FISICA 1-VETORES

Prévia do material em texto

Centro Universitário de João Pessoa - Departamento das Engenharias (Civil, Elétrica e Mecânica)
FÍSICA APLICADA I
Professor: José Jacinto Cruz de Souza Turma: r D r G Data:
LISTA DE EXERCÍCIO
Vetores
1. As leis da Mecânica Clássica nos permitem descrever
com precisão notável, grande parte dos fenômenos f́ısicos
do mundo atual. O uso dos vetores permite a concisão
de determinadas expressões e é facilitador para a dis-
cussão razoável de determinadas leis da F́ısica e suas con-
sequências, tanto do ponto de vista qualitativo quanto
quantitativo. Entretanto, a sua fundamentação obedece
a uma linguagem com conceitos espećıficos. Analise algu-
mas definições e classifique-as em verdadeiras ou falsas.
I. Um vetor no espaço é uma combinação de seu módulo
(número real positivo), uma direção (linha de ação)
que expressa sua localização no espaço e um sentido
que possibilita sua orientação.
II. Adição de vetores pode ser interpretada em termos de
suas propriedades, destacando-se que:
i. ~a+~b = ~b+ ~a (comutativa)
ii. . ~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c (associativa)
iii. . ~a − ~a = ~0.~a + ~0 = ~a, que define um vetor nulo
indicado por ~0, podendo ser representado por
um ponto cujo comprimento é 0 (zero) e seus
sentidos e direção são completamente indetermi-
nados.
III. Se h é um número (também chamado de escalar) e
a um vetor, define-se uma operação produto de um
escalar por um vetor como h~a, para o que é válido
definir:
i. 1~a = ~a
ii. (h1h2)~a = h1(h2~a) = h2(h1~a)
iii. h1(~a+~b) = h1~a+ h1~b
Conforme as afirmativas apresentadas anteriormente In-
dique as afirmativas corretas.
2. Considere as forças aplicadas a um objeto:
~F1 = 2̂i+ 3ĵ ~F2 = −5̂i− 5ĵ ~F3 = −7̂i+ 4ĵ
~F4 = −2̂i+ 3ĵ ~F5 = 8̂i− 2ĵ ~F6 = 2̂i+ 5ĵ
Determine: (a) O módulo da força resultante. (b) A ori-
entação (ângulo) entre Fr e o eixo x.
3. Dado dois vetores ~A e ~B determine o ângulo entre os
vetores nos seguintes casos: (a) ~A = −2, 0̂i + 6, 0ĵ e ~B =
−2, 0̂i − 3, 0ĵ. (b) ~A = 3, 0̂i + 5, 0ĵ e ~B = 10, 0̂i + 6, 0ĵ.
(c) ~A = −4, 0̂i+ 5, 0ĵ e ~B = 7, 0̂i+ 14, 0ĵ.
4. Determine a soma dos quatro vetores a seguir (a) em
termos dos vetores unitários (b) do módulo (c) do ângulo.
~A = (2̂i+ 3, 0ĵ)m
~B = 4, 0m, inclinação do vetor ~B, θ = +65o
~C = (−4, 0̂i− 6, 0ĵ)m
~D = 5, 0m, inclinação do vetor ~D, θ = −23, 5o
5. Uma pessoa caminha da seguinte forma: 3,1km para
o norte , 2, 4km para oeste e 5, 2km para o sul. (a)
Desenhe o diagrama vetorial que representa este movi-
mento. (b) Qual a distância e (c) em que direção deve
voar um pássaro em linha reta do mesmo ponto de par-
tida ao mesmo ponto de chegada.
6. O vetor ~a possui módulo igual a 5, 0m e está dirigido
para o leste. O vetor ~b possui módulo igual a 4, 0m e está
numa direção de 35o para o noroeste a partir do norte.
Quais são (a) o módulo e (b) a direção de ~a +~b ? Quais
são (c) o módulo e (d) a direção de ~a −~b ? Desenhe um
diagrama vetorial para cada combinação.
7. Para os vetores ~A e ~B indicados na figura determine
módulo direção e sentido da: (a) Escreva os vetores ~A e
~B em termos dos vetores unitários. (b) a soma vetorial
~A+ ~B. (c) a diferença vetorial ~A− ~B. (d) - ( ~A− ~B). (e)
~B − ~A.
8. Na soma ~A + ~B = ~C, o vetor ~A tem um módulo de
12m e um ângulo 40o no sentido anti-horário em relação
ao semi-eico x positivo, e o vetor ~C tem um módulo de
15m e um ângulo de 20o no sentido anti-horário em relação
ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo do vetor
~B e (b) o ângulo de ~B em relação ao semi eixo x positivo.
