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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
Mariana da Silva Nogueira Ribeiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 OS NÚMEROS NATURAIS ......................................................................... 3 
2 NÚMEROS INTEIROS .............................................................................. 16 
3 GRUPOS ................................................................................................. 27 
4 ANÉIS ..................................................................................................... 38 
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS I ............................................ 49 
6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS II ........................................... 59 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 OS NÚMEROS NATURAIS 
 
Apresentação 
Os Números Naturais surgiram da necessidade do homem de contar. Os homens não 
viviam e não vivem isolados e com isso as relações entre eles foram aumentando e a 
precisão de realizar contagens se aflorou. Seja contar ovelhas, contar o dinheiro que 
recebiam de salário, contar a quantidade de pessoas e saber se a comida é suficiente 
independentemente do povo: egípcio, romano, árabe. O conjunto dos Números 
Naturais é o primeiro que se aprende quando criança. 
Dessa forma, para conhecermos mais a respeito desse conjunto numérico, serão 
abordados alguns pontos considerados relevantes, como: as propriedades formais da 
adição, as propriedades de relação de ordem, as propriedades da multiplicação, a boa 
ordenação e princípio da indução finita e, por fim, o Teorema de Cantor. 
1.1 Propriedades formais da adição 
O conjunto dos Números Naturais pode ser considerado um conjunto inicial e dá base 
para outros conjuntos numéricos. Possui algumas operações, dentre elas a da adição 
que é de quem derivam todas as outras operações. Além disso, ela é a primeira 
operação fundamental da Aritmética. 
Para construirmos o conjunto dos Números Naturais, podemos utilizar os axiomas de 
Peano, o qual definiu precisamente o que é um número Natural. O Quadro 1.1, a 
seguir, traz os axiomas de Peano. 
Quadro 1.1 – Axiomas de Peano 
 Todo número natural 𝒏 tem o sucessor, denotado por 𝒔(𝒏), tal que 
𝒔(𝒎) = 𝒔(𝒏) ⇒ 𝒎 = 𝒏. 
 Existe um único elemento que não é sucessor de nenhum outro 
, 
 
 
4 
 
natural, denotado por 1. 
 Se X é um subconjunto dos números naturais tais que 𝟏 ∈ 𝑿 e 
𝒏 ∈ 𝑿 ∈ 𝒔(𝒏) ∈ 𝑿, então X é o próprio conjunto dos números 
naturais e 𝒔(𝒏) ∈ 𝑵. 
Fonte: Ricardo (2018, p. 11). 
Para Steffenon e Guarnieri (2016, p. 6), podemos entender os axiomas de Peano da 
seguinte maneira: 
1) Todo número natural tem um único sucessor, que é ainda um número natural. 
2) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes. 
3) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que 
não é sucessor de nenhum outro. 
4) Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém também o 
sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto contém todos os 
números naturais. 
Sendo assim, podemos considerar o conjunto dos Números Naturais como 𝑵 =
{ 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }. Dessa forma, é possível estudarmos, dentro desse conjunto, a operação 
da adição. 
Baseado em Machado (2014, p. 25), é possível definir a adição, entendida por (+) da 
seguinte maneira: dado a ∈ A, definimos que: 
{
𝐚 + 𝟏 = 𝐬(𝐚)
𝐚 + 𝐬(𝐧) = 𝐬(𝐚 + 𝐧)
 
Logo, essas duas definições implicam que, a partir da primeira definição, a função 
sucessora de 𝒂 é 𝒔(𝒂) = 𝒂 + 𝟏 e, da segunda definição, é possível definirmos a 
soma 𝒂 + 𝒏, pois sabemos qual o seu sucessor. Com efeito, escrevendo 𝒂 + 𝒔(𝒏) =
 𝒂 + (𝒏 + 𝟏), sabemos que essa relação é igual 𝒂 𝒔(𝒂 + 𝒏) = (𝒂 + 𝒏) + 𝟏. 
Portanto, sabemos o valor de 𝒂 + 𝒏. 
, 
 
 
5 
 
A operação de adição foi definida com base no sucessor de um número. Ao 
associarmos dois números naturais 𝒂 e 𝒃, a soma (𝒂 + 𝒃) de 𝒂 e 𝒃 é 𝒄. Essa operação 
satisfaz duas propriedades importantes: comutativa e associativa. 
A palavra comutativa vem do verbo comutar que significa trocar. A propriedade 
comutativa da adição diz que dados quaisquer números naturais 𝒂 e 𝒃 tem-se 
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂. Para encontrar a soma, você pode tomar os sucessores de 𝒂 ou de 
𝒃. 
Paterlini (2017, p. 50) apresenta uma explicação para isso: 
Considere dois cestos A e B com a e b bolinhas respectivamente. Tome, uma 
a uma, as bolinhas de B e as coloque em A. Quando terminar, a quantidade 
de bolinhas em A é a+b. Depois faça o contrário: tome, uma a uma, as 
bolinhas de A e as coloque em B. Quando terminar, a quantidade de 
bolinhas em B é b + a. Como as quantidades resultantes são as mesmas, 
então a + b = b + a. 
A palavra associativa vem do verbo associar e da ideia de reunir em um só. A 
propriedade associativa da adição traz que dados quaisquer números naturais 𝒂, 𝒃 e 𝒄 
se tem (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄). Assim, para fazer a soma de “três números a, 
b e c, podemos proceder de duas maneiras: primeiro adicionar 𝒂 com 𝒃, tomar o 
resultado e adicionar a 𝒄; ou então primeiro adicionar 𝒃 com 𝒄, tomar o resultado e 
adicionar a 𝒂. A propriedade associativa afirma que o número resultante é o mesmo” 
(PATERLINI, 2017, p. 50). 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://eventos.unipampa.edu.br/eremat/files/2014/12/MC_salatti_01620329000.p
df>. Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
 
https://eventos.unipampa.edu.br/eremat/files/2014/12/MC_salatti_01620329000.pdf
https://eventos.unipampa.edu.br/eremat/files/2014/12/MC_salatti_01620329000.pdf
, 
 
 
6 
 
1.2 Propriedades de relação de ordem 
Quando ouvimos na escola que 1 é menor que 2, que é menor que 3 e assim 
sucessivamente, essa explicação vem da relação de ordem dos números naturais que 
permite fazer uma comparação entre os números desse conjunto numérico. Assim, ao 
falarmos que um número 𝑎 é menor que 𝑏, essa relação pode ser representada por 
𝑎 < 𝑏 se 𝑎 = 𝑏 + 𝑝, 𝑐𝑜𝑚 𝑎; 𝑏 𝑒 𝑝 ∈ 𝑁. 
Para haver a relação de ordem, é preciso que tenhamos algumas propriedades: 
transitividade, comparabilidade, tricotomia e monotonicidade. Com base em Ricardo 
(2018, p. 13-14), temos: 
Transitividade: se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑏 < 𝑘, então 𝑎 < 𝑘 , com 𝑘, 𝑎, b ∈ 𝑁. 
Demonstração: se 𝑎, 𝑏, 𝑘 ∈ 𝑁, existem 𝑝1 , 𝑝2 ∈ 𝑁 com 𝑏 = 𝑎 + 𝑝1 , e 
𝑘 = 𝑏 + 𝑝2 . Deduzimos que: 𝑘 = (𝑎 + 𝑝1) + 𝑝2 = 𝑎 + (𝑝1 +
 𝑝2) = 𝑎 + 𝑝 (usando a propriedade da associativa), em que 𝑝 ≡ 𝑝1 +
 𝑝2 ∈ 𝑁. Donde 𝑎 < 𝑘, como desejado. 
Tricotomia: dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁, existindo qualquer uma das afirmações 
𝑎 < 𝑏, 𝑏 < 𝑎, 𝑎 = 𝑏, uma exclui a outra. 
Demonstração: suponha que tenhamos 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑎 = 𝑏, com isso teríamos 
𝑎 = 𝑎 + 𝑝, com 𝑝 ∈ 𝑁, isso só seria possível se p = 0, o que seria um 
absurdo, pois 𝑝 ∈ 𝑁. Analogamente, se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑏 < 𝑎, então existem 
𝑝, 𝑘 ∈ 𝑁 tais que 𝑏 = 𝑎 + 𝑝 𝑒 𝑎 = 𝑏 + 𝑘, daí resultaria que 𝑏 = 𝑏 +
 𝑘 + 𝑝, logo 𝑏 + 1 = 𝑏 + 𝑘 + 𝑝 + 1, efetuando o cancelamento de 𝑏, 
concluiríamos que 1 = 𝑘 + 𝑝 + 1, o que seria um absurdo, pois pelos 
axiomas de Peano, o 1 não é sucessor de número algum. 
Comparabilidade: todo número natural 𝑏 é comparável com qualquer 
número natural a. 
Demonstração: o número 1 é comparável com qualquer outro número 
natural, pois é sabido que 1 < 𝑎 para todo 𝑎 ≠ 1, vamos supor que o 
número b seja comparável com todos os números naturais, com 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁. 
Partindo desta suposição, deseja-se mostrar que 𝑏 + 1 também tem essa 
propriedade. Sabemos que se tem 𝑎 < 𝑏, 𝑜𝑢 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑏 < 𝑎. A partir 
dessa tricotomia, iremos analisar cada possibilidade: 
, 
 
 
7 
 
 Se for 𝑎 < 𝑏, então 𝑎 < 𝑏 + 1 por transitividade, pois sabemos que 
𝑏 < 𝑏 + 1. 
 Se for 𝑎 = 𝑏, fazendo a substituição em b temos: 𝑎 < 𝑏 + 1. 
 Sefor 𝑏 < 𝑎, então 𝑎 = 𝑏 + 𝑝, com 𝑝 ∈ 𝑁. Neste caso, há duas 
possibilidades. Ou se tem p = 1, donde a = b + 1, ou então p > 1, logo 
𝑝 = 1 + 𝑝′ e daí 𝑎 = (𝑏 + 1) + 𝑝′ e concluímos que 𝑏 + 1 < 𝑎. 
Motonicidade da Adição: se 𝑎 < 𝑏, então 𝑎 + 𝑘 < 𝑏 + 𝑘, com 
𝑘, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁. 
Demonstração: se 𝑎 < 𝑏, segue que existe 𝑐 ∈ 𝑁 tal que 𝑏 = 𝑐 + 𝑎, daí 
temos 𝑏 + 𝑘 = 𝑐 + 𝑎 + 𝑘 Agora, temos: 𝑎 + 𝑘 < 𝑏 + 𝑘. Como se 
quer provar. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Carolina_TN18.pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
1.3 Propriedades da multiplicação 
Além da operação da adição, outra operação que é possível estudar, dentro dos 
Naturais, é a Multiplicação. Com base em Machado (2014, p. 25), é possível definir a 
multiplicação, entendida por (⋅) da seguinte maneira: dado a ∈ A, temos que: 
{
𝑎 · 1 = 𝑎
𝑎 · (𝑛 + 1) = 𝑎 · 𝑛 + 𝑎
 
Dessa forma, ao multiplicarmos um número 𝑎 por 1 não o alteramos. E se sabemos 
multiplicar todos os números naturais 𝑎 por 𝑛, sabemos também multiplicá-los por 
𝑛 + 1: basta tomar 𝑎(𝑛 + 1) = 𝑎𝑛 + 𝑎. 
https://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Carolina_TN18.pdf
, 
 
 
8 
 
Assim como na operação da adição, a multiplicação também satisfaz algumas 
propriedades: comutativa, associativa e distributiva. A propriedade comutativa da 
multiplicação traz que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎. Costa (2018, p. 34) apresenta uma explicação, “fixado 
um número natural a, seja 𝐴 = { 𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑎𝑛 = 𝑛𝑎} . Então i) 1 ∈ 𝐴 porque 
𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎; ii) se 𝑛 ∈ 𝐴, então, por hipótese 𝑎𝑛 = 𝑛𝑎”. 
A outra propriedade é a associativa em que (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) para quaisquer que sejam 
os números naturais 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐. Costa (2018, p. 33) esclarece essa relação: 
Fixados os números naturais 𝑎 e 𝑏, seja 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ: (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎(𝑏𝑛)}. 
Então: 
(𝑎𝑏 )( 𝑛 + 1) = ( 𝑎𝑏 )𝑛 + ( 𝑎𝑏 )1 propriedade distributiva 
= 𝑎( 𝑏𝑛 ) + 𝑎𝑏 = hipótese de indução 
= 𝑎[ 𝑏𝑛 + 𝑛] = propriedade distributiva 
= 𝑎[ 𝑏( 𝑛 + 1)]. 
Em conclusão, se 𝑛 ∈ 𝐴 , então 𝑛 + 1 ∈ 𝐴 e, pelo princípio de indução 
matemática, 𝐴 = ℕ. 
E por fim, a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição 𝑐(𝑎 +
 𝑏) = 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 quaisquer que sejam os números naturais 𝑎 𝑒 𝑏. Baseado em Costa 
(2018, p. 32), temos que: “fixados os números naturais 𝑎 e 𝑏, seja 𝐴 = { 𝑛 ∈ ℕ ∶
 𝑎( 𝑏 + 𝑛 ) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑛}. Então: (i) 1 ∈ 𝐴 porque 𝑎( 𝑏 + 1 ) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙
 1 pela propriedade distributiva da operação de multiplicação em relação à operação 
de adição para números naturais; (ii) Se 𝑛 ∈ 𝐴 então, por hipótese, 𝑎(𝑏 + 𝑛) =
 𝑎𝑏 + 𝑛𝑎. 
A partir das definições das operações de adição e multiplicação de dois números 
naturais, é possível definir algumas propriedades, o que pode ser observado no 
Quadro 1.2, a seguir: 
 
