Exercicios-semana02

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Cálculo Vetorial - 2021/01 - Engenharias Elétrica e Mecânica
Exerćıcios Semana 2
Professor Wilker Fernandes
Dica: Use o programa Geogebra (https: // www. geogebra. org/ classic? lang= pt ) para
auxiliar na visualização das curvas.
1. Exerćıcios Livro Guidorizzi - Volume 2, Seção 7.5, nos 1, 2, 4, 6, 7, 8 e 9.
2. Exerćıcios Livro Guidorizzi - Volume 2, Seção 7.6, nos 1, 2, 4 e 5.
3. Exerćıcios Livro Guidorizzi - Volume 2, Seção 7.7, nos 1, 2, 4, 6 e 7*.
4. Seja γ : I → R2 a curva dada por γ(t) = (et cos t, et sin t), determine:
(a) O vetor tangente a imagem de γ no ponto γ
(π
4
)
;
(b)
d2γ
dt2
(π
4
)
;
(c) As retas tangente e normal no ponto γ
(
π
4
)
;
(d)
∫ π
0
γ(t)dt;
(e) O comprimento de arco entre t = 0 e t = π;
(f) A reparametrização pelo comprimento de arco;
(g) A norma ‖γ′(s)‖.
5. Seja γ : A ⊂ R→ R3 a função vetorial dada por γ(t) = t2 ~i+ t2 ~j + t2 ~k, determine:
(a)
dγ
dt
(1);
(b)
d2γ
dt2
(1);
(c) A reta tangente no ponto γ (1);
(d)
∫ 2
0
γ(t)dt;
(e) O comprimento de arco entre t = 0 e t = 2;
(f) A reparametrização pelo comprimento de arco;
(g) A norma ‖γ′(s)‖.
6. A trajetória de uma part́ıcula é dada por ~r : [0,+∞) → R3, ~r(t) = t~i + cos t~j + sin t~k.
Determine:
(a) A velocidade da part́ıcula no instante ~r
(π
2
)
;
1
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(b) A aceleração da part́ıcula no instante ~r
(π
2
)
;
(c) O deslocamento vetorial da part́ıcula entre os instantes t = 0 e t = π;
(d) A distância percorrida pela part́ıcula entre os instantes t = 0 e t = π;
(e) A reparametrização pelo comprimento de arco;
(f) A posição da part́ıcula após percorrer a distância de π
√
2.
7. A trajetória de uma part́ıcula é dada pela curva r(t) =
(
t,
1
t+ 1
)
, t ∈ [0,∞). Faça um
esboço dessa trajetória exibindo os vetores velocidade e aceleração nos instantes t = 0 e
t = 1.
8. Uma part́ıcula se move sobre a curva, r(t) = (cos(2t), sin(2t)), t ∈ [0,∞).
a) Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição em qualquer instante
t ≥ 0;
b) Mostre que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade em qualquer instante
t ≥ 0;
c) Faça um esboço da trajetória da part́ıcula exibindo os vetores velocidade e aceleração
nos instantes t = 2π e t = 3π.
9. Encontre o comprimento da curva γ(t) = (t, t2/3), 1 ≤ t ≤ 4.
10. Considere a curva γ(t) = (et cos t, et sin t, et), t ≤ 0.
(a) Encontre lim
t→−∞
γ(t). Interprete geometricamente.
(b) Encontre o comprimento γ.
11. Suponha que as curvas ~r1(t) e ~r2(t) definidas em R com valores em R3, sejam derivável até
segunda ordem e que, para todo t ≥ 0, ||(~r1(t)× ~r2(t))|| =
√
t. Mostre que
(~r2 × ~r1).
(d2~r1
dt2
× ~r2 + 2
d~r1
dt
× d~r2
dt
+ ~r1 ×
d2~r2
dt2
)
=
∣∣∣∣∣∣(d~r1
dt
× ~r2 + ~r1 ×
d~r2
dt
)∣∣∣∣∣∣2.
12. A trajetória de uma part́ıcula é dada pela curva r : I ⊂ R→ Rn. Sabendo que r é derivável
em I e que o comprimento do vetor posição r(t) é constante para todo t ∈ I, prove que
o vetor posição r(t) é ortogonal ao vetor velocidade para todo instante t ∈ I. Interprete
geometricamente essa propriedade para o caso n = 2.
2