Introdução à Teoria de Tranças - Ana Beatriz Vasconcelos Pereira

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ANA BEATRIZ VASCONCELOS PEREIRA
INTRODUÇÃO À TEORIA DE TRANÇAS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
CORNÉLIO PROCÓPIO
2020
ANA BEATRIZ VASCONCELOS PEREIRA
INTRODUÇÃO À TEORIA DE TRANÇAS
Trabalho de Conclusão de Curso de
Graduação, apresentado à disciplina
Trabalho de Conclusão de Curso 2, do
curso de Licenciatura em Matemática
da Universidade Tecnológica Federal
do Paraná — UTFPR, como requisito
parcial para a obtenção do título de
Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Anderson Paião
dos Santos
CORNÉLIO PROCÓPIO
2020
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Cornélio Procópio
Diretoria de Graduação
Departamento de Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática
FOLHA DE APROVAÇÃO
Ana Beatriz Vasconcelos Pereira
Introdução à Teoria de Tranças
Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação apresentado às XX:XX no
dia XX/XX/XXXX, do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade
Tecnológica Federal do Paraná — UTFPR, como requisito parcial para a
obtenção do título de Licenciado em Matemática. O candidato foi arguido
pela Banca Avaliadora composta pelos professores abaixo assinados. Após
deliberação a Banca Avaliadora considerou o trabalho aprovado.
Prof. Dr. Anderson Paião dos Santos
(Orientador)
Prof. Dr. Alisson de Carvalho Reinol
Prof. Dr. Thiago Pinguello de Andrade
“A Folha de Aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso”
3
"Dedico este trabalho aos meus pais".
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pela saúde e sabedoria que me permitiu chegar até o
presente momento.
Agradeço a Universidade Tecnológica Federal do Paraná, pela oportunidade de cursar
a Licenciatura em Matemática e fornecer suporte necessários, durante toda minha formação,
para que hoje eu tenha plena certeza do caminho que eu quero seguir.
Ao meu orientador Prof. Dr. Anderson Paião, pela compreensão e pelo suporte durante
todo desenvolvimento desse trabalho.
Aos professores Prof. Dr. Alisson de Carvalho Reinol e Prof. Dr. Thiago Pinguello de
Andrade, pelas correções e ensinamentos que me permitiram apresentar um melhor desempenho
durante o processo de criação deste trabalho.
Ao corpo docente da Licenciatura em Matemática, em especial, ao Prof. Me. Claudia
Brunosi Medeiros , pelos conselhos durante o projeto de extensão e pelas matérias ministradas,
ao Prof. Dr. Josimar da Silva Rocha, cuja didática me permitiu decidir a área de pesquisa,
e ao Prof. Dr. Jader Otavio Dalto, pelas matérias ministradas e pela orientação no PIBID e
no programa de Residência Pedagógica, uma complementação que julgo essencial em minha
formação.
A minha mãe, Rosilene Vasconcelos Pereira, pela minha vida, conselhos e por tudo que
fez por mim, até o presente momento.
Ao meu pai, Édison Pereira, pelo apoio total e cobrança durante a vida acadêmica e
pelo suporte financeiro, quando necessário.
A todos os amigos da graduação, pelo apoio e momentos de descontração, sendo
decisivos para o equilíbrio entre vida acadêmica e vida social. Em especial, as amigas Anna
Luiza Alino dos Santos, Amabile Borzaga e Fernanda Pypcack, pelos conselhos e ajuda nos
momentos difíceis, os primeiros amigos que fiz no curso, amizades que espero levar para a vida.
A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o meu muito
obrigado.
“A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas
também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura.
” - Bertrand Russell
RESUMO
PEREIRA, Ana Beatriz Vasconcelos. Introdução à Teoria de Tranças. 2020. 41 f. Trabalho
de Conclusão de Curso (Graduação) – Licenciatura em Matemática. Universidade Tecnológica
Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2020
Tranças são objetos físicos que fazem parte do nosso cotidiano. Em 1925, o alemão Emil
Artin, de maneira geométrica e intuitiva, iniciou os estudos de tais objetos dando origem ao
que conhecemos agora como teoria de tranças. Posteriormente, em 1947, os estudou mais
rigorosamente de um ponto de vista algébrico. Tal teoria possui diversas aplicações em diferentes
áreas da matemática e também da física. Neste trabalho de conclusão de curso, faremos uma
breve introdução à teoria de tranças, abordando de forma mais intuitiva as características e
propriedades geométricas, para posteriormente definirmos o grupo de tranças.
Palavras-chave: Grupos. Tranças Geométricas. Grupos de Tranças.
ABSTRACT
PEREIRA, Ana Beatriz Vasconcelos. Introduction to Braid Theory. 2020. 41 f. Trabalho de
Conclusão de Curso (Graduação) – Licenciatura em Matemática. Universidade Tecnológica
Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2020
Braids are physical objects that are part of our daily lives. In 1925, the German Emil Artin, in a
geometric and intuitive way, began the study of such objects giving rise to what we now know
as braid theory. Later, in 1947, he studied them more rigorously from an algebraic point of view.