 
, 
 
 
9 
 
Quadro 1.2 – Propriedades da Adição e da Multiplicação dos Números Naturais 
 Adição Multiplicação 
Associativa 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎(𝑏 ⋅ 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) 𝑐 
Comutativa 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 
Distributiva 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐 
Fonte: a Autora. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://cursos.unipampa.edu.br/cursos/cienciasexatas/files/2018/01/tcc_stephaniesil
vatrindade.pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
1.4 Boa ordenação e princípio da indução finita 
Ao olharmos para o conjunto dos Números Naturais, é possível dizer que para todo 
subconjunto dele, existe um elemento que é o primeiro ou menor elemento desse 
subconjunto, o que se refere ao Princípio da Boa Ordenação ou Boa Ordem. 
Ricardo (2018, p. 15) apresenta uma explicação para esse princípio. Ele começa 
traduzindo o princípio para uma linguagem matemática: “Dados o subconjunto 
𝐷 ⊂ 𝑁, o número natural 𝑑 é o menor ou o primeiro elemento de 𝐷 quando 𝑑 ∈ 𝐷 
e, também, 𝑑 ≤ 𝑥 para todos os elementos 𝑥 ∈ 𝐷, com 𝐷 ≠ 0”. Além disso, ele 
traz uma demonstração, como segue: 
seja 𝑘 ∈ 𝑁, não existe natural 𝑝 tal que 𝑘 < 𝑝 < 𝑘 + 1. Como 𝑝 >
 𝑘 então ele é do tipo 𝑝 = 𝑘 + 𝑎 (1) e 𝑘 + 1 = 𝑝 + 𝑏 (2), com 
𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁. 
http://cursos.unipampa.edu.br/cursos/cienciasexatas/files/2018/01/tcc_stephaniesilvatrindade.pdf
http://cursos.unipampa.edu.br/cursos/cienciasexatas/files/2018/01/tcc_stephaniesilvatrindade.pdf
, 
 
 
10 
 
Fazendo a substituição de 𝑘 + 𝑎 em (2) temos: 
𝑘 + 1 = 𝑘 + 𝑎 + 𝑏 
Pela propriedade cancelativa, temos: 
1 = 𝑎 + 𝑏 
O que seria um absurdo, pois sendo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁, nesse caso deveríamos ter 
que pelo menos 𝑎 + 𝑏 = 2, caso 𝑎 = 𝑏 = 1 que é o menor número 
natural possível. 
Além disso, é possível relacionar o Princípio da Boa Ordenação com o Princípio da 
Indução. De acordo com Machado (2014), esses dois princípios são equivalentes. A 
indução matemática pode ser utilizada para provar resultados que envolvem os 
números naturais e verificar se uma sentença é válida para todos eles por meio de um 
número de passos. 
Como é possível ter certeza que uma determinada propriedade vale para todos os 
números naturais? Se uma propriedade envolvendo números naturais vale para 1, 2, 3, 
..., 105, então vale sempre? São questionamentos que a indução matemática pode 
ajudar a responder. Steffenon e Guarnieri (2016, p. 5) apresentam uma boa explicação 
quando trazem o exemplo das peças de um dominó. 
Você já deve ter visto exibições em que milhares de peças de dominó são 
colocadas em sequência e que a queda da primeira peça implica a queda das 
demais, sucessivamente. Muitas vezes, as peças têm cores diferentes e vão 
se formando desenhos. O princípio de indução matemática se assemelha 
com isso, pois tem como foco provar que determinado resultado vale para 
todos os números naturais ou para todos os naturais a partir de um certo 
𝑛0 dado. 
Ricardo (2018, p. 16) completa dizendo que “o princípio de indução matemática tem 
como finalidade provar que um determinado resultado tem seu valor assegurado para 
todos os números naturais ou para todos os números a partir de determinado natural 
definido”. 
, 
 
 
11 
 
O Princípio de Indução Matemática diz o seguinte: Se 𝐴(𝑛) é uma propriedade relativa 
ao número natural 𝑛, tal que i) 𝐴(1) é válida; ii) Para todo 𝑛 ∈ 𝑁, a validez de 𝐴(𝑛) 
implica a validez de 𝐴(𝑛 + 1). Então, 𝐴(𝑛) é válida qualquer que seja o número 
natural 𝑛. Temos então o método da indução completa também conhecido como 
método da indução finita. 
De acordo com Paterlini (2017), temos dois passos para o princípio da indução finita os 
quais chamam-se base da indução, hipótese da indução e tese da indução, 
respectivamente. O primeiro passo é a base da indução. “No passo 2, a afirmação 
‘𝐴(𝑛) é verdadeira’ chama-se hipótese da indução, e a afirmação ‘𝐴(𝑛 + 1) é 
verdadeira’ chama-se tese da indução. Se for conveniente a condição 𝐴(𝑛) ⇒ 𝐴(𝑛 +
 1) pode ser substituída por 𝐴(𝑛 − 1) ⇒ 𝐴(𝑛) ou outra forma equivalente” 
(PATERLINI, 2017, p. 208). 
Usando o método da indução finita, é possível demonstrar que a soma dos n primeiros 
números ímpares positivos é igual a 𝑛2. Isso de fato, pois: 
1 = 12 
 1 + 3 = 4 = 22 
 1 + 3 + 5 = 9 = 32 
 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 
Assim, temos que: 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 para todo 𝑛 ≥ 1 em 
𝑁. 
Para aplicar o princípio da indução completa, chamaremos essa afirmação de 𝐴(𝑛), e 
verificaremos os dois passos do método da indução completa. 
Passo 1: provar a afirmação 𝐴(1). O primeiro número ímpar é 1, e 1 = 12 . Portanto, 
𝐴(1) é verdadeira. 
Passo 2: provar que se 𝐴(𝑛) é verdadeira, então 𝐴(𝑛 + 1) é verdadeira. Em outros 
termos, vamos supor que 
, 
 
 
12 
 
1+ 3 + 5 + 7 + · · · + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 (∗) 
seja verdadeiro e provar que 
1 + 3 + 5 + · · · + (2𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)2 (∗∗) 
Notemos que 
1 + 3 + 5 + · · · + (2𝑛 + 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2𝑛 − 1) + (2𝑛 + 1) 
= 𝑛2 + 2𝑛 + 1 
= (𝑛 + 1)2 
Assim, (∗) implica (∗∗), e com isso fica estabelecido o passo 2 da indução finita. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://www.mat.uc.pt/~mat0829/A.Peano.htm>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
1.5 Teorema de Cantor 
George Cantor foi um matemático alemão e teve sua contribuição na Teoria dos 
Conjuntos, mais especificamente no estudo do infinito. Seus estudos foram 
desenvolvidos na ideia de cardinalidade de um conjunto que diz respeito à quantidade 
de elementos que um conjunto tem. Ao utilizar esse princípio, Cantor chegou à 
conclusão de infinito que é quando não se pode enumerar seus elementos. 
Para Freiria (1992), uma das contribuições mais originais de Cantor foi ao redor da 
provocativa palavra “infinito”. Segundo esse autor, “diz-se que um conjunto S é infinito 
quando é semelhante a uma parte própria dele mesmo, caso contrário S se diz finito” 
(FREIRIA, 1992, p. 70). 
http://www.mat.uc.pt/~mat0829/A.Peano.htm
, 
 
 
13 
 
Segundo Ricardo (2018, p. 22), uma forma de enunciar o teorema de Cantor é “A 
cardinalidade de qualquer conjunto é inferior à cardinalidade do conjunto das partes 
desse mesmo conjunto”. Assim, Cantor provou que existem conjuntos infinitos com 
diferentes cardinalidades. 
Cantor provou que não há uma correspondência biunívoca entre os Naturais e o 
conjunto dos números Reais assim como nenhum conjunto A pode estar em 
correspondência biunívoca com o conjunto P(A), chamado de conjunto das partes de 
A, cujos elementos são os subconjuntos de A. 
Ricardo (2018, p. 23) apresenta um exemplo de uma aplicação do teorema de Cantor: 
“Seja 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}, então temos que 
P(𝑨) = {∅, 𝑨, {𝟏}, {𝟐}, {𝟑}, {𝟏, 𝟐}, {𝟏, 𝟑}, {𝟐, 𝟑}}. É possível demonstrá-lo: Se 
𝑨 é um conjunto e 𝑷(𝑨) é o conjunto das partes de 𝑨, não existe uma 
função 𝒇 ∶ 𝑨 → 𝑷(𝑨) que seja sobrejetiva. Podemos verificar que a 
cardinalidade de 𝑨 é de 3 elementos e a cardinalidade de 𝑷(𝑨) de 8 
elementos. 
Dessa forma, Cantor percebeu que os conjuntos infinitos não são todos iguais. No caso 
finito, diz-se que conjuntos de elementos têm o mesmo número, mesma 
cardinalidade, se podem ser postos em correspondência biunívoca. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://www.mat.ufpb.br/~bienalsbm/arquivos/Conferencias%20Apresentadas/C%20
5.pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentado de maneira formal o conjunto dos Números Naturais, 
iniciando com os Axiomas de Peano. Outro ponto abordado foram as operações de 
http://www.mat.ufpb.br/~bienalsbm/arquivos/Conferencias%20Apresentadas/C%205.pdf
http://www.mat.ufpb.br/~bienalsbm/arquivos/Conferencias%20Apresentadas/C%205.pdf
, 
 
 
14 
 
adição e multiplicação, bem como as suas propriedades. A operação da adição tem 
como propriedades associativa e comutativa e a multiplicação, além dessas duas, 
possui a propriedade distributiva. 
Abordamos também as propriedades de relação de ordem e os princípios da Boa 
Ordenação e da Indução Finita. O último tópico foi o Teorema de Cantor. É possível 
aplicar cada um dos conceitos apresentados neste bloco a situações matemáticas que 
envolvem os Números Naturais, um importante conjunto que deu origem a teorias e 
definições que o sustentaram como um conjunto consistente com operações bem 
definidas. 
 
REFERÊNCIAS 
COSTA, R. V. Dos números naturais aos números reais. Dissertação (Mestrado — 
Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede 
Nacional). Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São 
Paulo, 2018. 
FREIRIA, A. A. A teoria dos conjuntos de Cantor. Paideia (Ribeirão Preto), n. 2, p. 70-
77, 1992. 
MACHADO, G. M. A construção dos números. Universidade Federal de São Carlos. 
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia. Departamento de Matemática, São Carlos, 
2014. Disponível em: < 
https://www.dm.ufscar.br/dm/index.php/component/attachments/download/43 >. 
Acesso em 22 jun. 2020. 
PATERLINI, R. R. Aritmética dos números inteiros − um texto para licenciandos e 
professores de Matemática. 2. ed. Departamento de Matemática, UFSCar. São Carlos – 
SP, 2017. 
RICARDO, J. da C. Fundamentos de análise. Rio de Janeiro – RJ: Seses, 2018. 
https://www.dm.ufscar.br/dm/index.php/component/attachments/download/43
, 
 
 
15 
 
STEFFENON, R. R.; GUARNIERI, F. M. Belos problemas de matemática: indução e 
contagem. IV Colóquio de Matemática da Região Sul. UFRG, 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
16 
 
 
2 NÚMEROS INTEIROS 
 
Apresentação 
Os Números Inteiros surgiram da necessidade do homem de medir, o que se entende 
por comparar duas grandezas da mesma espécie, seja peso, volume, comprimento ou 
outra grandeza. O homem, ao realizar as relações comerciais, nas quais fazia trocas, 
movimentações de produtos, dinheiro, envolvendo situações de lucros e prejuízos, 
acabava realizando comparações. 
Para compreendermos as características desse conjunto numérico, serão abordados 
alguns pontos considerados relevantes, como as suas principais propriedades, o que é 
o algoritmo da divisão e divisibilidade, o que são Números Primos, MDC e MMC, a 
relação de congruência e critérios de divisibilidade e, por fim, a solução de algumas 
equações diofantinas lineares. 
 
