CALCULO UNIDADE 03 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADAS

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Introdução ao conceito de derivada
APRESENTAÇÃO
Não é de hoje que a matemática desafia o homem. Galileu Galilei foi importante nas áreas da 
física e da matemática, tendo sido desafiado quando tentava descrever o movimento dos corpos 
no século XVI. Só mais tarde, no século XVII, foi possível compreender os estudos de Galileu 
utlizando os conceitos de variação de uma grandeza em relação a outra. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá sobre derivada, sua definição por meio de 
limite e a forma de interpretar a derivada como uma taxa de variação. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir derivadas a partir do conceito de limites.•
Reconhecer a derivada como taxa de variação de uma grandeza.•
Utilizar a derivada em problemas aplicados.•
DESAFIO
Em casos em que há uma incidência acima do esperado de uma doença transmissível, infecciosa 
e transitória, se diz que há um surto dessa doença. Também chamado de epidemia, afeta ao 
mesmo tempo um número significativo de pessoas e o controle sobre a transmissão da doença é 
difícil.
Você trabalha na área da saúde de uma cidade onde ocorreu a epidemia de determinada doença.
Sabe-se que, passado um tempo t (em dias) do primeiro dia da epidemia, o número de pessoas 
infectadas foi de:
A informação de quantas pessoas foram infectadas é importantíssima para o projeto de 
contenção da epidemia. Sendo assim, determine a taxa com que a epidemia se propaga dada pela 
razão entre variação de n(t) em relação ao tempo t = 4.
INFOGRÁFICO
As altas concentrações de gases danosos à saúde presentes na atmosfera são atualmente uma 
grande preocupação. O gás carbônico, por exemplo, pode gerar variadas doenças envolvendo o 
sistema respiratório.
O controle de dióxido de carbono na atmosfera é feito por meio de cálculos de concentração do 
gás, utilizando principamente o conceito de derivada como taxa de variação.
Em uma produção industrial, por exemplo, é possível calcular quanto uma determinada 
quantidade produzida gera de gás carbônico.
No Infográfico a seguir, você entenderá como a taxa de variação pode ser aplicada na avaliação 
da concentração de gás.
CONTEÚDO DO LIVRO
Quando você se depara com uma situação de estudo na qual constam duas ou mais grandezas 
correlacionadas por meio de uma função, e for necessário estudar a variação de uma grandeza 
em função de um outra, irá utilizar o conceito de derivada.
A derivada, dentre suas interpretações, pode ser entedida como uma taxa de variação. Sempre 
que a variação de uma grandeza for analisada à medida que uma outra também varia, está se 
utilizando intuitivamente o conceito de derivada.
No capítulo Introdução ao conceito de derivada, da obra Cálculo (aplicado à saúde), você 
poderá explorar o conceito de derivada por meio da ferramenta do cálculo de limites e enxergará 
a derivada como sendo a taxa de variação entre duas grandezas. Você verá também aplicações 
do conceito de taxa de variação.
CÁLCULO 
APLICADO 
À SAÚDE
Claudia Abreu Paes
Introdução ao conceito 
de derivada
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir derivadas a partir do conceito de limites.
 � Reconhecer a derivada como taxa de variação de uma grandeza.
 � Utilizar a derivada em problemas aplicados.
Introdução
O estudo da derivada envolve muitas áreas do conhecimento. Compreen-
dendo o conceito de funções e, consequentemente, a importância de 
se estudar a relação entre duas ou mais grandezas, a derivada auxilia o 
entendimento do comportamento das funções.
A derivada é uma propriedade local de uma função, em que se estuda 
o comportamento de uma função em determinado ponto. A derivada 
pode ser aplicada para o estudo da variação do comportamento de uma 
função em determinado local.
Neste capítulo, você verá o conceito de derivada e sua definição a 
partir do conceito de limite, além de aprender de que maneira podemos 
interpretar a derivada como a taxa de variação entre duas grandezas.
Derivadas a partir do conceito de limites
Uma função é a relação de dependência entre duas grandezas, x e y, onde y 
depende do valor de x, e x é uma variável independente. Pode-se dizer que 
a derivada é uma avaliação dessa relação de dependência, em que avalia a 
variação de y, quando x estiver variando o seu valor.
Ao aplicar o conceito de derivação, podemos avaliar se uma função cresce, 
além de determinar sua taxa de crescimento, por exemplo. Também podemos 
utilizar a derivada para determinar pontos máximos e mínimos de uma função.
Dada uma função y = f(x), onde a grandeza y depende do valor de x, a taxa 
de variação é determinada quando verificamos o quanto y varia à medida 
que x varia. Analise que, se x variar de x1 para x2, y também irá variar de um 
valor y1 para um valor y2. 