2
9. Os vetores ~a e ~b da figura a seguir possuem o mesmo
módulo de 10, 0m e os ângulos mostrados na figura são
θ1 = 30
o e θ2 = 105
o . Determine: (a) a componente x e
a componente y do vetor soma ~r = ~a +~b. (b) O ângulo
que o vetor ~r faz com o eixo x positivo.
10. A figura abaixo mostra o mapa de uma cidade em que
as ruas retiĺıneas se cruzam perpendicularmente e cada
quarteirão mede 100m. Um estudante caminha pelas ruas
a partir de sua casa, na esquina A, até a sua faculdade,
na esquina B. Dali segue até seu trabalho, situada na es-
quina C. Determine a menor distância que o estu-
dante caminha e a distância em linha reta entre
seu trabalho e a faculdade.
11. Um presidiário, em liberdade condicional, usando uma
tornozeleira eletrônica, apresenta um comportamento sus-
peito em uma determinada esquina do centro da cidade.
Imediatamente, a Central de Poĺıcia passa um rádio para
a viatura em diligência no bairro. A viatura para no ponto
A, representado na figura a seguir, e passa a observar o
presidiário pelo computador de bordo. O sinal captado
por esse computador mostra que o presidiário saiu do
ponto B, foi até a esquina, no ponto C, e depois se deslo-
cou até o ponto D, aonde ficou parado. Considere que: as
distâncias entre os pontos A e B é igual a 40m; entre os
pontos B e C é igual a 30 m e entre os pontos C e D é igual
a 40m. Adote o referencial, conforme mostrado na figura,
cuja origem está na viatura, no ponto A. Em relação ao
movimento do presidiário, considerando as distâncias em
metros, pode-se afirmar:
I. O vetor posição do ponto C é ~rC = 30ĵ.
II. O vetor posição do ponto D é ~rD = 80̂i+ 30ĵ.
III. O módulo do vetor deslocamento entre os pontos C
e B é |~rC − ~rB | = 30.
IV. O módulo do vetor deslocamento entre os pontos D
e B é |~rD − ~rB | = 50.
Analise e indique as afirmativas corretas.
12. Dois homens, com aux́ılio de duas cordas, puxam um
bloco sobre uma superf́ıcie horizontal lisa e sem atrito,
conforme representação ao lado.
Nessa situação, determine a força resultante no bloco na
forma vetorial. Considere que os módulos e direções das
forças exercidas pelos homens são dados por: F1 = 5N e
F2 = 10N . cos θ = 0, 8 e cosφ = 0, 6.
13. Dados os vetores representados na figura abaixo. (a)
Escreva cada vetor indicado na figura ao lado em termos
de vetores unitários. (b) Use os vetores unitários para
escrever o vetor ~C, onde ~C = 3, 0 ~A−4, 0 ~B. (c) Determine
o módulo a direção e o sentido do vetor ~C. (d) Para
os vetores A e B da figura ao lado determine o produto
escalar ~A • ~B
3
14. Uma estação de radar detecta um avião que vem do
leste. No momento em que é observado pela primeira
vez, o avião está a d1 = 360m de distância, a 40
o acima
do horizonte. O avião é acompanhado por mais 123o no
plano vertical leste-oeste, e está a d2 = 790m de distância
quando é observado pela última vez, veja a figura a se-
guir. Neste caso, determine o deslocamento da aeronave
durante o peŕıodo de observação pelo radar.
15. Uma falha geológica é uma ruptura ao longo da qual
faces opostas de uma rocha deslizaram uma em relação à
outra. Na figura, os ponto A e B coincidiam antes de a
rocha em primeiro plano deslizar para a direita. O deslo-
camento total ~AB está no plano da falha . A componente
horizontal de ~AB é o rejeito horizontal, ~AC. A compo-
nente de ~AB dirigida para baixo da falha é o rejeito de
mergulho ~AD. (a) Qual é o módulo do deslocamento total
~AB se o rejeito horizontal é 22,0 m e o rejeito de mergulho
é 17,0 m? (b) Se o plano da falha faz um ângulo φ = 52o
com a horizontal, qual é a componente vertical de ~AB?
16. São dados três vetores em metros:
~d1 = −3, 0̂i+ 3, 0ĵ + 2, 0k̂
~d2 = −2, 0̂i− 4, 0ĵ − 2, 0k̂
~d3 = 2, 0̂i+ 3, 0ĵ + 1, 0k̂
.