2.1 Principais propriedades 
O conjunto dos Números Inteiros, denotados por 𝑍, pode ser definido por: 
𝑍 = 𝑁 ∪ {0} ∪ {−𝑛; 𝑛 ∈ 𝑁} 
 
Nesse conjunto, estão definidas as operações de adição e multiplicação assim como no 
conjunto dos Números Naturais. O conjunto dos números inteiros é 𝑍 = {…−
3, −2,−2, 0, 1, 2, 3, … } e possui elemento oposto, uma vez que o elemento −𝑛 é o 
elemento oposto de 𝑛. É possível escrevermos alguns subconjuntos de 𝑍, como os 
inteiros positivos representados por 𝑍+ = 1,2,3, … e os inteiros negativos 𝑍− =
{…− 3,−2,−1}. 
Os números inteiros possuem algumas propriedades. De acordo com Cattai (2009), a 
primeira delas é a existência do elemento neutro. 
∀𝑎 ∈ 𝑍, 𝑎 + 0 = 𝑎 𝑒 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎 
, 
 
 
17 
 
Veja que temos o elemento neutro da adição, que é o 0, e o elemento neutro da 
multiplicação o 1. 
Outra propriedade é a “existência do oposto: para cada 𝑎 ∈ 𝑍 existe um único oposto 
aditivo, denotado por −𝑎, tal que 𝑎 + (−𝑎) = 0”. Há uma outra propriedade que diz 
respeito ao cancelamento de termos e isso ocorre tanto na adição, quando na 
multiplicação. A propriedade cancelativa para a multiplicação diz que para todo a, b e c 
pertencente aos números inteiros, com a diferente de 0, tem-se que 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑐 ⇒
𝑏 = 𝑐. 
Cattai (2009, p. 13) traz a propriedade cancelativa da adição e apresenta a prova dela. 
A propriedade diz o seguinte: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍, tem-se que, se 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐, então 
𝑏 = 𝑐. 
Se 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐, somando o oposto de 𝑎 a ambos os membros dessa 
igualdade, temos que (−𝑎) + (𝑎 + 𝑏) = (−𝑎) + (𝑎 + 𝑐). 
Da propriedade associativa, temos [(−𝑎) + 𝑎] + 𝑏 = [(−𝑎) + 𝑎] + 𝑐, isto é, 
0 + 𝑏 = 0 + 𝑐, donde 𝑏 = 𝑐, como queríamos. 
 
Outra proposição que temos é em relação à multiplicação de dois números inteiros 
quando seu produto é 0. Nesse caso, um dos dois números inteiros é igual a 0. Cattai 
(2009, p. 13) traz que: sejam 𝑎 𝑒 𝑏 inteiros, tais que 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0. Então, 𝑎 = 0 ou 
𝑏 = 0. 
Em relação à regra de sinais nos Números Inteiros, temos que: (𝑖):−(−𝑎) = 𝑎; 
(𝑖𝑖): (−𝑎) ⋅ (𝑏) = −(𝑎 ⋅ 𝑏) = 𝑎 ⋅ (−𝑏); (𝑖𝑖𝑖): (−𝑎) ⋅ (−𝑏) = 𝑎 ⋅ 𝑏. É possível 
provar cada um desses itens: 
(𝑖) Note que o oposto de um elemento 𝑎 é o único inteiro que verifica a 
equação𝑎 + 𝑥 = 0. Desse modo, 𝑎 verifica a equação (−𝑎) + 𝑥 = 0, 
implicando que 𝑎 é o oposto de −𝑎, que é indicado por−(−𝑎). 
(𝑖𝑖) Para a primeira igualdade, perceba que (−𝑎) ⋅ 𝑏 é a solução da 
equação 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑥 = 0, já que 𝑎 ⋅ 𝑏 + (−𝑎) ⋅ 𝑏 = [(−𝑎) + 𝑎] ⋅ 𝑏 = 0 ⋅
𝑏 = 0. Analogamente, verifica-se que a ⋅b + a ⋅ (−b) = 0. 
(𝑖𝑖𝑖) Observe, diretamente, que aplicando (ii) temos (−𝑎) ⋅ (−𝑏) =
−(𝑎 ⋅ (−𝑏)) = −(−(𝑎 ⋅ 𝑏)), e por (i), segue que (−𝑎) ⋅ (−𝑏) = 𝑎 ⋅ 𝑏 
(CATTAI, 2009, p. 14). 
 
, 
 
 
18 
 
 O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é um conjunto onde são definidas 
duas operações binárias; a adição (+) : 𝑍 × 𝑍 → 𝑍, (𝑥, 𝑦) → 𝑥 + 𝑦 e a multiplicação 
(⋅) : 𝑍 × 𝑍 → 𝑍, (𝑥, 𝑦) → 𝑥 ⋅ 𝑦, as quais gozam dos seguintes axiomas. 
Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍, 
(1) Associatividade. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)𝑒 (𝑥 · y) · z = x · (y · z) . 
(2) Comutatividade. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 e 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑦 ⋅ 𝑥. 
(3) Existência do elemento neutro. 
Existe 0 ∈ 𝑍 tal que 𝑥 + 0 = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑍. 
Existe 1 ∈ 𝑍(1 ≠ 0) tal que 𝑥 ⋅ 1 = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑍. 
(4) Existência do simétrico. Para cada 𝑥 ∈ 𝑍, existe −𝑥 ∈ 𝑍 tal que 𝑥 + (−𝑥) = 0. 
(5) Distributividade: 𝑥 ⋅ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑧. 
(6) Z não tem divisores de zero. 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0 → 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = 0. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
< https://quadrante.apm.pt/index.php/quadrante/article/view/490/429>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
 
2.2 Algoritmo da divisão e divisibilidade 
O algoritmo da divisão é um método utilizado para realizar a divisão entre dois 
números. O dividendo é o número que será dividido, o divisor é o número que dividirá 
o dividendo, o resultado dessa divisão é chamado de quociente e algumas vezes se 
tem o resto. 
Paterlini (2017, p. 195) apresenta o algoritmo da divisão de Euclides da seguinte 
maneira: “Dados números inteiros 𝑎 𝑒 𝑏 ≠ 0, existe um único par de números inteiros 
𝑞 e 𝑟 tal que 
 
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟; 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑟 < |𝑏|”, no qual 𝑟 e 𝑞 são chamados de resto e quociente da 
divisão de 𝑎 por 𝑏. O resto 𝑟 é chamado, também, de 𝑎 mod 𝑏. 
https://quadrante.apm.pt/index.php/quadrante/article/view/490/429
, 
 
 
19 
 
Caixeta (2016, p. 51) apresenta uma demonstração do algoritmo da divisão em dois 
casos, considerando 𝑥 = qy + r, 0 ≤ r < |y|. No caso 1, o 𝑦 > 0. 
Neste caso, considere 𝐵 = 𝑥 − 𝑎𝑦; 𝑎 ∈ 𝑍, 𝑥 − 𝑎𝑦 ≥ 0. Note que B é não 
vazio, pois 𝑥 − (−|𝑥|𝑦) = 𝑥 + |𝑥|𝑦 ≥ 𝑥 + |𝑥| ≥ 0. Claramente, B é limitado 
inferiormente. Pelo Princípio da Boa Ordem, B possui um menor elemento, 
digamos 𝑟. Portanto, existe 𝑞 ∈ 𝑍 tal que 𝑟 = 𝑥 − 𝑞𝑦. Para mostrar que 
𝑟 < |𝑦| = 𝑦, note que 𝑟 = 𝑦 ⇒ 𝑥 = (1 + 𝑞)𝑦 ⇒ 𝑟 = 0 ⇒ 𝑦 = 0(→←). 𝑟 >
𝑦 ⇒ ∃𝜎; 𝑟 = 𝑦 + 𝜎, onde 0 < 𝜎 < |𝑦|. 
 
Na sequência, ela mostra que 𝑞, 𝑟 são únicos. 
Suponha que 𝑥 = 𝑞𝑦 + 𝑟 = 𝑞𝑦 + 𝑟, com 0 ≤ 𝑟, 𝑟 ≤ |𝑦| = 𝑦. Neste 
caso, 0 ≤ |r − r| < y. Por outro lado, 𝑞𝑦 + 𝑟 = 𝑞𝑦 + 𝑟 ⇒ (𝑞 − 𝑞)𝑦 = 6𝑟 −
𝑟 ⇒ |𝑞 − 𝑞|𝑦 = |𝑟 − 𝑟|. Se fosse 𝑟 = 𝑟, teríamos |𝑞 − 𝑞| ≥ 1. Daí 
𝑦 ≤ |𝑞 − 𝑞|𝑦 = |𝑟 − 𝑟| < 𝑦. (→←). Portanto 𝑟 = 𝑟 e, consequentemente, 
𝑞 = 𝑞 (CAIXETA, 2016, p. 52). 
 
No caso 2, assume-se 𝑦 < 0. “Para 𝑦 < 0, aplicamos o caso anterior com 𝑥, |𝑦|. 
Assim existem únicos 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑍 tais que 𝑥 = 𝑞|𝑦| + 𝑟, com 0 < 𝑟 ≤ |𝑦|. Se pomos 
𝑞1 = −𝑞, então 𝑥 = 𝑞1𝑦 + 𝑟, com 0 < 𝑟 ≤ |𝑦|. Claramente, 𝑞1 é unicamente 
determinado” (CAIXETA, 2016, p. 52). 
Outro conceito importante, quando falamos dos Números Inteiros, é o de 
divisibilidade. De acordo com Benatti e Benatti (2019, p. 39), “esse conceito está 
relacionado à existência de solução para a equação 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏, em que 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍. É fácil 
notar que a existência de solução dependerá explicitamente dos coeficientes 𝑎 𝑒 𝑏”. 
Ao analisarmos a equação 3 ⋅ 𝑥 = 9, tem solução 𝑥 = 3 ∈ 𝑍, ao passo que a equação 
3 ⋅ 𝑥 = 7 não tem solução nos inteiros. 
Benatti e Benatti (2019) apresentam uma definição de divisibilidade do conjunto dos 
inteiros. 
Dados 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑍, diz-se que 𝑏 divide 𝑎 se existe 𝑐 ∈ 𝑍 tal que 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐. É 
possível denotar essa situação por a é divisível por b, "𝑏 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑” ou, 
ainda, a é múltiplo de b. Utilizaremos a notação 𝑏|𝑎 para declarar que 𝑏 
divide 𝑎. O valor de 𝑐 que cumpre essa hipótese é geralmente denotado por 
𝑐 =
𝑎
𝑏
 . 
 
, 
 
 
20 
 
Ao continuarmos com a demonstração dessa definição, os autores provam que “se 
𝑎 ≠ 0 e 𝑏|𝑎, então existe um único elemento 𝑐 ∈ 𝑍 tal que 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐. De fato, 
tomando 𝑐, 𝑐′ ∈ 𝑍 tais que 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐 𝑒 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐´, temos 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑐′, de maneira 
que 𝑏 ⋅ (𝑐 — 𝑐′) = 0. Como 𝑎 ≠ 𝑂, então 𝑏 ≠ 𝑂, implicando 𝑐 = 𝑐′” (BENATTI; 
BENATTI, 2019, p. 39). 
A seguir, você terá algumas propriedades do conceito de divisibilidade em forma de 
proposição. 
Sejam 𝑑, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍. Então, são válidas as afirmações a seguir: 
(a) 𝑑|𝑑 . 
(b) Se 𝑑|𝑎 e 𝑑|𝑏, então 𝑑2|𝑎 ⋅ 𝑏. 
(c) Se 𝑑|𝑎 e a|𝑏, então 𝑑|𝑏. 
(d) Se 𝑑|𝑎 e 𝑑|𝑏, então 𝑑|(𝑟 ⋅ 𝑎 + 𝑠 ⋅ 𝑏), para quaisquer inteiros 𝑟 e 𝑠. 
(e) Se 𝑑|𝑎 e 𝑎|𝑑, então 𝑑 = 𝑎 ou 𝑑 = – 𝑎 (SILVA; GOMES, 2018, p. 93). 
É possível verificarmos, cada uma delas, com números. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
 <https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/viewFile/9077/8143>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
2.3 Números Primos, MDC e MMC 
Número Primo é uma palavra de origem grega e o seu significado é primeiro. Esses 
números são estudados desde a Grécia Antiga e aparecem no trabalho “Os elementos” 
de Euclides, o qual traz que há infinitos Números Primos. “Um número natural é 
denominado número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número 1 e 
ele mesmo” (LEITE; CASTANHEIRA, 2014, p. 79). O 2 é o único número primo que é par. 
O conjunto dos números primos pode ser representado por 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… } e é um conjunto infinito. 
O Teorema Fundamental da Aritmética “estabelece a existência e unicidade da 
fatoração de um inteiro dado em fatores primos” (SILVA; GOMES, 2018, p. 129) e traz 
https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/viewFile/9077/8143
, 
 
 
21 
 
que todo número inteiro maior ou igual a 1 pode ser representado de maneira única (a 
menos da ordem), como produto de fatores primos. 
Silva e Gomes (2018, p. 129) apresentam uma definição para esse teorema: “Seja 
𝑛 > 1 um número inteiro: (i) Dizemos que 𝑛 é primo quando possui exatamente 
quatro divisores; (ii) Dizemos que 𝑛 é composto quando não é primo. Dessa forma, o 
número 11 é primo, pois seus únicos divisores são −11, −1, 1 e 11. Já o número 8 não é, 
uma vez que possui – 1, – 2, – 4, – 8, 1, 2, 4, 8 como seus divisores”. 
Os autores apresentam algumas observações: 
(i) Note que podemos definir um inteiro maior que 1 como sendo primo 
quando ele tem exatamente dois divisores naturais distintos. 
(ii) Podemos também dizer que um número natural maior que 1 é primo 
quando ele admite como divisores somente 1 e ele próprio. 
(iii) Se 𝑛 > 1 é um número composto, então n possui outros divisores além 
dos números – 1, 1, – 𝑛 𝑒 𝑛 (chamados de divisores triviais de n). Dessa 
forma, devem existir inteiros 𝑢 e 𝑣 tais que 1 < 𝑢 < 𝑛, 1 < 𝑣 < 𝑛 𝑒 𝑛 = 𝑢𝑣 
(SILVA; GOMES, 2018, p. 130). 
 