Such theory has several applications in different areas of mathematics as well as physics. In this
course conclusion work, we will make a brief introduction to braid theory, approaching geometric
characteristics and properties in a more intuitive way, to later define the braid group.
Keywords: Groups. Geometric Groups. Braid Group.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Cubo D com pontos marcados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
FIGURA 2 – Ilustração da condição 3. Em (a) esta condição se aplica, em (b) não se aplica 27
FIGURA 3 – Exemplos de tranças geométricas de 1 corda, 2 cordas e 4 cordas, respecti-
vamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
FIGURA 4 – Movimento Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
FIGURA 5 – Tranças Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
FIGURA 6 – Projeção de uma trança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
FIGURA 7 – Ponto de interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
FIGURA 8 – Diagrama Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
FIGURA 9 – Possíveis representações de um diagrama regular . . . . . . . . . . . . . 31
FIGURA 10 – Exemplo 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
FIGURA 11 – Exemplo 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
FIGURA 12 – 2-tranças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
FIGURA 13 – Produto de Tranças Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
FIGURA 14 – Produto não comutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
FIGURA 15 – Trança Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
FIGURA 16 – Trança inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 RESULTADOS PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 GRUPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 SUBGRUPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO DE GRUPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 TRANÇAS GEOMÉTRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 UMA DEFINIÇÃO DE TRANÇA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 MOVIMENTO ELEMENTAR E A EQUIVALÊNCIA ENTRE TRANÇAS . . . . . . . . . . . . 28
3.3 PROJEÇÃO DE UMA TRANÇA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 INVARIANTES DE TRANÇAS E TRANÇAS PURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 O GRUPO DE TRANÇAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 UMA DEFINIÇÃO DE GRUPO DE TRANÇAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 39
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
19
1 INTRODUÇÃO
O estudo dos grupos de tranças no plano, denotados por Bn , foi introduzido de maneira
geométrica e intuitiva pelo alemão E. Artin em 1925, que posteriormente, em 1947, os estudou
mais rigorosamente de um ponto de vista algébrico.
Uma trança é um objeto físico que, durante vários séculos, foi expresso de diferentes
maneiras, com cordas, cabelo, tecidos e até mesmo massas. Sendo assim, é fácil de imaginarmos
como é a aparência de uma trança. Na natureza, inclusive, é possível encontrar diferentes
manifestações de tranças. Além disso, foi descoberto pela NASA, através das naves espaciais
Voyager 1, 2, que enviaram fotos dos anéis de Saturno onde é possível reconhecer que o anel F
estava trançado. Outro exemplo que será brevemente mencionado é a estrutura do DNA, que
possui um fio triplo com estruturas semelhantes a uma trança.
Dos exemplos citados acima, é possível perceber como o uso das tranças pode ser
variado e numeroso. O principal objetivo deste trabalho é fazer um breve estudo das tranças
geométricas e apresentar uma estrutura algébrica sobre o conjunto de tranças nos próximos
capítulos. Os grupos de tranças são interessantes por si próprios, mas também tem um papel
importante em diferentes áreas da matemática como a topologia, geometria, álgebra, sistemas
dinâmicos e física teórica.
Para fazermos tal estudo, dividimos nosso trabalho da seguinte maneira: No capítulo de
Resultados Preliminares, estudaremos alguns requisitos fundamentais de álgebra tais como: gru-
pos, subgrupos, homomorfismo e isomorfismo de grupos. No capítulo 3, fazemos a apresentação
geométrica de tranças, analisando as suas principais propriedades.
Já no capítulo 4, apresentamos uma estrutura de grupo para o conjunto das classes de
equivalência de tranças. Esta estrutura permite que sejam estudados propriedades e problemas
que envolvem a teoria de tranças através da Álgebra, ou seja, através do grupo de tranças é
possível responder algumas questões geométricas de tranças. Neste trabalho limitaremos a
apresentar apenas as propriedades associativa, existência de elemento neutro e inverso.
21
2 RESULTADOS PRELIMINARES
Daremos início ao trabalho com os aspectos básicos da teoria de grupos. Este capítulo
tem como propósito abordar os conceitos fundamentais da teoria de grupos para a compreensão
dos capítulos posteriores. Para uma leitura mais aprofundada sobre os assuntos aqui expostos,
o leitor pode consultar a referência: (DOMINGUES; IEZZI, 2003).
2.1 GRUPOS
Nesta seção, o objetivo principal é apresentar definições, propriedades e exemplo de
grupos. Os grupos são estruturas algébricas munidas de uma operação. A seguir, apresentamos
a definição de grupo de uma maneira mais formal.
Definição 2.1. Um conjunto não-vazio G com uma operação ∗ é um grupo se são satisfeitas as
seguintes condições.
(i) A operação ∗ é associativa, ou seja,
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, para todos a, b, c ∈ G.
(ii) Existe um elemento e ∈ G tal que
e ∗ a = a ∗ e = a, para todo a ∈ G.
Tal elemento é chamado de elemento neutro para a operação ∗.
(iii) Para todo a ∈ G existe o elemento a′ ∈ G tal que
a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.
Tal elemento a′ é denominado simétrico de a.
Caso a operação ∗ seja comutativa, isto é,
a ∗ b = b ∗ a, para todos a, b ∈ G,
diremos que o grupo G é abeliano ou comutativo.
