Atividade 3 Cálculo Aplicado

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Apresente um texto dissertativo, mostrando a importância das taxas de 
variação relacionadas para a resolução de problemas, no mínimo, em duas 
áreas de conhecimento. Em seguida, apresente uma situação-problema 
que envolve taxas relacionadas e a resolução desse problema vinculado a 
alguma área do conhecimento. Siga os seguintes passos: 
 
1- representar a situação-problema, por exemplo, representada em uma 
figura; identificando as grandezas variáveis e constantes; 
2- considerar que todas as variáveis variam com o tempo t; 
3- identificar os dados e qual a taxa que o problema está pedindo; 
4- escrever uma equação que relaciona as variáveis; 
5- derivar a equação implicitamente em relação a t; 
6- aplicar os dados e pontos do problema para encontrar a taxa requerida. 
 
Formule a resposta e faça o upload do arquivo na resposta. 
 
O conceito de derivada de uma função é fundamental em cálculo 
diferencial. Praticamente em todas as ciências é possível 
encontrar aplicações deste conceito, pois são numerosas as 
situações-problemas que podem ser interpretadas e resolvidas 
através do estudo de taxas de variação. A derivada é definida 
como a taxa de variação instantânea de uma grandeza em relação 
a outra que geometricamente nada mais é do que o coeficiente 
angular da reta tangente ao gráfico da função em determinado 
ponto. 
 
Em engenharia, onde se calcula e relaciona variações de 
grandezas físicas como por exemplo: volume, área, cargas, 
centros de gravidade, momentos de inercia e deformações de 
materiais diversos, a aplicação da derivada é de vital importância, 
pois é o cerne na análise de estruturas que empregam equações 
da teoria da elasticidade, sem isso, não seria possível dimensionar 
colunas, vigas e lajes de acordo com o peso suportado pelos 
materiais dessas estruturas. 
 
As aplicações do cálculo diferencial não se limitam exclusivamente 
à Física. Se aplicam também a situações-problemas da Biologia, 
como por exemplo no estudo e análise da velocidade em que um 
vírus pandêmico se propaga e extermina a população humana ou 
de animais e plantas. Como exemplo básico, vamos supor que um 
biólogo queira determinar a taxa de variação de crescimento 
populacional de uma espécie de bactéria em função do tempo, isso 
é importante para definir a farmacocinética e eficácia de um 
antibiótico, uma vez que se conhece a velocidade desse 
crescimento da população bacteriana em relação às horas do dia. 
 
Supondo que essa população de bactérias inicialmente com 500 
bactérias triplica a cada hora. Matematicamente temos: 
 
𝑃(𝑡) = 3𝑡 ∗ 500 
 
Onde P= população de bactérias 
t = tempo em horas 
P(t) =População de bactéria às t horas. 
P’(t)=velocidade de crescimento dessa população de bactérias às t horas. 
 
Vejamos o gráfico dessa função exponencial: 
 
 
 
Vejamos uma tabela que representa as mesmas relações de grandezas. 
 
 
 
Agora vamos analisar o gráfico e tabela da derivada dessa função exponencial: 
 
𝑃′(𝑡) = 500 ∗ 3𝑡 ln(3) 
 
 
 
Representação das variáveis do gráfico em tabela: 
 
 
 
 
Qual será a quantidade de bactérias passadas 12 horas? 
Qual será a taxa de variação dessa quantidade de bactérias 
passadas 24 horas? 
 
Veja abaixo como solucionar isso aplicando o conceito de 
derivada em cálculo diferencial. 
 
A quantidade de bactérias após 12 horas é dada por 
𝑃(𝑡) = 3𝑡 ∗ 500 
Então 
P(12) = 312 ∗ 500 
 
Ou seja 
 
P(12) = 265.720.500 
 
Solução: passadas 12 horas existem cerca de 2,7 milhões de 
bactérias. 
 
Qual será a taxa de variação dessa quantidade de bactérias 
passadas 24 horas? 
 
A taxa de variação é dada pela derivada da função P(t) ou seja é 
dada por P’(t) 
 
Veja como derivar a função P(t): 
 
P’(t) = 
𝑑
𝑑𝑡
(3𝑡 ∗ 500) 
 
Utiliza-se a regra de derivação de função exponencial: 
 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑎. 𝑝) = 𝑎.
𝑑
𝑑𝑡
 (𝑝) 
 
Reorganizando os termos temos: 
𝑃′(𝑡) = 500 ∗
𝑑
𝑑𝑡
(3𝑡) 
Utiliza-se as propriedades de logaritmo quando a função é 
exponencial, então: 
𝑃′(𝑡) = 500 ln(3) ∗ 3𝑡 
Chegamos na derivada da função P(t) que é: 
 
𝑃′(𝑡) = 500 ∗ 3𝑡 ln(3) 
 
Para calcular a taxa de variação do crescimento populacional de 
bactérias, passadas 24 horas, isto é: P’(24) 
 
𝑃′(24) = 500 ∗ 324 ln(3) 
 
𝑃′(24) = 500 ∗ 2,82 ∗ 1011 ∗ 1,0986 
 
𝑃′(24) = 1549,026 ∗ 1011 
 
𝑃′(24) = 1,55 ∗ 1014 
Solução, às 24 horas a taxa de variação, isto é, a velocidade de 
crescimento das bactérias é de 1,55.1014 bactérias por hora.