Outro conceito que é preciso conhecer é o de Máximo Divisor Comum (MDC), o qual 
traz a ideia de que a partir dos conjuntos de todos os divisores de dois números 
inteiros quaisquer é possível ter “um divisor que seja comum a esses dois inteiros de 
tal forma que ele seja ´máximo´ e, ainda, determinar tal elemento” (SILVA; GOMES, 
2018, p. 104). 
Benatti e Benatti (2019, p. 46) apresentam uma definição para um número ser divisor 
comum. “Para 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 não simultaneamente nulos, um número𝑐 ∈ 𝑍 é divisor 
comum de 𝑎 e 𝑏 se c|a e 𝑐|𝑏. Denotaremos o conjunto de todos os divisores comuns 
de 𝑎 e 𝑏 por 𝐷(𝑎, 𝑏)”. Assim, se 𝑐 ∈ 𝐷(𝑎, 𝑏), temos que, se 𝑎 ≠ 0, 𝑐 ≤ |𝑎|, de forma 
que 𝐷(𝑎, 𝑏) é limitado superiormente, portanto, tem um elemento máximo. 
Ainda, é plausível definirmos um divisor que seja máximo, o 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏). “Sejam 𝑎 e 𝑏 
dois inteiros, 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0. O máximo divisor comum entre 𝑎 e 𝑏 é o número 
inteiro positivo 𝑑 que satisfaz as seguintes condições: (i) 𝑑|𝑎 e 𝑑|𝑏 ; (ii) Se existe 
𝑑1 ∈ 𝑍 tal que 𝑑1|𝑎 e 𝑑1|𝑏, então 𝑑1|𝑑” (SILVA; GOMES, 2018, p. 105). 
, 
 
 
22 
 
Ao considerarmos dois inteiros, 𝑎 = 45 e 𝑏 = 36. Usando a notação 𝐷(𝑛) para o 
conjunto dos divisores de um dado número inteiro 𝑛, temos que 𝐷(45) =
{±1,±3,±5,±9,±15,±45} e 𝐷(36){±1,±2, ±3,±4,±6,±9, ±12,±18,±36}. Veja 
que 𝐷(36, 45) = ±1,±3,±9 são divisores comuns para os inteiros 45 e 36, sendo que 
o maior deles é o +9. 
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor múltiplo que é comum a dois ou mais 
números. Assim, o 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) pode ser definido como sendo o menor inteiro positivo 
𝑚 tal que 𝑎 divide 𝑚 e 𝑏 divide 𝑚. Silva e Gomes (2018, p. 117) trazem uma definição: 
“Sejam 𝑎 e 𝑏 dois inteiros, 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0. O mínimo múltiplo comum entre 𝑎 e 𝑏 é o 
número inteiro positivo 𝑚 que satisfaz as seguintes condições: (i) 𝑎|𝑚 e 𝑏|𝑚 ; (ii) Se 
existe 𝑚1 ∈ 𝑍 tal que 𝑎|𝑚1 e 𝑏|𝑚1 , então 𝑚|𝑚1”. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: <https://www.scielo.br/pdf/ciedu/v23n4/1516-7313-ciedu-23-04-
0881.pdf>. Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
2.4 Relação de congruência e critérios de divisibilidade 
Em Matemática, é comum usarmos igualdades que não são idênticas, ou seja, por 
conveniência tratamos dois objetos matemáticos como sendo iguais. No entanto, para 
não haver problemas, podemos usar a palavra congruência para denotar esse tipo de 
igualdade. A palavra congruência significa “coerência, coincidência ou correspondência 
de caráter ou qualidades; conformidade, concordância, harmonia” (HOUAISS, 2009). 
Lima (2017, p.1) traz uma explicação para esse termo: 
A ideia de congruência é a seguinte: quando nos deparamos com um 
problema que relacione divisões, potenciações etc., por que não 
trabalhamos com os restos das divisões ao invés dos próprios números? 
Quer dizer, por que não nos esquecemos dos números e ficamos apenas 
com os restos? Uma vez que esses restos são menores do que os números, é 
de se esperar que isso simplifique a solução desses problemas, o que de fato 
ocorre! 
https://www.scielo.br/pdf/ciedu/v23n4/1516-7313-ciedu-23-04-0881.pdf
https://www.scielo.br/pdf/ciedu/v23n4/1516-7313-ciedu-23-04-0881.pdf
, 
 
 
23 
 
A definição para congruência, com base em Leopold (2015, p. 13), é: “Sejam 
𝒂, 𝒃 𝒆 𝒎 ∈ 𝒁, tal que 𝒎 ≠ 𝟎. Dizemos que 𝒂 é congruente a 𝒃 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒎, se a e b 
tem o mesmo resto quando divididos por 𝒎. Se 𝒂 é congruente a 𝒃 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒎, 
escrevemos 𝐚 ≡ 𝒃(𝒎𝒐𝒅 𝒎)”. Quando dois inteiros não são congruentes 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒎 
é dito que são incongruentes 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒎 e escreve-se ≢ 𝒂 𝒃 (𝒎𝒐𝒅 𝒎). 
O autor apresenta um exemplo para a congruência: “31 ≡ 6 (𝑚𝑜𝑑 5), pois 31 e 6 
tem mesmo resto quando divididos por 5. Em contrapartida, 31 ≢ 6 (𝑚𝑜𝑑 3), pois 31 
e 6 não deixam mesmo resto quando divididos por 3” (LEOPOLD, 2015, p. 13). 
Critério de divisibilidade é uma regra em que é possível saber se um número inteiro é 
ou não divisível por um número. Para Leopold (2015, p. 22), critérios de divisibilidade 
são “regras práticas que permitem verificar se um dado número inteiro 𝑎 é múltiplo de 
outro número inteiro 𝑏, tomando como base sua representação decimal (base 10)”. 
Para Benatti e Benatti (2019, p. 74), “é possível estabelecer critérios de divisibilidade 
para dois inteiros” e trazem uma denotação para a base 10, “𝑁 = 𝑎𝑛10
𝑛 +
𝑎𝑛−110
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎110
1 + 𝑎0, em que 𝑎𝑖 é um inteiro não negativo menor que 
10, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 𝑒 𝑎𝑛 ≠ 𝑂”. 
O Quadro 2.1, a seguir, apresenta alguns critérios de divisibilidade que possibilitam 
saber se um número é divisível ou não por outro número sem carecer de fazer a 
divisão. 
 
 
Quadro 2.1 – Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por Critério: se Exemplos 
2 
o algarismo das unidades for par (O número termina em 0, 2, 4, 6, 
8) 
342, 646 
3 a soma dos algarismos do número for divisível por 3 333, 573 
4 
os dois últimos algarismos do número forem divisíveis por 4 ou o 
número terminar em 00 
7004, 2500 
5 o número terminar em 5 ou em 0 565, 1230 
6 o número for simultaneamente divisível por 2 e por 3 222, 1290 
8 
os três últimos algarismos do número forem divisíveis por 8 ou o 
número terminar em 000 
4016, 9000 
, 
 
 
24 
 
9 a soma dos algarismos do número for divisível por 9 1422, 801 
10 o número terminar em 0 100, 770 
Fonte: Leite e Castanheira (2014, p. 62). 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: <https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=467547643049>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
2.5 Solução de algumas equações diofantinas lineares 
“As equações diofantinas têm coeficientes inteiros e com uma ou mais incógnitas 
pertencentes ao conjunto dos números inteiros” (BENATTI; BENATTI, 2019, p. 74) e o 
objetivo é encontrar soluções inteiras, o que as difere de uma equação no modo geral. 
Recebem esse nome em homenagem a Diofanto de Alexandria. São exemplos de 
equações diofantinas: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧— 𝑑 ; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 = 𝑑 
“Uma equação diofantina linear a duas incógnitas 𝑥 e 𝑦 é uma equação do tipo 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 inteiros. Dizemos que a equação tem solução em 𝑍 se 
existirem inteiros 𝑥0 e 𝑦0 tais que 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐, e o par (𝑥0, 𝑦0) é então chamado 
de solução da equação” (SILVA; GOMES, 2018, p. 154). 
O Problema 1, a seguir, é um problema que envolve equações diofantinas. 
 
Problema 1 
Um laboratório dispõe de 2 máquinas para o processo de examinar amostras de 
sangue. Uma delas examina 15 amostras a cada processo, a outra examina 25 
amostras. Quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para conseguir 
examinar 1.000 amostras de sangue? 
 
Vejamos agora um problema resolvido que envolve equações diofantinas (BENATTI; 
BENATTI, 2019, p. 92). 
A bilheteria de um cinema cobra R$ 54,00 por adulto e R$ 21,00 por criança. Certa 
noite, arrecadou R$ 906,00. Quantos adultos e quantas crianças assistiram ao filme, 
sabendo-se que eram mais adultos que crianças? 
https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=467547643049
, 
 
 
25 
 
O objetivo é determinar a solução geral da equação diofantina 54𝑥 +
 21𝑦 = 906. No entanto, não conhecemos uma solução particular. Temos 
que 𝑚𝑑𝑐 (54, 21) = 3. E 3│906, pois a soma de seus algarismos é 15, que é 
múltiplo de 3. Logo, a equação tem solução e pode ser simplificada e escrita 
como 18𝑥 + 7𝑦 = 302. Além disso, sabemos que 𝑚𝑑𝑐 (18, 7) = 1. 
Procuramos, agora, uma solução particular para a equação 18𝑥 + 7𝑦 = 1. 
Para isso, utilizaremos o algoritmo de Euclides: 
18 = 2 ⋅ 7 + 47 = 1 ⋅ 4 + 34 = 1 ⋅ 3 + 1 
 Logo: 
1 = 4 − 1 ⋅ 3 = 4 − 1 ⋅ (7 − 1 ⋅ 4) = 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 7 = 2(18 − 2 ⋅ 7) − 1 ⋅ 7
= 2 ⋅ 18 − 5 ⋅ 7 
Portanto, uma solução particular é 𝑥 = 2, 𝑦 = —5. Multiplicando por 302, 
temos o par 𝑥 = 604, 𝑦 = —1510 como solução da equação diofantina 
18𝑥 + 7𝑦 = 302. Obtemos, então, como solução geral: 
𝑥 = 604 + 7𝑡; 𝑦 = −1510 − 18𝑡; 𝑡 ∈ 𝑍. 
Porém, desejamos tomar somente as soluções inteiras não negativas de 
nosso problema. Consideramos, então, 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0, isto é, 7𝑡 ≥ −604 e 
18𝑡 ≤ 1 510. Logo, —86 285 ≤ 𝑡 ≤ 83 889. Portanto, 𝑡 = −85 ou 
𝑡 = −84. Assim, obtemos duas soluções não negativas: 
{
𝒙 = 𝟗
𝒚 = 𝟐𝟎
 𝒆 {
𝒙 = 𝟏𝟔
𝒚 = 𝟐
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse:Disponível em: 
<http://seer.pucgoias.edu.br/files/journals/3/articles/3881/submission/review/3881-
11224-1-RV.pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentado de maneira formal o conjunto dos Números Inteiros por 
meio dos axiomas e propriedades relativas a esse conjunto. Outro ponto abordado foi 
o Algoritmo de Euclides e os critérios de divisibilidade. Foi possível identificar os 
números primos e o Teorema Fundamental da Aritmética. 
Abordamos também o que é Máximo Divisor Comum e o Mínimo Múltiplo Comum, 
trazendo exemplos de cada um desses conceitos. Além disso, mostramos o que são 
http://seer.pucgoias.edu.br/files/journals/3/articles/3881/submission/review/3881-11224-1-RV.pdf
http://seer.pucgoias.edu.br/files/journals/3/articles/3881/submission/review/3881-11224-1-RV.pdf
, 
 
 
26 
 
equações diofantinas lineares e alguns problemas que consistiam descobrir se uma 
equação tem ou não solução e, em caso afirmativo, saber como encontrar todas as 
soluções. 
 