Exemplo 2.2. O conjunto dos números inteiros, Z, munido da operação de adição usual, +, é
um grupo. Com efeito, sendo a, b, c ∈ Z, temos que,
(i) a+ (b+ c) = (a+ b) + c;
(ii) Existe 0 ∈ Z tal que a+ 0 = 0 + a = a, para todo a ∈ Z.
22
(iii) Para todo a ∈ Z, com (a 6= 0) existe (−a) ∈ Z tal que a+ (−a) = −a+ a = 0.
Observação 2.3. A menos que se diga o contrário, de agora em diante utilizaremos a notação
multiplicativa, ·, para denotar a operação de um grupo G. Assim, para todo x ∈ G, seu simétrico
sera denotado por x−1 e o chamaremos de inverso de x.
Definição 2.4. Seja G um grupo, a ordem do grupo G é sua cardinalidade, e será denotado por
|G| ou o(G).
Definição 2.5. Seja G um grupo e a ∈ G, a ordem do elemento a é o menor número inteiro
positivo n tal que an = e (se este valor existir), onde e é o elemento neutro. Se este valor não
existe, a ordem de a é infinita. Denota-se a ordem de a por |a| ou por o(a).
Definição 2.6. Um grupo G é dito finito quando o conjunto G for finito.
Definição 2.7. Um grupo G é dito cíclico se existir x ∈ G, tal que para qualquer elemento y ∈ G
tem-se
y = xn
para algum n ∈ Z. Em caso afirmativo, escrevemos
G = 〈x〉 = {xn |n ∈ Z},
e dizemos que x gera o conjunto G.
Observação 2.8. Note que, com a operação de adição temos que xn = x+ x+ . . .+ x = x · n.
Exemplo 2.9. O grupo (Z,+) é cíclico gerado por 1 ou −1:
Z = {1n |n ∈ Z} = {(−1)n |n ∈ Z} = 〈1〉 = 〈−1〉.
2.2 SUBGRUPOS
Considere o grupo (R,+). Note que (Z,+) é um subconjunto de R. Além disso,
podemos observar que Z é fechado para a adição e que (Z,+) também é um grupo. Por isso
chamamos Z um subgrupo de R.
Podemos dizer então, que os subgrupos são subconjuntos de um grupo G que, sob
algumas condições, também são grupos munidos da mesma operação de G.
Definição 2.10. Seja (G, ·) um grupo. Um subconjunto não-vazio H de G é um subgrupo de G
se H é fechado para a operação · e H é um grupo.
Notação 2.11. H ≤ G:H é um subgrupo de G.
Proposição 2.12. Um subconjunto não vazio H de um grupo G é um subgrupo de G se, e
somente se,
a · b−1 ∈ H,
23
para todos a, b ∈ H.
Proposição 2.13. Se H e K são subgrupos de G, então H ∩K é um subgrupo de G.
Demonstração. Note que H ∩K 6= ∅, pois o elemento neutro de G pertence a H ∩K . Sejam
x, y ∈ H ∩K logo, x, y ∈ H e x, y ∈ K. Como por hipótese, H e K são subgrupos de G, pela
Proposição 2.12, temos que x · y−1 ∈ H e x · y−1 ∈ K. Assim, x · y−1 ∈ H ∩K. Portanto, pela
Proposição 2.12 H ∩K é um subgrupo de G.
Definição 2.14. Seja G um grupo. O conjunto
Z(G) = {a ∈ G | ax = xa,∀x ∈ G}
é denominado centro do grupo G.
Observação 2.15. Demonstração. Note que Z(G) é um subgrupo abeliano de G. De fato, pois
se e ∈ G é o elemento neutro, temos que
ex = x = xe, ∀x ∈ G,
ou seja, e ∈ Z(G). Agora, tome a, b ∈ Z(G). Assim,
(ab−1)x
assoc.
= a(b−1x)
b∈Z(G)
= a(bx−1)−1 = a(xb−1)
assoc.
= (ax)b−1
a∈Z(G)
= (xa)b−1
assoc.
= x(ab−1).
Logo, ab−1 ∈ Z(G), e portanto, pela Proposição 2.12, Z(G) é subgrupo de G. E
claramente Z(G) é abeliano.
2.3 HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO DE GRUPOS
O homomorfismo e o isomorfismo de grupos é uma aplicação entre dois grupos que pre-
serva as respectivas operações. Ao longo desta seção, definimos, formalmente, homomorfismo e
isomorfismo de grupos e apresentamos alguns resultados e exemplos importantes relacionados
ao tema.
Definição 2.16. Dizemos que uma aplicação f : G −→ H é um homomorfismo de grupos se,
para quaisquer x, y ∈ G,
f(x ∗ y) = f(x) · f(y).
Se um homomorfismo é uma aplicação injetora(respectivamente, sobrejetora), então o
chamamos de homomorfismo injetor(respectivamente, sobrejetor).Se o homomorfismo for injetor
e sobrejetor, chamamos de homomorfismo bijetor.