Determine: (a) ~d1 • (~d2 + ~d3). (b) ~d1 • (~d2 × ~d3). (c)
~d1 × (~d2 + ~d3).
17. Um explorador polar foi surpreendido por uma ne-
vasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero,
quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acam-
pamento, deveria ter caminhado 5,6km para o norte, mas
quando o tempo melhorou, percebeu na realidade havia
caminhado 7,8km em uma direção 50° ao norte do leste.
(a) Qual a distância e (b) em que sentido deve caminhar
para voltar à base do acampamento.
18. Um jogador de golfe precisa de três tacadaspara co-
locar a bola no buraco. A primeira tacada lança a bola
3,66m para o norte, a segundo 1,83m para sudeste ea ter-
ceira 0,91m para sudoeste. Determine (a) O módulo e (b)
a direção do deslocamento necessário para colocar a bolo
no buraco da primeira tacada.
19. Um barco a vela parte do lado norte-americano do
lago Erie para um ponto ao lado canadense, 90km ao
norte. O navegador , contudo ,termina 50km a leste do
ponto de partida. (a) Qual a distância e (b) em que
direção deve navegar para chegar ao ponto desejado?
20. Três vetores,~a, ~b, ~c tem módulo 50m e estão em um
plano xy. Os ângulos dos vetores em relação ao semieixo x
positivo são 30o,195o e 315o, respectivamente. Determine
o módulo e o ângulo do vetor soma ~S = ~a+~b+ ~c.
Obs: Para uso nos exerćıcios considere as direções asso-
ciadas aos termos nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste
(SO) e noroeste (NO) conforme a ilustração das “rosas
dos ventos”.
4
Gabarito - Lista de Exerćıcio
1. Todos Verdadeiros.
2. (a)F = 8, 24N .(b)104, 3o
3. (a) φ = 128, 32o. (b)θ = 28, 36o. (c)α = 65, 17o.
4. (a)~S = 4, 27̂i− 1, 37ĵ. (b)4, 48m. (c) 355, 70o
5. (a)
(b)3, 20km. (c)θ = 41o ou 221. Escolhemos o segundo ângulo porque sabemos que o vetor ~r está no terceiro
quadrante. Convém notar que muitas calculadoras gráficas contam com rotinas de conversão de coordenadas re-
tangulares para coordenadas polares que fornecem automaticamente o ângulo correto (medido a partir do semieixo
x positivo, no sentido anti-horário).
6. (a)4, 25m(b)Nordeste θ = 50, 4o. (c) e (d) D = 8, 0m, θ = 335, 38o (Sudeste)
7. (a) ~A = −12̂im ~B = (14, 37̂i + 10, 83ĵ)m. (b) ~S = (2, 37̂i + 10, 83ĵ)m. (c) ~D = (−26, 34̂i − 10, 83ĵ)m. (d)
~D = (26, 34̂i+ 10, 83ĵ)m. (e) ~D = (2, 37̂i+ 10, 83ĵ)m
8. (a)B = 26, 6m. (b)θ = 209o pois sabemos que o vetor ~B está no terceiro quadrante.
9. (a)rx = 1, 59m ry = 12, 1m. (b)82, 5
o.
10. 1400m e 1000m.
11. II, III, IV
12. Fr = (10̂i− 5ĵ)N
13. (a) ~A = (1, 23̂i + 3, 38ĵ)m. ~B = (−2, 07̂i − 1, 2ĵ)m. Para descrever o vetor ~B usamos o ângulo de 210o, pois
sabemos que o vetor B está no terceiro quadrante. (b) ~C = (11, 97̂i+ 14, 94ĵ)m. (c) C = 19, 14m. θ = 51, 11o (d)
~A • ~B = −6, 61m2
14. 1031m.
15. (a)27, 8m.(b)13, 4m.
16. (a)3, 0m2. (b) 52m3. (c)(11̂i+ 9, 0ĵ + 3, 0k̂)m2
17. (a)5km. (b) 4, 3o ao sul do oeste.
18. (a)1, 8m. (b) 69o isso significa que a direção da tacada deve ser 69o ao norte do leste.
19. (a)103km. (b) 29, 1oao oeste do norte (equivalente a 60, 9o ao norte do oeste).
20. 38m. O ângulo entre o vetor encontrado e o semieixo x positivo oferece duas possibilidades: θ = −37, 5o ou
180o + (−37, 5o) = 142, 5o, poisa sabemos que o vetor está no quarto quadrante. Assim, o ângulo −37, 5o, que
pode ser descrito como um ângulo de 37, 5o no sentido horário positivo ou como 322, 5o no sentido anti-horário
com o semieixo x positivo.