REFERÊNCIAS 
BENATTI, K. A.; BENATTI, N. C. da C. M. Teoria dos números. Curitiba: InterSaberes, 
2019. 
CAIXETA, S. B. Algoritmo da divisão de Euclides. Dissertação. Departamento de 
Matemática da Universidade de Brasília, Brasília, 2016. 
CATTAI, A. P. Análise real. Universidade do Estado da Bahia. 2009. Disponível em: < 
http://cattai.mat.br/site/files/AnaliseReal/AnaliseReal_cattai_uneb.pdf>. Acesso em: 
17 set. 2009. 
LEITE, Á. E.; CASTANHEIRA, N. P. Teoria dos números e teoria dos conjuntos. Curitiba: 
InterSaberes, 2014. v. 1. (Coleção Desmistificando a Matemática). 
LEOPOLD, G. L. Congruência e aplicações. Dissertação de Mestrado. Brasil. 2015. 
LIMA, Y. G. Congruências. Fortaleza – CE, 2017. Disponível em: 
<https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/congru-3.pdf>. Acesso em: 25 
jun. 2020. 
PATERLINI, R. R. Aritmética dos números inteiros: um texto para licenciandos e 
professores de Matemática. 2. ed. Departamento de Matemática, UFSCar. São Carlos – 
SP, 2017. 
SILVA, J. C.; GOMES, O. R. Estruturas algébricas para licenciatura: elementos de 
aritmética superior. São Paulo: Blucher, 2018. v.2. 
 
 
 
http://cattai.mat.br/site/files/AnaliseReal/AnaliseReal_cattai_uneb.pdf
https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/congru-3.pdf
, 
 
 
27 
 
 
3 GRUPOS 
 
Apresentação 
O início da Álgebra Abstrata ou Álgebra Moderna se deu com o estudo de Grupos, no 
qual o foco está nas operações envolvidas em um conjunto. Mais especificamente, é 
feito um estudo das propriedades de um conjunto munido de uma ou mais operações, 
com o objetivo de ter um terceiro elemento com características dos dois primeiros. 
Nesse estudo, algumas propriedades precisam ser satisfeitas, o que garante a natureza 
do conjunto. 
Dessa forma, para compreendermos as características desse elemento algébrico 
Grupo, serão abordados alguns pontos considerados relevantes, como: as 
propriedades básicas de grupos; o que são subgrupos e grupos cíclicos; grupos de 
permutações, classes laterais e Teorema de Lagrange; subgrupos normais e grupo 
quociente; e, por fim, homomofismo e isomorfismo de grupos. 
 
3.1 Propriedades básicas de grupos 
Um grupo é um conjunto munido de uma operação binária (uma regra em 
que a cada par de elementos do conjunto faz corresponder um e um só 
elemento desse conjunto), que é associativa, tem elemento neutro, e tem 
inversos (SOBRAL, 2006, p. 2). 
 
Dessa forma, é possível estabelecer uma definição, na qual: 
Um grupo consiste de um conjunto não vazio 𝐺, munido de uma operação, 
indicada por ⋅ (isto é, uma regra em que a cada par ordenado de elementos 
(𝑎; 𝑏) de 𝐺 associa um terceiro elemento de 𝐺 que denotaremos por (𝑎 ⋅ 𝑏) 
satisfazendo as seguintes propriedades (SOUZA, 2014, p. 31): 
 
i) 𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ 𝐺 implica que (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐), ou seja, a operação é 
associativa. 
, 
 
 
28 
 
ii) Existe um elemento 𝑒 ∈ 𝐺 tal que para todo 𝑎 ∈ 𝐺 vale 𝑎 ⋅ 𝑒 = 𝑒 ⋅
𝑎 = 𝑎 para todo 𝑎 ∈ 𝐺. O elemento 𝑒 é denominado elemento neutro 
de 𝐺 com relação à operação ⋅ . 
iii) Para todo 𝑎 ∈ 𝐺, existe um elemento 𝑎−1 ∈ 𝐺 tal que a ⋅ 𝑎−1 =
 𝑎−1 ⋅ a = 𝑒. O elemento 𝑎−1 é denominado inverso de 𝑎 pela 
operação ⋅. 
 
É comum utilizarmos um grupo (𝐺; ⋅) apenas por 𝐺, deixando a operação 
subentendida. 
Em relação às propriedades citadas acima, “se, além disso, ainda se cumprir o axioma 
da comutatividade 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎, quaisquer que sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, o grupo recebe o 
nome de grupo comutativo ou abeliano” (DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 145). 
É possível, ainda, termos algumas propriedades imediatas de um grupo. Seja (𝐺,⋅) um 
grupo, temos que: 
• a unicidade do elemento neutro de (𝐺,⋅); 
• a unicidade do simétrico de cada elemento de 𝐺; 
• que, se 𝑒 é o elemento neutro, então 𝑒’ = 𝑒; 
• que (𝑎’)’ = 𝑎, qualquer que seja 𝑎 ∈ 𝐺; 
• que (𝑎 ⋅ 𝑏)’ = 𝑏’ ⋅ 𝑎’ e, portanto (raciocinando por indução), que 
(𝑎1 ⋅ 𝑎2 ⋅ . . .⋅ 𝑎𝑛)’ = 𝑎𝑛 ’ ⋅ 𝑎𝑛−1’ ⋅ . . .⋅ 𝑎1’ (𝑛 ⩾ 1); 
• que todo elemento de 𝐺 é regular para a operação ⋅ . Ou seja: se 
𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑦 (𝑜𝑢 𝑥 ⋅ 𝑎 = 𝑦 ⋅ 𝑎), então 𝑥 = 𝑦. 
• no grupo 𝐺, a equação 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏 (𝑥 ⋅ 𝑎 = 𝑏) tem conjunto solução 
unitário, constituído do elemento 𝑎’ ⋅ 𝑏 (respectivamente, 𝑏 ⋅ 𝑎’) 
(DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 145). 
 
De acordo com Yartey (2017, p. 9), podemos utilizar dois tipos de notações para 
grupos: o grupo aditivo e o grupo multiplicativo. O Quadro 3.1, a seguir, apresenta 
essas notações: 
 
 
 
 
, 
 
 
29 
 
 
Quadro 3.1 – Notações para grupo Aditivo e Multiplicativo 
 Grupo Aditivo Grupo Multiplicativo 
Operação + · 𝑜𝑢 ∗ 
Elemento Neutro 0 𝑒 𝑜𝑢 1 
Inverso de a ∈ G – 𝑎 𝑎−1 
Fonte: Yartey (2017, p. 10). 
 
Observe que você pode encontrar a operação do Grupo Multiplicativo das duas 
maneiras: ⋅ 𝑜𝑢 ∗. 
 
3.2 Subgrupos e grupos cíclicos 
“Sejam (𝐺,·) um grupo e 𝐻 um subconjunto não vazio de 𝐺. Dizemos que 𝐻 é um 
subgrupo de 𝐺, se 𝐻, munido da operação · do grupo 𝐺, for um grupo, ou seja, se (𝐻,·) 
for um grupo” (YARTEY, 2017, p. 23). Dessa forma, um subconjunto é um subgrupo se 
possui a mesma operação e o mesmo elemento neutro do grupo. 
Há algumas propriedades que precisam ser satisfeitas para que 𝐻 seja um subgrupo de 
𝐺. Como 𝐺 possui a associatividade para a operação ⋅, logo ela satisfaz a propriedade 
associativa para os elementos de 𝐻. Temos, então, alguns axiomas que satisfazem 𝐻 
ser subgrupo de 𝐺: 
1. 𝐻 é fechado pela operação de 𝐺, isto é, 𝑎 · 𝑏 ∈ 𝐻 para todo a, 𝑏 ∈ 𝐻; 
2. O elemento neutro 𝑒 ∈ 𝐻; 
3. Se 𝑎 ∈ 𝐻, então o inverso 𝑎−1 ∈ 𝐻 (YARTEY, 2017, p. 24). 
 
Uma notação utilizada para subgrupo é 𝐻 ≤ 𝐺, que significa que 𝐻 é um subgrupo de 
𝐺. 
Yartey (2017, p. 24) apresenta um critério para que um subconjunto seja um subgrupo. 
“Seja 𝐻 um subconjunto não vazio de um grupo 𝐺. Então, 𝐻 é um subgrupo de 𝐺 se, e 
somente se, 𝑎 · 𝑏−1 ∈ 𝐻 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻”. 
O autor apresenta uma demonstração desse critério: 
Claro que se 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então 𝑎𝑏 − 1 ∈ 𝐻 sempre que 
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻. Resta provar que o recíproco também vale. 
, 
 
 
30 
 
• Como a operação em 𝐻 é a mesma que a considerada em G, ela é 
associativa. 
• Vejamos agora que 𝑒 ∈ 𝐻. Seja 𝑥 ∈ 𝐻 (note-se que 𝐻 é não vazio, por 
hipótese). Então 
𝑒 = 𝑥 · 𝑥−1 ∈ 𝐻. 
• Seja agora 𝑥 ∈ 𝐻 e vejamos que 𝑥 − 1 ∈ 𝐻. Para isso, basta tomar 
𝑎 = 𝑒 e 𝑏 = 𝑥 no enunciado da proposição. 
• Resta provar que 𝐻 é fechado para operação. Sejam então 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻. Já 
sabemos que 
𝑦−1 ∈ 𝐻. Logo 𝑥𝑦 = 𝑥(𝑦−1)−1 ∈ 𝐻 (YARTEY, 2017, p. 26). 
 
Sobral (2006, p. 8) traz a ideia de grupo cíclico. “Se 𝑥 é elemento de um grupo, então 
 < 𝑥 >= {𝑥 𝑚|𝑚 ∈ 𝑍} é subgrupo de 𝐺. Ele é o subgrupo gerado por 𝑥. Se 
𝐺 =< 𝑥 >, para algum dos seus elementos,diz-se que 𝐺 é grupo cíclico. Se usar a 
notação aditiva, tem-se < 𝑥 >= {𝑚𝑥|𝑚 ∈ 𝑍}”. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
< https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/viewFile/14620/pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
3.3 Grupos de permutações, classes laterais e Teorema de Lagrange 
O grupo de permutações é formado por funções bijetoras de um conjunto em si 
mesmo, isto é, tem-se um domínio e um contradomínio que correspondem a um 
mesmo conjunto. Baseado nisso, serão estudados os grupos que podem ser 
constituídos com base nas permutações. Assim, “seja 𝑋 um conjunto qualquer. Uma 
bijeção 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋 chama-se uma permutação. Denote-se por 𝑆𝑋 o conjunto de todas 
as permutações de 𝑋 , isto é, 𝑆𝑋 ∶= { 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋 | 𝑓 é 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑖𝑗𝑒çã𝑜}” (YARTEY, 2017, 
p. 56). 
O conjunto 𝑆𝑋 das permutações, munido da composição de funções (◦), é um grupo, 
chamado de grupos das permutações de 𝑋. Sendo assim, se X é finito, então 𝑆𝑋 é finito 
e |𝑆𝑋| = |𝑋|! (SOBRAL, 2006). 
https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/viewFile/14620/pdf
, 
 
 
31 
 
Yartey (2017, p. 57) vai ao encontro de Sobral (2006), pois traz que, se o interesse é 
um conjunto finito de 𝑛 elementos, e se “considerar 𝑋 = {1, 2, 3,· · · , 𝑛}, nesse caso 
𝑆𝑋 será denotado por 𝑆𝑛 e será chamado grupo simétrico ou grupo das permutações 
de grau 𝑛”. 
Uma forma usual de representar 𝑓 é por meio de uma matriz 2 × 𝑛 
𝑓(𝑥) = (
1
𝑓(1)
2
 𝑓(2) 
…
… 
𝑛
𝑓(𝑛)) 
 
Assim, “na primeira linha são os elementos de {1, 2,· · · , 𝑛} e abaixo de cada 𝑖, 
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 temos a sua imagem 𝑓(𝑖)” (YARTEY, 2017, p. 57). 
Em relação às classes laterais, quando há um subgrupo, é possível termos uma classe 
lateral à direita e uma classe lateral à esquerda. Dessa forma, é possível definirmos 
cada uma delas. “Seja 𝐻 um subgrupo de um grupo 𝐺. Uma classe lateral à esquerda 
de 𝐻 é um conjunto da for𝑚𝑎 𝑔𝐻 = { 𝑔ℎ ∶ ℎ ∈ 𝐻} sendo 𝑔 ∈ 𝐺 um elemento dado. 
Uma classe lateral à direita de 𝐻 é um conjunto da forma 𝐻𝑔 = {ℎ𝑔 ∶ ℎ ∈ 𝐻} onde 
𝑔 ∈ 𝐺 é um elemento dado” (GARONZI, 2016, p. 9). 
Assim, como 𝑒 é elemento neutro de 𝐺, para cada elemento fixo 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑔 = 𝑔𝑒 ∈ 𝑔𝐻, 
o que traz que o conjunto 𝑔𝐻 é a classe lateral à esquerda de 𝐻 contendo 𝑔. De modo 
análogo, para a classe lateral à direita de 𝐻 contendo 𝑔, pois 𝑔 ∈ 𝐻𝑔. Yartey (2017, 
p. 96) complementa que “se 𝐺 é um grupo aditivo, então denotamos as classes 𝑔𝐻 e 
𝐻𝑔 por 𝑔 + 𝐻 = {𝑔 + ℎ | ℎ ∈ 𝐻} e 𝐻 + 𝑔 = {ℎ + 𝑔 | ℎ ∈ 𝐻}”. 
Para que tenhamos classes laterais, algumas propriedades precisam valer: 
Sejam (𝐺,·) um grupo, 𝐻 ≤ 𝐺 e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. 
(a) 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 se, e somente se, 𝑏−1𝑎 ∈ 𝐻. Em particular 𝑎𝐻 = 𝐻 ⇔
 𝑎 ∈ 𝐻. 
(b) 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 ⇔ 𝑎 ∈ 𝑏𝐻. 
(c) Se 𝑎𝐻 ∩ 𝑏𝐻 ≠ ∅, então 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻, ou, equivalentemente, se 
𝑎𝐻 ≠ 𝑏𝐻, então 𝑎𝐻 ∩ 𝑏𝐻 = ∅. 
(d) 𝑓𝑎 ∶ 𝐻 → 𝑎𝐻 definida por 𝑓𝑎(ℎ) = 𝑎ℎ é bijetora. Em particular se 𝐺 é 
um grupo finito, então todas as classes laterais têm |𝐻| elementos, isto é, 
|𝑎𝐻| = |𝐻| para todo 𝑎 ∈ 𝐺. 
, 
 
 
32 
 
(e) Se 𝐺 é um grupo finito, então existem elementos 𝑎1, 𝑎2,· · · , 𝑎𝑘 ∈ 𝐺, 
com 𝑎1 = 𝑒𝐺, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐺 = 𝑎1𝐻 ∪ 𝑎2𝐻 ∪ · · · ∪ 𝑎𝑘𝐻, e a união é 
disjunta (YARTEY, 2017, p. 98). 
 