24
Definição 2.17. Seja f : G −→ H um homomorfismo de grupos. Se f também for uma bijeção,
então será chamado de isomorfismo do grupo G no grupo H . Neste caso, dizemos que G e H
são isomorfos. ( Notação: G ∼= H)
Exemplo 2.18. A aplicação f : Z −→ C∗ definida por f(m) = im é um homomorfismo de
grupos. Com efeito, primeiramente precisamos notar que Z é um grupo aditivo, enquanto C∗ é
um grupo multiplicativo. Logo
f(m+ n) = im+n = im · in = f(m) · f(n).
Portanto, f é um homomorfismo de grupos.
Exemplo 2.19. Seja a ∈ Z. A aplicação f : Z −→ Z definida por f(m) = am é um
homomorfismo de Z. Note que,
f(m+ n) = a(m+ n) = am+ an = f(m) + f(n).
Se considerarmos a = 0, teremos f(m) = 0 para todo m ∈ Z, logo f não é injetora e nem
sobrejetora. Porém, se a 6= 0 e f(m) = f(n), isto é, am = an, cancelando a, obtemos
m = n, o que nos leva a f injetora,neste caso. Agora, se a = 1, então f é a aplicação
identidade de Z, portanto é sobrejetora. Se a 6= 1, então f não é sobrejetora, porque Imf =
{0,±a,±2a,±3a, ...} 6= Z.
Definição 2.20. Seja f : G −→ H um homomorfismo de grupos. Se u indica o elemento neutro
de H , o seguinte subconjunto de G será chamado de núcleo de f , e denotado por N(f),
N(f) = {x ∈ G | f(x) = u}.
Exemplo 2.21. Vamos determinar o núcleo do homomorfismo f : Z −→ C∗ definido por
f(m) = im, dado no Exemplo 2.18. Note que, o elemento neutro de C∗ é 1, logo, basta resolver
a equação im = 1. Portanto, o conjunto de soluções dessa equação, ou seja, o núcleo de f é
dado por
N(f) = {0,±4,±8, ...}.
Proposição 2.22. Seja f : G −→ H um homomorfismo de grupos. Então,
(i) N(f) é subgrupo de G;
(ii) f é um homomorfismo injetor se, e somente se, N(f) = {e}.
Demonstração. Denotaremos por e e u os elementos neutros de G e H .
(i) Para que Nuc (f) seja um subgrupo, pela Proposição 2.12, precisamos verificar que
• Nuc (f) 6= ∅ e que
25
• x, y ∈ Nuc (f) =⇒ xy−1 ∈ Nuc (f)
De fato, note que
e ∈ Nuc (f),
pois por propriedade f(e) = u, e assim Nuc (f) 6= ∅.
Agora sejam x, y ∈ Nuc (f), isto é, f(x) = f(y) = u. Assim,
f(xy−1)
f é hom.
= f(x)f(y−1)
prop.
= f(x)[f(y)]−1
x,y∈Nuc (f)
= uu−1 = uu = u
Logo, xy−1 ∈ Nuc (f).
Portanto, Nuc (f) é um subgrupo de G.
(ii) (=⇒) Seja x ∈ G tal que x ∈ Nuc (f), então f(x) = u.
Sabemos que e ∈ Nuc (f), pois f(e) = u. Assim,
f(x) = f(e)
f é inj.
=⇒ x = e
Portanto, Nuc (f) = {e}.
(⇐=) Agora, supondo que Nuc (f) = {e}, provemos que f é injetor.
De fato, sejam x, y ∈ G tais que f(x) = f(y).
f(x) = f(y) =⇒ f(x)[f(y)]−1 = f(y)[f(y)]−1
=⇒ f(x)f(y−1) = u
=⇒ f(xy−1) = u =⇒ xy−1 ∈ Nuc (f).
Mas da hipótese de Nuc (f) = {e}, teremos que
xy−1 = e =⇒ (xy−1)y = ey =⇒ x(y−1y) = y
=⇒ xe = y =⇒ x = y.
Portanto, f é injetor.
Proposição 2.23. Se f : G −→ H é um isomorfismo de grupos, então, f−1 : H −→ G também
é um isomorfismo de grupos.
Demonstração. Note que, o fato de f ser uma bijeção nos garante que f−1 também é uma
aplicação bijetora, porém deH emG. Agora, tomemos y1, y2 ∈ H . Como f é sobrejetora, existem
x1, x2 ∈ G tais que y1 = f(x1) e y2 = f(x2). Daí, f−1(y1) = f−1(f(x1)) e, analogamente,
26
f−1(y2) = f
−1(f(x2)). Então,
f−1(y1y2) = f
−1(f(x1)f(x2)) = f
−1(f(x1x2)) = x1x2 = f
−1(y1)f
−1(y2).
Isso mostra que f−1 é um isomorfismo de grupos.
27
3 TRANÇAS GEOMÉTRICAS
Tranças são objetos geométricos, porém sua análise não é limitada apenas a uma confi-
guração geométrica. Algumas técnicas de álgebra tem ajudado, notavelmente, a compreender
as propriedades que envolvem uma trança. Neste capítulo falaremos um pouco sobre trança
geométrica. Os conceitos e resultados citados neste capítulo podem ser encontrados no livro
(MURASUGI; KURPITA, 2012).
