4,248 4,1472 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0,2m 0,4m 0,6m 0,8m 1m
(Período)² X Comprimento
 
 
 
Desta forma, foi possível descrever o seguinte gráfico: 
 
Em laranja, está o gráfico obtido através do MMQ, já em azul o gráfico a partir do software 
Tracker. 
Em seguida, foi realizado o cálculo da aceleração da gravidade g, sabendo que 𝑎 = 
(2𝜋)²
𝑔
 , 
obtendo-se g = 9,782 m/s². 
 
4. Conclusão 
Portanto, de acordo com a análise dos resultados obtidos, conclui-se que é possível adquirir 
dados referentes a aceleração da gravidade através do pêndulo simples e seus respectivos 
cálculos. Foi concebível validar as teorias acerca do Movimento Harmônico Simples em 
conjunto com o Pêndulo Simples através das medições feitas em cinco parâmetros, o que 
agregou para uma maior e mais precisa análise do sistema, incluindo suas margens de erro. 
Foi possível verificar, tanto experimentalmente quanto teoricamente, que para o movimento 
oscilatório do pêndulo simples, o seu período de oscilação aumenta e a sua frequência angular 
diminui com o aumento da amplitude de oscilação. Após a análise do experimento é notório 
que a aceleração da gravidade é totalmente influenciada pelo comprimento do pêndulo e seu 
tempo de oscilação, comprovado pelo resultado que apresentou maiores valores a medida em 
que o comprimento do pêndulo era aumentado. 
Contudo, é certo de que houve a influência de diversos fatores, entre eles outras forças que 
atuam no sistema e influenciam diretamente os valores obtidos, uma vez que este não é ideal. 
Todavia, o experimento trouxe um resultado satisfatório e dentro da margem da literatura, onde 
g = 9,782 m/s², assim permitindo uma avaliação válida acerca da aceleração da gravidade (g). 
0
1
2
3
4
5
0,2m 0,4m 0,6m 0,8m 1m
T / M.M.Q.
Série1 Série2
 
 
5. Referências 
[1] DA SILVA. L. C. N. et al. “Estudo do pêndulo simples: a reprodução de experimentos 
históricos como subsídio para o ensino de Física”, VIII Seminário de Iniciação Científica do 
Litoral Norte – 18/10/2018 Semana Nacional de Ciência e Tecnologia 2018. 
[2] COSTA. M. et al. “A computacional numérica como ferramenta para o professor de 
Física do Ensino Médio”, Article in Revista Brasileira de Ensino de Física, Junho de 2006. 
[3] NUSSENZWEIG. H.M. “Física, vol l e 2”, São Paulo - SP. Editora Edgard Blucher. 
1996. 
[4] ALONSO. M.S et al. “Física, vol 1.”, São Paulo – SP, Editora Edgard Blucher, 1972 
 
Crédito - Este texto foi adaptado do modelo de relatório usado em http://fisica.ufpr.br/LE/ 
por Drª Priscila Freitas Lemes e Dr. Irapuan Rodrigues. 
 
http://fisica.ufpr.br/LE/