O Teorema de Lagrange trata da ordem de um grupo e diz que “a ordem de qualquer 
subgrupo de um grupo finito divide a ordem do grupo” (SOBRAL, 2006, p. 18). O 
matemático Lagrange utilizou esse teorema para “encontrar uma ligação entre a 
solução algébrica das equações e as permutações das raízes dessas equações” 
(DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 196). 
Há uma definição para o teorema: “Sejam 𝐺 um grupo finito e 𝐻 um subgrupo de 𝐺. 
Então vale |𝐺| = |𝐻| · (𝐺 ∶ 𝐻). Em particular, a ordem e o índice de um subgrupo 
dividem a ordem do grupo” (YARTEY, 2017, p. 101). O autor apresenta uma 
demonstração para o teorema, na qual utiliza algumas propriedades das classes 
laterais: 
[...] existem 𝑎1, 𝑎2,· · · , 𝑎𝑘 ∈ 𝐺 tal que 𝐺 = 𝑎1𝐻 ∪ 𝑎2𝐻 ∪ · · · ∪ 𝑎𝑘𝐻, e 
a união é disjunta. Temos que 𝑘 = (𝐺 ∶ 𝐻) pela definição. Como a união é 
disjunta, o número de elementos de 𝐺 é igual à soma do número de 
elementos de cada classe lateral da união, ou seja, 
|𝐺| = |𝑎1𝐻| + |𝑎2𝐻| + · · · + |𝑎𝑘𝐻|. 
Sabemos que 
 |𝑎𝑖𝐻| = |𝐻| para todo 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘. 
Fazendo as devidas substituições na equação anterior, temos 
|𝐺| = |𝑎1𝐻| + |𝑎2𝐻| + · · · + |𝑎𝑘𝐻| 
= |𝐻| + |𝐻| + · · · + |𝐻|, (𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠) 
= 𝑘 |𝐻|. 
Portanto, |𝐺| = (𝐺 ∶ 𝐻)|𝐻|, ou seja, |𝐻| divide |𝐺|. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/CURSOS/Heitor_2013.pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
 
http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/CURSOS/Heitor_2013.pdf
, 
 
 
33 
 
3.4 Subgrupos normais e grupo quociente 
Um subgrupo é chamado de subgrupo normal se as classes laterais à direita são iguais 
às classes laterais à esquerda. Sobral (2006, p. 22) traz que “este tipo de subgrupo é 
muito importante porque o conjunto das suas classes laterais esquerdas, que neste 
caso são também classes laterais direitas, tem uma estrutura natural de grupo, o que 
significa que 𝑎𝐻 · 𝑏𝐻 = 𝑎𝑏𝐻 é uma operação nesse conjunto”. 
Yartey (2017, p. 114) apresenta uma definição para subgrupo normal. “Seja 𝐻 um 
subgrupo 𝐺. Dizemos que 𝐻 é um subgrupo normal de 𝐺 (e denotamos 𝐻 ⊴ 𝐺) se 
𝑎𝐻 = 𝐻𝑎 para todo 𝑎 ∈ 𝐺”. Faz ainda uma observação: “O significado de 𝐻 ⊴ 𝐺, é 
que dado 𝑎 ∈ 𝐺 𝑒 ℎ ∈ 𝐻, existem ℎ′, ℎ′′ ∈ 𝐻 tal que 𝑎ℎ = ℎ′𝑎 𝑒 ℎ𝑎 = 𝑎ℎ′′. Note 
que 𝐻 ⊴ 𝐺 não implica que 𝑎ℎ = ℎ𝑎, ∀ ℎ ∈ 𝐻.” 
Uma outra caracterização de subgrupo normal muito utilizada é: “Sejam 𝐺 um grupo e 
𝑁 𝐸 𝐺. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: 
1. 𝑁 ⊴ 𝐺 
2. Para todo 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑎𝑁𝑎−1 = 𝑁. 
3. As classes laterais à esquerda e à direta coincidem, ou seja, 𝑁𝑎 = 𝑎𝑁 
para todo 𝑎 ∈ 𝐺 (YARTEY, 2017, p. 118). 
 
O grupo das classes laterais recebe um nome específico: grupo quociente de 𝐺 por 𝐻 e 
é representado por 𝐺/𝐻. “Se 𝐺 é um grupo e 𝐻 ∈ 𝐺, então 𝐺/𝐻 é um grupo com 
respeito da operação 𝑎𝐻 · 𝑏𝐻 = (𝑎𝑏)𝐻” (YARTEY, 2017, p. 120). Esse grupo é 
chamado de grupo quociente de 𝐺 módulo 𝐻. O autor apresenta uma demonstração: 
Vamos provar que a operação · é associativa, possui elemento neutro e que 
todo elemento de 𝐺/𝐻 possui elemento inverso para · 
(i) Associatividade: sejam 𝑎𝐻, 𝑏𝐻 𝑒 𝑐𝐻 ∈ 𝐺/𝐻. Como 𝐺 é um grupo, temos 
(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐), 𝑙𝑜𝑔𝑜 (𝑎𝐻 · 𝑏𝐻) · 𝑐𝐻 = 𝑎𝑏𝐻 · 𝑐𝐻 = (𝑎𝑏)𝑐𝐻 =
 𝑎(𝑏𝑐)𝐻 = 𝑎𝐻 · (𝑏𝐻 · 𝑐𝐻) 
(ii) Como 𝐺 é grupo, 𝐺 possui elemento neutro 𝑒 e, evidentemente, 
𝑁 = 𝑒𝑁. Temos 𝑎𝐻 · 𝐻 = 𝑎𝐻 · 𝑒𝐻 = 𝑎𝑒𝐻 = 𝑎𝐻 = 𝑒𝑎𝐻 = 𝑒𝐻 ·
 𝑎𝐻 = 𝐻 · 𝑎𝐻, ∀𝑎 ∈ 𝐺. 
Logo, 𝐻 é o elemento neutro de ·. 
(iii) Como 𝐺 é grupo, todo 𝑎 ∈ 𝐺 possui elemento inverso 𝑎−1. Temos 
𝑎𝐻 · 𝑎 − 1𝐻 = 𝑎𝑎 − 1𝐻 = 𝑒𝐻 = 𝐻 = 𝑎 − 1𝑎𝐻 = 𝑎 − 1𝐻 · 𝑎𝐻. 
Logo, 𝑎−1𝐻 é o elemento inverso de 𝑎𝐻 para a operação ·. 
, 
 
 
34 
 
Resulta de (i), (ii) e (iii) que 𝐺/𝐻 munido da operação · é um grupo (YARTEY, 
2017, p. 120). 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://repositorio.unb.br/bitstream/10482/38357/1/2019_MichellLucenaDias.pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
3.5 Homomorfismo e isomorfismo de grupos 
Quando temos dois grupos, é possível definirmos um Homomorfismo de grupos se há 
uma função entre eles e a operação binária é preservada. “Sejam 𝐺 e 𝐽 grupos. Uma 
aplicação 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐽 é dita um homomorfismo de grupos se satisfaz 𝑓(𝑥𝑦) =
 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦); para quaisquer 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺” (GARONZI, 2016). É possível definirmos onúcleo 
e a imagem da função quando temos um homomorfismo de grupo, sendo 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐽 
O núcleo de 𝑓, denotado por 𝐾𝑒𝑟 𝑓, como sendo 
𝐾𝑒𝑟 𝑓 = {𝑥 ∈ 𝐺 / 𝑓(𝑥) = 𝑒1} 
 
onde 𝑒1 é o elemento neutro de 𝐽. 
 
A imagem de 𝑓, denotada por 𝐼𝑚𝑓, como sendo 
𝐼𝑚𝑓 = {𝑓(𝑥) / 𝑥 ∈ 𝐺} (CAVALCANTE, 2015, p. 22). 
 
Domingues e Iezzi (2018, p. 169) trazem uma simplificação na linguagem e se referem 
à “ƒ: 𝐺 → 𝐽 como um homomorfismo de grupos. Quando se tratar do mesmo grupo, o 
que pressupõe 𝐽 = 𝐺, e a mesma operação, então ƒ será chamada de homomorfismo 
de 𝐺”. 
 
 
 
 
https://repositorio.unb.br/bitstream/10482/38357/1/2019_MichellLucenaDias.pdf
, 
 
 
35 
 
 
Figura 3.1 – Homomorfismo de grupos. 
Fonte: Domingues e Iezzi (2018, p. 169). 
 
Cavalcante (2015, p. 22) apresenta algumas propriedades do homomorfismo. Se temos 
dois grupos 𝐺 𝑒 𝐽 e a função 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐽 um homomorfismo, valem: 
a) 𝑓(𝑒) = 𝑒1 (𝑒1 é o elemento neutro de 𝐽); 
b) 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥)1, para todo 𝑥 ∈ 𝐺; 
c) 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥)𝑛, para quaisquer 𝑥 ∈ 𝐺 e 𝑛 ∈ 𝑍; 
d) Se 𝐻 ≤ 𝐺, então 𝑓(𝐻) = {𝑓(ℎ)/ ℎ ∈ 𝐻} é subgrupo de 𝐽. 
Particularmente, 𝐼𝑚𝑓 é um subgrupo de 𝐽; 
e) Se 𝐾 ≤ 𝐽, então 𝑓−1(𝐾) = {𝑥 ∈ 𝐺 / 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾} é um subgrupo de 𝐺. 
Ademais, se 𝐾 ⊴ 𝐽, então 𝑓−1(𝐾) ⊴ 𝐺. Particularmente, 𝑘𝑒𝑟 𝑓 ⊴ 𝐺; 
f ) 𝑓 é injetiva se, e somente se, 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = {𝑒}. 
 
O isomorfismo de um grupo em outro é um homomorfismo bijetivo de grupos. “Se 𝐺 e 
𝐽 são grupos e existe um isomorfismo 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐽, dizemos que 𝐺 é isomorfo a 𝐽, e 
denotamos 𝐺 ≃ 𝐽. Nesse caso, temos que 𝑓−1 ∶ 𝐽 → 𝐺 é também um isomorfismo” 
(CAVALCANTE, 2015, p. 22). A função 𝑓 é um isomorfismo de grupo se, e somente se, 𝑓 
é um homomorfismo de grupo bijetor. 
Villela (2009, p. 41) define o que são grupos isomorfos. “Os grupos (𝐺,・) e (𝐽, ⋆) são 
grupos isomorfos se, e somente se, existe 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐽 isomorfismo de grupos”. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://ri.ufs.br/bitstream/riufs/6477/1/EPIFANIO_LIMA_SANTOS.pdf>. 
Acesso em: 22 jun. 2020. 
 
https://ri.ufs.br/bitstream/riufs/6477/1/EPIFANIO_LIMA_SANTOS.pdf
, 
 
 
36 
 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentado o estudo de Grupos, no qual tivemos o início da Álgebra 
Abstrata. Ao analisarmos o tema estudado, observamos que o foco está nas operações 
que fazem parte de um conjunto e, também, nas propriedades que precisam ser 
satisfeitas. Dessa forma, foi possível identificarmos e classificarmos grupos, bem como 
definirmos e reconhecermos subgrupos, grupos cíclicos e grupos de permutações, 
assim como exemplificá-los. 
Abordamos também a definição de classes laterais e entendemos e demonstramos o 
Teorema de Lagrange. Outro ponto visto foi a definição e caracterização de subgrupos 
normais e grupos quocientes e, por último, a definição de homomorfismo e 
isomorfismo de grupos. 
 