3.1 UMA DEFINIÇÃO DE TRANÇA
Considere D = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} um cubo
unitário. Sobre a face superior desse cubo, escolhemos n pontos, A1, . . . , An e da face inferior
escolhemos outros n pontos B1, . . . , Bn, conforme representado na Figura 1.
Figura 1 – Cubo D com pontos marcados
Neste cubo podemos considerar n segmentos d1, . . . , dn que conectam os pontos
A1, . . . , An da face superior do cubo aos pontos B1, . . . , Bn da face inferior, satisfazendo as
seguintes condições:
1. d1, . . . , dn são mutuamente disjuntos, isto é, os segmentos não se tocam.
2. Cada segmento di conecta um ponto Aj a um ponto Bk, onde j e k podem ou não ser
iguais. Porém, não é permitido conectar Aj com Ak ou Bj com Bk.
3. Cada plano Es, chamado plano de nível, paralelo as faces superior e inferior do cubo (isto
é, paralelo ao plano xy), intersecta cada segmento di em um único ponto.
Na Figura 1(b) temos um exemplo na qual a condição 3 não se aplica.
Figura 2 – Ilustração da condição 3. Em (a) esta condição se aplica, em (b) não se aplica
28
Definição 3.1. Uma configuração de n segmentos d1, . . . , dn, os quais chamamos de cordas,
que interligam os pontos A1, . . . , An a B1, . . . , Bn, satisfazendo as três condições acima, é
chamada de uma n-trança com n cordas. Cada segmento di é denominado i-ésima corda da
trança.
Pela condição 3 e o fato dos pontos A1, . . . , An serem colocados acima dos pon-
tos B1, . . . , Bn, as cordas de uma trança fluem monotonicamente para baixo como podemos
observar na figura abaixo:
Figura 3 – Exemplos de tranças geométricas de 1 corda, 2 cordas e 4 cordas, respectivamente
3.2 MOVIMENTO ELEMENTAR E A EQUIVALÊNCIA ENTRE TRANÇAS
Quando podemos considerar se duas ou mais tranças são equivalentes? Primeiramente,
é importante ressaltar que, do ponto de vista matemático, o material ou a espessura das cordas
que formam uma trança são irrelevantes para o nosso estudo.
Respondendo a questão feita acima, podemos dizer que duas ou mais tranças são
equivalentes quando as diferenças entre elas possam ser removidas através de uma série de
movimentos, chamados de movimentos elementares, e que veremos adiante. Vale ressaltar que
não nos é permitido cortar as cordas ou mudar a posição nas extremidades.
Portanto, o que precisamos encontrar são movimentos, ou melhor dizendo, uma sequên-
cia de movimentos os quais possam produzir essencialmente as mesmas tranças.
Para tanto, denotaremos por Bn o conjunto de todas as n-tranças.
Definição 3.2. (Movimento Elementar) Seja D um cubo unitário no qual existe um número n de
cordas tal como descrito na Definição 3.1. Considere AB um segmento de reta de uma corda di
cuja extremidades são pontos de di, e seja C um ponto em D de forma que o triângulo4ABC
formado não intersecte nenhuma outra corda, e só encontra di ao longo de AB . Além disso,
vamos supor que
(1) AC ∪ CB intersecta todo o plano nivelado Es, para 0 ≤ s ≤ 1, em no máximo um ponto.
Se o item 1 acima for válido, então chamaremos de Ω a seguinte operação:
(2) substitua AB pelas duas arestas AC ∪ CB, ou a operação inversa de Ω, isto é, substituir
AC ∪ CB por AB, a qual denotaremos por Ω−1.
As operações Ω±1 são chamadas de movimentos elementares.
Na Figura 4 temos a representação dos movimentos elementares descritos anteriormente.
29
Figura 4 – Movimento Elementar
Definição 3.3. (Equivalência entre tranças) Uma n-trança β é equivalente a outra n-trança β′
se β pode ser transformada em β′ aplicando (em β) uma série finita de movimentos elementares
dentro do cubo D. A equivalência entre tais tranças é denotada por β ∼ β′.
β = β0
Ω±1 // β1
Ω±1 // · · · Ω
±1
// βm = β
′
Figura 5 – Tranças Equivalentes
A relação “ ∼ ” da Definição 3.3 acima define uma “relação de equivalência ” no
conjunto Bn . Caso o leitor não esteja familiarizado com este conceito, mais detalhes podem
ser encontrados em (DOMINGUES; IEZZI, 2003). Neste contexto, podemos definir um conjunto
quociente Bn/ ∼ como sendo o conjunto de todas as n-tranças não equivalentes.
Observação 3.4. Note que uma n-trança e uma m-trança não são equivalentes se n 6= m, uma
vez que não existe uma sequência de movimentos elementares capaz de aumentar ou diminuir o
número de cordas.
3.3 PROJEÇÃO DE UMA TRANÇA
Nos exemplos anteriores lidamos com n-tranças β em um cubo unitário D. À medida
que nos aprofundamos e desenvolvemos a teoria de tranças, iremos considerar tranças mais
“complexas”. Entretanto, visualizá-las em um cubo tridimensional sobre um papel bidimensional
tende a prejudicar a nossa compreensão.