Definição formal da derivada 
Uma função y = f(x), definida em um intervalo aberto (a,b), é derivável no 
ponto c, pertencente ao intervalo (a,b), se existir o seguinte limite:
Observação: f’(c) — lê-se f linha de c — representa a derivada da função 
no ponto c. Para representar a derivada y = f(x), são utilizadas, comumente, 
as seguintes notações:
De forma análoga, se adotarmos c = x + h, e substituirmos na função 
limite, temos:
No lugar de h, pode ser utilizado, ainda, ∆x, como representado a seguir.
Definição derivada: a derivada de uma função y = f(x), em um ponto x0, pode 
ser definida, se o limite existir, como:
Se o limite não existir, a função não tem derivada naquele ponto.
Introdução ao conceito de derivada2
Vamos calcular a derivada de uma função f(x) = 3x – 2.
Aplicando a fórmula da definição da derivada, temos:
Substituindo na equação, temos:
Derivada como taxa de variação 
de uma grandeza
Dada uma função y = f(x), onde a grandeza y depende do valor de x, a taxa de 
variação é determinada quando verificamos o quanto y varia à medida que x 
varia. Analise que, se x variar de x1 para x2, y também irá variar de um valor 
y1 para um valor y2. Essa taxa de variação é dada por:
Observe o seguinte problema: uma pessoa caminha 60 metros (Δs), descre-
vendo um movimento retilíneo, em 20 minutos (Δt). Determine a velocidade 
média dessa pessoa.
3Introdução ao conceito de derivada
Então, podemos dizer que a taxa de variação do espaço em relação ao 
tempo dessa caminhada é de 3 metros a cada minuto. 
Taxa de variação instantânea 
Imagine a situação anterior, uma pessoa caminhando, em que calculamos 
a velocidade da caminhada, que consiste na taxa de variação do espaço por 
tempo. A função do espaço percorrido por tempo é dada por x(t). Se quisermos 
calcular a taxa de variação em um dado ponto, a variação do tempo será dada 
por t + ∆t, e a partícula moverá da posição x(t) para x(t + ∆t). O deslocamento 
total será dado por:
∆x = x(t + ∆t) – x(t)
Assim, calculando a velocidade, temos:
A velocidade instantânea, em um dado tempo t, dá-se no limite da velo-
cidade média quando ∆t → 0, ou seja:
Podemos entender a taxa de variação instantânea como uma derivada 
da seguinte forma:
A velocidade média instantânea é a derivada da função espaço por tempo. 
Utilizamos a definição de derivada para calcular a taxa de variação de 
diversas grandezas que se relacionam. Podemos calcular utilizando o con-
ceito da taxa de variação: a taxa de crescimento instantâneo; a gradiente da 
velocidade no sangue, ou seja, a variação da velocidade; a taxa da variação 
de temperatura, entre outros.
Introdução ao conceito de derivada4
Derivada em problemas aplicados 
A derivada é um conceito muito importante na matemática. Em muitos casos, 
estamos acostumados a determinar variáveis em determinado ponto, e não 
ao longo de um intervalo. Por exemplo, em um crescimento populacional de 
bactérias, estabelecido por uma função f, muitas vezes, calculamos o tamanho 
da população em um dado tempo, e não a variação do número da população 
até chegar a esse determinado tempo. Por isso,utilizamos o conceito de de-
rivada, como um cálculo instantâneo, para determinar o comportamento ao 
longo do tempo.
Exemplo 1
O Quadro 1 e a Figura 1 descrevem o crescimento de uma população de 
bactérias.
Tempo Número de bactérias
0 2
1 4
2 8
3 16
4 32
5 64
… …
14 16384
… …
30 1073741824
… …
60 1152921504606846976
Quadro 1. Crescimento de uma população de bactérias
Fonte: Adaptado de Lewis (1997).
5Introdução ao conceito de derivada
Figura 1. Crescimento de uma população de bactérias. 
Fonte: Adaptada de ECOLOGIA... (2013).
10
00
80
0
60
0
40
0
20
0
0
2 4 6 8 10
Crescimento de bactérias
N
úm
er
o 
de
 b
ac
té
ria
s
Tempo
Para calcular a taxa de variação dessa população, temos a seguinte equação:
Onde N(t) = t² é a função que descreve o crescimento. Aplicando na equa-
ção, temos:
Introdução ao conceito de derivada6
Aplicando Δt = 0, temos:
taxa de variação = 2t
Observe que o cálculo da variação instantânea mostra que, quanto mais o 
tempo Δt se aproximar de zero, a função que descreve o número da população 
será igual a 2t, ou seja, a taxa instantânea de crescimento da função f(x) = x² 
é igual a 2t Veja a representação a seguir (Quadro 2 e Figura 2).