REFERÊNCIAS 
CAVALCANTE, F. B. Grupos aditivos e multiplicativos de anéis e corpos. Universidade 
Federal de Campina Grande. Centro de Ciências e Tecnologia. Unidade Acadêmica de 
Matemática. Campina Grande – PB, 2015. 
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2018. 392 p. 
GARONZI, M. Álgebra 2. Notas de Aula. Universidade de Brasília, 2016. 
SOBRAL, M. Notas de Álgebra I. Departamento de Matemática – Universidade de 
Coimbra, Coimbra – Portugal, 2006. Disponível em: 
<http://www.mat.uc.pt/~sobral/Algebra_I/NotasA1.pdf>. Acesso em: 5 jul. 2020. 
SOUZA, R. L. de S. Uma breve introdução à teoria de grupos. Dissertação (mestrado 
profissional) – Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e 
Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Matemática. Florianópolis, SC, 2014. 
73 p. 
VILLELA, M. L. T. Grupos. Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense, 
2009. 
http://www.mat.uc.pt/~sobral/Algebra_I/NotasA1.pdf
, 
 
 
37 
 
YARTEY, J. N. A. Álgebra II. Salvador: UFBA, Instituto de Matemática e Estatística; 
Superintendência de Educação a Distância, 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
38 
 
 
4 ANÉIS 
 
Apresentação 
Anel é uma estrutura algébrica utilizada na axiomatização da álgebra e surgiu como 
resultado da estruturação dos conjuntos numéricos. Dessa forma, saber em quais 
conjuntos numéricos há propriedades aritméticas possíveis de operá-las é 
fundamental para essa estrutura. Um conjunto é chamado de anel se for não vazio e se 
estiverem definidas as operações de adição e multiplicação. 
Para compreendermos as características dessa estrutura algébrica, serão abordados 
pontos considerados relevantes, como: as propriedades básicas e a classificação de 
anel; tipos de anéis (anéis comutativos e não comutativos, anéis com unidade, anéis 
finitos); o que são subanéis e anel de integridade; anel de divisão de corpo; e, por fim, 
homomorfismo e isomorfismo de anéis e ideais de anel. 
 
4.1 Propriedades básicas e classificação 
Um anel é um conjunto não vazio definido pelas propriedades aritméticas com duas 
operações básicas representadas pela soma e pelo produto de números. Assim, para 
exemplificarmos o que é um anel precisamos de um conjunto qualquer, que pode ser 
representado por uma letra, e uma operação binária, ou seja, duas operações a da 
adição + e a da multiplicação ⋅. 
“Um conjunto está munido com operação de adição ( + ) e multiplicação ( · ) se, e 
somente se, para todo par (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐴 sabemos associar um único elemento 
𝑐 ∈ 𝐴 e um único elemento 𝑑 ∈ 𝐴 denotados, respectivamente, por: 𝑐 = 𝑎 +
 𝑏 e 𝑑 = 𝑎 · 𝑏 (VILLELA, 2009, p. 33). Quando isso acontece, é dito que as operações 
estão fechadas no conjunto e, nesse caso, para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, temos 𝑎 + 𝑏 ∈
 𝐴 e 𝑎 · 𝑏 ∈ 𝐴. 
Dias (2001) apresenta uma definição para anel, como um conjunto não vazio 𝑅, 
juntamente com duas operações binárias + e ·, quando 𝑅 é um grupo abeliano e 
valem as propriedades associativas e distributivas. Com isso, temos: 
i) (𝑅, +) é um grupo abeliano, ou seja; 
, 
 
 
39 
 
• associativa: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐, para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅; 
• elemento neutro: ∃ 0 ∈ 𝑅; 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎, para todo 𝑎 ∈ 𝑅; 
• existência de elemento simétrico: Para todo 𝑎 ∈ 𝑅, ∃ − 𝑎 ∈
 𝑅; 𝑎 + (−𝑎) = 0 = (−𝑎) + 𝑎; 
• comutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎; para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. 
ii) ⋅ é associativa, ou seja, 𝑎 · (𝑏 · 𝑐) = (𝑎 · 𝑏) · 𝑐, para todo 
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅. 
iii) Valem as leis distributivas: 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 · 𝑏) +
 (𝑎 · 𝑐), (𝑏 + 𝑐) · 𝑎 = (𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎), para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 (DIAS, 
2001, p. 1). 
 
Cochmanski e Cochmanski (2016, p. 28) trazem algumas informações importantes em 
relação à estrutura anel. Os símbolos das operações de adição e multiplicação podem 
ser substituídos por símbolos binários como ⊕ e ⊙, respectivamente; “as 
propriedades da operação binária são comutativas e/ou associativas; uma operação 
binária pode admitir elemento neutro e/ou elemento simetrizável”. 
Ao realizarmos o estudo de estruturas algébricas, há alguns exemplos de anéis que são 
muito utilizados. O primeiro são os anéis numéricos que “são os conjuntos que 
atendem às propriedades das operações binárias (adição e multiplicação): conjunto 
dos inteiros (Z), conjunto dos racionais (Q), conjunto dos reais (R) e conjunto dos 
números complexos (C)” (COCHMANSKI; COCHMANSKI, 2016, p. 31). 
O segundo tipo são anéis de matrizes que “figuram as matrizes quadradas 𝑚 𝑥 𝑛, para 
qualquer inteiro 𝑛 > 𝑂, em que 𝑛 inteiro é pertencente a todos os conjuntos. Assim, 
concluímos que 𝑀𝑛 (matriz em n) do 𝐴 (anel), com operações binárias + ⋅ e sendo (A, 
+, é um anel)” (COCHMANSKI; COCHMANSKI, 2016, p. 31). 
Outro tipo são os anéis de funções “dado (𝐴𝑥 , +,⋅), em que 𝐴𝑥 = {𝑓: 𝑋 → 𝐴},sendo 
(𝐴,+,⋅) dadas as funções 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐴𝑥, temos: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥); 
(𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥) — 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)”; e o último tipo são os produtos diretos, “dados 
(𝐴,+, ⋅) 𝑒 (𝐵,+, ∗) anéis quaisquer, nos quais a soma e o produto são definidos por 
𝐴 𝑥 𝐵, temos: (𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2); (𝑎1, 𝑏1) ⋅ (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1 ⋅
𝑎2, 𝑏1 ⋅ 𝑏2) (COCHMANSKI; COCHMANSKI, 2016, p. 31). 
 
 
, 
 
 
40 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/261098/1/Andrade_AntonioApare
cidode_D.pdf>. 
Acesso em: 8 jul. 2020. 
 
4.2 Tipos de anéis: anéis comutativos e não comutativos, anéis com unidade, anéis 
finitos 
Um anel é um conjunto não vazio definido por duas operações binárias. Em relação à 
multiplicação, a definição é bem livre, uma vez que há anéis que possuem elemento 
neutro para a multiplicação e outros não, e, ainda, há aqueles em que a multiplicação 
é comutativa e outros que não. 
Um anel é chamado anel comutativo “se a multiplicação de 𝐴 goza da propriedade 
comutativa, isto é, se 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, então se diz que 𝐴 é um anel 
comutativo” (COCHMANSKI; COCHMANSKI, 2016, p. 31). 
Andrade (2014, p. 14) apresenta exemplos de anéis comutativos e não comutativos. 
• O anel dos inteiros (𝑍, +,·) é um anel comutativo porque 𝑥 · 𝑦 =
 𝑦 · 𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. 
• Também são comutativos os seguintes anéis: 𝑄, 𝑅, 𝐶, 𝑍𝑚, com as 
operações usuais de adição e multiplicação definidas em cada um desses 
conjuntos. 
• Dado 𝑛 > 1 um inteiro, o anel (𝑀𝑛 × 𝑛(𝑅), +,·) das matrizes quadradas 
𝑛 × 𝑛 com elementos em 𝑅 não é comutativo. 
 
Temos ainda os anéis com identidade e anel comutativo com identidade. “Um anel 𝐴 é 
chamado de anel com identidade se existe um elemento 1 ∈ 𝐴 tal que 
1 · 𝑎 = 𝑎 · 1 = 𝑎 para todo 𝑎 ∈ 𝐴” (MAIER, 2005, p. 143). Já será um anel 
comutativo com identidade se ele for um anel de identidade e comutativo ao mesmo 
tempo. 
Outro tipo de anel que temos são os anéis com unidade. “Seja 𝐴 um anel. Se 𝐴 conta 
com elemento neutro para a multiplicação, isto é, se existe um elemento 1𝐴 ∈
http://repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/261098/1/Andrade_AntonioAparecidode_D.pdf
http://repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/261098/1/Andrade_AntonioAparecidode_D.pdf
, 
 
 
41 
 
 𝐴, 1𝐴 ≠ 0𝐴, tal que 𝑎 ∙ 1𝐴 = 1𝐴 ∙ 𝑎 = 𝑎 qualquer que seja 𝑎 ∈ 𝐴, então se diz 
que 1𝐴 é a unidade de 𝐴 e que 𝐴 é um anel com unidade” (DOMINGUES; IEZZI, 2018, 
p. 231). 
É comum utilizarmos apenas o 1 para indicar a unidade do anel. Veja alguns exemplos: 
 O número 1 é a unidade dos anéis (𝑍, +,·), (𝑄, +,·), (𝑅, +,·) 𝑒 (𝐶, +,·). 
Logo, esses são exemplos de anéis com unidade. 
 Dado 𝑚 ≥ 2 inteiro, (𝑍𝑚, +,·) é um anel com unidade. Neste caso, a 
unidade é a classe 1̅. 
 Sendo 𝑛 um inteiro maior do que 1, o anel (𝑛𝑍, +,·) não possui 
unidade (ANDRADE, 2014, p. 14). 
 
O último tipo de anel é o anel finito. “Um anel (𝐴,+,∙ ) em que o conjunto 𝐴 é finito 
chama-se anel finito”, ou seja, seus elementos também são finitos. São exemplos de 
anéis finitos 𝑍𝑚(𝑚 > 1) e 𝐴
𝑚 com 𝐴 sendo um anel e M um conjunto, ambos finitos 
(DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 228). 
As tábuas da adição e da multiplicação podem ser úteis para visualizar algumas 
características desse tipo de anel. A Figura 4.1, a seguir, traz uma construção das 
tábuas do anel 𝑍4 = {0, 1, 2, 3}. 
 
Figura 4.1 – Tábuas da adição e multiplicação do anel 𝑍4. 
Fonte: Domingues e Iezzi (2018, p. 228). 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: <http://www.mtm.ufsc.br/~ebatista/2018-1/Artigo_Joao.pdf>. 
Acesso em: 8 jul. 2020. 
 
 
 
http://www.mtm.ufsc.br/~ebatista/2018-1/Artigo_Joao.pdf
, 
 
 
42 
 
4.3 Subanéis e anel de integridade 
Um subconjunto não vazio de um anel é um subanel se, as operações induzidas pelas 
operações do subanel forem um anel. “Seja (A,+,·) um anel e S ≠ ∅ um subconjunto 
de A. Dizemos que S é um subanel de A quando (S, +,·) também for um anel com as 
operações de A restritas ao conjunto S” (MAIER, 2005, p. 13). 
Dias (2001, p. 13) traz que um subconjunto de um anel é um subanel se valem as 
seguintes afirmações: “i) para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) ∈ 𝑆 e ii) para 
todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑎 · 𝑏 ∈ 𝑆”. Apresenta, ainda, uma demonstração: 
(⇒) Se 𝑆 ⊆ 𝑅 é um subanel, então para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, temos que 
−𝑏 ∈ 𝑆 𝑒 𝑎 ∈ 𝑆. Logo 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑆, pois + é uma operação binária em 
𝑆 𝑒, 𝑎 · 𝑏 ∈ 𝑆 , pois · é uma operação em S. 
(⇐) Sejam +|𝑆 ∶ 𝑆 × 𝑆 → 𝑅 𝑒 · |𝑆 ∶ 𝑆 × 𝑆 → 𝑅, as restrições de + e · à 
𝑆. A condição (ii) implica que ⇒ · |𝑆 ∶ 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 , 𝑖. é,· | 𝑆 é uma operação 
em 𝑆 (DIAS, 2001, p. 13). 
 
Maier (2005, p. 13) apresenta exemplos de subanéis: 
• O conjunto dos m´ múltiplos de 2, 2𝑍, é um subanel de 𝑍 com as 
operações de adição e multiplicação de inteiros usuais. 
• Em geral, (𝑛𝑍, +,·) é um subanel de (𝑍, +,·) para qualquer inteiro positivo 
𝑛. 
 
Um anel é chamado de anel de integridade se há um anel comutativo com unidade e 
para ele vale a lei do anulamento do produto. 
Seja 𝐴 um anel comutativo com unidade. Se para esse anel vale a lei do 
anulamento do produto, ou seja, se uma igualdade do tipo 𝑎𝑏 = 0𝐴 , em 
que 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, só for possível para 𝑎 = 0𝐴 𝑜𝑢 𝑏 = 0𝐴 , então se diz que 𝐴 
é um anel de integridade ou domínio. A forma contrapositiva dessa 
condição é a seguinte: se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑏 ≠ 0, então 𝑎𝑏 ≠ 0 
(DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 234). 
 