Para facilitar a visualização iremos projetar uma dada n-trança β no plano yz através
de uma projeção p tal que p(x, y, z) = (0, y, z). O efeito de p em β é exibir um conjunto simples
de n curvas d̂1, . . . , d̂n no plano yz, conforme podemos verificar na Figura 6 abaixo:
Após aplicarmos alguns movimentos elementares em β podemos concluir que a proje-
ção de uma n-trança, denotada por p(β), satisfaz as seguintes condições:
30
Figura 6 – Projeção de uma trança
1. p(β) possui, no máximo, um número finito de pontos de intersecção.
2. Se Q é um ponto de interseção de p(β), então a imagem inversa de p−1(Q) de Qem β
tem exatamente dois pontos. Então, no máximo dois pontos de β são aplicados no mesmo
ponto em p(β). Em tais casos, Q é chamado de ponto duplo (ou ponto de inteseção) de
p(β) (Ver Figura 7).
Figura 7 – Ponto de interseção
3. Um vértice de β nunca é aplicado em um ponto de interseção de p(β).
Definição 3.5. A projeção p(β) que satisfaz as três condições acima é chamada de projeção
regular.
Agora, seja β uma trança e p(β) uma projeção regular de β. Em essência, p(β)
representa a trança exceto nos pontos de interseção. Nestes pontos, entretanto, não está claro
qual corda está na frente da outra. Mas, se mudarmos levemente a nossa percepção de projeção
regular, podemos de fato aproximar a projeção regular para que possamos dizer qual corda
flui acima e abaixo. Para tal fim, cortamos em ambos os lados da corda próximo ao ponto
de interseção, como na Figura 8. Uma projeção regular alterada da maneira descrita acima é
chamada de diagrama regular.
Figura 8 – Diagrama Regular
O diagrama regular é muito útil para nos ajudar a entender e investigar a natureza
de uma trança ou de um conjunto de tranças. As figuras que apresentaremos de agora em
diante consistirão de diagramas regulares, os quais, dependendo do contexto, estarão dentro
de um retângulo delimitador, ou simplesmente será delimitado por um segmento inferior e outro
segmento superior
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Figura 9 – Possíveis representações de um diagrama regular
3.4 INVARIANTES DE TRANÇAS E TRANÇAS PURAS
Sabemos, pela Observação 3.4, que uma n-trança β não pode ser equivalente a uma
m-trança β′ se n 6= m. No entanto, ainda não sabemos quando duas n-tranças quaisquer são
equivalentes. Para isto, seria útil encontrar um invariante.
Neste sentido, vamos considerar f uma função do conjunto de todas as n-tranças Bn
(domínio) e contradomínio algum objeto algébrico. Se f tem a propriedade
β ∼ β′ =⇒ f(β) = f(β′),
então, f é chamado de invariante.
Proposição 3.6. Seja β uma n-trança e suponha que a i-ésima corda di de β une Ai com Bj(i)
com i = 1, 2, 3, ..., n. Vamos definir f : Bn −→ Sn como
f(β) =
(
1 2 ... n
j(1) j(2) ... j(n)
)
, (3.1)
onde Sn é o grupo das permutações.
Então, f é um invariante de tranças que chamamos de permutação de tranças,
usualmente denotada por π(β).
Demonstração. De fato, se β ∼ β′ então para cada i = 1, 2, ..., n a i-ésima corda em cada
uma das tranças devem ter o mesmo ponto inferior Bj(i). Então, elas tem a mesma permutação
associada.
Exemplo 3.7. Se definirmos f(β) como sendo o número de cordas em β, então f : Bn −→ N
é um invariante de tranças. De fato, se f(β) 6= f(β′) então β e β′ não são equivalentes, isso
porque β e β′ possuem um número diferente de cordas.
Exemplo 3.8. Seja β uma n-trança e suponha que a i-ésima corda di de β une Ai com Bj(i)
com i = 1, 2, . . . , n. Defina f : Bn −→ Sn (o conjunto de todas as permutações do conjunto
{1, 2, . . . , n}) como
f(β) =
(
1 2 . . . n
j(1) j(2) . . . j(n)
)
(3.2)
Então, f é uma trança invariável.
De fato, se β ∼ β′ então para cada i, a i-ésima corda em cada uma das duas tranças
deve ter o mesmo ponto inferior, Bj(i). Então, elas devem ter a mesma permutação.
32
Exemplo 3.9. Considerando as 3-tranças β1 e β2 dadas na figura abaixo:
Figura 10 – Exemplo 3.9
suas permutações de tranças são
π(β1) =
(
1 2 3
3 1 2
)
e π(β2) =
(
1 2 3
2 3 1
)
(3.3)
Uma vez que π(β1) 6= pi(β2), concluímos que β1 � β2.
Definição 3.10. Uma trança β é chamada de n-trança pura se
π(β) =
(
1 2 ... n
1 2 ... n
)
(3.4)
Uma vez que é a permutação identidade, vamos denotá-la por π(β)(1).
Portanto, uma n-trança é pura se para todo i = 1, 2, . . . , n, a i-ésima corda sempre
junta Ai com Bi. O conceito de trança pura tem um papel fundamental no estudos das tranças.