Fonte: Adaptado de ECOLOGIA... (2013).
t
N(t + ∆t) – N(t)
∆t
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
Quadro 2. Taxa de variação do crescimento populacional de bactérias
7Introdução ao conceito de derivada
Figura 2. Taxa de variação do crescimento populacional de bactérias.
Fonte: Adaptada de ECOLOGIA... (2013)
10
0
80
60
40
20
0
0 2 4 6 8 10
Tempo
f(x
)
f(x) = x2
Assim, podemos observar que a taxa que corresponde a x² é 2t. Observe 
que, quando t = 3, f1(x) = 6, e assim sucessivamente.
Exemplo 2
Uma placa com uma cultura de bactérias é observada, e o controle da popu-
lação é feito a cada hora. Conclui-se que, a partir das observações, a equação 
 dá, com boa aproximação, o número de bactérias depois 
de t horas. Qual é a equação que nos dá a taxa instantânea de crescimento da 
população de bactérias na placa?
Introdução ao conceito de derivada8
Pela definição de derivada, temos:
Como essa equação nos dá um limite em 0/0, precisamos modificá-la. 
Multiplicando o numerador e o denominador pelo numerador, temos:
Agora, basta calcular em um tempo t para obter o número de bactérias. 
ECOLOGIA DE POPULAÇÕES. Revisão de cálculo. 2013. Disponível em: <http://ecologia.
ib.usp.br/ecopop/doku.php?id=exercicios:calc>. Acesso em: 30 nov. 2018.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
Referência
9Introdução ao conceito de derivada
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Com base nos estudos desenvolvidos por Galilei e por outros estudiosos da área, os 
pesquisadores Isaac Newton e Leibniz desenvolveram as ferramentas necessárias para o estudo 
do movimento dos corpos. 
Uma vez conhecida a função horária que descreve um movimento do corpo, relacionando 
espaço por tempo, por meio do conceito de derivada, é possível determinar a velocidade desse 
corpo.
Nesta Dica do Professor, você vai ver como, a partir de uma função horária, é possível 
determinar a velocidade de um corpo utilizando o conceito de derivada como taxa de variação.
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EXERCÍCIOS
1) A derivada da função x2 + 1 é: 
A) 2x. 
B) 3x. 
C) 2x2. 
D) 2x + 3. 
E) 4x. 
2) Determine a derivada da função x2 + 2x -3. 
A) 2x + 3. 
B) x2 + 2. 
C) 2x2 + 2. 
D) 2x + 2. 
E) 2x - 1. 
3) Um atleta participou de uma maratona na qual correu 42 km em um tempo de 4 
horas. Determine a taxa de variação do espaço em relação ao tempo relativo à 
corrida. 
A) 10,5 km/h. 
B) 0,095 km/h. 
C) 10 km/h. 
D) 10, 25 km/h. 
E) 10, 95 km/h. 
4) Determine a taxa de variação instantânea da função x(t) = 2 + t2, em t = 2. 
A) 2. 
B) 4. 
C) 6. 
D) 3. 
E) -2. 
5) Uma barra tem comprimento L = x2+2x quando está submetida a x°C. Se essa barra 
for aquecida em 3°C, qual a taxa de variação instantânea relativa ao comprimento 
durante o aquecimento?
A) 8 unidades de medida.
B) 2 unidades de medida.
C) 3 unidades de medida.
D) 5 unidades de medida.
E) 9 unidades de medida.
NA PRÁTICA
Doenças causadas por bactérias, chamadas de doenças bacterianas, são bastante comuns nos 
seres vivos. Têm diferentes ações, sintomas e formas de transmissão. 
Dentre os recursos farmacêuticos para tratamento de doenças bacterianas, há o antibiótico. Esse 
medicamento só é administrado sob prescrição médica. 
O antibiótico age controlando ou eliminando a produção das bactérias. Indústrias farmacêuticas 
elaboram pesquisas a fim de produzir esse medicamento. Sua ação é verificada por meio do uso 
da derivada na avaliação da taxa de variação da reprodução de bactérias diante de uma toxina.
Veja, Na Prática, como pode ser calculado o crescimento de uma colônia de bactérias diante de 
uma toxina.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Taxas de variação
Veja mais sobre a taxa de variação como sendo derivada.
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Derivadas usando a definição de limite
Confira alguns problemas e pratique mais seus conhecimentos sobre derivada a partir deles.
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Derivadas e retas tangentes
Há uma outra interpretação para a derivada. Pode-se entendê-la como a inclinação da reta 
tangente a uma curva. Confira.
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