Alguns exemplos de anéis de integridade são apresentados por Maier (2005, p. 13): 
• No anel dos inteiros 𝑍, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 são tais que 𝑥 · 𝑦 = 0, então temos 
que 𝑥 = 0 ou 𝑦 = 0. Logo, 𝑍 é um anel de integridade. 
• Também são anéis de integridade: 𝑄, 𝑅 𝑒 𝐶. 
, 
 
 
43 
 
• Em 𝑍8, os elementos 2̅ e 4̅ são diferentes de 0̅, mas 2 ̅ · 4̅ = 8̅ = 0̅. Logo, 
2̅ e 4̅ são divisores próprios do zero em 𝑍8 e, consequentemente, 𝑍8 não é 
anel de integridade. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
 
Disponível em: 
<https://ri.ufs.br/bitstream/riufs/6474/1/MARCIO_MONTE_ALEGRE_SOUSA.pdf>. 
Acesso em: 8 jul. 2020. 
 
4.4 Anel de divisão de corpo 
“Um corpo é um anel unitário e comutativo no qual todo elemento diferente de zero 
tem inverso. Todo corpo é domínio de integridade, logo, se tem o inverso, não é 
divisor de zero” (COCHMANSKI; COCHMANSKI, 2016, p. 38). 
“Um anel R é chamado um corpo, se (a) 𝑅 é comutativa, (b) 𝑅 possui o elemento 
identidade 1, (c) Todo os elementos não nulos de 𝑅 são unidades, isto é, ∀𝑎 ∈
 𝑅, ∃ 𝑏 ∈ 𝑅 ∶ 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 1” (YARTEY, 2017, p. 155). Mas o que é um anel de divisão 
de corpo? 
“Um anel é chamado um anel de divisão se os elementos não nulos de 𝑅 formarem um 
grupo sob a multiplicação” (VELOSO; COLOMBO, 2014, p. 4). Complementa com a 
definição: “Um anel 𝐴 é um anel de divisão se 𝑈(𝐴) = 𝐴 \ {0} (ou seja, todos os 
elementos não nulos de 𝐴 são invertíveis). Um anel de divisão comutativo é um corpo. 
Os domínios 𝑄, 𝑅 𝑒 𝐶 são todos exemplos de corpos”. 
Para Dias (2001, p. 4), “um anel (𝑅 , + ,·) é um anel com divisão, ou um quase corpo se 
(𝑅 − {0} ,·) é um grupo, ou seja 1 ∈ 𝑅 e para todo 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0, existe 𝑏 ∈ 𝑅, tal 
que 𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎 = 1, este elemento 𝑏 é dito ser o inverso de 𝑎 e é denotado por 
𝑎−1. Um corpo é um anel com divisão comutativo”. 
Cavalcante (2015, p. 27) complementa que: 
Seja A um anel com unidade (não trivial). Diremos que: 
i) A é um anel com divisão se 𝑈(𝐴) = 𝐴 − {0}; 
ii) 𝐴 é um corpo se A é um anel com divisão comutativo; 
https://ri.ufs.br/bitstream/riufs/6474/1/MARCIO_MONTE_ALEGRE_SOUSA.pdf
, 
 
 
44 
 
iii) 𝐴 é um domínio de integridade, ou 𝐷. 𝐼: se 𝐴 é comutativo e para 
𝑎; 𝑏 ∈ 𝐴 valea implicação: 
𝑎𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://200.137.65.30/bitstream/10/7413/1/tese_11922_disserta%c3%a7%c3%a3o%2
0com%20folha%20de%20aprova%c3%a7%c3%a3o%20_%20Vers%c3%a3o%20Final.pd
f>. 
Acesso em: 8 jul. 2020. 
 
4.5 Homomorfismo e isomorfismo de anéis e ideais de anel 
O conceito de homomorfismo foi desenvolvido pelo matemático Evariste Galois. “O 
homomorfismo pode ser definido como uma aplicação entre duas estruturas 
algébricas de mesmo tipo e que preservam as operações” (COCHMANSKI; 
COCHMANSKI, 2016, p. 60). O isomorfismo é um tipo de homomorfismo, assim como o 
automorfismo e o endomorfismo. 
É possível entendermos homomorfismo de anéis por meio da ideia de funções. A 
Figura 4.2, a seguir, apresenta uma função injetora: 
 
Figura 4.2 – Função injetora. 
Fonte: Cochmanski e Cochmanski (2016, p. 60). 
 
Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, isto é, 
𝐼𝑚 (𝑓) ⊆ 𝐵. A Figura 4.3, a seguir, apresenta uma função sobrejetora: 
http://200.137.65.30/bitstream/10/7413/1/tese_11922_disserta%c3%a7%c3%a3o%20com%20folha%20de%20aprova%c3%a7%c3%a3o%20_%20Vers%c3%a3o%20Final.pdf
http://200.137.65.30/bitstream/10/7413/1/tese_11922_disserta%c3%a7%c3%a3o%20com%20folha%20de%20aprova%c3%a7%c3%a3o%20_%20Vers%c3%a3o%20Final.pdf
http://200.137.65.30/bitstream/10/7413/1/tese_11922_disserta%c3%a7%c3%a3o%20com%20folha%20de%20aprova%c3%a7%c3%a3o%20_%20Vers%c3%a3o%20Final.pdf
, 
 
 
45 
 
 
Figura 4.3 – Função sobrejetora. 
Fonte: Cochmanski e Cochmanski (2016, p. 61). 
 
Agora, o conjunto imagem é igual ao contradomínio do conjunto, isto é, 𝑌 𝑙𝑚 (𝑓) =
 𝐶𝐷 (𝑓). A Figura 4.4, a seguir, apresenta uma função bijetora: 
 
 
Figura 4.4 – Função bijetora. 
Fonte: Cochmanski e Cochmanski (2016, p. 61). 
 
“O conjunto imagem A é igual ao conjunto B ou 𝑙𝑚 (𝑓) = 𝐶𝐷 (𝑓). Assim, a função 
será sobrejetora quando todo elemento de B for imagem de, pelo menos, um 
elemento de A” (COCHMANSKI; COCHMANSKI, 2016, p. 61). Nesse sentido, ao 
olharmos para as funções 𝐴 e 𝐵 como anéis, um “homomorfismo de um anel 
(𝐴,+,∙) num anel (𝐵,+,∙) a toda aplicaçã𝑜 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que, quaisquer que sejam 
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴: 
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 
𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦). 
 
A relação 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é chamada de homomorfismo de anéis e, como 𝐴 e 𝐵 são anéis, 
logo (𝐴,+) e (𝐵,+) são grupos. “Quando se tratar do mesmo anel, o que pressupõe 
, 
 
 
46 
 
𝐴 = 𝐵, a mesma adição e a mesma multiplicação em 𝐴, tanto como domínio como 
contradomínio, então 𝑓 será chamada de homomorfismo de 𝐴” (DOMINGUES; IEZZI, 
2018, p. 244). 
Se “a função é injetora, o homomorfismo é chamado de injetor ou monomorfismo 
(para 𝑓: 𝐴 → 𝐵, temos 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) → 𝑎 = 𝑏). Se é uma função sobrejetora, é 
denominado homomorfismo sobrejetor ou epimorfismo (quando 𝑙𝑚 (𝑓) = 𝐵). Por 
fim, no caso de ser uma função bijetora, é chamado de isomorfismo” (COCHMANSKI; 
COCHMANSKI, 2016, p. 62). 
Temos, ainda, algumas propriedades que se referem ao homomorfismo de anéis. “Seja 
𝑓 ∶ 𝐴 𝐵 um homomorfismo de anéis. São válidas as seguintes propriedades: 
• 𝑓 (0_𝐴 ) = 0𝐵 onde 0𝐴 representa o zero do anel 𝐴 e 0𝐵 é o zero de 𝐵; 
• 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐴; 
• 𝑓 (𝑥 − 𝑦) = 𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴; 
• 𝑓 é uma função injetora se, e somente se, 𝑁( 𝑓 ) = {0𝐴}; 
• Se 𝑆 é um subanel de A, então 𝑓 (𝑆 ) é um subanel de 𝐵. 
• Se f for uma função sobrejetora e 𝐴 possuir unidade 1𝐴, então o mesmo 
acontece com 𝐵 e a unidade de 𝐵 ´e 1𝐵 = 𝑓 (1𝐴); 
• Se 𝑓 for sobrejetora, 𝐴 tiver unidade e 𝑥 for invertível (com relação à 
multiplicação), então f (𝑥) também é invertível e 𝑓 (𝑥−1) = [ 𝑓 (𝑥)]−1 
(ANDRADE, 2014, p. 17). 
 
Dois anéis são isomorfos se possuem as mesmas propriedades, o que vale para o anel 
𝐴 também vale para o anel 𝐵. “Um isomorfismo de um anel A em um anel B é uma 
função 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 que é um homomorfismo e bijetora” (ANDRADE, 2014, p. 17). 
Como 𝐴 e 𝐵 são isomorfos, vale 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴. Assim, algumas 
propriedades precisam ser satisfeitas: 
i – A é comutativo ↔ B é comutativo. 
ii – 𝑎 ∈ 𝑈(𝐴) ↔ 𝑓(𝑎) ∈ 𝑈(𝐵) 
iii – A não tem divisores de zero ↔ B não tem divisores de zero: 
iv – A é domínio ↔ B é domínio. 
v – A é corpo ↔ B é corpo (COCHMANSKI; COCHMANSKI, 2016, p. 66-67). 
 
, 
 
 
47 
 
Um anel é chamado ideal se “em um anel comutativo A, um subconjunto não vazio 
𝐼 ⊂ 𝐴 é um ideal em 𝐴 quando ele satisfizer às seguintes propriedades: 
 
• 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐼, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼; 
• 𝑎 · 𝑥 ∈ 𝐼, ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑒 ∀𝑎 ∈ 𝐴 (ANDRADE, 2014, p. 17). 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://pgmat.ufba.br/sites/pgmat.ufba.br/files/ricardo_alcantara_mesquita.pdf>. 
Acesso em: 8 jul. 2020. 
 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentado o estudo de anéis, o qual surgiu como consequência da 
organização dos conjuntos numéricos. Ao analisarmos o tema estudado, é 
fundamental para a estrutura algébrica anéis saber quais são as propriedades 
aritméticas possíveis de operação. Com isso, foi possível reconhecermos a estrutura de 
anéis e corpos e suas principais propriedades, bem como compreendermos os tipos de 
anéis e suas características. 
Abordamos também a definição de homomorfismo e isomorfismo de grupos e anéis e 
demonstramos os principais resultados. Outro ponto visto foi a demonstração dos 
teoremas fundamentais necessários para a construção dos anéis e corpos, a definição 
de homomorfismo e isomorfismo de anéis e, por último, o reconhecimento de ideias e 
suas propriedades. 
 
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, L. N. de. Introdução à álgebra: questões comentadas e resolvidas. 1. ed. 
João Pessoa, 2014. Disponível em: 
<http://www.mat.ufpb.br/lenimar/textos/intalgebra_lna.pdf>. Acesso em: 7 jul. 2020. 
https://pgmat.ufba.br/sites/pgmat.ufba.br/files/ricardo_alcantara_mesquita.pdf
http://www.mat.ufpb.br/lenimar/textos/intalgebra_lna.pdf
, 
 
 
48 
 
CAVALCANTE, F. B. Grupos aditivos e multiplicativos de anéis e corpos. Universidade 
Federal de Campina Grande. Centro de Ciências e Tecnologia. Unidade Acadêmica de 
Matemática. Campina Grande – PB, 2015. 
COCHMANSKI, J. C.; COCHMANSKI, L. C. de C. Estruturas algébricas I. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. 
DIAS, I. Álgebra II: teoria de anéis. Notas de Aulas. Instituto de Ciências Matemáticas e 
de Computação da Universidade de São Paulo – São Carlos, SP, 2001. Disponível em: 
<https://web.icmc.usp.br/SMA/Portal%20SMA/Material%20Didatico/SMA0306.pdf>. 
Acesso em: 7 jul. 2020. 
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2018. 392 p. 
MAIER, R. R. Álgebra I. Texto de aula. Universidade De Brasília − Departamento de 
Matemática – IE. Brasília, 2005. 
VELOSO, P. M.; COLOMBO, J. Introdução à álgebra não comutativa via exemplos. 3º 
Colóquio da Região Nordeste, 2014. Disponível em: 
<https://www.sbm.org.br/docs/coloquios/NE-3-03.pdf>. Acesso em: 8 jul. 2020. 
VILLELA, M. L. T. Grupos. Instituto de Matemática. Universidade Federal Fluminense, 
2009. 
YARTEY, J. N. A. Álgebra II. Salvador: UFBA, Instituto de Matemática e Estatística; 
Superintendência de Educação a Distância, 2017. 
 
 
 
 
 
 
https://web.icmc.usp.br/SMA/Portal%20SMA/Material%20Didatico/SMA0306.pdf
https://www.sbm.org.br/docs/coloquios/NE-3-03.pdf
, 
 
 
49 
 
 
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS I 
 
Apresentação 
O surgimento dos Números Complexos se deu pelo interesse em se calcular soluções 
de equações polinomiais, pois, quando se calculava a solução de uma equação e o 
resultado era a raiz quadrada de valor negativo, entendia-se que o problema não 
apresentava solução. Eles são considerados a extensão mais antiga dos números reais. 
Dessa forma, para conhecer mais a respeito desse conjunto numérico, serão 
abordados alguns pontos como: as operações com

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