É possível definir um conjunto de inteiros para cada n-trança. Considere uma n-trança
β e tome duas cordas distintas, as cordas di e dj com i 6= j. No diagrama regular de β, estas
cordas se intersectam diversas vezes em vários pontos. Sendo assim, considere p(di, dj) o
número de vezes que di cruza abaixo de dj começando pela esquerda e n(di, dj) o número de
ocorrências em que di cruza abaixo de dj começando da direita (à esquerda). Então o número
p(di, dj)− n(di, dj)
é chamado de índice de cruzamento de di para dj e é denotado por cr(di, dj).
Em geral, cr(di, dj) não precisa ser igual à cr(dj, di), então cr(di, dj) não é simétrico
na natureza. No exemplo a seguir, apresentamos um outro invariante do conjunto de tranças Bn.
Exemplo 3.11. Para a 3-trança na Figura 11,
cr(d1, d2) = 1, cr(d1, d3) = 1
cr(d2, d1) = 0, cr(d2, d3) = 0
cr(d3, d1) = 0, cr(d3, d2) = −1
33
Figura 11 – Exemplo 3.11
Proposição 3.12. Seja p∗(di, dj) (e n∗(didj)) a notação para o número de vezes que di passa
sobre dj da esquerda (para a direita). Então, para i 6= j,
(1) p∗(di, dj) = n(dj, di) (3.5)
e
(2) n∗(di, dj) = p(dj, di) (3.6)
Proposição 3.13. Seja β uma n-trança pura. Então, para todo i 6= j,
cr(di, dj) = cr(dj, di) (3.7)
O inteiro cr(di, dj) = cr(dj, di) é chamado de índice de vinculação entre di e dj e é
denotado por lk(di, dj).
Corolário 3.14. Para toda n-trança pura,
lk(di, dj) = lk(dj, di) (3.8)
onde 1 ≤ i, j ≤ n e com i 6= j.
35
4 O GRUPO DE TRANÇAS
4.1 UMA DEFINIÇÃO DE GRUPO DE TRANÇAS
De maneira a fundamentar a teoria de tranças, parte-se, inicialmente, do problema:
quantas tranças não equivalentes (diferentes) podem existir?
A ideia da existência de um número finito de tranças é rapidamente desconsiderada
uma vez que podemos mostrar que uma n-trança não é equivalente a uma m-trança se m 6= n.
Entretanto, não nos parece lógico dizer que todas as n-tranças são equivalentes. Com isso,
podemos reformular nossa questão: quantas n-tranças diferentes existem, sendo n um número
inteiro positivo?
Ainda que tal questão seja mais específica, a solução não é fácil. De fato, para todo
n ≥ 2, Bn é sempre infinito. Contudo tudo o que podemos mostrar é que o número de n-tranças
distintas deve ser no mínimo n!, tendo em vista que |Sn| = n!.
Com a finalidade de tentar descobrir como podemos mostrar que Bn para cada n possui
um número infinito de n-tranças, vamos n = 2. Toda 2-tranças é equivalente a um dos 2 tipos de
tranças, um exemplo desses dois tipos é dado na Figura 12, onde a imagem à esquerda tem 3
torções, enquanto a imagem à direita tem 4 torções. Ainda veremos, mais adiante, que se p e q
são os números de torções de duas 2-tranças, βp e γq respectivamente então, para p, q ≥ 1 e
p - q, essas duas tranças são não equivalentes, em termos de notação estabelecidas no capítulo
anterior, βp � γq. Obviamente, se p = q e os números de torções são os mesmos, então tais
tranças são exatamente as mesmas. Logo, se provarmos isso, segue imediatamente que B2 tem
um número infinito de tranças distintas.
Figura 12 – 2-tranças
Afim de mostrar o que foi dito acima, introduziremos o conceito de Grupo de Tranças.
O grupo de tranças também é chamado de Grupo de Tranças de Artin, em homenagem a Emil
Artin, pois foi ele quem iniciou formalmente o estudo de grupo de tranças em seus trabalhos.
Definição 4.1. Suponha que β1 e β2 são duas n-tranças em Bn. Podemos criar uma terceira
n-trança a partir delas, a chamaremos de o produto de β1com β2 e denotaremos por β1β2, e é
dada do seguinte modo:
Primeiramente, considere dois quadrados U1 e U2 onde situam-se β1 e β2 respecti-
vamente, (Figura 13(a)), e cole (ou de forma mais precisa, identifique) a borda inferior de U1
com a borda superior de U2, veja a Figura 13(b). Na colagem das bordas, assumimos que os
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respectivos pontos finais das duas tranças também estão colados (ou identificados) juntos. A
seguir, remova apenas a borda colada, isso agora nos fornece uma nova trança, Figura 13(c).
Podemos assumir, sem qualquer perda de rigor matemático, que essa nova trança também se
situa em um quadrado, digamos U.
Figura 13 – Produto de Tranças Geométricas
Esta nova n-trança é definida como o produto de duas n-tranças β1 e β2.
Proposição 4.2.Suponha que β, β′, β̄, β̄′. Então,
ββ̄ ∼ β′β̄′.
Demonstração. Como β ∼ β′, segue da Definição 3.3 que existe uma sequência finita,
β = β0
Ω±1 // β1
Ω±1 // · · · Ω
±1
// βm = β
′ .
Essa sequência, por sua vez, induz uma segunda sequência, isto é,
ββ̄ = β0β̄
Ω±1 // β1β̄
Ω±1 // · · · Ω
±1
// βmβ̄ = β
′β̄
Portanto, temos que ββ̄ ∼ β′β̄′.
Analogamente, como β̄ ∼ β̄′ existe a seguinte sequência finita,
β̄ = β̄0
Ω±1 // β̄1
Ω±1 // · · · Ω
±1
// β̄k = β̄′
que, por sua vez, induz a seguinte sequência finita
β′β̄ = β′β̄0
Ω±1 // β′β̄1
Ω±1 // · · · Ω
±1
// β′β̄k = β
′β̄′
Portanto, β′β̄ ∼ β′β̄′.
A transitividade entre relações de equivalência nos dá que ββ̄(∼ β′β̄) ∼ β′β̄′.
Proposição 4.3. O produto de duas tranças é associativo, isto é,
(β1β2)β3 ∼ β1(β2β3). (4.1)
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Apesar de o produto de tranças ser associativo, ele não é necessariamente comutativo,
isto é, β1β2 nem sempre é equivalente à β2β1.
Demonstração. Nas Figuras 14 (a)-(c) damos uma justificativa diagramática para 4.1:
Figura 14 – Produto não comutativo
Um exemplo de um produto não comutativo é mostrado na Figura 14 (d).
Proposição 4.4. Seja e uma n-trança como a mostrada na Figura 15, onde para i = 1, · · · , n
juntamos, por um segmento de linha reta, o ponto Ai ao ponto Bi. Então, para qualquer n-trança
β,
βe ∼ β e β ∼ βe (4.2)
Tal trança é chamada de trança identidade (ou trivial) e devemos denotá-la por 1n.
Figura 15 – Trança Identidade
Seja β uma n-trança, e vamos construir uma nova n-trança β̄ de β de seguinte modo:
imagine que a borda inferior do quadrado, U, que contém β atua como o plano de um espelho.
Tomando a imagem espelhada de β, podemos construir uma nova n-trança, β̄, Figura 16(a).
Logo, podemos ver que ββ̄ é equivalente à 1n, Figura 16(b).
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Figura 16 – Trança inversa
O descrito acima nos leva a seguinte proposição.
Proposição 4.5. Para cada n-trança β, existe uma n-trança β̄ tal que
ββ̄ ∼ 1n e β̄β ∼ 1n. (4.3)
Tal trança é chamada de inversa de β e denotada por β−1.
A fim de definir uma estrutura de grupo precisamos considerar as classes de equivalên-
cia das n-tranças.
Uma consequência da Proposição 4.5 é que o produto de dois elementos [β1] e [β2]
em Bn é bem definido, desde que [β1β2] = [β1β2]. De fato, devido à Proposição 4.3 a classe
de equivalência [β1β2] é independente do representante de cada classe. Então, com isso e a
substância das Proposições 4.3 até 4.5, temos todos os requisitos necessários para Bn poder
ser um grupo (não comutativo).
Teorema 4.6. O grupo das classes de equivalência das n-tranças Bn forma um grupo. Tal grupo
é usualmente chamado de o grupo de n-tranças de Artin.
Demonstração. O produto (operação binária) é dado pela Definição 4.1; associatividade é uma
consequência da Proposição 4.3; o elemento identidade é 1n (Proposição 4.4); e o inverso do
elemento [β], denotado por [β]−1, é [β−1].
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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho de conclusão de curso, fizemos uma breve introdução à Teoria de tranças,
abordando inicialmente a noção geométrica e na sequência vimos que é possível definir um
grupo com as classes de n-tranças, para que com a ajuda da Álgebra possa ser exploradas
propriedades destes objetos geométricos.
Através deste estudo foi possível ter um contato com conceitos matemáticos que não
seriam abordados no curso de Licenciatura em Matemática, e que complementa a formação
matemática e que motiva para continuar os estudos na área de matemática.
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REFERÊNCIAS
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. 4. ed. São Paulo: Atual São Paulo, 2003.
Citado 2 vezes nas páginas 21 e 29.
MURASUGI, K.; KURPITA, B. A study of braids. 1. ed. [S.l.]: Springer Science & Business
Media, 2012. Citado na página 27.
	Folha de Rosto
	FOLHA DE APROVAÇÃO
	Dedicatória
	Agradecimentos
	Epígrafe
	Resumo
	Abstract
	Lista de Figuras
	Sumário
	1 Introdução
	2 Resultados Preliminares
	2.1 Grupos
	2.2 Subgrupos
	2.3 Homomorfismo e Isomorfismo de Grupos
	3 Tranças Geométricas
	3.1 Uma definição de trança
	3.2 Movimento Elementar e a Equivalência entre tranças
	3.3 Projeção de uma trança
	3.4 Invariantes de tranças e tranças puras
	4 O Grupo de Tranças
	4.1 Uma definição de grupo de tranças
	5 Considerações Finais
	Referências